So lösen Sie Operationen mit gewöhnlichen Brüchen. Positive und negative Brüche. Brüche multiplizieren und dividieren
Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier führen wir das Konzept eines Bruchs eines Ganzen ein, was uns zur Definition eines gemeinsamen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Schreibweise für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, sagen wir zum Zähler und Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von echten und unechten, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Position von Bruchzahlen auf dem Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die wichtigsten Operationen mit Brüchen auf.
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Anteile am Ganzen
Zuerst stellen wir vor Konzept des Teilens.
Nehmen wir an, dass wir ein Objekt haben, das aus mehreren absolut identischen (also gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich zum Beispiel einen Apfel vorstellen, der in mehrere gleiche Teile geschnitten ist, oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Scheiben besteht. Jeder dieser gleichen Teile, aus denen das gesamte Objekt besteht, wird aufgerufen Teile des Ganzen oder einfach Anteile.
Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Lass uns zwei Äpfel haben. Schneiden Sie den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass sich der Anteil des ersten Apfels vom Anteil des zweiten Apfels unterscheiden wird.
Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen sich das Gesamtobjekt zusammensetzt, haben diese Anteile eigene Namen. Lass es uns klären Namen von Beats. Wenn ein Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als zweiter Teil des gesamten Objekts bezeichnet. Wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als dritter Teil bezeichnet und so weiter.
Eine zweite Aktie hat einen besonderen Namen - Hälfte. Ein Drittel wird aufgerufen dritte, und ein Viertelteil - ein Viertel.
Der Kürze halber wurde Folgendes eingeführt: Beat-Symbole. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil wird als oder 1/3 bezeichnet; ein Viertel der Aktie - Like oder 1/4 und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um den Stoff zu vertiefen, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet den einhundertsiebenundsechzigsten Teil des Ganzen.
Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Gegenständen auf Mengen. Eines der Längenmaße ist beispielsweise der Meter. Um Längen von weniger als einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie beispielsweise einen halben Meter oder einen Zehntel oder Tausendstel Meter verwenden. Die Anteile anderer Größen werden analog angesetzt.
Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche
Um die Anzahl der von uns verwendeten Aktien zu beschreiben gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.
Lassen Sie die Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie repräsentiert in diesem Fall ein Zwölftel einer ganzen Orange, also . Wir bezeichnen zwei Schläge als, drei Schläge als usw., 12 Schläge bezeichnen wir als. Jeder der angegebenen Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.
Lassen Sie uns nun einen allgemeinen Überblick geben Definition gemeinsamer Brüche.
Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, etwas anzugeben Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10, , 21/1, 9/4, . Und hier sind die Aufzeichnungen 
entsprechen nicht der angegebenen Definition gewöhnlicher Brüche, d. h. sie sind keine gewöhnlichen Brüche.
Zähler und Nenner
Der Einfachheit halber werden gewöhnliche Brüche unterschieden Zähler und Nenner.
Definition.
Zähler Der gewöhnliche Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl m.
Definition.
Nenner Der gemeinsame Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl n.
Der Zähler befindet sich also oberhalb des Bruchstrichs (links vom Schrägstrich) und der Nenner unterhalb des Bruchstrichs (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.
Es bleibt noch die Bedeutung zu diskutieren, die im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs enthalten ist. Der Nenner eines Bruchs gibt an, aus wie vielen Teilen ein Gegenstand besteht, und der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Beispielsweise bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Objekt aus fünf Anteilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Anteile genommen werden.
Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1
Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, mit anderen Worten, es repräsentiert etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Objekte genommen werden. Somit hat ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. Damit haben wir die Gültigkeit der Gleichung m/1=m begründet.
Schreiben wir die letzte Gleichung wie folgt um: m=m/1. Diese Gleichheit ermöglicht es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103.498 entspricht dem Bruch 103.498/1.
Also, Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.
Bruchstrich als Divisionszeichen
Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Aufteilung in n gleiche Teile. Nachdem ein Artikel in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.
Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen und jeder Person von jedem der m Objekte einen Anteil geben. In diesem Fall hat jede Person m Anteile von 1/n, und m Anteile von 1/n ergeben den gemeinsamen Bruchteil m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Elementen auf n Personen zu bezeichnen.
Auf diese Weise haben wir einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und der Division erhalten (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Dieser Zusammenhang drückt sich wie folgt aus: Die Bruchlinie kann als Divisionszeichen verstanden werden, d. h. m/n=m:n.
Mit einem gewöhnlichen Bruch können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die eine ganze Division nicht durchgeführt werden kann. Das Ergebnis der Division von 5 Äpfeln durch 8 Personen kann beispielsweise als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8 = 5/8.
