Ermitteln Sie die Summe der ersten zwölf Zahlen der arithmetischen Folge. Unterrichtsthema: „Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge.“ Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei der jede Zahl um den gleichen Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.

Dieses Thema erscheint oft komplex und unverständlich. Die Indizes der Buchstaben, das n-te Glied der Progression, die Differenz der Progression – das alles ist irgendwie verwirrend, ja... Lasst uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden und alles wird sofort besser.)

Das Konzept der arithmetischen Progression.

Die arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Haben Sie Zweifel? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.

Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Können Sie diese Serie verlängern? Welche Zahlen kommen nach der Fünf als nächstes? Jeder... äh..., kurz gesagt, jeder wird erkennen, dass als nächstes die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. kommen werden.

Machen wir die Aufgabe komplizierter. Ich gebe Ihnen eine unvollendete Zahlenreihe:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sie können das Muster erfassen, die Serie erweitern und benennen siebte Zeilennummer?

Wenn Sie bemerkt haben, dass diese Zahl 20 ist, herzlichen Glückwunsch! Du hast nicht nur gefühlt Schlüsselpunkte der arithmetischen Progression, sondern auch erfolgreich im Geschäftsleben eingesetzt! Wenn Sie es noch nicht herausgefunden haben, lesen Sie weiter.

Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte der Empfindungen in die Mathematik übersetzen.)

Erster wichtiger Punkt.

Die arithmetische Progression beschäftigt sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Diagramme zu zeichnen und all das ... Aber hier erweitern wir die Reihe, ermitteln die Nummer der Reihe ...

Macht nichts. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Der Abschnitt heißt „Reihe“ und arbeitet speziell mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)

Zweiter wichtiger Punkt.

In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.

Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eins mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist drei mehr als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Möglichkeit gibt, das Muster zu erfassen und nachfolgende Zahlen zu berechnen.

Dritter wichtiger Punkt.

Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber er ist sehr, sehr wichtig. Da ist er: Jede Fortschrittsnummer ist an ihrer Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste usw. Wenn Sie sie zufällig vermischen, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Folge wird verschwinden. Was übrig bleibt, ist nur eine Reihe von Zahlen.

Das ist der springende Punkt.

Natürlich tauchen in einem neuen Thema auch neue Begriffe und Bezeichnungen auf. Sie müssen sie kennen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Sie müssen sich zum Beispiel für Folgendes entscheiden:

Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirierend?) Briefe, einige Register ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen lediglich die Bedeutung der Begriffe und Bezeichnungen verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.

Begriffe und Bezeichnungen.

Arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.

Diese Menge heißt . Schauen wir uns dieses Konzept genauer an.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied ist der Betrag, um den jede Fortschrittszahl mehr vorheriger.

Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Fortschrittszahl ist beim Hinzufügen Differenz der arithmetischen Folge zur vorherigen Zahl.

Zum Berechnen sagen wir mal zweite Zahlen der Serie, müssen Sie Erste Nummer hinzufügen genau dieser Unterschied einer arithmetischen Folge. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen Zu vierte, na ja, usw.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied kann sein positiv, dann wird sich herausstellen, dass jede Zahl in der Reihe real ist mehr als der vorherige. Dieser Fortschritt wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hier wird jede Zahl erhalten beim Hinzufügen positive Zahl, +5 zur vorherigen.

Der Unterschied kann sein Negativ, dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als der vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.

Zum Beispiel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Hier wird auch jede Zahl ermittelt beim Hinzufügen zum vorherigen, aber bereits eine negative Zahl, -5.

Übrigens ist es bei der Arbeit mit der Progression sehr nützlich, sofort deren Natur zu bestimmen – ob sie zunimmt oder abnimmt. Dies hilft sehr dabei, die Entscheidung zu treffen, Ihre Fehler zu erkennen und sie zu korrigieren, bevor es zu spät ist.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D.

