Was sind absolute und relative Messfehler? Relativer Fehler. Über die Genauigkeitsklasse elektrischer Messgeräte

X = X durchschnittlich X

Absolut

Fehler

Relativ

Fehler

a+ B

a+ B

Die exakten Naturwissenschaften basieren auf Messungen. Beim Messen werden die Werte von Größen in Form von Zahlen ausgedrückt, die angeben, wie oft die gemessene Größe größer oder kleiner als eine andere Größe ist, deren Wert als Einheit angenommen wird. Die durch Messungen gewonnenen Zahlenwerte verschiedener Größen können voneinander abhängen. Die Beziehung zwischen solchen Größen wird in Form von Formeln ausgedrückt, die zeigen, wie die Zahlenwerte einiger Größen aus den Zahlenwerten anderer ermittelt werden können.

Bei Messungen treten zwangsläufig Fehler auf. Es ist notwendig, die Methoden zur Verarbeitung der Messergebnisse zu beherrschen. Dadurch erfahren Sie, wie Sie aus einer Reihe von Messungen Ergebnisse erhalten, die der Wahrheit am nächsten kommen, Unstimmigkeiten und Fehler rechtzeitig erkennen, die Messungen selbst intelligent organisieren und die Genauigkeit der ermittelten Werte richtig einschätzen.

Besteht die Messung darin, eine gegebene Größe mit einer anderen, homogenen Größe als Einheit zu vergleichen, dann wird die Messung in diesem Fall als direkt bezeichnet.

Direkte (direkte) Messungen- Dies sind Messungen, bei denen wir den numerischen Wert der gemessenen Größe entweder durch direkten Vergleich mit einem Maß (Standard) oder mit Hilfe von Instrumenten erhalten, die in Einheiten der gemessenen Größe kalibriert sind.

Allerdings erfolgt ein solcher Vergleich nicht immer direkt. In den meisten Fällen wird nicht die Größe gemessen, die uns interessiert, sondern andere Größen, die durch bestimmte Beziehungen und Muster mit ihr verbunden sind. In diesem Fall ist es zur Messung der erforderlichen Menge erforderlich, zunächst mehrere andere Größen zu messen, deren Wert rechnerisch den Wert der gewünschten Menge bestimmt. Diese Messung wird als indirekt bezeichnet.

Indirekte Messungen bestehen aus direkten Messungen einer oder mehrerer Größen, die mit der Menge verbunden sind, die durch eine quantitative Abhängigkeit bestimmt wird, und aus Berechnungen der Menge, die aus diesen Daten bestimmt wird.

Bei Messungen handelt es sich immer um Messgeräte, die einen Wert mit einem anderen damit verbundenen Wert in Beziehung setzen und mit Hilfe unserer Sinne einer quantitativen Beurteilung zugänglich machen. Beispielsweise wird die aktuelle Stärke durch den Ausschlagwinkel des Pfeils auf einer Skala angezeigt. Dabei müssen zwei Hauptbedingungen des Messvorgangs erfüllt sein: Eindeutigkeit und Reproduzierbarkeit des Ergebnisses. Diese beiden Bedingungen sind immer nur annähernd erfüllt. Deshalb Der Messvorgang beinhaltet neben der Ermittlung des gewünschten Wertes auch eine Beurteilung der Messungenauigkeit.

Ein moderner Ingenieur muss in der Lage sein, die Fehler von Messergebnissen unter Berücksichtigung der erforderlichen Zuverlässigkeit einzuschätzen. Daher wird der Verarbeitung von Messergebnissen große Aufmerksamkeit geschenkt. Die Vertrautheit mit den grundlegenden Methoden der Fehlerberechnung ist eine der Hauptaufgaben der Laborwerkstatt.

Warum treten Fehler auf?

Es gibt viele Gründe für das Auftreten von Messfehlern. Lassen Sie uns einige davon auflisten.

· Prozesse, die bei der Interaktion des Geräts mit dem Messobjekt auftreten, verändern zwangsläufig den Messwert. Beispielsweise führt die Messung der Abmessungen eines Teils mit einem Messschieber zu einer Stauchung des Teils, also zu einer Änderung seiner Abmessungen. Manchmal kann der Einfluss des Geräts auf den Messwert relativ gering gehalten werden, manchmal ist er jedoch vergleichbar mit dem Messwert selbst oder übersteigt ihn sogar.

· Jedes Gerät verfügt aufgrund seiner Konstruktionsmängel nur über begrenzte Möglichkeiten zur eindeutigen Bestimmung des Messwerts. Beispielsweise führt die Reibung zwischen verschiedenen Teilen im Zeigerblock eines Amperemeters dazu, dass eine Änderung des Stroms um einen kleinen, aber endlichen Betrag keine Änderung des Ausschlagwinkels des Zeigers bewirkt.

· An allen Interaktionsprozessen des Geräts mit dem Messobjekt ist immer die äußere Umgebung beteiligt, deren Parameter sich oft auf unvorhersehbare Weise ändern können. Dies schränkt die Reproduzierbarkeit der Messbedingungen und damit des Messergebnisses ein.

· Bei der visuellen Erfassung von Instrumentenablesungen kann es aufgrund der begrenzten Fähigkeiten unseres Augenmessgeräts zu Unklarheiten bei der Ablesung der Instrumentenablesungen kommen.

· Die meisten Größen werden indirekt bestimmt, basierend auf unserem Wissen über die Beziehung der gewünschten Größe zu anderen Größen, die direkt von Instrumenten gemessen werden. Offensichtlich hängt der Fehler der indirekten Messung von den Fehlern aller direkten Messungen ab. Darüber hinaus tragen die Einschränkungen unseres Wissens über das Messobjekt, die Vereinfachung der mathematischen Beschreibung der Zusammenhänge zwischen Größen und das Ignorieren des Einflusses derjenigen Größen, deren Einfluss während des Messvorgangs als unbedeutend angesehen wird, zu Fehlern bei der indirekten Messung bei.

Fehlerklassifizierung

Fehlerwert Messungen einer bestimmten Größe sind normalerweise gekennzeichnet durch:

1. Absoluter Fehler – die Differenz zwischen dem experimentell gefundenen (gemessenen) und dem wahren Wert einer bestimmten Größe

. (1)

Der absolute Fehler zeigt, wie sehr wir uns irren, wenn wir einen bestimmten Wert von X messen.

