Der Abstand zwischen einer Linie und einem Punkt. Abstand von einem Punkt zu einer Linie (2019). Lösen von Problemen beim Ermitteln der Entfernung von einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Linie im Raum

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Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als ob er sich einen Satz vorliest =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das mathematische Kreuzungszeichen, es kommt sehr oft vor. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten erfüllt sind

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung durch 2 geschnitten, erhält man die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind Das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Ermitteln Sie die relative Position der Linien:

Lösung basierend auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (im Allgemeinen erfüllt sie jede Zahl).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort:

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten; es ist besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall, der Räuber, hart bestraft.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antwort:

Die Beispielgeometrie sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Der kürzeste Weg ist am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach die vorgegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
2) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion:

Noch nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einer typischen und sehr wichtigen Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiere ich eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor auf:

Antwort:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Da das Problem mehrere Aktionen umfasst, ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe basierend auf derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es beim Rechnen zu Schwierigkeiten kommen, aber im Turm ist ein Mikrorechner eine große Hilfe, mit dem man gewöhnliche Brüche berechnen kann. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Wenn die Linien senkrecht zueinander stehen, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in die der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung Und Methode eins

Betrachten wir zwei Geraden, die durch Gleichungen in allgemeiner Form definiert sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau dieser ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Linien:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit der Umkehrfunktion lässt sich der Winkel selbst leicht ermitteln. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antwort:

In Ihrer Antwort geben wir den genauen Wert sowie einen mit einem Taschenrechner berechneten Näherungswert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch im Bogenmaß) an.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .

In der analytischen Geometrie wird die Lage einer Menge von Punkten, die zu einer Geraden im Raum gehören, durch eine Gleichung beschrieben. Für jeden Punkt im Raum, der diese Linie tangiert, ist es möglich, einen Parameter zu bestimmen, die sogenannte Abweichung. Wenn er gleich Null ist, liegt der Punkt auf der Linie, und jeder andere Wert der Abweichung, modulo, bestimmt den kürzesten Abstand zwischen der Linie und dem Punkt. Sie können es berechnen, wenn Sie die Gleichung der Geraden und die Koordinaten des Punktes kennen.

Anweisungen

1. Um das Problem in allgemeiner Form zu lösen, bezeichnen wir die Koordinaten des Punktes als A?(X?;Y?;Z?), die Koordinaten des Punktes, der ihm auf der betrachteten Geraden am nächsten liegt, als A?(X?;Y ?;Z?) und schreiben Sie die Geradengleichung in dieser Form auf: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Sie müssen die Länge des Segments A?A? bestimmen, die Eins das liegt auf der Geraden senkrecht zu der durch die Gleichung beschriebenen. Senkrechter („typischer“) Richtungsvektor? = (a;b;c) hilft, kanonische Gleichungen zu erstellen, die durch die Punkte A gehen? und ein? Gerade: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Schreiben Sie die kanonischen Gleichungen in parametrischer Form (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? und Z = c*t+Z?) und ermitteln Sie den Wert des Parameters t?, bei dem der Anfang und die Senkrechte liegen Linien schneiden sich. Ersetzen Sie dazu parametrische Ausdrücke in die Gleichung der anfänglichen Geraden: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z? ) – d = 0. Drücken Sie anschließend den Parameter t? aus der Gleichung aus: t? = (d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?).

3. Ersetzen Sie den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert t? zu den definierenden Koordinaten von Punkt A? parametrische Gleichungen: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? und Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Jetzt haben Sie die Koordinaten von 2 Punkten. Jetzt müssen Sie nur noch die Entfernung berechnen, die sie bestimmen (L).

