Was ist die Standardform einer Polynomregel? Bedeutung des Wortes Polynom

Das Konzept eines Polynoms

Definition eines Polynoms: Ein Polynom ist die Summe von Monomen. Polynombeispiel:

hier sehen wir die Summe zweier Monome, und das ist ein Polynom, d.h. Summe der Monome.

Die Terme, aus denen ein Polynom besteht, werden Polynomterme genannt.

Ist die Differenz der Monome ein Polynom? Ja, denn die Differenz lässt sich leicht auf eine Summe reduzieren, Beispiel: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monome werden auch als Polynome betrachtet. Aber ein Monom hat keine Summe. Warum wird es dann als Polynom betrachtet? Und Sie können Null dazu addieren und die Summe mit einem Nullmonomin erhalten. Ein Monom ist also ein Sonderfall eines Polynoms; es besteht aus einem Term.

Die Zahl Null ist das Nullpolynom.

Standardform eines Polynoms

Was ist ein Polynom in Standardform? Ein Polynom ist die Summe von Monomen, und wenn alle diese Monome, aus denen das Polynom besteht, in Standardform geschrieben werden und es unter ihnen keine ähnlichen Monome geben sollte, dann wird das Polynom in Standardform geschrieben.

Ein Beispiel für ein Polynom in Standardform:

hier besteht das Polynom aus 2 Monomen, von denen jedes eine Standardform hat; unter den Monomen gibt es keine ähnlichen.

Nun ein Beispiel für ein Polynom, das keine Standardform hat:

hier sind zwei Monome: 2a und 4a ähnlich. Sie müssen sie addieren, dann nimmt das Polynom die Standardform an:

Ein anderes Beispiel:

Wird dieses Polynom auf die Standardform reduziert? Nein, seine zweite Amtszeit ist nicht in Standardform verfasst. Wenn wir es in Standardform schreiben, erhalten wir ein Polynom in Standardform:

Polynomgrad

Welchen Grad hat ein Polynom?

Definition des Polynomgrades:

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad, den die Monome haben, aus denen ein gegebenes Polynom in Standardform besteht.

Beispiel. Welchen Grad hat das Polynom 5h? Der Grad des Polynoms 5h ist gleich eins, da dieses Polynom nur ein Monom enthält und sein Grad gleich eins ist.

Ein anderes Beispiel. Welchen Grad hat das Polynom 5a 2 h 3 s 4 +1? Der Grad des Polynoms 5a 2 h 3 s 4 + 1 ist gleich neun, da dieses Polynom zwei Monome enthält, das erste Monom 5a 2 h 3 s 4 hat den höchsten Grad und sein Grad ist 9.

Ein anderes Beispiel. Welchen Grad hat das Polynom 5? Der Grad eines Polynoms 5 ist Null. Also der Grad eines Polynoms, das nur aus einer Zahl besteht, d.h. ohne Buchstaben gleich Null.

Das letzte Beispiel. Welchen Grad hat das Nullpolynom, d.h. null? Der Grad des Nullpolynoms ist nicht definiert.

Oder streng genommen ist es eine endliche formale Summe der Form

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), Wo

Insbesondere ist ein Polynom in einer Variablen eine endliche formale Summe der Form

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), Wo

Mithilfe eines Polynoms werden die Konzepte „algebraische Gleichung“ und „algebraische Funktion“ abgeleitet.

Studium und Anwendung[ | ]

Das Studium von Polynomgleichungen und ihren Lösungen war vielleicht das Hauptziel der „klassischen Algebra“.

Mit dem Studium der Polynome sind eine ganze Reihe von Transformationen in der Mathematik verbunden: die Einführung in die Betrachtung von Null-, negativen und dann komplexen Zahlen sowie die Entstehung der Gruppentheorie als Zweig der Mathematik und die Identifizierung spezieller Klassen Funktionen in der Analyse.

