So lösen Sie ein Ungleichungssystem grafisch. Ungleichungssysteme mit grafischer Methode lösen

Während des Unterrichts können Sie sich selbstständig mit dem Thema „Grafische Lösung von Gleichungen und Ungleichungen“ befassen. Während des Unterrichts untersucht der Lehrer grafische Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen. Erfahren Sie, wie Sie Diagramme erstellen, analysieren und Lösungen für Gleichungen und Ungleichungen erhalten. In der Lektion werden auch konkrete Beispiele zu diesem Thema behandelt.

Thema: Numerische Funktionen

Lektion: Grafische Lösung von Gleichungen, Ungleichungen

1. Unterrichtsthema, Einführung

Wir haben uns Graphen elementarer Funktionen angesehen, darunter auch Graphen von Potenzfunktionen mit unterschiedlichen Exponenten. Wir haben uns auch die Regeln zum Verschieben und Transformieren von Funktionsgraphen angesehen. All diese Fähigkeiten müssen bei Bedarf angewendet werden GrafikLösung Gleichungen oder grafisch LösungUngleichheiten.

2. Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen

Beispiel 1: Lösen Sie die Gleichung grafisch:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen (Abb. 1).

Der Graph einer Funktion ist eine Parabel, die durch die Punkte verläuft

Der Graph der Funktion ist eine gerade Linie. Erstellen wir ihn anhand der Tabelle.

Die Graphen schneiden sich im Punkt. Es gibt keine anderen Schnittpunkte, da die Funktion monoton zunimmt, die Funktion monoton abnimmt und daher ihr Schnittpunkt der einzige ist.

Beispiel 2: Ungleichung lösen

A. Damit die Ungleichung gilt, muss der Graph der Funktion über der Geraden liegen (Abb. 1). Dies geschieht, wenn

B. In diesem Fall hingegen muss die Parabel unter der Geraden liegen. Dies geschieht, wenn

Beispiel 3. Ungleichung lösen

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen (Abb. 2).

Finden wir die Wurzel der Gleichung, wenn es keine Lösungen gibt. Es gibt eine Lösung.

Damit die Ungleichung gilt, muss die Hyperbel über der Geraden liegen. Dies gilt, wenn .

Beispiel 4. Lösen Sie die Ungleichung grafisch:

Domain:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen für (Abb. 3).

A. Der Graph der Funktion muss sich unterhalb des Graphen befinden; dies geschieht, wenn

B. Der Graph der Funktion befindet sich über dem Graphen bei Da die Bedingung jedoch ein schwaches Vorzeichen hat, ist es wichtig, die isolierte Wurzel nicht zu verlieren

3. Fazit

Wir haben uns die grafische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen angesehen; Wir haben uns konkrete Beispiele angesehen, deren Lösung Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie und Parität nutzte.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal „ICH WERDE das Einheitliche Staatsexamen lösen“.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 355, 356, 364.

Ziele:

1. Wiederholen Sie Ihr Wissen über die quadratische Funktion.

2. Machen Sie sich mit der Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen basierend auf den Eigenschaften einer quadratischen Funktion vertraut.

Ausrüstung: Multimedia, Präsentation „Quadratische Ungleichungen lösen“, Karten zum selbstständigen Arbeiten, Tabelle „Algorithmus zur Lösung quadratischer Ungleichungen“, Testblätter mit Kohlepapier.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

I. Organisatorischer Moment (1 Minute).

II. Aktualisierung des Referenzwissens(10 Minuten).

1. Zeichnen eines Graphen der quadratischen Funktion y=x 2 -6x+8<Рисунок 1. Приложение >

• Bestimmung der Richtung der Äste einer Parabel;
• Bestimmen der Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel;
• Bestimmung der Symmetrieachse;
• Bestimmung von Schnittpunkten mit Koordinatenachsen;
• zusätzliche Punkte finden.