4. Um den numerischen Wert des Abstands zwischen einem Punkt mit bekannten Koordinaten und einer geraden Linie zu erhalten, die durch die berühmte Gleichung gegeben wird, berechnen Sie die numerischen Werte der Koordinaten des Punktes A?(X?;Y?;Z?) mithilfe von Formeln aus dem vorherigen Schritt und ersetzen Sie die Werte in dieser Formel:L = (a *(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) Wenn das Ergebnis in allgemeiner Form erhalten werden muss, wird es durch eine ziemlich massive Gleichung beschrieben. Ersetzen Sie die Projektionswerte von Punkt A? auf drei Koordinatenachsen unter Verwendung der Gleichungen aus dem vorherigen Schritt und vereinfachen Sie die resultierende Gleichung so weit wie möglich: L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b ? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c *(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c ?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c* (2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c ?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b* Y? – b?* ((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*(( d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Wenn nur das numerische Ergebnis zählt und der Fortschritt bei der Lösung des Problems nicht von Bedeutung ist, verwenden Sie einen Online-Rechner, der speziell für die Berechnung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Linie im orthogonalen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums entwickelt wurde – http ://ru.onlinemschool.com/math/assistenz/Cartesian_coordinate/p_line. Hier können Sie die Koordinaten des Punktes in die entsprechenden Felder eingeben, die Liniengleichung in parametrischer oder kanonischer Form eingeben und dann das Ergebnis erhalten, indem Sie auf die Schaltfläche „Abstand vom Punkt zur Linie ermitteln“ klicken.

Video zum Thema

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge der Senkrechten, die vom Punkt zur Linie gezogen wird. In der beschreibenden Geometrie wird sie grafisch mit dem unten angegebenen Algorithmus ermittelt.

Algorithmus

1. Die gerade Linie wird in eine Position verschoben, in der sie parallel zu einer beliebigen Projektionsebene verläuft. Zu diesem Zweck werden Methoden zur Transformation orthogonaler Projektionen verwendet.
2. Von einem Punkt aus wird eine Senkrechte zu einer Geraden gezogen. Diese Konstruktion basiert auf dem Satz über die Projektion eines rechten Winkels.
3. Die Länge einer Senkrechten wird durch Transformation ihrer Projektionen oder Verwendung bestimmt Weg rechtwinkliges Dreieck.

Die folgende Abbildung zeigt eine komplexe Zeichnung von Punkt M und Linie b, definiert durch das Segment CD. Sie müssen den Abstand zwischen ihnen ermitteln.

Nach unserem Algorithmus muss zunächst die Linie in eine Position parallel zur Projektionsebene verschoben werden. Es ist wichtig zu verstehen, dass sich der tatsächliche Abstand zwischen Punkt und Linie nach Durchführung der Transformationen nicht ändern sollte. Deshalb ist die Verwendung hier bequem Methode zum Flugzeugaustausch, bei dem es nicht darum geht, Figuren im Raum zu bewegen.

Nachfolgend sind die Ergebnisse des ersten Bauabschnitts dargestellt. Die Abbildung zeigt, wie parallel zu b eine zusätzliche Frontalebene P 4 eingeführt wird. Im neuen System (P 1, P 4) haben die Punkte C"" 1, D"" 1, M"" 1 den gleichen Abstand von der X 1-Achse wie C"", D"", M"" von die Achse X.

Bei der Ausführung des zweiten Teils des Algorithmus senken wir von M"" 1 die Senkrechte M"" 1 N"" 1 auf die Gerade b"" 1, da der rechte Winkel MND zwischen b und MN auf die Ebene P projiziert wird 4 in voller Größe. Mithilfe der Kommunikationslinie bestimmen wir die Position des Punktes N“ und führen die Projektion M“N“ des Segments MN durch.

Im letzten Schritt müssen Sie die Größe des Segments MN anhand seiner Projektionen M"N" und M"" 1 N"" 1 bestimmen. Dazu bauen wir ein rechtwinkliges Dreieck M"" 1 N"" 1 N 0, dessen Schenkel N"" 1 N 0 gleich der Differenz (Y M 1 – Y N 1) des Abstands der Punkte M" und N" ist von der X 1-Achse. Die Länge der Hypotenuse M"" 1 N 0 des Dreiecks M"" 1 N"" 1 N 0 entspricht dem gewünschten Abstand von M nach b.

Zweite Lösung

• Parallel zur CD führen wir eine neue Frontalebene P 4 ein. Es schneidet P 1 entlang der X 1-Achse und X 1 ∥C"D". Gemäß der Methode zum Ersetzen von Ebenen bestimmen wir die Projektionen der Punkte C"" 1, D"" 1 und M"" 1, wie in der Abbildung gezeigt.
• Senkrecht zu C"" 1 D"" 1 bauen wir eine zusätzliche horizontale Ebene P 5, auf die die Gerade b auf den Punkt C" 2 = b" 2 projiziert wird.
• Der Abstand zwischen Punkt M und Linie b wird durch die Länge des Segments M" 2 C" 2 bestimmt, dargestellt in Rot.

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