Wie kann man die Menge der reellen Zahlen beschreiben? Menge reeller Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen ist die Sammlung des Komplements rationaler Zahlen durch irrationale Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben R bezeichnet und es ist üblich, die Notation (-∞, +∞) oder (-∞,∞) als Symbol zu verwenden.
Die Menge der reellen Zahlen kann wie folgt beschrieben werden: Dies ist eine Menge endlicher und unendlicher Dezimalbrüche, endliche Dezimalbrüche und unendliche dezimale periodische Brüche sind rationale Zahlen und unendliche dezimale und nichtperiodische Brüche sind irrationale Zahlen.
Auf einer Koordinatenlinie kann jede reelle Zahl angegeben werden. Passend ist auch die umgekehrte Aussage: Jeder Punkt auf der Koordinatenlinie hat eine reelle Koordinate. In der mathematischen Sprache klingt es so: Zwischen der Menge der Punkte auf der Koordinatenlinie und der Menge R der reellen Zahlen kann eine Eins-zu-eins-Beziehung hergestellt werden. Für die Koordinatenlinie selbst wird oft der Begriff „Zahlenlinie“ verwendet, da die Koordinatenlinie ein geometrisches Modell der Menge der reellen Zahlen ist.
Es stellt sich heraus, dass Sie die Koordinatenlinie schon vor langer Zeit kennengelernt haben, aber Sie werden erst jetzt damit beginnen, sie zu verwenden. Warum? Die Antwort finden Sie im Beispiel aus dem Video-Tutorial.
Es ist bekannt, dass für reelle Zahlen a und b die Ihnen bereits bekannten Gesetze der Addition und Multiplikation erfüllt sind: das kommunikative Gesetz der Addition, das kommutative Gesetz der Multiplikation, das assoziative Gesetz der Addition, das distributive Gesetz der relativen Multiplikation zur Ergänzung und anderen. Lassen Sie uns einige davon veranschaulichen:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c;
a(bc) = (ab)c;
(a + b)c = ac + bc
Darüber hinaus gelten folgende Regeln:
1. Als Ergebnis des Produkts (Quotient) zweier negativer Zahlen erhält man eine positive Zahl.
2. Als Ergebnis des Produkts aus einer (Quotienten-)negativen und positiven Zahl erhält man eine negative Zahl.
Sie können reelle Zahlen anhand der Definition miteinander vergleichen:
Eine reelle Zahl a ist größer oder kleiner als eine reelle Zahl b, wenn die Differenz a – b eine positive oder negative Zahl ist.
Es wird so geschrieben: a > b, a< b.
Das bedeutet, dass a eine positive Zahl und b eine negative Zahl ist.
Das heißt, wenn a > 0 => a positiv ist;
A< 0 =>Ein Negativ;
a > b, dann ist a - b positiv => a - b > 0;
A< b, то a - b отрицательное =>a-b< 0.
Zusätzlich zu den Zeichen (<; >) strenge Ungleichungen, es werden auch Zeichen nicht strenger Ungleichungen verwendet - (≤;≥).
Beispielsweise gilt für jede Zahl b die Ungleichung b2 ≥ 0.
Beispiele für den Vergleich von Zahlen und deren aufsteigende Anordnung finden Sie im Video-Tutorial.
Dank des geometrischen Modells der Menge der reellen Zahlen – der Zahlenlinie – sieht die Vergleichsoperation besonders anschaulich aus.
Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs
Wir setzen unsere Bekanntschaft mit algebraischen Brüchen fort. Wenn es in der vorherigen Lektion um grundlegende Konzepte ging, lernen Sie in dieser Lektion die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs kennen. Die Definition der Grundeigenschaft eines Bruchs ist aus dem Mathematikkurs der 6. Klasse (Brüche reduzieren) bekannt. Woraus besteht es? Beim Lösen von Problemen oder Gleichungen ist es oft notwendig, einen „unbequemen“ Bruch für Berechnungen in einen anderen, „bequemen“ umzuwandeln. Um solche Transformationen durchführen zu können, müssen Sie die Haupteigenschaft und die Regeln zum Ändern von Vorzeichen kennen, mit denen Sie sich im Video-Tutorial vertraut machen.
Der Wert eines gemeinsamen Bruchs bleibt gleich, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert oder dividiert werden. Dies ist die Haupteigenschaft eines Bruchs.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
7/9 = 14/18
Wir haben zwei Brüche, die einander identisch gleich sind. Zähler und Nenner wurden in diesem Fall mit 2 multipliziert, der Wert des Bruchs änderte sich jedoch nicht.
In der Videolektion erfahren Sie, was mit einem Bruch passiert, wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden.
Ein algebraischer Bruch ist im Prinzip derselbe gewöhnliche Bruch; Sie können an ihm die gleichen Operationen durchführen wie an einem gewöhnlichen Bruch.
Ein Ausdruck im Zähler und ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs können mit demselben alphanumerischen Ausdruck (Polynom oder Monom) und derselben Zahl (außer Null) multipliziert oder dividiert werden (außer Null: wenn der Ausdruck oder die Zahl im Nenner Brüche ist, multipliziert mit Null). , nimmt es den Wert Null an; und wie Sie wissen, können Sie nicht durch Null dividieren. Diese Transformation eines algebraischen Bruchs nennt man seine Reduktion. Dies ist die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs. Wie es in der Praxis umgesetzt wird, erfahren Sie im Video-Tutorial.
Das Umwandeln von Brüchen in Brüche mit gleichem Nenner wird als Umwandeln von Brüchen in einen gemeinsamen Nenner bezeichnet. Um diese Aktion auszuführen, müssen Sie eine bestimmte Abfolge von Aktionen ausführen, die aus Folgendem besteht:
Nachdem wir alle Nenner faktorisiert haben, bestimmen wir den LCM für die numerischen Koeffizienten.
. Wir schreiben das Produkt unter Berücksichtigung des LCM der Koeffizienten und aller Buchstabenfaktoren auf. Wenn die Multiplikatoren gleich sind, nehmen Sie den Multiplikator einmal. Von allen Potenzen, die die gleichen Basen haben, nehmen wir den Multiplikator mit dem maximalen Exponenten.
. Wir finden die Werte, die zusätzliche Faktoren für den Zähler jedes Bruchs sind.
. Für jeden Bruch definieren wir einen neuen Zähler als Produkt aus dem alten Zähler und einem zusätzlichen Faktor.
. Wir schreiben Brüche mit einem neuen, von uns ermittelten Zähler und einem gemeinsamen Nenner auf.
Beispiel 1: Reduzieren Sie die folgenden Brüche a/4b2 b a2/6b3 auf einen gemeinsamen Nenner.
Lösung:
Lassen Sie uns zunächst den gemeinsamen Nenner ermitteln. (Es entspricht 12b2).
Anschließend ermitteln wir nach dem Algorithmus für jeden der Brüche einen zusätzlichen Faktor. (Für den ersten - 3b, für den zweiten - 2).
Nachdem wir die Multiplikation durchgeführt haben, erhalten wir das Ergebnis.
(a*3b)/(4b2*3b) = 3ab/12b3 und (a2*2)/(6b2*2) = 2a2/12b2.