Wie findet man D? Sehr einfach. Es ist notwendig, von jeder Zahl in der Reihe zu subtrahieren vorherige Nummer. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens „Differenz“.)

Definieren wir zum Beispiel: D zur Erhöhung der arithmetischen Folge:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Wir nehmen eine beliebige Zahl aus der Reihe, die wir wollen, zum Beispiel 11. Wir subtrahieren davon vorherige Nummer diese. 8:

Das ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Folge beträgt die Differenz drei.

Du kannst es haben jede Fortschrittsnummer, Weil für einen bestimmten Verlauf D-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Zahl nehmen. Einfach weil die allererste Zahl kein vorheriges.)

Übrigens, das weiß ich d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Folge zu finden. Addieren wir 3 zur fünften Zahl – wir erhalten die sechste, es wird 17 sein. Addieren wir drei zur sechsten Zahl, erhalten wir die siebte Zahl – zwanzig.

Definieren wir D für absteigende arithmetische Folge:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ich erinnere Sie daran, unabhängig von den Anzeichen, zu bestimmen D brauchen von einer beliebigen Nummer nimm den vorherigen weg. Wählen Sie eine beliebige Fortschrittszahl, zum Beispiel -7. Seine bisherige Zahl ist -2. Dann:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganze Zahl, Bruchzahl, irrationale Zahl, jede beliebige Zahl.

Andere Begriffe und Bezeichnungen.

Jede Zahl in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.

Jedes Mitglied der Progression hat eine eigene Nummer. Die Zahlen sind streng geordnet, ohne Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel ist in der Folge 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei der erste Term, fünf der zweite, elf der vierte, nun, Sie verstehen...) Bitte verstehen Sie klar - die Zahlen selbst kann absolut alles sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung von Zahlen- unbedingt in Ordnung!

Wie schreibe ich eine Progression in allgemeiner Form? Kein Problem! Jede Zahl einer Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird üblicherweise der Buchstabe verwendet A. Die Mitgliedsnummer wird durch einen Index unten rechts angezeigt. Wir schreiben durch Kommas (oder Semikolons) getrennte Begriffe wie folgt:

eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5, .....

eine 1- das ist die erste Zahl, eine 3- Dritter usw. Nichts Besonderes. Diese Serie kann kurz so geschrieben werden: (ein).

Fortschritte passieren endlich und unendlich.

Ultimativ Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.

Unendlich Progression – hat, wie Sie vielleicht vermuten, eine unendliche Anzahl von Mitgliedern.)

Sie können den endgültigen Verlauf einer Reihe wie folgt schreiben, alle Begriffe und einen Punkt am Ende:

eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5.

Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:

eine 1, eine 2, ... eine 14, eine 15.

Im Kurzeintrag müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:

(a n), n = 20

Eine unendliche Folge erkennt man an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile, wie in den Beispielen dieser Lektion.

Jetzt können Sie die Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach und dienen lediglich dem Verständnis der Bedeutung einer arithmetischen Folge.

Beispiele für Aufgaben zur Rechenprogression.

Schauen wir uns die oben gestellte Aufgabe im Detail an:

1. Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Wir übersetzen die Aufgabe in eine verständliche Sprache. Gegeben ist eine unendliche arithmetische Folge. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: ein 2 = 5. Der Fortschrittsunterschied ist bekannt: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Glied dieser Progression finden.

Der Übersichtlichkeit halber werde ich eine Reihe entsprechend den Bedingungen des Problems aufschreiben. Die ersten sechs Amtszeiten, wobei die zweite Amtszeit fünf beträgt:

eine 1, eine 5, eine 3, eine 4, eine 5, eine 6, ....

eine 3 = eine 2 + D

In Ausdruck ersetzen ein 2 = 5 Und d = -2,5. Vergessen Sie nicht das Minus!

eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Der dritte Term fiel kleiner aus als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, was bedeutet, dass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Der Fortschritt nimmt ab. Okay, berücksichtigen wir es.) Wir zählen den vierten Term unserer Serie:

eine 4 = eine 3 + D

eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

eine 5 = eine 4 + D

eine 5=0+(-2,5)= - 2,5

eine 6 = eine 5 + D

eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Daher wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Das Ergebnis ist die folgende Serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Es bleibt der erste Begriff zu finden eine 1 nach dem bekannten zweiten. Das ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Also der Unterschied der arithmetischen Folge D sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, A wegbringen:

eine 1 = eine 2 - D

eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Das ist es. Aufgabenantwort:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nebenbei möchte ich anmerken, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Dieses schreckliche Wort bedeutet nur die Suche nach einem Mitglied der Progression entsprechend der vorherigen (benachbarten) Nummer. Im Folgenden werden wir uns andere Möglichkeiten ansehen, mit der Progression zu arbeiten.

Aus dieser einfachen Aufgabe lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen.

Erinnern:

Wenn wir mindestens einen Term und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jeden Term dieser Folge finden.

Erinnerst du dich? Mit dieser einfachen Schlussfolgerung können Sie die meisten Probleme des Schulkurses zu diesem Thema lösen. Alle Aufgaben drehen sich um drei Hauptparameter: Mitglied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Nummer eines Mitglieds der Folge. Alle.

Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra aufgehoben.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge hängen mit der Progression zusammen. Aber entsprechend der Progression selbst- Alles dreht sich um drei Parameter.

Schauen wir uns als Beispiel einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema an.

2. Schreiben Sie die endliche arithmetische Folge als Reihe, wenn n=5, d = 0,4 und a 1 = 3,6.

Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich merken, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge gezählt werden, sie zählen und aufschreiben. Es ist ratsam, die Wörter in den Aufgabenbedingungen nicht zu übersehen: „endgültig“ und „ n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie völlig blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Es bleibt die Antwort aufzuschreiben:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Eine weitere Aufgabe:

3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) sein wird, wenn a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Wer weiß? Wie kann man etwas bestimmen?

Wie-wie... Schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und schauen Sie, ob dort eine Sieben steht oder nicht! Wir zählen:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Jetzt ist deutlich zu erkennen, dass wir erst sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben fiel nicht in unsere Zahlenreihe, und daher wird die Sieben nicht Teil der gegebenen Reihe sein.

Antwort: Nein.

Und hier ist ein Problem, das auf einer echten Version des GIA basiert:

4. Mehrere aufeinanderfolgende Terme der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; 15; X; 9; 6; ...

Hier ist eine Serie geschrieben ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied D. Macht nichts. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen. Schauen wir mal, was möglich ist wissen aus dieser Serie? Was sind die drei Hauptparameter?

Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.

Aber es gibt drei Zahlen und – Achtung! - Wort "konsistent" im Zustand. Das bedeutet, dass die Zahlen streng geordnet und lückenlos sind. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Zahlen? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Daher können wir die Differenz der arithmetischen Folge berechnen! Subtrahiere von sechs vorherige Zahl, d.h. neun:

Es bleiben nur Kleinigkeiten übrig. Welche Zahl wird die vorherige für X sein? Fünfzehn. Das bedeutet, dass X durch einfache Addition leicht gefunden werden kann. Addiere die Differenz der arithmetischen Folge zu 15:

Das ist alles. Antwort: x=12

Wir lösen die folgenden Probleme selbst. Hinweis: Diese Probleme basieren nicht auf Formeln. Nur um die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlen und Buchstaben auf, schauen sie an und finden sie heraus.

5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.

6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Anzahl n dieses Mitglieds.

7. Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 = 15,1. Finden Sie eine 3.

8. Es werden mehrere aufeinanderfolgende Terme der arithmetischen Folge ausgeschrieben:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Finden Sie den Term der Progression, der durch den Buchstaben x gekennzeichnet ist.

9. Der Zug begann sich vom Bahnhof zu bewegen und erhöhte die Geschwindigkeit gleichmäßig um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

10. Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Folge a 2 = 5; a 6 = -5. Finden Sie eine 1.

Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Es hat alles geklappt? Toll! In den folgenden Lektionen können Sie die Rechenprogression auf einem höheren Niveau beherrschen.

Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. Im Sonderteil 555 werden alle diese Probleme Stück für Stück gelöst.) Und natürlich wird eine einfache praktische Technik beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich und auf einen Blick hervorhebt!

Übrigens gibt es beim Zugrätsel zwei Probleme, über die man oft stolpert. Die eine bezieht sich ausschließlich auf den Fortschritt, die zweite gilt allgemein für alle Probleme in der Mathematik und auch in der Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer in eine andere. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.

In dieser Lektion haben wir uns mit der elementaren Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihren Hauptparametern befasst. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen D zu den Zahlen, schreibe eine Reihe, alles wird gelöst.

Die Fingerlösung eignet sich gut für sehr kurze Teile einer Reihe, wie in den Beispielen dieser Lektion. Je länger die Reihe ist, desto komplizierter werden die Berechnungen. Zum Beispiel, wenn in Problem 9 in der Frage, die wir ersetzen "fünf Minuten" An „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird deutlich schlimmer.)

Und es gibt auch Aufgaben, die im Kern einfach, aber rechnerisch absurd sind, zum Beispiel:

Gegeben ist eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.

Also was, werden wir viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Du kannst dich umbringen!?

Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, mit der Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Erste Ebene

Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.
Die Zahl mit Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Diese Zahlenfolge nennt man arithmetische Folge.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als eine unendliche Zahlenfolge verstanden. Der Name „Arithmetik“ wurde von der Theorie der stetigen Proportionen übernommen, die von den alten Griechen untersucht wurde.

Dabei handelt es sich um eine Zahlenfolge, bei der jedes Mitglied dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

A)
B)
C)
D)

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:
Ist arithmetische Folge - b, c.
Ist nicht arithmetische Folge - a, d.

Kehren wir zur angegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Terms zu ermitteln. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können die Progressionszahl zum vorherigen Wert addieren, bis wir den dritten Term der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenfassen müssen – nur drei Werte:

Der te Term der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des dritten Termes der Progression ermitteln müssten? Die Summierung würde mehr als eine Stunde dauern, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren von Zahlen keine Fehler machen würden.
Natürlich haben Mathematiker einen Weg gefunden, bei dem es nicht notwendig ist, die Differenz einer arithmetischen Folge zum vorherigen Wert zu addieren. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genauer an... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, woraus der Wert des dritten Termes dieser arithmetischen Folge besteht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbst den Wert eines Gliedes einer gegebenen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Hast du berechnet? Vergleichen Sie Ihre Notizen mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir die Terme der arithmetischen Folge nacheinander zum vorherigen Wert hinzugefügt haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Folgen können steigend oder fallend sein.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen in steigenden und fallenden Termen einer arithmetischen Folge verwendet.
Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen.
Wir erhalten eine arithmetische Folge, die aus den folgenden Zahlen besteht: Schauen wir uns an, wie die te-Zahl dieser arithmetischen Folge aussehen wird, wenn wir sie mit unserer Formel berechnen:

Seit damals:

Daher sind wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl in abnehmender als auch in zunehmender arithmetischer Folge funktioniert.
Versuchen Sie, das te- und das te-Term dieser arithmetischen Folge selbst zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Verkomplizieren wir das Problem – wir leiten die Eigenschaft der arithmetischen Folge ab.
Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Bedingung:
- Arithmetische Folge, finde den Wert.
Ganz einfach, sagen Sie und fangen an, nach der Formel zu zählen, die Sie bereits kennen:

Lass, ah, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und erhalten, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns in der Bedingung Zahlen gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, dass bei den Berechnungen ein Fehler gemacht wird.
Überlegen Sie nun, ob es möglich ist, dieses Problem mit einer beliebigen Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich ja, und das werden wir jetzt versuchen herauszustellen.

