Finden Sie die Länge und Höhe des Trapezes, falls bekannt. In den Quelldaten: alle Parteien. Das Problem ergibt: seitliche Seiten und Winkel an der unteren Basis

Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.

In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.

Was müssen Sie über das Trapez wissen?

Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Grundflächen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.

Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.

Trapezflächenformeln

Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.

Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.

Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m* h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.

Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sie sich für alle Fälle zu merken: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, nennt man gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes betrachten.

Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Basis einen spitzen Winkel α bilden. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.

Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.

Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes

Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.

Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.

Beispielprobleme

Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.

Aufgabe 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine 12 cm lang, die zweite 9 cm.

Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.

Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.

Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.

All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.

Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.

Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zu RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt einer Linie, die durch den Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis KS.

Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).

Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Abschluss

Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.

Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.

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Ein Trapez ist ein konvexes Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Wenn alle gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise parallel sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Du wirst brauchen

• - alle Seiten des Trapezes (AB, BC, CD, DA).

Anweisungen

• Nicht parallele Seiten Trapeze werden Seitenteile genannt, parallele werden Basen genannt. Die Linie zwischen den Basen senkrecht zu ihnen ist die Höhe Trapeze. Wenn die Seiten Trapeze gleich sind, dann heißt es gleichschenklig. Schauen wir uns zunächst die Lösung an Trapeze, was nicht gleichschenklig ist.
• Zeichnen Sie das Liniensegment BE vom Punkt B zur unteren Basis AD parallel zur Seite Trapeze CD. Da BE und CD parallel sind und zwischen parallelen Basen gezeichnet werden Trapeze BC und DA, dann ist BCDE ein Parallelogramm und seine gegenüberliegenden Seiten BE und CD sind gleich. BE=CD.
• Betrachten Sie das Dreieck ABE. Berechnen Sie die Seiten-AE. AE=AD-ED. Gründe Trapeze BC und AD sind bekannt und im Parallelogramm BCDE sind die gegenüberliegenden Seiten ED und BC gleich. ED=BC, also AE=AD-BC.
• Ermitteln Sie nun die Fläche des Dreiecks ABE mithilfe der Heron-Formel, indem Sie den Halbumfang berechnen. S=root(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In dieser Formel ist p der Halbumfang des Dreiecks ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Um die Fläche zu berechnen, kennen Sie alle notwendigen Daten: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Als nächstes schreiben Sie die Fläche des Dreiecks ABE auf andere Weise auf – sie ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Höhe des Dreiecks BH und der Seite AE, auf die es gezeichnet wird. S=1/2*BH*AE.
• Drücken Sie aus dieser Formel aus Höhe Dreieck, das auch die Höhe ist Trapeze. BH=2*S/AE. Berechnen Sie es.

Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann die Lösung anders erfolgen. Betrachten Sie das Dreieck ABH. Es ist rechteckig, weil eine der Ecken, BHA, richtig ist.

• Streichen Sie vom Scheitelpunkt C aus Höhe CF.
• Studieren Sie die HBCF-Zahl. HBCF ist ein Rechteck, weil zwei seiner Seiten Höhen und die anderen beiden Grundflächen sind Trapeze, das heißt, die Winkel sind rechtwinklig und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Das bedeutet BC=HF.
• Schauen Sie sich die rechtwinkligen Dreiecke ABH und FCD an. Die Winkel an den Höhen BHA und CFD sind rechtwinklig und die Winkel an den Seiten BAH und CDF sind gleich, da das Trapez ABCD gleichschenklig ist, was bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind. Da die Höhen BH und CF gleich sind oder die Seiten einer gleichschenkligen Trapeze AB und CD sind kongruent, dann sind ähnliche Dreiecke kongruent. Das bedeutet, dass auch ihre Seiten AH und FD gleich sind.
• Finden Sie AH. AH+FD=AD-HF. Da aus einem Parallelogramm HF=BC und aus Dreiecken AH=FD gilt, gilt AH=(AD-BC)*1/2.
• Berechnen Sie als nächstes aus dem rechtwinkligen Dreieck ABH unter Verwendung des Satzes des Pythagoras Höhe B.H. Das Quadrat der Hypotenuse AB ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel AH und BH. BH=root(AB*AB-AH*AH).

