Formeln eines horizontal aus großer Höhe geworfenen Körpers. Flug eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers

Wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann, bewegt sich ein in irgendeiner Weise geworfener Körper mit der Erdbeschleunigung.

Betrachten wir zunächst die Bewegung eines Körpers, der horizontal mit der Geschwindigkeit v_vec0 aus einer Höhe h über der Erdoberfläche geschleudert wird (Abb. 11.1).

In Vektorform wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers von der Zeit t durch die Formel ausgedrückt

Bei Projektionen auf die Koordinatenachsen:

v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)

1. Erklären Sie, wie Formeln aus (2) und (3) erhalten werden.

x = v 0 t, (4)
y = h – gt 2 /2. (5)

Wir sehen, dass der Körper scheinbar zwei Arten von Bewegungen gleichzeitig ausführt: Er bewegt sich gleichmäßig entlang der x-Achse und beschleunigt gleichmäßig entlang der y-Achse, ohne eine Anfangsgeschwindigkeit.

Abbildung 11.2 zeigt die Position des Körpers in regelmäßigen Abständen. Unten ist die Position eines Körpers, der sich in einer geraden Linie gleichmäßig mit derselben Anfangsgeschwindigkeit bewegt, zu denselben Zeitpunkten dargestellt, und links ist die Position eines frei fallenden Körpers.

Wir sehen, dass sich ein horizontal geworfener Körper bei einem gleichmäßig bewegten Körper immer auf der gleichen Vertikalen und bei einem frei fallenden Körper immer auf der gleichen Horizontalen befindet.

2. Erklären Sie, wie aus den Formeln (4) und (5) Ausdrücke für die Zeit tBoden und die Körperflugreichweite l erhalten werden:

Hinweis. Machen Sie sich die Tatsache zunutze, dass im Moment des Fallens y = 0 ist.

3. Ein Körper wird aus einer bestimmten Höhe horizontal geworfen. In welchem ​​Fall ist die Flugreichweite des Körpers größer: wenn die Anfangsgeschwindigkeit um das Vierfache zunimmt oder wenn die Anfangshöhe um den gleichen Betrag zunimmt? Wie oft noch?

Bewegungsbahnen

In Abbildung 11.2 ist die Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers durch eine rote gestrichelte Linie dargestellt. Es ähnelt einem Ast einer Parabel. Überprüfen wir diese Annahme.

4. Beweisen Sie, dass für einen horizontal geworfenen Körper die Gleichung der Bewegungsbahn, also die Abhängigkeit y(x), durch die Formel ausgedrückt wird

Hinweis. Drücken Sie t mithilfe von Formel (4) durch x aus und setzen Sie den gefundenen Ausdruck in Formel (5) ein.

Formel (8) ist tatsächlich eine parabolische Gleichung. Sein Scheitelpunkt fällt mit der Ausgangsposition des Körpers zusammen, das heißt, er hat die Koordinaten x = 0; y = h, und der Ast der Parabel ist nach unten gerichtet (dies wird durch den negativen Koeffizienten vor x 2 angezeigt).

5. Die Abhängigkeit y(x) wird in SI-Einheiten durch die Formel y = 45 – 0,05x 2 ausgedrückt.
a) Wie groß sind Anfangshöhe und Anfangsgeschwindigkeit des Körpers?
b) Wie lang sind Flugzeit und Distanz?

6. Ein Körper wird aus einer Höhe von 20 m mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 m/s horizontal geworfen.
a) Wie lange wird der Flug des Körpers dauern?
b) Wie groß ist die Flugreichweite?
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers kurz bevor er den Boden berührt?
d) In welchem ​​Winkel zum Horizont wird die Geschwindigkeit des Körpers unmittelbar vor dem Auftreffen auf den Boden gerichtet sein?
e) Welche Formel drückt in SI-Einheiten die Abhängigkeit des Geschwindigkeitsmoduls eines Körpers von der Zeit aus?

2. Bewegung eines schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers

Abbildung 11.3 zeigt schematisch die Ausgangsposition des Körpers, seine Anfangsgeschwindigkeit 0 (bei t = 0) und seine Beschleunigung (Erdbeschleunigung).

Anfangsgeschwindigkeitsprojektionen

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Um nachfolgende Einträge zu verkürzen und ihre physikalische Bedeutung zu verdeutlichen, ist es zweckmäßig, die Notation v 0x und v 0y beizubehalten, bevor die endgültigen Formeln erhalten werden.

Die Geschwindigkeit des Körpers in Vektorform zum Zeitpunkt t wird auch in diesem Fall durch die Formel ausgedrückt

Allerdings jetzt in Projektionen auf die Koordinatenachsen

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)

7. Erklären Sie, wie die folgenden Gleichungen erhalten werden:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t – gt 2 /2. (14)

Wir sehen, dass der geworfene Körper auch in diesem Fall an zwei Arten von Bewegungen gleichzeitig beteiligt zu sein scheint: Er bewegt sich gleichmäßig entlang der x-Achse und beschleunigt gleichmäßig entlang der y-Achse mit einer Anfangsgeschwindigkeit, wie ein vertikal nach oben geworfener Körper.