Beispiel 2: Reduziere die Brüche c/(c - d) und c/(c + d) auf einen gemeinsamen Nenner.
Lösung:
(c+d)(c-d)=c2-d2
c*(c + d)/(c - d)(c + d) = (c2 + cd)/(c2 - d2)
c*(c - d)/(c + d)(c - d) = (c2 - cd)/(c2 - d2)
Eine detailliertere Lösung zu ähnlichen Beispielen finden Sie im Video-Tutorial.
Die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs hat eine Konsequenz in Form einer Vorzeichenwechselregel:
a - b/c - d = b - a/d - c
In diesem Fall wurden Zähler und Nenner des Bruchs mit -1 multipliziert. Ähnliche Aktionen können nicht mit dem gesamten Bruch, sondern nur mit dem Zähler oder nur mit dem Nenner ausgeführt werden. Wie sich das Ergebnis ändert, wenn beispielsweise nur der Zähler oder nur der Nenner mit -1 multipliziert wird, erfahren Sie in der Videolektion.
Nachdem wir nun die Grundeigenschaft eines algebraischen Bruchs und die daraus folgende Regel untersucht haben, sind wir in der Lage, komplexere Probleme zu lösen, nämlich das Subtrahieren und Addieren von Brüchen. Aber das ist das Thema der nächsten Lektion.
In der dritten Zeile stehen jeweils drei Zahlen für jede kubische Gleichung. bestellte Vierer usw.
Das. Wir erhalten eine Matrix, die mit dem Cantor-Diagonalprozess durchlaufen werden kann. Wenn einige der Wurzeln einer algebraischen Gleichung komplex sind, überspringen wir sie bei der Nummerierung einfach. Das. Jede algebraische Zahl erhält eine entsprechende Zahl, und dies bestätigt die Tatsache, dass es sich um eine Menge algebraischer reeller Zahlen handelt zählbar .
Tatsache effiziente Aufzählbarkeit Satz A ergibt sich direkt aus der gegebenen Methode zur Nummerierung von Elementen mit natürlichen Zahlen, da gleichzeitig ein effektives Verfahren zur Nummerierung von Mengen rationaler Zahlen angegeben wird, die algebraische Gleichungen des entsprechenden Grades eindeutig definieren. Es ist wichtig, dass die algebraische Gleichung n-ten Grades einen effektiven Lösungsalgorithmus hat, d.h. Das Verfahren ist absolut wirksam. Die Menge der algebraischen reellen Zahlen ist also abzählbar und effektiv aufzählbar, Q.E.D.
Mengen, die aus allen Paaren, Tripletts usw. algebraischer Zahlen bestehen, sind ebenfalls abzählbar.
2.3.7. Abzählbare Zahlenmengen: Verallgemeinerung
T.2 Theorem (ohne Beweis)
Die Menge der Elemente, die durch eine endliche Anzahl abzählbarer Symbole dargestellt werden kann, ist abzählbar.
Im wirklichen Leben verwenden wir verschiedene endliche Zeichensysteme, zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, Notizen.
Betrachten wir ein Zeichensystem, zum Beispiel Zahlen in einem beliebigen endlichen Zahlensystem, beispielsweise Dezimalzahlen. Da uns 10 Zeichen zur Verfügung stehen: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, können wir zwei Arten von Mengen erstellen: feste Länge und beliebige Länge.
Im ersten Fall handelt es sich um ein rein kombinatorisches Problem, man kann beispielsweise 105 verschiedene Sequenzen aus fünf Zeichen erstellen. Dies ist eine ziemlich große Zahl, aber es ist eine natürliche Zahl und die Kardinalität der betrachteten Menge aller möglichen Folgen dieser Art wird durch eine natürliche Zahl ausgedrückt. Im zweiten Fall ist die Menge solcher Folgen in Analogie zu den Mengen der Komplexe natürlicher Zahlen abzählbar unendlich und ihre Kardinalität ist die Zahl Aleph-Null.
Es kann verallgemeinert werden, dass die Menge, die sich aus der Anwendung von Satz 2.3.(7) ergibt, abzählbar unendlich ist, wenn im Fall eines endlichen Zeichensystems beliebig lange Zeichenkomplexe erlaubt sind (so lange wie gewünscht, aber immer noch). endlich!).
Abzählbar unendlich sind zum Beispiel:
· eine Menge von „Wörtern“, die aus einem endlichen Alphabet zusammengesetzt werden können („ein Wort“ ist hier ein Komplex von Buchstaben, unabhängig davon, ob sie eine Bedeutung haben oder nicht),
· die Menge aller Bücher, die in einer oder sogar allen Sprachen geschrieben wurden,
· Satz aller Sinfonien usw.
§ 2.4. Unzählige Sets
2.4.1. Unabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen (Kontinuum)
Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen mit dem lateinischen Buchstaben R.
T.2 Satz
Die Menge der reellen Zahlen ist abzählbar.
Nachweisen
Nehmen wir das Gegenteil an, die Menge der reellen Zahlen sei abzählbar. Dann ist jede Teilmenge einer abzählbaren Menge auch abzählbar. Nehmen wir für die Menge der reellen Zahlen eine Teilmenge R1 – das Intervall (0,1) und entfernen wir aus diesem Segment Zahlen, die in mindestens einer ihrer Ziffern Nullen oder Neunen enthalten (Beispiele für solche Zahlen: 0,9, 0,0001 usw. ). Die aus den übrigen Zahlen bestehende Menge R2 ist eine Teilmenge der Menge R1. Das bedeutet, dass R2 abzählbar ist.
Aus der Tatsache, dass R2 abzählbar ist, folgt direkt, dass es durch Aufzählung seiner Elemente möglich ist, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Elementen von R2 und den Elementen der Menge der natürlichen Zahlen herzustellen. Dies ergibt sich aus der Definition der Kardinalität einer Menge, nach der davon ausgegangen wird, dass in Mengen gleicher Kardinalität jedes Element einer Menge ein gepaartes Element aus einer anderen Menge hat und umgekehrt. Bitte beachten Sie, dass der grundlegende Unterschied zwischen dieser Definition und der Definition der effektiven Aufzählbarkeit darin besteht, dass wir in diesem Fall nicht einmal über das Vorhandensein eines Aufzählungsalgorithmus sprechen, sondern lediglich behaupten, dass es möglich ist, eine Liste reeller Zahlen aus der Menge anzugeben R2 und eine Liste entsprechender natürlicher Zahlen aus der Menge N. In diesem Fall interessiert uns nicht der Algorithmus zur Konstruktion der Verbindung N ↔ R2; es reicht aus, dass eine solche Entsprechung möglich ist.
Erstellen wir die folgende Zahlenliste aus der Menge R2 und nummerieren die Zahlen in Ziffern:
Konstruieren wir nun die Zahl b=0.b1b2… und
bi=aii+1, wobei + die Additionsoperation bezeichnet, deren Ergebnis nicht die Zahlen 0 und 9 sein können, d. h. wenn aii=1, dann bi=2; wenn aii=2, dann bi=3, ...., wenn aii=8, dann bi=1).
