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Finden Sie den Schnittpunkt zweier Geraden mithilfe von Koordinaten. Ermitteln des Schnittpunkts zweier Geraden mithilfe von Winkeln und zwei bekannten Punkten (Biangulation). Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien im Raum

Es seien zwei Geraden gegeben, und Sie müssen ihren Schnittpunkt finden. Da dieser Punkt zu jeder der beiden gegebenen Geraden gehört, müssen seine Koordinaten sowohl der Gleichung der ersten Geraden als auch der Gleichung der zweiten Geraden genügen.

Um also die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden zu finden, muss man das Gleichungssystem lösen

Beispiel 1. Finden Sie den Schnittpunkt der Linien und

Lösung. Die Koordinaten des gewünschten Schnittpunkts finden wir durch Lösen des Gleichungssystems

Der Schnittpunkt M hat Koordinaten

Lassen Sie uns zeigen, wie Sie mithilfe ihrer Gleichung eine Gerade konstruieren. Um eine Gerade zu konstruieren, genügt es, ihre beiden Punkte zu kennen. Um jeden dieser Punkte zu konstruieren, geben wir einen beliebigen Wert für eine seiner Koordinaten an und ermitteln dann aus der Gleichung den entsprechenden Wert für die andere Koordinate.

Wenn in der allgemeinen Gleichung einer Geraden beide Koeffizienten an den aktuellen Koordinaten ungleich Null sind, ist es zum Konstruieren dieser Geraden am besten, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu finden.

Beispiel 2. Konstruieren Sie eine gerade Linie.

Lösung. Wir finden den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Abszissenachse. Dazu lösen wir gemeinsam ihre Gleichungen:

und wir bekommen . Damit wurde der Schnittpunkt M (3; 0) dieser Geraden mit der Abszissenachse gefunden (Abb. 40).

Lösen Sie dann gemeinsam die Gleichung dieser Geraden und die Gleichung der Ordinatenachse

Wir finden den Schnittpunkt der Linie mit der Ordinatenachse. Schließlich konstruieren wir eine Gerade aus ihren beiden Punkten M und

Wenn sich die Geraden in einem Punkt schneiden, dann sind dessen Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Stellen Sie eine Gleichung aus einer geraden Linie auf.
2) Schreiben Sie eine Gleichung für die zweite Zeile.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Beispiel 13.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es empfiehlt sich, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Antwort:

S.6.4. Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zu einer geraden Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 14.

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

S.6.5. Winkel zwischen Geraden.

Beispiel 15.

Finden Sie den Winkel zwischen den Linien.

1. Prüfen Sie, ob die Linien senkrecht stehen:

Berechnen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Linien:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.
2. Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Auf diese Weise:

Antwort:

Kurven zweiter Ordnung. Kreis

Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem 0xy angegeben.

Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie auf einer Ebene, die durch eine Gleichung zweiten Grades relativ zu den aktuellen Koordinaten des Punktes M(x, y, z) definiert wird. Im Allgemeinen sieht diese Gleichung so aus:

wobei die Koeffizienten A, B, C, D, E, L beliebige reelle Zahlen sind und mindestens eine der Zahlen A, B, C ungleich Null ist.

1.Kreis ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, deren Abstand zu einem festen Punkt M 0 (x 0, y 0) konstant und gleich R ist. Punkt M 0 wird Mittelpunkt des Kreises genannt, und die Zahl R ist seine Radius

– Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt M 0 (x 0, y 0) und Radius R.

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, dann gilt:

– kanonische Kreisgleichung.

Ellipse.

Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten jeweils ein konstanter Wert ist (und dieser Wert größer ist als die Abstände zwischen diesen Punkten). Diese Punkte werden aufgerufen Ellipsenschwerpunkte.

ist die kanonische Gleichung der Ellipse.

Die Beziehung heißt Exzentrizität Ellipse und wird bezeichnet mit: , . Seit damals< 1.

Wenn das Verhältnis abnimmt, tendiert es folglich zu 1, d. h. b unterscheidet sich kaum von a und die Form der Ellipse nähert sich der Form eines Kreises an. Im Grenzfall wenn , wir erhalten einen Kreis, dessen Gleichung lautet

x 2 + y 2 = a 2.