2. Relativer Fehler gleich dem Verhältnis des absoluten Fehlers zum wahren Wert des Messwerts X

Der relative Fehler zeigt, um welchen Bruchteil des wahren Werts von X wir uns irren.

Qualität die Ergebnisse von Messungen einer bestimmten Menge sind durch einen relativen Fehler gekennzeichnet. Der Wert kann als Prozentsatz ausgedrückt werden.

Aus den Formeln (1) und (2) folgt, dass wir zum Ermitteln der absoluten und relativen Messfehler nicht nur den gemessenen, sondern auch den wahren Wert der für uns interessierenden Größe kennen müssen. Wenn aber der wahre Wert bekannt ist, ist keine Messung erforderlich. Der Zweck von Messungen besteht immer darin, den unbekannten Wert einer bestimmten Größe herauszufinden und, wenn nicht ihren wahren Wert, so doch zumindest einen Wert zu finden, der geringfügig davon abweicht. Daher sind die Formeln (1) und (2), die die Fehlergröße bestimmen, für die Praxis nicht geeignet. Bei praktischen Messungen werden Fehler nicht berechnet, sondern geschätzt. Die Bewertungen berücksichtigen die Versuchsbedingungen, die Genauigkeit der Methodik, die Qualität der Instrumente und eine Reihe weiterer Faktoren. Unsere Aufgabe: zu lernen, wie man eine experimentelle Methodik erstellt und die aus der Erfahrung gewonnenen Daten richtig nutzt, um Werte gemessener Größen zu finden, die den wahren Werten ausreichend nahe kommen, und um Messfehler angemessen zu bewerten.

Wenn wir über Messfehler sprechen, sollten wir zunächst erwähnen grobe Fehler (Fehlschläge) aufgrund eines Versehens des Experimentators oder einer Fehlfunktion der Ausrüstung entstehen. Schwerwiegende Fehler sollten vermieden werden. Wenn festgestellt wird, dass sie aufgetreten sind, müssen die entsprechenden Messungen verworfen werden.

Experimentelle Fehler, die nicht mit groben Fehlern verbunden sind, werden in zufällige und systematische Fehler unterteilt.

Mitzufällige Fehler. Wenn man dieselben Messungen viele Male wiederholt, kann man feststellen, dass ihre Ergebnisse oft nicht genau gleich sind, sondern um einen Durchschnitt „tanzen“ (Abb. 1). Fehler, deren Größe und Vorzeichen sich von Experiment zu Experiment ändern, werden als zufällig bezeichnet. Zufällige Fehler werden vom Experimentator aufgrund der Unvollkommenheit der Sinne, zufälliger äußerer Faktoren usw. unfreiwillig eingeführt. Wenn der Fehler jeder einzelnen Messung grundsätzlich unvorhersehbar ist, ändern sie zufällig den Wert der gemessenen Größe. Diese Fehler können nur durch statistische Verarbeitung mehrerer Messungen der gewünschten Menge beurteilt werden.

Systematisch Fehler kann mit Instrumentenfehlern (falsche Skala, ungleichmäßig gedehnte Feder, ungleichmäßige Steigung der Mikrometerschraube, ungleiche Unruharme usw.) und mit dem Experiment selbst zusammenhängen. Sie behalten während des Experiments ihre Größe (und ihr Vorzeichen!) bei. Aufgrund systematischer Fehler schwanken die durch zufällige Fehler gestreuten experimentellen Ergebnisse nicht um den wahren Wert, sondern um einen bestimmten verzerrten Wert (Abb. 2). Der Fehler jeder Messung der gewünschten Menge kann im Voraus vorhergesagt werden, wenn die Eigenschaften des Geräts bekannt sind.

Berechnung der Fehler direkter Messungen

Systematische Fehler. Systematische Fehler verändern natürlich die Werte der Messgröße. Die bei Messungen durch Instrumente verursachten Fehler lassen sich am einfachsten beurteilen, wenn sie mit den Konstruktionsmerkmalen der Instrumente selbst zusammenhängen. Diese Fehler sind in den Pässen der Geräte angegeben. Die Fehler einiger Geräte lassen sich ohne Rückgriff auf das Datenblatt beurteilen. Bei vielen elektrischen Messgeräten wird die Genauigkeitsklasse direkt auf der Skala angezeigt.

Genauigkeitsklasse des Instruments- Dies ist das Verhältnis des absoluten Fehlers des Geräts zum Maximalwert der Messgröße, der mit diesem Gerät ermittelt werden kann (dies ist der systematische relative Fehler dieses Geräts, ausgedrückt als Prozentsatz der Skalenbewertung).

.

Dann wird der absolute Fehler eines solchen Geräts durch die Beziehung bestimmt:

.

Für elektrische Messgeräte wurden 8 Genauigkeitsklassen eingeführt: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Je näher der Messwert am Nennwert liegt, desto genauer ist das Messergebnis. Die maximale Genauigkeit (d. h. der kleinste relative Fehler), die ein bestimmtes Gerät liefern kann, entspricht der Genauigkeitsklasse. Dieser Umstand muss bei der Verwendung von Multiskaleninstrumenten berücksichtigt werden. Die Skala muss so gewählt werden, dass der Messwert zwar innerhalb der Skala liegt, aber möglichst nahe am Nennwert liegt.

Wenn die Genauigkeitsklasse für das Gerät nicht angegeben ist, müssen folgende Regeln beachtet werden:

· Der absolute Fehler von Instrumenten mit Nonius entspricht der Genauigkeit des Nonius.

· Der absolute Fehler von Instrumenten mit fester Pfeilteilung entspricht dem Teilungswert.

· Der absolute Fehler digitaler Geräte beträgt mindestens eine Ziffer.

· Bei allen anderen Instrumenten wird davon ausgegangen, dass der absolute Fehler der Hälfte des Divisionswerts entspricht.

Zufällige Fehler. Diese Fehler sind statistischer Natur und werden durch die Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben. Es wurde festgestellt, dass bei einer sehr großen Anzahl von Messungen die Wahrscheinlichkeit, bei jeder einzelnen Messung das eine oder andere Ergebnis zu erhalten, mithilfe der Gaußschen Normalverteilung bestimmt werden kann. Bei einer geringen Anzahl von Messungen wird die mathematische Beschreibung der Wahrscheinlichkeit, das eine oder andere Messergebnis zu erhalten, als Student-Verteilung bezeichnet (mehr dazu lesen Sie im Handbuch „Messfehler physikalischer Größen“).