Somit unterscheidet sich die konstruierte Zahl b in mindestens einer Ziffer von jeder Zahl in der Menge R2 und wird daher nicht in die zusammengestellte Liste aufgenommen. Aufgrund ihrer Struktur muss die Zahl b jedoch in der Menge R2 enthalten sein. Wir erhalten einen Widerspruch, was bedeutet, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist und die Menge R2 überzählbar ist.
Da die Menge R2 bedingt eine Teilmenge der Menge R1 ist, ist R1 überzählbar, und da R1 überzählbar ist, ist die Menge R überzählbar. Q.E.D.
Notiz: Sie müssen Zahlen, die 0 und 9 enthalten, nicht wegwerfen. Daher erscheinen einige Zahlen in unserer Reihe zweimal. Dies liegt daran, dass endliche Brüche in unendliche Brüche umgewandelt werden können. Zum Beispiel ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).
Im Allgemeinen könnte dies der Grund dafür sein, dass die Menge der reellen Zahlen nicht gezählt werden konnte. Aber die Menge der Zahlen, die auf zwei Arten dargestellt werden können (endliche Brüche), ist die Menge der rationalen Zahlen. Wie bereits bewiesen wurde, gibt es davon eine zählbare Anzahl. Man kann sogar zeigen, dass diese Menge effektiv aufzählbar ist. Das. selbst eine doppelte Darstellung der Menge solcher Zahlen bildet eine abzählbare Menge, daher ist der Beweis auch ohne eine solche Vereinfachung korrekt.
Es wurde ein grundlegend neues Ergebnis erzielt – es wurde eine unzählbare Menge von Zahlen gefunden. Seine Potenz ist nach dem bewährten Theorem nicht gleich Aleph-Null (À0), was bedeutet, dass eine neue Zahl in der transfiniten Skala benötigt wird.
Aleph ( À) – die zweite transfinite Zahl. Per Definition ist dies die Potenz des Kontinuums (aller reellen Zahlen). Dies ist die zweithöchste unendliche Kraft. Der gerade bewiesene Satz 2.4.(1) über die Unabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen ist ein überzeugender Beweis dafür, dass die Kardinalität dieser Menge größer als Aleph-Null (größer als die Menge der natürlichen Zahlen) ist. Und dies ist ein sehr wichtiges Ergebnis nach einer Reihe von Beweisen für die Abzählbarkeit verschiedener Zahlenmengen.
Wenn wir mit dem Konzept einer Kardinalzahl (Potenz) operieren, erhalten wir das, da jede Zahl des Segments (0,1) mindestens einmal und einmal durch einen Dezimalbruch der Form 0.a1a2a3... dargestellt werden kann höchstens zweimal, dann:
À≤10 À0≤ 2À ,
und da 2À=À, erhalten wir 10 À0= À. Die gleiche Argumentation gilt, wenn wir Zahlen nicht in Dezimalzahlen zerlegen, sondern beispielsweise in binäre Brüche, Brüche mit der Basis 3, 15, 10005 oder sogar À0 (wenn Sie sich das vorstellen können).
Das. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0
Wenn Sie darüber nachdenken, können Sie aus der Mengenlehre eine weitere, nicht ganz offensichtliche Tatsache entdecken. À2=À À ist die Potenz der Menge der Paare reeller Zahlen. Ein Paar reeller Zahlen entspricht im Allgemeinen einem Punkt auf der Ebene. À3=À À À wiederum ist die Potenz der Menge der Tripel reeller Zahlen, und das sind Punkte im Raum. Die Überlegung kann bis zu À0 fortgesetzt werden – einem dimensionalen Raum oder der Menge aller Folgen reeller Zahlen abzählbarer Länge. Das. alle endlichdimensionalen oder abzählbardimensionalen Räume haben die gleiche Kardinalität À (hier ist À die Anzahl der Punkte im Raum).
Für einen À0-dimensionalen reellen Raum oder die Menge aller Folgen reeller Zahlen abzählbarer Länge erhalten wir aus der Sicht der Operationen auf Kardinalzahlen ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.
An dieser Stelle wird es interessant sein, sich den historischen Ereignissen zuzuwenden, die mit einer Reihe von Beweisen in diesem Bereich verbunden sind. Mathematiker kamen, wenn auch nicht sofort, schließlich zu der Tatsache, dass es auf einer unendlichen geraden Linie genauso viele Punkte gibt wie auf einer Strecke. Aber Cantors nächstes Ergebnis war noch unerwarteter. Auf der Suche nach einer Menge, die mehr Elemente als ein Segment auf der reellen Achse hat, wandte er seine Aufmerksamkeit der Punktmenge eines Quadrats zu. Am Ergebnis gab es zunächst keinen Zweifel: Schließlich liegt das gesamte Segment auf einer Seite des Quadrats, und die Menge aller Segmente, in die das Quadrat selbst zerlegt werden kann, hat die gleiche Kardinalität wie die Punktmenge des Quadrats Segment. Fast drei Jahre lang (von 1871 bis 1874) suchte Cantor nach Beweisen dafür, dass eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Punkten eines Segments und den Punkten eines Quadrats unmöglich ist. Und irgendwann kam völlig unerwartet das genaue Gegenteil: Es gelang ihm, eine Korrespondenz zu konstruieren, die er ehrlich gesagt für unmöglich hielt. Cantor glaubte es selbst nicht und schrieb sogar an den deutschen Mathematiker Richard Dedekind: „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht.“ Als der Schock über diese Tatsache vorüber war, wurde es intuitiv klar und bald bewiesen, dass ein Würfel die gleiche Anzahl an Punkten wie ein Segment hat. Im Allgemeinen hat jede geometrische Figur auf einer Ebene (ein geometrischer Körper im Raum), die mindestens eine Linie enthält, die gleiche Anzahl von Punkten wie ein Segment. Solche Mengen wurden als Kontinuumsmengenmengen bezeichnet (vom lateinischen Continuum – kontinuierlich). Der nächste Schritt ist fast offensichtlich: Die Dimension des Raumes ist innerhalb gewisser Grenzen unwichtig. Beispielsweise sind eine zweidimensionale Ebene, ein dreidimensionaler vertrauter Raum, 4, 5 und weitere n-dimensionale Räume hinsichtlich der Anzahl der im entsprechenden n-dimensionalen Körper enthaltenen Punkte von gleicher Potenz. Diese Situation wird auch bei einem Raum mit unendlich vielen Dimensionen beobachtet, wichtig ist nur, dass diese Zahl abzählbar ist.