Die technische Einfachheit der mit Polynomen verbundenen Berechnungen im Vergleich zu komplexeren Funktionsklassen sowie die Tatsache, dass die Menge der Polynome im Raum stetiger Funktionen auf kompakten Teilmengen des euklidischen Raums dicht ist (siehe Weierstrass-Approximationssatz), trugen dazu bei Entwicklung von Reihenentwicklungs- und Polynomentwicklungsmethoden. Interpolation in der mathematischen Analyse.

Polynome spielen auch in der algebraischen Geometrie eine Schlüsselrolle, deren Objekt Mengen sind, die als Lösungen von Polynomsystemen definiert sind.

Die besonderen Eigenschaften transformierender Koeffizienten beim Multiplizieren von Polynomen werden in der algebraischen Geometrie, Algebra, Knotentheorie und anderen Zweigen der Mathematik genutzt, um Eigenschaften verschiedener Objekte in Polynomen zu kodieren oder auszudrücken.

Verwandte Definitionen[ | ]

• Polynom der Form c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) angerufen Monom oder Monom Multi-Index I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Monom entsprechend Multiindex I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) angerufen Freies Mitglied.
• Vollständiger Abschluss(ungleich Null) Monom c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (N))) wird als Ganzzahl bezeichnet | Ich | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• Viele Multiindizes ICH, für die die Koeffizienten c I (\displaystyle c_(I)) ungleich Null, genannt Träger des Polynoms, und seine konvexe Hülle ist Newtons Polyeder.
• Polynomgrad heißt das Maximum der Potenzen seiner Monome. Der Grad des identischen Nullpunkts wird weiter durch den Wert bestimmt − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• Ein Polynom, das die Summe zweier Monome ist, heißt Binomial- oder Binomial-,
• Ein Polynom, das die Summe dreier Monome ist, heißt trinomial.
• Die Koeffizienten des Polynoms werden normalerweise einem bestimmten kommutativen Ring entnommen R (\displaystyle R)(am häufigsten Felder, zum Beispiel Felder mit reellen oder komplexen Zahlen). In diesem Fall bilden die Polynome bezüglich der Operationen der Addition und Multiplikation einen Ring (und darüber hinaus eine assoziativ-kommutative Algebra über dem Ring). R (\displaystyle R) ohne Nullteiler), was bezeichnet wird R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
• Für ein Polynom p (x) (\displaystyle p(x)) eine Variable, die die Gleichung löst p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) wird seine Wurzel genannt.

Polynomfunktionen[ | ]

Lassen A (\displaystyle A) Es gibt eine Algebra über einem Ring R (\displaystyle R). Beliebiges Polynom p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) definiert eine Polynomfunktion

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).

Der am häufigsten betrachtete Fall ist A = R (\displaystyle A=R).

Wenn R (\displaystyle R) ist ein Körper reeller oder komplexer Zahlen (sowie jeder andere Körper mit unendlich vielen Elementen), die Funktion f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) definiert das Polynom p vollständig. Im Allgemeinen trifft dies jedoch nicht zu, z. B. bei Polynomen p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) Und p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) aus Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x]) definieren identisch gleiche Funktionen Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

Eine Polynomfunktion einer reellen Variablen wird als vollständige rationale Funktion bezeichnet.

Arten von Polynomen[ | ]

Eigenschaften [ | ]

Teilbarkeit [ | ]

Die Rolle irreduzibler Polynome im Polynomring ähnelt der Rolle der Primzahlen im Ring der ganzen Zahlen. Beispielsweise gilt der Satz: wenn das Produkt von Polynomen p q (\displaystyle pq) ist dann durch ein irreduzibles Polynom teilbar P oder Q geteilt durch λ (\displaystyle \lambda). Jedes Polynom mit einem Grad größer Null kann in einem gegebenen Körper auf einzigartige Weise in ein Produkt irreduzibler Faktoren zerlegt werden (bis zu Faktoren mit Grad Null).

Zum Beispiel ein Polynom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel, zerfällt im Bereich der reellen Zahlen in drei Faktoren und im Bereich der komplexen Zahlen in vier Faktoren.

Im Allgemeinen hat jedes Polynom eine Variable x (\displaystyle x) zerlegt sich im Bereich der reellen Zahlen in Faktoren ersten und zweiten Grades, im Bereich der komplexen Zahlen in Faktoren ersten Grades (Grundsatz der Algebra).