Wie lässt sich der wahre Wert der gemessenen Größe ermitteln?

Angenommen, wir haben bei der Messung eines bestimmten Werts N Ergebnisse erhalten: . Das arithmetische Mittel einer Messreihe liegt näher am wahren Wert der Messgröße als die meisten Einzelmessungen. Um das Ergebnis der Messung eines bestimmten Werts zu erhalten, wird der folgende Algorithmus verwendet.

1). Berechnet arithmetische Mittel Reihe von N direkten Messungen:

2). Berechnet absoluter Zufallsfehler jeder Messung ist die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel einer Reihe von N direkten Messungen und dieser Messung:

.

3). Berechnet mittlerer quadratischer absoluter Fehler:

.

4). Berechnet absoluter Zufallsfehler. Mit einer kleinen Anzahl von Messungen kann der absolute Zufallsfehler anhand des mittleren quadratischen Fehlers und eines bestimmten Koeffizienten namens Student-Koeffizient berechnet werden:

,

Der Student-Koeffizient hängt von der Anzahl der Messungen N und dem Zuverlässigkeitskoeffizienten ab (Tabelle 1 zeigt die Abhängigkeit des Student-Koeffizienten von der Anzahl der Messungen bei einem festen Wert des Zuverlässigkeitskoeffizienten).

Zuverlässigkeitsfaktor ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der wahre Wert des Messwerts in das Konfidenzintervall fällt.

Konfidenzintervall ist ein numerisches Intervall, in das der wahre Wert der gemessenen Größe mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt.

Somit ist der Student-Koeffizient die Zahl, mit der der mittlere quadratische Fehler multipliziert werden muss, um die angegebene Zuverlässigkeit des Ergebnisses für eine bestimmte Anzahl von Messungen sicherzustellen.

Je größer die erforderliche Zuverlässigkeit für eine bestimmte Anzahl von Messungen ist, desto größer ist der Student-Koeffizient. Andererseits ist der Student-Koeffizient für eine gegebene Zuverlässigkeit umso niedriger, je größer die Anzahl der Messungen ist. Bei der Laborarbeit unserer Werkstatt gehen wir davon aus, dass die Zuverlässigkeit gegeben ist und 0,9 beträgt. Die numerischen Werte der Student-Koeffizienten für diese Zuverlässigkeit für unterschiedliche Anzahlen von Messungen sind in Tabelle 1 angegeben.

Tabelle 1

5). Berechnet totaler absoluter Fehler. Bei jeder Messung gibt es sowohl zufällige als auch systematische Fehler. Die Berechnung des gesamten (gesamten) absoluten Messfehlers ist keine leichte Aufgabe, da diese Fehler unterschiedlicher Natur sind.

Bei technischen Messungen ist es sinnvoll, die systematischen und zufälligen absoluten Fehler aufzusummieren

.

Zur Vereinfachung der Berechnungen ist es üblich, den gesamten absoluten Fehler als Summe der absoluten zufälligen und absoluten systematischen (instrumentellen) Fehler zu schätzen, wenn die Fehler in der gleichen Größenordnung liegen, und einen der Fehler zu vernachlässigen, wenn dies der Fall ist mehr als eine Größenordnung (zehnmal) kleiner als die anderen.

6). Der Fehler und das Ergebnis werden gerundet. Da das Messergebnis als Werteintervall dargestellt wird, dessen Wert durch den absoluten Gesamtfehler bestimmt wird, ist die korrekte Rundung von Ergebnis und Fehler wichtig.

Die Rundung beginnt mit dem absoluten Fehler!!! Die Anzahl der verbleibenden signifikanten Stellen im Fehlerwert hängt im Allgemeinen vom Zuverlässigkeitskoeffizienten und der Anzahl der Messungen ab. Lassen Sie jedoch auch bei sehr präzisen Messungen (z. B. astronomischen Messungen), bei denen der genaue Wert des Fehlers wichtig ist, nicht mehr als zwei signifikante Ziffern übrig. Eine größere Anzahl von Zahlen macht keinen Sinn, da die Fehlerdefinition selbst ihren eigenen Fehler hat. Unsere Praxis hat einen relativ kleinen Zuverlässigkeitskoeffizienten und eine geringe Anzahl von Messungen. Daher bleibt beim Runden (mit Überschuss) der gesamte absolute Fehler bei einer signifikanten Zahl.

Die Ziffer der signifikanten Ziffer des absoluten Fehlers bestimmt die Ziffer der ersten zweifelhaften Ziffer im Ergebniswert. Folglich muss der Wert des Ergebnisses selbst (mit Korrektur) auf die signifikante Ziffer gerundet werden, deren Ziffer mit der Ziffer der signifikanten Ziffer des Fehlers übereinstimmt. Die formulierte Regel sollte auch in Fällen angewendet werden, in denen einige der Zahlen Nullen sind.

Wenn das Ergebnis der Körpergewichtsmessung lautet, müssen am Ende der Zahl 0,900 Nullen geschrieben werden. Die Aufzeichnung würde bedeuten, dass über die nächsten signifikanten Zahlen nichts bekannt war, während die Messungen ergaben, dass sie Null waren.

7). Berechnet relativer Fehler.

Beim Runden des relativen Fehlers genügt es, zwei signifikante Ziffern zu belassen.

R das Ergebnis einer Reihe von Messungen einer bestimmten physikalischen Größe wird in Form eines Werteintervalls dargestellt, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der wahre Wert in dieses Intervall fällt, d. h. das Ergebnis muss in der Form geschrieben werden:

Dabei handelt es sich um den gesamten absoluten Fehler, gerundet auf die erste signifikante Ziffer, und um den Durchschnittswert des Messwerts, gerundet unter Berücksichtigung des bereits gerundeten Fehlers. Bei der Erfassung eines Messergebnisses müssen Sie die Maßeinheit des Wertes angeben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

1. Angenommen, wir hätten bei der Messung der Länge eines Segments das folgende Ergebnis erhalten: cm und cm. Wie schreibe ich das Ergebnis der Messung der Länge eines Segments richtig auf? Zuerst runden wir den absoluten Fehler mit Überschuss ab und lassen eine signifikante Ziffer übrig, vgl. Signifikante Ziffer des Fehlers an der Hundertstelstelle. Dann runden wir mit der Korrektur den Durchschnittswert auf das nächste Hundertstel, also auf die signifikante Ziffer, deren Ziffer mit der Ziffer der signifikanten Ziffer des Fehlers übereinstimmt siehe Berechnen des relativen Fehlers

.

cm; ; .