2. Bestimmen Sie aus der Zeichnung das Vorzeichen des Koeffizienten a und die Anzahl der Wurzeln der Gleichung ax 2 + in + c = 0.<Рисунок 2. Приложение >

3. Bestimmen Sie anhand des Diagramms der Funktion y=x 2 -4x+3:

• Was sind die Nullstellen der Funktion?
• Finden Sie die Intervalle, in denen die Funktion positive Werte annimmt.
• Finden Sie die Intervalle, in denen die Funktion negative Werte annimmt.
• Bei welchen Werten von x nimmt die Funktion zu und bei welchen Werten ab?<Рисунок 3>

4. Neues Wissen erlernen (12 Min.)

Aufgabe 1: Lösen Sie die Ungleichung: x 2 +4x-5 > 0.

Die Ungleichung wird durch die Werte von x erfüllt, für die die Werte der Funktion y = x 2 + 4x-5 gleich Null oder positiv sind, also die Werte von x, für die die Punkte der Parabeln liegen auf der x-Achse oder über dieser Achse.

Erstellen wir einen Graphen der Funktion y=x 2 +4x-5.

Mit der oh-Achse: X 2 +4x-5=0. Nach dem Satz von Vieta: x 1 = 1, x 2 = -5. Punkte(1;0),(-5;0).

Mit der y-Achse: y(0)=-5. Punkt (0;-5).

Zusätzliche Punkte: y(-1)=-8, y(2)=7.<Рисунок 4>

Ergebnis: Die Funktionswerte sind positiv und gleich Null (nicht negativ).

• Ist es notwendig, die quadratische Funktion jedes Mal im Detail grafisch darzustellen, um eine Ungleichung zu lösen?
• Müssen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel ermitteln?
• Was ist wichtig? (a, x 1, x 2)

Fazit: Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, genügt es, die Nullstellen der Funktion und die Richtung der Äste der Parabel zu bestimmen und eine Skizze des Graphen zu zeichnen.

Aufgabe 2: Lösen Sie die Ungleichung: x 2 -6x+8 < 0.

Lösung: Bestimmen wir die Wurzeln der Gleichung x 2 -6x+8=0.

Nach dem Satz von Vieta: x 1 =2, x 2 =4.

a>0 – die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet.

Lassen Sie uns eine Skizze des Diagramms erstellen.<Рисунок 5>

Markieren wir mit „+“- und „–“-Zeichen die Intervalle, in denen die Funktion positive und negative Werte annimmt. Wählen wir das Intervall, das wir benötigen.

Antwort: X€.

5. Konsolidierung des neuen Materials (7 Min.).

Nr. 660 (3). Der/die Studierende entscheidet an der Tafel.

Lösen Sie die Ungleichung x 2 -3x-2<0.

X 2 -3x-2=0; x 2 +3x+2=0;

Wurzeln der Gleichung: x 1 = -1, x 2 = -2.

A<0 – ветви вниз. <Рисунок 6>

Nr. 660 (1) – Arbeiten mit einem versteckten Brett.

Lösen Sie die Ungleichung x 2 -3x+2 < 0.

Lösung: x 2 -3x+2=0.

Finden wir die Wurzeln: ; x 1 =1, x 2 =2.

a>0 – verzweigt nach oben. Wir erstellen eine Skizze des Funktionsgraphen.<Рисунок 7>

Algorithmus:

1. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung ax 2 + in + c = 0.
2. Markieren Sie sie auf der Koordinatenebene.
3. Bestimmen Sie die Richtung der Äste der Parabel.
4. Zeichnen Sie eine Skizze des Diagramms.
5. Markieren Sie mit „+“ und „-“ die Intervalle, in denen die Funktion positive und negative Werte annimmt.
6. Wählen Sie das gewünschte Intervall aus.

6. Selbstständiges Arbeiten (10 Min.).

(Empfang - Kohlepapier).

Das Kontrollblatt wird unterschrieben und der Lehrkraft zur Überprüfung und Feststellung der Korrektur ausgehändigt.

Selbsttest an der Tafel.

Zusatzaufgabe:

Nr. 670. Finden Sie die Werte von x, bei denen die Funktion Werte annimmt, die nicht größer als Null sind: y=x 2 +6x-9.

7. Hausaufgaben (2 Min.).

№ 660 (2, 4), № 661 (2, 4).