Gleiche und ungleiche Brüche, Vergleich von Brüchen
Eine ziemlich natürliche Aktion ist Brüche vergleichen, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange sich von 5/12 unterscheidet und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie ein weiteres 1/6 dieses Apfels.
Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten – ungleiche gewöhnliche Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.
Definition.
gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c wahr ist.
Definition.
Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c nicht erfüllt ist.
Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gemeinsame Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1·4=2·2 (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, den ersten halbieren und den zweiten in 4 Teile schneiden. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels einem halben Anteil entsprechen. Weitere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Brüchepaar 81/50 und 1.620/1.000.
Aber die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4·14=56 und 13·5=65, also 4·14≠13·5. Weitere Beispiele für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.
Wenn sich beim Vergleich zweier gemeinsamer Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gemeinsamen Brüche es ist weniger anders, und welches - mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.
Bruchzahlen
Jeder Bruch ist eine Notation Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur die „Hülle“ einer Bruchzahl, ihr Aussehen und die gesamte semantische Last ist in der Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Bequemlichkeit halber werden die Konzepte von Bruch und Bruchzahl jedoch kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: Wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.
Brüche auf einem Koordinatenstrahl
Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz, das heißt, es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Brüchen und den Punkten des Koordinatenstrahls.
Um zu dem Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu gelangen, der dem Bruchteil m/n entspricht, müssen Sie m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung beiseite legen, deren Länge 1/n Bruchteil eines Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein Einheitssegment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.
Zeigen wir zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl an, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge eines Segments, das am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt endet und mit einem kleinen Strich markiert ist, beträgt 1/10 eines Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird im Abstand von 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.
Gleiche Brüche entsprechen derselben Bruchzahl, das heißt, gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 einem Punkt auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er liegt im Abstand von einem halben Einheitssegment). vom Ursprung in positiver Richtung).
Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate der größere Bruchteil ist, rechts vom Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruchteil ist. Ebenso liegt ein Punkt mit einer kleineren Koordinate links von einem Punkt mit einer größeren Koordinate.
Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele
Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es Echte und unechte Brüche. Diese Division basiert auf einem Vergleich von Zähler und Nenner.
Definieren wir echte und unechte gewöhnliche Brüche.
Definition.
Richtiger Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, d. h. wenn m Definition.
Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht. Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4, , 32.765/909.003. Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen), sodass sie per Definition korrekt sind. Hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4, . Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den übrigen Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Es gibt auch Definitionen für echte und unechte Brüche, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren. Definition. richtig, wenn es kleiner als eins ist. Definition. Ein gewöhnlicher Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist. Der gemeinsame Bruch 7/11 ist also korrekt, da 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1. Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, einen solchen Namen verdienen – „uneigentlich“. Nehmen wir zum Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass von einem Objekt, das aus neun Teilen besteht, neun Teile genommen werden. Das heißt, aus den verfügbaren neun Teilen können wir ein ganzes Objekt bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen das gesamte Objekt, also 9/9 = 1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch die natürliche Zahl 1 ersetzt werden. Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ganz offensichtlich, dass wir aus diesen sieben dritten Teilen zwei ganze Objekte zusammensetzen können (ein ganzes Objekt besteht aus 3 Teilen, um dann zwei ganze Objekte zusammenzusetzen, brauchen wir 3 + 3 = 6 Teile) und immer noch ein dritter Teil übrig bleibt . Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Objekte und auch 1/3 eines solchen Objekts. Und aus zwölf Viertelteilen können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit jeweils vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte. Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler gleichmäßig durch den Nenner geteilt wird (z. B. 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs, wenn der Zähler nicht gleichmäßig durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3). Vielleicht ist es genau das, was unechten Brüchen den Namen „unregelmäßig“ eingebracht hat. Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Trennen des ganzen Teils von einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine gesonderte und sorgfältigere Betrachtung. Es ist auch erwähnenswert, dass zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen ein sehr enger Zusammenhang besteht. Jeder gemeinsame Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel über positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Beispielsweise sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn Sie die Positivität eines Bruchs hervorheben müssen, wird davor ein Pluszeichen platziert, zum Beispiel +3/4, +72/34. Wenn Sie einem gemeinsamen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall können wir darüber reden negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10, −65/13, −1/18. Positive und negative Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und −5/7 entgegengesetzte Brüche. Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Addition, ein Einkommen, eine Aufwärtsänderung eines beliebigen Wertes usw. Negative Brüche entsprechen Ausgaben, Schulden oder einer Verringerung einer beliebigen Menge. Beispielsweise kann der negative Bruch −3/4 als eine Schuld interpretiert werden, deren Wert gleich 3/4 ist. In horizontaler Richtung nach rechts befinden sich negative Brüche links vom Ursprung. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruchteil m/n und der negative Bruchteil −m/n sind, liegen im gleichen Abstand vom Ursprung, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O. Hier sind Brüche der Form 0/n zu erwähnen. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0. Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen. Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir oben bereits besprochen. Es werden vier weitere arithmetische Funktionen definiert Operationen mit Brüchen– Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Schauen wir uns jeden von ihnen an. Das allgemeine Wesen von Operationen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen. Machen wir eine Analogie. Brüche multiplizieren kann als die Aktion betrachtet werden, einen Bruch aus einem Bruch zu finden. Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel. Wir haben 1/6 eines Apfels und müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem Sonderfall einer natürlichen Zahl entspricht). Als nächstes empfehlen wir Ihnen, die Informationen im Artikel Brüche multiplizieren – Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren. Referenzliste. Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel schauen wir uns Beispiele an, alles im Detail mit Erklärungen. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. Wir werden uns später die Dezimalzahlen ansehen. Ich empfehle, sich das Ganze anzusehen und es der Reihe nach zu studieren. 1. Summe der Brüche, Differenz der Brüche. Regel: Wenn Brüche mit gleichen Nennern addiert werden, ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist. Regel: Wenn wir die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch – der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert. Formale Notation für Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner: Beispiele (1): Es ist klar, dass bei der Angabe gewöhnlicher Brüche alles einfach ist, aber was ist, wenn sie gemischt sind? Nichts Kompliziertes... Variante 1– Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen. Option 2– Sie können getrennt mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen „arbeiten“. Beispiele (2): Noch: Was ist, wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Sie können auch auf zwei Arten vorgehen. Beispiele (3): *In gewöhnliche Brüche umgewandelt, die Differenz berechnet und den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten Bruch umgewandelt. *Wir haben es in ganzzahlige und gebrochene Teile zerlegt, eine Drei erhalten, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, wobei eins als 11/11 dargestellt wurde, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 ermittelt und das Ergebnis berechnet . Der Sinn der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie in Form eines Bruchs mit dem Nenner darzustellen, den wir brauchen, dann können wir von diesem Bruch eine andere subtrahieren. Ein anderes Beispiel: Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz: Um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichem Nenner zu berechnen, können diese immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn das Ergebnis danach ein unechter Bruch ist, wandeln wir ihn in einen gemischten Bruch um. Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die den gleichen Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (umzuwandeln), wird die Grundeigenschaft des Bruchs verwendet. Schauen wir uns einfache Beispiele an: In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten. Wenn wir Wege benennen, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren, nennen wir diesen einen Methode eins.
Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ eines Bruchs herausfinden, ob dieser Ansatz funktioniert – wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es teilbar ist, führen wir eine Transformation durch – wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden. Schauen Sie sich nun diese Beispiele an: Für sie ist dieser Ansatz nicht anwendbar. Es gibt auch Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen; betrachten wir sie. Methode ZWEI.
Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten: *Tatsächlich reduzieren wir Brüche, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes verwenden wir die Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner. Beispiel: *Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Der einzige Nachteil besteht darin, dass Sie nach den Berechnungen möglicherweise einen Bruchteil erhalten, der weiter reduziert werden muss. Schauen wir uns ein Beispiel an: Man erkennt, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind: Methode DREI. Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner ermitteln. Dies wird der gemeinsame Nenner sein. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind – das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste davon ist 12. Oder 6 und 15, sie sind durch 30 teilbar, 60, 90 .... Der kleinste Wert ist 30. Die Frage ist: Wie ermittelt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache? Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft ist dies ohne Berechnungen sofort möglich. Gemäß den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) ist beispielsweise kein Algorithmus erforderlich. Wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, sie verdoppelt und festgestellt, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, Zahlenpaare jedoch Seien Sie andere, zum Beispiel 51 und 119. Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu ermitteln, müssen Sie: - Zerlegen Sie jede Zahl in EINFACHE Faktoren – Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf - Multiplizieren Sie es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen Schauen wir uns Beispiele an: 50 und 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt eins fünf => LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300 48 und 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei => LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144 * Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen ist ihr Produkt Frage! Warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, wenn man doch die zweite Methode verwenden und einfach den resultierenden Bruch reduzieren kann? Ja, es ist möglich, aber es ist nicht immer bequem. Schauen Sie sich den Nenner der Zahlen 48 und 72 an, wenn Sie sie einfach mit 48∙72 = 3456 multiplizieren. Sie werden mir zustimmen, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten. Schauen wir uns Beispiele an: *51 = 3∙17 119 = 7∙17
Bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel => NOC(51,119) = 3∙7∙17 Lassen Sie uns nun die erste Methode verwenden: *Schauen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, aber im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Finden des LOC vereinfacht die Arbeit erheblich. Mehr Beispiele: *Im zweiten Beispiel wird deutlich, dass die kleinste Zahl, die durch 40 und 60 teilbar ist, 120 ist. ERGEBNIS! ALLGEMEINER COMPUTING-ALGORITHMUS!