2. Nehmen wir an, dass wir bei der Berechnung des Leiterwiderstands folgendes Ergebnis erhalten haben: Und . Zuerst runden wir den absoluten Fehler und lassen eine signifikante Zahl übrig. Dann runden wir den Durchschnitt auf die nächste ganze Zahl. Berechnen Sie den relativen Fehler

.

Das Messergebnis schreiben wir wie folgt:

; ; .

3. Nehmen wir an, dass wir bei der Berechnung der Masse der Ladung das folgende Ergebnis erhalten: kg und kg. Zuerst runden wir den absoluten Fehler und lassen eine signifikante Zahl übrig kg. Dann runden wir den Durchschnitt auf die nächsten Zehner kg. Berechnen Sie den relativen Fehler

.

.

Fragen und Aufgaben zur Fehlertheorie

1. Was bedeutet es, eine physikalische Größe zu messen? Nenne Beispiele.

2. Warum kommt es zu Messfehlern?

3. Was ist ein absoluter Fehler?

4. Was ist ein relativer Fehler?

5. Welcher Fehler kennzeichnet die Qualität der Messung? Nenne Beispiele.

6. Was ist ein Konfidenzintervall?

7. Definieren Sie das Konzept des „systematischen Fehlers“.

8. Was sind die Ursachen für systematische Fehler?

9. Welche Genauigkeitsklasse hat ein Messgerät?

10. Wie werden die absoluten Fehler verschiedener physikalischer Instrumente bestimmt?

11. Welche Fehler werden als zufällig bezeichnet und wie entstehen sie?

12. Beschreiben Sie das Verfahren zur Berechnung des mittleren quadratischen Fehlers.

13. Beschreiben Sie das Verfahren zur Berechnung des absoluten Zufallsfehlers direkter Messungen.

14. Was ist ein „Zuverlässigkeitsfaktor“?

15. Von welchen Parametern und wie hängt der Student-Koeffizient ab?

16. Wie wird der absolute Gesamtfehler direkter Messungen berechnet?

17. Schreiben Sie Formeln zur Bestimmung der relativen und absoluten Fehler indirekter Messungen.

18. Formulieren Sie die Regeln zum Runden des Ergebnisses mit einem Fehler.

19. Ermitteln Sie den relativen Fehler bei der Messung der Wandlänge mit einem Maßband mit einer Teilung von 0,5 cm. Der gemessene Wert betrug 4,66 m.

20. Bei der Messung der Länge der Seiten A und B des Rechtecks ​​wurden absolute Fehler ΔA bzw. ΔB gemacht. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung des absoluten Fehlers ΔS, der sich bei der Bestimmung der Fläche aus den Ergebnissen dieser Messungen ergibt.

21. Die Messung der Würfelkantenlänge L hatte einen Fehler ΔL. Schreiben Sie eine Formel, um den relativen Fehler des Volumens eines Würfels basierend auf den Ergebnissen dieser Messungen zu bestimmen.

22. Ein Körper bewegt sich aus dem Ruhezustand gleichmäßig beschleunigt. Um die Beschleunigung zu berechnen, haben wir den vom Körper zurückgelegten Weg S und die Zeit seiner Bewegung t gemessen. Die absoluten Fehler dieser direkten Messungen betrugen ΔS bzw. Δt. Leiten Sie aus diesen Daten eine Formel zur Berechnung des relativen Beschleunigungsfehlers ab.

23. Bei der Berechnung der Leistung des Heizgeräts anhand der Messdaten ergaben sich die Werte Pav = 2361,7893735 W und ΔР = 35,4822 W. Notieren Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall und runden Sie es gegebenenfalls auf.

24. Bei der Berechnung des Widerstandswertes anhand von Messdaten ergaben sich folgende Werte: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Notieren Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall und runden Sie es gegebenenfalls auf.

25. Bei der Berechnung des Reibungskoeffizienten anhand von Messdaten ergaben sich die Werte μav = 0,7823735 und Δμ = 0,03348. Notieren Sie das Ergebnis als Konfidenzintervall und runden Sie es gegebenenfalls auf.

26. Ein Strom von 16,6 A wurde mit einem Gerät mit einer Genauigkeitsklasse von 1,5 und einem Skalenwert von 50 A bestimmt. Finden Sie die absoluten instrumentellen und relativen Fehler dieser Messung.

27. In einer Reihe von 5 Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wurden folgende Werte erhalten: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Finden Sie den absoluten Zufallsfehler bei der Bestimmung des Zeitraums aus diesen Daten.

28. Der Versuch, eine Last aus einer bestimmten Höhe fallen zu lassen, wurde sechsmal wiederholt. Dabei ergaben sich folgende Werte der Lastabfallzeit: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Finden Sie den relativen Fehler bei der Bestimmung des Sturzzeitpunkts.

Der Divisionswert ist ein Messwert, der dazu führt, dass der Zeiger um eine Division abweicht. Der Teilungswert wird als Verhältnis der oberen Messgrenze des Geräts zur Anzahl der Skalenteilungen bestimmt.

Thema " “ wird in der 9. Klasse fließend gelernt. Und die Fähigkeiten zur Berechnung sind bei den Studierenden in der Regel nicht vollständig ausgeprägt.

Aber mit praktischer Anwendung relativer Fehler der Zahl , sowie mit absoluten Fehlern, denen wir bei jedem Schritt begegnen.

Während der Reparaturarbeiten haben wir die Dicke (in Zentimetern) gemessen M Teppichboden und Breite N Schwelle. Wir haben folgende Ergebnisse erhalten:

m≈0,8 (mit einer Genauigkeit von 0,1);

n≈100,0 (genau auf 0,1).

Beachten Sie, dass der absolute Fehler der einzelnen Messdaten nicht mehr als 0,1 beträgt.