Füllen Sie die Tabelle aus:

D	Ungleichheit	A	Zeichnung	Lösung
D>0	ah 2 +in+s > 0	a>0
D>0	ah 2 +in+s > 0	A<0
D>0	ah 2 +in+s < 0	a>0
D>0	ah 2 +in+s < 0	A<0

8. Zusammenfassung der Lektion (3 Min.).

1. Reproduzieren Sie den Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen.
2. Wer hat einen tollen Job gemacht?
3. Was ist Ihnen schwergefallen?

Der Graph einer linearen oder quadratischen Ungleichung wird auf die gleiche Weise konstruiert wie der Graph einer beliebigen Funktion (Gleichung). Der Unterschied besteht darin, dass eine Ungleichung impliziert, dass es mehrere Lösungen gibt, der Graph einer Ungleichung also nicht nur ein Punkt auf einer Zahlengeraden oder eine Linie auf einer Koordinatenebene ist. Mithilfe mathematischer Operationen und des Ungleichheitszeichens können Sie viele Lösungen für die Ungleichung ermitteln.

Schritte

Grafische Darstellung der linearen Ungleichung auf dem Zahlenstrahl

1. Lösen Sie die Ungleichung. Isolieren Sie dazu die Variable mit denselben algebraischen Techniken, die Sie zum Lösen jeder beliebigen Gleichung verwenden. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl (oder einem negativen Term) das Vorzeichen der Ungleichung umkehren müssen.

   • Zum Beispiel angesichts der Ungleichheit 3 Jahre + 9 > 12 (\displaystyle 3 Jahre+9>12). Um eine Variable zu isolieren, subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten der Ungleichung und dividieren Sie dann beide Seiten durch 3:
     3 Jahre + 9 > 12 (\displaystyle 3 Jahre+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Eine Ungleichung darf nur eine Variable haben. Wenn die Ungleichung zwei Variablen hat, ist es besser, den Graphen auf der Koordinatenebene darzustellen.

2. Zeichne einen Zahlenstrahl. Markieren Sie auf dem Zahlenstrahl den gefundenen Wert (die Variable kann kleiner, größer oder gleich diesem Wert sein). Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl der entsprechenden Länge (lang oder kurz).

   • Wenn man das zum Beispiel ausrechnet y > 1 (\displaystyle y>1), markiere den Wert 1 auf dem Zahlenstrahl.

3. Zeichnen Sie einen Kreis, um den gefundenen Wert darzustellen. Wenn die Variable kleiner als ( < {\displaystyle <} ) oder mehr ( > (\displaystyle >)) dieses Wertes, wird der Kreis nicht ausgefüllt, da die Lösungsmenge diesen Wert nicht enthält. Wenn die Variable kleiner oder gleich ( ≤ (\displaystyle \leq )) oder größer oder gleich ( ≥ (\displaystyle \geq )) auf diesen Wert, wird der Kreis gefüllt, da die Lösungsmenge diesen Wert enthält.

   • y > 1 (\displaystyle y>1) Zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl einen offenen Kreis am Punkt 1, da 1 nicht in der Lösungsmenge enthalten ist.

4. Schattieren Sie auf dem Zahlenstrahl den Bereich, der die Lösungsmenge definiert. Wenn die Variable größer als der gefundene Wert ist, schattieren Sie den Bereich rechts davon, da die Lösungsmenge alle Werte enthält, die größer als der gefundene Wert sind. Wenn die Variable kleiner als der gefundene Wert ist, schattieren Sie den Bereich links davon, da die Lösungsmenge alle Werte enthält, die kleiner als der gefundene Wert sind.

   • Zum Beispiel, wenn die Ungleichung gegeben ist y > 1 (\displaystyle y>1), schattieren Sie auf dem Zahlenstrahl den Bereich rechts von 1, da die Lösungsmenge alle Werte größer als 1 enthält.

   Grafische Darstellung der linearen Ungleichung auf der Koordinatenebene

   1. Lösen Sie die Ungleichung (finden Sie den Wert). y (\displaystyle y)). Um eine lineare Gleichung zu erhalten, isolieren Sie die Variable auf der linken Seite mit bekannten algebraischen Techniken. Auf der rechten Seite sollte sich eine Variable befinden x (\displaystyle x) und vielleicht eine Konstante.

