Konstruieren Sie ein Bild von Zahlen auf der komplexen Ebene. Geometrische Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen und
Koordinate
Flugzeug

Das geometrische Modell der Menge R der reellen Zahlen ist die Zahlenlinie. Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt

An
Zahlenstrahl und jeder Punkt auf der Geraden
nur eins passt
reelle Zahl!

Durch Hinzufügen einer weiteren Dimension zur Zahlenlinie, die der Menge aller reellen Zahlen entspricht – der Linie, die die Menge der reinen Zahlen enthält

Durch Addition zum Zahlenstrahl entsprechend der Menge
aller reellen Zahlen eine weitere Dimension -
eine gerade Linie, die eine Menge rein imaginärer Zahlen enthält –
wir erhalten eine Koordinatenebene, in der jeweils
die komplexe Zahl a+bi kann zugeordnet werden
Punkt (a; b) der Koordinatenebene.
i=0+1i entspricht Punkt (0;1)
2+3i entspricht Punkt (2;3)
-i-4 entspricht Punkt (-4;-1)
5=5+1i entspricht Melancholie (5;0)

Geometrische Bedeutung der Konjugationsoperation

! Der Steckvorgang erfolgt axial
Symmetrie um die Abszissenachse.
!! Miteinander konjugiert
komplexe Zahlen haben den gleichen Abstand von
Herkunft.
!!! Vektoren, die darstellen
konjugierte Zahlen, zur Achse geneigt
Abszisse im gleichen Winkel, aber
befindet sich auf gegenüberliegenden Seiten von
dieser Achse.

Bild reeller Zahlen

Bild komplexer Zahlen

Algebraisch
Weg
Bilder:
Komplexe Zahl
a+bi ist abgebildet
ebener Punkt
mit Koordinaten
(a;b)

Beispiele für die Darstellung komplexer Zahlen auf der Koordinatenebene

(Wir sind interessiert
komplexe Zahlen
z=x+yi , wofür
x=-4. Das ist die Gleichung
gerade,
parallele Achse
Ordinate)
bei
X= - 4
Gültig
Teil ist -4
0
X

Zeichnen Sie auf der Koordinatenebene die Menge aller komplexen Zahlen ein, für die gilt:

Imaginärer Teil
ist gerade
eindeutig
natürlich
Nummer
(Wir sind interessiert
komplexe Zahlen
z=x+yi, wofür
y=2,4,6,8.
Geometrisches Bild
besteht aus vier
gerade, parallel
x-Achse)
bei
8
6
4
2
0
X

Gehen) Zahlen.

2. Algebraische Darstellungsform komplexer Zahlen

Komplexe Zahl oder Komplex, ist eine Zahl bestehend aus zwei Zahlen (Teile) – real und imaginär.

Real Jede positive oder negative Zahl heißt beispielsweise + 5, - 28 usw. Bezeichnen wir eine reelle Zahl mit dem Buchstaben „L“.

Imaginär ist eine Zahl, die dem Produkt einer reellen Zahl und der Quadratwurzel der negativen Einheit entspricht, zum Beispiel 8, - 20 usw.

Eine negative Einheit heißt imaginär und wird mit dem Buchstaben „yot“ bezeichnet:

Bezeichnen wir die reelle Zahl in der imaginären Zahl mit dem Buchstaben „M“.

Dann kann die imaginäre Zahl wie folgt geschrieben werden: j M. In diesem Fall kann die komplexe Zahl A wie folgt geschrieben werden:

A = L + jM (2).

Diese Form des Schreibens einer komplexen Zahl (komplex), die eine algebraische Summe der Real- und Imaginärteile ist, heißt algebraisch.

Beispiel 1. Stellen Sie in algebraischer Form einen Komplex dar, dessen Realteil 6 und dessen Imaginärteil 15 ist.

Lösung. A = 6 +j 15.

Zusätzlich zur algebraischen Form kann eine komplexe Zahl durch drei weitere dargestellt werden:

1. Grafik;

2. trigonometrisch;

3. indikativ.

Eine solche Formenvielfalt ist dramatisch vereinfacht Berechnungen Sinusgrößen und ihre grafische Darstellung.