Bewegungsbahn

Abbildung 11.4 zeigt schematisch die Lage eines in regelmäßigen Abständen schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers. Vertikale Linien betonen, dass sich der Körper gleichmäßig entlang der x-Achse bewegt: Benachbarte Linien haben den gleichen Abstand voneinander.

8. Erklären Sie, wie Sie die folgende Gleichung für die Flugbahn eines in einem Winkel zur Horizontalen geworfenen Körpers erhalten:

Formel (15) ist die Gleichung einer Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind.

Die Flugbahngleichung kann uns viel über die Bewegung eines geschleuderten Körpers sagen!

9. Die Abhängigkeit y(x) wird in SI-Einheiten durch die Formel y = √3 * x – 1,25x 2 ausgedrückt.
a) Wie groß ist die horizontale Projektion der Anfangsgeschwindigkeit?
b) Wie groß ist die vertikale Projektion der Anfangsgeschwindigkeit?
c) In welchem ​​Winkel wird der Körper zum Horizont geworfen?
d) Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers?

Die parabolische Form der Flugbahn eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers wird deutlich durch einen Wasserstrahl veranschaulicht (Abb. 11.5).

Aufstiegszeit und gesamte Flugzeit

10. Zeigen Sie anhand der Formeln (12) und (14), dass die Aufstiegszeit des Körpers t under und die gesamte Flugzeit t floor durch die Formeln ausgedrückt werden

Hinweis. Am oberen Punkt der Flugbahn ist v y = 0, und in dem Moment, in dem der Körper fällt, ist seine Koordinate y = 0.

Wir sehen, dass in diesem Fall (wie bei einem senkrecht nach oben geworfenen Körper) die gesamte Flugzeit t Boden ist 2-mal länger als die Aufstiegszeit t unter. Und in diesem Fall, wenn man das Video in umgekehrter Reihenfolge betrachtet, sieht das Aufsteigen des Körpers genauso aus wie sein Abstieg, und das Abtauchen sieht genauso aus wie sein Aufsteigen.

Höhe und Flugreichweite

11. Beweisen Sie, dass die Auftriebshöhe h und die Flugreichweite l durch die Formeln ausgedrückt werden

Hinweis. Um die Formel (18) abzuleiten, verwenden Sie die Formeln (14) und (16) oder die Formel (10) aus § 6. Verschiebung während einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung; Um die Formel (19) abzuleiten, verwenden Sie die Formeln (13) und (17).

Bitte beachten Sie: Die Hubzeit des Körpertuners, die gesamte Flugzeit tfloor und die Hubhöhe h hängen nur von der vertikalen Projektion der Anfangsgeschwindigkeit ab.

12. Wie hoch stieg der Fußball nach dem Aufprall, wenn er 4 s nach dem Aufprall zu Boden fiel?

13. Beweisen Sie das

Hinweis. Verwenden Sie die Formeln (9), (10), (18), (19).

14. Erklären Sie, warum bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit v 0 die Flugreichweite l bei zwei Winkeln α 1 und α 2 gleich sein wird, die durch die Beziehung α 1 + α 2 = 90º zusammenhängen (Abb. 11.6).

Hinweis. Verwenden Sie die erste Gleichung in Formel (21) und die Tatsache, dass sin α = cos(90º – α).

15. Zwei Körper, die gleichzeitig und von demselben Ausgangspunkt aus mit demselben Absolutwert geworfen werden. Der Winkel zwischen den Anfangsgeschwindigkeiten beträgt 20°. In welchem ​​Winkel zum Horizont wurden die Leichen geworfen?

Maximale Flugreichweite und Flughöhe

Bei gleicher absoluter Anfangsgeschwindigkeit werden Flugreichweite und Flughöhe nur durch den Winkel α bestimmt. Wie wählt man diesen Winkel so, dass die Flugreichweite bzw. Flughöhe maximal ist?

16. Erklären Sie, warum die maximale Flugreichweite bei α = 45º erreicht wird und durch die Formel ausgedrückt wird

l max = v 0 2 /g. (22)

17.Beweisen Sie, dass die maximale Flughöhe durch die Formel ausgedrückt wird

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. Ein in einem Winkel von 15° zur Horizontalen geworfener Körper fiel in einer Entfernung von 5 m vom Startpunkt.
a) Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers?
b) Bis zu welcher Höhe stieg der Körper?
c) Wie groß ist die maximale Flugreichweite bei gleicher absoluter Anfangsgeschwindigkeit?
d) Bis zu welcher maximalen Höhe könnte dieser Körper bei gleicher absoluter Anfangsgeschwindigkeit aufsteigen?

Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit

Beim Aufsteigen nimmt die Geschwindigkeit eines schräg zur Horizontalen geschleuderten Körpers im Absolutwert ab, beim Abstieg nimmt sie zu.

19. Ein Körper wird in einem Winkel von 30° zur Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s geschleudert.
a) Wie wird die Abhängigkeit vy(t) in SI-Einheiten ausgedrückt?
b) Wie wird die Abhängigkeit v(t) in SI-Einheiten ausgedrückt?
c) Wie groß ist die Mindestgeschwindigkeit eines Körpers im Flug?
Hinweis. Verwenden Sie die Formeln (13) und (14) sowie den Satz des Pythagoras.