— Wir reduzieren Brüche auf gewöhnliche Brüche, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt. - Wir bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst prüfen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist; wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir den Zähler und den Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, gehen wir mit den anderen Methoden vor Oben angegeben). - Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Operationen (Addition, Subtraktion) durch. - Bei Bedarf reduzieren wir das Ergebnis. - Wählen Sie ggf. das gesamte Teil aus. 2. Produkt von Brüchen. Die Regel ist einfach. Bei der Multiplikation von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert: Aufgabe. 13 Tonnen Gemüse wurden zur Basis gebracht. Kartoffeln machen drei Viertel aller importierten Gemüsesorten aus. Wie viele Kilogramm Kartoffeln wurden zur Basis gebracht? Lassen Sie uns mit dem Stück abschließen. *Ich habe zuvor versprochen, Ihnen eine formelle Erklärung der Haupteigenschaft eines Bruchs durch ein Produkt zu geben. Bitte: 3. Division von Brüchen. Bei der Division von Brüchen geht es darum, sie zu multiplizieren. Dabei ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Bruch, der den Divisor darstellt (durch den dividiert wird), umgedreht wird und die Aktion zur Multiplikation wechselt: Diese Aktion kann in Form eines sogenannten vierstöckigen Bruchs geschrieben werden, da die Division „:“ selbst auch als Bruch geschrieben werden kann: Beispiele: Das ist alles! Viel Glück! Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh. In diesem Artikel werden Operationen mit Brüchen untersucht. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit ausführlichen Beschreibungen betrachtet. Yandex.RTB R-A-339285-1 Allgemeine Brüche haben einen Zähler und einen Nenner, die natürliche Zahlen oder numerische Ausdrücke enthalten. Wenn wir Brüche wie 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0, 5 ln 3, dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke verschiedener Art haben können. Definition 1 Es gibt Regeln, nach denen Operationen mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden. Es eignet sich auch für allgemeine Brüche: Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten: Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars durchführen: a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c · b · d Im vorherigen Absatz wurde über Operationen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde im Abschnitt über die Umrechnung von Brüchen ausführlich besprochen. Schauen wir uns zunächst ein Beispiel für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner an. Beispiel 1 Angesichts der Brüche 8 2, 7 und 1 2, 7 ist es gemäß der Regel notwendig, den Zähler zu addieren und den Nenner umzuschreiben. Lösung
Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2, 7. Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Also, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Antwort: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3 Es gibt eine andere Lösung. Zunächst wechseln wir zur Form eines gewöhnlichen Bruchs und führen anschließend eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3 Beispiel 2 Subtrahieren wir von 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 einen Bruchteil der Form 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 . Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet das, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Wir verstehen das 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Operationen mit Brüchen durchführen. Der Vorgang erinnert ein wenig an die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht und anschließend die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert. Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden. Beispiel 3 Schauen wir uns das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 an. Lösung
In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann erhalten wir 2 · 3 5 + 1. Wenn wir dann zusätzliche Faktoren festlegen, gilt für den ersten Bruch der Wert 2 und für den zweiten 3 · 5 + 1. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 · 3 5 + 1 reduziert. Die allgemeine Reduzierung von 1 2 beträgt 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das Ergebnis 2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1 Antwort: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1 Wenn wir es mit allgemeinen Brüchen zu tun haben, dann sprechen wir normalerweise nicht über den kleinsten gemeinsamen Nenner. Es ist unrentabel, das Produkt der Zähler als Nenner zu verwenden. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, deren Wert geringer ist als das Produkt. Beispiel 4 Betrachten wir das Beispiel von 1 6 · 2 1 5 und 1 4 · 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner. Schauen wir uns Beispiele für die Multiplikation allgemeiner Brüche an. Beispiel 5 Dazu müssen Sie 2 + 1 6 und 2 · 5 · 3 · 2 + 1 multiplizieren. Lösung