Schauen wir uns nacheinander die grafische, trigonometrische und exponentielle Darstellung an.

neue Formen der Darstellung komplexer Zahlen.

Grafische Form der Darstellung komplexer Zahlen

Zur grafischen Darstellung komplexer Zahlen direkt

Kohlenstoff-Koordinatensystem. In einem regulären (Schul-)Koordinatensystem werden positive oder negative Werte entlang der Achsen „x“ (Abszisse) und „y“ (Ordinate) aufgetragen. real Zahlen.

Im Koordinatensystem der symbolischen Methode entlang der „x“-Achse

Reelle Zahlen werden in Form von Segmenten aufgetragen, und imaginäre Zahlen werden entlang der „y“-Achse aufgetragen

Reis. 1. Koordinatensystem zur grafischen Darstellung komplexer Zahlen

Daher wird die x-Achse Achse der reellen Größen oder kurz Achse genannt real Achse.

Die Ordinatenachse wird Achse der imaginären Größen oder genannt imaginär Achse.

Die Ebene selbst (also die Zeichenebene), auf der komplexe Zahlen oder Größen dargestellt werden, heißt umfassend Wohnung.

In dieser Ebene wird die komplexe Zahl A = L + j M durch den Vektor A dargestellt

(Abb. 2), dessen Projektion auf die reale Achse gleich seinem Realteil Re A = A" = L ist und dessen Projektion auf die imaginäre Achse gleich dem Imaginärteil Im A = A" = M ist.

(Re – aus dem Englischen real – real, real, real, Im – aus dem Englischen imaginary – unreal, imaginär).

Reis. 2. Grafische Darstellung einer komplexen Zahl

In diesem Fall kann die Zahl A wie folgt geschrieben werden

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Anhand einer grafischen Darstellung der Zahl A in der komplexen Ebene führen wir neue Definitionen ein und erhalten einige wichtige Beziehungen:

1. die Länge des Vektors A heißt Modul Vektor und wird mit |A| bezeichnet.

Nach dem Satz des Pythagoras

|A| = (4) .

2. Winkel α, gebildet durch Vektor A und reale positive Halbwertszahl

die Achse heißt Streit Vektor A und wird durch seinen Tangens bestimmt:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Also für eine grafische Darstellung einer komplexen Zahl

A = A" + A" in Form eines Vektors benötigen Sie:

1. Ermitteln Sie den Modul des Vektors |A| gemäß Formel (4);

2. Finden Sie das Argument des Vektors tan α mithilfe der Formel (5);

3. Finden Sie den Winkel α aus der Beziehung α = arc tan α;

4. Zeichnen Sie im Koordinatensystem j (x) ein Hilfsmittel

Gerade Linie und zeichnen Sie darauf in einem bestimmten Maßstab ein Segment, das dem Absolutwert des Vektors |A| entspricht.

Beispiel 2. Stellen Sie die komplexe Zahl A = 3 + j 4 in grafischer Form dar.

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Trigonometrische Form einer komplexen Zahl.

2015-06-04

Reale und imaginäre Achse
Komplexes Zahlenargument
Hauptargument einer komplexen Zahl
Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Die Angabe einer komplexen Zahl $z = a+bi$ entspricht der Angabe zweier reeller Zahlen $a,b$ – des Real- und Imaginärteils dieser komplexen Zahl. Aber ein geordnetes Zahlenpaar $(a,b)$ wird im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem durch einen Punkt mit den Koordinaten $(a, b)$ dargestellt. Somit kann dieser Punkt auch als Abbild für die komplexe Zahl $z$ dienen: Es wird eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen komplexen Zahlen und Punkten der Koordinatenebene hergestellt.

Wenn die Koordinatenebene zur Darstellung komplexer Zahlen verwendet wird, wird die $Ox$-Achse üblicherweise als Realachse bezeichnet (da der Realteil der Zahl als Abszisse des Punktes angesehen wird) und die $Oy$-Achse als Imaginärachse (da der Imaginärteil der Zahl als Ordinate des Punktes genommen wird).