Für zwei oder mehr Variablen kann dies nicht mehr gesagt werden. Über jedem Bereich für jeden n > 2 (\displaystyle n>2) Es gibt Polynome aus n (\displaystyle n) Variablen, die in jeder Erweiterung dieses Feldes irreduzibel sind. Solche Polynome heißen absolut irreduzibel.

- Polynome. In diesem Artikel werden wir alle ersten und notwendigen Informationen über Polynome zusammenfassen. Dazu gehört zunächst die Definition eines Polynoms mit zugehörigen Definitionen der Terme des Polynoms, insbesondere des freien Termes und ähnlicher Terme. Zweitens werden wir uns mit Polynomen der Standardform befassen, die entsprechende Definition geben und Beispiele dafür nennen. Abschließend stellen wir die Definition des Grades eines Polynoms vor, finden heraus, wie man ihn findet, und sprechen über die Koeffizienten der Terme des Polynoms.

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Polynom und seine Begriffe – Definitionen und Beispiele

In der 7. Klasse werden Polynome unmittelbar nach Monomen untersucht, was verständlich ist, da Polynomdefinition ist durch Monome gegeben. Lassen Sie uns diese Definition geben, um zu erklären, was ein Polynom ist.

Definition.

Polynom ist die Summe der Monome; Ein Monom wird als Sonderfall eines Polynoms betrachtet.

Die schriftliche Definition ermöglicht es Ihnen, so viele Beispiele für Polynome anzugeben, wie Sie möchten. Jedes der Monome 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 usw. ist ein Polynom. Per Definition sind auch 1+x, a 2 +b 2 und Polynome.

Zur Vereinfachung der Beschreibung von Polynomen wird eine Definition eines Polynomterms eingeführt.

Definition.

Polynomterme sind die konstituierenden Monome eines Polynoms.

Beispielsweise besteht das Polynom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 aus vier Termen: 3 x 4 , −2 x y , 3 und −y 3 . Ein Monom wird als Polynom betrachtet, das aus einem Term besteht.

Definition.

Polynome, die aus zwei und drei Termen bestehen, haben spezielle Namen – Binomial- Und trinomial jeweils.

Also ist x+y ein Binomial und 2 x 3 q−q x x x+7 b ein Trinom.

In der Schule müssen wir am häufigsten mit arbeiten lineares Binomial a x+b , wobei a und b einige Zahlen sind und x eine Variable ist, ebenso wie c quadratisches Trinom a·x 2 +b·x+c, wobei a, b und c einige Zahlen sind und x eine Variable ist. Hier sind Beispiele für lineare Binome: x+1, x 7,2−4, und hier sind Beispiele für quadratische Trinome: x 2 +3 x−5 und .

Polynome können in ihrer Notation ähnliche Begriffe haben. Beispielsweise sind im Polynom 1+5 x−3+y+2 x die ähnlichen Terme 1 und −3 sowie 5 x und 2 x. Sie haben ihren eigenen speziellen Namen – ähnliche Terme eines Polynoms.

Definition.

Ähnliche Terme eines Polynomsähnliche Terme in einem Polynom werden aufgerufen.

Im vorherigen Beispiel sind 1 und −3 sowie das Paar 5 x und 2 x ähnliche Terme des Polynoms. Bei Polynomen mit ähnlichen Termen können Sie ähnliche Terme reduzieren, um ihre Form zu vereinfachen.

Polynom der Standardform

Für Polynome gibt es wie für Monome eine sogenannte Standardform. Lassen Sie uns die entsprechende Definition aussprechen.

Basierend auf dieser Definition können wir Beispiele für Polynome der Standardform geben. Also die Polynome 3 x 2 −x y+1 und in Standardform geschrieben. Und die Ausdrücke 5+3 x 2 −x 2 +2 x z und x+x y 3 x z 2 +3 z sind keine Polynome der Standardform, da der erste von ihnen ähnliche Terme enthält 3 x 2 und −x 2 , und in das zweite – ein Monom x·y 3 ·x·z 2 , dessen Form sich von der Standardform unterscheidet.