Hyperbel

Hyperbel ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, für die jeweils der Absolutwert der Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten genannt wird Tricks ist eine konstante Größe (vorausgesetzt, diese Größe ist kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten und ungleich 0).

Seien F 1, F 2 die Brennpunkte, der Abstand zwischen ihnen wird mit 2c, dem Parameter der Parabel, bezeichnet.

– kanonische Gleichung einer Parabel.

Beachten Sie, dass die Gleichung für negatives p auch eine Parabel angibt, die sich links von der 0y-Achse befindet. Die Gleichung beschreibt eine Parabel, die symmetrisch zur 0y-Achse ist und für p > 0 oberhalb der 0x-Achse und für p unterhalb der 0x-Achse liegt< 0.

Wenn Sie einige geometrische Probleme mit der Koordinatenmethode lösen, müssen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien ermitteln. Meistens müssen Sie nach den Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene suchen, aber manchmal besteht auch die Notwendigkeit, die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden im Raum zu bestimmen. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit der Ermittlung der Koordinaten des Punktes, an dem sich zwei Geraden schneiden.

Seitennavigation.

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist eine Definition.

Definieren wir zunächst den Schnittpunkt zweier Geraden.

Im Abschnitt über die relative Position von Linien auf einer Ebene wird gezeigt, dass zwei Linien auf einer Ebene entweder zusammenfallen (und sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte) oder parallel sein können (und zwei Linien haben keine gemeinsamen Punkte) oder sich schneiden können , mit einem gemeinsamen Punkt. Es gibt weitere Optionen für die relative Position zweier Linien im Raum: Sie können zusammenfallen (unendlich viele gemeinsame Punkte haben), sie können parallel sein (d. h. in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden), sie können sich schneiden (nicht). liegen in derselben Ebene) und können auch einen gemeinsamen Punkt haben, sich also schneiden. Zwei Geraden sowohl in der Ebene als auch im Raum heißen also Schnittpunkte, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Aus der Definition von Schnittlinien folgt es Bestimmen des Schnittpunkts von Linien: Der Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden, wird als Schnittpunkt dieser Geraden bezeichnet. Mit anderen Worten: Der einzige gemeinsame Punkt zweier Schnittlinien ist der Schnittpunkt dieser Geraden.

Der Übersichtlichkeit halber präsentieren wir eine grafische Darstellung des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene und im Raum.

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Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene.

Bevor Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene mithilfe ihrer bekannten Gleichungen ermitteln, betrachten Sie ein Hilfsproblem.

Oxy A Und B. Wir gehen davon direkt aus A entspricht einer allgemeinen Gleichung der Geraden der Form , und der Geraden B- Typ . Es sei ein Punkt auf der Ebene, und wir müssen herausfinden, ob es sich um einen Punkt handelt M 0 der Schnittpunkt gegebener Geraden.

Lassen Sie uns das Problem lösen.

Wenn M0 A Und B, dann gehört es per Definition auch zur Linie A und gerade B, das heißt, seine Koordinaten müssen sowohl die Gleichung als auch die Gleichung erfüllen. Daher müssen wir die Koordinaten des Punktes ersetzen M 0 in die Gleichungen gegebener Geraden ein und prüfen Sie, ob dies zu zwei korrekten Gleichungen führt. Wenn die Koordinaten des Punktes M 0 Erfüllen beide Gleichungen und , dann ist der Schnittpunkt der Geraden A Und B, sonst M 0 .

Ist der Punkt M 0 mit Koordinaten (2, -3) Schnittpunkt von Linien 5x-2y-16=0 Und 2x-5y-19=0?

Wenn M 0 Ist tatsächlich der Schnittpunkt gegebener Geraden, dann erfüllen seine Koordinaten die Geradengleichungen. Überprüfen wir dies, indem wir die Koordinaten des Punktes ersetzen M 0 in die gegebenen Gleichungen:

Wir haben also zwei echte Gleichheiten, M 0 (2, -3)- Schnittpunkt der Linien 5x-2y-16=0 Und 2x-5y-19=0.

Der Übersichtlichkeit halber präsentieren wir eine Zeichnung, die gerade Linien zeigt und die Koordinaten ihrer Schnittpunkte sichtbar sind.

