Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Formel. Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung. Beispiele für Lösungen. Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit

Ursprünglich war die Wahrscheinlichkeitstheorie nur eine Sammlung von Informationen und empirischen Beobachtungen über das Würfelspiel und entwickelte sich zu einer umfassenden Wissenschaft. Die ersten, die ihm einen mathematischen Rahmen gaben, waren Fermat und Pascal.

Vom Nachdenken über das Ewige bis zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Die beiden Personen, denen die Wahrscheinlichkeitstheorie viele ihrer Grundformeln verdankt, Blaise Pascal und Thomas Bayes, gelten als zutiefst religiöse Menschen, wobei letzterer ein presbyterianischer Pfarrer war. Anscheinend gab der Wunsch dieser beiden Wissenschaftler, den Irrtum der Meinung zu beweisen, dass eine gewisse Wahrsagerin ihren Lieblingen Glück schenkt, der Forschung auf diesem Gebiet Anstoß. Tatsächlich ist jedes Glücksspiel mit seinen Gewinnen und Verlusten nur eine Symphonie mathematischer Prinzipien.

Dank der Leidenschaft des Chevalier de Mere, der sowohl ein Spieler als auch ein Mann war, der der Wissenschaft gegenüber nicht gleichgültig war, war Pascal gezwungen, einen Weg zu finden, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. De Mere interessierte sich für die folgende Frage: „Wie oft muss man zwei Würfel paarweise werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, 12 Punkte zu bekommen, 50 % übersteigt?“ Die zweite Frage, die für den Herrn von großem Interesse war: „Wie teilt man den Einsatz zwischen den Teilnehmern des noch nicht beendeten Spiels auf?“ Natürlich beantwortete Pascal erfolgreich beide Fragen von de Mere, der unwissentlich zum Initiator der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde. Interessant ist, dass die Person von de Mere in diesem Bereich bekannt blieb und nicht in der Literatur.

Bisher hatte kein Mathematiker versucht, die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, da man glaubte, dass dies nur eine Vermutung sei. Blaise Pascal gab die erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und zeigte, dass es sich um eine bestimmte Zahl handelt, die mathematisch begründet werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist zur Grundlage der Statistik geworden und wird in der modernen Wissenschaft häufig verwendet.

Was ist Zufälligkeit?

Wenn wir einen Test betrachten, der unendlich oft wiederholt werden kann, können wir ein Zufallsereignis definieren. Dies ist eines der wahrscheinlichen Ergebnisse des Experiments.

Erfahrung ist die Umsetzung konkreter Handlungen unter konstanten Bedingungen.

Um mit den Ergebnissen des Experiments arbeiten zu können, werden Ereignisse üblicherweise mit den Buchstaben A, B, C, D, E... bezeichnet.

Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

Um mit dem mathematischen Teil der Wahrscheinlichkeit zu beginnen, müssen alle ihre Komponenten definiert werden.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein numerisches Maß für die Möglichkeit, dass ein Ereignis (A oder B) als Ergebnis einer Erfahrung eintritt. Die Wahrscheinlichkeit wird als P(A) oder P(B) bezeichnet.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheiden sie:

• zuverlässig das Ereignis wird aufgrund der Erfahrung P(Ω) = 1 garantiert eintreten;
• unmöglich das Ereignis kann niemals eintreten P(Ø) = 0;
• zufällig ein Ereignis liegt zwischen zuverlässig und unmöglich, d. h. die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens ist möglich, aber nicht garantiert (die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses liegt immer im Bereich 0≤Р(А)≤ 1).

Beziehungen zwischen Ereignissen

Sowohl eines als auch die Summe der Ereignisse A+B werden berücksichtigt, wenn das Ereignis gezählt wird, wenn mindestens eine der Komponenten A oder B oder beide Komponenten A und B erfüllt ist.

Im Verhältnis zueinander können Ereignisse sein:

• Ebenso möglich.
• Kompatibel.
• Unvereinbar.
• Gegensätzlich (sich gegenseitig ausschließend).
• Abhängig.

Wenn zwei Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten können, dann sind sie gleichermaßen möglich.

Wenn das Eintreten von Ereignis A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B nicht auf Null reduziert, dann sind sie kompatibel.

Wenn die Ereignisse A und B niemals gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten, werden sie aufgerufen unvereinbar. Das Werfen einer Münze ist ein gutes Beispiel: Das Erscheinen von Kopf ist automatisch das Nichterscheinen von Kopf.

Die Wahrscheinlichkeit für die Summe solcher inkompatiblen Ereignisse besteht aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Wenn das Eintreten eines Ereignisses das Eintreten eines anderen Ereignisses unmöglich macht, werden sie als Gegenteil bezeichnet. Dann wird einer von ihnen als A bezeichnet und der andere als Ā (gelesen als „nicht A“). Das Eintreten des Ereignisses A bedeutet, dass Ā nicht eingetreten ist. Diese beiden Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeitssumme von 1.

Abhängige Ereignisse beeinflussen sich gegenseitig und verringern oder erhöhen die Wahrscheinlichkeit des anderen.

Beziehungen zwischen Ereignissen. Beispiele

Anhand von Beispielen ist es viel einfacher, die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie und Ereigniskombinationen zu verstehen.

Das Experiment, das durchgeführt wird, besteht darin, Kugeln aus einer Schachtel zu nehmen, und das Ergebnis jedes Experiments ist ein elementares Ergebnis.

Ein Ereignis ist eines der möglichen Ergebnisse eines Experiments – ein roter Ball, ein blauer Ball, ein Ball mit der Nummer sechs usw.

Test Nr. 1. Es sind 6 Kugeln beteiligt, drei davon sind blau mit ungeraden Zahlen und die anderen drei sind rot mit geraden Zahlen.

Test Nr. 2. Es gibt 6 blaue Kugeln mit Zahlen von eins bis sechs.

Anhand dieses Beispiels können wir Kombinationen benennen:

• Zuverlässige Veranstaltung. In Spanisch Nr. 2 Das Ereignis „Hol dir den blauen Ball“ ist zuverlässig, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens gleich 1 ist, da alle Bälle blau sind und es keinen Fehlschlag geben kann. Das Ereignis „Erhalte den Ball mit der Nummer 1“ hingegen ist zufällig.
• Unmögliches Ereignis. In Spanisch Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, das Ereignis „die lila Kugel bekommen“ ist unmöglich, da die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens 0 ist.
• Ebenso mögliche Ereignisse. In Spanisch Nr. 1 sind die Ereignisse „Ball mit der Nummer 2 holen“ und „Ball mit der Nummer 3 holen“ ebenso möglich, wie auch die Ereignisse „Ball mit gerader Nummer holen“ und „Ball mit der Nummer 2 holen“. „haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
• Kompatible Ereignisse. Beim Würfeln zweimal hintereinander eine Sechs zu bekommen, ist ein kompatibles Ereignis.
• Inkompatible Ereignisse. Im gleichen Spanisch Nr. 1: Die Ereignisse „Erhalte einen roten Ball“ und „Erhalte einen Ball mit einer ungeraden Zahl“ können nicht im selben Erlebnis kombiniert werden.
• Gegensätzliche Ereignisse. Das auffälligste Beispiel hierfür ist das Münzwerfen, bei dem das Ziehen von „Kopf“ dem Nicht-Ziehen von „Zahl“ gleichkommt und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten immer 1 ist (vollständige Gruppe).
• Abhängige Ereignisse. Also auf Spanisch Nr. 1: Sie können das Ziel festlegen, den roten Ball zweimal hintereinander zu ziehen. Ob es beim ersten Mal abgerufen wird oder nicht, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Mal abgerufen zu werden.

