Die Fourier-Integraltransformation und ihre Eigenschaften. Fourier-Transformation

In der Praxis ist der Zusammenhang zwischen mehreren Signaltransformationen und den entsprechenden Änderungen seiner spektralen Dichte von Bedeutung.

1. Addition, Verstärkung und Dämpfung von Signalen (Linearitätssatz).

Lineare Operationen umfassen Addition, Subtraktion, Verstärkung und Dämpfung von Signalen, daher gilt für sie die Linearitätseigenschaft. Wenn es eine Reihe deterministischer Signale gibt u 2 (t), ... ; u0), ..., uns (t),

mit Spektraldichten 5, (co), S 2 ( co), ..., 5)(co), ..., 5^co), dann der Gesamtwert (Differenzwert) der Signale

entspricht der Summe (Differenz) ihrer spektralen Dichten

Für diesen Satz gibt es einen elementaren Beweis: Es reicht aus, die Summe der Originalsignale in die direkte Fourier-Transformation (2.29) einzusetzen.

Im Allgemeinen lautet der Linearitätssatz wie folgt:

Wo ein i- beliebige numerische Koeffizienten; ich = 0, 1,..., N.

2. Zeitverschiebung des Signals (Verzögerungssatz). Lassen Sie das Signal u x (t) mit spektraler Dichte 5, (co) um einige Zeit verzögert tc. In diesem Fall u 2 (t) = u x (t - t c)> und die spektrale Dichte des verzögerten Signals gemäß der direkten Fourier-Transformation (2.29) hat die Form

Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen t = t - t c , wir bekommen

Also die zeitliche Verschiebung des Originalsignals um ein bestimmtes Intervall t c führt dazu, dass das Spektrum des verzögerten Signals gleich der Spektraldichte 5j(co) multipliziert mit der komplexen Exponentialfunktion ist. Das Amplitudenspektrum des Signals ändert sich nicht (schließlich der Modul einer solchen komplexen Exponentialfunktion). ist gleich Eins). In diesem Fall erhält das Phasenspektrum einen zusätzlichen Term -co? c, linear abhängig von der Frequenz. In der Praxis kommt es bei der Audio- und Videoaufnahme zu einer zeitlichen Verschiebung des Originalsignals. Das Verzögerungstheorem zeigt, dass sich das Spektrum (und die Form) des Signals nicht ändern, egal wie lange eine solche Aufzeichnung gespeichert wird.

3. Verschiebung des Signalspektrums (Verschiebungssatz). Wenn S ((co) - Signalspektraldichte u((t), dann die spektrale Dichte S 2 (co + Q), erhalten durch Verschiebung des ursprünglichen Spektrums entlang der Frequenzachse um den Wert Q, entspricht dem Signal u 2 (t) = jQt . Tatsächlich gilt nach Formel (2.29)

Diese Transformation des Spektrums eines gepulsten Signals wird in Kommunikationssystemen entweder bei der Übertragung des Signalspektrums von einem Frequenzband in ein anderes oder bei der Modulation verwendet. Formel (2.34) zeigt, dass als Ergebnis solcher Transformationen das Signalspektrum um einen Betrag Q verschoben wird, der der Verschiebungsfrequenz entspricht.

4. Ändern der Zeitskala. Lassen Sie das Originalsignal ein u x (t) Die Zeitskala wird so geändert, dass das Argument T mit einem konstanten Faktor multipliziert B Und u 2 (t) = u x (bt). Wenn B> 1, dann erfolgt eine „Komprimierung“ des Originalsignals; wenn 0 b 1, dann wird das ursprüngliche Signal zeitlich „gedehnt“. Lass es uns beweisen.

Spektrale Dichte eines zeitlich veränderlichen Signals

Durch Einführung einer neuen Variablen t = Y, wir bekommen Wo

Erhöhen der Dauer eines Impulssignals beliebiger Form in B Zeit geht mit einer Komprimierung der Breite seines Spektrums um den gleichen Betrag einher, und umgekehrt führt eine Verringerung der Dauer des Signals zu einer Erweiterung seines Spektrums.

5. Spektrum des Produkts von Signalen (Theorem über die Faltung von Spektren). Bevor wir dieses Spektrum definieren, führen wir das Konzept der Faltung zweier Funktionen ein, das für die Signaltheorie wichtig ist. Betrachten Sie das Skalarprodukt zweier Funktionen /(?) und h(t):

Dieser Zusammenhang ist in der Kommunikationstheorie von grundlegender Bedeutung. Integral (2.35) heißt in der Mathematik und Schaltungstheorie Faltung(Englisch, Faltung) zwei Funktionen oder Signale (wobei * das Vorzeichen der Funktionsfaltungsoperation ist).

Lassen Sie die Signale /(f) und h(t) haben die Spektraldichten /(co) bzw. #(co). Dann ihr Produkt u(t) = f(t)h(t) wird die spektrale Dichte charakterisieren

Bei der Ableitung der Formel (2.36) wird das Signal /(f) durch seine spektrale Dichte ausgedrückt F( co) mit der Ersetzung der Variablen von bis t.

Nach Formel (2.36) ist die spektrale Dichte des Produkts zweier Signale die Faltung ihrer spektralen Dichten (multipliziert mit 1/(2n)), d. h. Faltung im Frequenzbereich durchgeführt. Dieser Zusammenhang ist in der Kommunikationstheorie äußerst wichtig. Es verbindet spektrale und zeitliche Ansätze zur Analyse gepulster Signale und dient der Untersuchung des Durchgangs solcher Signale durch lineare und linear-parametrische Schaltkreise.

Es ist leicht zu überprüfen, ob die Faltungsoperation kommutativ ist, d. h. ermöglicht das Ändern der Reihenfolge der transformierten Funktionen:

Satz von Rayleigh und Parsevals Gleichheit. Wenn wir den Wert der Frequenz с = 0 in Formel (2.36) nehmen, kommen wir zum Schluss des bekannten Satzes der Mathematik (verallgemeinerte Formel) Rayleigh für Signale

Dabei berücksichtigen wir die Beziehung (2.32), nach der //(-co) = N*( co). Eine leicht zu merkende Interpretation der Formel (2.37) lautet wie folgt: Das Skalarprodukt zweier kontinuierlicher Signale ist bis zu einem Faktor von 1/(2π) proportional zum Skalarprodukt ihrer Spektraldichten. Die Rayleigh-Formel gehört zur Klasse der verallgemeinerten Funktionen und nimmt hinsichtlich der spektralen Eigenschaften einer Reihe nicht integrierbarer Signale eine wichtige Stellung ein.

