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Variable Mengen. Variablen und Konstanten. Konstante und variable Mengen

Gegenstand der mathematischen Analyse sind verschiedene Größen; es werden Möglichkeiten untersucht, tatsächlich auftretende Phänomene oder Prozesse anhand dieser Größen zu beschreiben.

Werte können sein Variablen Und dauerhaft , das heißt, sich während des Forschungsprozesses ändern oder nicht ändern. Diese Schlussfolgerungen sind bedingt; wir werden dies anhand eines Beispiels zeigen. Die Koordinaten unserer Stadt sind natürlich konstante Werte; anhand ihrer Werte lässt sich die Lage der Stadt auf der Karte leicht ermitteln. Diese Aussage gilt jedoch nur für die Menschen auf der Erde. Wenn wir den Standort unserer Stadt von einer Raumstation aus beobachten, ändern sich ihre Koordinaten mit der Erdrotation. Wenn wir irdische Angelegenheiten studieren, können wir diese Größen getrost als konstant betrachten.

Variablen können sein unabhängig Und abhängig , abhängig von einigen anderen Größen. Auch diese Konzepte sind bedingt. Beispielsweise ändert sich die Zeit unabhängig von irgendetwas und sollte als Variable betrachtet werden. Aus der Sicht von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie ist dies jedoch keineswegs der Fall.

Wenn wir die Gleichung eines Kreises betrachten, beinhaltet sie zwei Variablen und. Einer von ihnen kann beliebige Werte in einem bestimmten Bereich erhalten, der andere ergibt sich aus der angegebenen Gleichung. Daher kann eine davon als unabhängige Variable betrachtet werden, die andere als abhängige Variable. In diesem Fall kann jede von ihnen als unabhängige Variable betrachtet werden, die zweite ist dann die abhängige Variable.

Um mit Mengen arbeiten zu können, müssen Sie festlegen ein Haufen , also eine Reihe von Werten, die diese Größen während ihrer Verwendung annehmen können. In der Schule lernte man mehrere Sets kennen. Schauen wir uns nur einige davon an.

Die Menge sei eine Menge natürlich Zahlen, diese Menge enthält unendlich viele Elemente, die Notation zeigt, dass das Element zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Bezeichnen wir - Reihe von echten(Reelle) Zahlen, dann ist die Menge eine Teilmenge der Menge, das heißt, sie liegt vollständig auf der Menge und ist Teil von ihr. Bezeichnung

Die Menge aller reellen Zahlen befindet sich normalerweise auf einer Achse, die als reelle (numerische) Achse bezeichnet wird. Jede Zahl in der Menge entspricht einem Punkt auf der Achse.

Zur Kurznotation wird folgende Notation verwendet:

- „für jeden“, „für alle“,

– „existiert“, „wird gefunden“,

- "sollen"

– „gleichwertig“,

- „in Einklang bringen“

: - "tritt ein".

Zum Beispiel der Ausdruck

lautet „für alle“ X aus A tritt ein ".

Funktion. Möglichkeiten, es einzustellen

Kehren wir zu unabhängigen und abhängigen Variablen zurück. Die unabhängige Variable wird oft als Argument bezeichnet, die abhängige Variable als Funktion.

Von den verschiedenen Verhaltensweisen von Variablen ist diejenige am wichtigsten, bei der die Variable zu einem bestimmten Grenzwert tendiert. In diesem Fall sind es die Werte, die die Variable annimmt X, beliebig nahe an eine konstante Zahl herankommen A- der Grenzwert dieser Variablen. Sie sagen, dass eine Variable dazu neigt, sich einer konstanten Zahl ohne Begrenzung anzunähern. A(bis zu deiner Grenze). Lassen Sie uns die entsprechende Definition genauer erläutern.

Die Variable x tendiert zum Grenzwert a (a - konstante Zahl), wenn der Absolutwert Die Differenz zwischen x und a wird bei der Änderung der Variablen beliebig klein.

Die gleiche Definition kann mit anderen Worten gesagt werden.

Definition.Die konstante Zahl a heißtvariable Grenzex wenn - Der Absolutwert der Differenz zwischen x und a wird bei der Änderung der Variablen x beliebig klein.

Die Tatsache, dass die Zahl A, ist der Grenzwert der Variablen, geschrieben wie folgt:

( - die ersten Buchstaben des Wortes Limetten - Grenze) oder X-> a

Lassen Sie uns klären, was in der Definition des Grenzwerts unter den Worten „die Menge wird beliebig klein“ zu verstehen ist. Stellen wir eine beliebige positive Zahl ein, dann wenn ab einem bestimmten Zeitpunkt die Änderung der Variablen erfolgt X, Die Werte werden und werden darunter liegen .