Der Regel folgend ist es notwendig, das Produkt der Zähler als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir erhalten das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Sobald ein Bruch multipliziert wurde, können Sie ihn durch Reduzierungen vereinfachen. Dann ist 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10. Unter Verwendung der Regel für den Übergang von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwertbruch erhalten wir einen Bruch, der der Kehrwert des gegebenen Bruchs ist. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 Dann müssen sie den resultierenden Bruch multiplizieren und vereinfachen. Beseitigen Sie bei Bedarf die Irrationalität im Nenner. Wir verstehen das 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2 Antwort: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2 Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 · 7 4 - 1 · 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht diese Eingabe so aus, als würde man zwei Brüche der Form 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 multiplizieren. Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind. Es muss bewiesen werden, dass A, C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem zulässigen Wertebereich entspricht. Es ist notwendig, eine Reihe von ODZ-Variablen zu verwenden. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte annehmen a 0 , c 0 und d 0. Die Substitution der Form A D ± C D führt zu einer Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir unter Verwendung der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir den gleichen Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0. Daraus schließen wir, dass der ausgewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen werden. Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden als identisch gleich bezeichnet. Dies bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D betrachtet wird. Wenn Sie die gleichen Nenner haben, müssen Sie nur die Zähler addieren oder subtrahieren. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit Brüchen arbeiten, die identisch gleich sind, was auf den ersten Blick jedoch nicht auffällt, da einige Transformationen durchgeführt werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um die gleichen Nenner zu sehen. Beispiel 6 Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 . Lösung
Betrachten wir eine zweifache Lösung. Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs mithilfe von Quadraten faktorisiert und anschließend reduziert wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1 Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 . In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen. 1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1 Die zweite Methode besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Ausdruck x - 1 zu multiplizieren. So beseitigen wir die Irrationalität und fahren mit der Addition von Brüchen mit demselben Nenner fort. Dann x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 Antwort: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 . Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Beim Addieren oder Subtrahieren müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit zusätzlichen Faktoren aussieht, die zu den Zählern addiert werden. Beispiel 7 Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x Lösung
Dann verstehen wir das 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 Antwort: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 . Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden. Beispiel 8 Multiplizieren Sie die Brüche x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 und 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x. Lösung
Es muss eine Multiplikation durchgeführt werden. Wir verstehen das x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle verschoben, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck der Form 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) Antwort: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) . Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Wenn wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 nehmen und durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x dividieren, dann kann er geschrieben werden als x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 · x x ersetzen 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) Kommen wir nun zur Betrachtung von Operationen mit allgemeinen Brüchen mit Potenzierung. Wenn es eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation gleicher Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Graden basiert. Für alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch gleich Null ist, und für jedes reelle r auf der ODZ gilt für einen Ausdruck der Form A C r die Gleichheit A C r = A r C r. Das Ergebnis ist ein zur Potenz erhobener Bruch. Bedenken Sie zum Beispiel: x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5 Operationen mit Brüchen werden nach bestimmten Regeln durchgeführt. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann ist es notwendig, alle Aktionen in strenger Reihenfolge auszuführen: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion darin ausgeführt. Beispiel 9 Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x . Lösung