Zu diesem Zeitpunkt wurden zwei Arten von Unendlichkeiten entdeckt und dementsprechend zwei transfinite Zahlen, die ihre Kräfte bezeichnen. Mengen des ersten Typs haben eine Potenz, die der Potenz natürlicher Zahlen (Aleph-Null) entspricht. Mengen des zweiten Typs haben eine Kardinalität, die der Anzahl der Punkte auf der reellen Achse entspricht (Kardinalität des Kontinuums, Aleph). Es wird gezeigt, dass Mengen des zweiten Typs mehr Elemente haben als Mengen des ersten Typs. Natürlich stellt sich die Frage: Gibt es in der Natur eine „mittlere“ Menge, deren Kardinalität größer als die Anzahl der natürlichen Zahlen, aber gleichzeitig kleiner als die Menge der Punkte auf einer Geraden wäre? Diese schwierige Frage heißt „Kontinuumsproblem“ . Sie ist auch bekannt als „Kontinuumshypothese“ oder " Hilberts erstes Problem“. Der genaue Wortlaut lautet wie folgt:
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Infolgedessen bewies der deutsche Mathematiker Kurt Gödel 1938 nach ausführlicher Forschung zur Kontinuumshypothese, dass die Existenz einer Zwischenkraft nicht im Widerspruch zu den anderen Axiomen der Mengenlehre steht. Und später, in Fast gleichzeitig, aber unabhängig voneinander zeigten der amerikanische Mathematiker Cohen und der tschechische Mathematiker Vopenka, dass sich das Vorhandensein einer solchen Zwischenmacht nicht aus den anderen Axiomen der Mengenlehre ableiten lässt. Interessant ist übrigens, dass dieses Ergebnis der Geschichte mit dem Postulat paralleler Linien sehr ähnlich ist. Bekanntlich versuchten sie zweitausend Jahre lang, es aus den anderen Axiomen der Geometrie abzuleiten, aber erst nach der Arbeit von Lobatschewski, Hilbert und anderen gelang es ihnen, das gleiche Ergebnis zu erzielen: Dieses Postulat widerspricht den anderen Axiomen nicht, kann es aber nicht daraus abgeleitet werden.
2.4.2. Mengen komplexer, transzendenter und irrationaler Zahlen
Zusätzlich zur Menge der reellen Zahlen stellen wir mehrere weitere überabzählbare Mengen vor.
https://pandia.ru/text/78/390/images/image010_26.gif" width="81" height="76"> T.2.4.(2) Satz
Die Menge der komplexen Zahlen ist überzählbar.
Nachweisen
Da die Menge der reellen Zahlen R, die nach dem zuvor bewiesenen Satz 2.4.(1) abzählbar ist, eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen C ist, ist die Menge der komplexen Zahlen auch abzählbar, Q.E.D.
Transzendente Zahl - eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist.
Wir bezeichnen die Menge der transzendenten Zahlen mit dem lateinischen Buchstaben T. Jede transzendente reelle Zahl ist irrational, aber das Gegenteil ist nicht der Fall. Beispielsweise ist eine Zahl irrational, aber nicht transzendent: Sie ist die Wurzel der Gleichung X 2 − 2=0.
T.2 Satz
Die Menge der transzendenten Zahlen ist unzählbar.
Nachweisen
Da reelle Zahlen eine überzählbare Menge und algebraische Zahlen abzählbar sind und die Menge A eine Teilmenge von R ist, ist R\A (die Menge der transzendenten Zahlen) eine überzählbare Menge. Q.E.D.
Dieser einfache Beweis der Existenz transzendenter Zahlen wurde 1873 von Cantor veröffentlicht und hinterließ großen Eindruck bei der wissenschaftlichen Gemeinschaft, da er die Existenz vieler Zahlen bewies, ohne ein einziges konkretes Beispiel zu konstruieren, sondern nur auf der Grundlage allgemeiner Überlegungen. Aus diesem Beweis lässt sich kein spezifisches Beispiel für eine transzendente Zahl extrahieren; ein Beweis dieser Art soll es sein unkonstruktiv .
Es ist wichtig zu beachten, dass sich Mathematiker lange Zeit nur mit algebraischen Zahlen beschäftigten. Es erforderte erhebliche Anstrengungen, auch nur ein paar transzendente Zahlen zu finden. Dies gelang erstmals 1844 dem französischen Mathematiker Liouville, der eine Reihe von Theoremen bewies, die es ermöglichten, spezifische Beispiele für solche Zahlen zu konstruieren. Eine transzendente Zahl ist beispielsweise die Zahl 0,..., bei der nach der ersten Einheit eine Null steht, nach der zweiten - zwei, nach der dritten - 6, nach der n-ten bzw. n! Nullen.
Es ist erwiesen, dass der dezimale Logarithmus jeder ganzen Zahl außer 10 transzendent ist. N. Auch die Menge der transzendentalen Zahlen umfasst die Sünde α, cos α und tg α für jede algebraische Zahl ungleich Null α . Die auffälligsten Vertreter transzendenter Zahlen werden üblicherweise als Zahlen angesehen π Und e.Übrigens der Beweis für die Transzendenz der Zahl π , 1882 vom deutschen Mathematiker Karl Lindermann durchgeführt, war ein großes wissenschaftliches Ereignis, weil es die Unmöglichkeit der Quadratur eines Kreises implizierte. Die Geschichte der Entdeckung der Quadratur eines Kreises dauerte vier Jahrtausende, und der Begriff selbst wurde zum Synonym für unlösbare Probleme.
Maßeinheit" href="/text/category/edinitca_izmereniya/" rel="bookmark">Maßeinheit Radius eines Kreises und benennen X die Länge der Seite des erforderlichen Quadrats, dann reduziert sich das Problem auf die Lösung der Gleichung: X 2 = π, woher: . Wie Sie wissen, können Sie mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals alle 4 Rechenoperationen durchführen und die Quadratwurzel ziehen. Dies bedeutet, dass die Quadratur des Kreises genau dann möglich ist, wenn es mit einer endlichen Anzahl solcher Aktionen möglich ist, ein Segment der Länge π zu konstruieren. Die Unlösbarkeit dieses Problems ergibt sich also aus der nichtalgebraischen Natur (Transzendenz) der Zahl π. Tatsächlich reduziert sich das Problem der Quadratur eines Kreises auf das Problem, ein Dreieck mit der Basis πr und der Höhe r zu konstruieren. Dann lässt sich leicht ein gleiches Quadrat dafür konstruieren.
In der zuvor erwähnten Liste der 23 Kardinalprobleme der Mathematik war Nummer 7 das Problem der Transzendenz von Zahlen, die auf eine bestimmte Weise gebildet wurden.
Hilberts siebtes Problem. Sei a eine positive algebraische Zahl ungleich 1, b eine irrationale algebraische Zahl. Beweisen Sie, dass ab eine transzendente Zahl ist.
1934 bewiesen der sowjetische Mathematiker Gelfond und wenig später der deutsche Mathematiker Schneider die Gültigkeit dieser Aussage und damit war dieses Problem gelöst.
Mit dem Prinzip der Einteilung von Zahlen in rationale und irrationale Zahlen sind zwei weitere interessante Tatsachen verbunden, die nicht sofort als wahr wahrgenommen werden.
T.2.4.(5) Satz
Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es immer eine Menge irrationaler Zahlen mit Kontinuumsstärke.
Nachweisen
Es gebe zwei rationale Zahlen, A Und B. Konstruieren wir eine lineare und daher eineindeutige Funktion F(X) = (X - A) / (B - A). Als F(A) = 0 und F(B) = 1, also F(X) bildet das Segment ab [ A; B] in das Segment unter Beibehaltung der Rationalität der Zahlen. Daher sind die Potenzen der Mengen [ A; B] und reelle Zahlen sind gleich, und wie bewiesen wurde, ist die Potenz des Segments gleich der Potenz des Kontinuums. Wenn wir aus der resultierenden Menge nur irrationale Zahlen auswählen, erhalten wir, dass es zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen immer ein Kontinuum irrationaler Zahlen gibt. Q.E.D.