Allerdings ist 0,1 ein fester Teil der Zahl 0,8. Wie fürNummer 100 stellt ein unbedeutendes h darIst. Dies zeigt, dass die Qualität der zweiten Dimension viel höher ist als die der ersten.

Zur Beurteilung der Qualität der Messung dient es relativer Fehler der ungefähren Zahl.

Definition.

Relativer Fehler der ungefähren Zahl (Werte) ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum absoluten Wert des Näherungswerts.

Sie einigten sich darauf, den relativen Fehler als Prozentsatz auszudrücken.

Beispiel 1.

Betrachten Sie den Bruch 14,7 und runden Sie ihn auf ganze Zahlen. Wir werden auch finden relativer Fehler der ungefähren Zahl:

14,7≈15.

Zur Berechnung des relativen Fehlers muss neben dem Näherungswert in der Regel auch der absolute Fehler bekannt sein. Der absolute Fehler ist nicht immer bekannt. Berechnen Sie deshalb unmöglich. Und in diesem Fall reicht es aus, eine Schätzung des relativen Fehlers anzugeben.

Erinnern wir uns an das Beispiel, das am Anfang des Artikels gegeben wurde. Dort waren die Dickenmaße angegeben. M Teppich und Breite N Schwelle.

Basierend auf den Ergebnissen der Messungen M≈0,8 mit einer Genauigkeit von 0,1. Wir können sagen, dass der absolute Messfehler nicht mehr als 0,1 beträgt. Das bedeutet, dass das Ergebnis der Division des absoluten Fehlers durch den Näherungswert (und das ist der relative Fehler) kleiner oder gleich 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5 % ist.

Somit beträgt der relative Näherungsfehler ≤ 12,5 %.

Auf ähnliche Weise berechnen wir den relativen Fehler bei der Annäherung an die Breite der Fensterbank; sie beträgt nicht mehr als 0,1/100 = 0,001 = 0,1 %.

Sie sagen, dass die Messung im ersten Fall mit einer relativen Genauigkeit von bis zu 12,5 % und im zweiten Fall mit einer relativen Genauigkeit von bis zu 0,1 % durchgeführt wurde.

Zusammenfassen.

Absoluter Fehler ungefähre Zahl - das ist der Unterschiedzwischen der genauen Zahl X und sein ungefährer Wert A.

Wenn der Differenzmodul | X – A| weniger als manche D A, dann der Wert D A angerufen Absoluter Fehler ungefähre Zahl A.

Relativer Fehler der ungefähren Zahl ist das Verhältnis des absoluten Fehlers D A zum Modul einer Zahl A, alsoD A / |A| = d A .

Beispiel 2.

Betrachten wir den bekannten Näherungswert der Zahl π≈3,14.

Betrachtet man seinen Wert mit einer Genauigkeit von einem Hunderttausendstel, kann man seinen Fehler als 0,00159 angeben... (es hilft, sich die Ziffern der Zahl π zu merken )

Der absolute Fehler der Zahl π ist gleich: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Der relative Fehler der Zahl π beträgt: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051 %.

Beispiel 3.

Versuchen Sie es selbst zu berechnen relativer Fehler der ungefähren Zahl √2. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich die Ziffern der Zahl „Quadratwurzel aus 2“ zu merken.

Absoluter Fehler Eine ungefähre Zahl wird als Modul der Differenz zwischen dieser Zahl und ihrem genauen Wert bezeichnet. . Daraus folgt, dass das, was in oder enthalten ist.

Beispiel 1. Das Unternehmen beschäftigt 1.284 Arbeiter und Angestellte. Beim Runden dieser Zahl auf 1300 beträgt der absolute Fehler |1300 - 1284|=16. Auf 1280 gerundet beträgt der absolute Fehler |1280 - 1284| = 4.
Relativer Fehler einer ungefähren Zahl nennt man das Verhältnis des absoluten Fehlers ...
ungefähre Zahl zum absoluten Wert der Zahl .
Beispiel 2 . Die Schule hat 197 Schüler. Wir runden diese Zahl auf 200. Der absolute Fehler beträgt |200 - 197| = 3. Der relative Fehler beträgt 3/|197| oder 1,5 %.

In den meisten Fällen ist es unmöglich, den genauen Wert der Näherungszahl und damit die genaue Größe des Fehlers zu kennen. Allerdings lässt sich fast immer feststellen, dass der Fehler (absolut oder relativ) einen bestimmten Wert nicht überschreitet.

Beispiel 3. Ein Verkäufer wiegt eine Wassermelone auf einer Waage. Das kleinste Gewicht im Set beträgt 50 g. Das Wiegen ergab 3600 g. Diese Zahl ist ein Richtwert. Das genaue Gewicht der Wassermelone ist unbekannt. Der absolute Fehler überschreitet jedoch nicht 50 g. Der relative Fehler überschreitet nicht 50/3600 ≈1,4 %.

In Beispiel 3 kann der maximale absolute Fehler mit 50 g und der maximale relative Fehler mit 1,4 % angenommen werden.
Der absolute Fehler wird mit dem griechischen Buchstaben Δ („Delta“) oder D bezeichnet A; relativer Fehler – der griechische Buchstabe δ („kleines Delta“). Wenn die ungefähre Zahl mit dem Buchstaben A bezeichnet wird, dann ist δ = Δ/|A|.

Signifikante Figur Eine Näherungszahl A ist eine beliebige Ziffer in ihrer Dezimaldarstellung außer Null und Null, wenn sie zwischen signifikanten Ziffern steht oder eine gespeicherte Dezimalstelle darstellt

Beispiel. A= 0,002080. Hier sind lediglich die ersten drei Nullen nicht aussagekräftig.

N Die ersten signifikanten Ziffern der ungefähren Zahl A sind treu, wenn der absolute Fehler dieser Zahl die Hälfte der ausgedrückten Ziffer nicht überschreitet N– die signifikante Zahl, von links nach rechts gezählt. Zahlen, die nicht korrekt sind, werden aufgerufen zweifelhaft.

Beispiel. Wenn in Zahl A= 0,03450 alle Zahlen sind korrekt, dann .

Das Ergebnis von Aktionen mit Näherungszahlen ist ebenfalls eine Näherungszahl. Gleichzeitig können sich auch die Zahlen als ungenau erweisen, die durch Operationen mit den genauen Ziffern dieser Zahlen erhalten werden.