Zusätzliche Fragen und Aufgaben

20. Beim Werfen von Kieselsteinen in verschiedenen Winkeln stellte Sasha fest, dass er den Kieselstein nicht weiter als 40 m werfen konnte. Wie hoch kann Sasha den Kieselstein maximal werfen?

21. Zwischen den hinteren Zwillingsreifen eines Lastwagens steckte ein Kieselstein. In welchem ​​Abstand zum LKW sollte das nachfolgende Auto gefahren werden, damit dieser Stein, wenn er herunterfällt, ihm keinen Schaden zufügt? Beide Autos fahren mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h.
Hinweis. Gehen Sie zum Referenzrahmen, der einem der Autos zugeordnet ist.

22. In welchem ​​Winkel zum Horizont sollte ein Körper geworfen werden, um:
a) War die Flughöhe gleich der Reichweite?
b) Die Flughöhe war dreimal größer als die Reichweite?
c) Die Flugreichweite war viermal größer als die Höhe?

23. Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s in einem Winkel von 60° zur Horizontalen geworfen. In welchen Zeitabständen nach dem Wurf wird die Körpergeschwindigkeit in einem Winkel von 45° zur Horizontalen ausgerichtet?

Hier – Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, – Geschwindigkeit des Körpers im Moment T, S– horizontale Flugreichweite, H– die Höhe über der Erdoberfläche, aus der ein Körper mit Geschwindigkeit horizontal geschleudert wird .

1.1.33. Kinematische Gleichungen für die Geschwindigkeitsprojektion:

1.1.34. Kinematische Koordinatengleichungen:

1.1.35. Körpergeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt T:

In dem Moment zu Boden fallen y = h, x = s(Abb. 1.9).

1.1.36. Maximale horizontale Flugreichweite:

1.1.37. Höhe über dem Boden, aus dem der Körper geworfen wird

horizontal:

Bewegung eines im Winkel α zur Horizontalen geworfenen Körpers
mit Anfangsgeschwindigkeit

1.1.38. Die Flugbahn ist eine Parabel(Abb. 1.10). Eine krummlinige Bewegung entlang einer Parabel wird durch die Addition zweier geradliniger Bewegungen verursacht: einer gleichmäßigen Bewegung entlang der horizontalen Achse und einer gleichmäßigen Bewegung entlang der vertikalen Achse.

Reis. 1.10

( – Anfangsgeschwindigkeit des Körpers, – Projektionen der Geschwindigkeit auf die Koordinatenachsen zum jeweiligen Zeitpunkt T, – Körperflugzeit, hmax– maximale Körperhubhöhe, s max– maximale horizontale Flugreichweite des Körpers).

1.1.39. Kinematische Projektionsgleichungen:

;

1.1.40. Kinematische Koordinatengleichungen:

;

1.1.41. Höhe des Anhebens des Körpers bis zum obersten Punkt der Flugbahn:

Zur Zeit (Abbildung 1.11).

1.1.42. Maximale Hubhöhe:

1.1.43. Körperflugzeit:

Zu einem bestimmten Zeitpunkt , (Abb. 1.11).

1.1.44. Maximale horizontale Körperflugreichweite:

1.2. Grundgleichungen der klassischen Dynamik

Dynamik(aus dem Griechischen Dynamik– Kraft) ist ein Zweig der Mechanik, der sich mit der Untersuchung der Bewegung materieller Körper unter dem Einfluss der auf sie ausgeübten Kräfte beschäftigt. Die klassische Dynamik basiert auf Newtons Gesetze . Daraus erhalten wir alle Gleichungen und Theoreme, die zur Lösung dynamischer Probleme erforderlich sind.

1.2.1. Trägheitsmeldesystem – Hierbei handelt es sich um einen Bezugsrahmen, in dem der Körper ruht oder sich gleichmäßig und geradlinig bewegt.

1.2.2. Gewalt- Dies ist das Ergebnis der Interaktion des Körpers mit der Umwelt. Eine der einfachsten Definitionen von Kraft: der Einfluss eines einzelnen Körpers (oder Feldes), der eine Beschleunigung verursacht. Derzeit werden vier Arten von Kräften bzw. Wechselwirkungen unterschieden:

· Gravitation(manifestiert sich in Form universeller Gravitationskräfte);

· elektromagnetisch(Existenz von Atomen, Molekülen und Makrokörpern);

· stark(verantwortlich für die Verbindung von Teilchen in Kernen);

· schwach(verantwortlich für den Teilchenzerfall).

1.2.3. Prinzip der Kräfteüberlagerung: Wirken mehrere Kräfte auf einen materiellen Punkt, so lässt sich die resultierende Kraft mit der Vektoradditionsregel ermitteln:

.

Die Körpermasse ist ein Maß für die Trägheit des Körpers. Jeder Körper zeigt Widerstand, wenn er versucht, ihn in Bewegung zu setzen oder das Modul oder die Richtung seiner Geschwindigkeit zu ändern. Diese Eigenschaft wird Trägheit genannt.

1.2.5. Impuls(Impuls) ist das Produkt der Masse T Körper durch seine Geschwindigkeit v:

1.2.6. Newtons erstes Gesetz: Jeder materielle Punkt (Körper) behält einen Ruhezustand oder eine gleichmäßige geradlinige Bewegung bei, bis der Einfluss anderer Körper ihn zwingt, diesen Zustand zu ändern.