Es ist ersichtlich, dass das erste Ereignis die Wahrscheinlichkeit des zweiten erheblich beeinflusst (40 % und 60 %).

Formel für die Ereigniswahrscheinlichkeit

Der Übergang von der Wahrsagerei zu präzisen Daten erfolgt durch die Übersetzung des Themas in eine mathematische Ebene. Das heißt, Urteile über ein zufälliges Ereignis wie „hohe Wahrscheinlichkeit“ oder „minimale Wahrscheinlichkeit“ können in spezifische numerische Daten übersetzt werden. Es ist bereits zulässig, solches Material auszuwerten, zu vergleichen und in komplexere Berechnungen einzubeziehen.

Aus rechnerischer Sicht ist die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl elementarer positiver Ergebnisse zur Anzahl aller möglichen Erfahrungsergebnisse bezüglich eines bestimmten Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit wird mit P(A) bezeichnet, wobei P für das Wort „probabilite“ steht, was aus dem Französischen mit „Wahrscheinlichkeit“ übersetzt wird.

Die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lautet also:

Dabei ist m die Anzahl der günstigen Ergebnisse für Ereignis A und n die Summe aller möglichen Ergebnisse für dieses Erlebnis. In diesem Fall liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Beispiel

Nehmen wir Spanisch. Nr. 1 mit Kugeln, die bereits beschrieben wurde: 3 blaue Kugeln mit den Zahlen 1/3/5 und 3 rote Kugeln mit den Zahlen 2/4/6.

Basierend auf diesem Test können verschiedene Probleme berücksichtigt werden:

• A - roter Ball fällt heraus. Es gibt 3 rote Kugeln und insgesamt 6 Optionen. Dies ist das einfachste Beispiel, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(A)=3/6=0,5 beträgt.
• B – eine gerade Zahl würfeln. Es gibt 3 gerade Zahlen (2,4,6) und die Gesamtzahl der möglichen numerischen Optionen beträgt 6. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt P(B)=3/6=0,5.
• C – das Auftreten einer Zahl größer als 2. Es gibt 4 solcher Optionen (3,4,5,6) von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C ist gleich P(C)=4 /6=0,67.

Wie aus den Berechnungen hervorgeht, hat Ereignis C eine höhere Wahrscheinlichkeit, da die Anzahl der wahrscheinlichen positiven Ausgänge höher ist als in A und B.

Inkompatible Ereignisse

Solche Ereignisse können nicht gleichzeitig in derselben Erfahrung auftreten. Wie auf Spanisch Nr. 1: Es ist unmöglich, gleichzeitig einen blauen und einen roten Ball zu bekommen. Das heißt, Sie können entweder einen blauen oder einen roten Ball bekommen. Ebenso können bei einem Würfel nicht gleichzeitig eine gerade und eine ungerade Zahl vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe oder ihres Produkts betrachtet. Die Summe dieser Ereignisse A+B wird als ein Ereignis betrachtet, das aus dem Eintreten des Ereignisses A oder B besteht, und das Produkt AB ist das Eintreten beider. Zum Beispiel das gleichzeitige Erscheinen von zwei Sechsen auf den Seiten zweier Würfel in einem Wurf.

Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das das Eintreten mindestens eines von ihnen voraussetzt. Die Produktion mehrerer Ereignisse ist deren gemeinsames Auftreten.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet die Verwendung der Konjunktion „und“ in der Regel eine Summe und die Konjunktion „oder“ eine Multiplikation. Formeln mit Beispielen helfen Ihnen, die Logik der Addition und Multiplikation in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen.

Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse

Wenn die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse berücksichtigt wird, ist die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse gleich der Addition ihrer Wahrscheinlichkeiten:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Zum Beispiel: Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch. Nr. 1 mit blauen und roten Kugeln, es erscheint eine Zahl zwischen 1 und 4. Wir rechnen nicht in einem Zug, sondern durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarkomponenten. In einem solchen Experiment gibt es also nur 6 Bälle oder 6 aller möglichen Ergebnisse. Die Zahlen, die die Bedingung erfüllen, sind 2 und 3. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 2 zu erhalten, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu erhalten, beträgt ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 1 und 4 zu erhalten, beträgt:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse einer vollständigen Gruppe beträgt 1.

Wenn wir also in einem Experiment mit einem Würfel die Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Zahlen addieren, ist das Ergebnis eins.

Dies gilt auch für gegensätzliche Ereignisse, beispielsweise im Experiment mit einer Münze, bei der bekanntlich die eine Seite das Ereignis A und die andere das entgegengesetzte Ereignis Ā ist,

P(A) + P(Ā) = 1

Wahrscheinlichkeit des Auftretens inkompatibler Ereignisse

Die Wwird verwendet, wenn das Auftreten von zwei oder mehr inkompatiblen Ereignissen in einer Beobachtung berücksichtigt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass darin die Ereignisse A und B gleichzeitig auftreten, ist gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, oder:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass auf Spanisch Nr. 1: Als Ergebnis von zwei Versuchen erscheint zweimal ein blauer Ball, gleich

Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, wenn als Ergebnis von zwei Versuchen, Bälle zu extrahieren, nur blaue Bälle extrahiert werden, beträgt 25 %. Es ist sehr einfach, praktische Experimente zu diesem Problem durchzuführen und herauszufinden, ob dies tatsächlich der Fall ist.

Gemeinsame Veranstaltungen

Ereignisse gelten als gemeinsam, wenn das Eintreten eines von ihnen mit dem Eintreten eines anderen zusammenfallen kann. Obwohl sie gemeinsam sind, wird die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse berücksichtigt. Beispielsweise kann das Werfen zweier Würfel ein Ergebnis ergeben, wenn auf beiden die Zahl 6 erscheint. Obwohl die Ereignisse zusammenfielen und gleichzeitig auftraten, sind sie unabhängig voneinander – es konnte nur eine Sechs herausfallen, der zweite Würfel hat keine Einfluss darauf.

Die Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ereignisse wird als Wahrscheinlichkeit ihrer Summe betrachtet.

Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse. Beispiel

Die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse A und B, die im Verhältnis zueinander gemeinsam sind, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses abzüglich der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens (d. h. ihres gemeinsamen Eintretens):

R-Gelenk (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,4 beträgt. Dann trifft Ereignis A im ersten Versuch das Ziel, B im zweiten. Diese Ereignisse sind gemeinsam, da es möglich ist, dass Sie das Ziel sowohl mit dem ersten als auch mit dem zweiten Schuss treffen können. Aber Ereignisse sind nicht abhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mit zwei Schüssen (zumindest mit einem) das Ziel trifft? Nach der Formel:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Die Antwort auf die Frage lautet: „Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Schüssen das Ziel zu treffen, beträgt 64 %.“

Diese Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann auch auf inkompatible Ereignisse angewendet werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens eines Ereignisses P(AB) = 0 ist. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse als Sonderfall betrachtet werden kann der vorgeschlagenen Formel.