Im Allgemeinen erscheint dieser Satz intuitiv recht logisch. Das Folgende wird auf den ersten Blick mit Skepsis wahrgenommen.
T. 2.4.(6) Satz
Zwischen zwei verschiedenen irrationalen Zahlen gibt es immer eine abzählbare Menge rationaler Zahlen.
Nachweisen
Es gebe zwei irrationale Zahlen A Und B, wir schreiben ihre entsprechenden Ziffern als A 1A 2A 3... und B 1B 2B 2..., wo ai, Bi- Dezimal Zahlen. Lassen A < B, dann gibt es ein N, so dass A N< B N. Konstruieren wir eine neue Zahl C, warum sagen wir ci = ai = Bi Für ich= 1, …, N-1. Lassen cN = bN-1. Es ist klar, dass C < B. Da alle Ziffern der Zahl A Nachdem das N-te keine Neunen sein kann (dann wäre es ein periodischer Bruch, also eine rationale Zahl), dann bezeichnen wir mit M >= N eine solche Ziffer der Zahl A, Was A M< 9. Положим cj = aj, bei N< J < M, и C M = 9. In diesem Fall C > A. Wir haben also eine rationale Zahl C, so dass A < C < B. Zahlen zur Dezimalschreibweise hinzufügen C Jede endliche Anzahl von Ziffern dahinter kann eine beliebige Anzahl rationaler Zahlen dazwischen ergeben A Und B. Indem wir jeder dieser Zahlen ihre Seriennummer zuweisen, erhalten wir eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge dieser Zahlen und der Menge der natürlichen Zahlen, sodass die resultierende Menge abzählbar ist. Q.E.D.
In diesem Stadium wird der Beweis des folgenden Theorems interessant und wichtig, dessen Bedeutung vor der Einführung der Skala transfiniter Zahlen allgemein offensichtlich war und mit dem Aufkommen einer solchen spezifischen Arithmetik einen strengen Beweis erfordert.
T.2 Satz von Cantor
Für jede Kardinalzahl α, α<2α.
Nachweisen
1. Lassen Sie uns das zumindest beweisen α≤2α
Bekanntlich ist die Kardinalität der booleschen Menge M gleich 2|M|. Sei die Menge M = (m1, m2, m3, ...). Die boolesche Menge M (die Menge aller ihrer Teilmengen) umfasst auch Mengen, die jeweils aus einem einzelnen Element bestehen, zum Beispiel (m1), (m2), (m3), .... Nur diese Art von Teilmenge wird |M| sein, und darüber hinaus enthält der Boolesche Wert auch andere Teilmengen, was bedeutet, dass in jedem Fall |M| ≤ 2|M|
2. Beweisen wir die Strenge der Ungleichung α<2α
Unter Berücksichtigung dessen, was in Absatz 1 nachgewiesen wurde. Es genügt zu zeigen, dass eine Situation vorliegt, in der α=2α. Nehmen wir das Gegenteil an, sei α=2α, also |M| = 2|M|. Dies bedeutet, dass M äquivalent zu P(M) ist, was bedeutet, dass es eine Abbildung der Menge M auf ihren booleschen Wert P(M) gibt. Das. Jedes Element m der Menge M hat eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit einer Teilmenge Mm, die zu P(M) gehört. Dies bedeutet, dass jedes Element m entweder zur entsprechenden Teilmenge Mm gehört oder nicht. Konstruieren wir eine Menge M*, die aus allen Elementen der zweiten Art besteht (d. h. denjenigen m, die nicht zu ihren entsprechenden Teilmengen Mm gehören).
Durch die Konstruktion ist klar, dass, wenn irgendein Element m zu M* gehört, es automatisch nicht zu Mm gehört. Dies wiederum bedeutet, dass für jedes m die Situation M*=Мm unmöglich ist. Dies bedeutet, dass die Menge M* von allen Mengen Mm verschieden ist und es für sie kein Eins-zu-Eins-Element m aus der Menge M gibt. Dies bedeutet wiederum, dass die Gleichheit |M|= 2|M| falsch. Das. es ist bewiesen, dass |M| < 2|M| oder α<2α , Q.E.D.
Bei der Betrachtung unendlicher Mengen beweist dies überzeugend, dass die Menge aller Teilmengen natürlicher Zahlen (und dies ist tatsächlich die Menge der Komplexe unendlicher Länge) NICHT äquivalent zur Menge der natürlichen Zahlen selbst ist. Das heißt, À0 ≠ 2À0. Und das bedeutet, dass es analog dazu möglich ist, eine noch umfangreichere Menge beispielsweise auf Basis reeller Zahlen zu konstruieren. Mit anderen Worten lautet die Frage bezüglich anderer Arten unendlicher Mengen: Gibt es eine Menge mit einer Kardinalität, die größer ist als die Kardinalität der Menge der reellen Zahlen? Wird eine solche Frage positiv beantwortet, stellt sich sofort die nächste: Gibt es einen Satz mit noch größerer Macht? Dann noch mehr. Und zum Schluss noch eine logische globale Frage: Gibt es eine Menge mit der größten Kardinalität?
T.2 Satz
Für jede Menge A gibt es eine Menge B, deren Kardinalität größer als A ist.
Nachweisen
Betrachten Sie das Set IN alle auf dem Set definierten Funktionen A und die Werte 0 und 1 annehmen. Jeder Punkt A Sätze A Ordnen wir die Funktion fa(x) zu, die an diesem Punkt den Wert 1 und an anderen Punkten den Wert 0 annimmt. Es ist klar, dass unterschiedliche Funktionen unterschiedlichen Punkten entsprechen. Daraus folgt die Kardinalität der Menge IN nicht weniger als die Leistung des Sets A (|B|≥|A|).
Nehmen wir an, dass es viele Mächte gibt A Und IN einander gleich. In diesem Fall besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Elementen der Mengen A Und IN. Bezeichnen wir die dem Element entsprechende Funktion A Von vielen A, durch fa(x). Alle Funktionen der Familie fa(x) nehmen entweder den Wert 0 oder 1 an. Konstruieren wir eine neue Funktion φ(x)=1- fх(x). Also, um irgendwann den Wert der Funktion φ(x) zu finden A, zum Set gehörend A, müssen wir zuerst die entsprechende Funktion fa( A) und subtrahieren Sie dann den Wert dieser Funktion an diesem Punkt von Eins A. Aus der Konstruktion geht hervor, dass die Funktion φ(x) auch auf der Menge definiert ist A und nimmt die Werte 0 und 1 an. Daher ist φ(x) ein Element der Menge IN. Dann gibt es eine Zahl b in der Menge A mit φ(x) = fb(x). Unter Berücksichtigung der zuvor eingeführten Definition der Funktion φ(x)=1- fх(x) erhalten wir diese für alle x, die zur Menge gehören A, wahr 1 - fх(x)= fb(x). Sei x = b. Dann ist 1 - fb(b) = fb(b) und das bedeutet fb(b)=1/2. Dieses Ergebnis widerspricht eindeutig der Tatsache, dass die Werte der Funktion fb(x) gleich Null oder Eins sind. Folglich ist die akzeptierte Annahme falsch, was bedeutet, dass zwischen den Elementen der Mengen keine Eins-zu-eins-Entsprechung besteht A Und IN (| A| ≠| B| ). Weil das | A| ≠|B| und gleichzeitig | B| ≥| A| , Bedeutet | B| >|A| . Dies bedeutet, dass für jeden Satz A Sie können ein Set bauen IN mehr Macht. Daraus können wir schließen, dass es keine Menge mit der größten Kardinalität gibt, Q.E.D.