Beachten Sie, dass Sie das Polynom bei Bedarf jederzeit auf die Standardform reduzieren können.

Ein weiteres Konzept im Zusammenhang mit Polynomen der Standardform ist das Konzept eines freien Termes eines Polynoms.

Definition.

Freier Term eines Polynoms ist Mitglied eines Polynoms der Standardform ohne Buchstabenteil.

Mit anderen Worten: Wenn ein Polynom in Standardform eine Zahl enthält, wird es als freies Element bezeichnet. Beispielsweise ist 5 der freie Term des Polynoms x 2 z+5, aber das Polynom 7 a+4 a b+b 3 hat keinen freien Term.

Grad eines Polynoms – wie findet man ihn?

Eine weitere wichtige verwandte Definition ist die Definition des Grades eines Polynoms. Zuerst definieren wir den Grad eines Polynoms der Standardform; diese Definition basiert auf den Graden der Monome, die in seiner Zusammensetzung enthalten sind.

Definition.

Grad eines Polynoms in Standardform ist die größte Potenz der in ihrer Notation enthaltenen Monome.

Lassen Sie uns Beispiele nennen. Der Grad des Polynoms 5 x 3 −4 ist gleich 3, da die darin enthaltenen Monome 5 x 3 und −4 den Grad 3 bzw. 0 haben. Die größte dieser Zahlen ist 3, was den Grad des Polynoms darstellt per Definition. Und der Grad des Polynoms 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x gleich der größten der Zahlen 2+3=5, 4+1=5 und 1, also 5.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie Sie den Grad eines Polynoms beliebiger Form ermitteln.

Definition.

Der Grad eines Polynoms beliebiger Form Nennen Sie den Grad des entsprechenden Polynoms der Standardform.

Wenn also ein Polynom nicht in Standardform geschrieben ist und Sie seinen Grad ermitteln müssen, müssen Sie das ursprüngliche Polynom auf die Standardform reduzieren und den Grad des resultierenden Polynoms ermitteln – es wird der erforderliche sein. Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie den Grad des Polynoms 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Lösung.

Zuerst müssen Sie das Polynom in Standardform darstellen:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Das resultierende Polynom in Standardform enthält zwei Monome −2·a 2 ·b 2 ·c 2 und y 2 ·z 2 . Finden wir ihre Kräfte: 2+2+2=6 und 2+2=4. Offensichtlich ist die größte dieser Potenzen 6, was per Definition die Potenz eines Polynoms der Standardform ist −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2 und damit der Grad des ursprünglichen Polynoms., 3 x und 7 des Polynoms 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., hinzufügen. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 S.: Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. 10. Klasse: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; bearbeitet von A. B. Schizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Bildung, 2010.- 368 S. : krank. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Per Definition ist ein Polynom ein algebraischer Ausdruck, der die Summe von Monomen darstellt.

Zum Beispiel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 sind Polynome, und der Ausdruck z/(x - x*y^2 + 4) ist kein Polynom, da es sich nicht um eine Summe von Monomen handelt. Ein Polynom wird manchmal auch als Polynom bezeichnet, und Monome, die Teil eines Polynoms sind, sind Mitglieder eines Polynoms oder von Monomen.

Komplexes Konzept des Polynoms

Besteht ein Polynom aus zwei Gliedern, so heißt es Binomial, besteht es aus drei Gliedern, heißt es Trinom. Die Namen Fournomial, Fivenomial und andere werden nicht verwendet, und in solchen Fällen sagt man einfach Polynom. Solche Namen bringen je nach Anzahl der Begriffe alles in Ordnung.

Und der Begriff Monom wird intuitiv. Aus mathematischer Sicht ist ein Monom ein Sonderfall eines Polynoms. Ein Monom ist ein Polynom, das aus einem Term besteht.

Genau wie ein Monom hat auch ein Polynom seine eigene Standardform. Die Standardform eines Polynoms ist eine solche Schreibweise eines Polynoms, bei der alle darin als Terme enthaltenen Monome in einer Standardform geschrieben sind und ähnliche Terme angegeben sind.