1.2.7. Newtons zweites Gesetz(Grundgleichung der Dynamik eines materiellen Punktes): Die Änderungsrate des Impulses des Körpers ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft (Abb. 1.11):

Reis. 1.11	Reis. 1.12

Die gleiche Gleichung in Projektionen auf die Tangente und Normale zur Flugbahn eines Punktes:

Und .

1.2.8. Newtons drittes Gesetz: Die Kräfte, mit denen zwei Körper aufeinander einwirken, sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet (Abb. 1.12):

1.2.9. Gesetz der Impulserhaltung für ein geschlossenes System: Der Impuls eines geschlossenen Systems ändert sich im Laufe der Zeit nicht (Abb. 1.13):

,

Wo P– die Anzahl der im System enthaltenen Materialpunkte (oder Körper).

Reis. 1.13

Das Gesetz der Impulserhaltung ist keine Folge der Newtonschen Gesetze, sondern eine Grundgesetz der Natur, die keine Ausnahmen kennt und eine Folge der Homogenität des Raumes ist.

1.2.10. Die Grundgleichung für die Dynamik der translatorischen Bewegung eines Körpersystems:

wo ist die Beschleunigung des Trägheitszentrums des Systems; – Gesamtmasse des Systems aus P materielle Punkte.

1.2.11. Schwerpunkt des Systems materielle Punkte (Abb. 1.14, 1.15):

.

Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts: Der Massenschwerpunkt eines Systems bewegt sich wie ein materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Systems ist und auf den eine Kraft einwirkt, die der Vektorsumme aller Punkte entspricht Kräfte, die auf das System wirken.

1.2.12. Impuls eines Systems von Körpern:

Wo ist die Geschwindigkeit des Trägheitszentrums des Systems?

Reis. 1.14	Reis. 1.15

1.2.13. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts: wenn sich das System in einem externen stationären gleichmäßigen Kraftfeld befindet, dann Keine Aktionen innerhalb des Systems können die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems verändern:

.

1.3. Kräfte in der Mechanik

1.3.1. Verbindung zum Körpergewicht mit Schwerkraft und Bodenreaktion:

Beschleunigung des freien Falls (Abb. 1.16).

Reis. 1.16

Schwerelosigkeit ist ein Zustand, in dem das Körpergewicht Null ist. In einem Gravitationsfeld liegt Schwerelosigkeit vor, wenn sich ein Körper nur unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt. Wenn a = g, Das P = 0.

1.3.2. Zusammenhang zwischen Gewicht, Schwerkraft und Beschleunigung:

1.3.3. Gleitreibungskraft(Abb. 1.17):

wo ist der Gleitreibungskoeffizient; N– normale Druckkraft.

1.3.5. Grundbeziehungen für einen Körper auf einer schiefen Ebene(Abb. 1.19). :

· Reibungskraft: ;

· resultierende Kraft: ;

· Rollkraft: ;

· Beschleunigung:

Reis. 1.19

1.3.6. Hookesches Gesetz für eine Feder: Federverlängerung X proportional zur elastischen Kraft oder äußeren Kraft:

Wo k– Federsteifigkeit.

1.3.7. Potenzielle Energie einer elastischen Feder:

1.3.8. Arbeit, die eine Feder verrichtet:

1.3.9. Stromspannung– ein Maß für die inneren Kräfte, die in einem verformbaren Körper unter dem Einfluss äußerer Einflüsse entstehen (Abb. 1.20):

wo ist die Querschnittsfläche des Stabes, D– sein Durchmesser, – die Anfangslänge des Stabes, – die Längenzunahme des Stabes.

Reis. 1,20	Reis. 1.21

1.3.10. Dehnungsdiagramm – Diagramm der Normalspannung σ = F/S aus relativer Dehnung ε = Δ l/l wenn der Körper gestreckt ist (Abb. 1.21).

1.3.11. Elastizitätsmodul– Größe, die die elastischen Eigenschaften des Stabmaterials charakterisiert:

1.3.12. Inkrement der Stablänge proportional zur Spannung:

1.3.13. Relative Längsspannung (Kompression):

1.3.14. Relative Querspannung (Druck):

wobei die anfängliche Querabmessung des Stabes ist.

1.3.15. Poissonzahl– das Verhältnis der relativen Querspannung des Stabes zur relativen Längsspannung:

1.3.16. Hookesches Gesetz für einen Stab: Die relative Längenzunahme des Stabes ist direkt proportional zur Spannung und umgekehrt proportional zum Elastizitätsmodul:

1.3.17. Volumetrische potentielle Energiedichte:

1.3.18. Relative Verschiebung ( Abb. 1.22, 1.23 ):

Wo ist die absolute Verschiebung?

Reis. 1.22	Abb.1.23

1.3.19. SchubmodulG- ein Wert, der von den Eigenschaften des Materials abhängt und gleich der Tangentialspannung ist, bei der (wenn so große elastische Kräfte möglich wären).