Es besteht ein ziemlich enger Zusammenhang zwischen der konstruierten Funktionsmenge und der booleschen Menge A(die Menge aller Teilmengen A). Betrachten Sie das Set IN alle Teilmengen der Menge A. Lassen MIT– eine Teilmenge in A. Nehmen wir die Funktion F(X) , der den Wert 1 annimmt, wenn X gehört MIT, andernfalls ist der Wert 0. Somit unterschiedliche Teilmengen MIT entsprechen verschiedenen Funktionen. Im Gegenteil, jede Funktion F(X) , die zwei Werte 0 und 1 annimmt, entspricht einer Teilmenge in A, bestehend aus diesen Elementen X, in dem die Funktion den Wert 1 annimmt. Somit wurde eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Menge der auf der Menge definierten Funktionen hergestellt A und die Werte 0 und 1 nehmen, und die Menge aller Teilmengen in A.
§ 2.5. Mengen mit einer Kardinalität größer als die Kardinalität des Kontinuums
Es gibt also keine Menge mit der größten Kardinalität. Die ersten beiden transfiniten Zahlen hatten Mengen in der Natur, die sie bildeten (die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen). Wenn wir von der Menge des Kontinuums ausgehen, können wir die Menge aller Teilmengen des Kontinuums konstruieren, wir erhalten seinen Booleschen Wert, nennen wir diese Menge BR. Per Definition ist die Potenz der Menge BR gleich 2А. Nach dem Satz von Cantor 2À≠À. Es ist offensichtlich, dass die Menge BR unendlich ist, daher ist ihre Kardinalzahl eine transfinite Zahl und sie kann mit keiner der beiden zuvor betrachteten transfiniten Zahlen zusammenfallen. Dies bedeutet, dass es an der Zeit ist, die dritte transfinite Zahl in unsere Skala einzuführen.
Aleph Eins ( À 1 ) – dritte transfinite Zahl. Per Definition ist dies die Kardinalität der Menge aller Teilmengen des Kontinuums. Die gleiche Zahl entspricht der Kardinalität vieler anderer Mengen, zum Beispiel:
· Mengen aller linearen Funktionen, die beliebige reelle Werte annehmen (eine lineare Funktion ist eine reelle Funktion einer oder mehrerer Variablen). Im Wesentlichen handelt es sich dabei um Mengen aller möglichen Kurven in einem abzählbardimensionalen Raum, wobei die Anzahl der Dimensionen n eine beliebige endliche Zahl oder sogar À0 ist.
· Mengen von Figuren auf der Ebene, d. h. Mengen aller Teilmengen von Punkten auf der Ebene oder Mengen aller Teilmengen von Paaren reeller Zahlen.
· Mengen von Körpern im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum sowie, allgemein gesprochen, in jedem abzählbaren Raum, in dem die Anzahl der Dimensionen n eine beliebige endliche Zahl oder sogar À0 ist.
Da die Zahl À1 als Kardinalität der booleschen Menge mit der Kardinalität À eingeführt wird, erhalten wir die Aussage, dass À1 =2À.
§ 2.6. Paradoxien der Mengenlehre
Es stellt sich die berechtigte Frage: Wie geht es weiter? Was passiert, wenn wir die Menge aller Teilmengen der Menge BR konstruieren? Wie hoch wird seine Kardinalzahl sein (natürlich können wir analog annehmen, dass sie 2À1 ist) und, was am wichtigsten ist, welcher Menge im wirklichen Leben wird dies entsprechen? Gibt es unendliche Mengen größer als BR und wie viele davon gibt es?
Obwohl wir gezeigt haben, dass die größte transfinite Zahl nicht existiert, wie die Forschung zeigt, ist es unsicher, immer weiter zu neuen großen Kardinalzahlen aufzusteigen – dies führt zu Antinomien (Paradoxen). Tatsächlich ist es unabhängig von der Menge der Kardinalzahlen immer möglich, eine Kardinalzahl zu finden, die größer als alle Zahlen in einer bestimmten Menge ist und daher nicht in dieser Menge enthalten ist. Das. keine solche Menge enthält alle Kardinalzahlen, und die Menge aller Kardinalzahlen ist undenkbar.
Es ist ganz natürlich, dass sich jeder Mathematiker mit einer konsistenten Theorie befassen möchte, also mit einer Theorie, in der es unmöglich ist, zwei Theoreme gleichzeitig zu beweisen, die sich eindeutig widersprechen. Ist Cantors Theorie konsistent? Inwieweit können wir das Angebot der betrachteten Sets erweitern? Leider ist nicht alles so rosig. Wenn wir ein so scheinbar harmloses Konzept wie „die Menge aller Mengen U“ einführen, ergeben sich eine Reihe interessanter Punkte.
https://pandia.ru/text/78/390/images/image009_32.gif" width="81" height="75 src="> T.2.6.(2) Russells Paradoxon
Sei B die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als eigene Elemente enthalten. Dann können zwei Sätze bewiesen werden.
Satz 2.6.(2).1.
B gehört zu V.
Nachweisen
Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. IN nicht gehören IN. Per Definition bedeutet dies das IN gehört IN. Wir haben einen Widerspruch – daher ist die ursprüngliche Annahme falsch und IN gehört IN, Q.E.D.
Satz 2.6.(2).2.
B gehört nicht zu V.
Nachweisen
Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. IN gehört IN. Per Definition einer Menge IN kein Element davon kann sich selbst als sein eigenes Element haben, daher IN nicht gehören IN. Ein Widerspruch – daher ist die ursprüngliche Annahme falsch und IN nicht gehören IN, Q.E.D.
Es ist leicht zu erkennen, dass die Sätze 2.6.(2).1. und 2.6.(2).2. schließen sich gegenseitig aus.
Leider rettet auch der Ausschluss aller superextensiven Mengen aus der Betrachtung Cantors Theorie nicht. Im Wesentlichen beeinflusst Russells Paradoxon die Logik, also die Argumentationsmethoden, mit denen neue Konzepte gebildet werden, wenn man von einer wahren Aussage zu einer anderen übergeht.
Bereits bei der Ableitung eines Paradoxons wird das logische Gesetz der ausgeschlossenen Mitte verwendet, das eine der integralen Argumentationsmethoden in der klassischen Mathematik ist (d. h. wenn die Aussage nicht-A wahr ist, dann ist A falsch). Wenn man über das Wesentliche der Dinge nachdenkt, kann man sich grundsätzlich von der Mengenlehre und der Mathematik im Allgemeinen entfernen.
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Ergänzt man die Menge der rationalen Zahlen um eine Menge irrationaler Zahlen, so bilden sie zusammen die Menge der reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen wird üblicherweise mit dem Buchstaben R bezeichnet; Sie verwenden auch die symbolische Notation (-oo, +oo) oder (-oo, oo).