Bezeichnen wir den erforderlichen Term der arithmetischen Folge als, die Formel zu deren Ermittlung ist uns bekannt – dies ist dieselbe Formel, die wir zu Beginn abgeleitet haben:
, Dann:

• Der bisherige Term der Progression ist:
• Der nächste Term der Progression ist:

Fassen wir die vorherigen und nachfolgenden Bedingungen der Progression zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Terme der Progression der doppelte Wert des dazwischen liegenden Progressionsterms ist. Mit anderen Worten: Um den Wert eines Progressionsterms mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu ermitteln, müssen Sie diese addieren und durch dividieren.

Stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Sichern wir das Material. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut gemacht! Du weißt fast alles über Fortschritt! Es bleibt nur noch eine Formel herauszufinden, die der Legende nach von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, dem „König der Mathematiker“ – Karl Gauß, leicht abgeleitet werden konnte …

Als Carl Gauss 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeit der Schüler anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis (nach anderen Quellen bis) einschließlich.“ Stellen Sie sich die Überraschung des Lehrers vor, als einer seiner Schüler (das war Karl Gauß) eine Minute später die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langen Berechnungen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauß bemerkte ein bestimmtes Muster, das auch Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ten Termen besteht: Wir müssen die Summe dieser Terme der arithmetischen Folge ermitteln. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn die Aufgabe das Ermitteln der Summe ihrer Terme erfordert, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns den uns gegebenen Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genauer an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Hast du es versucht? Was haben Sie bemerkt? Rechts! Ihre Summen sind gleich

Sagen Sie mir nun, wie viele solcher Paare gibt es insgesamt in der uns gegebenen Progression? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist und ähnliche Paare gleich sind, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Unterschied in der Progression. Versuchen Sie, die Formel des th-Terms in die Summenformel einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut gemacht! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauss gestellt wurde: Berechnen Sie selbst, wie groß die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte fest, dass die Summe der Terme gleich ist und die Summe der Terme gleich ist. Haben Sie sich dafür entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser Zeit machten geistreiche Menschen die Eigenschaften der arithmetischen Folge voll aus.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und das größte Bauprojekt dieser Zeit vor – den Bau einer Pyramide... Das Bild zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagen Sie? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Folge? Berechnen Sie, wie viele Blöcke zum Bau einer Mauer benötigt werden, wenn an der Basis Blockziegel platziert werden. Ich hoffe, Sie zählen nicht, während Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus: .
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.
Setzen wir unsere Daten in die letzten Formeln ein (berechnen wir die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Habe es? Gut gemacht, Sie beherrschen die Summe der n-ten Terme einer arithmetischen Folge.
Natürlich kann man eine Pyramide nicht aus Blöcken an der Basis bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandsteine ​​benötigt werden, um unter dieser Bedingung eine Mauer zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Ausbildung

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag erhöht sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Mascha in der Woche Kniebeugen machen, wenn sie bei der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Bei der Lagerung von Protokollen stapeln Holzfäller diese so, dass jede oberste Schicht ein Protokoll weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme enthält ein Mauerwerk, wenn das Fundament des Mauerwerks aus Baumstämmen besteht?

Antworten:

1. Definieren wir die Parameter der arithmetischen Folge. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antwort: In zwei Wochen sollte Mascha einmal am Tag Kniebeugen machen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen beträgt die Hälfte. Überprüfen wir diese Tatsache jedoch mithilfe der Formel zum Ermitteln des ten Glieds einer arithmetischen Folge:

   Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Ersetzen wir die verfügbaren Daten in die Formel:

   Antwort: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern wir uns an das Problem mit den Pyramiden. In unserem Fall a gilt: Da jede oberste Schicht um einen Log reduziert wird, gibt es insgesamt eine Reihe von Schichten.
   Ersetzen wir die Daten in der Formel:

   Antwort: Im Mauerwerk liegen Baumstämme.