1.3.20. Tangentiale elastische Spannung:

1.3.21. Hookesches Gesetz für Scherung:

1.3.22. Spezifische potentielle Energie Körper in Scherung:

1.4. Nicht-inertiale Bezugssysteme

Nicht-inertialer Referenzrahmen– ein beliebiges Bezugssystem, das nicht träge ist. Beispiele für nichtinertiale Systeme: ein geradlinig bewegtes System mit konstanter Beschleunigung sowie ein rotierendes System.

Trägheitskräfte werden nicht durch die Wechselwirkung von Körpern verursacht, sondern durch die Eigenschaften der nichtinertialen Bezugssysteme selbst. Newtons Gesetze gelten nicht für Trägheitskräfte. Trägheitskräfte sind in Bezug auf den Übergang von einem Bezugssystem zum anderen nichtinvariant.

In einem nichtinertialen System können Sie auch die Newtonschen Gesetze anwenden, wenn Sie Trägheitskräfte einführen. Sie sind fiktiv. Sie wurden speziell eingeführt, um die Vorteile der Newtonschen Gleichungen zu nutzen.

1.4.1. Newtons Gleichung für einen nicht-inertialen Referenzrahmen

Wo ist die Beschleunigung des Massenkörpers? T relativ zu einem nicht-inertialen System; – Trägheitskraft ist aufgrund der Eigenschaften des Bezugssystems eine fiktive Kraft.

1.4.2. Zentripetalkraft– Trägheitskraft zweiter Art, die auf einen rotierenden Körper ausgeübt und radial zum Rotationszentrum gerichtet ist (Abb. 1.24):

,

Wo ist die Zentripetalbeschleunigung?

1.4.3. Zentrifugalkraft– Trägheitskraft erster Art, die auf die Verbindung wirkt und radial vom Drehzentrum aus gerichtet ist (Abb. 1.24, 1.25):

,

Wo ist die Zentrifugalbeschleunigung?

Reis. 1.24	Reis. 1,25

1.4.4. Abhängigkeit der Erdbeschleunigung G abhängig vom Breitengrad des Gebiets ist in Abb. dargestellt. 1,25.

Die Schwerkraft ist das Ergebnis der Addition zweier Kräfte: und ; auf diese Weise, G(und deshalb mg) hängt vom Breitengrad des Gebiets ab:

,

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ist.

1.4.5. Corioliskraft– eine der Trägheitskräfte, die in einem nicht trägen Bezugssystem aufgrund der Rotation und der Trägheitsgesetze vorhanden sind und sich bei einer Bewegung in einer Richtung in einem Winkel zur Rotationsachse manifestieren (Abb. 1.26, 1.27).

wo ist die Winkelgeschwindigkeit der Rotation.

Reis. 1.26	Reis. 1.27

1.4.6. Newtons Gleichung Für nicht-inertiale Bezugssysteme ergibt sich unter Berücksichtigung aller Kräfte die Form

wo ist die Trägheitskraft aufgrund der translatorischen Bewegung des nicht trägen Referenzrahmens; Und – zwei Trägheitskräfte, die durch die Rotationsbewegung des Bezugssystems verursacht werden; – Beschleunigung des Körpers relativ zu einem nicht trägen Bezugssystem.

1.5. Energie. Arbeit. Leistung.
Naturschutzgesetze

1.5.1. Energie– ein universelles Maß für verschiedene Formen der Bewegung und Interaktion aller Arten von Materie.

1.5.2. Kinetische Energie– Funktion des Zustands des Systems, bestimmt nur durch die Geschwindigkeit seiner Bewegung:

Die kinetische Energie eines Körpers ist eine skalare physikalische Größe, die der Hälfte des Massenprodukts entspricht M Körper pro Quadrat seiner Geschwindigkeit.

1.5.3. Satz über die Änderung der kinetischen Energie. Die Arbeit der resultierenden Kräfte, die auf den Körper ausgeübt werden, ist gleich der Änderung der kinetischen Energie des Körpers, oder mit anderen Worten: Die Änderung der kinetischen Energie des Körpers ist gleich der Arbeit A aller auf den Körper einwirkenden Kräfte.

1.5.4. Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls:

1.5.5. Kraftarbeit– quantitatives Merkmal des Energieaustauschprozesses zwischen interagierenden Körpern. Mechanische Arbeit .

1.5.6. Konstante Kraftarbeit:

Wenn sich ein Körper geradlinig bewegt und eine konstante Kraft auf ihn einwirkt F, die mit der Bewegungsrichtung einen bestimmten Winkel α bildet (Abb. 1.28), dann wird die Arbeit dieser Kraft durch die Formel bestimmt:

,

Wo F– Kraftmodul, ∆r– Modul der Verschiebung des Kraftangriffspunktes, – Winkel zwischen Kraftrichtung und Verschiebung.

Wenn< /2, то работа силы положительна. Если >/2, dann ist die von der Kraft geleistete Arbeit negativ. Wenn = /2 (die Kraft ist senkrecht zur Verschiebung gerichtet), dann ist die von der Kraft geleistete Arbeit Null.

Reis. 1.28	Reis. 1.29

Ständige Kraftarbeit F beim Bewegen entlang der Achse X auf eine Distanz (Abb. 1.29) ist gleich der Kraftprojektion auf dieser Achse multipliziert mit der Verschiebung:

.