Die durch den Punkt $M(a,b)$ dargestellte komplexe Zahl $z$ wird Affix dieses Punktes genannt. In diesem Fall werden reelle Zahlen durch Punkte dargestellt, die auf der reellen Achse liegen, und alle rein imaginären Zahlen $bi$ (für $a = 0$) werden durch Punkte dargestellt, die auf der imaginären Achse liegen. Die Zahl Null wird durch den Punkt O dargestellt.

Abb.1
In Abb. 1, Bilder der Zahlen $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Zwei komplexe konjugierte Zahlen werden durch Punkte dargestellt, die symmetrisch zur $Ox$-Achse liegen (Punkte $z_(1)$ und $z_(8)$ in Abb. 1).

Reis. 2
Einer komplexen Zahl $z$ ist oft nicht nur der Punkt $M$ zugeordnet, der diese Zahl darstellt, sondern auch der Vektor $\vec(OM)$, der von $O$ nach $M$ führt; Die Darstellung der Zahl $z$ als Vektor ist aus Sicht der geometrischen Interpretation der Additions- und Subtraktionswirkung komplexer Zahlen praktisch. In Abb. 2, und es wird gezeigt, dass der Vektor, der die Summe der komplexen Zahlen $z_(1), z_(2)$ darstellt, als Diagonale eines Parallelogramms erhalten wird, das aus den Vektoren $\vec(OM_(1)), \vec konstruiert wird (OM_(2)) $ repräsentiert Begriffe. Diese Regel zum Addieren von Vektoren wird als Parallelogrammregel bezeichnet (z. B. zum Addieren von Kräften oder Geschwindigkeiten in einem Physikkurs). Die Subtraktion kann auf die Addition mit dem entgegengesetzten Vektor reduziert werden (Abb. 2, b).

Reis. 3
Die Lage eines Punktes auf einer Ebene kann bekanntlich auch durch seine Polarkoordinaten $r, \phi$ angegeben werden. Somit wird auch die komplexe Zahl – der Affix eines Punktes – durch die Angabe von $r$ und $\phi$ bestimmt. Aus Abb. 3 ist klar, dass $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ gleichzeitig der Modul der komplexen Zahl $z$ ist: der Polarradius des Punktes, der die Zahl darstellt $z$ ist gleich dem Modul dieser Zahlen.

Der Polarwinkel eines Punktes $M$ wird als Argument der durch diesen Punkt repräsentierten Zahl $z$ bezeichnet.

Das Argument einer komplexen Zahl (wie der Polarwinkel eines Punktes) ist nicht mehrdeutig definiert; Wenn $\phi_(0)$ einer seiner Werte ist, werden alle seine Werte durch die Formel ausgedrückt
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Alle Werte des Arguments werden gemeinsam mit dem Symbol $Arg \:z$ bezeichnet.

Somit kann jede komplexe Zahl einem Paar reeller Zahlen zugeordnet werden: dem Modul und dem Argument der gegebenen Zahl, und das Argument ist mehrdeutig bestimmt. Im Gegenteil, wenn das Modul $|z| gegeben ist = r$ und das Argument $\phi$ entspricht einer einzelnen Zahl $z$ mit dem angegebenen Modul und Argument. Die Zahl Null hat besondere Eigenschaften: Ihr Modul ist Null und ihrem Argument ist kein bestimmter Wert zugewiesen.

Um Eindeutigkeit bei der Definition des Arguments einer komplexen Zahl zu erreichen, kann man sich darauf einigen, einen der Werte des Arguments als Hauptwert zu bezeichnen. Es wird durch das Symbol $arg \: z$ bezeichnet. Typischerweise wird als Hauptwert des Arguments ein Wert gewählt, der die Ungleichungen erfüllt
$0 \leq arg \: z (in anderen Fällen sind die Ungleichungen $- \pi

Achten wir auch auf die Werte des Arguments reeller und rein imaginärer Zahlen:
$arg \: a = \begin(cases) 0, & \text(if) a>0, \\
\pi, & \text(if) a $arg \: bi = \begin(cases) \frac(\pi)(2), & \text(if) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(if) b

Der Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl (als kartesische Koordinaten eines Punktes) werden durch ihren Modul und ihr Argument (Polarkoordinaten des Punktes) unter Verwendung der folgenden Formeln ausgedrückt:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
und eine komplexe Zahl kann in der folgenden trigonometrischen Form geschrieben werden:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(Das Schreiben einer Zahl in der Form $z = a + bi$ nennen wir einen Datensatz in algebraischer Form).