Die Variable tendiert zum Grenzwert, wenn irgendein positives Ergebnis vorliegt. Ab einem bestimmten Zeitpunkt der Variablenänderung ist die Ungleichung erfüllt .

Die Definition des Grenzwerts hat eine einfache geometrische Bedeutung: die Ungleichung bedeutet, dass es sich in der -Nachbarschaft des Punktes befindet, d.h. im Intervall (Abb. 26). Somit lautet die Definition des Grenzwerts in geometrischer Form: Eine Zahl ist der Grenzwert einer Variablen, wenn für irgendeine (beliebig kleine)-Nachbarschaft eines Punktes Sie können den Zeitpunkt der Änderung einer Variablen angeben, ab dem alle ihre Werte geändert werden
in die angegebene Umgebung von Punkt a fallen.

Es ist notwendig, sich den Prozess der Annäherung an die Grenze in der Dynamik vorzustellen. Habe welche genommen - Nachbarschaft eines Punktes A; Irgendwann beginnt die Veränderung , Alle Werte fallen in diese Nachbarschaft. Schauen wir uns das jetzt genauer an - Nachbarschaft eines Punktes A; beginnend mit einem (im Vergleich zum ersten weiter entfernten) Moment der Veränderung , alle seine Werte werden hineinfallen - Nachbarschaft eines Punktes A usw. (Abb. 1).

Nachdem wir die Definition des Grenzwerts eines variablen Werts eingeführt hatten, versuchten wir, ihn im Detail zu diskutieren und zu entschlüsseln. Allerdings blieb in dieser Definition ein sehr wichtiges Detail verschwiegen; Was ist unter den Worten „ab einem bestimmten Zeitpunkt der Änderung einer Variablen“ zu verstehen? Dies wird deutlich, wenn der Prozess der Änderung einer Variablen im Laufe der Zeit abläuft: ab einem bestimmten Zeitpunkt (Zeitpunkt). Allerdings haben wir es nicht immer mit variablen Größen zu tun, deren Veränderung im Laufe der Zeit erfolgt. Was ist in diesen Fällen zu tun? Die Lösung besteht darin, diesen Ort in der allgemeinen Definition des Grenzwerts einer Variablen für jeden Variablentyp auf eine bestimmte Weise zu entschlüsseln: auf seine eigene Weise für Sequenzen, auf seine eigene Weise für Funktionen usw.

Konsistenzgrenze. Zunächst müssen wir uns an die Definition einer Sequenz erinnern: wenn alle Werte von einer Variablen angenommen werden X, kann mit allen möglichen natürlichen Zahlen nummeriert werden x), x 2,...x n,..., und der Wert mit einer höheren Zahl nach dem Wert mit einer niedrigeren Zahl genommen wird, dann heißt die Variable X durchläuft eine Folge von Werten x x, x 2,... x p...; oder einfach, dass es eine Folge (eine Zahlenfolge) gibt.

Definition. Numerische Reihenfolge heißt eine reelle Funktion eines natürlichen Arguments, also eine Funktion, deren = N Und EÌR.

Es wird mit dem Symbol , wo , oder kurz , bezeichnet. Eine von n abhängige Zahl heißt n – Glied der Folge. Nachdem wir die Werte der Folge in numerischer Reihenfolge angeordnet haben, stellen wir fest, dass die Folge mit einer abzählbaren Menge reeller Zahlen identifiziert werden kann, d.h.

Beispiele:

a) Die Folge ist konstant und besteht aus gleichen Zahlen (Einheiten): ;

B) . Für Sie

G) .

Bei Sequenzen ist die in der allgemeinen Definition des Grenzwerts einer Variablen enthaltene Aussage „ab einem bestimmten Zeitpunkt der Änderung“ enthalten " muss „ab einer bestimmten Nummer beginnen“ bedeuten, da Elemente mit höheren Nummern (per Definition der Reihenfolge) dem Element mit niedrigerer Nummer folgen. Wir erhalten also die folgende Definition des Grenzwertes einer Folge:

Definition. Nummer A angerufen Grenze Folgen, wenn es für jede Zahl eine Zahl gibt, für die alle Zahlen die Ungleichung erfüllen.