      • Zum Beispiel angesichts der Ungleichheit 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Um eine Variable zu isolieren y (\displaystyle y), subtrahiere 9 von beiden Seiten der Ungleichung und dividiere dann beide Seiten durch 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Zeichnen Sie einen Graphen einer linearen Gleichung auf der Koordinatenebene. Zeichnen Sie einen Graphen wie den Graphen einer beliebigen linearen Gleichung. Zeichnen Sie den Y-Achsenabschnitt und verwenden Sie dann die Steigung, um die anderen Punkte darzustellen.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Zeichnen Sie die Gleichung grafisch auf y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Der Schnittpunkt mit der Y-Achse hat die Koordinaten , und die Steigung beträgt 3 (bzw 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Zeichnen Sie also zunächst den Punkt mit Koordinaten ein (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); Der Punkt über dem Schnittpunkt der Y-Achse hat Koordinaten (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); Der Punkt unterhalb des Y-Achsen-Schnittpunkts hat die Koordinaten (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Zeichne eine gerade Linie. Wenn die Ungleichung streng ist (einschließlich des Vorzeichens < {\displaystyle <} oder > (\displaystyle >)), zeichnen Sie eine gepunktete Linie, da die Lösungsmenge keine Werte auf der Linie enthält. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (einschließlich des Vorzeichens ≤ (\displaystyle \leq ) oder ≥ (\displaystyle \geq )), zeichnen Sie eine durchgezogene Linie, da die Lösungsmenge Werte enthält, die auf der Linie liegen.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Zeichnen Sie eine gepunktete Linie, da die Lösungsmenge keine Werte auf der Linie enthält.

   4. Schattieren Sie den entsprechenden Bereich. Wenn die Ungleichung die Form hat y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), schattieren Sie den Bereich oberhalb der Linie. Wenn die Ungleichung die Form hat j< m x + b {\displaystyle y, schattieren Sie den Bereich unter der Linie.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Schattieren Sie den Bereich oberhalb der Linie.

   Grafische Darstellung der quadratischen Ungleichung auf der Koordinatenebene

   1. Bestimmen Sie, dass diese Ungleichung quadratisch ist. Die quadratische Ungleichung hat die Form a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Manchmal enthält die Ungleichung keine Variable erster Ordnung ( x (\displaystyle x)) und/oder ein freier Term (Konstante), enthält aber notwendigerweise eine Variable zweiter Ordnung ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variablen x (\displaystyle x) Und y (\displaystyle y) müssen auf verschiedenen Seiten der Ungleichung isoliert werden.

      • Beispielsweise müssen Sie die Ungleichung grafisch darstellen j< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Zeichnen Sie einen Graphen auf der Koordinatenebene. Wandeln Sie dazu die Ungleichung in eine Gleichung um und zeichnen Sie sie grafisch auf, wie Sie es mit jeder quadratischen Gleichung tun würden. Denken Sie daran, dass der Graph einer quadratischen Gleichung eine Parabel ist.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit j< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y Zeichnen Sie eine quadratische Gleichung y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Der Scheitelpunkt der Parabel liegt im Punkt (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), und die Parabel schneidet die X-Achse an Punkten (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) Und (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Erste Ebene

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Systemen mithilfe von Funktionsgraphen. Visueller Leitfaden (2019)

Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich viel einfacher und schneller lösen; der Einsatz von Funktionsgraphen hilft uns dabei. Sie sagen: „Wieso?“ etwas zeichnen, und was soll man zeichnen? Glauben Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit den Gleichungen!

Grafische Lösung von Gleichungen

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine Gerade, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen lassen sich recht einfach algebraisch lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen, auf die andere und voilà! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafisch.

Sie haben also die Gleichung:

Wie man es löst?
Variante 1, und die häufigste Methode besteht darin, die Unbekannten auf eine Seite und die Bekannten auf die andere zu verschieben. Wir erhalten:

Jetzt lasst uns bauen. Was hast du bekommen?

Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Das ist richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen ist:

Unsere Antwort ist

Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!

Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option und kommt einer algebraischen Lösung nahe, aber Sie können sie auch auf andere Weise lösen. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:

Dieses Mal werden wir nichts von einer Seite zur anderen verschieben, sondern die Diagramme direkt konstruieren, da sie jetzt existieren:

Gebaut? Mal sehen!

Was ist diesmal die Lösung? Alles ist richtig. Das Gleiche – die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Und wieder lautet unsere Antwort.

Wie Sie sehen, ist bei linearen Gleichungen alles äußerst einfach. Es ist Zeit, sich etwas Komplexeres anzusehen ... Zum Beispiel: grafische Lösung quadratischer Gleichungen.

Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

Beginnen wir nun mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Nehmen wir an, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:

Natürlich können Sie jetzt mit dem Zählen durch die Diskriminante oder nach dem Satz von Vieta beginnen, aber viele Menschen machen aus Nervosität Fehler beim Multiplizieren oder Quadrieren, insbesondere wenn es sich um ein Beispiel mit großen Zahlen handelt, und Sie haben, wie Sie wissen, gewonnen Ich habe keinen Taschenrechner für die Prüfung ... Versuchen wir daher, ein wenig zu entspannen und zu zeichnen, während wir diese Gleichung lösen.

Lösungen für diese Gleichung können grafisch auf verschiedene Arten gefunden werden. Schauen wir uns die verschiedenen Optionen an und Sie können auswählen, welche Ihnen am besten gefällt.

Methode 1. Direkt

Wir erstellen einfach eine Parabel mit dieser Gleichung:

Um dies schnell zu erledigen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel:

Sie werden sagen: „Stopp! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante sehr ähnlich.“ Ja, das ist sie, und das ist ein großer Nachteil der „direkten“ Konstruktion einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Aber lass uns bis zum Ende zählen, und dann zeige ich dir, wie es viel (viel!) einfacher geht!

Hast du gezählt? Welche Koordinaten haben Sie für den Scheitelpunkt der Parabel erhalten? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:

Genau die gleiche Antwort? Gut gemacht! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, aber um eine Parabel zu konstruieren, brauchen wir mehr ... Punkte. Wie viele Mindestpunkte brauchen wir Ihrer Meinung nach? Rechts, .

Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:

Dementsprechend benötigen wir zwei weitere Punkte auf dem linken oder rechten Ast der Parabel und werden diese Punkte in Zukunft symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite widerspiegeln:

Kehren wir zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall Punkt. Wir brauchen zwei weitere Punkte, damit wir positive Punkte mitnehmen können, oder können wir negative Punkte mitnehmen? Welche Punkte sind für Sie bequemer? Für mich ist es bequemer, mit positiven zu arbeiten, also rechne ich bei und.

Da wir nun drei Punkte haben, können wir unsere Parabel leicht konstruieren, indem wir die letzten beiden Punkte relativ zu ihrem Scheitelpunkt spiegeln:

Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.

Und wenn wir das sagen, bedeutet das, dass es auch gleich sein muss, oder.

Nur? Wir haben die Gleichung mit Ihnen auf komplexe grafische Weise gelöst, sonst kommen noch mehr!

Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen – Sie können die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta oder der Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das selbe? Hier sehen Sie! Schauen wir uns nun eine sehr einfache grafische Lösung an. Ich bin sicher, sie wird Ihnen wirklich gefallen!

Methode 2. In mehrere Funktionen unterteilt

Nehmen wir die gleiche Gleichung: , aber schreiben wir sie etwas anders, nämlich:

Können wir es so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.