Geometrie der Wahrscheinlichkeit zur Verdeutlichung

Interessanterweise kann die Wahrscheinlichkeit der Summe gemeinsamer Ereignisse als zwei Bereiche A und B dargestellt werden, die sich überschneiden. Wie aus dem Bild ersichtlich ist, ist die Fläche ihrer Vereinigung gleich der Gesamtfläche abzüglich der Fläche ihres Schnittpunkts. Diese geometrische Erklärung macht die scheinbar unlogische Formel verständlicher. Beachten Sie, dass geometrische Lösungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie keine Seltenheit sind.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der Summe vieler (mehr als zwei) gemeinsamer Ereignisse ist recht umständlich. Zur Berechnung müssen Sie die für diese Fälle bereitgestellten Formeln verwenden.

Abhängige Ereignisse

Ereignisse werden als abhängig bezeichnet, wenn das Eintreten eines (A) von ihnen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen (B) beeinflusst. Darüber hinaus wird der Einfluss sowohl des Eintretens des Ereignisses A als auch seines Nichteintretens berücksichtigt. Obwohl Ereignisse per Definition als abhängig bezeichnet werden, ist nur eines davon abhängig (B). Die gewöhnliche Wahrscheinlichkeit wurde als P(B) oder die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse bezeichnet. Im Fall abhängiger Ereignisse wird ein neues Konzept eingeführt – die bedingte Wahrscheinlichkeit P A (B), die die Wahrscheinlichkeit eines abhängigen Ereignisses B ist, abhängig vom Eintreten des Ereignisses A (Hypothese), von dem es abhängt.

Aber auch Ereignis A ist zufällig, hat also auch eine Wahrscheinlichkeit, die bei den durchgeführten Berechnungen berücksichtigt werden muss und berücksichtigt werden kann. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit abhängigen Ereignissen und einer Hypothese gearbeitet wird.

Ein Beispiel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit abhängiger Ereignisse

Ein gutes Beispiel für die Berechnung abhängiger Ereignisse wäre ein Standardkartenspiel.

Schauen wir uns am Beispiel eines Kartenspiels mit 36 ​​Karten die abhängigen Ereignisse an. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die zweite gezogene Karte aus Karo besteht, wenn die erste gezogene Karte wie folgt aussieht:

1. Bubnovaya.
2. Eine andere Farbe.

Offensichtlich hängt die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses B vom ersten A ab. Wenn also die erste Option zutrifft, also 1 Karte (35) und 1 Diamant (8) weniger im Stapel sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B:

R A (B) =8/35=0,23

Wenn die zweite Option wahr ist, das Deck 35 Karten hat und die volle Anzahl an Karos (9) noch erhalten bleibt, dann ist die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses B:

R A (B) =9/35=0,26.

Es ist ersichtlich, dass, wenn Ereignis A davon abhängt, dass die erste Karte eine Karo ist, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B abnimmt und umgekehrt.

Abhängige Ereignisse multiplizieren

Basierend auf dem vorherigen Kapitel akzeptieren wir das erste Ereignis (A) als Tatsache, aber im Wesentlichen ist es zufälliger Natur. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, nämlich das Ziehen eines Diamanten aus einem Kartenspiel, ist gleich:

P(A) = 9/36=1/4

Da die Theorie nicht für sich allein existiert, sondern praktischen Zwecken dienen soll, kann man mit Recht anmerken, dass es am häufigsten auf die Wahrscheinlichkeit der Erzeugung abhängiger Ereignisse ankommt.

Nach dem Satz über das Produkt der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse ist die Eintrittswahrscheinlichkeit der gemeinsam abhängigen Ereignisse A und B gleich der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, multipliziert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B (abhängig von A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Dann beträgt im Deckbeispiel die Wahrscheinlichkeit, zwei Karten mit der Farbe Karo zu ziehen, wie folgt:

9/36*8/35=0,0571 oder 5,7 %

Und die Wahrscheinlichkeit, zuerst Diamanten und dann Diamanten zu gewinnen, ist gleich:

27/36*9/35=0,19 oder 19 %

Es ist ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B größer ist, sofern die erste gezogene Karte eine andere Farbe als Karo hat. Dieses Ergebnis ist durchaus logisch und verständlich.

Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wenn ein Problem mit bedingten Wahrscheinlichkeiten vielschichtig wird, kann es nicht mit herkömmlichen Methoden berechnet werden. Wenn es mehr als zwei Hypothesen gibt, nämlich A1, A2,…, A n, ..bildet eine vollständige Gruppe von Ereignissen, vorausgesetzt:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Die Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit für Ereignis B mit einer vollständigen Gruppe von Zufallsereignissen A1, A2,..., A n lautet also:

Ein Blick in die Zukunft

Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist in vielen Bereichen der Wissenschaft äußerst wichtig: Ökonometrie, Statistik, Physik usw. Da einige Prozesse nicht deterministisch beschrieben werden können, da sie selbst probabilistischer Natur sind, sind spezielle Arbeitsmethoden erforderlich. Die Theorie der Ereigniswahrscheinlichkeit kann in jedem technischen Bereich verwendet werden, um die Möglichkeit eines Fehlers oder einer Fehlfunktion zu bestimmen.

Wir können sagen, dass wir durch das Erkennen der Wahrscheinlichkeit in gewisser Weise einen theoretischen Schritt in die Zukunft machen und sie durch das Prisma der Formeln betrachten.

Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung.
Beispiele für Lösungen

In der dritten Lektion werden wir uns mit verschiedenen Problemen befassen, die die direkte Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition betreffen. Um die Materialien in diesem Artikel effektiv zu studieren, empfehle ich Ihnen, sich mit den Grundkonzepten vertraut zu machen Wahrscheinlichkeitstheorie Und Grundlagen der Kombinatorik. Die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit auf klassische Weise mit einer Wahrscheinlichkeit, die gegen eins tendiert, zu bestimmen, wird in Ihrer unabhängigen/Kontrollarbeit auf Terver vorhanden sein, also machen wir uns bereit für ernsthafte Arbeit. Sie fragen sich vielleicht: Was ist daran so ernst? ...nur eine primitive Formel. Ich warne Sie vor Frivolität – thematische Aufgaben sind sehr vielfältig und viele davon können Sie leicht verwirren. Versuchen Sie in diesem Zusammenhang zusätzlich zur Durcharbeitung der Hauptlektion, zusätzliche Aufgaben zum Thema zu studieren, die sich im Sparschwein befinden vorgefertigte Lösungen für höhere Mathematik. Lösungstechniken sind Lösungstechniken, aber „Freunde“ müssen trotzdem „vom Sehen her erkannt werden“, denn selbst eine reiche Vorstellungskraft ist begrenzt und es gibt auch genügend Standardaufgaben. Nun, ich werde versuchen, so viele wie möglich in guter Qualität auszusortieren.

Erinnern wir uns an die Klassiker des Genres:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Test auftritt, ist gleich dem Verhältnis, wobei:

– Gesamtzahl aller gleichermaßen möglich, elementar Ergebnisse dieses Tests, die sich bilden vollständige Veranstaltungsgruppe;

- Menge elementar günstige Ergebnisse für die Veranstaltung.

Und sofort ein sofortiger Boxenstopp. Verstehen Sie die unterstrichenen Begriffe? Das bedeutet klares, nicht intuitives Verständnis. Wenn nicht, ist es immer noch besser, zum ersten Artikel über zurückzukehren Wahrscheinlichkeitstheorie und erst danach weitermachen.