In Abb. Abbildung 1.27 zeigt den Fall, wenn A < 0, т.к. >/2 – stumpfer Winkel.

1.5.7. Elementare Arbeit D A Stärke F zur Elementarverschiebung d R ist eine skalare physikalische Größe, die dem Skalarprodukt aus Kraft und Verschiebung entspricht:

1.5.8. Variable Kraftarbeit zum Flugbahnabschnitt 1 – 2 (Abb. 1.30):

Reis. 1.30

1.5.9. Momentanleistung gleich der pro Zeiteinheit geleisteten Arbeit:

.

1.5.10. Durchschnittliche Kraft für eine Zeitspanne:

1.5.11. Potenzielle Energie Körper an einem bestimmten Punkt ist eine skalare physikalische Größe, gleich der Arbeit, die eine potentielle Kraft verrichtet, wenn sie einen Körper von einem Punkt zu einem anderen bewegt, angenommen als Referenz für die potentielle Nullenergie.

Die potentielle Energie wird bis zu einer beliebigen Konstante bestimmt. Dies spiegelt sich nicht in den physikalischen Gesetzen wider, da sie entweder die Differenz der potentiellen Energien an zwei Positionen des Körpers oder die Ableitung der potentiellen Energie in Bezug auf Koordinaten umfassen.

Daher wird die potentielle Energie an einer bestimmten Position als gleich Null betrachtet und die Energie des Körpers relativ zu dieser Position gemessen (Null-Referenzniveau).

1.5.12. Prinzip der minimalen potentiellen Energie. Jedes geschlossene System neigt dazu, in einen Zustand überzugehen, in dem seine potentielle Energie minimal ist.

1.5.13. Die Arbeit konservativer Kräfte gleich der Änderung der potentiellen Energie

.

1.5.14. Satz der Vektorzirkulation: Wenn die Zirkulation eines Kraftvektors Null ist, dann ist diese Kraft konservativ.

Die Arbeit konservativer Kräfte entlang einer geschlossenen Kontur L ist Null(Abb. 1.31):

Reis. 1.31

1.5.15. Potenzielle Energie der Gravitationswechselwirkung zwischen den Massen M Und M(Abb. 1.32):

1.5.16. Potenzielle Energie einer komprimierten Feder(Abb. 1.33):

Reis. 1.32	Reis. 1.33

1.5.17. Gesamte mechanische Energie des Systems gleich der Summe aus kinetischer und potentieller Energie:

E = E k + E P.

1.5.18. Potenzielle Energie des Körpers in der Höhe Hüber dem Boden

E n = mgh.

1.5.19. Zusammenhang zwischen potentieller Energie und Kraft:

Oder oder

1.5.20. Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Energie(für ein geschlossenes System): Die gesamte mechanische Energie eines konservativen Systems materieller Punkte bleibt konstant:

1.5.21. Gesetz der Impulserhaltung für ein geschlossenes Körpersystem:

1.5.22. Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Energie und des Impulses mit absolut elastischem Zentralstoß (Abb. 1.34):

Wo M 1 und M 2 – Körpermasse; und – die Geschwindigkeit der Körper vor dem Aufprall.

Reis. 1,34	Reis. 1,35

1.5.23. Geschwindigkeiten von Körpern nach einem absolut elastischen Stoß (Abb. 1.35):

.

1.5.24. Geschwindigkeit von Körpern nach einem völlig unelastischen Zentralstoß (Abb. 1.36):

1.5.25. Gesetz der Impulserhaltung wenn sich die Rakete bewegt (Abb. 1.37):

wo und sind die Masse und die Geschwindigkeit der Rakete; und die Masse und Geschwindigkeit der emittierten Gase.

Reis. 1,36	Reis. 1,37

1.5.26. Meshchersky-Gleichung für eine Rakete.

Theorie

Wird ein Körper schräg zum Horizont geworfen, so wirken im Flug die Schwerkraft und die Luftwiderstandskraft auf ihn ein. Wenn die Widerstandskraft vernachlässigt wird, bleibt nur noch die Schwerkraft übrig. Aufgrund des 2. Newtonschen Gesetzes bewegt sich der Körper daher mit einer Beschleunigung, die der Erdbeschleunigung entspricht; Beschleunigungsprojektionen auf den Koordinatenachsen sind gleich ein x = 0, Andy= -g.

Jede komplexe Bewegung eines materiellen Punktes kann als Überlagerung unabhängiger Bewegungen entlang der Koordinatenachsen dargestellt werden, wobei die Art der Bewegung in Richtung verschiedener Achsen unterschiedlich sein kann. In unserem Fall kann die Bewegung eines fliegenden Körpers als Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen dargestellt werden: gleichförmige Bewegung entlang der horizontalen Achse (X-Achse) und gleichmäßig beschleunigte Bewegung entlang der vertikalen Achse (Y-Achse) (Abb. 1) .

Die Geschwindigkeitsprojektionen des Körpers ändern sich daher mit der Zeit wie folgt:

,

wobei die Anfangsgeschwindigkeit und α der Wurfwinkel sind.

Die Körperkoordinaten ändern sich daher wie folgt:

Mit unserer Wahl des Koordinatenursprungs ergeben sich dann die Anfangskoordinaten (Abb. 1).