Bei f(t) = h(t) = u(t) Aus dem Satz von Rayleigh folgt es Parsevals Gleichheit

6. Multiplikation des Signals mit einer harmonischen Funktion. Lassen Sie uns das ursprüngliche kontinuierliche Signal multiplizieren u(t)> spektrale Dichte S( co), das bekannt ist, in eine harmonische Funktion der Einheitsamplitude (der Einfachheit halber nehmen wir die Anfangsphase des harmonischen Signals gleich Null): f(t) = u(t)cos($ 0 L

Schauen wir uns an, was mit dem Spektrum während dieser Transformation passiert ist:

Das Spektrum des Originalsignals wird also, wenn es mit einer harmonischen Funktion multipliziert wird, „gegabelt“ – aufgeteilt in zwei Terme mit dem halben Pegel des Originals (1/2 vor jedem der Terme), verschoben um die Signalfrequenz ±co 0 jeweils nach links (co - co 0) bzw. nach rechts (co + co 0) entlang der Frequenzachse. Es lässt sich leicht zeigen, dass der Nerventerm in Formel (2.39) einen Multiplikator hat, wenn das harmonische Signal eine Anfangsphase ср 0 hat e j% , und mit dem zweiten - e

• John Rayleigh (J. Rayleigh, 1842-1919) – britischer Physiker und Mechaniker.
• Marc-Antoine Parseval dcs Chenes, 1755-1836 – französischer Mathematiker.

Die Fourier-Transformation ist eine Transformation, die Funktionen einer bestimmten reellen Variablen zuordnet. Dieser Vorgang wird jedes Mal durchgeführt, wenn wir unterschiedliche Geräusche wahrnehmen. Das Ohr führt eine automatische „Berechnung“ durch, zu der unser Bewusstsein erst nach dem Studium des entsprechenden Abschnitts der höheren Mathematik in der Lage ist. Das menschliche Hörorgan baut eine Transformation auf, wodurch Schall (die oszillierende Bewegung konditionierter Teilchen in einem elastischen Medium, die sich in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium wellenförmig ausbreiten) in Form eines Spektrums sequentieller Lautstärke dargestellt wird Stufen von Tönen unterschiedlicher Höhe. Anschließend wandelt das Gehirn diese Informationen in einen vertrauten Klang um.

Mathematische Fourier-Transformation

Auch die Transformation von Schallwellen oder anderen oszillierenden Prozessen (von Lichtstrahlung und Meeresgezeiten bis hin zu Zyklen stellarer oder solarer Aktivität) kann mit mathematischen Methoden durchgeführt werden. Somit ist es mit diesen Techniken möglich, Funktionen zu erweitern, indem oszillierende Prozesse als eine Reihe sinusförmiger Komponenten dargestellt werden, d. h. als Wellenkurven, die sich wie eine Meereswelle vom Minimum zum Maximum und dann zurück zum Minimum bewegen. Die Fourier-Transformation ist eine Transformation, deren Funktion die Phase oder Amplitude jeder Sinuskurve beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entspricht. Die Phase stellt den Startpunkt der Kurve dar und die Amplitude stellt ihre Höhe dar.

Die Fourier-Transformation (Beispiele sind auf dem Foto dargestellt) ist ein sehr leistungsfähiges Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft eingesetzt wird. In einigen Fällen wird es als Mittel zur Lösung recht komplexer Gleichungen verwendet, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von Licht, thermischer oder elektrischer Energie entstehen. In anderen Fällen können Sie damit regelmäßige Komponenten in komplexen Schwingungssignalen bestimmen und so verschiedene experimentelle Beobachtungen in Chemie, Medizin und Astronomie richtig interpretieren.

Historische Referenz

Der erste, der diese Methode anwendete, war der französische Mathematiker Jean Baptiste Fourier. Die später nach ihm benannte Transformation diente ursprünglich zur Beschreibung des Mechanismus der Wärmeleitfähigkeit. Fourier verbrachte sein gesamtes Erwachsenenleben damit, die Eigenschaften von Wärme zu studieren. Er leistete enorme Beiträge zur mathematischen Theorie der Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Fourier war Professor für Analyse an der Polytechnischen Schule, Sekretär des Instituts für Ägyptologie und stand in kaiserlichen Diensten, in denen er sich beim Bau der Straße nach Turin (unter seiner Leitung wurden mehr als 80.000 Quadratkilometer) hervorgetan hat Malariasümpfe wurden trockengelegt). All diese intensive Aktivität hinderte den Wissenschaftler jedoch nicht daran, sich mit mathematischen Analysen zu beschäftigen. Im Jahr 1802 leitete er eine Gleichung ab, die die Wärmeausbreitung in Festkörpern beschreibt. Im Jahr 1807 entdeckte der Wissenschaftler eine Methode zur Lösung dieser Gleichung, die „Fourier-Transformation“ genannt wurde.

Analyse der Wärmeleitfähigkeit

Der Wissenschaftler nutzte eine mathematische Methode, um den Mechanismus der Wärmeleitfähigkeit zu beschreiben. Ein praktisches Beispiel, bei dem es keine Berechnungsschwierigkeiten gibt, ist die Ausbreitung von Wärmeenergie entlang eines Eisenrings, von dem ein Teil in ein Feuer eingetaucht ist. Um Experimente durchzuführen, erhitzte Fourier einen Teil dieses Rings glühend heiß und vergrub ihn in feinem Sand. Anschließend nahm er Temperaturmessungen auf der gegenüberliegenden Seite vor. Anfangs ist die Wärmeverteilung unregelmäßig: Ein Teil des Rings ist kalt, der andere heiß; zwischen diesen Zonen ist ein starker Temperaturgradient zu beobachten. Da sich die Wärme jedoch über die gesamte Oberfläche des Metalls ausbreitet, wird sie gleichmäßiger. Bald nimmt dieser Prozess die Form einer Sinuskurve an. Der Graph nimmt zunächst gleichmäßig zu und ebenso gleichmäßig ab, genau nach den Gesetzen der Änderung der Kosinus- oder Sinusfunktion. Die Welle flacht allmählich ab und die Temperatur wird auf der gesamten Oberfläche des Rings gleich.

Der Autor dieser Methode schlug vor, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung vollständig in eine Reihe elementarer Sinuskurven zerlegt werden kann. Jeder von ihnen hat seine eigene Phase (Ausgangsposition) und sein eigenes Temperaturmaximum. Darüber hinaus ändert sich jede dieser Komponenten in einer vollständigen Umdrehung um den Ring ganzzahlig oft vom Minimum zum Maximum und zurück. Die Komponente mit einer Periode wurde als Grundharmonische bezeichnet, der Wert mit zwei oder mehr Perioden als zweite und so weiter. Daher wird die mathematische Funktion, die das Temperaturmaximum, die Phase oder die Position beschreibt, als Fourier-Transformation der Verteilungsfunktion bezeichnet. Der Wissenschaftler reduzierte eine einzelne Komponente, die mathematisch schwer zu beschreiben ist, auf ein einfach zu verwendendes Werkzeug – die Kosinus- und Sinusreihen, die zusammen die ursprüngliche Verteilung ergeben.