Bitte überspringen Sie nicht die ersten Beispiele – darin wiederhole ich einen grundsätzlich wichtigen Punkt und erkläre Ihnen außerdem, wie Sie eine Lösung richtig formatieren und auf welche Weise dies möglich ist:

Problem 1

In einer Urne befinden sich 15 weiße, 5 rote und 10 schwarze Kugeln. 1 Ball wird zufällig gezogen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er a) weiß, b) rot, c) schwarz ist.

Lösung: Die wichtigste Voraussetzung für die Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ist Fähigkeit, die Gesamtzahl der Ergebnisse zu zählen.

Es gibt insgesamt 15 + 5 + 10 = 30 Kugeln in der Urne, und offensichtlich sind die folgenden Fakten wahr:

– Das Zurückholen eines beliebigen Balls ist ebenfalls möglich (Chancengleichheit Ergebnisse), während die Ergebnisse elementar und Form vollständige Veranstaltungsgruppe (d. h. als Ergebnis des Tests wird definitiv einer der 30 Bälle entfernt).

Somit ist die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Betrachten Sie das Ereignis: – Aus der Urne wird eine weiße Kugel gezogen. Diese Veranstaltung wird bevorzugt elementar Ergebnisse also nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird.

Seltsamerweise kann man selbst bei einer so einfachen Aufgabe eine gravierende Ungenauigkeit machen, auf die ich bereits im ersten Artikel hingewiesen habe Wahrscheinlichkeitstheorie. Wo liegt hier die Falle? Es ist falsch, hier so zu argumentieren „Da die Hälfte der Kugeln weiß ist, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass eine weiße Kugel gezogen wird» . Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf ELEMENTAR Ergebnisse, und der Bruch muss aufgeschrieben werden!

Betrachten Sie bei anderen Punkten in ähnlicher Weise die folgenden Ereignisse:

– Aus der Urne wird eine rote Kugel gezogen;
– Aus der Urne wird eine schwarze Kugel gezogen.

Ein Ereignis wird durch 5 elementare Ergebnisse begünstigt, und ein Ereignis wird durch 10 elementare Ergebnisse begünstigt. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind also:

Eine typische Überprüfung vieler Serveraufgaben erfolgt mit Sätze über die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden. In unserem Fall bilden die Ereignisse eine vollständige Gruppe, was bedeutet, dass die Summe der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zwangsläufig gleich eins sein muss: .

Schauen wir mal, ob das stimmt: Das wollte ich sicherstellen.

Antwort:

Im Prinzip lässt sich die Antwort ausführlicher aufschreiben, aber ich persönlich bin es gewohnt, dort nur Zahlen anzugeben – denn wenn man anfängt, Probleme in Hunderten und Tausenden auszumerzen, versucht man, das Schreiben von zu reduzieren die Lösung so weit wie möglich. Übrigens, zur Kürze: In der Praxis ist die Designoption „Hochgeschwindigkeit“ üblich Lösungen:

Gesamt: 15 + 5 + 10 = 30 Kugeln in der Urne. Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel aus der Urne gezogen wird.

Antwort:

Wenn die Bedingung jedoch mehrere Punkte enthält, ist es oft bequemer, die Lösung auf die erste Art und Weise zu formulieren, die etwas mehr Zeit in Anspruch nimmt, aber gleichzeitig „alles in die Regale legt“ und es einfacher macht um das Problem zu navigieren.

Lasst uns aufwärmen:

Problem 2

Das Geschäft erhielt 30 Kühlschränke, von denen fünf einen Herstellungsfehler aufwiesen. Ein Kühlschrank wird zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es fehlerfrei ist?

Wählen Sie die entsprechende Designoption aus und sehen Sie sich das Beispiel unten auf der Seite an.

In den einfachsten Beispielen liegen die Anzahl der gemeinsamen und die Anzahl der günstigen Ergebnisse an der Oberfläche, aber in den meisten Fällen muss man die Kartoffeln selbst ausgraben. Eine kanonische Reihe von Problemen über einen vergesslichen Abonnenten:

Problem 3

Beim Wählen einer Telefonnummer hat der Teilnehmer die letzten beiden Ziffern vergessen, merkt sich aber, dass eine davon Null und die andere ungerade ist. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die richtige Nummer wählt.

Notiz : Null ist eine gerade Zahl (ohne Rest durch 2 teilbar)

Lösung: Zuerst ermitteln wir die Gesamtzahl der Ergebnisse. Bedingt durch die Bedingung merkt sich der Teilnehmer, dass eine der Ziffern Null und die andere Ziffer ungerade ist. Hier ist es rationaler, bei der Kombinatorik und der Anwendung nicht zu kompliziert zu sein Methode der direkten Auflistung von Ergebnissen . Das heißt, wenn wir eine Lösung finden, schreiben wir einfach alle Kombinationen auf:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Und wir zählen sie – insgesamt: 10 Ergebnisse.

Es gibt nur ein günstiges Ergebnis: die richtige Zahl.

Nach der klassischen Definition:
– Wahrscheinlichkeit, dass der Teilnehmer die richtige Nummer wählt

Antwort: 0,1

Dezimalbrüche sehen in der Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus angemessen aus, Sie können sich aber auch an den traditionellen Wyschmatow-Stil halten und nur mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten.

Erweiterte Aufgabe zur eigenständigen Lösung:

Problem 4

Der Abonnent hat den PIN-Code seiner SIM-Karte vergessen, erinnert sich aber, dass dieser drei „Fünfer“ enthält und eine der Zahlen entweder eine „Sieben“ oder eine „Acht“ ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Autorisierung beim ersten Versuch?

Hier können Sie auch eine Vorstellung davon entwickeln, wie wahrscheinlich es ist, dass der Abonnent mit einem Puk-Code bestraft wird, aber leider würde die Begründung den Rahmen dieser Lektion sprengen

Die Lösung und Antwort finden Sie unten.

Manchmal erweist sich das Auflisten von Kombinationen als sehr mühsame Aufgabe. Dies ist insbesondere bei der nächsten, nicht weniger beliebten Aufgabengruppe der Fall, bei der 2 Würfel gewürfelt werden (seltener - größere Mengen):

Problem 5

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von zwei Würfeln die Gesamtzahl beträgt:

a) fünf Punkte;
b) nicht mehr als vier Punkte;
c) von 3 bis einschließlich 9 Punkten.

Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Möglichkeiten, wie die Seite des ersten Würfels herausfallen kann Und auf unterschiedliche Weise kann die Seite des 2. Würfels herausfallen; Von Regel zum Multiplizieren von Kombinationen, Gesamt: mögliche Kombinationen. Mit anderen Worten, jede die Fläche des 1. Würfels kann sein bestellt ein Paar mit jedem die Kante des 2. Würfels. Lassen Sie uns vereinbaren, ein solches Paar in der Form zu schreiben, wobei die Zahl ist, die beim 1. Würfel gewürfelt wurde, und die Zahl, die beim 2. Würfel gewürfelt wurde. Zum Beispiel:

– der erste Würfel brachte 3 Punkte, der zweite Würfel brachte 5 Punkte, Gesamtpunktzahl: 3 + 5 = 8;
– der erste Würfel brachte 6 Punkte, der zweite Würfel brachte 1 Punkt, Gesamtpunktzahl: 6 + 1 = 7;
– 2 gewürfelte Punkte auf beiden Würfeln, Summe: 2 + 2 = 4.

Offensichtlich wird der kleinste Betrag durch ein Paar und der größte durch zwei „Sechser“ angegeben.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, erscheinen 5 Punkte. Lassen Sie uns die Ergebnisse aufschreiben und zählen, die für dieses Ereignis sprechen:

Insgesamt: 4 positive Ergebnisse. Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt. Das heißt, entweder 2 oder 3 oder 4 Punkte. Wieder listen wir die günstigen Kombinationen auf und zählen sie, links schreibe ich die Gesamtpunktzahl auf und nach dem Doppelpunkt die passenden Paare:

Insgesamt: 6 günstige Kombinationen. Auf diese Weise:
– die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt werden.

c) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden 3 bis einschließlich 9 Punkte gewürfelt. Hier können Sie die gerade Straße nehmen, aber... aus irgendeinem Grund möchten Sie das nicht. Ja, einige Paare wurden bereits in den vorherigen Absätzen aufgeführt, aber es gibt noch viel zu tun.

Wie gehe ich am besten vor? In solchen Fällen erweist sich ein Umweg als sinnvoll. Lassen Sie uns überlegen entgegengesetztes Ereignis: – Es werden 2 oder 10 oder 11 oder 12 Punkte gewürfelt.

Was ist der Punkt? Das Gegenteil wird von einer deutlich geringeren Zahl von Paaren favorisiert:

Insgesamt: 7 positive Ergebnisse.

Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass Sie weniger als drei oder mehr als 9 Punkte würfeln.

Neben der direkten Auflistung und Zählung der Ergebnisse sind verschiedene kombinatorische Formeln. Und wieder ein episches Problem mit dem Aufzug:

Problem 7

Drei Personen betraten den Aufzug eines 20-stöckigen Gebäudes im ersten Stock. Und los geht's. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) Sie werden auf verschiedenen Etagen aussteigen
b) zwei werden auf derselben Etage aussteigen;
c) Alle steigen auf derselben Etage aus.

Unsere aufregende Lektion ist zu Ende, und zum Schluss empfehle ich noch einmal dringend: Wenn nicht, lösen Sie es, dann finden Sie es zumindest heraus zusätzliche Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung. Wie ich bereits erwähnt habe, ist auch die „Handpolsterung“ wichtig!

Im weiteren Verlauf des Kurses - Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit Und Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze und... Hauptsache Glück!

Lösungen und Antworten:

Aufgabe 2: Lösung: 30 – 5 = 25 Kühlschränke haben keinen Defekt.

– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kühlschrank keinen Defekt aufweist.
Antwort :

Aufgabe 4: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
Möglichkeiten, den Ort auszuwählen, an dem sich die zweifelhafte Nummer befindet und auf jedem Von diesen 4 Stellen können 2 Ziffern (sieben oder acht) lokalisiert werden. Gemäß der Regel der Multiplikation von Kombinationen beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse: .
Alternativ kann die Lösung einfach alle Ergebnisse auflisten (zum Glück gibt es nur wenige davon):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Es gibt nur ein positives Ergebnis (richtiger PIN-Code).
Nach der klassischen Definition gilt also:
– Wahrscheinlichkeit, dass sich der Abonnent beim ersten Versuch anmeldet
Antwort :

Aufgabe 6: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
Zahlen auf 2 Würfeln können auf unterschiedliche Weise erscheinen.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, ist das Produkt der Punkte gleich sieben. Gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gibt es für ein bestimmtes Ereignis keine günstigen Ergebnisse:
, d.h. Dieses Ereignis ist unmöglich.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Beim Würfeln mit zwei Würfeln beträgt das Produkt der Punkte mindestens 20. Folgende Ergebnisse sind für dieses Ereignis günstig:

Gesamt: 8
Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

c) Betrachten Sie die gegenteiligen Ereignisse:
– das Produkt der Punkte wird gerade sein;
– Das Produkt der Punkte wird ungerade sein.
Lassen Sie uns alle für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse auflisten:

Insgesamt: 9 positive Ergebnisse.
Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Gegensätzliche Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe, daher:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

Antwort :

Problem 8: Lösung: Berechnen wir die Gesamtzahl der Ergebnisse: 10 Münzen können auf unterschiedliche Weise fallen.
Ein anderer Weg: Wie die 1. Münze fallen kann Und Wie die 2. Münze fallen kann Und … Und Wie die 10. Münze fallen kann. Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen können 10 Münzen fallen Wege.
a) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf allen Münzen erscheinen Köpfe. Dieses Ereignis wird gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition durch ein einzelnes Ergebnis begünstigt: .
b) Betrachten Sie das Ereignis: – 9 Münzen ergeben „Kopf“ und eine Münze erhält „Zahl“.
Es gibt Münzen, die auf dem Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: .
c) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf der Hälfte der Münzen erscheinen Köpfe.
Existiert einzigartige Kombinationen aus fünf Münzen, die Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Antwort :

Klassische Wahrscheinlichkeit und ihre Eigenschaften

Wahrscheinlichkeit ist eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es gibt mehrere Definitionen dieses Konzepts. Lassen Sie uns eine Definition geben, die als klassisch bezeichnet wird.

Wahrscheinlichkeit Ereignis ist das Verhältnis der Anzahl elementarer Ergebnisse, die für ein bestimmtes Ereignis günstig sind, zur Anzahl aller gleichermaßen möglichen Ergebnisse der Erfahrung, in der dieses Ereignis auftreten kann.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird mit bezeichnet P(A)(Hier R– der erste Buchstabe eines französischen Wortes Wahrscheinlichkeit- Wahrscheinlichkeit).

Laut Definition

Wo ist die Anzahl der Ergebnisse des Elementartests, die für das Eintreten des Ereignisses günstig sind?

Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse des Elementartests.

Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition heißt klassisch. Es entstand in der Anfangsphase der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Zahl wird oft als relative Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses bezeichnet A in der Erfahrung.

Je größer die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist, desto häufiger tritt es auf, und umgekehrt: Je geringer die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, desto seltener tritt es auf. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nahe oder gleich eins ist, tritt es in fast allen Versuchen auf. Ein solches Ereignis soll es sein fast sicher, d.h. dass man durchaus mit seinem Eintreten rechnen kann.

Ist die Wahrscheinlichkeit dagegen Null oder sehr klein, dann tritt das Ereignis äußerst selten ein; so ein Ereignis soll es sein nahezu unmöglich.

Manchmal wird die Wahrscheinlichkeit als Prozentsatz ausgedrückt: P(A) 100 % ist der durchschnittliche Prozentsatz der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses A.

Beispiel 2.13. Beim Wählen einer Telefonnummer vergaß der Teilnehmer eine Ziffer und wählte sie wahllos. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Nummer gewählt wird.

Lösung.

Bezeichnen wir mit A Ereignis – „Die gewünschte Nummer wurde gewählt.“

Der Teilnehmer könnte jede der 10 Ziffern wählen, sodass die Gesamtzahl der möglichen Elementarergebnisse 10 beträgt. Diese Ergebnisse sind inkompatibel, gleichermaßen möglich und bilden eine vollständige Gruppe. Begünstigt die Veranstaltung A nur ein Ergebnis (es ist nur eine erforderliche Zahl erforderlich).

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse zur Anzahl aller Elementarergebnisse:

Die klassische Wahrscheinlichkeitsformel bietet eine sehr einfache, experimentfreie Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Die Einfachheit dieser Formel täuscht jedoch sehr. Tatsache ist, dass sich bei der Verwendung meist zwei sehr schwierige Fragen stellen:

1. Wie wählt man ein System experimenteller Ergebnisse so aus, dass diese gleichermaßen möglich sind, und ist dies überhaupt möglich?

2. So finden Sie Zahlen M Und N?

Wenn an einem Experiment mehrere Objekte beteiligt sind, ist es nicht immer einfach, gleich mögliche Ergebnisse zu erkennen.

Der große französische Philosoph und Mathematiker D'Alembert ging mit seinem berühmten Fehler in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie ein, dessen Kern darin bestand, dass er die Gleichmöglichkeit der Ergebnisse in einem Experiment mit nur zwei Münzen falsch bestimmte!

Beispiel 2.14. ( d'Alemberts Fehler). Es werden zwei identische Münzen geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auf die gleiche Seite fallen?

D'Alemberts Lösung.

Das Experiment hat drei gleichermaßen mögliche Ergebnisse:

1. Beide Münzen landen auf dem Kopf;

2. Beide Münzen landen auf Zahl;

3. Eine der Münzen landet auf Kopf, die andere auf Zahl.

Richtige Lösung.

Das Experiment hat vier gleichermaßen mögliche Ergebnisse:

1. Die erste Münze wird auf den Kopf fallen, die zweite wird ebenfalls auf den Kopf fallen;

2. Die erste Münze landet auf Zahl, die zweite landet ebenfalls auf Zahl;

3. Die erste Münze fällt auf „Kopf“ und die zweite auf „Zahl“.

4. Die erste Münze landet auf Zahl, die zweite auf Kopf.

Davon werden zwei Ergebnisse für unsere Veranstaltung günstig sein, sodass die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich ist.

D'Alembert machte einen der häufigsten Fehler bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung: Er kombinierte zwei elementare Ergebnisse zu einem und machte dadurch eine ungleiche Wahrscheinlichkeit zu den übrigen Ergebnissen des Experiments.

Kurze Theorie

Um Ereignisse quantitativ nach dem Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu vergleichen, wird ein numerisches Maß eingeführt, das als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine Zahl, die das Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt.

Die Größen, die bestimmen, wie bedeutsam die objektiven Gründe für die Erwartung des Eintretens eines Ereignisses sind, werden durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses charakterisiert. Es muss betont werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine objektive Größe ist, die unabhängig vom Wissenden existiert und durch die Gesamtheit der Bedingungen bedingt ist, die zum Eintreten eines Ereignisses beitragen.

Die von uns gegebenen Erklärungen zum Begriff der Wahrscheinlichkeit stellen keine mathematische Definition dar, da sie den Begriff nicht quantifizieren. Es gibt mehrere Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses, die häufig zur Lösung spezifischer Probleme verwendet werden (klassisch, axiomatisch, statistisch usw.).

Klassische Definition der Ereigniswahrscheinlichkeit reduziert diesen Begriff auf den elementareren Begriff gleich möglicher Ereignisse, der keiner Definition mehr unterliegt und als intuitiv klar vorausgesetzt wird. Wenn es sich bei einem Würfel beispielsweise um einen homogenen Würfel handelt, ist der Verlust einer beliebigen Seite dieses Würfels ein ebenso mögliches Ereignis.

Ein zuverlässiges Ereignis sei in gleich mögliche Fälle unterteilt, deren Summe das Ereignis ergibt. Das heißt, die Fälle, in die es zerfällt, werden als günstig für das Ereignis bezeichnet, da das Erscheinen eines von ihnen das Eintreten sicherstellt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch das Symbol angegeben.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der dafür günstigen Fälle aus der Gesamtzahl der eindeutig möglichen, gleichermaßen möglichen und inkompatiblen Fälle zur Anzahl, d.h.

Dies ist die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, ist es daher erforderlich, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests eine Menge eindeutig möglicher, gleichermaßen möglicher und inkompatibler Fälle zu finden und deren Gesamtzahl n, die Anzahl der Fälle, für die m günstig ist, zu berechnen ein bestimmtes Ereignis und führen Sie dann die Berechnung mit der obigen Formel durch.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, die dem Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen experimentellen Ergebnisse zur Gesamtzahl der experimentellen Ergebnisse entspricht, wird aufgerufen klassische Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis.

Aus der Definition ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeitseigenschaften:

Eigenschaft 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

Eigenschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Eigenschaft 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen Null und Eins.

Eigenschaft 4. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins.

Eigenschaft 5. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des gegenteiligen Ereignisses wird auf die gleiche Weise bestimmt wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A.

Die Anzahl der Fälle, die das Eintreten eines gegenteiligen Ereignisses begünstigen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des entgegengesetzten Ereignisses gleich der Differenz zwischen Eins und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A:

Ein wichtiger Vorteil der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses besteht darin, dass mit ihrer Hilfe die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ohne Rückgriff auf Erfahrung, sondern auf der Grundlage logischer Überlegungen bestimmt werden kann.

Wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, wird ein verlässliches Ereignis definitiv eintreten, aber ein unmögliches Ereignis wird definitiv nicht eintreten. Unter den Ereignissen, die eintreten können oder auch nicht, wenn eine Reihe von Bedingungen geschaffen wird, kann man mit dem Eintreten einiger mit gutem Grund und mit dem Eintreten anderer mit weniger Grund rechnen. Befinden sich in einer Urne beispielsweise mehr weiße als schwarze Kugeln, dann gibt es mehr Grund, auf das Erscheinen einer weißen Kugel zu hoffen, wenn sie zufällig aus der Urne gezogen wird, als auf das Erscheinen einer schwarzen Kugel.

Beispiel einer Problemlösung

Beispiel 1

Eine Schachtel enthält 8 weiße, 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Es werden zufällig 3 Bälle gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: – es wird mindestens 1 roter Ball gezogen, – es gibt mindestens 2 Bälle derselben Farbe, – es gibt mindestens 1 roten und 1 weißen Ball.

Die Lösung des Problems

Wir ermitteln die Gesamtzahl der Testergebnisse als Anzahl der Kombinationen von 19 (8+4+7) Elementen von 3:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln– mindestens 1 rote Kugel wird gezogen (1,2 oder 3 rote Kugeln)

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– es gibt mindestens 2 gleichfarbige Bälle (2 oder 3 weiße Bälle, 2 oder 3 schwarze Bälle und 2 oder 3 rote Bälle)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie die Veranstaltung– Es gibt mindestens eine rote und eine weiße Kugel

(1 rot, 1 weiß, 1 schwarz oder 1 rot, 2 weiß oder 2 rot, 1 weiß)

Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:

Erforderliche Wahrscheinlichkeit:

Antwort: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Beispiel 2

Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte mindestens 5 beträgt.

Lösung

Lassen Sie die Veranstaltung eine Punktzahl von mindestens 5 haben

Verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Gesamtzahl der möglichen Testergebnisse

Anzahl der Versuche, die das interessierende Ereignis begünstigen

Auf der fallengelassenen Seite des ersten Würfels können ein Punkt, zwei Punkte ..., sechs Punkte erscheinen. Ebenso sind beim zweiten Würfeln sechs Ergebnisse möglich. Jedes Ergebnis des ersten Würfels kann mit jedem Ergebnis des zweiten Würfels kombiniert werden. Somit ist die Gesamtzahl der möglichen Elementarprüfungsergebnisse gleich der Anzahl der Einstufungen mit Wiederholungen (Wahl mit Einstufungen von 2 Elementen aus einem Satz von Band 6):

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses ermitteln – die Summe der Punkte beträgt weniger als 5

Die folgenden Kombinationen verlorener Punkte begünstigen die Veranstaltung:

№

1. Knochen

2. Knochen

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit wird vorgestellt und die Lösung des bekannten Begegnungsproblems angegeben.

3) P (Æ )=0.

Wir werden sagen, was gegeben ist Wahrscheinlichkeitsraum, wenn der Raum der Elementarergebnisse9 gegeben ist und die Korrespondenz bestimmt ist

w i ® P(wi ) =Pi .

Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit P (wi) einzelner Elementarergebnisse aus den spezifischen Bedingungen des zu lösenden Problems bestimmen?

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit.

Es ist möglich, die Wahrscheinlichkeiten P (wi) mithilfe eines A-priori-Ansatzes zu berechnen, der darin besteht, die spezifischen Bedingungen eines bestimmten Experiments zu analysieren (vor der Durchführung des Experiments selbst).

Eine Situation ist möglich, wenn der Raum der Elementarergebnisse aus einer endlichen Anzahl N von Elementarergebnissen besteht und das Zufallsexperiment so ist, dass die Wahrscheinlichkeiten jedes dieser N Elementarergebnisse gleich erscheinen. Beispiele für solche Zufallsexperimente sind: das Werfen einer symmetrischen Münze, das Werfen eines fairen Würfels oder das zufällige Ziehen einer Spielkarte aus einem gemischten Stapel. Aufgrund des eingeführten Axioms der Wahrscheinlichkeit jedes Elementars

Die Ergebnisse sind in diesem Fall gleich N. Daraus folgt, dass, wenn Ereignis A N A elementare Ergebnisse enthält, gemäß der Definition (*)

P(A) = A

In dieser Klasse von Situationen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses definiert als das Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse.

Beispiel. Aus einem Set mit 10 gleich aussehenden elektrischen Lampen, von denen 4 defekt sind, werden 5 Lampen zufällig ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Lampen 2 defekte sind?

Zunächst stellen wir fest, dass die Wahl von fünf beliebigen Lampen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Insgesamt gibt es C 10 5 Möglichkeiten, eine solche Top 5 zu erreichen, das heißt, ein Zufallsexperiment hat in diesem Fall C 10 5 gleichwahrscheinliche Ergebnisse.

Wie viele dieser Ergebnisse erfüllen die Bedingung „Unter den ersten fünf befinden sich zwei defekte Lampen“, d. h. wie viele Ergebnisse gehören zu dem für uns interessanten Ereignis?

Jeder für uns interessante Fünfer lässt sich wie folgt zusammensetzen: Wählen Sie zwei defekte Lampen aus, was auf verschiedene Weisen gleich C 4 2 erfolgen kann. Jedes Paar defekter Lampen kann so oft vorkommen, wie es durch drei nicht defekte Lampen ergänzt werden kann, also 6 3 Mal. Es stellt sich heraus, dass die Zahl Fünfer zwei enthält

Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Stellen Sie sich ein Zufallsexperiment vor, bei dem ein Würfel aus einem heterogenen Material geworfen wird. Sein Schwerpunkt liegt nicht im geometrischen Mittelpunkt. In diesem Fall können wir die Ergebnisse (Verlust von eins, zwei usw.) nicht als gleich wahrscheinlich betrachten. Aus der Physik ist bekannt, dass der Knochen häufiger auf das Gesicht fällt, das näher am Schwerpunkt liegt. Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, beispielsweise drei Punkte zu bekommen? Das Einzige, was Sie tun können, ist, diesen Würfel n-mal zu würfeln (wobei n eine ziemlich große Zahl ist, sagen wir n = 1000 oder n = 5000), die Anzahl der gewürfelten drei Punkte n 3 zu zählen und die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses des Würfelns mit drei zu berücksichtigen Punkte sollen n 3 / n sein – relative Häufigkeit, mit der drei Punkte gewürfelt werden. Auf ähnliche Weise können Sie die Wahrscheinlichkeiten anderer elementarer Ergebnisse bestimmen – eins, zwei, vier usw. Theoretisch lässt sich diese Vorgehensweise rechtfertigen, wenn wir Folgendes einführen statistische Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeit P(M i) ist definiert als die Grenze der relativen Häufigkeit des Auftretens des Ergebnisses M i im Prozess einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl von Zufallsexperimenten n, das heißt

P i = P (M i ) = lim m n (M i ), n ®¥n

wobei m n (M i ) die Anzahl der Zufallsexperimente (von der Gesamtzahl n der durchgeführten Zufallsexperimente) ist, bei denen das Auftreten eines elementaren Ergebnisses M i aufgezeichnet wurde.

Da hier keine Beweise vorgelegt werden, können wir nur hoffen, dass die Grenze in der letzten Formel existiert, und unsere Hoffnung auf Lebenserfahrung und Intuition stützen.

Geometrische Wahrscheinlichkeit

In einem speziellen Fall geben wir eine Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses für ein Zufallsexperiment mit unzähligen Ergebnissen.

Wenn eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge W der Elementarergebnisse eines Zufallsexperiments und der Punktmenge einer bestimmten flachen Figur S (großes Sigma) hergestellt werden kann, kann auch eine Eins-zu-eins-Entsprechung hergestellt werden zwischen der Menge der für das Ereignis günstigen Elementarergebnisse A und der Menge der Punkte einer flachen Figur I (kleines Sigma), die Teil der Figur S ist

P(A) = S,

wobei s die Fläche der Figur ist, S die Fläche der Figur S ist.

Beispiel. Zwei Personen essen im Speisesaal zu Mittag, der von 12 bis 13 Uhr geöffnet ist. Jeder von ihnen kommt zu einer zufälligen Zeit und isst innerhalb von 10 Minuten zu Mittag. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit ihres Treffens?

Sei x die Ankunftszeit der ersten Person im Speisesaal, ay die Ankunftszeit der zweiten Person

12 £ x 13 £; 12 £ und 13 £.

Es ist möglich, eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen allen Zahlenpaaren (x;y) (oder Ergebnismengen) und der Menge der Punkte eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 auf der Koordinatenebene herzustellen, wo der Ursprung liegt auf die Zahl 12 entlang der In diesem Fall natürlich

das Treffen fand nicht statt.

Wenn der erste spätestens der zweite eintraf (y ³ x), dann

Das Treffen findet unter der Bedingung 0 £ y - x £ 1/6 statt

(10 Minuten sind 1/6 Stunde).

Wenn der zweite spätestens als der erste eintraf (x ³ y), dann

Das Treffen findet unter der Bedingung 0 £ x - y £ 1/6 statt.

Zwischen mehreren Ergebnissen günstig

Treffen und eine Reihe von Punkten in der Region sind in dargestellt

Abbildung 7 in schattierter Form, Sie können installieren

Eins-zu-eins-Korrespondenz.

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit p ist gleich dem Flächenverhältnis

Fläche s zur Fläche des gesamten Quadrats. Fläche des Quadrats

ist gleich Eins, und die Fläche der Region s kann definiert werden als

Differenz zwischen eins und der Gesamtfläche von zwei

Dreiecke, die in Abbildung 7 dargestellt sind. Daraus folgt:

p =1 -

Kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Wie bereits erwähnt, kann die Menge der elementaren Ergebnisse mehr als zählbar (d. h. überzählbar) sein. In diesem Fall kann keine Teilmenge der Menge W als Ereignis betrachtet werden.

Um die Definition eines Zufallsereignisses einzuführen, betrachten Sie ein System (endlich oder abzählbar) von Teilmengen A 1 , A 2 ,... A n des Raums elementarer Ergebnisse W .

Wenn drei Bedingungen erfüllt sind: 1) W gehört zu diesem System;

2) aus der Zugehörigkeit von A zu diesem System folgt, dass A zu diesem System gehört;

3) Aus der Zugehörigkeit von A i und A j zu diesem System folgt, dass A i U A j dazu gehört

System, ein solches System von Teilmengen wird Algebra genannt.

Sei W ein Raum elementarer Ergebnisse. Stellen Sie sicher, dass die beiden Systeme Teilmengen sind:

1) W , Æ ; 2) W , A , A , Æ (hier ist A eine Teilmenge von W ) sind Algebren.

Es seien A 1 und A 2, die zu einer Algebra gehören. Beweisen Sie, dass A 1 \A 2 und A 1 ∩ A 2 zu dieser Algebra gehören.

Eine Teilmenge A einer überzähligen Menge elementarer Ergebnisse 9 ist ein Ereignis, wenn sie zu einer Algebra gehört.

Lassen Sie uns ein Axiom formulieren, das A.N.-Axiom genannt wird. Kolmogorov.

Jedes Ereignis entspricht einer nicht negativen Zahl P(A), die eins nicht überschreitet, die sogenannte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, und die Funktion P(A) hat die folgenden Eigenschaften:

1) P (9 )=1

2) wenn die Ereignisse A 1 ,A 2 ,...,A n inkonsistent sind, dann

P (A 1 U A 2 U ... U A n ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) +... +P (A n )

Wenn ein Raum elementarer Ergebnisse W, eine Algebra von Ereignissen und eine darauf definierte Funktion P gegeben sind, die die Bedingungen des gegebenen Axioms erfüllt, dann sagt man das Wahrscheinlichkeitsraum.

Diese Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums kann auf den Fall eines endlichen Raums elementarer Ergebnisse W erweitert werden. Dann können wir als Algebra das System aller Teilmengen der Menge W annehmen.

Formeln zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten.

Aus Punkt 2 des obigen Axioms folgt: Wenn A 1 und A2 inkompatible Ereignisse sind, dann

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 )

Wenn A 1 und A 2 gemeinsame Ereignisse sind, dann ist A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 , und es ist offensichtlich, dass A 1 \A 2 und A 2 inkompatible Ereignisse sind. Dies impliziert:

P (A 1 U A 2 ) = P (A1 \ A 2 ) + P (A2 )

Weiter ist klar: A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ), und A1 \A 2 und A 1 ∩ A 2 sind inkompatible Ereignisse, woraus folgt: P (A 1 ) =P (A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) Finden wir aus dieser Formel den Ausdruck für P (A1 \A 2 ) und setzen ihn auf der rechten Seite der Formel (*) ein. Als Ergebnis erhalten wir die Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten:

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )

Aus der letzten Formel lässt sich leicht eine Formel zum Addieren von Wahrscheinlichkeiten für inkompatible Ereignisse erhalten, indem man A 1 ∩ A 2 =Æ setzt.

Beispiel. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, ein Ass oder ein Herz zu ziehen, wenn Sie zufällig eine Karte aus einem Stapel mit 32 Blättern auswählen.

P (Ass) = 4/32 = 1/8; P (Herzfarbe) = 8/32 = 1/4;

P (HERZ-ASS) = 1/32;

P ((ACE)U (WORTH SUIT)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Das gleiche Ergebnis könnte mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition durch Neuberechnung der Anzahl günstiger Ergebnisse erzielt werden.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Betrachten wir das Problem. Vor der Prüfung hat ein Student aus 30 Tickets Tickets mit Zahlen von 1 bis 5 und von 26 bis 30 gelernt. Es ist bekannt, dass der Student während der Prüfung ein Ticket mit einer Nummer von nicht mehr als 20 gezogen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student das gespeicherte Ticket herausgezogen?

Definieren wir den Raum der elementaren Ergebnisse: W =(1,2,3,...,28,29,30). Sei Ereignis A, dass der Student ein erlerntes Ticket herausgezogen hat: A = (1,...,5,25,...,30,), und Ereignis B sei, dass der Student ein Ticket aus den ersten zwanzig herausgezogen hat : B = ( 1,2,3,...,20)

Ereignis A ∩ B besteht aus fünf Ergebnissen: (1,2,3,4,5) und seine Wahrscheinlichkeit beträgt 5/30. Diese Zahl kann als Produkt der Brüche 5/20 und 20/30 dargestellt werden. Die Zahl 20/30 ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B. Die Zahl 5/20 kann als Wahrscheinlichkeit von Ereignis A betrachtet werden, vorausgesetzt, dass Ereignis B eingetreten ist (wir bezeichnen es als P (A / B)). Somit wird die Lösung des Problems durch die Formel bestimmt

P (A ∩ B) =P (A /B)P (B)

Diese Formel wird als Wahrschebezeichnet, und die Wahrscheinlichkeit P (A / B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

Beispiel: Aus einer Urne mit 7 weißen und 3 schwarzen Kugeln werden zufällig nacheinander (ohne Ersetzen) zwei Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß und die zweite Kugel schwarz ist?

Sei X das Ereignis, dass der erste eine weiße Kugel zieht, und Y das Ereignis, dass der zweite eine schwarze Kugel zieht. Dann ist X ∩ Y das Ereignis, dass der erste Ball weiß und der zweite schwarz sein wird. P (Y / X ) =3/9 =1/3 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Ball einen schwarzen Ball zieht, wenn der weiße Ball ist wurde zuerst gezogen. Unter Berücksichtigung von P (X) = 7/10 erhalten wir unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsformel: P (X ∩ Y) = 7/30

Ereignis A heißt unabhängig von Ereignis B (mit anderen Worten: Ereignisse A und B heißen unabhängig), wenn P (A / B) = P (A ). Die Definition unabhängiger Ereignisse kann als Konsequenz aus der letzten Formel und der Multiplikationsformel erfolgen

P (A ∩ B) =P (A)P (B)

Beweisen Sie, dass A und B auch unabhängige Ereignisse sind, wenn A und B unabhängige Ereignisse sind.

Beispiel: Stellen Sie sich ein ähnliches Problem wie das vorherige vor, jedoch mit einer zusätzlichen Bedingung: Nachdem Sie die erste Kugel herausgezogen haben, merken Sie sich ihre Farbe und legen Sie die Kugel zurück in die Urne. Anschließend mischen wir alle Kugeln. In diesem Fall hängt das Ergebnis der zweiten Extraktion in keiner Weise davon ab, welcher Ball – schwarz oder weiß – bei der ersten Extraktion aufgetaucht ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der weiße Ball zuerst erscheint (Ereignis A), beträgt 7/10. Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis B – das Erscheinen der zweiten schwarzen Kugel – beträgt 3/10. Nun ergibt die Wahrscheinlichkeitsmultiplikationsformel: P (A ∩ B) = 21/100.

Das Abrufen von Bällen auf die in diesem Beispiel beschriebene Weise wird aufgerufen Muster mit Rücksendung oder Rückprobenahme.

Es ist zu beachten, dass, wenn wir in den letzten beiden Beispielen die anfängliche Anzahl der weißen und schwarzen Kugeln auf 7000 bzw. 3000 setzen, die Ergebnisse der Berechnung derselben Wahrscheinlichkeiten für die wiederkehrenden und nicht wiederkehrenden Stichproben vernachlässigbar unterschiedlich sein werden.