Fassen wir es zusammen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kann zu- oder abnehmend sein.
2. Formel finden Der te Term einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge angegeben ist.
3. Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge- - wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.
4. Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

Arithmetische Progression. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Zahlenfolge

Setzen wir uns hin und beginnen ein paar Zahlen aufzuschreiben. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber wir können immer sagen, welches das erste, welches das zweite ist usw., das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten: Jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar einer eindeutigen. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuordnen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn der te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Reihenfolge:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (hier ist der erste Term gleich und die Differenz gleich). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine rekurrente Formel, bei der Sie zum Ermitteln des th-Terms den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um zum Beispiel das te Glied der Progression mit dieser Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lass es zum Beispiel. Dann:

Ist nun klar, wie die Formel lautet?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Welcher? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Was ist der Unterschied? Hier ist was:

(Deshalb wird es Differenz genannt, weil es gleich der Differenz aufeinanderfolgender Terme der Progression ist).

Also die Formel:

Dann ist der hundertste Term gleich:

Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach hat der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten berechnet. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und vorletzten gleich ist, die Summe der dritten und dritten Zahl vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es insgesamt? Das ist richtig, also genau die Hälfte aller Zahlen. Also,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste dieser Zahlen ist diese. Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition zur vorherigen Zahl erhalten. Somit bilden die Zahlen, die uns interessieren, eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz.

Formel des th-Terms für diese Progression:

Wie viele Begriffe gibt es in der Folge, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Der letzte Term der Progression wird gleich sein. Dann ist die Summe:

Antwort: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Sportler mehr Meter als am Vortag. Wie viele Gesamtkilometer wird er in einer Woche laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer legt jeden Tag mehr Kilometer zurück als am Vortag. Am ersten Tag legte er km zurück. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer wird er am letzten Tag seiner Reise zurücklegen?
3. Der Preis für einen Kühlschrank in einem Geschäft sinkt jedes Jahr um den gleichen Betrag. Bestimmen Sie, wie stark der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel verkauft wurde.

Antworten:

1. Dabei geht es vor allem darum, die arithmetische Folge zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antwort:
2. Hier gilt: , muss gefunden werden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie im vorherigen Problem verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also lautet die Antwort.
   Berechnen wir den am letzten Tag zurückgelegten Weg mit der Formel des th-Terms:
   (km).
   Antwort:

3. Gegeben: . Finden: .
   Es könnte nicht einfacher sein:
   (reiben).
   Antwort:

Arithmetische Progression. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Der arithmetische Fortschritt kann steigend () und fallend () sein.

Zum Beispiel:

Formel zum Finden des n-ten Termes einer arithmetischen Folge

wird durch die Formel geschrieben, wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.

Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Damit können Sie einen Term einer Folge leicht finden, wenn die benachbarten Terme bekannt sind – wo ist die Anzahl der Zahlen in der Folge.

Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu ermitteln:

Wo ist die Anzahl der Werte?

Wo ist die Anzahl der Werte?

Anweisungen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge der Form a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d Schritt Fortschreiten.Es ist offensichtlich, dass das Allgemeine eines beliebigen n-ten Termes der Arithmetik ist Fortschreiten hat die Form: An = A1+(n-1)d. Dann kennt man eines der Mitglieder Fortschreiten, Mitglied Fortschreiten und Schritt Fortschreiten, Sie können also die Nummer des Fortschrittsmitglieds angeben. Offensichtlich wird es durch die Formel n = (An-A1+d)/d bestimmt.

Lassen Sie uns nun den m-ten Term kennen Fortschreiten und ein weiteres Mitglied Fortschreiten- n-ter, aber n , wie im vorherigen Fall, aber es ist bekannt, dass n und m nicht zusammenfallen. Schritt Fortschreiten kann mit der Formel berechnet werden: d = (An-Am)/(n-m). Dann ist n = (An-Am+md)/d.