Beispiel 5. Die ungefähren Zahlen 60,2 und 80,1 werden multipliziert. Es ist bekannt, dass alle geschriebenen Zahlen korrekt sind, sodass die wahren Werte nur um Hundertstel, Tausendstel usw. von den ungefähren Werten abweichen können. Im Produkt erhalten wir 4822,02. Dabei können nicht nur die Hundertstel- und Zehntelzahlen, sondern auch die Einerzahlen falsch sein. Lassen Sie uns beispielsweise die Faktoren erhalten, indem Sie die genauen Zahlen 60,25 und 80,14 runden. Dann ist das genaue Produkt 4828,435, sodass die Einheitenstelle im Näherungsprodukt (2) um 6 Einheiten vom genauen Produkt (8) abweicht.

Die Theorie der Näherungsberechnungen ermöglicht:

1) Wenn Sie den Grad der Genauigkeit der Daten kennen, bewerten Sie den Grad der Genauigkeit der Ergebnisse, noch bevor Sie Maßnahmen ergreifen;

2) Nehmen Sie Daten mit einem angemessenen Genauigkeitsgrad auf, der ausreicht, um die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses sicherzustellen, aber nicht zu groß ist, um den Rechner vor nutzlosen Berechnungen zu bewahren;

3) den Berechnungsprozess selbst rationalisieren und ihn von Berechnungen befreien, die keinen Einfluss auf die genauen Zahlen des Ergebnisses haben.

Keine Messung ist fehlerfrei, oder genauer: Die Wahrscheinlichkeit einer fehlerfreien Messung geht gegen Null. Die Art und Ursachen von Fehlern sind sehr vielfältig und werden von vielen Faktoren beeinflusst (Abb. 1.2).

Die allgemeinen Eigenschaften der Einflussfaktoren können aus verschiedenen Blickwinkeln systematisiert werden, beispielsweise nach dem Einfluss der aufgeführten Faktoren (Abb. 1.2).

Basierend auf den Messergebnissen können Fehler in drei Arten eingeteilt werden: systematische, zufällige und Fehler.

Systematische Fehler Sie werden wiederum aufgrund ihres Vorkommens und der Art ihrer Manifestation in Gruppen eingeteilt. Sie können auf verschiedene Weise beseitigt werden, beispielsweise durch die Einführung von Änderungen.

Reis. 1.2

Zufällige Fehler werden durch eine komplexe Reihe sich ändernder Faktoren verursacht, die normalerweise unbekannt und schwer zu analysieren sind. Ihr Einfluss auf das Messergebnis kann beispielsweise durch wiederholte Messungen mit weiterer statistischer Verarbeitung der gewonnenen Ergebnisse nach dem Verfahren der Wahrscheinlichkeitstheorie verringert werden.

ZU verfehlt Dazu gehören grobe Fehler, die durch plötzliche Änderungen der Versuchsbedingungen entstehen. Auch diese Fehler sind zufälliger Natur und müssen, sobald sie identifiziert sind, beseitigt werden.

Die Genauigkeit von Messungen wird anhand von Messfehlern beurteilt, die nach der Art ihres Auftretens in instrumentelle und methodische und nach der Berechnungsmethode in absolute, relative und reduzierte Fehler unterteilt werden.

Instrumental Der Fehler wird durch die Genauigkeitsklasse des Messgeräts charakterisiert, die in seinem Pass in Form von normierten Haupt- und Zusatzfehlern angegeben ist.

Methodisch Der Fehler ist auf die Unvollkommenheit der Messmethoden und -instrumente zurückzuführen.

Absolut Der Fehler ist die Differenz zwischen den gemessenen G u und den wahren G-Werten einer Größe, bestimmt durch die Formel:

Δ=ΔG=G u -G

Beachten Sie, dass die Größe die Dimension der gemessenen Größe hat.

Relativ Der Fehler wird aus der Gleichheit gefunden

δ=±ΔG/G u ·100 %

Gegeben Der Fehler wird anhand der Formel (Genauigkeitsklasse des Messgeräts) berechnet.

δ=±ΔG/G Norm ·100 %

wobei G norms der Normalisierungswert der gemessenen Größe ist. Es wird gleich angenommen:

a) der Endwert der Instrumentenskala, wenn die Nullmarke am Rand oder außerhalb der Skala liegt;

b) die Summe der Endwerte der Skala ohne Berücksichtigung von Vorzeichen, wenn die Nullmarke innerhalb der Skala liegt;

c) die Länge des Maßstabs, wenn der Maßstab ungleichmäßig ist.

Die Genauigkeitsklasse eines Geräts wird während seiner Prüfung ermittelt und ist ein standardisierter Fehler, der anhand der Formeln berechnet wird

γ=±ΔG/G-Normen ·100 %, wennΔG m =konst

wobei ΔG m der größtmögliche absolute Fehler des Geräts ist;

G k – Endwert der Messgrenze des Geräts; c und d sind Koeffizienten, die die Konstruktionsparameter und Eigenschaften des Messmechanismus des Geräts berücksichtigen.

Für ein Voltmeter mit einem konstanten relativen Fehler gilt beispielsweise die Gleichheit

δm =±c

Die relativen und reduzierten Fehler hängen durch die folgenden Abhängigkeiten zusammen:

a) für jeden Wert des reduzierten Fehlers

δ=±γ·G-Normen/G u

b) für den größten reduzierten Fehler

δ=±γ m ·G-Normen/G u

Aus diesen Beziehungen folgt, dass bei Messungen, beispielsweise mit einem Voltmeter, in einem Stromkreis bei gleichem Spannungswert der relative Fehler umso größer ist, je niedriger die gemessene Spannung ist. Und wenn dieses Voltmeter falsch gewählt wird, kann der relative Fehler dem Wert entsprechen G n , was inakzeptabel ist. Beachten Sie, dass entsprechend der Terminologie der zu lösenden Probleme, beispielsweise bei der Spannungsmessung G = U, bei der Strommessung C = I, die Buchstabenbezeichnungen in den Formeln zur Fehlerberechnung durch die entsprechenden Symbole ersetzt werden müssen.

Beispiel 1.1. Ein Voltmeter mit Werten γ m = 1,0 %, U n = G Normen, G k = 450 V, messen Sie die Spannung U u gleich 10 V. Schätzen wir die Messfehler ab.