Die Menge der reellen Zahlen kann wie folgt beschrieben werden: Sie ist eine Menge endlicher und unendlicher Dezimalbrüche; Endliche Dezimalzahlen und unendliche dezimale periodische Brüche sind rationale Zahlen, und unendliche dezimale nichtperiodische Brüche sind irrationale Zahlen.
Jede reelle Zahl kann durch einen Punkt auf einer Koordinatenlinie dargestellt werden. Das Umgekehrte gilt auch: Jeder Punkt auf einer Koordinatenlinie hat eine reelle Koordinate. Mathematiker sagen normalerweise Folgendes: Es wurde eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge R der reellen Zahlen und der Menge der Punkte auf der Koordinatenlinie hergestellt. Die Koordinatenlinie ist ein geometrisches Modell der Menge der reellen Zahlen; Aus diesem Grund wird für die Koordinatenlinie häufig auch der Begriff Zahlenstrahl verwendet.
Denken Sie über diesen Begriff nach: Kommt er Ihnen nicht unnatürlich vor? Schließlich ist eine Zahl ein Objekt der Algebra und eine gerade Linie ein Objekt der Geometrie. Gibt es hier eine „Genremischung“? Nein, alles ist logisch, alles ist durchdacht. Dieser Begriff unterstreicht noch einmal die Einheit verschiedener Bereiche der Mathematik und macht sie möglich
Identifizierung der Konzepte „reelle Zahl“ und „Punkt auf der Koordinatenlinie (numerisch)“.
Bitte beachten Sie: Sie verwenden die Koordinatenlinie seit der 5. Klasse. Aber es stellte sich heraus, dass es eine völlig berechtigte Wissenslücke gab: Für keinen Punkt auf der Koordinatenlinie hätten Sie die Koordinate finden können – der Lehrer hat Sie einfach vor solchen Problemen bewahrt.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Eine Koordinatenlinie ist gegeben, ein Quadrat wird auf seinem Einheitssegment konstruiert (Abb. 100), die Diagonale des Quadrats OB wird auf der Koordinatenlinie vom Punkt O nach rechts aufgetragen, das Ergebnis ist Punkt D. Was ist die Koordinate von Punkt D? Sie ist gleich der Länge der Diagonale des Quadrats, d.h. Diese Zahl ist wie
Wir wissen jetzt, dass es sich nicht um ein Ganzes oder einen Bruch handelt. Das bedeutet, dass Sie weder in der 5. noch in der 6. noch in der 7. Klasse die Koordinate von Punkt D finden könnten.
Deshalb haben wir bisher „Koordinatenlinie“ und nicht „Zahlenlinie“ gesagt.
Beachten Sie, dass es eine weitere berechtigte Lücke in Ihren Algebra-Kenntnissen gab. Wenn wir Ausdrücke mit Variablen betrachten, meinen wir immer, dass Variablen alle gültigen Werte annehmen können, aber nur rationale, da es keine anderen gibt. Tatsächlich können Variablen annehmen
alle gültigen gültigen Werte. Zum Beispiel in der Identität
(a + b)(a-b) = a 2 -b 2 beliebige Zahlen können als a und b fungieren, nicht unbedingt
rational. Wir haben dies bereits am Ende des vorherigen Absatzes verwendet. Dasselbe haben wir in § 18 verwendet – insbesondere in den Beispielen 6, 7, 8 aus diesem Absatz.
Für reelle Zahlen a, b, c gelten die üblichen Gesetze:
a + b = b + a;
ab = ba;
a + (b + c) = (a + b) + c
a(bc) =(ab)c
(a + b) c = ac + bc usw.
Es gelten auch die üblichen Regeln: Das Produkt (Quotient) zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl;
das Produkt (Quotient) zweier negativer Zahlen ist eine positive Zahl;
Das Produkt (Quotient) einer positiven und einer negativen Zahl ist eine negative Zahl.
Mit der folgenden Definition können reelle Zahlen miteinander verglichen werden.
Definition . Eine reelle Zahl a heißt größer (kleiner als) eine reelle Zahl b, wenn ihre Differenz a – b eine positive (negative) Zahl ist. Schreiben Sie a > b (a< b).
Aus dieser Definition folgt, dass jede positive Zahl a größer als Null ist (da die Differenz a - 0 = a eine positive Zahl ist) und jede negative Zahl b kleiner als Null ist (da die Differenz b - 0 = b eine negative Zahl ist). Nummer).
Also bedeutet a > 0, dass a eine positive Zahl ist;
A< 0 означает, что а — отрицательное число;
a>b bedeutet, dass a -b eine positive Zahl ist, d. h. a - b > 0;
A diese. a - b< 0.
Zusammen mit den Anzeichen strenger Ungleichheiten (<, >) Verwenden Sie Zeichen schwacher Ungleichungen:
a 0 bedeutet, dass a größer als Null oder gleich Null ist, das heißt, a ist eine nicht negative Zahl (positiv oder 0), oder dass a nicht kleiner als Null ist;
und 0 bedeutet, dass a kleiner als Null oder gleich Null ist, das heißt, a ist eine nicht positive Zahl (negativ oder 0) oder dass a nicht größer als Null ist;
und b bedeutet, dass a größer oder gleich b ist, d. h. a – b ist eine nicht negative Zahl, oder dass a nicht kleiner als b ist; a - b 0;
und b bedeutet, dass a kleiner oder gleich b ist, das heißt, a - b ist eine nicht positive Zahl, oder dass a nicht größer als b ist; a - b 0.
Beispielsweise gilt für jede Zahl a die Ungleichung a 2 0;
Für alle Zahlen a und b gilt die Ungleichung (a - b) 2 0.
Um reelle Zahlen zu vergleichen, ist es jedoch nicht notwendig, jedes Mal ihre Differenz auszugleichen und herauszufinden, ob sie positiv oder negativ ist. Durch den Vergleich von Zahlen in Form von Dezimalbrüchen können Sie die entsprechende Schlussfolgerung ziehen.
Das geometrische Modell der Menge der reellen Zahlen, also des Zahlenstrahls, macht den Vergleich von Zahlen besonders deutlich: Von zwei Zahlen a, b ist die auf dem Zahlenstrahl rechts liegende größer.
Daher muss der Vergleich reeller Zahlen recht flexibel angegangen werden, was wir im nächsten Beispiel verwenden.
Beispiel 1. Zahlen vergleichen:
Beispiel 2. Ordnen Sie die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge an
Es ist eines der grundlegenden undefinierten Konzepte der Mathematik. Unter einer Menge versteht man eine Sammlung (Sammlung, Klasse, Familie...) einiger Objekte, die durch ein bestimmtes Merkmal verbunden sind. Wir können also über die vielen Studenten am Institut sprechen, über die vielen Fische im Schwarzen Meer, über die vielen Wurzeln der Gleichung x 2 + 2x + 2 = 0, etwa viele alle natürlichen Zahlen usw.
Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, werden ihre Elemente genannt. Mengen werden normalerweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets A, B,..., X, Y,... und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben a, b,... ..., x, y, bezeichnet. ..
Wenn ein Element x zur Menge X gehört, dann schreiben Sie x О X; notieren Sie xÏ X oder x Î X bedeutet, dass Element x nicht zur Menge X gehört.