Die Bedingung für die Gleichheit zweier Zahlen in trigonometrischer Form lautet wie folgt: Zwei Zahlen $z_(1)$ und $z_(2)$ sind genau dann gleich, wenn ihre Moduli gleich sind und die Argumente gleich sind oder sich um unterscheiden eine ganzzahlige Anzahl von Perioden $2 \pi $.

Der Übergang vom Schreiben einer Zahl in algebraischer Form zum Schreiben in trigonometrischer Form und umgekehrt erfolgt nach den Formeln (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac( b )(a)$ (3)
und Formeln (1). Bei der Bestimmung des Arguments (seines Hauptwerts) können Sie den Wert einer der trigonometrischen Funktionen $\cos \phi$ oder $\sin \phi$ verwenden und das Vorzeichen der zweiten berücksichtigen.

Beispiel. Schreiben Sie die folgenden Zahlen in trigonometrischer Form:
a)6$ + 6i$; b) $3i$; c) $-10$.
Lösung: a) Wir haben
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
woher $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, und daher,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \right)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \left (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \right)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Komplexe Zahlen, ihre Darstellung auf einer Ebene. Algebraische Operationen mit komplexen Zahlen. Komplexe Paarung. Modul und Argument einer komplexen Zahl. Algebraische und trigonometrische Formen komplexer Zahlen. Wurzeln komplexer Zahlen. Exponentialfunktion eines komplexen Arguments. Eulers Formel. Exponentialform einer komplexen Zahl.

Beim Studium einer der grundlegenden Methoden der Integration, der Integration rationaler Brüche, ist es erforderlich, Polynome im komplexen Bereich zu berücksichtigen, um strenge Beweise durchzuführen. Lassen Sie uns daher zunächst einige Eigenschaften komplexer Zahlen und Operationen auf ihnen untersuchen.

Definition 7.1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a,b): z = (a,b) (der Begriff „geordnet“ bedeutet, dass beim Schreiben einer komplexen Zahl die Reihenfolge der Zahlen a und b wichtig ist: (a ,b)≠(b,a )). In diesem Fall heißt die erste Zahl a Realteil der komplexen Zahl z und wird mit a = Re z bezeichnet, und die zweite Zahl b heißt Imaginärteil von z: b = Im z.

Definition 7.2. Zwei komplexe Zahlen z 1 = (a 1 , b 1) und z 2 = (a 2 , b 2) sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, also a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Operationen mit komplexen Zahlen.

1. Menge komplexe Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2 z =(a,b) so dass a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Eigenschaften der Addition: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; B) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) es gibt eine komplexe Zahl 0 = (0,0): z + 0 =z für jede komplexe Zahl z.

2. Die Arbeit komplexe Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2) heißt komplexe Zahl z =(a,b) so dass a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Eigenschaften der Multiplikation: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; B) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Kommentar. Eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen ist die Menge der reellen Zahlen, definiert als komplexe Zahlen der Form ( A, 0). Es ist ersichtlich, dass bei der Definition von Operationen mit komplexen Zahlen die bekannten Regeln für die entsprechenden Operationen mit reellen Zahlen erhalten bleiben. Darüber hinaus behält die reelle Zahl 1 = (1,0) ihre Eigenschaft, wenn sie mit einer beliebigen komplexen Zahl multipliziert wird: 1∙ z = z.

Definition 7.3. Komplexe Zahl (0, B) wird genannt rein imaginär. Insbesondere wird die Zahl (0,1) aufgerufen imaginäre Einheit und ist mit dem Symbol gekennzeichnet ich.

Eigenschaften der imaginären Einheit:

1) i∙i=i² = -1; 2) rein imaginäre Zahl (0, B) kann als Produkt einer reellen Zahl dargestellt werden ( B, 0) und ich: (B, 0) = b∙i.