Standardform eines Polynoms

Das Verfahren zum Reduzieren eines Polynoms auf die Standardform besteht darin, jedes der Monome auf die Standardform zu reduzieren und dann alle ähnlichen Monome zusammenzuaddieren. Die Addition ähnlicher Terme eines Polynoms nennt man Reduktion ähnlicher Terme.
Stellen wir uns zum Beispiel ähnliche Terme im Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b vor.

Die Begriffe 4*a*b^2*c^3 und 6*a*b^2*c^3 sind hier ähnlich. Die Summe dieser Terme ergibt das Monom 10*a*b^2*c^3. Daher kann das ursprüngliche Polynom 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b als 10*a*b^2*c^3 - a* umgeschrieben werden B . Dieser Eintrag ist die Standardform eines Polynoms.

Aus der Tatsache, dass jedes Monom auf eine Standardform reduziert werden kann, folgt auch, dass jedes Polynom auf eine Standardform reduziert werden kann.

Wenn ein Polynom auf die Standardform reduziert wird, können wir von einem Konzept wie dem Grad eines Polynoms sprechen. Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad eines Monoms, der in einem gegebenen Polynom enthalten ist.
So ist beispielsweise 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 ein Polynom fünften Grades, da der maximale Grad des im Polynom enthaltenen Monoms (5*x^3*y^ 2) ist Fünfter.

Nachdem wir Monome studiert haben, gehen wir zu Polynomen über. In diesem Artikel erfahren Sie alle notwendigen Informationen, die Sie benötigen, um entsprechende Aktionen durchzuführen. Wir definieren ein Polynom mit begleitenden Definitionen eines Polynomterms, also frei und ähnlich, betrachten ein Polynom der Standardform, führen einen Grad ein und lernen, wie man ihn findet und mit seinen Koeffizienten arbeitet.

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Polynom und seine Begriffe – Definitionen und Beispiele

Die Definition eines Polynoms war schon damals notwendig 7 Klasse nach dem Studium von Monomen. Schauen wir uns die vollständige Definition an.

Definition 1

Polynom Die Summe der Monome wird berechnet, und das Monom selbst ist ein Sonderfall eines Polynoms.

Aus der Definition folgt, dass Beispiele für Polynome unterschiedlich sein können: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z und so weiter. Aus der Definition haben wir das 1+x, a 2 + b 2 und der Ausdruck x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x sind Polynome.

Schauen wir uns einige weitere Definitionen an.

Definition 2

Mitglieder des Polynoms seine konstituierenden Monome heißen.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem wir ein Polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 haben, bestehend aus 4 Termen: 3 x 4, − 2 x y, 3 und − y 3. Ein solches Monom kann als Polynom betrachtet werden, das aus einem Term besteht.

Definition 3

Polynome, die 2, 3 Trinome enthalten, haben den entsprechenden Namen - Binomial- Und trinomial.

Daraus folgt ein Ausdruck der Form x+y– ist ein Binomial und der Ausdruck 2 x 3 q − q x x x + 7 b ist ein Trinom.

Gemäß dem Lehrplan haben wir mit einem linearen Binomial der Form a · x + b gearbeitet, wobei a und b einige Zahlen sind und x eine Variable ist. Betrachten wir Beispiele für lineare Binome der Form: x + 1, x · 7, 2 − 4 mit Beispielen für quadratische Trinome x 2 + 3 · x − 5 und 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Um zu transformieren und zu lösen, ist es notwendig, ähnliche Begriffe zu finden und einzubringen. Beispielsweise hat ein Polynom der Form 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ähnliche Terme 1 und - 3, 5 x und 2 x. Sie werden in eine spezielle Gruppe unterteilt, die als ähnliche Elemente des Polynoms bezeichnet wird.

Definition 4

Ähnliche Terme eines Polynoms sind ähnliche Begriffe, die in einem Polynom vorkommen.

Im obigen Beispiel haben wir, dass 1 und - 3, 5 x und 2 x ähnliche Terme des Polynoms oder ähnliche Terme sind. Um den Ausdruck zu vereinfachen, suchen und reduzieren Sie ähnliche Begriffe.