Lösung.

Antwort. Der Messfehler beträgt 45 %. Bei einem solchen Fehler kann die gemessene Spannung nicht als zuverlässig angesehen werden.

Sind die Möglichkeiten zur Auswahl eines Gerätes (Voltmeter) eingeschränkt, kann der methodische Fehler durch eine nach der Formel berechnete Ergänzung berücksichtigt werden

Beispiel 1.2. Berechnen Sie den absoluten Fehler des Voltmeters V7-26 beim Messen der Spannung in einem Gleichstromkreis. Die Genauigkeitsklasse des Voltmeters wird durch den maximalen reduzierten Fehler γ m = ±2,5 % angegeben. Der in der Arbeit verwendete Voltmeter-Skalengrenzwert ist U norm = 30 V.

Lösung. Der absolute Fehler wird nach den bekannten Formeln berechnet:

(da der reduzierte Fehler per Definition durch die Formel ausgedrückt wird , dann können Sie hier den absoluten Fehler finden:

Antwort.ΔU = ±0,75 V.

Wichtige Schritte im Messprozess sind die Ergebnisverarbeitung und Rundungsregeln. Die Theorie der Näherungsberechnungen ermöglicht es, bei Kenntnis des Genauigkeitsgrades der Daten den Genauigkeitsgrad der Ergebnisse bereits vor der Durchführung von Maßnahmen zu bewerten: Daten mit dem entsprechenden Genauigkeitsgrad auszuwählen, der ausreicht, um die erforderliche Genauigkeit des Ergebnisses sicherzustellen, aber nicht zu groß, um den Rechner vor nutzlosen Berechnungen zu bewahren; Rationalisieren Sie den Berechnungsprozess selbst und befreien Sie ihn von Berechnungen, die keinen Einfluss auf die genauen Zahlen und Ergebnisse haben.

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse werden Rundungsregeln angewendet.

• Regel 1. Wenn die erste verworfene Ziffer größer als fünf ist, wird die letzte beibehaltene Ziffer um eins erhöht.

• Regel 2. Wenn die erste der verworfenen Ziffern kleiner als fünf ist, erfolgt keine Erhöhung.

• Regel 3. Wenn die verworfene Ziffer fünf ist und dahinter keine signifikanten Ziffern stehen, wird auf die nächste gerade Zahl gerundet, d. h. Die zuletzt gespeicherte Ziffer bleibt gleich, wenn sie gerade ist, und erhöht sich, wenn sie nicht gerade ist.

Stehen hinter der Zahl Fünf signifikante Ziffern, so erfolgt die Rundung nach Regel 2.

Durch die Anwendung von Regel 3 auf das Runden einer einzelnen Zahl erhöhen wir nicht die Genauigkeit der Rundung. Bei zahlreichen Rundungen treten jedoch Überzahlen etwa genauso häufig auf wie Unterzahlen. Durch gegenseitige Fehlerkompensation wird die größtmögliche Genauigkeit des Ergebnisses gewährleistet.

Eine Zahl, die den absoluten Fehler offensichtlich überschreitet (oder im schlimmsten Fall diesem entspricht), wird aufgerufen maximaler absoluter Fehler.

Die Größe des maximalen Fehlers ist nicht ganz sicher. Für jede Näherungszahl muss ihr maximaler Fehler (absolut oder relativ) bekannt sein.

Wenn es nicht direkt angegeben wird, wird davon ausgegangen, dass der maximale absolute Fehler eine halbe Einheit der letzten geschriebenen Ziffer beträgt. Wenn also eine ungefähre Zahl von 4,78 ohne Angabe des maximalen Fehlers angegeben wird, wird davon ausgegangen, dass der maximale absolute Fehler 0,005 beträgt. Aufgrund dieser Vereinbarung können Sie jederzeit auf die Angabe des maximalen Fehlers einer nach den Regeln 1-3 gerundeten Zahl verzichten, d. h. wenn die ungefähre Zahl mit dem Buchstaben α bezeichnet wird, dann

Wobei Δn der maximale absolute Fehler ist; und δ n ist der maximale relative Fehler.

Darüber hinaus verwenden wir bei der Verarbeitung der Ergebnisse Regeln zum Finden eines Fehlers Summe, Differenz, Produkt und Quotient.

• Regel 1. Der maximale absolute Fehler der Summe ist gleich der Summe der maximalen absoluten Fehler der einzelnen Terme, bei einer erheblichen Anzahl von Fehlern der Terme kommt es jedoch in der Regel zu einer gegenseitigen Fehlerkompensation, daher ist der wahre Fehler der Summe nur in Ausnahmefällen möglich Fällen mit dem maximalen Fehler überein oder liegt nahe daran.

• Regel 2. Der maximale absolute Fehler der Differenz ist gleich der Summe der maximalen absoluten Fehler derjenigen, die reduziert oder subtrahiert wird.

Der maximale relative Fehler lässt sich leicht ermitteln, indem man den maximalen absoluten Fehler berechnet.

• Regel 3. Der maximale relative Fehler der Summe (aber nicht der Differenz) liegt zwischen dem kleinsten und dem größten relativen Fehler der Terme.

Wenn alle Terme den gleichen maximalen relativen Fehler haben, dann hat die Summe den gleichen maximalen relativen Fehler. Mit anderen Worten: In diesem Fall steht die Genauigkeit der Summe (in Prozent) der Genauigkeit der Terme in nichts nach.

Im Gegensatz zur Summe ist die Differenz der Näherungszahlen möglicherweise ungenauer als Minuend und Subtrahend. Der Präzisionsverlust ist besonders groß, wenn sich Minuend und Subtrahend kaum voneinander unterscheiden.

• Regel 4. Der maximale relative Fehler des Produkts ist ungefähr gleich der Summe der maximalen relativen Fehler der Faktoren: δ=δ 1 +δ 2, oder genauer gesagt δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 wobei δ ist der relative Fehler des Produkts, δ 1 δ 2 - relative Fehlerfaktoren.

Anmerkungen:

1. Wenn Näherungszahlen mit der gleichen Anzahl signifikanter Stellen multipliziert werden, sollte die gleiche Anzahl signifikanter Stellen im Produkt beibehalten werden. Die zuletzt gespeicherte Ziffer ist nicht völlig zuverlässig.