UND . Jetzt können wir beginnen, über die Frage nachzudenken, wie man die Fläche eines Trapezes findet. Diese Aufgabe stellt sich im Alltag sehr selten, aber manchmal erweist es sich als notwendig, beispielsweise die Fläche eines Raumes in Form eines Trapezes zu finden, das zunehmend beim Bau moderner Wohnungen verwendet wird, oder in Design-Renovierungsprojekte.

Ein Trapez ist eine geometrische Figur, die aus vier sich schneidenden Segmenten besteht, von denen zwei parallel zueinander sind und als Basis des Trapezes bezeichnet werden. Die anderen beiden Segmente werden als Seiten des Trapezes bezeichnet. Darüber hinaus werden wir später noch eine weitere Definition benötigen. Dies ist die Mittellinie des Trapezes, ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten und die Höhe des Trapezes verbindet, die dem Abstand zwischen den Basen entspricht.
Wie Dreiecke gibt es auch bei Trapezen spezielle Typen: ein gleichschenkliges (gleichseitiges) Trapez, bei dem die Seitenlängen gleich sind, und ein rechteckiges Trapez, bei dem eine der Seiten einen rechten Winkel mit den Grundflächen bildet.

Trapeze haben einige interessante Eigenschaften:

1. Die Mittellinie des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe der Grundflächen und verläuft parallel zu diesen.
   
2. Gleichschenklige Trapeze haben gleiche Seiten und die gleichen Winkel, die sie mit den Grundflächen bilden.
   
3. Die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes und der Schnittpunkt seiner Diagonalen liegen auf derselben Geraden.
   
4. Wenn die Summe der Seiten eines Trapezes gleich der Summe der Grundflächen ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden
   
5. Wenn die Summe der Winkel, die die Seiten eines Trapezes an einer seiner Basen bilden, 90 beträgt, dann ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
   
6. Ein gleichschenkliges Trapez kann durch einen Kreis beschrieben werden. Umgekehrt. Passt ein Trapez in einen Kreis, dann ist es gleichschenklig.
   
7. Das Segment, das durch die Mittelpunkte der Basen eines gleichschenkligen Trapezes verläuft, steht senkrecht zu seinen Basen und stellt die Symmetrieachse dar.
   

So finden Sie die Fläche eines Trapezes.

Die Fläche des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe seiner Grundflächen multipliziert mit seiner Höhe. In Formelform wird dies als Ausdruck geschrieben:

Dabei ist S die Fläche des Trapezes, a, b die Länge jeder Basis des Trapezes und h die Höhe des Trapezes.

Sie können diese Formel wie folgt verstehen und sich merken. Wie aus der folgenden Abbildung hervorgeht, kann mithilfe der Mittellinie ein Trapez in ein Rechteck umgewandelt werden, dessen Länge der Hälfte der Summe der Grundflächen entspricht.

Sie können jedes Trapez auch in einfachere Figuren zerlegen: ein Rechteck und ein oder zwei Dreiecke. Wenn es für Sie einfacher ist, ermitteln Sie die Fläche des Trapezes als Summe der Flächen seiner konstituierenden Figuren.

Es gibt eine weitere einfache Formel zur Berechnung seiner Fläche. Demnach ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt seiner Mittellinie mit der Höhe des Trapezes und wird in der Form geschrieben: S = m*h, wobei S die Fläche und m die Länge des Trapezes ist Mittellinie, h ist die Höhe des Trapezes. Diese Formel eignet sich eher für mathematische Probleme als für alltägliche Probleme, da Sie unter realen Bedingungen ohne vorherige Berechnungen die Länge der Mittellinie nicht kennen. Und Sie kennen nur die Längen der Basen und Seiten.