Die Essenz der Analyse

Der Mathematiker wandte diese Analyse auf die Umwandlung der Wärmeausbreitung durch ein festes Objekt mit Ringform an und kam zu dem Schluss, dass eine Erhöhung der Perioden der Sinuskomponente zu deren schneller Abschwächung führen würde. Dies ist deutlich an der Grundschwingung und der zweiten Harmonischen zu erkennen. Bei letzterem erreicht die Temperatur in einem Durchgang zweimal den Maximal- und Minimalwert und im ersten Durchgang nur einmal. Es stellt sich heraus, dass die von der Wärme zurückgelegte Strecke in der zweiten Harmonischen halb so groß ist wie in der Grundschwingung. Darüber hinaus wird die Steigung im zweiten auch doppelt so steil sein wie im ersten. Da der intensivere Wärmestrom eine doppelt so kurze Distanz zurücklegt, wird diese Harmonische als Funktion der Zeit viermal schneller abklingen als die Grundschwingung. In den folgenden Fällen wird dieser Prozess noch schneller ablaufen. Der Mathematiker glaubte, dass man mit dieser Methode den Verlauf der anfänglichen Temperaturverteilung über die Zeit berechnen kann.

Herausforderung an die Zeitgenossen

Der Fourier-Transformationsalgorithmus stellte die theoretischen Grundlagen der damaligen Mathematik in Frage. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts akzeptierten die meisten prominenten Wissenschaftler, darunter Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre und Biot, seine Aussage, dass die anfängliche Temperaturverteilung in Komponenten in Form einer Grundharmonischen und höherer Frequenzen zerlegt sei, nicht. Die Akademie der Wissenschaften konnte die Ergebnisse des Mathematikers jedoch nicht ignorieren und verlieh ihm einen Preis für die Theorie der Gesetze der Wärmeleitung sowie deren Vergleich mit physikalischen Experimenten. Beim Fourier-Ansatz wurde der Haupteinwand durch die Tatsache verursacht, dass die diskontinuierliche Funktion durch die Summe mehrerer kontinuierlicher Sinusfunktionen dargestellt wird. Schließlich beschreiben sie das Brechen von geraden und geschwungenen Linien. Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers hatten noch nie eine ähnliche Situation erlebt, als diskontinuierliche Funktionen durch eine Kombination kontinuierlicher Funktionen beschrieben wurden, beispielsweise quadratisch, linear, sinusförmig oder exponentiell. Wenn der Mathematiker mit seinen Aussagen Recht hatte, müsste die Summe einer unendlichen Reihe einer trigonometrischen Funktion auf eine exakte Stufenfunktion reduziert werden. Eine solche Aussage schien damals absurd. Trotz ihrer Zweifel erweiterten einige Forscher (z. B. Claude Navier, Sophie Germain) den Umfang ihrer Forschung und gingen über die Analyse der thermischen Energieverteilung hinaus. Unterdessen quälte die Mathematiker weiterhin die Frage, ob sich die Summe mehrerer Sinusfunktionen auf eine exakte Darstellung einer diskontinuierlichen Funktion reduzieren lässt.

200 Jahre Geschichte

Diese Theorie wurde über zwei Jahrhunderte entwickelt und heute wurde sie endlich formuliert. Mit seiner Hilfe werden räumliche oder zeitliche Funktionen in Sinuskomponenten zerlegt, die ihre eigene Frequenz, Phase und Amplitude haben. Diese Transformation wird durch zwei verschiedene mathematische Methoden erhalten. Die erste davon wird verwendet, wenn die ursprüngliche Funktion stetig ist, und die zweite, wenn sie durch viele diskrete Einzeländerungen dargestellt wird. Wenn der Ausdruck aus Werten erhalten wird, die durch diskrete Intervalle definiert sind, kann er in mehrere Sinusausdrücke mit diskreten Frequenzen unterteilt werden – vom niedrigsten und dann zweimal, dreimal usw. über dem Hauptausdruck. Diese Summe wird üblicherweise als Fourier-Reihe bezeichnet. Wenn dem Anfangsausdruck für jede reelle Zahl ein Wert gegeben wird, kann er in mehrere Sinuskurven aller möglichen Frequenzen zerlegt werden. Es wird üblicherweise als Fourier-Integral bezeichnet und die Lösung impliziert integrale Transformationen der Funktion. Unabhängig davon, wie die Umrechnung erfolgt, müssen für jede Frequenz zwei Zahlen angegeben werden: Amplitude und Frequenz. Diese Werte werden als eine einzige Theorie der Ausdrücke komplexer Variablen zusammen mit der Fourier-Transformation ausgedrückt und ermöglichten die Durchführung von Berechnungen beim Entwurf verschiedener elektrischer Schaltkreise, der Analyse mechanischer Schwingungen, der Untersuchung des Mechanismus der Wellenausbreitung und mehr.

Fourier-Transformation heute

Heutzutage geht es bei der Untersuchung dieses Prozesses hauptsächlich darum, wirksame Methoden für den Übergang von einer Funktion zu ihrer transformierten Form und zurück zu finden. Diese Lösung wird als direkte und inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Was bedeutet das? Um eine direkte Fourier-Transformation durchzuführen, können Sie mathematische oder analytische Methoden verwenden. Obwohl bei der praktischen Anwendung gewisse Schwierigkeiten auftreten, wurden die meisten Integrale bereits gefunden und in mathematische Nachschlagewerke aufgenommen. Mit numerischen Methoden können Sie Ausdrücke berechnen, deren Form auf experimentellen Daten basiert, oder Funktionen, deren Integrale in Tabellen fehlen und sich nur schwer in analytischer Form darstellen lassen.

Vor dem Aufkommen der Computertechnologie waren Berechnungen solcher Transformationen sehr mühsam; sie erforderten die manuelle Ausführung einer großen Anzahl arithmetischer Operationen, die von der Anzahl der Punkte abhingen, die die Wellenfunktion beschreiben. Um Berechnungen zu erleichtern, gibt es heute spezielle Programme, die die Implementierung neuer Berechnungen ermöglichen. So entwickelten James Cooley und John Tukey 1965 eine Software, die als „schnelle Fourier-Transformation“ bekannt wurde. Dadurch können Sie Berechnungszeit sparen, indem Sie die Anzahl der Multiplikationen bei der Analyse einer Kurve reduzieren. Die Methode der schnellen Fourier-Transformation basiert auf der Aufteilung einer Kurve in eine große Anzahl gleichmäßiger Abtastwerte. Dementsprechend halbiert sich die Anzahl der Multiplikationen bei gleicher Reduzierung der Punktezahl.

Anwenden der Fourier-Transformation

Dieses Verfahren wird in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft eingesetzt: Physik, Signalverarbeitung, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kryptographie, Statistik, Ozeanologie, Optik, Akustik, Geometrie und andere. Die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten basieren auf einer Reihe nützlicher Merkmale, die als „Eigenschaften der Fourier-Transformation“ bezeichnet werden. Schauen wir sie uns an.

1. Die Funktionstransformation ist ein linearer Operator und bei entsprechender Normalisierung einheitlich. Diese Eigenschaft ist als Satz von Parseval oder im allgemeinen Fall als Satz von Plancherel oder als Dualismus von Pontryagin bekannt.

2. Die Transformation ist reversibel. Darüber hinaus hat das Umkehrergebnis fast die gleiche Form wie bei der direkten Lösung.

3. Sinusförmige Grundausdrücke sind eigene differenzierte Funktionen. Dies bedeutet, dass eine solche Darstellung mit einem konstanten Faktor in gewöhnliche algebraische Darstellungen übergeht.