Entsprechende Bezeichnung

Die Ungleichung kann auch in der Form geschrieben werden oder . Diese Einträge unterstreichen den Wert x n wird so ununterscheidbar wie möglich von A, wenn sich die Mitgliederzahl unbegrenzt erhöht. Geometrisch bedeutet die Definition des Grenzwertes einer Folge Folgendes: für beliebig klein -Nachbarschaft der Zahl A Es gibt eine Zahl N, so dass alle Terme der Folge größer als N sind, Zahlen fallen in diesen Bereich, Nur endlich viele Anfangsterme der Folge liegen außerhalb der Nachbarschaft (Abb. 2). Sind es alle oder einige der Mitglieder? .

x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3

Die Zahl in unserer Definition hängt ab von : N= N(). Wie bereits erwähnt, sollte die Definition des Grenzwerts in der Entwicklung, in der Dynamik, in der Bewegung verstanden werden: wenn wir einen anderen, kleineren Wert für annehmen , dann gibt es im Allgemeinen eine andere Zahl N x > N, so dass Ungleichheit , ist für alle zufrieden.

Wir werden die Definition eines Grenzwerts anhand logischer Symbole (Quantoren) aufschreiben. Das Definieren des Grenzwerts einer Folge mithilfe von Quantoren sieht folgendermaßen aus.

Variablen und Konstanten sind nicht ganz einfach

Die Schulmathematik hat uns immer überzeugt und überzeugt uns immer noch davon, dass das Problem der Variablen und Konstanten sehr einfach gelöst ist. Variablen sind Größen, die unter den Bedingungen eines gegebenen Problems unterschiedliche Werte annehmen können. Als konstant gelten Größen, deren Werte sich unter den Bedingungen eines gegebenen Problems nicht ändern.

Gleichzeitig wird zusätzlich berichtet, dass die Aufteilung von Größen in Variablen und Konstanten recht willkürlich ist und von den Begleitumständen des Problemlösungsprozesses abhängt. Dieselbe Größe, die unter bestimmten Bedingungen als konstant galt, sollte unter anderen Bedingungen als variabel betrachtet werden. Ein klassisches Beispiel: Der Widerstand eines Leiters wird als konstant betrachtet, bis wir gezwungen sind, die Abhängigkeit seines Widerstands von der Umgebungstemperatur zu berücksichtigen.

Aber wie die Praxis zeigt, reicht all das nicht aus, um ein bestimmtes Problem richtig zu lösen.

Was eine Menge ist, ist jedem intuitiv klar. Lassen Sie uns dieses Konzept klären.

Im Allgemeinen ist der Inhalt des Problemlösungsprozesses die Transformation von Größen. Es sollte verstanden werden, dass im allgemeinen philosophischen Sinne die Größe, die das Ergebnis der Lösung eines Problems darstellt, bereits in impliziter Form in seiner Formulierung enthalten ist. Es ist lediglich erforderlich, den Prozess der Transformation der Problemgrößen korrekt zu konstruieren, um dieses Ergebnis explizit darzustellen.

Definition

Als Größe bezeichnen wir jedes mathematische Objekt, das Informationen über einen bestimmten Wert trägt (oder tragen kann).

Die Form der Mengendarstellung kann unterschiedlich sein. Beispielsweise kann eine Größe mit einem numerischen Wert gleich dem reellen Wert durch die Dezimalkonstante 1,0, die Cos(0)-Funktion oder den arithmetischen Ausdruck 25,0 – 15,0 – 9,0 dargestellt werden.

Werte können geändert werden. Durch die Ausführung der Aktion x = 1,0 erweist sich somit die Größe in Form der Variablen x als Träger des Wertes der realen Einheit. In diesem Fall geht der vorherige Wert der Variablen x verloren. Die aufgeführten Beispiele zeigen bereits aus einer etwas anderen Perspektive, dass Größen variabel und konstant sein können.

Definition

Variable Größen haben die Eigenschaft, dass sich ihre Werte durch die Ausführung bestimmter Aktionen ändern können. Und das bedeutet, dass das Konzept des „variablen Werts“ die Möglichkeit, aber nicht die Tatsache der Veränderung widerspiegelt.

Als konstanter Wert (Konstante) ist ein Wert zu betrachten, dessen Wert im Gegensatz zu einer Variablen grundsätzlich nicht veränderbar ist.

Beispielsweise beträgt der Wert einer Konstante im Ausdruck 12+3 15 und kann nicht geändert werden. In diesem Fall ist es notwendig, die Bedeutung der Zeichen festzulegen, mit deren Hilfe die Menge dargestellt wird. Wenn wir andernfalls beispielsweise die Vorzeichen dieses Ausdrucks als Zahlen in einem Zahlensystem mit der Basis 5 betrachten, dann ist sein Wert gleich 10.

Definition

In mathematischen Texten sind die Träger von Werten, also Mengen, Variablen, Konstanten, Funktionsaufrufe (oder einfach Funktionen) sowie Ausdrücke.

Merkmale von Variablen

Die Bezeichnungen, mit denen bestimmte Werte verbunden sind, nennt man in der Mathematik Variablen (der Begriff wird als Substantiv verwendet).