Ja, Punkt M 0 (2, -3) ist der Schnittpunkt der Geraden 5x-2y-16=0 Und 2x-5y-19=0.

Schneiden sich die Linien? 5x+3y-1=0 Und 7x-2y+11=0 am Punkt M 0 (2, -3)?

Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes M 0 In die Geradengleichungen prüft diese Aktion, ob der Punkt dazu gehört M 0 beide Geraden gleichzeitig:

Seit der zweiten Gleichung, wenn die Koordinaten des Punktes darin eingesetzt werden M 0 hat sich nicht in eine echte Gleichheit verwandelt, dann Punkt M 0 gehört nicht zur Linie 7x-2y+11=0. Aus dieser Tatsache können wir schließen, dass der Punkt M 0 ist nicht der Schnittpunkt der gegebenen Geraden.

Die Zeichnung zeigt auch deutlich, dass der Punkt M 0 ist nicht der Schnittpunkt von Geraden 5x+3y-1=0 Und 7x-2y+11=0. Offensichtlich schneiden sich die angegebenen Geraden in einem Punkt mit Koordinaten (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ist nicht der Schnittpunkt von Geraden 5x+3y-1=0 Und 7x-2y+11=0.

Jetzt können wir mit der Aufgabe fortfahren, die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden anhand der gegebenen Geradengleichungen in einer Ebene zu ermitteln.

Auf der Ebene sei ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem fixiert Oxy und zwei Schnittlinien gegeben A Und B Gleichungen bzw. Bezeichnen wir den Schnittpunkt der gegebenen Geraden als M 0 und lösen Sie das folgende Problem: Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden A Und B nach den bekannten Gleichungen dieser Geraden und .

Punkt M0 gehört zu jeder der Schnittlinien A Und B a-priorat. Dann die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien A Und B erfüllen sowohl die Gleichung als auch die Gleichung. Daher sind die Koordinaten der Schnittpunkt zweier Geraden A Und B sind die Lösung eines Gleichungssystems (siehe den Artikel Systeme linearer algebraischer Gleichungen lösen).

Um also die Koordinaten des Schnittpunkts zweier gerader Linien zu ermitteln, die in einer Ebene durch allgemeine Gleichungen definiert sind, müssen Sie ein System lösen, das aus Gleichungen gegebener gerader Linien besteht.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Finden Sie durch die Gleichungen den Schnittpunkt zweier Linien, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene definiert sind x-9y+14=0 Und 5x-2y-16=0.

Wir erhalten zwei allgemeine Geradengleichungen, machen wir daraus ein System: . Lösungen für das resultierende Gleichungssystem lassen sich leicht finden, indem man seine erste Gleichung in Bezug auf die Variable löst X und setzen Sie diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein:

Die gefundene Lösung des Gleichungssystems liefert uns die gewünschten Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden.

M 0 (4, 2)– Schnittpunkt der Linien x-9y+14=0 Und 5x-2y-16=0.

Das Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier gerader Linien, die durch allgemeine Gleichungen auf einer Ebene definiert sind, läuft also darauf hinaus, ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen zu lösen. Was aber, wenn Linien auf einer Ebene nicht durch allgemeine Gleichungen, sondern durch Gleichungen eines anderen Typs gegeben sind (siehe Arten von Gleichungen einer Linie auf einer Ebene)? In diesen Fällen können Sie zunächst die Geradengleichungen auf eine allgemeine Form reduzieren und erst danach die Koordinaten des Schnittpunkts ermitteln.

Bevor wir die Koordinaten des Schnittpunkts der gegebenen Linien ermitteln, reduzieren wir ihre Gleichungen auf eine allgemeine Form. Der Übergang von den parametrischen Gleichungen einer Geraden zur allgemeinen Gleichung dieser Geraden sieht folgendermaßen aus:

Führen wir nun die notwendigen Aktionen mit der kanonischen Geradengleichung durch:

Somit sind die gewünschten Koordinaten des Schnittpunkts der Linien eine Lösung für ein Gleichungssystem der Form. Wir verwenden die Cramer-Methode, um es zu lösen:

M 0 (-5, 1)

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene zu ermitteln. Die Verwendung ist praktisch, wenn eine der Geraden durch parametrische Gleichungen der Form und die andere durch eine Geradengleichung eines anderen Typs gegeben ist. In diesem Fall in einer anderen Gleichung anstelle von Variablen X Und j Sie können die Ausdrücke und ersetzen, wodurch Sie den Wert erhalten, der dem Schnittpunkt der angegebenen Linien entspricht. In diesem Fall hat der Schnittpunkt der Linien Koordinaten.

Lassen Sie uns mit dieser Methode die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien aus dem vorherigen Beispiel ermitteln.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien und .

Setzen wir den Geradenausdruck in die Gleichung ein:

Nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben, erhalten wir . Dieser Wert entspricht dem gemeinsamen Punkt der Linien und. Wir berechnen die Koordinaten des Schnittpunkts, indem wir eine Gerade in die parametrischen Gleichungen einsetzen:
.

M 0 (-5, 1).

Um das Bild zu vervollständigen, sollte noch ein weiterer Punkt besprochen werden.

Bevor Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien auf einer Ebene ermitteln, ist es sinnvoll, sicherzustellen, dass sich die angegebenen Linien tatsächlich schneiden. Wenn sich herausstellt, dass die ursprünglichen Linien zusammenfallen oder parallel sind, kann es nicht darum gehen, die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linien zu ermitteln.

Auf eine solche Prüfung kann man natürlich verzichten, sondern gleich ein Gleichungssystem der Form erstellen und lösen. Wenn ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, dann gibt es die Koordinaten des Punktes an, an dem sich die ursprünglichen Geraden schneiden. Wenn das Gleichungssystem keine Lösungen hat, können wir daraus schließen, dass die ursprünglichen Geraden parallel sind (da es kein solches Paar reeller Zahlen gibt). X Und j, was gleichzeitig beide Gleichungen der gegebenen Geraden erfüllen würde). Aus der Existenz unendlich vieler Lösungen eines Gleichungssystems folgt, dass die ursprünglichen Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben, also zusammenfallen.

Schauen wir uns Beispiele an, die zu diesen Situationen passen.

Finden Sie heraus, ob sich die Linien und schneiden, und wenn sie sich schneiden, ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.

Die angegebenen Geradengleichungen entsprechen den Gleichungen und . Lösen wir das System, das aus diesen Gleichungen besteht.

Es ist offensichtlich, dass die Gleichungen des Systems linear durcheinander ausgedrückt werden (die zweite Gleichung des Systems erhält man aus der ersten, indem man ihre beiden Teile mit multipliziert). 4 ), daher hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Somit definieren die Gleichungen dieselbe Linie, und wir können nicht darüber sprechen, die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linien zu finden.

Gleichungen und sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem definiert Oxy die gleiche gerade Linie, daher können wir nicht darüber sprechen, die Koordinaten des Schnittpunkts zu finden.

Finden Sie nach Möglichkeit die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien und .

Der Zustand des Problems lässt zu, dass sich die Linien möglicherweise nicht schneiden. Lassen Sie uns aus diesen Gleichungen ein System erstellen. Zur Lösung wenden wir die Gauß-Methode an, da sie es uns ermöglicht, die Kompatibilität oder Inkompatibilität eines Gleichungssystems festzustellen und, wenn es kompatibel ist, eine Lösung zu finden:

Die letzte Gleichung des Systems nach der direkten Passage der Gauß-Methode wurde zu einer falschen Gleichheit, daher hat das Gleichungssystem keine Lösungen. Daraus können wir schließen, dass die ursprünglichen Linien parallel sind, und wir können nicht über die Ermittlung der Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linien sprechen.

Zweite Lösung.

Lassen Sie uns herausfinden, ob sich die angegebenen Linien schneiden.

Ein Normalenvektor ist eine Linie, und ein Vektor ist ein Normalenvektor einer Linie. Überprüfen wir, ob die Bedingung für die Kollinearität der Vektoren und gilt: Die Gleichheit ist wahr, da also die Normalenvektoren der gegebenen Geraden kollinear sind. Dann sind diese Linien parallel oder fallen zusammen. Daher können wir die Koordinaten des Schnittpunkts der ursprünglichen Linien nicht finden.

Es ist unmöglich, die Koordinaten des Schnittpunkts der angegebenen Linien zu finden, da diese Linien parallel sind.

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien 2x-1=0 und , wenn sie sich schneiden.