Lassen Sie uns zwei Funktionen separat konstruieren:

1. - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht konstruieren können, auch ohne den Scheitelpunkt mithilfe von Formeln zu definieren und eine Tabelle zur Bestimmung anderer Punkte zu erstellen.
2. - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach erstellen können, indem Sie die Werte im Kopf schätzen, ohne überhaupt auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Gebaut? Vergleichen wir mit dem, was ich habe:

Was sind Ihrer Meinung nach die Wurzeln der Gleichung in diesem Fall? Rechts! Die Koordinaten, die man durch den Schnittpunkt zweier Graphen erhält, und zwar:

Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:

Was sagst du? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch eine Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie, die folgende Gleichung mit dieser Methode zu lösen:

Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Grafiken:

Die Grafiken zeigen, dass die Antworten lauten:

Hast du es geschafft? Gut gemacht! Schauen wir uns nun die Gleichungen etwas komplizierter an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.

Grafische Lösung gemischter Gleichungen

Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:

Natürlich können Sie alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen und die Wurzeln der resultierenden Gleichung finden, ohne die ODZ zu vergessen, aber wir werden auch hier versuchen, es grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.

Dieses Mal erstellen wir die folgenden 2 Diagramme:

1. - Der Graph ist eine Hyperbel
2. - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie leicht erstellen können, indem Sie die Werte in Ihrem Kopf schätzen, ohne überhaupt auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Haben Sie es erkannt? Beginnen Sie nun mit dem Bau.

Folgendes habe ich bekommen:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, sagen Sie mir, was die Wurzeln unserer Gleichung sind.

Das ist richtig, und. Hier ist die Bestätigung:

Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzubeziehen. Passiert?

Alles ist richtig! Stimmen Sie zu, solche Gleichungen grafisch zu lösen ist ein Vergnügen!

Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:

Ich gebe Ihnen einen Tipp: Verschieben Sie einen Teil der Gleichung auf die rechte Seite, sodass sich die am einfachsten zu konstruierenden Funktionen auf beiden Seiten befinden. Hast du den Hinweis verstanden? Handeln Sie!

Nun wollen wir sehen, was Sie haben:

Jeweils:

1. - kubische Parabel.
2. - gewöhnliche gerade Linie.

Nun, lasst uns bauen:

Wie Sie vor langer Zeit geschrieben haben, lautet die Wurzel dieser Gleichung - .

Nachdem Sie so viele Beispiele durchgearbeitet haben, ist Ihnen sicher klar geworden, wie einfach und schnell es ist, Gleichungen grafisch zu lösen. Es ist an der Zeit, herauszufinden, wie man Systeme auf diese Weise lösen kann.

Grafische Lösung von Systemen

Das grafische Lösen von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht vom grafischen Lösen von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ist extrem einfach!

Beginnen wir mit der einfachsten Sache – dem Lösen linearer Gleichungssysteme.

Lösen linearer Gleichungssysteme

Nehmen wir an, wir haben das folgende System:

Lassen Sie uns es zunächst so umwandeln, dass auf der linken Seite alles ist, womit etwas verbunden ist, und auf der rechten Seite alles, was damit verbunden ist. Mit anderen Worten, schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in unserer üblichen Form:

Jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist in unserem Fall die Lösung? Rechts! Der Punkt ihrer Kreuzung! Und hier muss man sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie darüber nach, warum? Lassen Sie mich Ihnen einen Hinweis geben: Wir haben es mit einem System zu tun: Im System gibt es beides, und ... Haben Sie den Hinweis verstanden?

Alles ist richtig! Beim Lösen eines Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und zwar nicht nur wie beim Lösen von Gleichungen! Ein weiterer wichtiger Punkt ist, sie richtig aufzuschreiben und nicht zu verwechseln, wo wir die Bedeutung haben und wo die Bedeutung ist! Hast du es aufgeschrieben? Vergleichen wir nun alles der Reihe nach:

Und die Antworten: und. Führen Sie eine Überprüfung durch – setzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System ein und stellen Sie sicher, dass wir das Problem grafisch richtig gelöst haben?

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

Was wäre, wenn wir statt einer Geraden eine quadratische Gleichung hätten? Es ist okay! Statt einer Geraden baut man einfach eine Parabel! Glaubst du nicht? Versuchen Sie, das folgende System zu lösen:

Was ist unser nächster Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:

Und jetzt kommt es auf die Kleinigkeiten an – bauen Sie es schnell auf und hier ist Ihre Lösung! Wir bauen:

Sind die Grafiken gleich geworden? Markieren Sie nun die Lösungen des Systems in der Abbildung und notieren Sie die ermittelten Antworten richtig!