Daher kann jede komplexe Zahl z = (a,b) dargestellt werden als: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definition 7.4. Eine Notation der Form z = a + ib wird als algebraische Notationsform für eine komplexe Zahl bezeichnet.

Kommentar. Die algebraische Notation komplexer Zahlen ermöglicht Operationen mit ihnen nach den üblichen Regeln der Algebra.

Definition 7.5. Eine komplexe Zahl wird als komplex konjugiert von z = a + ib bezeichnet.

3. Subtraktion Komplexe Zahlen werden als Umkehroperation der Addition definiert: z =(a,b) heißt Differenz komplexer Zahlen z 1 =(a 1 , b 1) Und z 2 =(a 2 , b 2), Wenn a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Aufteilung Komplexe Zahlen werden als Umkehroperation der Multiplikation definiert: Zahl z = a + ib wird Divisionsquotient genannt z 1 = a 1 + ib 1 Und z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), wenn z 1 = z∙z 2 . Folglich können der Real- und Imaginärteil des Quotienten durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Geometrische Interpretation komplexer Zahlen.

Komplexe Zahl z =(a,b) kann als Punkt auf einer Ebene mit Koordinaten ( a,b) oder ein Vektor mit Ursprung im Ursprung und Ende im Punkt ( a,b).

In diesem Fall wird der Modul des resultierenden Vektors aufgerufen Modul komplexe Zahl und der Winkel, den der Vektor mit der positiven Richtung der Abszissenachse bildet Streit Zahlen. Bedenkt, dass a = ρ cos φ, b = ρ Sünde φ, Wo ρ = |z| - Modul z, und φ = arg z sein Argument ist, können Sie eine andere Form zum Schreiben einer komplexen Zahl erhalten:

Definition 7.6. Aufnahmetyp

z = ρ(weil φ + ich Sünde φ ) (7.1)

angerufen trigonometrische Form eine komplexe Zahl schreiben.

Der Modul und das Argument einer komplexen Zahl können wiederum durch ausgedrückt werden A Und B: . Folglich ist das Argument einer komplexen Zahl nicht eindeutig bestimmt, sondern bis zu einem Term, der ein Vielfaches von 2π ist.

Es ist leicht zu überprüfen, dass die Operation zum Addieren komplexer Zahlen der Operation zum Addieren von Vektoren entspricht. Betrachten wir die geometrische Interpretation der Multiplikation. Dann lasst es

Daher ist der Modul des Produkts zweier komplexer Zahlen gleich dem Produkt ihrer Module, und das Argument ist die Summe ihrer Argumente. Dementsprechend ist beim Dividieren der Modul des Quotienten gleich dem Verhältnis der Module des Dividenden und des Divisors, und das Argument ist die Differenz zwischen ihren Argumenten.

Ein Sonderfall der Multiplikationsoperation ist die Potenzierung:

- Moivres Formel.

Anhand der erhaltenen Beziehungen listen wir die Haupteigenschaften komplex konjugierter Zahlen auf:

Komplexe Zahlen

Grundlegendes Konzept

Die ersten Daten zur Zahl stammen aus der Steinzeit – dem Paläomelithium. Dies sind „eins“, „wenige“ und „viele“. Sie wurden in Form von Kerben, Knoten usw. aufgezeichnet. Die Entwicklung der Arbeitsprozesse und die Entstehung des Eigentums zwangen den Menschen, Zahlen und deren Namen zu erfinden. Zuerst erschienen die natürlichen Zahlen N, erhalten durch Zählen von Gegenständen. Dann bestand neben der Notwendigkeit des Zählens auch das Bedürfnis, Längen, Flächen, Volumina, Zeit und andere Größen zu messen, wobei Teile des verwendeten Maßes berücksichtigt werden mussten. So entstanden Brüche. Die formale Begründung der Konzepte gebrochener und negativer Zahlen erfolgte im 19. Jahrhundert. Satz von ganzen Zahlen Z– das sind natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mit Minuszeichen und Null. Ganze und gebrochene Zahlen bildeten eine Menge rationaler Zahlen Q, es erwies sich aber auch als unzureichend, um sich kontinuierlich ändernde Variablen zu untersuchen. Die Genesis zeigte erneut die Unvollkommenheit der Mathematik: die Unmöglichkeit, eine Gleichung dieser Form zu lösen X 2 = 3, weshalb irrationale Zahlen auftauchten ICH. Vereinigung der Menge rationaler Zahlen Q und irrationale Zahlen ICH– Menge reeller (oder reeller) Zahlen R. Dadurch wurde die Zahlengeraden gefüllt: Jede reelle Zahl entsprach einem Punkt darauf. Aber auf viele R Es gibt keine Möglichkeit, eine Gleichung der Form zu lösen X 2 = – A 2. Folglich entstand erneut die Notwendigkeit, den Zahlbegriff zu erweitern. So entstanden im Jahr 1545 komplexe Zahlen. Ihr Schöpfer J. Cardano nannte sie „rein negativ“. Der Name „imaginär“ wurde 1637 vom Franzosen R. Descartes eingeführt, 1777 schlug Euler vor, den Anfangsbuchstaben der französischen Zahl zu verwenden ich um die imaginäre Einheit zu bezeichnen. Dieses Symbol wurde dank K. Gauss allgemein verwendet.

Im 17. und 18. Jahrhundert wurde die Diskussion über die arithmetische Natur von Imaginären und ihre geometrische Interpretation fortgesetzt. Der Däne G. Wessel, der Franzose J. Argan und der Deutsche K. Gauss schlugen unabhängig voneinander vor, eine komplexe Zahl als Punkt auf der Koordinatenebene darzustellen. Später stellte sich heraus, dass es noch bequemer ist, eine Zahl nicht durch den Punkt selbst darzustellen, sondern durch einen Vektor, der vom Ursprung zu diesem Punkt verläuft.

Erst gegen Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts nahmen komplexe Zahlen ihren rechtmäßigen Platz in der mathematischen Analyse ein. Ihre erste Verwendung findet sich in der Theorie der Differentialgleichungen und in der Theorie der Hydrodynamik.

Definition 1.Komplexe Zahl wird als Ausdruck der Form bezeichnet, wobei X Und j sind reelle Zahlen, und ich– imaginäre Einheit, .

Zwei komplexe Zahlen und gleich dann und nur dann, wenn , .

Wenn , dann wird die Nummer angerufen rein imaginär; Wenn , dann ist die Zahl eine reelle Zahl, das heißt, die Menge R MIT, Wo MIT– eine Menge komplexer Zahlen.

Konjugieren zu einer komplexen Zahl wird als komplexe Zahl bezeichnet.

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen.

Jede komplexe Zahl kann durch einen Punkt dargestellt werden M(X, j) Flugzeug Oxy. Ein Paar reeller Zahlen bezeichnet auch die Koordinaten des Radiusvektors , d.h. Zwischen der Menge der Vektoren auf der Ebene und der Menge der komplexen Zahlen kann man eine Eins-zu-Eins-Entsprechung herstellen: .

Definition 2.Echter Teil X.

Bezeichnung: X= Re z(aus dem lateinischen Realis).

Definition 3.Imaginärer Teil komplexe Zahl ist eine reelle Zahl j.

Bezeichnung: j= Ich z(aus dem lateinischen Imaginarius).

Re z wird auf der Achse abgelegt ( Oh) Ich bin z wird auf der Achse abgelegt ( Oh), dann ist der der komplexen Zahl entsprechende Vektor der Radiusvektor des Punktes M(X, j), (oder M(Re z Ich bin z)) (Abb. 1).

Definition 4. Eine Ebene, deren Punkte einer Menge komplexer Zahlen zugeordnet sind, heißt komplexe Ebene. Die Abszissenachse wird aufgerufen echte Achse, da es reelle Zahlen enthält. Die y-Achse heißt imaginäre Achse, es enthält rein imaginäre komplexe Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet MIT.

Definition 5.Modul komplexe Zahl z = (X, j) heißt die Länge des Vektors: , d.h. .

Definition 6.Streit Die komplexe Zahl ist der Winkel zwischen der positiven Richtung der Achse ( Oh) und Vektor: .