Stellen wir ein Gleichungssystem auf, das allgemeine Gleichungen gegebener Geraden sind: . Die Determinante der Hauptmatrix dieses Gleichungssystems ist ungleich Null, daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, die den Schnittpunkt der gegebenen Geraden angibt.

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden zu finden, müssen wir das System lösen:

Die resultierende Lösung liefert uns die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden, also den Schnittpunkt der Geraden 2x-1=0 Und .

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Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien im Raum.

Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden im dreidimensionalen Raum werden auf ähnliche Weise ermittelt.

Lassen Sie die Schnittlinien A Und B in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben Oxyz Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen, also einer Geraden A wird durch ein System der Form , und der Geraden bestimmt B- . Lassen M 0– Schnittpunkt der Linien A Und B. Dann zeigen Sie M 0 gehört per Definition ebenfalls zur Linie A und gerade B, daher erfüllen seine Koordinaten die Gleichungen beider Geraden. Somit sind die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien A Und B stellen eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem der Form dar. Hier benötigen wir Informationen aus dem Abschnitt über die Lösung linearer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt.

Schauen wir uns die Lösungen zu den Beispielen an.

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier im Raum definierter Linien durch die Gleichungen und .

Stellen wir aus den Gleichungen der gegebenen Geraden ein Gleichungssystem zusammen: . Die Lösung dieses Systems liefert uns die gewünschten Koordinaten des Schnittpunktes der Linien im Raum. Finden wir die Lösung des geschriebenen Gleichungssystems.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form , und die erweiterte - .

Bestimmen wir den Rang der Matrix A und Matrixrang T. Wir verwenden die Methode der Bordering-Minderjährigen, werden die Berechnung der Determinanten jedoch nicht im Detail beschreiben (siehe ggf. den Artikel Berechnung der Determinante einer Matrix):

Somit ist der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix und beträgt drei.

Folglich hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.

Als Basis-Minor nehmen wir die Determinante, daher sollte die letzte Gleichung aus dem Gleichungssystem ausgeschlossen werden, da sie nicht an der Bildung des Basis-Minor beteiligt ist. Also,

Die Lösung für das resultierende System ist leicht zu finden:

Somit hat der Schnittpunkt der Linien Koordinaten (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Es ist zu beachten, dass das Gleichungssystem genau dann eine eindeutige Lösung hat, wenn die Geraden A Und B schneiden. Wenn gerade A Und B parallel oder kreuzend, dann hat das letzte Gleichungssystem keine Lösungen, da in diesem Fall die Geraden keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn gerade A Und B zusammenfallen, dann haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte, daher hat das angegebene Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. In diesen Fällen können wir jedoch nicht über die Ermittlung der Koordinaten des Schnittpunkts der Linien sprechen, da sich die Linien nicht schneiden.

Wenn wir also nicht im Voraus wissen, ob sich die angegebenen Linien schneiden A Und B oder nicht, dann ist es sinnvoll, ein Gleichungssystem der Form zu erstellen und es mit der Gauß-Methode zu lösen. Wenn wir eine eindeutige Lösung erhalten, entspricht diese den Koordinaten des Schnittpunkts der Linien A Und B. Wenn sich herausstellt, dass das System inkonsistent ist, dann die direkte A Und B nicht überschneiden. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, dann die Geraden A Und B zusammenpassen.

Auf die Verwendung der Gaußschen Methode können Sie verzichten. Alternativ können Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen dieses Systems berechnen und basierend auf den erhaltenen Daten und dem Kronecker-Capelli-Theorem entweder auf die Existenz einer einzelnen Lösung schließen, auf die Existenz vieler Lösungen oder auf deren Fehlen Lösungen. Es ist Geschmackssache.

Wenn sich die Linien schneiden, bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.

Erstellen wir ein System aus den gegebenen Gleichungen: . Lösen wir es mit der Gaußschen Methode in Matrixform:

Es wurde klar, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat, daher schneiden sich die gegebenen Geraden nicht und es kann nicht in Frage kommen, die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Geraden zu finden.

Wir können die Koordinaten des Schnittpunkts der angegebenen Linien nicht finden, da sich diese Linien nicht schneiden.

Wenn sich schneidende Linien durch kanonische Gleichungen einer Linie im Raum oder parametrische Gleichungen einer Linie im Raum gegeben sind, sollte man zunächst ihre Gleichungen in Form von zwei sich schneidenden Ebenen erhalten und erst danach die Koordinaten des Schnittpunkts ermitteln.

Zwei sich schneidende Linien werden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem definiert Oxyz Gleichungen und . Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linien.

Definieren wir die anfänglichen Geraden durch die Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen:

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden zu finden, muss noch das Gleichungssystem gelöst werden. Der Rang der Hauptmatrix dieses Systems entspricht dem Rang der erweiterten Matrix und beträgt drei (wir empfehlen, diese Tatsache zu überprüfen). Nehmen wir als Basis Minor; daher können wir die letzte Gleichung aus dem System eliminieren. Nachdem wir das resultierende System mit einer beliebigen Methode (z. B. der Cramer-Methode) gelöst haben, erhalten wir die Lösung. Somit hat der Schnittpunkt der Linien Koordinaten (-2, 3, -5) .

Seitennavigation.

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist eine Definition.

Definieren wir zunächst den Schnittpunkt zweier Geraden.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie den Schnittpunkt zweier Linien, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene durch die Gleichungen x-9y+14=0 und 5x-2y-16=0 definiert sind.

Lösung.

Wir erhalten zwei allgemeine Geradengleichungen, machen wir daraus ein System: . Lösungen für das resultierende Gleichungssystem lassen sich leicht finden, indem man seine erste Gleichung nach der Variablen x löst und diesen Ausdruck in die zweite Gleichung einsetzt:

Die gefundene Lösung des Gleichungssystems liefert uns die gewünschten Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden.

Antwort:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 und 5x-2y-16=0 .

Beispiel.

Und .

Lösung.

Bevor wir die Koordinaten des Schnittpunkts der gegebenen Linien ermitteln, reduzieren wir ihre Gleichungen auf eine allgemeine Form. Übergang von parametrischen Geradengleichungen zur allgemeinen Gleichung dieser Geraden lautet:

Führen wir nun die notwendigen Aktionen mit der kanonischen Geradengleichung durch:

Somit sind die gewünschten Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden die Lösung eines Gleichungssystems der Form . Um es zu lösen, verwenden wir:

Antwort:

M 0 (-5, 1)

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene zu ermitteln. Die Verwendung ist praktisch, wenn eine der Geraden durch parametrische Gleichungen der Form gegeben ist , und die andere ist eine Geradengleichung eines anderen Typs. In diesem Fall können Sie in einer anderen Gleichung anstelle der Variablen x und y die Ausdrücke ersetzen Und , von wo aus es möglich ist, den Wert zu erhalten, der dem Schnittpunkt der angegebenen Linien entspricht. In diesem Fall hat der Schnittpunkt der Linien Koordinaten.

Lassen Sie uns mit dieser Methode die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien aus dem vorherigen Beispiel ermitteln.

Beispiel.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien Und .

Lösung.

Setzen wir den Geradenausdruck in die Gleichung ein:

Nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben, erhalten wir . Dieser Wert entspricht dem gemeinsamen Punkt der Linien Und . Wir berechnen die Koordinaten des Schnittpunkts, indem wir eine Gerade in die parametrischen Gleichungen einsetzen:
.

Antwort:

M 0 (-5, 1) .

Um das Bild zu vervollständigen, sollte noch ein weiterer Punkt besprochen werden.

Selbstverständlich können Sie auf eine solche Prüfung verzichten und sofort ein Gleichungssystem der Form erstellen und löse es. Wenn ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, dann gibt es die Koordinaten des Punktes an, an dem sich die ursprünglichen Geraden schneiden. Wenn das Gleichungssystem keine Lösungen hat, können wir daraus schließen, dass die ursprünglichen Geraden parallel sind (da es kein Paar reeller Zahlen x und y gibt, das gleichzeitig beide Gleichungen der gegebenen Geraden erfüllen würde). Aus der Existenz unendlich vieler Lösungen eines Gleichungssystems folgt, dass die ursprünglichen Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben, also zusammenfallen.

Schauen wir uns Beispiele an, die zu diesen Situationen passen.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob sich die Linien und schneiden, und wenn sie sich schneiden, ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts.