Der zweite Zeitwert, bei dem die Höhe Null ist, ist Null, was dem Moment des Werfens entspricht, d.h. Dieser Wert hat auch eine physikalische Bedeutung.

Die Flugreichweite erhalten wir aus der ersten Formel (1). Die Flugreichweite ist der Koordinatenwert X am Ende des Fluges, d.h. zu einem Zeitpunkt gleich t 0. Wenn wir den Wert (2) in die erste Formel (1) einsetzen, erhalten wir:

.

(3)

Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass die größte Flugreichweite bei einem Wurfwinkel von 45 Grad erreicht wird.

Die maximale Hubhöhe des geworfenen Körpers kann aus der zweiten Formel (1) ermittelt werden. Dazu müssen Sie in diese Formel einen Zeitwert einsetzen, der der halben Flugzeit (2) entspricht, denn In der Mitte der Flugbahn ist die Flughöhe maximal. Wenn wir Berechnungen durchführen, erhalten wir

Nun ist es für uns nicht schwer herauszufinden, wie sich der Körper bewegt, wenn ihm eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben wird, die nicht in einem beliebigen Winkel zum Horizont, sondern horizontal gerichtet ist. So bewegt sich beispielsweise ein Körper, wenn er von einem horizontal fliegenden Flugzeug abspringt (oder von diesem geworfen wird).

Wir glauben immer noch, dass auf einen solchen Körper nur die Schwerkraft einwirkt. Sie beschleunigt ihn wie immer nach unten.

Im vorherigen Absatz haben wir gesehen, dass ein schräg zum Horizont geworfener Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht (Punkt B in Abbildung 134). In diesem Moment ist die Geschwindigkeit des Körpers horizontal gerichtet.

Wir wissen bereits, wie sich der Körper danach bewegt. Die Flugbahn seiner Bewegung ist der rechte Ast der in Abbildung 134 gezeigten Parabel. Jeder andere Körper, der horizontal geworfen wird, hat eine ähnliche Bewegungsbahn. Abbildung 135 zeigt eine solche Flugbahn. Sie wird auch Parabel genannt, obwohl sie nur ein Teil einer Parabel ist.

Ein horizontal geworfener Körper bewegt sich entlang des Astes einer Parabel. Berechnen wir die Flugreichweite für diese Körperbewegung.

Wenn ein Körper aus großer Höhe geworfen wird, erhalten wir aus der Formel die Zeit, in der er fallen wird

Während der Körper mit Beschleunigung herabfällt, bewegt sich die vertikale Achse (Abb. 133) ständig mit Geschwindigkeit in horizontaler Richtung

Daher wird es sich im Herbst eine Strecke bewegen

Somit,

Mit dieser Formel können Sie die Flugreichweite eines horizontal in eine Höhe geworfenen Körpers mit einer Anfangsgeschwindigkeit bestimmen

Wir haben uns mehrere Beispiele für Körperbewegungen unter dem Einfluss der Schwerkraft angesehen. Aus ihnen geht klar hervor, dass sich der Körper in allen Fällen mit der Beschleunigung bewegt, die ihm durch die Schwerkraft verliehen wird. Diese Beschleunigung ist völlig unabhängig davon, ob sich der Körper noch in horizontaler Richtung bewegt oder nicht. Man kann sogar sagen, dass sich der Körper in all diesen Fällen im freien Fall befindet.

Daher fällt beispielsweise eine Kugel, die ein Schütze aus einer Waffe in horizontaler Richtung abfeuert, gleichzeitig mit einer Kugel, die der Schütze im Moment des Schusses versehentlich fallen lässt, zu Boden. Aber die abgeworfene Kugel wird dem Schützen zu Füßen fallen, und die aus dem Gewehrlauf fliegende Kugel wird mehrere hundert Meter von ihm entfernt fallen.

Die Farbeinlage zeigt ein stroboskopisches Foto von zwei Kugeln, von denen eine vertikal fällt und der zweiten gleichzeitig mit dem Beginn des Falls der ersten eine Geschwindigkeit in horizontaler Richtung verliehen wird. Das Foto zeigt, dass sich beide Kugeln zu denselben Zeitpunkten (Lichtblitzmomenten) auf gleicher Höhe befinden und natürlich gleichzeitig den Boden erreichen.

Die Bewegungsbahn von horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpern lässt sich in einem einfachen Experiment deutlich erkennen. Eine mit Wasser gefüllte Flasche wird in einer bestimmten Höhe über dem Tisch platziert und mit einem Gummischlauch an eine mit einem Wasserhahn versehene Spitze angeschlossen (Abb. 136). Die freigesetzten Strahlen zeigen direkt die Flugbahnen der Wasserpartikel. Durch die Variation des Austrittswinkels des Strahls können Sie sicherstellen, dass die größte Reichweite bei einem Winkel von 45° erreicht wird.

Bei der Betrachtung der Bewegung eines horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpers gingen wir davon aus, dass dieser ausschließlich dem Einfluss der Schwerkraft unterliegt. In Wirklichkeit ist dies nicht der Fall. Auf den Körper wirkt neben der Schwerkraft immer auch die Widerstandskraft (Reibung) der Luft ein. Und es führt zu einer Verringerung der Geschwindigkeit.