2. Wenn einige Faktoren signifikantere Ziffern als andere haben, sollten vor der Multiplikation die ersten gerundet werden, wobei so viele Ziffern wie der am wenigsten genaue Faktor oder eine weitere (als Ersatz) darin bleiben sollten. Das Einsparen weiterer Ziffern ist nutzlos.

3. Wenn es erforderlich ist, dass das Produkt zweier Zahlen eine vorgegebene Zahl hat, die völlig zuverlässig ist, dann muss in jedem der Faktoren die Anzahl der exakten Ziffern (erhalten durch Messung oder Berechnung) eins mehr sein. Wenn die Anzahl der Faktoren mehr als zwei und weniger als zehn beträgt, muss in jedem der Faktoren die Anzahl der genauen Ziffern für eine vollständige Garantie zwei Einheiten mehr sein als die erforderliche Anzahl der genauen Ziffern. In der Praxis reicht es völlig aus, nur eine zusätzliche Ziffer zu nehmen.

• Regel 5. Der maximale relative Fehler des Quotienten entspricht ungefähr der Summe der maximalen relativen Fehler von Dividend und Divisor. Der genaue Wert des maximalen relativen Fehlers übersteigt immer den ungefähren Wert. Der Prozentsatz des Überschusses entspricht ungefähr dem maximalen relativen Fehler des Teilers.

Beispiel 1.3. Finden Sie den maximalen absoluten Fehler des Quotienten 2,81: 0,571.

Lösung. Der maximale relative Fehler der Dividende beträgt 0,005:2,81=0,2 %; Teiler – 0,005:0,571=0,1 %; privat – 0,2 % + 0,1 % = 0,3 %. Der maximale absolute Fehler des Quotienten beträgt etwa 2,81: 0,571·0,0030=0,015

Dies bedeutet, dass im Quotienten 2,81:0,571=4,92 die dritte signifikante Zahl nicht zuverlässig ist.

Antwort. 0,015.

Beispiel 1.4. Berechnen Sie den relativen Fehler der Messwerte eines gemäß der Schaltung (Abb. 1.3) angeschlossenen Voltmeters, der sich ergibt, wenn wir davon ausgehen, dass das Voltmeter einen unendlich großen Widerstand hat und keine Verzerrungen in den gemessenen Stromkreis einführt. Klassifizieren Sie den Messfehler für dieses Problem.

Reis. 1.3

Lösung. Bezeichnen wir die Messwerte eines echten Voltmeters mit AND und eines Voltmeters mit unendlich hohem Widerstand mit AND ∞. Erforderlicher relativer Fehler

beachte das

dann bekommen wir

Da R UND >>R und R > r ist, ist der Bruch im Nenner der letzten Gleichung viel kleiner als eins. Daher können Sie die Näherungsformel verwenden , gültig für λ≤1 für jedes α. Unter der Annahme, dass in dieser Formel α = -1 und λ= rR (r+R) -1 R And -1 ist, erhalten wir δ ≈ rR/(r+R) R And.

Je größer der Widerstand des Voltmeters im Vergleich zum Außenwiderstand des Stromkreises ist, desto kleiner ist der Fehler. Aber Bedingung R<

Antwort. Systematischer methodischer Fehler.

Beispiel 1.5. Der Gleichstromkreis (Abb. 1.4) umfasst folgende Geräte: A – Amperemeter Typ M 330, Genauigkeitsklasse K A = 1,5 mit einer Messgrenze I k = 20 A; A 1 - Amperemeter Typ M 366, Genauigkeitsklasse K A1 = 1,0 mit einer Messgrenze I k1 = 7,5 A. Ermitteln Sie den größtmöglichen relativen Fehler bei der Messung des Stroms I 2 und die möglichen Grenzen seines tatsächlichen Werts, wenn die Instrumente dies anzeigen I = 8,0A. und I 1 = 6,0A. Klassifizieren Sie die Messung.

Reis. 1.4

Lösung. Den Strom I 2 ermitteln wir aus den Messwerten des Gerätes (ohne Berücksichtigung deren Fehler): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 A.

Finden wir die absoluten Fehlermodule der Amperemeter A und A 1

Für A gilt die Gleichheit für Amperemeter

Lassen Sie uns die Summe der absoluten Fehlermodule ermitteln:

Folglich ist der größtmögliche Wert desselben Werts, ausgedrückt in Bruchteilen dieses Werts, gleich 1. 10 3 – für ein Gerät; 2·10 3 – für ein anderes Gerät. Welches dieser Geräte ist das genaueste?

Lösung. Die Genauigkeit des Geräts wird durch den Kehrwert des Fehlers charakterisiert (je genauer das Gerät, desto kleiner der Fehler), d. h. Für das erste Gerät ist dies 1/(1 . 10 3) = 1000, für das zweite – 1/(2 . 10 3) = 500. Beachten Sie, dass 1000 > 500. Daher ist das erste Gerät doppelt so genau wie das das Zweite.

Zu einer ähnlichen Schlussfolgerung kann man kommen, wenn man die Konsistenz der Fehler prüft: 2. 10 3 / 1. 10 3 = 2.

Antwort. Das erste Gerät ist doppelt so genau wie das zweite.

Beispiel 1.6. Ermitteln Sie die Summe der ungefähren Maße des Geräts. Finden Sie die Anzahl der richtigen Zeichen: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Lösung. Wenn wir alle Messergebnisse addieren, erhalten wir 0,6187. Der maximale maximale Fehler der Summe beträgt 0,00005·9=0,00045. Dies bedeutet, dass in der letzten vierten Ziffer der Summe ein Fehler von bis zu 5 Einheiten möglich ist. Daher runden wir den Betrag auf die dritte Ziffer, d.h. Tausendstel erhalten wir 0,619 – ein Ergebnis, bei dem alle Vorzeichen stimmen.

Antwort. 0,619. Die Anzahl der richtigen Ziffern beträgt drei Dezimalstellen.

Zusammenhängende Posts:

Nikolai Pirogov Arzt Nikolai Ivanovich Pirogov Zitate darüber, was wichtig ist. Aphorismen über Zitate. Das ist der Punkt Ogareva; fgbou in „msu im Die besten Englischlehrbücher zur Verbesserung Ihres Wortschatzes Exotisches Land Australien