Da wir den gleichen Nenner haben, dann 1 - x cos x und 1 c o s x, aber Subtraktionen können nicht gemäß der Regel durchgeführt werden; zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt, dann die Multiplikation und dann die Addition. Wenn wir dann rechnen, erhalten wir das 1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x Wenn wir den Ausdruck in den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Bei der Multiplikation von Brüchen gilt: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Nachdem wir alle Ersetzungen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen: x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x Antwort: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x . Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste Beispiele mit Brüchen gehören zu den Grundelementen der Mathematik. Es gibt viele verschiedene Arten von Gleichungen mit Brüchen. Nachfolgend finden Sie detaillierte Anweisungen zum Lösen von Beispielen dieser Art. Um Beispiele mit Brüchen jeglicher Art zu lösen, sei es Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division, müssen Sie die Grundregeln kennen: Regel 1, Beispiel 1: Berechnen Sie 3/4 + 1/4. Wenn zwei (oder mehr) Brüche denselben Nenner haben, addieren Sie gemäß Regel 1 einfach ihre Zähler. Wir erhalten: 3/4 + 1/4 = 4/4. Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, ist der Bruch gleich 1. Antwort: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1. Regel 2, Beispiel 1: Berechnen Sie: 3/4 – 1/4 Um diese Gleichung mithilfe von Regel Nummer 2 zu lösen, müssen Sie 1 von 3 subtrahieren und den Nenner gleich lassen. Wir bekommen 2/4. Da zwei 2 und 4 reduziert werden können, reduzieren wir und erhalten 1/2. Antwort: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2. Regel 3, Beispiel 1 Berechnen Sie: 3/4 + 1/6 Lösung: Mithilfe der 3. Regel ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner ist die Zahl, die durch die Nenner aller Bruchausdrücke im Beispiel teilbar ist. Daher müssen wir die Mindestzahl finden, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist. Diese Zahl ist 12. Wir schreiben 12 als Nenner. Teilen Sie 12 durch den Nenner des ersten Bruchs, wir erhalten 3, multiplizieren Sie mit 3, schreiben Sie 3 im Zähler *3 und +-Zeichen. Teilen Sie 12 durch den Nenner des zweiten Bruchs, wir erhalten 2, multiplizieren Sie 2 mit 1, schreiben Sie 2*1 in den Zähler. Wir erhalten also einen neuen Bruch mit einem Nenner von 12 und einem Zähler von 3*3+2*1=11. 11/12. Antwort: 11/12 Regel 3, Beispiel 2: Berechnen Sie 3/4 – 1/6. Dieses Beispiel ist dem vorherigen sehr ähnlich. Wir machen alle die gleichen Schritte, aber in den Zähler schreiben wir anstelle des +-Zeichens ein Minuszeichen. Wir erhalten: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12. Antwort: 7/12 Regel 4, Beispiel 1: Berechnen Sie: 3/4 * 1/4 Mit der vierten Regel multiplizieren wir den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten. 3*1/4*4 = 3/16. Antwort: 3/16 Regel 4, Beispiel 2: Berechnen Sie 2/5 * 10/4. Dieser Anteil kann reduziert werden. Bei einem Produkt entfallen der Zähler des ersten Bruchs und der Nenner des zweiten sowie der Zähler des zweiten Bruchs und der Nenner des ersten. 2 streicht von 4. 10 streicht von 5. Wir erhalten 1 * 2/2 = 1*1 = 1. Antwort: 2/5 * 10/4 = 1 Regel 5, Beispiel 1: Berechnen Sie: 3/4: 5/6 Mit der 5. Regel erhalten wir: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Wir reduzieren den Bruch nach dem Prinzip des vorherigen Beispiels und erhalten 9/10. Antwort: 9/10. Bruchgleichungen sind Beispiele, bei denen der Nenner eine Unbekannte enthält. Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie bestimmte Regeln anwenden. Schauen wir uns ein Beispiel an: Lösen Sie die Gleichung 15/3x+5 = 3 Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null dividieren können, d. h. Der Nennerwert darf nicht Null sein. Bei der Lösung solcher Beispiele muss darauf hingewiesen werden. Hierzu gibt es einen OA (zulässiger Wertebereich). Also 3x+5 ≠ 0. Bei x = 5/3 hat die Gleichung einfach keine Lösung. Nachdem Sie die ODZ angegeben haben, können Sie diese Gleichung am besten lösen, indem Sie die Brüche entfernen. Dazu stellen wir zunächst alle nicht gebrochenen Werte als Bruch dar, in diesem Fall die Zahl 3. Wir erhalten: 15/(3x+5) = 3/1. Um Brüche loszuwerden, müssen Sie jeden Bruch mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multiplizieren. In diesem Fall ist es (3x+5)*1. Reihenfolge: Antwort: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18. Bruchungleichungen vom Typ (3x-5)/(2-x)≥0 werden mithilfe der Zahlenachse gelöst. Schauen wir uns dieses Beispiel an. Reihenfolge: Antwort: x = Ø Wenn man über Mathematik spricht, kommt man nicht umhin, sich an Brüche zu erinnern. Ihrem Studium wird viel Aufmerksamkeit und Zeit gewidmet. Denken Sie daran, wie viele Beispiele Sie lösen mussten, um bestimmte Regeln für die Arbeit mit Brüchen zu lernen, wie Sie sich die Grundeigenschaft eines Bruchs eingeprägt und angewendet haben. Wie viel Nerven hat es gekostet, den gemeinsamen Nenner zu finden, besonders wenn die Beispiele mehr als zwei Begriffe hatten! Erinnern wir uns daran, was es ist, und erfrischen wir die grundlegenden Informationen und Regeln für die Arbeit mit Brüchen. Beginnen wir vielleicht mit dem Wichtigsten – der Definition. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einem oder mehreren Teilen einer Einheit besteht. Eine Bruchzahl wird als zwei Zahlen geschrieben, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. In diesem Fall wird der obere (oder erste) Zähler und der untere (zweite) Nenner genannt. Es ist erwähnenswert, dass der Nenner angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist, und der Zähler die Anzahl der genommenen Anteile oder Teile angibt. Oftmals sind Brüche, wenn sie richtig sind, kleiner als eins. Schauen wir uns nun die Eigenschaften dieser Zahlen und die Grundregeln an, die bei der Arbeit mit ihnen verwendet werden. Aber bevor wir ein Konzept wie „die Haupteigenschaft eines rationalen Bruchs“ untersuchen, wollen wir über die Arten von Brüchen und ihre Merkmale sprechen. Es gibt verschiedene Arten solcher Zahlen. Erstens sind dies gewöhnliche und dezimale Zahlen. Die ersten stellen die Art der Aufnahme dar, die wir bereits mit einem Horizontalen oder Schrägstrich angegeben haben. Die zweite Art von Brüchen wird mit der sogenannten Positionsschreibweise angegeben, bei der zuerst der ganzzahlige Teil der Zahl und dann nach dem Dezimalpunkt der Bruchteil angegeben wird. Hierbei ist zu beachten, dass in der Mathematik sowohl Dezimal- als auch gewöhnliche Brüche gleichermaßen verwendet werden. Die Haupteigenschaft des Bruchs gilt nur für die zweite Option. Außerdem werden gewöhnliche Brüche in reguläre und unechte Zahlen unterteilt. Bei ersterem ist der Zähler immer kleiner als der Nenner. Beachten Sie auch, dass ein solcher Bruch kleiner als eins ist. Bei einem unechten Bruch hingegen ist der Zähler größer als der Nenner und der Bruch selbst ist größer als eins. In diesem Fall kann daraus eine ganze Zahl extrahiert werden. In diesem Artikel betrachten wir nur gewöhnliche Brüche. Jedes Phänomen, ob chemisch, physikalisch oder mathematisch, hat seine eigenen Merkmale und Eigenschaften. Bruchzahlen waren keine Ausnahme. Sie verfügen über eine wichtige Funktion, mit deren Hilfe bestimmte Operationen an ihnen durchgeführt werden können. Was ist die Haupteigenschaft eines Bruchs? Die Regel besagt, dass wir, wenn Zähler und Nenner mit derselben rationalen Zahl multipliziert oder dividiert werden, einen neuen Bruch erhalten, dessen Wert dem Wert des ursprünglichen Bruchs entspricht. Das heißt, wenn wir zwei Teile der Bruchzahl 3/6 mit 2 multiplizieren, erhalten wir einen neuen Bruch 6/12, und sie werden gleich sein. Basierend auf dieser Eigenschaft können Sie Brüche kürzen und gemeinsame Nenner für ein bestimmtes Zahlenpaar auswählen. Obwohl Brüche komplexer erscheinen, können sie auch zur Durchführung grundlegender mathematischer Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division verwendet werden. Darüber hinaus gibt es eine so spezifische Aktion wie das Reduzieren von Brüchen. Natürlich wird jede dieser Aktionen nach bestimmten Regeln ausgeführt. Die Kenntnis dieser Gesetze macht die Arbeit mit Brüchen einfacher, einfacher und interessanter. Aus diesem Grund betrachten wir als nächstes die Grundregeln und den Aktionsalgorithmus bei der Arbeit mit solchen Zahlen. Aber bevor wir über mathematische Operationen wie Addition und Subtraktion sprechen, schauen wir uns eine Operation wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner an. Hier ist es hilfreich zu wissen, welche Grundeigenschaft ein Bruch besitzt. Um eine Zahl auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ermitteln. Das heißt, die kleinste Zahl, die gleichzeitig durch beide Nenner ohne Rest teilbar ist. Der einfachste Weg, das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu finden, besteht darin, in einer Zeile den ersten Nenner und dann den zweiten aufzuschreiben und die entsprechende Zahl unter ihnen zu finden. Wenn das LCM nicht gefunden wird, das heißt, diese Zahlen kein gemeinsames Vielfaches haben, sollten Sie sie multiplizieren und der resultierende Wert wird als LCM betrachtet. Wir haben also das LCM gefunden, jetzt müssen wir einen zusätzlichen Faktor finden. Dazu müssen Sie das LCM abwechselnd in die Nenner der Brüche dividieren und die resultierende Zahl über jeden von ihnen schreiben. Als nächstes sollten Sie Zähler und Nenner mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor multiplizieren und die Ergebnisse als neuen Bruch schreiben. Wenn Sie bezweifeln, dass die erhaltene Zahl mit der vorherigen übereinstimmt, denken Sie an die Grundeigenschaft eines Bruchs. Kommen wir nun direkt zu den mathematischen Operationen mit Bruchzahlen. Beginnen wir mit dem Einfachsten. Für die Addition von Brüchen gibt es mehrere Möglichkeiten. Im ersten Fall haben beide Zahlen den gleichen Nenner. In diesem Fall müssen nur noch die Zähler addiert werden. Aber der Nenner ändert sich nicht. Beispiel: 1/5 + 3/5 = 4/5. Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und erst dann die Addition durchführen. Wir haben etwas weiter oben besprochen, wie das geht. In dieser Situation wird die Grundeigenschaft eines Bruchs nützlich sein. Mit dieser Regel können Sie Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der Wert wird sich in keiner Weise ändern. Alternativ kann es vorkommen, dass die Fraktion gemischt wird. Dann sollten Sie zuerst die ganzen Teile addieren und dann die Bruchteile. Es sind keine Tricks erforderlich, und um diese Aktion auszuführen, ist es nicht notwendig, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu kennen. Es reicht aus, zunächst Zähler und Nenner miteinander zu multiplizieren. In diesem Fall wird das Produkt der Zähler zum neuen Zähler und die Nenner zum neuen Nenner. Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Das Einzige, was von Ihnen verlangt wird, sind Kenntnisse der Multiplikationstabellen und Aufmerksamkeit. Darüber hinaus sollten Sie nach Erhalt des Ergebnisses unbedingt prüfen, ob diese Zahl reduziert werden kann oder nicht. Wir werden etwas später darüber sprechen, wie man Brüche reduziert. Bei der Durchführung sollten Sie sich an denselben Regeln orientieren wie beim Hinzufügen. Bei Zahlen mit gleichem Nenner reicht es also aus, den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden zu subtrahieren. Wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und dann diese Operation durchführen. Wie bei der Addition müssen Sie die grundlegenden Eigenschaften algebraischer Brüche sowie Kenntnisse im Finden von LCMs und gemeinsamen Faktoren für Brüche nutzen. Und die letzte und interessanteste Operation bei der Arbeit mit solchen Zahlen ist die Division. Es ist recht einfach und bereitet auch denjenigen keine besonderen Schwierigkeiten, die wenig Verständnis für den Umgang mit Brüchen haben, insbesondere für Addition und Subtraktion. Beim Dividieren gilt die gleiche Regel wie beim Multiplizieren mit einem Kehrwertbruch. Die Haupteigenschaft eines Bruchs, wie im Fall der Multiplikation, wird für diese Operation nicht verwendet. Lass uns genauer hinschauen. Bei der Division von Zahlen bleibt die Dividende unverändert. Der Divisorbruch wird in seinen Kehrwert umgewandelt, d. h. Zähler und Nenner tauschen ihre Plätze. Anschließend werden die Zahlen miteinander multipliziert. Wir haben also bereits die Definition und Struktur von Brüchen, ihre Typen und die Operationsregeln für diese Zahlen untersucht und die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs herausgefunden. Lassen Sie uns nun über einen solchen Vorgang wie die Reduktion sprechen. Beim Kürzen eines Bruchs handelt es sich um den Vorgang, ihn umzuwandeln – indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Somit wird der Bruch reduziert, ohne seine Eigenschaften zu ändern. Normalerweise sollten Sie bei der Durchführung einer mathematischen Operation das resultierende Ergebnis sorgfältig prüfen und herausfinden, ob es möglich ist, den resultierenden Bruch zu reduzieren oder nicht. Denken Sie daran, dass das Endergebnis immer eine Bruchzahl enthält, die keiner Reduzierung bedarf. Abschließend stellen wir fest, dass wir nicht alle Operationen mit Bruchzahlen aufgelistet haben, sondern nur die bekanntesten und notwendigsten erwähnen. Brüche können auch verglichen, in Dezimalzahlen umgewandelt und umgekehrt werden. In diesem Artikel haben wir diese Operationen jedoch nicht berücksichtigt, da sie in der Mathematik viel seltener ausgeführt werden als die oben vorgestellten. Wir haben mit ihnen über Bruchzahlen und Operationen gesprochen. Wir haben auch das Hauptgrundstück untersucht. Beachten wir jedoch, dass wir all diese Fragen nur nebenbei berücksichtigt haben. Wir haben nur die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Regeln aufgeführt und die unserer Meinung nach wichtigsten Ratschläge gegeben. Dieser Artikel soll Ihre vergessenen Informationen über Brüche auffrischen, anstatt neue Informationen bereitzustellen und Ihren Kopf mit endlosen Regeln und Formeln zu füllen, die Ihnen höchstwahrscheinlich nie nützlich sein werden. Wir hoffen, dass das im Artikel präsentierte Material einfach und prägnant für Sie nützlich war.Positive und negative Brüche
Operationen mit Brüchen
Beispiele:
Regeln für die Durchführung von Operationen mit allgemeinen numerischen Brüchen
Begründung für die Regeln
Definition 2 Beispiele
Durchführen von Operationen an Brüchen, die Variablen enthalten
Beispiele für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit Variablen
Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass es möglich ist, den Bruch zu reduzieren. Sein Zähler kann mit der Formel für das Quadrat der Summe gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2
aus abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann verstehen wir das
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x – 4)Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen
Aufteilung
Potenzierung
Verfahren zur Durchführung von Operationen mit Brüchen
So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – allgemeine Regeln
Wie man Beispiele mit Brüchen löst – üben
So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – Bruchgleichungen
Daher: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – gebrochene Ungleichungen
2. 2-x=0 => x=2
Definition von Brüchen
Was sind Brüche?
Eigenschaften von Brüchen
Operationen
Gemeinsamer Nenner
Zusatz
Multiplikation
Subtraktion
Aufteilung
Die Ermäßigung
Andere Operationen
Schlussfolgerungen