4. Nach dem Faltungssatz verwandelt dieser Prozess eine komplexe Operation in eine elementare Multiplikation.

5. Die diskrete Fourier-Transformation kann mit der „schnellen“ Methode schnell am Computer berechnet werden.

Varianten der Fourier-Transformation

1. Am häufigsten wird dieser Begriff verwendet, um eine kontinuierliche Transformation zu bezeichnen, die jeden quadratintegrierbaren Ausdruck als Summe komplexer Exponentialausdrücke mit bestimmten Winkelfrequenzen und Amplituden liefert. Dieser Typ hat verschiedene Formen, die sich in konstanten Koeffizienten unterscheiden können. Die kontinuierliche Methode beinhaltet eine Umrechnungstabelle, die in mathematischen Nachschlagewerken zu finden ist. Ein verallgemeinerter Fall ist eine gebrochene Transformation, durch die ein gegebener Prozess auf die erforderliche Wirkpotenz gesteigert werden kann.

2. Die kontinuierliche Methode ist eine Verallgemeinerung der früheren Technik der Fourier-Reihen, die für verschiedene periodische Funktionen oder Ausdrücke definiert wird, die in einem begrenzten Bereich existieren, und sie als Reihen von Sinuskurven darstellt.

3. Diskrete Fourier-Transformation. Diese Methode wird in der Computertechnik für wissenschaftliche Berechnungen und digitale Signalverarbeitung eingesetzt. Um diese Art von Berechnung durchzuführen, sind Funktionen erforderlich, die anstelle kontinuierlicher Fourier-Integrale einzelne Punkte, periodische oder begrenzte Bereiche auf einer diskreten Menge definieren. Die Signaltransformation wird in diesem Fall als Summe von Sinuskurven dargestellt. Gleichzeitig ermöglicht der Einsatz der „schnellen“ Methode den Einsatz diskreter Lösungen für beliebige praktische Probleme.

4. Die gefensterte Fourier-Transformation ist eine verallgemeinerte Form der klassischen Methode. Im Gegensatz zur Standardlösung, bei der der gesamte Existenzbereich einer gegebenen Variablen berücksichtigt wird, ist hier nur die lokale Häufigkeitsverteilung von besonderem Interesse, sofern die ursprüngliche Variable (Zeit) erhalten bleibt.

5. Zweidimensionale Fourier-Transformation. Diese Methode wird verwendet, um mit zweidimensionalen Datenarrays zu arbeiten. In diesem Fall erfolgt die Transformation zunächst in die eine und dann in die andere Richtung.

Abschluss

Heute ist die Fourier-Methode in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft fest etabliert. Beispielsweise wurde 1962 die Form der DNA-Doppelhelix mithilfe der Fourier-Analyse in Kombination mit letzterer entdeckt, die sich auf Kristalle von DNA-Fasern konzentrierte, wodurch das durch Strahlungsbeugung erhaltene Bild auf Film aufgezeichnet wurde. Dieses Bild lieferte Informationen über den Amplitudenwert bei Verwendung der Fourier-Transformation auf eine gegebene Kristallstruktur. Phasendaten wurden durch Vergleich der Beugungskarte der DNA mit Karten erhalten, die durch die Analyse ähnlicher chemischer Strukturen erhalten wurden. Dadurch stellten Biologen die Kristallstruktur – die ursprüngliche Funktion – wieder her.

Fourier-Transformationen spielen eine große Rolle bei der Erforschung des Weltraums, der Halbleiter- und Plasmaphysik, der Mikrowellenakustik, der Ozeanographie, des Radars, der Seismologie und bei medizinischen Untersuchungen.

Ich glaube, dass sich im Allgemeinen jeder der Existenz eines so wunderbaren mathematischen Werkzeugs wie der Fourier-Transformation bewusst ist. Aus irgendeinem Grund wird es an den Universitäten jedoch so schlecht gelehrt, dass relativ wenige Menschen verstehen, wie diese Transformation funktioniert und wie sie richtig angewendet werden sollte. Mittlerweile ist die Mathematik dieser Transformation überraschend schön, einfach und elegant. Ich lade alle ein, etwas mehr über die Fourier-Transformation und das damit verbundene Thema zu erfahren, wie analoge Signale für die rechnerische Verarbeitung effektiv in digitale Signale umgewandelt werden können.

Ohne komplexe Formeln und Matlab zu verwenden, werde ich versuchen, die folgenden Fragen zu beantworten:

• FT, DTF, DTFT – was sind die Unterschiede und wie führen scheinbar völlig unterschiedliche Formeln zu solch konzeptionell ähnlichen Ergebnissen?
• So interpretieren Sie die Ergebnisse der schnellen Fourier-Transformation (FFT) richtig
• Was tun, wenn Sie ein Signal mit 179 Samples erhalten und die FFT eine Eingabesequenz mit einer Länge erfordert, die einer Zweierpotenz entspricht?
• Warum beim Versuch, das Spektrum einer Sinuskurve mithilfe von Fourier zu erhalten, anstelle des erwarteten einzelnen „Stäbchens“ ein seltsames Kringel in der Grafik erscheint und was man dagegen tun kann
• Warum werden analoge Filter vor dem ADC und nach dem DAC platziert?
• Ist es möglich, ein ADC-Signal mit einer Frequenz zu digitalisieren, die höher als die Hälfte der Abtastfrequenz ist (die Antwort der Schule ist falsch, die richtige Antwort ist möglich)?
• So stellen Sie das Originalsignal mithilfe einer digitalen Sequenz wieder her

Ich gehe davon aus, dass der Leser versteht, was ein Integral, eine komplexe Zahl (sowie ihr Modul und ihr Argument), eine Faltung von Funktionen und zumindest eine „praktische“ Vorstellung davon ist, was die Dirac-Delta-Funktion ist Ist. Wenn Sie es nicht wissen, kein Problem, lesen Sie die obigen Links. In diesem Text meine ich mit „Produkt von Funktionen“ „punktweise Multiplikation“.

Wir sollten wahrscheinlich mit der Tatsache beginnen, dass die übliche Fourier-Transformation, wie Sie anhand des Namens erraten können, eine Funktion in eine andere umwandelt, das heißt, sie verknüpft jede Funktion einer reellen Variablen x(t) mit ihrer Spektrum oder Fourierbild y (w):

Wenn wir Analogien angeben, kann ein Beispiel für eine Transformation mit ähnlicher Bedeutung beispielsweise die Differenzierung sein, bei der eine Funktion in ihre Ableitung umgewandelt wird. Das heißt, die Fourier-Transformation ist im Wesentlichen die gleiche Operation wie die Ableitung und wird oft auf ähnliche Weise gekennzeichnet, indem eine dreieckige „Kappe“ über die Funktion gezogen wird. Nur im Gegensatz zur Differentiation, die auch für reelle Zahlen definiert werden kann, „funktioniert“ die Fourier-Transformation immer mit allgemeineren komplexen Zahlen. Aus diesem Grund treten bei der Darstellung der Ergebnisse dieser Transformation ständig Probleme auf, da komplexe Zahlen nicht durch eine, sondern durch zwei Koordinaten in einem mit reellen Zahlen arbeitenden Graphen bestimmt werden. Der bequemste Weg besteht in der Regel darin, komplexe Zahlen in Form eines Moduls und eines Arguments darzustellen und sie getrennt als zwei separate Diagramme zu zeichnen:

Der Graph des Arguments des komplexen Wertes wird in diesem Fall oft als „Phasenspektrum“ bezeichnet, und der Graph des Moduls wird oft als „Amplitudenspektrum“ bezeichnet. Das Amplitudenspektrum ist normalerweise von viel größerem Interesse und daher wird der „Phasen“-Teil des Spektrums häufig übersprungen. In diesem Artikel werden wir uns auch auf „Amplituden“-Themen konzentrieren, aber wir sollten die Existenz des fehlenden Phasenteils des Diagramms nicht vergessen. Darüber hinaus wird anstelle des üblichen Moduls eines komplexen Werts häufig dessen dezimaler Logarithmus multipliziert mit 10 gezeichnet. Das Ergebnis ist ein logarithmischer Graph, dessen Werte in Dezibel (dB) angezeigt werden.