Ich habe alles getan? Vergleichen Sie mit meinen Notizen:

Alles ist richtig? Gut gemacht! Du knackst solche Aufgaben bereits wie verrückt! Wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:

Was machen wir? Rechts! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu erstellen ist:

Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Erstellen Sie beim Erstellen von Diagrammen „mehr“ und seien Sie vor allem nicht von der Anzahl der Schnittpunkte überrascht.

So lass uns gehen! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bau!

Und wie? Schön? Wie viele Schnittpunkte haben Sie erhalten? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:

Auch? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:

Schauen Sie sich nun das System noch einmal an:

Können Sie sich vorstellen, dass Sie das in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst davor, einen Fehler zu machen, sondern nehmen Sie ihn einfach und lösen Sie ihn! Du bist ein großer Junge!

Grafische Lösung von Ungleichungen

Grafische Lösung linearer Ungleichungen

Nach dem letzten Beispiel können Sie alles tun! Atmen Sie jetzt aus – im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!

Wir beginnen wie üblich mit einer grafischen Lösung einer linearen Ungleichung. Zum Beispiel dieses hier:

Lassen Sie uns zunächst die einfachsten Transformationen durchführen – öffnen Sie die Klammern perfekter Quadrate und präsentieren Sie ähnliche Begriffe:

Die Ungleichung ist nicht streng, daher ist sie nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr usw.:

Antwort:

Das ist alles! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:

Zeichnen wir eine Funktion im Koordinatensystem.

Hast du so einen Zeitplan bekommen? Schauen wir uns nun genau an, welche Ungleichheit wir dort haben? Weniger? Das heißt, wir übermalen alles, was links von unserer Geraden liegt. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden wir alles übermalen, was rechts von unserer Geraden liegt. Es ist einfach.

Alle Lösungen dieser Ungleichung sind orange schattiert. Damit ist die Ungleichung mit zwei Variablen gelöst. Das bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes aus dem schattierten Bereich die Lösungen sind.

Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen

Jetzt werden wir verstehen, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.

Aber bevor wir zur Sache kommen, schauen wir uns etwas Material zur quadratischen Funktion an.

Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Das stimmt, was die Position des Graphen relativ zur Achse betrifft (wenn Sie sich nicht daran erinnern, lesen Sie unbedingt die Theorie über quadratische Funktionen).

Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für Sie:

Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache: Lösen Sie die Ungleichung grafisch.

Ich sage Ihnen gleich, dass es zwei Möglichkeiten gibt, das Problem zu lösen.

Variante 1

Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:

Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (genau wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):

Hast du gezählt? Was hast du bekommen?

Nehmen wir nun zwei weitere unterschiedliche Punkte und berechnen für sie:

Beginnen wir mit dem Aufbau eines Astes der Parabel:

Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch auf einen anderen Ast der Parabel:

Kehren wir nun zu unserer Ungleichung zurück.

Wir benötigen jeweils einen Wert kleiner Null:

Da in unserer Ungleichung das Vorzeichen strikt kleiner ist als, schließen wir die Endpunkte – „Punktion aus“ – aus.

Antwort:

Langer Weg, oder? Nun zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:

Option 2

Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:

Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.

Schreiben wir nun die Antwort auf:

Betrachten wir eine andere Lösung, die den algebraischen Teil vereinfacht, aber die Hauptsache ist, nicht verwirrt zu werden.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Versuchen Sie, die folgende quadratische Ungleichung auf beliebige Weise selbst zu lösen: .

Hast du es geschafft?

Schauen Sie, wie meine Grafik ausgegangen ist:

Antwort: .

Grafische Lösung gemischter Ungleichungen

Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!

Wie findest Du das:

Es ist gruselig, nicht wahr? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist daran nichts Kompliziertes! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!

Als erstes beginnen wir mit der Konstruktion zweier Diagramme:

Ich werde nicht für jedes einzelne eine Tabelle aufschreiben – ich bin mir sicher, dass Sie es perfekt selbst machen können (wow, es gibt so viele Beispiele zu lösen!).