Wenn die Summe mehrerer Elemente einer arithmetischen Gleichung bekannt ist Fortschreiten, sowie dessen erstes und letztes, dann kann auch die Anzahl dieser Elemente bestimmt werden. Die Summe der Arithmetik Fortschreiten wird gleich sein: S = ((A1+An)/2)n. Dann ist n = 2S/(A1+An) - chdenov Fortschreiten. Unter Verwendung der Tatsache, dass An = A1+(n-1)d, kann diese Formel wie folgt umgeschrieben werden: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Daraus können wir n ausdrücken, indem wir eine quadratische Gleichung lösen.

Eine arithmetische Folge ist eine geordnete Menge von Zahlen, deren jedes Mitglied, mit Ausnahme des ersten, sich um den gleichen Betrag vom vorherigen unterscheidet. Dieser konstante Wert wird als Differenz der Progression oder ihres Schrittes bezeichnet und kann aus den bekannten Termen der arithmetischen Progression berechnet werden.

Anweisungen

Wenn die Werte des ersten und zweiten oder eines anderen Paares benachbarter Terme aus den Bedingungen des Problems bekannt sind, subtrahieren Sie zur Berechnung der Differenz (d) einfach den vorherigen vom nachfolgenden Term. Der resultierende Wert kann entweder eine positive oder eine negative Zahl sein – es hängt davon ab, ob die Progression zunimmt. Schreiben Sie in allgemeiner Form die Lösung für ein beliebiges Paar (aᵢ und aᵢ₊₁) benachbarter Terme der Progression wie folgt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Für ein Termpaar einer solchen Folge, von dem einer der erste (a₁) und der andere ein beliebiger anderer ist, ist es auch möglich, eine Formel zur Ermittlung der Differenz (d) zu erstellen. Allerdings muss in diesem Fall die Seriennummer (i) eines beliebigen ausgewählten Mitglieds der Sequenz bekannt sein. Um die Differenz zu berechnen, addieren Sie beide Zahlen und dividieren das resultierende Ergebnis durch die um eins reduzierte Ordnungszahl eines beliebigen Termes. Im Allgemeinen schreiben Sie diese Formel wie folgt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Wenn neben einem beliebigen Glied einer arithmetischen Folge mit der Ordnungszahl i noch ein weiteres Glied mit der Ordnungszahl u bekannt ist, ändern Sie die Formel aus dem vorherigen Schritt entsprechend. In diesem Fall ist die Differenz (d) der Progression die Summe dieser beiden Terme dividiert durch die Differenz ihrer Ordnungszahlen: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Die Formel zur Berechnung der Differenz (d) wird etwas komplizierter, wenn die Problembedingungen den Wert ihres ersten Termes (a₁) und die Summe (Sᵢ) einer gegebenen Zahl (i) der ersten Terme der arithmetischen Folge angeben. Um den gewünschten Wert zu erhalten, dividieren Sie die Summe durch die Anzahl der Terme, aus denen sie besteht, subtrahieren Sie den Wert der ersten Zahl in der Folge und verdoppeln Sie das Ergebnis. Teilen Sie den resultierenden Wert durch die Anzahl der Terme, aus denen die Summe besteht, reduziert um eins. Im Allgemeinen schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Diskriminante wie folgt: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Das Motto unserer Lektion werden die Worte des russischen Mathematikers V.P. sein. Ermakova: „In der Mathematik sollte man sich nicht an Formeln erinnern, sondern an Denkprozesse.“

Während des Unterrichts

Formulierung des Problems

Auf der Tafel ist ein Porträt von Gauß zu sehen. Ein Lehrer oder Schüler, dem die Aufgabe übertragen wurde, im Voraus eine Nachricht vorzubereiten, erzählt, dass der Lehrer, als Gauß in der Schule war, die Schüler gebeten hat, alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Der kleine Gauß hat dieses Problem in einer Minute gelöst.

Frage . Wie kam Gauß zur Antwort?

