Die durch 3 Linien begrenzte Fläche einer Figur. Wie berechnet man die Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines Doppelintegrals? Rezensionsfragen

In dieser Lektion lernen wir das Rechnen Flächen von ebenen Figuren die aufgerufen werden krummlinige Trapeze .

Beispiele für solche Figuren finden Sie in der folgenden Abbildung.

Einerseits ist es äußerst einfach, die Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln. Wir sprechen von der Fläche einer Figur, die von oben durch eine bestimmte Kurve, von unten durch die Abszissenachse ( Ochse), und links und rechts gibt es einige gerade Linien. Das ist die Einfachheit das bestimmte Integral der Funktion, der die Kurve gegeben ist, ist die Fläche einer solchen Figur(krummliniges Trapez).

Um die Fläche einer Figur zu berechnen, benötigen wir:

1. Bestimmtes Integral der Funktion, die die Kurve definiert , die das gebogene Trapez von oben begrenzt. Und hier ergibt sich die erste wesentliche Nuance: Ein gebogenes Trapez kann nicht nur von oben, sondern auch von unten durch eine Kurve begrenzt werden . Wie ist in diesem Fall vorzugehen? Einfach, aber wichtig zu beachten: das Integral wird in diesem Fall mit einem Minuszeichen genommen .
2. Grenzen der Integration A Und B, die wir aus den Gleichungen der Linien finden, die die Figur links und rechts begrenzen: X = A , X = B, Wo A Und B- Zahlen.

Separat zu einigen weiteren Nuancen.

Die Kurve, die das gebogene Trapez oben (oder unten) begrenzt, muss sein Graph einer stetigen und nicht negativen Funktion j = F(X) .

Die „x“-Werte müssen zum Segment gehören [A, B] . Das heißt, Linien wie der Schnitt eines Pilzes werden nicht berücksichtigt, dessen Stiel gut in dieses Segment passt und dessen Kappe viel breiter ist.

Seitensegmente können zu Spitzen ausarten . Wenn Sie eine solche Figur in der Zeichnung sehen, sollte Sie das nicht verwirren, da dieser Punkt immer seinen Wert auf der „x“-Achse hat. Das bedeutet, dass mit den Grenzen der Integration alles in Ordnung ist.

Jetzt können Sie mit Formeln und Berechnungen fortfahren. Also die Gegend S Das gebogene Trapez kann mit der Formel berechnet werden

Wenn F(X) ≤ 0 (der Graph der Funktion liegt unterhalb der Achse Ochse), Das Fläche eines gebogenen Trapezes kann mit der Formel berechnet werden

Es gibt auch Fälle, in denen sowohl die obere als auch die untere Grenze der Figur jeweils Funktionen sind j = F(X) Und j = φ (X) , dann wird die Fläche einer solchen Figur nach der Formel berechnet

. (3)

Gemeinsam Probleme lösen

Beginnen wir mit Fällen, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (1) berechnet werden kann.

Beispiel 1.Ochse) und gerade X = 1 , X = 3 .

Lösung. Als j = 1/X> 0 auf dem Segment , dann wird die Fläche des krummlinigen Trapezes mithilfe der Formel (1) ermittelt:

.

Beispiel 2. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch den Graphen der Funktion, Linie, begrenzt wird X= 1 und x-Achse ( Ochse ).

Lösung. Das Ergebnis der Anwendung von Formel (1):

Wenn, dann S= 1/2 ; wenn, dann S= 1/3 usw.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch den Funktionsgraphen, die Abszissenachse ( Ochse) und gerade X = 4 .

Lösung. Die den Bedingungen des Problems entsprechende Figur ist ein krummliniges Trapez, bei dem das linke Segment zu einem Punkt entartet ist. Die Integrationsgrenzen liegen bei 0 und 4. Da ermitteln wir mit Formel (1) die Fläche des krummlinigen Trapezes:

.

Beispiel 4. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird und sich im 1. Viertel befindet.

Lösung. Um Formel (1) zu verwenden, stellen wir uns die Fläche der Figur, die durch die Bedingungen des Beispiels gegeben ist, als Summe der Flächen des Dreiecks vor OAB und gebogenes Trapez ABC. Bei der Berechnung der Fläche eines Dreiecks OAB Die Integrationsgrenzen sind die Abszissen der Punkte Ö Und A, und für die Figur ABC- Abszissen der Punkte A Und C (A ist der Schnittpunkt der Geraden O.A. und Parabeln, und C- der Schnittpunkt der Parabel mit der Achse Ochse). Wenn wir die Gleichungen einer Geraden und einer Parabel gemeinsam (als System) lösen, erhalten wir (die Abszisse des Punktes). A) und (die Abszisse eines weiteren Schnittpunkts der Geraden und der Parabel, der für die Lösung nicht benötigt wird). Ebenso erhalten wir , (Abszissen der Punkte C Und D). Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um die Fläche einer Figur zu ermitteln. Wir finden:

Beispiel 5. Finden Sie die Fläche eines gebogenen Trapezes ACDB, wenn die Gleichung der Kurve CD und Abszissen A Und B 1 bzw. 2.

Lösung. Lassen Sie uns diese Kurvengleichung durch das Spiel ausdrücken: Die Fläche des krummlinigen Trapezes wird mit der Formel (1) ermittelt:

.

Kommen wir zu den Fällen, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (2) berechnet werden kann.

Beispiel 6. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel und die x-Achse begrenzt wird ( Ochse ).

Lösung. Diese Abbildung befindet sich unterhalb der x-Achse. Um seine Fläche zu berechnen, verwenden wir daher Formel (2). Die Integrationsgrenzen sind die Abszisse und die Schnittpunkte der Parabel mit der Achse Ochse. Somit,

Beispiel 7. Finden Sie die Fläche, die zwischen der Abszissenachse ( Ochse) und zwei benachbarte Sinuswellen.

Lösung. Die Fläche dieser Figur kann mit Formel (2) ermittelt werden:

.

Suchen wir jeden Begriff einzeln:

.

.

Schließlich finden wir den Bereich:

.

Beispiel 8. Finden Sie die Fläche der Figur, die zwischen der Parabel und der Kurve eingeschlossen ist.

Lösung. Lassen Sie uns die Geradengleichungen durch das Spiel ausdrücken:

Die Fläche nach Formel (2) ergibt sich als

,

Wo A Und B- Abszissen der Punkte A Und B. Finden wir sie, indem wir die Gleichungen gemeinsam lösen:

Schließlich finden wir den Bereich:

Und schließlich Fälle, in denen die Fläche einer Figur mit Formel (3) berechnet werden kann.

Beispiel 9. Finden Sie die zwischen den Parabeln eingeschlossene Fläche der Figur Und .

Im vorherigen Abschnitt, der der Analyse der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals gewidmet ist, haben wir eine Reihe von Formeln zur Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes erhalten:

S (G) = ∫ a b f (x) d x für eine stetige und nicht negative Funktion y = f (x) auf dem Intervall [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x für eine stetige und nichtpositive Funktion y = f (x) auf dem Intervall [ a ; B ] .

Diese Formeln sind auf die Lösung relativ einfacher Probleme anwendbar. In der Realität werden wir oft mit komplexeren Zahlen arbeiten müssen. In diesem Zusammenhang widmen wir diesen Abschnitt einer Analyse von Algorithmen zur Berechnung der Fläche von Figuren, die durch Funktionen in expliziter Form begrenzt sind, d.h. wie y = f(x) oder x = g(y).

Satz

Die Funktionen y = f 1 (x) und y = f 2 (x) seien definiert und stetig auf dem Intervall [ a ; b ] und f 1 (x) ≤ f 2 (x) für jeden Wert x aus [ a ; B ] . Dann sieht die Formel zur Berechnung der Fläche der Figur G, begrenzt durch die Linien x = a, x = b, y = f 1 (x) und y = f 2 (x), wie folgt aus: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Eine ähnliche Formel gilt für die Fläche einer Figur, die durch die Linien y = c, y = d, x = g 1 (y) und x = g 2 (y) begrenzt wird: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Nachweisen

Schauen wir uns drei Fälle an, für die die Formel gültig sein wird.

Im ersten Fall ist unter Berücksichtigung der Eigenschaft der Flächenadditivität die Summe der Flächen der ursprünglichen Figur G und des krummlinigen Trapezes G 1 gleich der Fläche der Figur G 2. Das bedeutet es

Daher ist S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Wir können den letzten Übergang mithilfe der dritten Eigenschaft des bestimmten Integrals durchführen.

Im zweiten Fall gilt die Gleichheit: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Die grafische Darstellung sieht folgendermaßen aus:

Wenn beide Funktionen nicht positiv sind, erhalten wir: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Die grafische Darstellung sieht folgendermaßen aus:

Betrachten wir nun den allgemeinen Fall, wenn y = f 1 (x) und y = f 2 (x) die O x-Achse schneiden.

Wir bezeichnen die Schnittpunkte als x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Diese Punkte teilen das Segment [a; b ] in n Teile x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, wobei α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Somit,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Den letzten Übergang können wir mithilfe der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals durchführen.

Lassen Sie uns den allgemeinen Fall in der Grafik veranschaulichen.

Die Formel S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kann als bewiesen gelten.

Kommen wir nun zur Analyse von Beispielen zur Berechnung der Fläche von Figuren, die durch die Linien y = f (x) und x = g (y) begrenzt werden.

Wir beginnen unsere Betrachtung eines der Beispiele mit der Erstellung eines Diagramms. Das Bild ermöglicht es uns, komplexe Formen als Vereinigungen einfacherer Formen darzustellen. Wenn es für Sie schwierig ist, Diagramme und Figuren darauf zu konstruieren, können Sie den Abschnitt über grundlegende Elementarfunktionen, die geometrische Transformation von Funktionsgraphen sowie das Konstruieren von Diagrammen während des Studiums einer Funktion studieren.

Beispiel 1

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu bestimmen, die durch die Parabel y = - x 2 + 6 x - 5 und die Geraden y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 begrenzt wird.

Lösung

Zeichnen wir die Linien im Diagramm im kartesischen Koordinatensystem.

Auf dem Segment [ 1 ; 4 ] Der Graph der Parabel y = - x 2 + 6 x - 5 liegt über der Geraden y = - 1 3 x - 1 2. Um die Antwort zu erhalten, verwenden wir in diesem Zusammenhang die zuvor erhaltene Formel sowie die Methode zur Berechnung des bestimmten Integrals mithilfe der Newton-Leibniz-Formel:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Antwort: S(G) = 13

Schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an.

Beispiel 2

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Linien y = x + 2, y = x, x = 7 begrenzt wird.

Lösung

In diesem Fall haben wir nur eine Gerade, die parallel zur x-Achse liegt. Das ist x = 7. Dies erfordert, dass wir die zweite Grenze der Integration selbst finden.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen und darauf die in der Problemstellung angegebenen Linien zeichnen.

Wenn wir den Graphen vor Augen haben, können wir leicht feststellen, dass die untere Integrationsgrenze die Abszisse des Schnittpunkts des Graphen der Geraden y = x und der Halbparabel y = x + 2 sein wird. Um die Abszisse zu finden, verwenden wir die Gleichungen:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Es stellt sich heraus, dass die Abszisse des Schnittpunkts x = 2 ist.

Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass sich im allgemeinen Beispiel in der Zeichnung die Geraden y = x + 2, y = x im Punkt (2; 2) schneiden, sodass solche detaillierten Berechnungen möglicherweise unnötig erscheinen. Wir haben hier nur eine so detaillierte Lösung bereitgestellt, weil die Lösung in komplexeren Fällen möglicherweise nicht so offensichtlich ist. Dies bedeutet, dass es besser ist, die Koordinaten des Schnittpunkts von Linien immer analytisch zu berechnen.

Auf dem Intervall [ 2 ; 7] Der Graph der Funktion y = x liegt über dem Graphen der Funktion y = x + 2. Wenden wir die Formel an, um die Fläche zu berechnen:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Antwort: S (G) = 59 6

Beispiel 3

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Graphen der Funktionen y = 1 x und y = - x 2 + 4 x - 2 begrenzt wird.

Lösung

Zeichnen wir die Linien im Diagramm ein.

Definieren wir die Grenzen der Integration. Dazu ermitteln wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden, indem wir die Ausdrücke 1 x und - x 2 + 4 x - 2 gleichsetzen. Vorausgesetzt, dass x nicht Null ist, wird die Gleichheit 1 x = - x 2 + 4 x - 2 äquivalent zur Gleichung dritten Grades - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten. Um Ihre Erinnerung an den Algorithmus zum Lösen solcher Gleichungen aufzufrischen, können wir auf den Abschnitt „Kubische Gleichungen lösen“ verweisen.

Die Wurzel dieser Gleichung ist x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Wenn wir den Ausdruck - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 durch das Binomial x - 1 dividieren, erhalten wir: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Die restlichen Wurzeln finden wir aus der Gleichung x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Wir haben das Intervall x ∈ 1 gefunden; 3 + 13 2, in der die Figur G oberhalb der blauen und unterhalb der roten Linie enthalten ist. Dies hilft uns, die Fläche der Figur zu bestimmen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Antwort: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Kurven y = x 3, y = - log 2 x + 1 und die Abszisse begrenzt wird.

Lösung

Zeichnen wir alle Linien im Diagramm ein. Den Graphen der Funktion y = - log 2 x + 1 erhalten wir aus dem Graphen y = log 2 x, wenn wir ihn symmetrisch zur x-Achse positionieren und um eine Einheit nach oben verschieben. Die Gleichung der x-Achse lautet y = 0.

Markieren wir die Schnittpunkte der Linien.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, schneiden sich die Graphen der Funktionen y = x 3 und y = 0 im Punkt (0; 0). Dies geschieht, weil x = 0 die einzige echte Wurzel der Gleichung x 3 = 0 ist.

x = 2 ist die einzige Wurzel der Gleichung - log 2 x + 1 = 0, daher schneiden sich die Graphen der Funktionen y = - log 2 x + 1 und y = 0 im Punkt (2; 0).

x = 1 ist die einzige Wurzel der Gleichung x 3 = - log 2 x + 1 . Dabei schneiden sich die Graphen der Funktionen y = x 3 und y = - log 2 x + 1 im Punkt (1; 1). Die letzte Aussage ist vielleicht nicht offensichtlich, aber die Gleichung x 3 = - log 2 x + 1 kann nicht mehr als eine Wurzel haben, da die Funktion y = x 3 streng wachsend ist und die Funktion y = - log 2 x + 1 ist streng abnehmend.

Die weitere Lösung beinhaltet mehrere Optionen.

Option 1

Wir können uns die Figur G als Summe zweier krummliniger Trapeze über der x-Achse vorstellen, von denen sich das erste unterhalb der Mittellinie auf dem Segment x ∈ 0 befindet; 1, und der zweite liegt unterhalb der roten Linie auf dem Segment x ∈ 1; 2. Dies bedeutet, dass die Fläche gleich S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ist.

Option Nr. 2

Abbildung G kann als Differenz zweier Abbildungen dargestellt werden, von denen sich die erste oberhalb der x-Achse und unterhalb der blauen Linie auf dem Segment x ∈ 0 befindet; 2 und die zweite zwischen der roten und blauen Linie auf dem Segment x ∈ 1; 2. Dadurch können wir den Bereich wie folgt finden:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In diesem Fall müssen Sie zum Ermitteln der Fläche eine Formel der Form S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y verwenden. Tatsächlich können die Linien, die die Figur begrenzen, als Funktionen des Arguments y dargestellt werden.

Lösen wir die Gleichungen y = x 3 und - log 2 x + 1 bezüglich x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Wir erhalten die benötigte Fläche:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Antwort: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Linien y = x, y = 2 · 3 x - 3, y = - 1 · 2 x + 4 begrenzt wird.

Lösung

Mit einer roten Linie zeichnen wir die durch die Funktion y = x definierte Linie ein. Wir zeichnen die Linie y = - 1 2 x + 4 in Blau und die Linie y = 2 3 x - 3 in Schwarz.

Markieren wir die Schnittpunkte.

Finden wir die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen y = x und y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Überprüfen Sie: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nicht Ist die Lösung der Gleichung x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ist die Lösung der Gleichung ⇒ (4; 2) Schnittpunkt i y = x und y = - 1 2 x + 4

Finden wir den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y = x und y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Überprüfen Sie: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ist die Lösung der Gleichung ⇒ (9 ; 3) Punkt a s y = x und y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Es gibt keine Lösung für die Gleichung

Finden wir den Schnittpunkt der Geraden y = - 1 2 x + 4 und y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) Schnittpunkt y = - 1 2 x + 4 und y = 2 3 x - 3

Methode Nr. 1

Stellen wir uns die Fläche der gewünschten Figur als Summe der Flächen einzelner Figuren vor.

Dann ist die Fläche der Figur:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Methode Nr. 2

Die Fläche der Originalfigur lässt sich als Summe zweier anderer Figuren darstellen.

Dann lösen wir die Gleichung der Geraden relativ zu x und wenden erst danach die Formel zur Berechnung der Fläche der Figur an.

y = x ⇒ x = y 2 rote Linie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 schwarze Linie y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Die Fläche ist also:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Wie Sie sehen, sind die Werte gleich.

Antwort: S (G) = 11 3

Ergebnisse

Um die Fläche einer Figur zu ermitteln, die durch gegebene Linien begrenzt wird, müssen wir Linien auf einer Ebene konstruieren, ihre Schnittpunkte ermitteln und die Formel zur Ermittlung der Fläche anwenden. In diesem Abschnitt haben wir die häufigsten Varianten von Aufgaben untersucht.

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Wir haben herausgefunden, wie man die Fläche eines gebogenen Trapezes G findet. Hier sind die resultierenden Formeln:
für eine stetige und nicht negative Funktion y=f(x) auf dem Segment,
für eine stetige und nicht positive Funktion y=f(x) auf dem Segment.

Allerdings muss man sich bei der Lösung von Flächensuchproblemen häufig mit komplexeren Zahlen auseinandersetzen.

In diesem Artikel werden wir über die Berechnung der Fläche von Figuren sprechen, deren Grenzen explizit durch Funktionen spezifiziert werden, also als y=f(x) oder x=g(y), und wir werden die Lösung von typisch im Detail analysieren Beispiele.

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Formel zur Berechnung der Fläche einer durch Linien y=f(x) oder x=g(y) begrenzten Figur.

Satz.

Die Funktionen und seien im Intervall und für jeden Wert x von definiert und stetig. Dann Bereich der Figur G, begrenzt durch Linien x=a , x=b und wird nach der Formel berechnet .

Eine ähnliche Formel gilt für die Fläche einer Figur, die durch die Linien y=c, y=d und begrenzt wird: .

Nachweisen.

Zeigen wir die Gültigkeit der Formel für drei Fälle:

Im ersten Fall, wenn beide Funktionen aufgrund der Additivitätseigenschaft der Fläche nicht negativ sind, ist die Summe der Fläche der ursprünglichen Figur G und des krummlinigen Trapezes gleich der Fläche der Figur. Somit,

Deshalb, . Der letzte Übergang ist aufgrund der dritten Eigenschaft des bestimmten Integrals möglich.

Auch im zweiten Fall gilt die Gleichheit. Hier ist eine grafische Darstellung:

Im dritten Fall, wenn beide Funktionen nichtpositiv sind, gilt . Lassen Sie uns dies veranschaulichen:

Jetzt können wir zum allgemeinen Fall übergehen, wenn die Funktionen und die Ox-Achse schneiden.

Bezeichnen wir die Schnittpunkte. Diese Punkte teilen das Segment in n Teile, wobei . Die Figur G kann durch eine Zahlenvereinigung dargestellt werden . Offensichtlich fällt es in seinem Intervall unter einen der drei zuvor betrachteten Fälle, daher werden ihre Bereiche als gefunden

Somit,

Der letzte Übergang ist aufgrund der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals gültig.

Grafische Darstellung des allgemeinen Falles.

Also die Formel bewiesen.

Es ist an der Zeit, mit der Lösung von Beispielen zum Ermitteln der Fläche von Figuren fortzufahren, die durch die Linien y=f(x) und x=g(y) begrenzt werden.

Beispiele für die Berechnung der Fläche einer Figur, die durch die Linien y=f(x) oder x=g(y) begrenzt wird.

Wir beginnen mit der Lösung jedes Problems, indem wir eine Figur auf einer Ebene konstruieren. Dadurch können wir uns eine komplexe Figur als eine Vereinigung einfacherer Figuren vorstellen. Wenn Sie Schwierigkeiten beim Aufbau haben, lesen Sie bitte die Artikel: ; Und .

Beispiel.

Berechnen Sie die Fläche einer durch eine Parabel begrenzten Figur und gerade Linien, x=1, x=4.

Lösung.

Zeichnen wir diese Linien auf einer Ebene.

Überall auf dem Segment der Graph einer Parabel oberhalb der Geraden. Daher wenden wir die zuvor erhaltene Formel für die Fläche an und berechnen das bestimmte Integral mithilfe der Newton-Leibniz-Formel:

Machen wir das Beispiel etwas komplizierter.

Beispiel.

Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur.

Lösung.

Wie unterscheidet sich das von früheren Beispielen? Früher hatten wir immer zwei Geraden parallel zur x-Achse, jetzt haben wir nur noch eine x=7. Es stellt sich sofort die Frage: Woher kommt die zweite Integrationsgrenze? Schauen wir uns hierzu die Zeichnung an.

Es wurde deutlich, dass die untere Integrationsgrenze bei der Ermittlung der Fläche einer Figur die Abszisse des Schnittpunkts des Graphen der Geraden y=x und der Halbparabel ist. Wir finden diese Abszisse aus der Gleichheit:

Daher ist die Abszisse des Schnittpunkts x=2.

Beachten Sie.

In unserem Beispiel und in der Zeichnung wird deutlich, dass sich die Geraden und y=x im Punkt (2;2) schneiden und die vorherigen Berechnungen unnötig erscheinen. Aber in anderen Fällen sind die Dinge möglicherweise nicht so offensichtlich. Wir empfehlen daher, die Abszissen und Ordinaten der Schnittpunkte von Geraden stets analytisch zu berechnen.

Offensichtlich liegt der Graph der Funktion y=x über dem Graphen der Funktion im Intervall. Zur Berechnung der Fläche wenden wir die Formel an:

Machen wir die Aufgabe noch schwieriger.

Beispiel.

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Funktionsgraphen und begrenzt wird .

Lösung.

Lassen Sie uns einen Graphen mit umgekehrter Proportionalität und Parabeln erstellen .

Bevor wir die Formel anwenden, um die Fläche einer Figur zu ermitteln, müssen wir die Integrationsgrenzen festlegen. Dazu ermitteln wir die Abszisse der Schnittpunkte der Geraden und setzen die Ausdrücke gleich und .

Für x-Werte ungleich Null gilt die Gleichheit entspricht der Gleichung dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie können den Abschnitt lesen, um sich den Algorithmus zur Lösung des Problems zu merken.

Es lässt sich leicht überprüfen, dass x=1 die Wurzel dieser Gleichung ist: .

Durch Teilen des Ausdrucks für das Binomial x-1 gilt:

Somit werden die verbleibenden Wurzeln aus der Gleichung ermittelt :

Aus der Zeichnung wurde nun deutlich, dass die Figur G oberhalb der blauen und unterhalb der roten Linie auf dem Intervall enthalten ist . Somit ist die erforderliche Fläche gleich

Schauen wir uns ein weiteres typisches Beispiel an.

Beispiel.

Berechnen Sie die Fläche einer durch Kurven begrenzten Figur und die Abszissenachse.

Lösung.

Machen wir eine Zeichnung.

Dies ist eine gewöhnliche Potenzfunktion mit einem Exponenten von einem Drittel, dem Graphen der Funktion kann aus dem Diagramm ermittelt werden, indem man es symmetrisch zur x-Achse darstellt und um eins erhöht.

Finden wir die Schnittpunkte aller Geraden.

Auf der Abszissenachse gilt die Gleichung y=0.

Die Graphen der Funktionen und y=0 schneiden sich im Punkt (0;0), da x=0 die einzige echte Wurzel der Gleichung ist.

Funktionsgraphen und y=0 schneiden sich im Punkt (2;0), da x=2 die einzige Wurzel der Gleichung ist .

Funktionsgraphen und schneiden sich im Punkt (1;1), da x=1 die einzige Wurzel der Gleichung ist . Diese Aussage ist nicht ganz offensichtlich, aber die Funktion ist streng zunehmend und - streng abnehmend also die Gleichung hat höchstens eine Wurzel.

Einziger Hinweis: In diesem Fall müssen Sie zur Ermittlung der Fläche eine Formel der Form verwenden . Das heißt, die Begrenzungslinien müssen als Funktionen des Arguments dargestellt werden y und die schwarze Linie.

Bestimmen wir die Schnittpunkte der Linien.

Beginnen wir mit den Funktionsgraphen und:

Finden wir den Schnittpunkt der Funktionsgraphen und:

Es bleibt noch der Schnittpunkt der Geraden zu finden und:

Wie Sie sehen, sind die Werte gleich.

Zusammenfassen.

Wir haben alle häufigsten Fälle analysiert, in denen die Fläche einer Figur ermittelt wird, die durch explizit definierte Linien begrenzt wird. Dazu müssen Sie in der Lage sein, Linien auf einer Ebene zu konstruieren, die Schnittpunkte der Linien zu finden und die Formel zur Flächenermittlung anzuwenden, was die Fähigkeit zur Berechnung bestimmter Integrale voraussetzt.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie mithilfe von Integralrechnungen die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur ermitteln. Zum ersten Mal begegnen wir der Formulierung eines solchen Problems in der Oberstufe, als wir gerade das Studium bestimmter Integrale abgeschlossen haben und es an der Zeit ist, mit der geometrischen Interpretation des erworbenen Wissens in der Praxis zu beginnen.

Was ist also erforderlich, um das Problem der Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen erfolgreich zu lösen:

• Fähigkeit, kompetente Zeichnungen anzufertigen;
• Fähigkeit, ein bestimmtes Integral mit der bekannten Newton-Leibniz-Formel zu lösen;
• Die Fähigkeit, eine profitablere Lösungsoption zu „sehen“ – d. h. Verstehen Sie, wie es in dem einen oder anderen Fall bequemer sein wird, die Integration durchzuführen? Entlang der x-Achse (OX) oder der y-Achse (OY)?
• Nun, was wären wir ohne korrekte Berechnungen? Dazu gehört auch das Verständnis, wie man diese andere Art von Integralen löst und numerische Berechnungen korrekt durchführt.

Algorithmus zur Lösung des Problems der Berechnung der Fläche einer durch Linien begrenzten Figur:

1. Wir erstellen eine Zeichnung. Es empfiehlt sich, dies großflächig auf einem karierten Blatt Papier zu tun. Wir unterschreiben den Namen dieser Funktion mit einem Bleistift über jedem Diagramm. Das Signieren der Diagramme erfolgt ausschließlich zur Vereinfachung weiterer Berechnungen. Nachdem man ein Diagramm der gewünschten Zahl erhalten hat, ist in den meisten Fällen sofort klar, welche Integrationsgrenzen verwendet werden. Somit lösen wir das Problem grafisch. Es kommt jedoch vor, dass die Werte der Grenzwerte gebrochen oder irrational sind. Daher können Sie zusätzliche Berechnungen durchführen. Fahren Sie mit Schritt zwei fort.

2. Wenn die Integrationsgrenzen nicht explizit angegeben sind, finden wir die Schnittpunkte der Graphen untereinander und prüfen, ob unsere grafische Lösung mit der analytischen übereinstimmt.

3. Als nächstes müssen Sie die Zeichnung analysieren. Je nachdem, wie die Funktionsgraphen angeordnet sind, gibt es unterschiedliche Ansätze, die Fläche einer Figur zu ermitteln. Schauen wir uns verschiedene Beispiele für die Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen an.

3.1. Die klassischste und einfachste Version des Problems besteht darin, die Fläche eines gebogenen Trapezes zu ermitteln. Was ist ein gebogenes Trapez? Dies ist eine flache Figur, die durch die x-Achse begrenzt wird (y = 0), gerade x = a, x = b und jede Kurve, die im Intervall von stetig ist A Vor B. Darüber hinaus ist diese Zahl nicht negativ und liegt nicht unterhalb der x-Achse. In diesem Fall ist die Fläche des krummlinigen Trapezes numerisch gleich einem bestimmten Integral, berechnet nach der Newton-Leibniz-Formel:

Beispiel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Durch welche Linien wird die Figur begrenzt? Wir haben eine Parabel y = x2 – 3x + 3, die sich oberhalb der Achse befindet OH, es ist nicht negativ, weil Alle Punkte dieser Parabel haben positive Werte. Als nächstes werden gerade Linien gegeben x = 1 Und x = 3, die parallel zur Achse verlaufen OU, sind die Grenzlinien der Figur links und rechts. Na und y = 0, es ist auch die x-Achse, die die Figur nach unten begrenzt. Die resultierende Figur ist schattiert, wie aus der Abbildung links ersichtlich ist. In diesem Fall können Sie sofort mit der Lösung des Problems beginnen. Vor uns liegt ein einfaches Beispiel eines gekrümmten Trapezes, das wir weiter mit der Newton-Leibniz-Formel lösen.

3.2. Im vorherigen Abschnitt 3.1 haben wir den Fall untersucht, dass sich ein gebogenes Trapez über der x-Achse befindet. Betrachten Sie nun den Fall, dass die Bedingungen des Problems dieselben sind, außer dass die Funktion unter der x-Achse liegt. Der Standard-Newton-Leibniz-Formel wird ein Minus hinzugefügt. Im Folgenden werden wir uns mit der Lösung eines solchen Problems befassen.

Beispiel 2 . Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

In diesem Beispiel haben wir eine Parabel y = x2 + 6x + 2, die von der Achse ausgeht OH, gerade x = -4, x = -1, y = 0. Hier y = 0 begrenzt die gewünschte Figur von oben. Direkte x = -4 Und x = -1 Dies sind die Grenzen, innerhalb derer das bestimmte Integral berechnet wird. Das Prinzip zur Lösung des Problems, die Fläche einer Figur zu finden, stimmt fast vollständig mit Beispiel Nummer 1 überein. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die gegebene Funktion nicht positiv ist, sondern auch im Intervall stetig [-4; -1] . Was meinst du mit nicht positiv? Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, hat die Figur, die innerhalb der gegebenen x liegt, ausschließlich „negative“ Koordinaten, was wir bei der Lösung des Problems sehen und im Gedächtnis behalten müssen. Wir suchen die Fläche der Figur nach der Newton-Leibniz-Formel, nur mit einem Minuszeichen am Anfang.

Der Artikel ist nicht abgeschlossen.

Die Funktion sei im Intervall nicht negativ und stetig. Dann ist entsprechend der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals die Fläche eines krummlinigen Trapezes, die oben durch den Graphen dieser Funktion, unten durch die Achse, links und rechts durch Geraden und begrenzt wird (siehe Abb. 2). nach der Formel berechnet

Beispiel 9. Finden Sie die Fläche einer Figur, die durch eine Linie begrenzt wird und Achse.

Lösung. Funktionsgraph ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind. Lass es uns bauen (Abb. 3). Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, ermitteln wir die Schnittpunkte der Geraden (Parabel) mit der Achse (Gerade). Dazu lösen wir das Gleichungssystem

Wir bekommen: , Wo , ; somit, , .

Reis. 3

Wir ermitteln die Fläche der Figur mit Formel (5):

Wenn die Funktion nichtpositiv und stetig auf dem Segment ist, dann wird die Fläche des krummlinigen Trapezes, die unten durch den Graphen dieser Funktion, oben durch die Achse, links und rechts durch Geraden und begrenzt wird, durch berechnet Formel

. (6)

Wenn die Funktion auf einem Segment stetig ist und an einer endlichen Anzahl von Punkten das Vorzeichen ändert, dann ist die Fläche der schattierten Figur (Abb. 4) gleich der algebraischen Summe der entsprechenden bestimmten Integrale:

Reis. 4

Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche der durch die Achse begrenzten Figur und den Graphen der Funktion bei .

Reis. 5

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5). Die benötigte Fläche ist die Summe der Flächen und . Lassen Sie uns jeden dieser Bereiche finden. Zunächst bestimmen wir die Grenzen der Integration, indem wir das System lösen Wir bekommen , . Somit:

;

.

Somit beträgt die Fläche der schattierten Figur

(Quadrateinheiten).

Reis. 6

Schließlich sei das krummlinige Trapez oben und unten durch die Funktionsgraphen begrenzt, die auf dem Segment und kontinuierlich sind.
und links und rechts - gerade Linien und (Abb. 6). Dann wird seine Fläche nach der Formel berechnet

. (8)

Beispiel 11. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien und begrenzt wird.

Lösung. Diese Abbildung ist in Abb. dargestellt. 7. Berechnen wir seine Fläche mit Formel (8). Beim Lösen des Gleichungssystems finden wir: ; somit, , . Auf dem Segment haben wir: . Das bedeutet, dass wir in Formel (8) als nehmen X, und in der Qualität – . Wir bekommen:

(Quadrateinheiten).

Komplexere Probleme der Flächenberechnung werden gelöst, indem die Figur in nicht überlappende Teile unterteilt und die Fläche der gesamten Figur als Summe der Flächen dieser Teile berechnet wird.

Reis. 7

Beispiel 12. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 8). Diese Figur kann als krummliniges Trapez betrachtet werden, das von unten durch die Achse, nach links und rechts durch Geraden und von oben durch Funktionsgraphen und begrenzt wird. Da die Figur von oben durch die Graphen zweier Funktionen begrenzt ist, teilen wir zur Berechnung ihrer Fläche diese Geradenfigur in zwei Teile (1 ist die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden und ). Die Fläche jedes dieser Teile wird mit der Formel (4) ermittelt:

(Quadrateinheiten); (Quadrateinheiten). Somit:

(Quadrateinheiten).

Reis. 8

X= j ( bei)

Reis. 9

Zusammenfassend stellen wir fest, dass, wenn ein krummliniges Trapez durch gerade Linien begrenzt ist und , Achse und kontinuierlich auf der Kurve (Abb. 9), dann wird seine Fläche durch die Formel ermittelt

Volumen eines Revolutionskörpers

Lassen Sie ein krummliniges Trapez, das durch den Graphen einer auf einem Segment stetigen Funktion, durch eine Achse, durch Geraden und begrenzt ist, um die Achse rotieren (Abb. 10). Dann wird das Volumen des resultierenden Rotationskörpers nach der Formel berechnet

. (9)

Beispiel 13. Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Achse eines krummlinigen Trapezes erhalten wird, das durch eine Hyperbel, gerade Linien und eine Achse begrenzt wird.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 11).

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass . Aus Formel (9) erhalten wir

.

Reis. 10

Reis. elf

Volumen eines Körpers, das durch Drehung um eine Achse entsteht OU krummliniges Trapez, das durch gerade Linien begrenzt wird y = c Und y = d, Achse OU und ein Diagramm einer auf einem Segment stetigen Funktion (Abb. 12), bestimmt durch die Formel

. (10)

X= j ( bei)

Reis. 12

Beispiel 14. Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um eine Achse entsteht OU krummliniges Trapez, das durch Linien begrenzt wird X 2 = 4bei, y = 4, x = 0 (Abb. 13).

Lösung. Entsprechend den Bedingungen des Problems finden wir die Grenzen der Integration: , . Mit Formel (10) erhalten wir:

Reis. 13

Bogenlänge einer ebenen Kurve

Die durch die Gleichung gegebene Kurve soll in der Ebene liegen (Abb. 14).

Reis. 14

Definition. Unter der Länge eines Bogens wird die Grenze verstanden, bis zu der die Länge einer in diesen Bogen eingeschriebenen gestrichelten Linie tendiert, wenn die Anzahl der Glieder der gestrichelten Linie gegen Unendlich geht und die Länge des größten Glieds gegen Null geht.

Wenn eine Funktion und ihre Ableitung auf dem Segment stetig sind, wird die Bogenlänge der Kurve mit der Formel berechnet

. (11)

Beispiel 15. Berechnen Sie die Bogenlänge der zwischen den Punkten eingeschlossenen Kurve .

Lösung. Aus den Problembedingungen, die wir haben . Mit Formel (11) erhalten wir:

.

4. Unechte Integrale
mit unendlichen Integrationsgrenzen

Bei der Einführung des Konzepts eines bestimmten Integrals wurde davon ausgegangen, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt waren:

a) Grenzen der Integration A und sind endlich;

b) Der Integrand ist auf das Intervall beschränkt.

Ist mindestens eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, wird das Integral aufgerufen nicht dein eigenes.

Betrachten wir zunächst uneigentliche Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen.

Definition. Dann sei die Funktion im Intervall definiert und stetig und rechts unbegrenzt (Abb. 15).

Wenn das uneigentliche Integral konvergiert, ist dieser Bereich endlich; Wenn das uneigentliche Integral divergiert, ist dieser Bereich unendlich.

Reis. 15

Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen unteren Integrationsgrenze wird ähnlich definiert:

. (13)

Dieses Integral konvergiert, wenn der Grenzwert auf der rechten Seite der Gleichheit (13) existiert und endlich ist; andernfalls heißt das Integral divergent.

Ein uneigentliches Integral mit zwei unendlichen Integrationsgrenzen ist wie folgt definiert:

, (14)

wobei c ein beliebiger Punkt des Intervalls ist. Das Integral konvergiert nur, wenn beide Integrale auf der rechten Seite der Gleichung (14) konvergieren.

;

G) = [wähle ein vollständiges Quadrat im Nenner: ] = [Ersatz:

] =

Das bedeutet, dass das uneigentliche Integral konvergiert und sein Wert gleich ist.