Hast du es gemalt? Erstellen Sie nun zwei Diagramme.

Vergleichen wir unsere Zeichnungen?

Geht es dir auch so? Großartig! Ordnen wir nun die Schnittpunkte an und verwenden wir die Farbe, um zu bestimmen, welches Diagramm theoretisch größer sein sollte. Schauen Sie, was am Ende passiert ist:

Schauen wir uns nun einfach an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Nehmen Sie gerne einen Bleistift und übermalen Sie diesen Bereich! Sie wird die Lösung für unsere komplexe Ungleichheit sein!

In welchen Abständen entlang der Achse befinden wir uns höher als? Rechts, . Das ist die Antwort!

Nun können Sie mit jeder Gleichung, jedem System und noch mehr mit jeder Ungleichung umgehen!

KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mithilfe von Funktionsgraphen:

1. Lassen Sie es uns durch ausdrücken
2. Definieren wir den Funktionstyp
3. Lassen Sie uns Diagramme der resultierenden Funktionen erstellen
4. Suchen wir die Schnittpunkte der Diagramme
5. Schreiben wir die Antwort richtig (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
6. Lassen Sie uns die Antwort überprüfen (setzen Sie die Wurzeln in die Gleichung oder das System ein)

Weitere Informationen zum Erstellen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema „“.

Die grafische Methode besteht darin, einen Satz zulässiger Lösungen für das PLP zu konstruieren und in diesem Satz den Punkt zu finden, der der Max/Min-Zielfunktion entspricht.

Aufgrund der begrenzten Möglichkeiten der visuellen grafischen Darstellung wird diese Methode nur für Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Unbekannten und Systeme verwendet, die auf diese Form reduziert werden können.

Um die grafische Methode anschaulich zu demonstrieren, lösen wir das folgende Problem:

1. In der ersten Phase ist es notwendig, einen Bereich realisierbarer Lösungen zu konstruieren. Für dieses Beispiel ist es am bequemsten, X2 als Abszisse und X1 als Ordinate zu wählen und die Ungleichungen in der folgenden Form zu schreiben:

Da sich sowohl die Grafiken als auch der Bereich der realisierbaren Lösungen im ersten Quartal befinden. Um die Randpunkte zu finden, lösen wir die Gleichungen (1)=(2), (1)=(3) und (2)=(3).

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, bildet das Polyeder ABCDE einen Bereich zulässiger Lösungen.

Wenn der Bereich der zulässigen Lösungen nicht geschlossen ist, dann gilt entweder max(f)=+ ? oder min(f)= -?.

2. Jetzt können wir direkt das Maximum der Funktion f ermitteln.

Indem wir abwechselnd die Koordinaten der Eckpunkte des Polyeders in die Funktion f einsetzen und die Werte vergleichen, finden wir, dass f(C)=f (4; 1)=19 das Maximum der Funktion ist.

Dieser Ansatz ist bei einer kleinen Anzahl von Scheitelpunkten sehr vorteilhaft. Dieser Vorgang kann jedoch lange dauern, wenn sehr viele Scheitelpunkte vorhanden sind.

In diesem Fall ist es bequemer, eine Niveaulinie der Form f=a zu betrachten. Bei einem monotonen Anstieg der Zahl a von -? zu +? Geraden f=a werden entlang des Normalenvektors verschoben. Wenn es bei einer solchen Bewegung der Niveaulinie einen bestimmten Punkt X gibt – den ersten gemeinsamen Punkt des Bereichs zulässiger Lösungen (Polyeder ABCDE) und der Niveaulinie, dann ist f(X) das Minimum von f auf der Menge ABCDE. Wenn X der letzte Schnittpunkt der Niveaulinie und der ABCDE-Menge ist, dann ist f(X) das Maximum auf der Menge möglicher Lösungen. Wenn für ein>-? die Gerade f=a die Menge der zulässigen Lösungen schneidet, dann ist min(f)= -?. Wenn dies für a>+? geschieht, dann gilt max(f)=+?.