Beispielsweise hängt der Wert der Variablen x+1 von dem Wert ab, der der Notation x zugeordnet ist. Hier wird die Notation x als Variable verwendet. Indem wir den Wert der Variablen x ändern, ändern wir damit den Wert der Variablen x+1.

Somit hängen die Werte variabler Größen von den Werten der Variablen ab, die in ihrer Zusammensetzung enthalten sind. Eine besondere Eigenschaft einer Variablen besteht darin, dass ihr ihr spezifischer Wert einfach zugewiesen (zugewiesen) werden soll.

Der mathematische Ansatz, der die Möglichkeit der Berechnung der Werte von Variablen bestimmt, erweist sich in diesem Zusammenhang als falsch. In der Mathematik kann man nur die Werte von Ausdrücken berechnen.

Die Hauptbedingung für die Verwendung einer Variablen in mathematischen Texten in ihrer endgültigen Form ist folgende: Um auf eine Variable zu verweisen, reicht es aus, ihre Bezeichnung anzugeben.

Merkmale von Konstanten

In mathematischen Texten können zwei Arten von Konstanten verwendet werden: Token-Konstanten und benannte Konstanten.

Programmierer in Hochsprachen verwenden dies übrigens aus ganz formalen (rechtlichen) Gründen.

Mithilfe konstanter Token werden die Werte konstanter Größen direkt angegeben, ohne dass Operationen ausgeführt werden müssen. Um beispielsweise den Wert des konstanten Werts 12+3 zu erhalten, der ein Ausdruck ist, müssen zwei konstante Token 12 und 3 hinzugefügt werden.

Definition

Eine benannte Konstante ist eine Bezeichnung, die einem bestimmten Wert zugeordnet ist, der als Token-Konstante angegeben wird.

Diese Technik wird in den Naturwissenschaften häufig verwendet, um das Schreiben physikalischer, chemischer, mathematischer und anderer Formeln zu erleichtern. Zum Beispiel: g = 9,81523 – Beschleunigung des freien Falls auf dem Breitengrad von Moskau; π = 3,1415926 – Zahl $π$.

Neben kompakten Ausdrücken sorgen benannte Konstanten für Klarheit und erheblichen Komfort bei der Arbeit mit mathematischen Texten.

Eine benannte Konstante erhält ihre Bedeutung durch eine vorläufige Vereinbarung.

Eine wichtige Eigenschaft jeder benannten Konstante besteht darin, dass es nicht empfohlen wird, ihren Wert innerhalb eines bestimmten mathematischen Textes zu ändern.

Ausdrücke

Ausdrücke sind Bestandteile der überwiegenden Mehrheit mathematischer Texte. Ausdrücke werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der neue Werte basierend auf anderen zuvor bekannten Werten berechnet werden.

Im Allgemeinen verwenden Ausdrücke Operanden, Operationszeichen und regulierende Klammern (eckige, geschweifte Klammern).

Definition

Operanden sind die allgemeine Bezeichnung für Objekte, deren Werte zur Ausführung von Operationen verwendet werden. Operanden können Variablen, Konstanten und Funktionen sein. Dieser Begriff ist übrigens unter Programmierern sehr beliebt. Ein in Escape-Klammern eingeschlossenes Fragment eines Ausdrucks wird als separater zusammengesetzter Operand behandelt.

Das Operationszeichen symbolisiert einen ganz bestimmten Satz von Aktionen, die an den entsprechenden Operanden ausgeführt werden müssen. Regulierungsklammern legen die gewünschte Reihenfolge der Vorgänge fest, die von der durch die Priorität der Vorgänge vorgegebenen Reihenfolge abweichen kann.

Der einfachste Fall eines Ausdrucks ist ein einzelner Operand. Dieser Ausdruck enthält keine Operationssymbole.

Die Operandenfunktion hat ihre eigenen Eigenschaften. In der Regel ist ein solcher Operand der Name (oder das Vorzeichen) der Funktion, gefolgt von einer Liste ihrer Argumente in Klammern. In diesem Fall sind die Klammern integraler Bestandteil der Funktionen und gehören nicht zu den regelnden. Beachten Sie, dass in vielen Fällen auf Klammern in Funktionsoperanden verzichtet wird (z. B. 5! – Berechnung der Fakultät der ganzen Zahl 5).

Mathematische Operationen

Die Hauptmerkmale mathematischer Operationen sind:

Betriebszeichen können sowohl mit Sonderzeichen als auch mit speziell angegebenen Wörtern angegeben werden;
Operationen können unär (für einen Operanden ausgeführt) und binär (für zwei Operanden ausgeführt) sein;
Operationen haben vier Prioritätsstufen, die die Reihenfolge bestimmen, in der der Ausdruck ausgewertet wird.