Bitte beachten Sie, dass nicht sehr negative Zahlen im logarithmischen Diagramm (-20 dB oder weniger) fast Nullzahlen im „normalen“ Diagramm entsprechen. Daher verschwinden die langen und breiten „Schwänze“ verschiedener Spektren in solchen Diagrammen in der Regel praktisch, wenn sie in „normalen“ Koordinaten angezeigt werden. Der Komfort einer solch auf den ersten Blick seltsamen Darstellung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Fourier-Bilder verschiedener Funktionen oft untereinander multipliziert werden müssen. Bei einer solchen punktweisen Multiplikation komplexwertiger Fourier-Bilder werden deren Phasenspektren addiert und ihre Amplitudenspektren multipliziert. Ersteres ist einfach zu bewerkstelligen, während zweites relativ schwierig ist. Allerdings addieren sich bei der Multiplikation der Amplituden die Logarithmen der Amplitude, sodass logarithmische Amplitudengraphen ebenso wie Phasengraphen einfach punktweise addiert werden können. Darüber hinaus ist es bei praktischen Problemen oft bequemer, nicht mit der „Amplitude“ des Signals, sondern mit seiner „Leistung“ (dem Quadrat der Amplitude) zu arbeiten. Auf einer logarithmischen Skala sehen beide Diagramme (Amplitude und Leistung) identisch aus und unterscheiden sich nur im Koeffizienten – alle Werte auf dem Leistungsdiagramm sind genau doppelt so groß wie auf der Amplitudenskala. Um die Leistungsverteilung nach Frequenz (in Dezibel) darzustellen, können Sie dementsprechend nichts quadrieren, sondern den dezimalen Logarithmus berechnen und ihn mit 20 multiplizieren.

Bist du gelangweilt? Warten Sie einfach noch ein wenig, wir werden mit dem langweiligen Teil des Artikels, der erklärt, wie man Grafiken interpretiert, bald fertig sein :). Aber vorher gilt es noch etwas äußerst Wichtiges zu verstehen: Obwohl alle oben genannten Spektrumsdiagramme für einige begrenzte Wertebereiche (insbesondere positive Zahlen) gezeichnet wurden, verlaufen alle diese Diagramme tatsächlich weiterhin plus und minus unendlich. Die Diagramme stellen lediglich einen „bedeutungsvollsten“ Teil des Diagramms dar, der normalerweise für negative Werte des Parameters gespiegelt wird und sich bei Betrachtung in einem größeren Maßstab oft periodisch mit einem bestimmten Schritt wiederholt.

Nachdem wir entschieden haben, was in den Diagrammen dargestellt wird, kehren wir zur Fourier-Transformation selbst und ihren Eigenschaften zurück. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Transformation zu definieren, die sich in kleinen Details (unterschiedliche Normalisierungen) unterscheiden. An unseren Universitäten wird beispielsweise aus irgendeinem Grund häufig die Normalisierung der Fourier-Transformation verwendet, die das Spektrum anhand der Kreisfrequenz (Bogenmaß pro Sekunde) definiert. Ich werde eine bequemere westliche Formulierung verwenden, die das Spektrum anhand der gewöhnlichen Frequenz (Hertz) definiert. Die direkte und die inverse Fourier-Transformation werden in diesem Fall durch die Formeln auf der linken Seite bestimmt, und einige Eigenschaften dieser Transformation, die wir benötigen, werden durch eine Liste von sieben Punkten auf der rechten Seite bestimmt:

Die erste dieser Eigenschaften ist die Linearität. Wenn wir eine lineare Kombination von Funktionen nehmen, ist die Fourier-Transformation dieser Kombination dieselbe lineare Kombination der Fourier-Bilder dieser Funktionen. Diese Eigenschaft ermöglicht die Reduzierung komplexer Funktionen und ihrer Fourier-Bilder auf einfachere. Beispielsweise ist die Fourier-Transformation einer Sinusfunktion mit der Frequenz f und der Amplitude a eine Kombination zweier Deltafunktionen an den Punkten f und -f und mit dem Koeffizienten a/2:

Wenn wir eine Funktion nehmen, die aus der Summe einer Menge von Sinuskurven mit unterschiedlichen Frequenzen besteht, dann besteht die Fourier-Transformation dieser Funktion gemäß der Eigenschaft der Linearität aus einer entsprechenden Menge von Deltafunktionen. Dies ermöglicht uns eine naive, aber visuelle Interpretation des Spektrums nach dem Prinzip „Wenn im Spektrum einer Funktion die Frequenz f der Amplitude a entspricht, dann kann die ursprüngliche Funktion als Summe von Sinuskurven dargestellt werden, von denen eine sein wird.“ eine Sinuskurve mit der Frequenz f und der Amplitude 2a.“ Streng genommen ist diese Interpretation falsch, da die Delta-Funktion und der Punkt im Diagramm völlig unterschiedliche Dinge sind, aber wie wir später sehen werden, wird sie bei diskreten Fourier-Transformationen nicht so weit von der Wahrheit entfernt sein.

Die zweite Eigenschaft der Fourier-Transformation ist die Unabhängigkeit des Amplitudenspektrums von der Zeitverschiebung des Signals. Wenn wir eine Funktion entlang der x-Achse nach links oder rechts verschieben, ändert sich nur ihr Phasenspektrum.

Die dritte Eigenschaft besteht darin, dass durch das Strecken (Komprimieren) der ursprünglichen Funktion entlang der Zeitachse (x) ihr Fourier-Bild entlang der Frequenzskala (w) proportional komprimiert (gedehnt) wird. Insbesondere ist das Spektrum eines Signals endlicher Dauer immer unendlich breit und umgekehrt entspricht das Spektrum endlicher Breite immer einem Signal unbegrenzter Dauer.

Die vierte und fünfte Eigenschaft sind vielleicht die nützlichsten von allen. Sie ermöglichen es, die Faltung von Funktionen auf eine punktweise Multiplikation ihrer Fourier-Bilder zu reduzieren und umgekehrt – die punktweise Multiplikation von Funktionen auf die Faltung ihrer Fourier-Bilder. Etwas weiter unten werde ich zeigen, wie praktisch das ist.