In diesem Fall lässt sich die Fläche des Trapezes mit der Formel ermitteln:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

Dabei ist S die Fläche, a, b die Basen und c, d die Seiten des Trapezes.

Es gibt mehrere andere Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Aber sie sind ungefähr so ​​unbequem wie die letzte Formel, was bedeutet, dass es keinen Sinn macht, sich weiter mit ihnen zu befassen. Daher empfehlen wir Ihnen, die erste Formel aus dem Artikel zu verwenden und wünschen Ihnen stets genaue Ergebnisse.

Auf die einfache Frage „Wie finde ich die Höhe eines Trapezes?“ Es gibt mehrere Antworten, da unterschiedliche Startwerte angegeben werden können. Daher unterscheiden sich die Formeln.

Diese Formeln kann man sich merken, aber sie sind nicht schwer abzuleiten. Sie müssen lediglich zuvor erlernte Theoreme anwenden.

In Formeln verwendete Notationen

In allen folgenden mathematischen Notationen sind diese Lesarten der Buchstaben korrekt.

In den Quelldaten: alle Seiten

Um die Höhe eines Trapezes im allgemeinen Fall zu ermitteln, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nummer 1.

Nicht die kürzeste, aber auch bei Problemen eher selten anzutreffen. Normalerweise können Sie auch andere Daten verwenden.

Die Formel, die Ihnen sagt, wie Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes in derselben Situation ermitteln können, ist viel kürzer:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Nummer 2.

Das Problem ergibt: seitliche Seiten und Winkel an der unteren Basis

Es wird angenommen, dass der Winkel α an die Seite mit der Bezeichnung „c“ angrenzt bzw. der Winkel β an die Seite d angrenzt. Dann lautet die allgemeine Formel zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes:

n = c * sin α = d * sin β. Nummer 3.

Wenn die Figur gleichschenklig ist, können Sie diese Option verwenden:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nummer 4.

Bekannt: Diagonalen und Winkel zwischen ihnen

Typischerweise werden diese Daten von anderen bekannten Größen begleitet. Zum Beispiel die Basen oder die Mittellinie. Wenn die Gründe angegeben sind, ist zur Beantwortung der Frage, wie man die Höhe eines Trapezes ermittelt, die folgende Formel hilfreich:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 5.

Dies dient dem allgemeinen Erscheinungsbild der Figur. Wenn eine gleichschenklige Zahl angegeben ist, ändert sich die Notation wie folgt:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 6.

Wenn sich das Problem mit der Mittellinie eines Trapezes befasst, lauten die Formeln zur Bestimmung seiner Höhe wie folgt:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.

Zu den bekannten Größen gehören: Fläche mit Basen oder Mittellinie

Dies sind vielleicht die kürzesten und einfachsten Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes. Für eine beliebige Figur sieht es so aus:

n = 2S / (a ​​+ b). Nummer 7.

Es ist das Gleiche, aber mit einer bekannten Mittellinie:

n = S/m. Nummer 7a.

Seltsamerweise sehen die Formeln für ein gleichschenkliges Trapez gleich aus.

Aufgaben

Nr. 1. Zur Bestimmung der Winkel an der unteren Basis des Trapezes.

Zustand. Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Grundlänge von 6 und 12 cm. Sie müssen den Sinus eines spitzen Winkels ermitteln.

Lösung. Der Einfachheit halber sollten Sie eine Bezeichnung eingeben. Der untere linke Scheitelpunkt sei A, der Rest im Uhrzeigersinn: B, C, D. Somit wird die untere Basis mit AD bezeichnet, die obere mit BC.

Es ist notwendig, Höhen von den Eckpunkten B und C aus zu zeichnen. Die Punkte, die die Enden der Höhen anzeigen, werden mit H 1 bzw. H 2 bezeichnet. Da alle Winkel in der Abbildung BCH 1 H 2 rechte Winkel sind, handelt es sich um ein Rechteck. Das bedeutet, dass das Segment H 1 H 2 6 cm beträgt.

Jetzt müssen wir zwei Dreiecke betrachten. Sie sind gleich, weil sie rechteckig sind und die gleichen Hypotenusen und vertikalen Schenkel haben. Daraus folgt, dass ihre kleineren Beine gleich sind. Daher können sie als Quotient der Differenz definiert werden. Letzteres erhält man durch Subtrahieren der oberen von der unteren Basis. Es wird durch 2 geteilt. Das heißt, 12 - 6 muss durch 2 geteilt werden. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Nun müssen Sie anhand des Satzes des Pythagoras die Höhe des Trapezes ermitteln. Es ist notwendig, den Sinus eines Winkels zu ermitteln. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Mit dem Wissen, wie der Sinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck mit rechtem Winkel ermittelt wird, können wir den folgenden Ausdruck schreiben: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Antwort. Der erforderliche Sinus beträgt 0,8.

Nr. 2. Die Höhe eines Trapezes mithilfe einer bekannten Tangente ermitteln.

Zustand. Für ein gleichschenkliges Trapez müssen Sie die Höhe berechnen. Es ist bekannt, dass seine Grundflächen 15 und 28 cm betragen. Der Tangens des spitzen Winkels ist angegeben: 11/13.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist die gleiche wie im vorherigen Problem. Auch hier müssen Sie zwei Höhen von den oberen Ecken zeichnen. Analog zur Lösung des ersten Problems müssen Sie AN 1 = N 2 D finden, was als Differenz von 28 und 15 geteilt durch zwei definiert ist. Nach Berechnungen ergibt sich: 6,5 cm.

Da der Tangens das Verhältnis zweier Schenkel ist, können wir die folgende Gleichheit schreiben: tan α = AH 1 / VN 1 . Darüber hinaus beträgt dieses Verhältnis 11/13 (je nach Bedingung). Da AN 1 bekannt ist, kann die Höhe berechnet werden: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Einfache Berechnungen ergeben ein Ergebnis von 5,5 cm.

Antwort. Die erforderliche Höhe beträgt 5,5 cm.

Nr. 3. Zur Berechnung der Höhe anhand bekannter Diagonalen.

Zustand. Vom Trapez ist bekannt, dass seine Diagonalen 13 und 3 cm betragen. Sie müssen seine Höhe ermitteln, wenn die Summe der Grundflächen 14 cm beträgt.

Lösung. Die Bezeichnung der Figur sei dieselbe wie zuvor. Nehmen wir an, dass AC die kleinere Diagonale ist. Vom Scheitelpunkt C aus müssen Sie die gewünschte Höhe zeichnen und sie mit CH bezeichnen.

Jetzt müssen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durchführen. Von Ecke C aus müssen Sie eine gerade Linie parallel zur größeren Diagonale zeichnen und den Schnittpunkt mit der Fortsetzung der Seite AD ermitteln. Das wird D 1 sein. Das Ergebnis ist ein neues Trapez, in das ein Dreieck ASD 1 eingezeichnet ist. Dies ist erforderlich, um das Problem weiter zu lösen.

Die gewünschte Höhe wird ebenfalls im Dreieck angezeigt. Daher können Sie die in einem anderen Thema untersuchten Formeln verwenden. Die Höhe eines Dreiecks ist definiert als das Produkt aus der Zahl 2 und der Fläche dividiert durch die Seite, auf der es gezeichnet wird. Und es stellt sich heraus, dass die Seite gleich der Summe der Basen des ursprünglichen Trapezes ist. Dies ergibt sich aus der Regel, nach der die zusätzliche Konstruktion erstellt wurde.

Im betrachteten Dreieck sind alle Seiten bekannt. Der Einfachheit halber führen wir die Notation x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm ein.

Jetzt können Sie die Fläche mit dem Satz von Heron berechnen. Der Halbumfang beträgt p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Dann sieht die Formel für die Fläche nach dem Ersetzen der Werte so aus: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Antwort. Die Höhe beträgt 6√10 / 7 cm.

Nummer 4. Um die Höhe an den Seiten zu ermitteln.

Zustand. Bei einem Trapez, dessen drei Seiten 10 cm und die vierte 24 cm lang sind, müssen Sie dessen Höhe ermitteln.

Lösung. Da die Figur gleichschenklig ist, benötigen Sie die Formel Nummer 2. Sie müssen nur alle Werte darin einsetzen und zählen. Es wird so aussehen:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Antwort. n = √51 cm.

Das vielseitige Trapez... Es kann beliebig, gleichschenklig oder rechteckig sein. Und in jedem Fall müssen Sie wissen, wie Sie die Fläche eines Trapezes ermitteln. Am einfachsten ist es natürlich, sich die Grundformeln zu merken. Manchmal ist es jedoch einfacher, ein Modell zu verwenden, das alle Merkmale einer bestimmten geometrischen Figur berücksichtigt.

Ein paar Worte zum Trapez und seinen Elementen

Jedes Viereck, dessen zwei Seiten parallel sind, kann als Trapez bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind sie nicht gleich und werden Basen genannt. Der größere ist der untere und der andere ist der obere.

Die anderen beiden Seiten erweisen sich als seitlich. In einem beliebigen Trapez haben sie unterschiedliche Längen. Wenn sie gleich sind, wird die Figur gleichschenklig.

Wenn sich plötzlich herausstellt, dass der Winkel zwischen einer Seite und der Basis 90 Grad beträgt, ist das Trapez rechteckig.

Alle diese Funktionen können bei der Lösung des Problems helfen, die Fläche eines Trapezes zu finden.

Unter den Elementen der Figur, die bei der Lösung von Problemen unverzichtbar sein können, können wir Folgendes hervorheben:

• Höhe, das heißt ein Segment senkrecht zu beiden Basen;
• die Mittellinie, an deren Enden sich die Mittelpunkte der Seiten befinden.

Mit welcher Formel lässt sich die Fläche berechnen, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind?

Dieser Ausdruck wird als grundlegender Ausdruck angegeben, da man diese Größen meist auch dann erkennen kann, wenn sie nicht explizit angegeben werden. Um also zu verstehen, wie man die Fläche eines Trapezes ermittelt, müssen Sie beide Grundflächen addieren und durch zwei dividieren. Dann multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit dem Höhenwert.

Wenn wir die Basen mit a 1 und a 2 und die Höhe mit n bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche so aus:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Die Formel, die die Fläche berechnet, wenn ihre Höhe und Mittellinie angegeben sind

Wenn Sie sich die vorherige Formel genau ansehen, können Sie leicht erkennen, dass sie eindeutig den Wert der Mittellinie enthält. Nämlich die Summe der Basen dividiert durch zwei. Bezeichne die Mittellinie mit dem Buchstaben l, dann lautet die Formel für die Fläche:

S = l * n.

Fähigkeit, Fläche mithilfe von Diagonalen zu finden

Diese Methode hilft, wenn der von ihnen gebildete Winkel bekannt ist. Angenommen, die Diagonalen werden mit den Buchstaben d 1 und d 2 bezeichnet und die Winkel zwischen ihnen betragen α und β. Dann wird die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes wie folgt geschrieben:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Sie können in diesem Ausdruck einfach α durch β ersetzen. Das Ergebnis wird sich nicht ändern.

Wie kann man die Fläche herausfinden, wenn alle Seiten der Figur bekannt sind?

Es gibt auch Situationen, in denen die Seiten dieser Figur genau bekannt sind. Diese Formel ist umständlich und schwer zu merken. Aber wahrscheinlich. Die Seiten sollen die Bezeichnung haben: a 1 und a 2, die Basis a 1 ist größer als a 2. Dann sieht die Flächenformel wie folgt aus:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Der erste Grund liegt darin, dass darin ein Kreis eingeschrieben werden kann. Und wenn Sie seinen Radius (er wird mit dem Buchstaben r bezeichnet) sowie den Winkel an der Basis – γ – kennen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Die letzte allgemeine Formel, die auf der Kenntnis aller Seiten der Figur basiert, wird aufgrund der Tatsache, dass die Seiten die gleiche Bedeutung haben, deutlich vereinfacht:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Es ist klar, dass jedes der oben genannten Dinge für jede Figur geeignet ist. Aber manchmal ist es nützlich, ein Merkmal eines solchen Trapezes zu kennen. Es liegt darin, dass die Differenz zwischen den Quadraten der Längen der Diagonalen gleich der Differenz aus den Quadraten der Grundflächen ist.

Oft werden die Formeln für ein Trapez vergessen, während man sich an die Ausdrücke für die Flächen eines Rechtecks ​​und eines Dreiecks erinnert. Dann können Sie eine einfache Methode verwenden. Teilen Sie das Trapez in zwei Formen, wenn es rechteckig ist, oder in drei. Eines wird definitiv ein Rechteck sein und das zweite oder die restlichen beiden werden Dreiecke sein. Nachdem die Flächen dieser Figuren berechnet wurden, müssen sie nur noch addiert werden.

Dies ist eine ziemlich einfache Möglichkeit, die Fläche eines rechteckigen Trapezes zu ermitteln.

Was wäre, wenn die Koordinaten der Eckpunkte des Trapezes bekannt wären?

In diesem Fall müssen Sie einen Ausdruck verwenden, mit dem Sie den Abstand zwischen Punkten bestimmen können. Es kann dreimal angewendet werden: um beide Basen und eine Höhe herauszufinden. Und dann wenden Sie einfach die erste Formel an, die etwas weiter oben beschrieben wird.

Um diese Methode zu veranschaulichen, kann das folgende Beispiel gegeben werden. Gegebene Eckpunkte mit den Koordinaten A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Sie müssen den Bereich der Figur herausfinden.

Bevor Sie die Fläche des Trapezes ermitteln, müssen Sie die Längen der Basen anhand der Koordinaten berechnen. Sie benötigen die folgende Formel:

Länge des Segments = √((Differenz der ersten Koordinaten der Punkte) 2 + (Differenz der zweiten Koordinaten der Punkte) 2 ).

Die obere Basis wird mit AB bezeichnet, was bedeutet, dass ihre Länge gleich √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3 ist. Die untere ist CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Jetzt müssen Sie die Höhe von oben bis zur Basis einzeichnen. Sein Anfang sei am Punkt A. Das Ende des Segments befindet sich auf der unteren Basis am Punkt mit den Koordinaten (5; 1), dies sei Punkt H. Die Länge des Segments AN ist gleich √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Es bleibt nur noch, die resultierenden Werte in die Formel für die Fläche eines Trapezes einzusetzen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Das Problem wurde ohne Maßeinheiten gelöst, da der Maßstab des Koordinatengitters nicht angegeben war. Es kann entweder ein Millimeter oder ein Meter sein.

Beispielprobleme

Nr. 1. Zustand. Der Winkel zwischen den Diagonalen eines beliebigen Trapezes ist bekannt; er beträgt 30 Grad. Die kleinere Diagonale hat einen Wert von 3 dm und die zweite ist 2-mal größer. Es ist notwendig, die Fläche des Trapezes zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie die Länge der zweiten Diagonale ermitteln, da ohne diese die Antwort nicht berechnet werden kann. Es ist nicht schwer zu berechnen: 3 * 2 = 6 (dm).

Jetzt müssen Sie die entsprechende Formel für die Fläche verwenden:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Das Problem ist behoben.

Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 4,5 dm2.

Nr. 2. Zustand. Im Trapez ABCD sind die Basen die Segmente AD und BC. Punkt E ist die Mitte der SD-Seite. Daraus wird eine Senkrechte zur Geraden AB gezogen, das Ende dieses Segments wird mit dem Buchstaben H bezeichnet. Es ist bekannt, dass die Längen AB und EH gleich 5 bzw. 4 cm sind. Es ist notwendig, die Fläche von zu berechnen ​​das Trapez.

Lösung. Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Da der Wert der Senkrechten kleiner ist als die Seite, zu der sie gezogen wird, wird das Trapez leicht nach oben verlängert. Also wird EH innerhalb der Figur sein.

Um den Fortschritt der Lösung des Problems klar zu erkennen, müssen Sie zusätzliche Konstruktionen durchführen. Zeichnen Sie nämlich eine gerade Linie, die parallel zur Seite AB verläuft. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit AD sind P und mit der Fortsetzung von BC sind X. Die resultierende Figur VHRA ist ein Parallelogramm. Darüber hinaus entspricht seine Fläche der erforderlichen. Dies liegt daran, dass die Dreiecke, die beim Nachbau entstanden sind, gleich sind. Dies ergibt sich aus der Gleichheit der Seite und zweier angrenzender Winkel, von denen einer vertikal und der andere quer liegt.

Sie können die Fläche eines Parallelogramms mithilfe einer Formel ermitteln, die das Produkt aus der Seite und der darauf abgesenkten Höhe enthält.

Somit beträgt die Fläche des Trapezes 5 * 4 = 20 cm 2.

Antwort: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Zustand. Die Elemente eines gleichschenkligen Trapezes haben folgende Werte: untere Basis – 14 cm, obere – 4 cm, spitzer Winkel – 45°. Sie müssen seine Fläche berechnen.

Lösung. Die kleinere Basis sei mit BC bezeichnet. Die vom Punkt B aus gezeichnete Höhe wird VH genannt. Da der Winkel 45° beträgt, ist das Dreieck ABH rechteckig und gleichschenklig. Also AN=VN. Darüber hinaus ist AN sehr leicht zu finden. Es entspricht der Hälfte der Basendifferenz. Das ist (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Die Stützpunkte sind bekannt, die Höhen sind berechnet. Sie können die erste Formel, die hier besprochen wurde, für ein beliebiges Trapez verwenden.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Antwort: Die benötigte Fläche beträgt 45 cm 2.

Nr. 4. Zustand. Es gibt ein beliebiges Trapez ABCD. Die Punkte O und E werden auf seinen lateralen Seiten genommen, so dass OE parallel zur Basis von AD ist. Die Fläche des AOED-Trapezes ist fünfmal größer als die des OVSE. Berechnen Sie den OE-Wert, wenn die Längen der Basen bekannt sind.

Lösung. Sie müssen zwei parallele Linien AB zeichnen: die erste durch Punkt C, deren Schnittpunkt mit OE - Punkt T; der zweite durch E und der Schnittpunkt mit AD wird M sein.

Sei die Unbekannte OE=x. Die Höhe des kleineren Trapezes OVSE beträgt n 1, die des größeren AOED beträgt n 2.

Da die Flächen dieser beiden Trapeze im Verhältnis 1 zu 5 stehen, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Die Höhen und Seiten der Dreiecke sind konstruktionsbedingt proportional. Daher können wir noch eine Gleichheit schreiben:

n 1 / n 2 = (x – a 2) / (a ​​​​1 – x).

In den letzten beiden Einträgen auf der linken Seite gibt es gleiche Werte, was bedeutet, dass wir schreiben können, dass (x + a 1) / (5(x + a 2)) gleich (x - a 2) / (a ​​​) ist ​1 - x).

Hier sind eine Reihe von Transformationen erforderlich. Zuerst kreuzweise multiplizieren. Es erscheinen Klammern, um die Differenz der Quadrate anzuzeigen. Nach Anwendung dieser Formel erhalten Sie eine kurze Gleichung.

Darin müssen Sie die Klammern öffnen und alle Terme mit dem unbekannten „x“ nach links verschieben und dann die Quadratwurzel ziehen.

Antwort: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).