Die Regeln zum Berechnen eines komplexen Ausdrucks, der eine Operationskette ohne Escape-Klammern enthält, lauten wie folgt:

zunächst werden die Werte aller Funktionen berechnet;
dann werden die Operationen nacheinander in absteigender Reihenfolge ihrer Priorität ausgeführt;
Operationen gleicher Priorität werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt.

Wenn Escape-Klammern vorhanden sind, enthält der Ausdruck zusammengesetzte Operanden, deren Werte zuerst ausgewertet werden müssen.

Einige Merkmale des Schreibens mathematischer Ausdrücke:

Es wird nicht empfohlen, Operationszeichen zu überspringen, obwohl Sie in vielen Fällen das Multiplikationszeichen überspringen können;
Es empfiehlt sich, Funktionsargumente in Klammern anzugeben;
die Angabe von zwei oder mehr Symbolen binärer Operationen hintereinander ist nicht akzeptabel; Formal ist es zulässig, mehrere Symbole unärer Operationen hintereinander zu verwenden, auch zusammen mit einem binären.

Beseitigen Sie es dann, indem Sie beide Seiten der Identität auf gleich dem Exponenten der Wurzel erhöhen. Für das oben angegebene Beispiel sollte diese Aktion in einer Transformation in die folgende Form ausgedrückt werden: 36*Y² = X. Manchmal ist es bequemer, die Operation dieses Schritts vor der Aktion aus dem vorherigen Schritt auszuführen.

Transformieren Sie den Ausdruck so, dass alle Begriffe der Identität das Gewünschte enthalten Variable, landete auf der linken Seite des Gleichstands. Wenn die Formel beispielsweise 36*Y-X*Y+5=X lautet und Sie an der Variablen X interessiert sind, reicht es aus, die linke und rechte Hälfte der Identität zu vertauschen. Und wenn Sie Y ausdrücken müssen, sollte die Formel als Ergebnis dieser Aktion die Form 36*Y-X*Y=X-5 annehmen.

Vereinfachen Sie den Ausdruck auf der linken Seite Formeln sodass die gewünschte Variable zu einer von wird. Zum Beispiel, z Formeln Aus dem vorherigen Schritt kann dies folgendermaßen erfolgen: Y*(36-X)=X-5.

Teilen Sie die Ausdrücke mit beiden Gleichheitszeichen durch die Faktoren der Variablen, an der Sie interessiert sind. Daher sollte nur diese Variable auf der linken Seite der Identität verbleiben. Das oben verwendete würde nach diesem Schritt wie folgt aussehen: Y = (X-5)/(36-X).

Wenn die gewünschte Variable als Ergebnis aller Transformationen auf welche Potenz angehoben wird, entfernen Sie den Grad, indem Sie die Wurzel aus beiden Teilen ziehen Formeln. Beispielsweise sollte die Formel vom zweiten Schritt bis zu dieser Transformationsstufe die Form Y²=X/36 annehmen. Und seine endgültige Form sollte so aussehen: Y=√X/6.

Variablen

Der Hauptindikator einer Variablen ist, dass sie mit einem Buchstaben geschrieben wird. Ein Symbol verbirgt meist eine bestimmte Bedeutung. Die Variable erhält ihren Namen, weil sich ihr Wert je nach Gleichung ändert. Als Bezeichnung für ein solches Element kann in der Regel „any“ verwendet werden. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass Sie 5 Rubel haben und Äpfel kaufen möchten, die 35 Kopeken kosten, beträgt die endliche Anzahl an Äpfeln, die Sie kaufen können, (z. B. „C“).

Anwendungsbeispiel

Wenn es eine Variable gibt, die nach Ihrem Ermessen ausgewählt wurde, müssen Sie eine algebraische Gleichung erstellen. Es verbindet bekannte und unbekannte Größen und zeigt auch den Zusammenhang zwischen ihnen. Dieser Ausdruck umfasst Zahlen, Variablen und eine algebraische Operation. Es ist wichtig zu beachten, dass der Ausdruck ein Gleichheitszeichen enthält.

Eine vollständige Gleichung enthält den Wert des Ausdrucks als Ganzes. Es wird durch ein Gleichheitszeichen vom Rest der Gleichung getrennt. Im vorherigen Beispiel mit Äpfeln ist 0,35 oder 35 Kopeken multipliziert mit „C“ der Ausdruck. Um eine vollständige Gleichung zu erstellen, müssen Sie Folgendes schreiben:

Monomielle Ausdrücke

Es gibt zwei Hauptklassifikationen von Ausdrücken: Monome. Monome sind eine Einheitsvariable, eine Zahl oder das Produkt einer Variablen und einer Zahl. Darüber hinaus ist auch ein Ausdruck mehrerer Variablen oder Ausdrücke mit Exponenten ein Monom. Beispielsweise ist die Zahl 7, die Variable x und das Produkt 7*x ein Monom. Ausdrücke mit Exponenten, einschließlich x^2 oder 3x^2y^3, sind ebenfalls Monome.