Polynom der Standardform

Alle Monome und Polynome haben ihre eigenen spezifischen Namen.

Definition 5

Polynom der Standardform ist ein Polynom, in dem jeder darin enthaltene Term ein Monom in Standardform hat und keine ähnlichen Terme enthält.

Aus der Definition geht hervor, dass es möglich ist, Polynome der Standardform zu reduzieren, beispielsweise 3 x 2 − x y + 1 und __formula__, und der Eintrag erfolgt in Standardform. Die Ausdrücke 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z und 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z sind keine Polynome der Standardform, da das erste von ihnen ähnliche Terme in der hat Form 3 · x 2 und − x 2, und das zweite enthält ein Monom der Form x · y 3 · x · z 2, das sich vom Standardpolynom unterscheidet.

Wenn die Umstände es erfordern, wird das Polynom manchmal auf eine Standardform reduziert. Der Begriff eines freien Termes eines Polynoms wird auch als Polynom in Standardform betrachtet.

Definition 6

Freier Term eines Polynoms ist ein Polynom in Standardform, das keinen Literalteil hat.

Mit anderen Worten: Wenn ein Polynom in Standardform eine Zahl hat, wird es als freies Element bezeichnet. Dann ist die Zahl 5 der freie Term des Polynoms x 2 z + 5, und das Polynom 7 a + 4 a b + b 3 hat keinen freien Term.

Grad eines Polynoms – wie findet man ihn?

Die Definition des Grades eines Polynoms selbst basiert auf der Definition eines Polynoms in Standardform und auf den Graden der Monome, die seine Komponenten sind.

Definition 7

Grad eines Polynoms in Standardform wird der größte der in seiner Notation enthaltenen Grade genannt.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Der Grad des Polynoms 5 x 3 − 4 ist gleich 3, da die in seiner Zusammensetzung enthaltenen Monome die Grade 3 und 0 haben und das größere von ihnen jeweils 3 ist. Die Definition des Grades aus dem Polynom 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x ist gleich der größten der Zahlen, also 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 und 1, was 5 bedeutet .

Es gilt herauszufinden, wie der Abschluss selbst zustande kommt.

Definition 8

Grad eines Polynoms einer beliebigen Zahl ist der Grad des entsprechenden Polynoms in Standardform.

Wenn ein Polynom nicht in der Standardform geschrieben ist, Sie aber seinen Grad ermitteln müssen, müssen Sie es auf die Standardform reduzieren und dann den erforderlichen Grad ermitteln.

Beispiel 1

Finden Sie den Grad eines Polynoms 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Lösung

Lassen Sie uns zunächst das Polynom in Standardform darstellen. Wir erhalten einen Ausdruck der Form:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Wenn wir ein Polynom in Standardform erhalten, stellen wir fest, dass zwei davon deutlich hervorstechen: 2 · a 2 · b 2 · c 2 und y 2 · z 2 . Um die Grade zu ermitteln, zählen wir und stellen fest, dass 2 + 2 + 2 = 6 und 2 + 2 = 4. Es ist ersichtlich, dass der größte von ihnen 6 ist. Aus der Definition folgt, dass 6 der Grad des Polynoms − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 und damit der ursprüngliche Wert ist.

Antwort: 6 .

Koeffizienten von Polynomtermen

Definition 9

Wenn alle Terme eines Polynoms Monome der Standardform sind, dann haben sie in diesem Fall den Namen Koeffizienten von Polynomtermen. Mit anderen Worten, sie können als Koeffizienten des Polynoms bezeichnet werden.

Wenn man das Beispiel betrachtet, wird klar, dass ein Polynom der Form 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 4 Polynome enthält: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x und 7 mit ihren entsprechenden Koeffizienten 2, − 0, 5, 3 und 7. Dies bedeutet, dass 2, − 0, 5, 3 und 7 als Koeffizienten von Termen eines gegebenen Polynoms der Form 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 betrachtet werden. Bei der Umrechnung ist es wichtig, auf die Koeffizienten vor den Variablen zu achten.

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