Lösung.

Die angegebenen Geradengleichungen entsprechen den Gleichungen Und . Lösen wir das System, das aus diesen Gleichungen besteht .

Es ist offensichtlich, dass die Gleichungen des Systems linear durcheinander ausgedrückt werden (die zweite Gleichung des Systems wird aus der ersten durch Multiplikation beider Teile mit 4 erhalten), daher hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Somit definieren die Gleichungen dieselbe Linie, und wir können nicht darüber sprechen, die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Linien zu finden.

Antwort:

Die Gleichungen und definieren dieselbe Gerade im rechteckigen Koordinatensystem Oxy, daher können wir nicht über die Ermittlung der Koordinaten des Schnittpunkts sprechen.

Beispiel.

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien Und , wenn möglich.

Lösung.

Der Zustand des Problems lässt zu, dass sich die Linien möglicherweise nicht schneiden. Lassen Sie uns aus diesen Gleichungen ein System erstellen. Um es zu lösen, wenden wir uns an, da es uns ermöglicht, die Kompatibilität oder Inkompatibilität eines Gleichungssystems festzustellen und, wenn es kompatibel ist, eine Lösung zu finden:

Zweite Lösung.

Lassen Sie uns herausfinden, ob sich die angegebenen Linien schneiden.

- Normallinienvektor , und der Vektor ist ein Normallinienvektor . Lassen Sie uns die Ausführung überprüfen Und : Gleichwertigkeit ist wahr, da also die Normalenvektoren der gegebenen Geraden kollinear sind. Dann sind diese Linien parallel oder fallen zusammen. Daher können wir die Koordinaten des Schnittpunkts der ursprünglichen Linien nicht finden.

Antwort:

Es ist unmöglich, die Koordinaten des Schnittpunkts der angegebenen Linien zu finden, da diese Linien parallel sind.

Beispiel.

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien 2x-1=0 und , falls sie sich schneiden.

Lösung.

Stellen wir ein Gleichungssystem auf, das allgemeine Gleichungen gegebener Geraden sind: . Die Determinante der Hauptmatrix dieses Gleichungssystems ist ungleich Null , daher hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, die den Schnittpunkt der gegebenen Geraden angibt.

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden zu finden, müssen wir das System lösen:

Die resultierende Lösung liefert uns die Koordinaten des Schnittpunkts der Linien, d. h. 2x-1=0 und .

Antwort:

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien im Raum.

Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden im dreidimensionalen Raum werden auf ähnliche Weise ermittelt.

Schauen wir uns die Lösungen zu den Beispielen an.

Beispiel.

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier im Raum durch die Gleichungen gegebener Linien Und .

Lösung.

Stellen wir aus den Gleichungen gegebener Geraden ein Gleichungssystem zusammen: . Die Lösung dieses Systems liefert uns die gewünschten Koordinaten des Schnittpunktes der Linien im Raum. Finden wir die Lösung des geschriebenen Gleichungssystems.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form , und erweitert - .

Definieren wir A und der Rang der Matrix T. Wir gebrauchen

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Aufgabe

Finden Sie den Schnittpunkt zweier gerader Linien, die von zwei Punkten mit bekannten Koordinaten und Azimuten dieser Punkte aus gezeichnet wurden.

Anwendung

Um das Verhalten von Tieren zu untersuchen, wird häufig die Methode der Radiotelemetrie verwendet: Das Untersuchungsobjekt wird mit einem Funksender markiert, der ein Funksignal einer bestimmten Frequenz aussendet, und dann überwacht der Forscher mit einem Empfänger und einer Empfangsantenne die Bewegungen dieses Objekts. Eine Möglichkeit, den genauen Standort eines Objekts zu bestimmen, ist die Biangulationsmethode. Dazu muss der Forscher von Punkten mit bekannten Koordinaten zwei Azimute zum Untersuchungsobjekt aufnehmen. Der Standort des Objekts entspricht dem Schnittpunkt dieser beiden Azimute. Die Koordinaten der Punkte, von denen aus Azimute gemessen werden, können mit einem Satellitennavigator (GPS) ermittelt werden, oder Azimute werden von Referenzpunkten ermittelt, deren Koordinaten im Voraus bekannt sind. Azimut ist in diesem Fall die Richtung zur Quelle des stärksten Signals, das von einem vom Sender markierten Objekt ausgeht, normalerweise gemessen in Grad.

Vor den Berechnungen ist es notwendig, die mittels GPS gewonnenen Punkte in ein projiziertes Koordinatensystem, beispielsweise die entsprechende UTM-Zone, umzurechnen; dies kann mit DNRGarmin erfolgen.

Damit der berechnete Standort des Untersuchungsobjekts möglichst genau der tatsächlichen Position entspricht, muss Folgendes berücksichtigt werden:

1) Sie müssen versuchen zu warten, bis der Fehler bei der Koordinatenbestimmung im Navigator so gering wie möglich ist.

2) so dass der Winkel zwischen den Azimuten 90 Grad beträgt (zumindest mehr als 30 und weniger als 150 Grad).

Die Entfernung, aus der der Azimut gemessen werden sollte, hängt von der Reichweite des Senders ab. Als Faustregel gilt, dass der Fehler bei der Bestimmung des Azimuts alle 10 m mit der Entfernung vom untersuchten Objekt um 1 Meter zunimmt. Bei einer Azimutmessung mit einem Abstand zu einem Objekt von 100 m beträgt der Fehler 10 m. Diese Regel gilt jedoch in flachen, offenen Bereichen. Es ist zu berücksichtigen, dass unebenes Gelände sowie Baum- und Strauchbewuchs das Signal abschirmen und reflektieren. Sie sollten es vermeiden, sich in unmittelbarer Nähe des zu untersuchenden Objekts aufzuhalten, denn Erstens erschwert ein zu starkes Signal die Bestimmung des genauen Azimuts, und zweitens ist es in manchen Fällen unmöglich, den Schnittpunkt zu berechnen, da der zweite Azimut hinter dem Punkt verläuft, an dem sich der erste Azimut befand genommen. Der Zeitabstand zwischen der Aufnahme eines Azimutpaares sollte minimiert werden, hängt aber natürlich von der Mobilität des untersuchten Tieres ab.

Lösung

Die Lösung des Problems erfolgt durch einfache Geometrie und die Lösung eines Gleichungssystems.
Zunächst erhalten wir aus Punkt und Azimut die Geradengleichung, dazu:

Aus einer allgemeinen Gleichung:

ax + by + c = 0

vorausgesetzt, dass b<>0 bekommen wir

y = kx + d , Wo k=-(a/b) , d=-(c/b)

so bekommen wir

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Wir erhalten die X- und Y-Koordinaten des gemeinsamen Punktes zweier Geraden (des Schnittpunkts).

Die Gleichung muss zwei Sonderfälle berücksichtigen, wenn die Geraden parallel sind (k1=k2).

Da es sich nicht um Vektoren oder Strahlen handelt, d. falscher Schnittpunkt. Die Lösung dieses Problems wird erreicht, indem der Azimut vom falschen Punkt a3 zum Punkt 2 gemessen wird. Wenn der Azimut a3 = a2 ist, dann ist der Schnittpunkt falsch, und der Rückkehrazimut vom resultierenden Punkt zurück zum ursprünglichen Punkt 2 sollte nicht gleich sein einer der ursprünglichen Azimute.

Das erforderliche Verfahren in der Avenue-Sprache sieht folgendermaßen aus:

a1rad = (90-a1)*pi/180
a2rad = (90-a2)*pi/180„wenn die Linie parallel zur x-Achse verläuft
wenn ((a1 = 0) oder (a1 = 180)) dann
l1a = 1
l1b = 0
l1c = x1
anders
l1a = -(a1rad.tan)
l1b = 1
l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)
Ende
wenn ((a2 = 0) oder (a2 = 180)) dann
l2a = 1
l2b = 0
l2c = x2
anders
l2a = -(a2rad.tan)
l2b = 1
l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)
Ende
D1 = l1a*l2b
D2 = l2a*l1b
D3 = D1 - D2
„Wenn die Linien parallel sind, werden nicht vorhandene Werte in das Ergebnisfeld geschrieben
wenn (D3 = 0), dann
resX = 9999
resY = 9999
sonst resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3
resY = ((l1a*l2c) - (l2a*l1c))/D3 Ende

Typ