Polynome

Polynome sind Ausdrücke, die eine Kombination aus der Addition oder Subtraktion von zwei oder mehr beinhalten. Jede Art von Monom, einschließlich Zahlen, einzelnen Variablen oder Ausdrücken mit Zahlen und Unbekannten, kann in ein Polynom einbezogen werden. Beispielsweise ist der Ausdruck x+7 ein Polynom, das durch das Monom x und das Monom 7 addiert wird. 3x^2 ist ebenfalls ein Polynom. 10x+3xy-2y^2 ist ein Polynom, das drei Monome durch Addition und Subtraktion kombiniert.

Abhängige und unabhängige Variablen

Die unabhängigen Variablen sind die Unbekannten, die die anderen Teile der Gleichung bestimmen. Sie stehen in Ausdrücken allein und ändern sich nicht zusammen mit anderen Variablen.

Die Werte der abhängigen Variablen werden anhand der unabhängigen ermittelt. Ihre Werte werden oft empirisch ermittelt.

Die Bedeutung von Variablen in der Mathematik ist groß, da es Wissenschaftlern im Laufe ihres Bestehens gelungen ist, viele Entdeckungen auf diesem Gebiet zu machen. Um diesen oder jenen Satz kurz und klar darzulegen, verwenden wir Variablen, um die entsprechenden Formeln zu schreiben. Zum Beispiel der Satz des Pythagoras über ein rechtwinkliges Dreieck: a 2 = b 2 + c 2. So schreiben Sie jedes Mal, wenn Sie ein Problem lösen: Nach dem Satz des Pythagoras schreiben wir es mit einer Formel auf und alles wird sofort klar.

In diesem Artikel geht es also darum, was Variablen sind, welche Typen und Eigenschaften sie haben. Berücksichtigt werden auch verschiedene Ungleichungen, Formeln, Systeme und Algorithmen zu deren Lösung.

Das Konzept einer Variablen

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, was eine Variable ist. Dabei handelt es sich um einen Zahlenwert, der viele Werte annehmen kann. Sie kann nicht konstant sein, da wir in verschiedenen Problemen und Gleichungen zur Vereinfachung der Lösung unterschiedliche Zahlen als Variable verwenden, d. h. z ist beispielsweise eine allgemeine Bezeichnung für jede der Größen, für die sie verwendet wird. Sie werden normalerweise mit Buchstaben des lateinischen oder griechischen Alphabets (x, y, a, b usw.) bezeichnet.

Es gibt verschiedene Arten von Variablen. Sie geben sowohl einige physikalische Größen an – Weg (S), Zeit (t) als auch einfach unbekannte Werte in Gleichungen, Funktionen und anderen Ausdrücken.

Es gibt zum Beispiel eine Formel: S = Vt. Dabei bezeichnen Variablen bestimmte, auf die reale Welt bezogene Größen – Weg, Geschwindigkeit und Zeit.

Und es gibt eine Gleichung der Form: 3x - 16 = 12x. Hier wird x als abstrakte Zahl angenommen, die in dieser Notation Sinn macht.

Arten von Mengen

Unter Quantität verstehen wir etwas, das die Eigenschaften eines bestimmten Objekts, einer bestimmten Substanz oder eines bestimmten Phänomens ausdrückt. Beispielsweise sind Lufttemperatur, Tiergewicht, Vitaminanteil in einer Tablette alles Größen, deren Zahlenwerte berechnet werden können.

Jede Größe hat ihre eigenen Maßeinheiten, die zusammen ein System bilden. Es wird Zahlensystem (SI) genannt.

Was sind Variablen und Konstanten? Schauen wir sie uns anhand konkreter Beispiele an.

Nehmen wir eine geradlinige, gleichförmige Bewegung. Ein Punkt im Raum bewegt sich zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Geschwindigkeit. Das heißt, Zeit und Entfernung ändern sich, die Geschwindigkeit bleibt jedoch gleich. In diesem Beispiel sind Zeit und Entfernung variable Größen und die Geschwindigkeit ist konstant.

Oder zum Beispiel „pi“. Da es sich um eine irrationale Zahl handelt, die ohne sich wiederholende Ziffernfolge fortbesteht und nicht vollständig geschrieben werden kann, wird sie in der Mathematik durch ein gemeinsames Symbol ausgedrückt, das nur den Wert eines gegebenen unendlichen Bruchs annimmt. Das heißt, „pi“ ist ein konstanter Wert.