Daher ist die Flugreichweite eines horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpers immer geringer als aus den Formeln folgt:

die wir in diesem Absatz und § 55 erhalten haben; Die Auftriebshöhe eines vertikal geworfenen Körpers ist immer geringer als die nach der Formel in § 21 usw. berechnete.

Die Wirkung der Widerstandskraft führt auch dazu, dass die Flugbahn eines horizontal oder schräg zum Horizont geworfenen Körpers keine Parabel, sondern eine komplexere Kurve ist.

Übung 33

Ignorieren Sie Reibungen bei der Beantwortung der Fragen in dieser Übung.

1. Was ist gemeinsam bei der Bewegung von Körpern, die vertikal, horizontal und schräg zum Horizont geworfen werden?

3. Ist die Beschleunigung eines horizontal geworfenen Körpers an allen Punkten seiner Flugbahn gleich?

4. Wird ein Körper während seiner Bewegung horizontal im Zustand der Schwerelosigkeit geschleudert? Was ist mit einem Körper, der schräg zur Horizontalen geworfen wird?

5. Ein Körper wird aus einer Höhe von 2 m über dem Boden mit einer Geschwindigkeit von 11 m/s horizontal geworfen. Wie lange wird es dauern, bis es fällt? Wie weit bewegt sich der Körper in horizontaler Richtung?

6. Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s in horizontaler Richtung in einer Höhe von 20 m über der Erdoberfläche geschleudert. In welcher Entfernung vom Wurfpunkt wird es den Boden treffen? Aus welcher Höhe muss es mit der gleichen Geschwindigkeit geworfen werden, damit sich seine Flugreichweite verdoppelt?

7. Ein Flugzeug fliegt in horizontaler Richtung in einer Höhe von 10 km mit einer Geschwindigkeit von 720 km/h. In welcher Entfernung vom Ziel (horizontal) muss der Pilot die Bombe abfeuern, um das Ziel zu treffen?

Betrachten wir die Bewegung eines horizontal geworfenen Körpers, der sich allein unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt (wir vernachlässigen den Luftwiderstand). Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein Ball, der auf einem Tisch liegt, angestoßen wird, zur Tischkante rollt und beginnt, frei zu fallen, wobei seine Anfangsgeschwindigkeit horizontal gerichtet ist (Abb. 174).

Projizieren wir die Bewegung des Balls auf die vertikale Achse und auf die horizontale Achse. Die Bewegung der Projektion des Balls auf die Achse ist eine Bewegung ohne Beschleunigung mit Geschwindigkeit; Die Bewegung der Projektion des Balls auf die Achse ist ein freier Fall mit einer Beschleunigung, die größer als die Anfangsgeschwindigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft ist. Wir kennen die Gesetze beider Bewegungen. Die Geschwindigkeitskomponente bleibt konstant und gleich. Die Komponente wächst proportional zur Zeit: . Die resultierende Geschwindigkeit lässt sich leicht mithilfe der Parallelogrammregel ermitteln, wie in Abb. 175. Es wird nach unten geneigt sein und seine Neigung wird mit der Zeit zunehmen.

Reis. 174. Bewegung eines Balls, der von einem Tisch rollt

Reis. 175. Ein horizontal mit Geschwindigkeit geworfener Ball hat eine augenblickliche Geschwindigkeit

Lassen Sie uns die Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers ermitteln. Die Koordinaten des Körpers zum jeweiligen Zeitpunkt haben Bedeutung

Um die Trajektoriengleichung zu finden, drücken wir die Zeit von (112.1) bis aus und ersetzen diesen Ausdruck in (112.2). Als Ergebnis erhalten wir

Der Graph dieser Funktion ist in Abb. dargestellt. 176. Es stellt sich heraus, dass die Ordinaten der Flugbahnpunkte proportional zu den Quadraten der Abszisse sind. Wir wissen, dass solche Kurven Parabeln genannt werden. Der Graph der Bahn gleichmäßig beschleunigter Bewegung wurde als Parabel dargestellt (§ 22). Somit bewegt sich ein frei fallender Körper, dessen Anfangsgeschwindigkeit horizontal ist, entlang einer Parabel.

Der zurückgelegte Weg in vertikaler Richtung ist nicht von der Anfangsgeschwindigkeit abhängig. Der in horizontaler Richtung zurückgelegte Weg ist jedoch proportional zur Anfangsgeschwindigkeit. Daher ist die Parabel, entlang derer der Körper fällt, bei einer hohen horizontalen Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung länger. Wenn ein Wasserstrahl aus einem horizontalen Rohr austritt (Abb. 177), bewegen sich einzelne Wasserpartikel wie eine Kugel entlang einer Parabel. Je offener der Hahn ist, durch den Wasser in das Rohr gelangt, desto größer ist die Anfangsgeschwindigkeit des Wassers und desto weiter vom Hahn entfernt erreicht der Strahl den Boden der Küvette. Indem Sie hinter dem Strahl ein Sieb mit vorgezeichneten Parabeln platzieren, können Sie sicherstellen, dass der Wasserstrahl tatsächlich die Form einer Parabel hat.

Reis. 176. Flugbahn eines horizontal geworfenen Körpers