Lösungen finden

Die Schüler äußern ihre Annahmen und fassen dann zusammen: Sie stellen fest, dass die Summen 1 + 100, 2 + 99 usw. sind. gleich sind, multipliziert Gauß 101 mit 50, also mit der Anzahl solcher Summen. Mit anderen Worten, er bemerkte ein Muster, das der arithmetischen Progression innewohnt.

Herleitung der Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge

Schreiben Sie das Thema der Lektion an die Tafel und in Ihre Notizbücher. Die Schüler schreiben zusammen mit dem Lehrer die Schlussfolgerung der Formel auf:

Lassen A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; ...; ein – 2 ; ein – 1 ; ein- arithmetische Folge.

Primärkonsolidierung

1. Mit Formel (1) lösen wir das Gauß-Problem:

2. Lösen Sie Probleme mithilfe der Formel (1) mündlich (ihre Bedingungen sind an die Tafel geschrieben oder im positiven Code angegeben), ( ein) - arithmetische Folge:

A) A 1 = 2, A 10 = 20. S 10 - ?

B) A 1 = –5, A 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) A 1 = –2, A 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) A 1 = –5, A 11 = 5. S 11 - ?

3. Schließen Sie die Aufgabe ab.

Gegeben: ( ein) - arithmetische Folge;

A 1 = 3, A 60 = 57.

Finden: S 60 .

Lösung. Verwenden wir die Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge

Antwort: 1800.

Zusatzfrage. Wie viele verschiedene Probleme können mit dieser Formel gelöst werden?

Antwort. Vier Arten von Aufgaben:

Finden Sie den Betrag S n;

Finden Sie den ersten Term einer arithmetischen Folge A 1 ;

Finden N Term einer arithmetischen Folge ein;

Ermitteln Sie die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.

4. Erledige Aufgabe: Nr. 369(b).

Ermitteln Sie die Summe der ersten sechzig Terme der arithmetischen Folge ( ein), Wenn A 1 = –10,5, A 60 = 51,5.

Lösung.

Antwort: 1230.

Zusatzfrage. Schreiben Sie die Formel auf N Term einer arithmetischen Folge.

Antwort: ein = A 1 + D(N – 1).

5. Berechnen Sie die Formel für die ersten neun Terme der arithmetischen Folge ( b n),
Wenn B 1 = –17, D = 6.

Kann man mit einer Formel sofort rechnen?

Nein, denn der neunte Begriff ist unbekannt.

Wie finde ich es?

Nach der Formel N Term einer arithmetischen Folge.

Lösung. B 9 = B 1 + 8D = –17 + 8∙6 = 31;

Antwort: 63.

Frage. Ist es möglich, die Summe zu ermitteln, ohne den neunten Term der Progression zu berechnen?

Formulierung des Problems

Problem: Ermittlung der Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge, wobei ihr erster Term und ihre Differenz bekannt sind D.

(Herleiten einer Formel an der Tafel durch einen Schüler.)

Lösen wir Nr. 371(a) mit der neuen Formel (2):

Lassen Sie uns die Formeln (2) verbal festlegen ( Die Bedingungen der Aufgaben werden an die Tafel geschrieben).

(ein

1. A 1 = 3, D = 4. S 4 - ?

2. A 1 = 2, D = –5. S 3 - ? [–9]

Finden Sie von den Studierenden heraus, welche Fragen unklar sind.

Selbstständige Arbeit

Variante 1

Gegeben: (ein) - arithmetische Folge.

1. A 1 = –3, A 6 = 21. S 6 - ?

2. A 1 = 6, D = –3. S 4 - ?

Option 2

Gegeben: (ein) - arithmetische Folge.

1.A 1 = 2, A 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.A 1 = –7, D = 4. S 5 - ?

Die Schüler tauschen Notizbücher aus und überprüfen gegenseitig ihre Lösungen.

Fassen Sie das Gelernte des Stoffes auf der Grundlage der Ergebnisse selbstständiger Arbeit zusammen.