Geschichte

Die Geschichte der Variablennotation beginnt im 17. Jahrhundert mit dem Wissenschaftler René Descartes.

Er bezeichnete bekannte Größen mit den ersten Buchstaben des Alphabets: a, b usw., und für unbekannte Größen schlug er vor, die letzten Buchstaben zu verwenden: x, y, z. Bemerkenswert ist, dass Descartes solche Variablen als nichtnegative Zahlen betrachtete und bei negativen Parametern ein Minuszeichen vor die Variable setzte oder, wenn das Vorzeichen der Zahl unbekannt war, ein Auslassungszeichen. Aber im Laufe der Zeit begannen die Namen von Variablen, Zahlen beliebigen Vorzeichens zu bezeichnen, und dies begann mit dem Mathematiker Johann Hudde.

Mit Variablen lassen sich Rechnungen in der Mathematik einfacher lösen, denn wie lösen wir nun beispielsweise biquadratische Gleichungen? Geben Sie eine Variable ein. Zum Beispiel:

x 4 + 15x 2 + 7 = 0

Für x 2 nehmen wir ein bestimmtes k, und die Gleichung nimmt eine klare Form an:

x 2 = k, für k ≥ 0

k 2 + 15k + 7 = 0

Dies ist der Vorteil der Einführung von Variablen in die Mathematik.

Ungleichungen, Lösungsbeispiele

Eine Ungleichung ist eine Notation, bei der zwei mathematische Ausdrücke oder zwei Zahlen durch Vergleichszeichen verbunden werden:<, >, ≤, ≥. Sie sind streng und durch Schilder gekennzeichnet< и >oder nicht streng mit Vorzeichen ≤, ≥.

Diese Zeichen wurden erstmals von Thomas Harriot eingeführt. Nach dem Tod von Thomas wurde sein Buch mit diesen Notationen veröffentlicht; Mathematiker mochten sie und im Laufe der Zeit wurden sie häufig in mathematischen Berechnungen verwendet.

Beim Lösen von Ungleichungen mit einer Variablen müssen mehrere Regeln beachtet werden:

Wenn wir eine Zahl von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen, ändern wir ihr Vorzeichen in das Gegenteil.
Beim Multiplizieren oder Dividieren von Teilen einer Ungleichung mit einer negativen Zahl ändern sich deren Vorzeichen in das Gegenteil.
Wenn Sie beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren, erhalten Sie eine Ungleichung, die der ursprünglichen entspricht.

Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle gültigen Werte einer Variablen zu finden.

Beispiel mit einer Variablen:

10x - 50 > 150

Wir lösen wie eine gewöhnliche lineare Gleichung – wir verschieben Terme mit einer Variablen nach links, ohne Variable – nach rechts und bringen ähnliche Terme:

Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch 10 und erhalten:

Der Übersichtlichkeit halber zeichnen wir im Beispiel der Lösung einer Ungleichung mit einer Variablen einen Zahlenstrahl und markieren darauf den punktierten Punkt 20, da die Ungleichung streng ist und diese Zahl nicht in der Menge ihrer Lösungen enthalten ist.

Die Lösung dieser Ungleichung ist das Intervall (20; +∞).

Die Lösung einer nicht strikten Ungleichung erfolgt auf die gleiche Weise wie eine strikte:

Aber es gibt eine Ausnahme. Eine Notation der Form x ≥ 5 ist wie folgt zu verstehen: x ist größer oder gleich fünf, was bedeutet, dass die Zahl fünf in der Menge aller Lösungen der Ungleichung enthalten ist, das heißt, wenn wir die Antwort schreiben, geben wir an eine eckige Klammer vor der Zahl fünf.

Quadratische Ungleichungen

Nehmen wir eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx +c = 0 und ändern darin das Gleichheitszeichen in das Ungleichheitszeichen, dann erhalten wir dementsprechend eine quadratische Gleichung Ungleichheit.

Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, quadratische Gleichungen zu lösen.

y = ax 2 + bx + c ist eine quadratische Funktion. Wir können es mithilfe einer Diskriminante oder mithilfe des Satzes von Vieta lösen. Erinnern wir uns, wie solche Gleichungen gelöst werden:

1) y = x 2 + 12x + 11 – die Funktion ist eine Parabel. Seine Zweige sind nach oben gerichtet, da das Vorzeichen des Koeffizienten „a“ positiv ist.