Die sechste Eigenschaft spricht von der Symmetrie von Fourier-Bildern. Aus dieser Eigenschaft folgt insbesondere, dass in der Fourier-Transformation einer reellwertigen Funktion (d. h. jedes „realen“ Signals) das Amplitudenspektrum immer eine gerade Funktion ist und das Phasenspektrum (wenn es in den Bereich -pi gebracht wird ...pi) ist seltsam. Aus diesem Grund wird der negative Teil des Spektrums fast nie in Spektrendiagrammen eingezeichnet – für reellwertige Signale liefert er keine neuen Informationen (aber ich wiederhole, er ist auch nicht Null).

Die letzte, siebte Eigenschaft schließlich besagt, dass die Fourier-Transformation die „Energie“ des Signals bewahrt. Es ist nur für Signale endlicher Dauer von Bedeutung, deren Energie endlich ist, und legt nahe, dass das Spektrum solcher Signale im Unendlichen schnell gegen Null geht. Genau aufgrund dieser Eigenschaft zeigen Spektrumdiagramme normalerweise nur den „Hauptteil“ des Signals, der den Löwenanteil der Energie trägt – der Rest des Diagramms tendiert einfach gegen Null (ist aber wiederum nicht Null).

Mit diesen 7 Eigenschaften ausgestattet, werfen wir einen Blick auf die Mathematik der Signaldigitalisierung, die es Ihnen ermöglicht, ein kontinuierliches Signal in eine Zahlenfolge umzuwandeln. Dazu müssen wir eine Funktion verwenden, die als „Dirac-Kamm“ bekannt ist:

Ein Dirac-Kamm ist einfach eine periodische Folge von Deltafunktionen mit Eins-Koeffizienten, die bei Null beginnt und mit Schritt T fortfährt. Für die Digitalisierung von Signalen wird T als möglichst kleine Zahl, T, gewählt<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Anstelle einer kontinuierlichen Funktion erhält man nach einer solchen Multiplikation eine Folge von Deltaimpulsen einer bestimmten Höhe. Darüber hinaus ist das Spektrum des resultierenden diskreten Signals gemäß Eigenschaft 5 der Fourier-Transformation eine Faltung des ursprünglichen Spektrums mit dem entsprechenden Dirac-Kamm. Es ist leicht zu verstehen, dass aufgrund der Faltungseigenschaften das Spektrum des Originalsignals unendlich oft entlang der Frequenzachse in Schritten von 1/T „kopiert“ und dann summiert wird.

Beachten Sie, dass sich die Kopien des Originalspektrums nicht überlappen und daher nicht miteinander summiert werden, wenn das Originalspektrum eine endliche Breite hätte und wir eine ausreichend hohe Abtastfrequenz verwenden. Es ist leicht zu verstehen, dass aus einem solchen „kollabierten“ Spektrum das Original leicht wiederhergestellt werden kann – es reicht aus, einfach die Spektrumskomponente im Bereich von Null zu nehmen und die zusätzlichen Kopien bis ins Unendliche „abzuschneiden“. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, das Spektrum mit einer Rechteckfunktion zu multiplizieren, die T im Bereich -1/2T...1/2T und Null außerhalb dieses Bereichs entspricht. Eine solche Fourier-Transformation entspricht der Funktion sinc(Tx) und gemäß Eigenschaft 4 entspricht eine solche Multiplikation der Faltung der ursprünglichen Folge von Deltafunktionen mit der Funktion sinc(Tx)

Das heißt, mit der Fourier-Transformation haben wir eine Möglichkeit, das ursprüngliche Signal einfach aus einem zeitabgetasteten Signal zu rekonstruieren. Dies funktioniert unter der Voraussetzung, dass wir eine Abtastfrequenz verwenden, die mindestens doppelt so hoch ist (aufgrund des Vorhandenseins negativer Frequenzen im Spektrum). höher sein als die im Originalsignal vorhandene Maximalfrequenz. Dieses Ergebnis ist weithin bekannt und wird als „Kotelnikov/Shannon-Nyquist-Theorem“ bezeichnet. Wie jedoch jetzt (nach Verständnis des Beweises) leicht zu erkennen ist, ist dieses Ergebnis entgegen der weit verbreiteten falschen Vorstellung entscheidend ausreichend, aber nicht notwendig Voraussetzung für die Wiederherstellung des ursprünglichen Signals. Wir müssen lediglich sicherstellen, dass die Teile des Spektrums, die uns interessieren, nachdem wir das Signal abgetastet haben, einander nicht überlappen, und wenn das Signal ausreichend schmalbandig ist (eine kleine „Breite“ des Nicht-Null-Teils des Spektrums aufweist), dann kann dieses Ergebnis oft bei einer Abtastfrequenz erreicht werden, die viel niedriger ist als das Doppelte der maximalen Frequenz des Signals. Diese Technik wird als „Unterabtastung“ (Unterabtastung, Bandpass-Abtastung) bezeichnet und wird häufig bei der Verarbeitung aller Arten von Funksignalen eingesetzt. Nehmen wir zum Beispiel ein UKW-Radio, das im Frequenzband von 88 bis 108 MHz arbeitet, dann können wir zum Digitalisieren einen ADC mit einer Frequenz von nur 43,5 MHz anstelle der im Satz von Kotelnikov angenommenen 216 MHz verwenden. In diesem Fall benötigen Sie jedoch einen hochwertigen ADC und einen guten Filter.

Ich möchte darauf hinweisen, dass die „Verdoppelung“ hoher Frequenzen mit Frequenzen niedrigerer Ordnung (Aliasing) eine unmittelbare Eigenschaft der Signalabtastung ist, die das Ergebnis irreversibel „verdirbt“. Wenn das Signal also grundsätzlich Frequenzen höherer Ordnung enthalten kann (also fast immer), wird vor dem ADC ein analoger Filter platziert, der alles Unnötige direkt im Originalsignal „abschneidet“ (da nach der Abtastung). dazu wird es zu spät sein). Die Eigenschaften dieser Filter sind als analoge Geräte nicht ideal, so dass es immer noch zu einer gewissen „Beschädigung“ des Signals kommt, und in der Praxis folgt daraus, dass die höchsten Frequenzen im Spektrum in der Regel unzuverlässig sind. Um dieses Problem zu reduzieren, wird das Signal oft überabgetastet, indem der analoge Eingangsfilter auf eine niedrigere Bandbreite eingestellt wird und nur der untere Teil des theoretisch verfügbaren Frequenzbereichs des ADC genutzt wird.

Ein weiteres häufiges Missverständnis besteht übrigens darin, dass das Signal am DAC-Ausgang in „Schritten“ abgerufen wird. „Schritte“ entsprechen der Faltung einer abgetasteten Signalfolge mit einer Rechteckfunktion der Breite T und der Höhe 1:

Das Signalspektrum wird bei dieser Transformation mit dem Fourier-Bild dieser Rechteckfunktion multipliziert und für eine ähnliche Rechteckfunktion wiederum sinc(w) umso mehr „gedehnt“, je kleiner die Breite des entsprechenden Rechtecks ​​ist. Das Spektrum des mit einem solchen „DAC“ abgetasteten Signals wird Punkt für Punkt mit diesem Spektrum multipliziert. In diesem Fall werden unnötig hohe Frequenzen mit „zusätzlichen Kopien“ des Spektrums nicht vollständig abgeschnitten, sondern der obere Teil des „nützlichen“ Teils des Spektrums wird im Gegenteil gedämpft.

In der Praxis macht das natürlich niemand. Es gibt viele verschiedene Ansätze zum Aufbau eines DAC, aber selbst in den DACs mit der engsten Gewichtung werden die Rechteckimpulse im DAC im Gegensatz dazu so gewählt, dass sie in der richtigen Reihenfolge so kurz wie möglich sind (und sich der tatsächlichen Folge von Deltafunktionen annähern). um eine übermäßige Unterdrückung des nützlichen Teils des Spektrums zu vermeiden. „Zusätzliche“ Frequenzen im resultierenden Breitbandsignal werden fast immer gelöscht, indem das Signal durch einen analogen Tiefpassfilter geleitet wird, so dass es weder „innerhalb“ des Wandlers noch insbesondere an seinem Ausgang zu „digitalen Stufen“ kommt.

Kehren wir jedoch zur Fourier-Transformation zurück. Die oben beschriebene Fourier-Transformation, die auf eine vorabgetastete Signalsequenz angewendet wird, wird als diskrete Zeit-Fourier-Transformation (DTFT) bezeichnet. Das durch eine solche Transformation erhaltene Spektrum ist immer 1/T-periodisch, daher wird das DTFT-Spektrum vollständig durch seine Werte im Intervall dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(- j(?-?")t) d ?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2 ?)H(?") S(? -?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).

Das Produkt von Funktionen in Koordinatenform wird in Frequenzdarstellung durch Faltung der Fourier-Bilder dieser Funktionen dargestellt.

9. Durch Multiplikation des Signals mit der harmonischen Funktion wird das Signal mit der harmonischen Frequenz gefüllt und ein Funkimpuls erzeugt.

10. Leistungsspektren. Wenn die Funktion s(t) eine Fourier-Transformation S(?) hat, dann wird die spektrale Leistungsdichte dieser Funktion durch die Ausdrücke bestimmt:

w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).

Das Leistungsspektrum ist eine reelle nichtnegative gerade Funktion, die sehr oft als Energiespektrum bezeichnet wird. Das Leistungsspektrum als Quadrat des Moduls des Signalspektrums enthält keine Phaseninformationen über die Frequenzkomponenten und daher ist eine Rekonstruktion des Signals aus dem Leistungsspektrum unmöglich. Dies bedeutet auch, dass Signale mit unterschiedlichem Phasenverlauf die gleichen Leistungsspektren aufweisen können. Insbesondere hat die Signalverschiebung keinen Einfluss auf das Leistungsspektrum. mathematische Methode Fourier-Transformation

11. Parsevals Gleichheit. Gesamtenergie des Signalspektrums:

E s =W(f)df=|S(f)| 2 df.

Da die Koordinaten- und Frequenzdarstellungen im Wesentlichen nur unterschiedliche mathematische Darstellungen desselben Signals sind, muss auch die Energie des Signals in den beiden Darstellungen gleich sein, was Parsevals Gleichheit impliziert:

|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2 df,

diese. Die Energie des Signals ist gleich dem Integral des Moduls seines Frequenzspektrums – der Summe der Energien aller Frequenzkomponenten des Signals.

Fourier-Transformation ist eine Familie mathematischer Methoden, die auf der Zerlegung der ursprünglichen kontinuierlichen Funktion der Zeit in eine Reihe grundlegender harmonischer Funktionen (bei denen es sich um Sinusfunktionen handelt) mit verschiedenen Frequenzen, Amplituden und Phasen basiert. Aus der Definition geht klar hervor, dass die Hauptidee der Transformation darin besteht, dass jede Funktion als unendliche Summe von Sinuskurven dargestellt werden kann, von denen jede durch ihre Amplitude, Frequenz und Anfangsphase gekennzeichnet ist.

Die Fourier-Transformation ist der Begründer der Spektralanalyse. Die Spektralanalyse ist eine Signalverarbeitungsmethode, mit der Sie die Frequenzzusammensetzung des gemessenen Signals charakterisieren können. Je nachdem, wie das Signal dargestellt wird, werden unterschiedliche Fourier-Transformationen verwendet. Es gibt verschiedene Arten der Fourier-Transformation:

– Kontinuierliche Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Continue Time Fourier Transform – CTFT oder kurz: F.T.);

– Diskrete Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Diskrete Fourier-Transformation – DFT);

– Schnelle Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Fast Fourier-Transformation – FFT).

Kontinuierliche Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, das in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen verwendet wird. In einigen Fällen kann es zur Lösung komplexer Gleichungen eingesetzt werden, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss elektrischer, thermischer oder Lichtenergie entstehen. In anderen Fällen ermöglicht es die Isolierung der regulären Komponenten in einem komplexen Schwingungssignal, was die korrekte Interpretation experimenteller Beobachtungen in der Astronomie, Medizin und Chemie ermöglicht. Die kontinuierliche Transformation ist eigentlich eine Verallgemeinerung der Fourier-Reihe, vorausgesetzt, dass die Periode der erweiterten Funktion gegen Unendlich geht. Somit befasst sich die klassische Fourier-Transformation mit dem Spektrum des Signals über den gesamten Existenzbereich der Variablen.

Es gibt verschiedene Arten der Aufzeichnung der kontinuierlichen Fourier-Transformation, die sich durch den Wert des Koeffizienten vor dem Integral unterscheiden (zwei Aufzeichnungsformen):

oder

wobei und die Fourier-Transformation einer Funktion oder das Frequenzspektrum einer Funktion ist;

- Kreisfrequenz.

Es ist zu beachten, dass es in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik unterschiedliche Arten der Aufzeichnung gibt. Der Normierungsfaktor ist für die korrekte Skalierung des Signals vom Frequenzbereich in den Zeitbereich erforderlich. Durch den Normierungsfaktor wird die Signalamplitude am Ausgang der Rückwandlung so reduziert, dass sie der Amplitude des Originalsignals entspricht. In der mathematischen Literatur werden die direkte und die inverse Fourier-Transformation mit einem Faktor multipliziert, während in der Physik die direkte Transformation am häufigsten keinen Faktor enthält, die inverse Transformation jedoch einen Faktor verwendet. Wenn Sie nacheinander die direkte Fourier-Transformation eines bestimmten Signals berechnen und dann die inverse Fourier-Transformation durchführen, muss das Ergebnis der inversen Transformation vollständig mit dem ursprünglichen Signal übereinstimmen.

Wenn die Funktion im Intervall (−∞, +∞) ungerade ist, kann die Fourier-Transformation durch die Sinusfunktion dargestellt werden:

Wenn die Funktion gerade im Intervall (−∞, +∞) liegt, kann die Fourier-Transformation durch die Kosinusfunktion dargestellt werden:

Somit ermöglicht uns die kontinuierliche Fourier-Transformation, eine nichtperiodische Funktion in Form eines Integrals einer Funktion darzustellen, das an jedem Punkt den Koeffizienten der Fourier-Reihe für die nichtperiodische Funktion darstellt.

Die Fourier-Transformation ist invertierbar, das heißt, wenn ihre Fourier-Transformation aus einer Funktion berechnet wurde, kann die ursprüngliche Funktion eindeutig aus der Fourier-Transformation wiederhergestellt werden. Mit inverser Fourier-Transformation meinen wir ein Integral der Form (zwei Notationsformen):

oder

wo ist die Fourier-Transformation einer Funktion oder das Frequenzspektrum einer Funktion;

- Kreisfrequenz.

Wenn die Funktion im Intervall (−∞, +∞) ungerade ist, kann die inverse Fourier-Transformation durch die Sinusfunktion dargestellt werden:

Wenn die Funktion gerade im Intervall (−∞, +∞) liegt, kann die inverse Fourier-Transformation durch die Kosinusfunktion dargestellt werden:

Betrachten Sie als Beispiel die folgende Funktion . Der Graph der untersuchten Exponentialfunktion ist unten dargestellt.

Da die Funktion eine gerade Funktion ist, wird die kontinuierliche Fourier-Transformation wie folgt definiert:

Als Ergebnis haben wir die Abhängigkeit der Änderung der untersuchten Exponentialfunktion vom Frequenzintervall erhalten (siehe unten).

Die kontinuierliche Fourier-Transformation wird in der Theorie in der Regel bei der Betrachtung von Signalen verwendet, die sich gemäß vorgegebenen Funktionen ändern, in der Praxis handelt es sich jedoch meist um Messergebnisse, die diskrete Daten darstellen. Die Messergebnisse werden in regelmäßigen Abständen mit einer bestimmten Abtastfrequenz, beispielsweise 16000 Hz oder 22000 Hz, aufgezeichnet. Im Allgemeinen können diskrete Messwerte jedoch ungleichmäßig sein, was jedoch den mathematischen Analyseapparat verkompliziert und daher in der Praxis normalerweise nicht verwendet wird.

Es gibt einen wichtigen Satz von Kotelnikov (in der ausländischen Literatur findet sich der Name „Nyquist-Shannon-Satz“, „Abtastsatz“), der besagt, dass ein analoges periodisches Signal mit einem endlichen (in der Breite begrenzten) Spektrum (0...fmax ) können in ihren diskreten Abtastwerten, die mit einer Frequenz größer oder gleich dem Doppelten der oberen Frequenz des Spektrums – Abtastfrequenz (fsample >= 2*fmax) – aufgenommen wurden, eindeutig und ohne Verzerrungen und Verluste wiederhergestellt werden. Mit anderen Worten: Bei einer Abtastrate von 1000 Hz kann aus einem analogen periodischen Signal ein Signal mit einer Frequenz von bis zu 500 Hz rekonstruiert werden. Es ist zu beachten, dass die Diskretisierung einer Funktion nach Zeit zur Periodisierung ihres Spektrums führt und die Diskretisierung des Spektrums nach Frequenz zur Periodisierung der Funktion.

Dies ist eine der Fourier-Transformationen, die in digitalen Signalverarbeitungsalgorithmen weit verbreitet ist.

Die direkte diskrete Fourier-Transformation verknüpft eine Zeitfunktion, die durch N Messpunkte in einem bestimmten Zeitintervall definiert ist, mit einer anderen Funktion, die in einem Frequenzintervall definiert ist. Es ist zu beachten, dass die Funktion im Zeitbereich mithilfe von N-Abtastwerten und die Funktion im Frequenzbereich mithilfe des K-fachen Spektrums angegeben wird.

k ˗ Frequenzindex.

Die Frequenz des k-ten Signals wird durch den Ausdruck bestimmt

Dabei ist T der Zeitraum, in dem die Eingabedaten erfasst wurden.

Die direkte diskrete Transformation kann in Bezug auf Real- und Imaginärkomponenten umgeschrieben werden. Die Realkomponente ist ein Array, das die Werte der Kosinuskomponenten enthält, und die Imaginärkomponente ist ein Array, das die Werte der Sinuskomponenten enthält.

Aus den letzten Ausdrücken geht hervor, dass die Transformation das Signal in sinusförmige Komponenten (die als Harmonische bezeichnet werden) mit Frequenzen von einer Schwingung pro Periode bis zu N Schwingungen pro Periode zerlegt.

Die diskrete Fourier-Transformation weist eine Besonderheit auf, da durch die Summe von Funktionen mit unterschiedlicher Zusammensetzung des harmonischen Signals eine diskrete Folge erhalten werden kann. Mit anderen Worten: Eine diskrete Folge wird in harmonische Variablen zerlegt – mehrdeutig. Daher treten beim Erweitern einer diskreten Funktion mithilfe einer diskreten Fourier-Transformation hochfrequente Komponenten in der zweiten Hälfte des Spektrums auf, die nicht im ursprünglichen Signal enthalten waren. Dieses Hochfrequenzspektrum ist ein Spiegelbild des ersten Teils des Spektrums (hinsichtlich Frequenz, Phase und Amplitude). Typischerweise wird die zweite Hälfte des Spektrums nicht berücksichtigt und die Signalamplituden des ersten Teils des Spektrums werden verdoppelt.

Es ist zu beachten, dass die Zerlegung einer stetigen Funktion nicht zum Auftreten eines Spiegeleffekts führt, da eine stetige Funktion eindeutig in harmonische Variablen zerlegt wird.

Die Amplitude der Gleichstromkomponente ist der Durchschnittswert der Funktion über einen ausgewählten Zeitraum und wird wie folgt bestimmt:

Die Amplituden und Phasen der Frequenzkomponenten des Signals werden durch die folgenden Beziehungen bestimmt:

Die resultierenden Amplituden- und Phasenwerte werden als Polarschreibweise bezeichnet. Der resultierende Signalvektor wird wie folgt bestimmt:

Betrachten wir einen Algorithmus zur Transformation einer diskret gegebenen Funktion in einem gegebenen Intervall (in einem gegebenen Zeitraum) mit der Anzahl der Anfangspunkte

D Sparkle-Fourier-Transformation

Als Ergebnis der Transformation erhalten wir den realen und imaginären Wert der Funktion, der über den Frequenzbereich definiert ist.

Die inverse diskrete Fourier-Transformation verknüpft eine Frequenzfunktion, die durch das K-fache Spektrum im Frequenzintervall definiert ist, mit einer anderen Funktion, die im Zeitintervall definiert ist.

N ˗ Anzahl der über einen Zeitraum gemessenen Signalwerte sowie die Frequenzspektrumsmultiplizität;

k ˗ Frequenzindex.

Wie bereits erwähnt, verknüpft die diskrete Fourier-Transformation N-Punkte eines diskreten Signals mit N-komplexen Spektralproben des Signals. Um eine Spektralprobe zu berechnen, sind N komplexe Multiplikations- und Additionsoperationen erforderlich. Somit ist die Rechenkomplexität des diskreten Fourier-Transformationsalgorithmus quadratisch, mit anderen Worten, es sind komplexe Multiplikations- und Additionsoperationen erforderlich.