Beispielsweise bedeutet die Notation A=(1,3,15), dass Menge A aus den drei Zahlen 1, 3 und 15 besteht; Die Notation A=(x:0≤x≤2) bedeutet, dass die Menge A aus allen reellen Zahlen (sofern nicht anders angegeben) besteht, die die Ungleichung 0 ≤ x ≤ 2 erfüllen.
Ein Haufen A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element der Menge A ein Element der Menge B ist. Symbolisch wird dies als AÌ B („A ist in B enthalten“) oder BÉ A („die Menge B enthält das“) bezeichnet Satz A“).
Sie sagen, dass Sätze A und B sind gleich oder gleich, und schreiben Sie A=B, wenn AÌ B und BÌ A. Mit anderen Worten: Sätze, die aus den gleichen Elementen bestehen, werden als gleich bezeichnet.
Verband(oder die Summe) der Mengen A und B ist eine Menge, die aus Elementen besteht, von denen jedes zu mindestens einer dieser Mengen gehört. Die Vereinigung (Summe) von Mengen wird mit AUB (oder A+B) bezeichnet. Kurz gesagt können Sie АУВ = (x: xєA oder xєB) schreiben.
Der Schnittpunkt (oder das Produkt) der Mengen A und B ist eine Menge, die aus Elementen besteht, von denen jedes zur Menge A und zur Menge B gehört. Der Schnittpunkt (das Produkt) der Mengen wird mit A∩B (oder A*B) bezeichnet. Kurz gesagt können wir A∩B=(x:xєA und xєB) schreiben
Um Datensätze zu verkürzen, werden wir in Zukunft einige einfache logische Symbole verwenden:
ΑÞ ß - bedeutet „aus dem Satz α folgt der Satz ß“;
ΑÛ ß – „die Sätze α und ß sind äquivalent“, das heißt, aus α folgt ß und aus ß folgt α;
" - bedeutet „für jeden“, „für jeden“;
$ – „existiert“, „wird gefunden“;
: - „findet statt“, „so dass“;
→ - „Compliance“.
Zum Beispiel:
1) der Eintrag „xО А:α“ bedeutet: „Für jedes Element xО А gilt der Satz α“;
2) (х єA U В)<==>(x є A oder x є B); Dieser Eintrag definiert die Vereinigung der Mengen A und B.
13.2. Numerisch Sätze. Menge reeller Zahlen
Mengen, deren Elemente Zahlen sind, heißen numerisch. Beispiele für Zahlenmengen sind:
N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) – Menge natürlicher Zahlen;
Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) – Menge nicht negativer Ganzzahlen;
Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) – Menge von ganzen Zahlen;
Q=(m/n: mО Z,nО N) – Menge rationaler Zahlen.
R-Menge reeller Zahlen.
Zwischen diesen Mengen besteht eine Beziehung
NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.
Ein Haufen R enthält rationale und irrationale Zahlen. Jede rationale Zahl wird entweder als endlicher Dezimalbruch oder als unendlicher periodischer Bruch ausgedrückt. Also sind 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... rationale Zahlen.
Man nennt reelle Zahlen, die nicht rational sind irrational.
Satz 13.1.
Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 ist.
▼Angenommen, es gibt eine rationale Zahl, dargestellt durch einen irreduziblen Bruch m/n, deren Quadrat gleich 2 ist. Dann haben wir:
(m/n) 2 =2, also m 2 =2n 2.
Daraus folgt, dass m 2 (und damit m) eine gerade Zahl ist, d. h. m=2k. Wenn wir m=2k in die Gleichung m 2 =2n 2 einsetzen, erhalten wir 4k 2 = 2n 2, d. h. 2k 2 =n 2,
Daraus folgt, dass die Zahl n-gerade ist, also n=2l. Dann ist aber der Bruch m/n=2k/2l reduzierbar. Dies widerspricht der Annahme, dass m/n ein irreduzibler Bruch ist. Daher gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich der Zahl 2 ist. ▲
Eine irrationale Zahl wird als unendlicher nichtperiodischer Bruch ausgedrückt. Also sind √2=1,4142356... irrationale Zahlen. Wir können sagen: Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge aller unendlichen Dezimalbrüche. Und schreibe es auf
R=(x: x=α,α 1 α 2 α 3 ...), wobei aєZ und i є(0,1,...,9).
Ein Haufen R reelle Zahlen haben die folgenden Eigenschaften.
1. Es ist geordnet: Für zwei beliebige verschiedene Zahlen α und b gilt eine von zwei Beziehungen: a
2. Ein Haufen R ist dicht: Zwischen zwei beliebigen unterschiedlichen Zahlen a und b gibt es eine unendliche Menge reeller Zahlen x, also Zahlen, die die Ungleichung a erfüllen<х Also, wenn a (A 3. Ein Haufen R kontinuierlich. Die Menge R sei in zwei nichtleere Klassen A und B unterteilt, so dass jede reelle Zahl nur in einer Klasse enthalten ist und für jedes Zahlenpaar aєA und bєB die Ungleichung a gilt Die Eigenschaft der Kontinuität ermöglicht es uns, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen herzustellen viele aller reellen Zahlen und die Menge aller Punkte auf einer Geraden. Das bedeutet, dass jede Zahl xєR einem bestimmten (einzelnen) Punkt auf der Zahlenachse entspricht und umgekehrt jeder Punkt auf der Achse einer bestimmten (einzelnen) reellen Zahl entspricht. Daher sagen sie anstelle des Wortes „Zahl“ oft „Punkt“. 13.3 Numerische Intervalle. Nachbarschaft eines Punktes Seien a und b reelle Zahlen und a Numerische Intervalle(Intervalle) sind Teilmengen aller reellen Zahlen mit der folgenden Form: = (x: α ≤ x ≤ b) - Segment (Segment, geschlossenes Intervall); Die Zahlen a und b werden als linkes bzw. rechtes Ende dieser Intervalle bezeichnet. Die Symbole -∞ und +∞ sind keine Zahlen, sondern eine symbolische Bezeichnung für den Prozess der unbegrenzten Entfernung von Punkten auf der Zahlenachse vom Anfang 0 nach links und rechts. Sei x o eine beliebige reelle Zahl (ein Punkt auf der Zahlengeraden). Eine Umgebung des Punktes xo ist jedes Intervall (a; b), das den Punkt x0 enthält. Insbesondere wird das Intervall (x o -ε, x o +ε), bei dem ε >0 ist, als ε-Umgebung des Punktes x o bezeichnet. Die Zahl xo heißt Mittelpunkt. Wenn x Î
(x 0 -ε; x 0 +ε), dann ist die Ungleichung x 0 -ε erfüllt<х<х 0 +ε, или, что то
же, |х-х о |<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание
точки х в ε -окрестность точки х о (см. рис. 97).
(a;) = (x: a< х < b} - интервал (открытый промежуток);
= (x:a< х ≤ b} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);
(-∞; b] = (x: x ≤ b); [α, +∞) = (x: x ≥ α);
(-∞; b) = (x: x
(-∞, ∞) = (x: -∞<х<+∞} = R - бесконечные интервалы (промежутки).