2) x 2 + 12x + 11 = 0 – wir setzen Null gleich und lösen mit der Diskriminante.

a = 1, b = 12, c = 11

D = b 2 - 4ac = 144 - 44 = 100 > 0,2 Wurzeln

Aus der Gleichung erhalten wir:

x 1 = -1, x 2 = -11

Oder man könnte diese Gleichung mit dem Satz von Vieta lösen:

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 + x 2 = -12

x 1 x 2 = c/a, x 1 x 2 = 11

Mit der Auswahlmethode erhalten wir die gleichen Wurzeln der Gleichung.

Parabel

Der erste Weg, eine quadratische Ungleichung zu lösen, ist eine Parabel. Der Algorithmus zur Lösung lautet wie folgt:

1. Bestimmen Sie, wohin die Äste der Parabel gerichtet sind.

2. Wir setzen die Funktion mit Null gleich und finden die Wurzeln der Gleichung.

3. Wir konstruieren eine Zahlengerade, markieren die Wurzeln darauf, zeichnen eine Parabel und ermitteln das benötigte Intervall abhängig vom Vorzeichen der Ungleichung.

Lösen wir die Ungleichung x 2 + x - 12 > 0

Schreiben Sie es als Funktion aus:

1) y = x 2 + x - 12 - Parabel, verzweigt nach oben.

Wir setzen Null.

x 1 = 3, x 2 = -4

3) Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und darauf die Punkte 3 und -4. Die Parabel verläuft mit nach oben gerichteten Zweigen durch sie hindurch, und die Antwort auf die Ungleichung wird eine Menge positiver Werte sein, d. h. (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallmethode

Die zweite Methode ist die Intervallmethode. Algorithmus zur Lösung:

1. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung, bei denen die Ungleichung gleich Null ist.

2. Markieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl. Somit ist es in mehrere Intervalle unterteilt.

3. Bestimmen Sie das Vorzeichen eines beliebigen Intervalls.

4. Wir ordnen die Schilder in den verbleibenden Abständen an und wechseln sie abwechselnd.

Lösen wir die Ungleichung (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≤ 0

1) Nullstellen der Ungleichheit: 4, 5 und -7.

2) Wir stellen sie auf dem Zahlenstrahl dar.

3) Bestimmen Sie die Vorzeichen der Intervalle.

Antwort: (-∞; -7]; .

Lösen wir eine weitere Ungleichung: x 2 (3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nullstellen der Ungleichheit: 0, 2, -2 und 1.

2. Markieren Sie sie auf dem Zahlenstrahl.

3. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Intervalle.

Die Gerade ist in Intervalle unterteilt – von -2 bis 0, von 0 bis 1, von 1 bis 2.

Nehmen wir den Wert im ersten Intervall - (-1). In Ungleichheit einsetzen. Bei diesem Wert wird die Ungleichung positiv, was bedeutet, dass das Vorzeichen in diesem Intervall + ist.

Die Ungleichung ist größer als Null, das heißt, wir müssen die Menge der positiven Werte auf der Geraden finden.

Antwort: (-2; 0), (1; 2).

Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem mit zwei Variablen besteht aus zwei durch eine geschweifte Klammer verbundenen Gleichungen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss.

Systeme können äquivalent sein, wenn die allgemeine Lösung eines von ihnen die Lösung des anderen ist oder wenn beide keine Lösungen haben.

Wir werden das Lösen von Gleichungssystemen in zwei Variablen untersuchen. Es gibt zwei Möglichkeiten, sie zu lösen – die Substitutionsmethode oder die algebraische Methode.

Algebraische Methode

Um das im Bild gezeigte System mit dieser Methode zu lösen, müssen Sie zunächst einen seiner Teile mit einer solchen Zahl multiplizieren, dass Sie dann auf beiden Seiten der Gleichung eine Variable streichen können. Hier multiplizieren wir mit drei, zeichnen eine Linie unter das System und addieren seine Teile. Dadurch werden die Xs gleich groß, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen, und wir heben sie auf. Als nächstes erhalten wir eine lineare Gleichung mit einer Variablen und lösen sie.

Wir haben das Y gefunden, aber wir können hier nicht aufhören, weil wir das X noch nicht gefunden haben. Wir ersetzen y in dem Teil, aus dem sich x bequem ableiten lässt, zum Beispiel:

X + 5y = 8, bei y = 1

Wir lösen die resultierende Gleichung und finden x.

Beim Lösen eines Systems kommt es vor allem darauf an, die Antwort richtig aufzuschreiben. Viele Schulkinder machen den Fehler und schreiben:

Antwort: -3, 1.

Dies ist jedoch ein falscher Eintrag. Denn wie bereits oben geschrieben, suchen wir beim Lösen eines Gleichungssystems nach einer allgemeinen Lösung für seine Teile. Die richtige Antwort wäre: