Systeme linearer algebraischer Gleichungen in Excel lösen. Lösen eines Gleichungssystems in Excel mit der Cramer-Methode und der inversen Matrix. Implementierung der Jacobi-Methode mit MS Excel

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Das Thema „Lösen mathematischer Probleme mit Excel“ ist im Studiengang „Informatik und Informationstechnologien“ von Bedeutung, der in verschiedenen Phasen des Fachstudiums entsteht. Zum Beispiel das Berechnen algebraischer Ausdrücke, das Lösen quadratischer Gleichungen in verschiedenen Umgebungen, das Zeichnen von Funktionen usw.

Während des größten Teils des Mathematikstudiums erlernen die Studierenden verschiedene Methoden zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. Wenn Schüler im Algebraunterricht Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen erlernen, empfiehlt es sich im Informatikunterricht, zusätzliche, zeiteffizientere Hilfsmittel zur Lösung solcher Aufgaben in Betracht zu ziehen. Dieses Thema ist für die Schüler nicht schwierig, aber für den Lehrer ist es sehr arbeitsintensiv. Es ist notwendig, viele Notizen an der Tafel zu machen. Der Lehrer steht den Schülern während der gesamten Unterrichtsstunde mit dem Rücken zu. Um den Unterricht des Lehrers im Unterricht zu optimieren und effektiv zu gestalten, wurde eine Präsentation erstellt, die von Mathematiklehrern in jeder Phase des Themas bruchstückhaft oder vollständig genutzt werden kann und aufgrund der begrenzten Stundenzahl besonders für Informatiklehrer nützlich ist im Betreff.

Diese Lektion kann als integrierter Unterricht klassifiziert werden, der auf aktiver Basis unter Verwendung problembasierter Forschungstechnologie aufgebaut ist. Der Wert des Unterrichts liegt darin, dass die Schüler standardmäßige mathematische Probleme auf nicht standardmäßige Weise lösen – unter Verwendung moderner Computertechnologien. Dadurch wird ein motivierendes Ziel erreicht – das Interesse wecken und den Bedarf an Kenntnissen in Mathematik und Informatik im wirklichen Leben demonstrieren. Während des Unterrichts demonstrieren die Schüler Computerkenntnisse, die Fähigkeit, mit dem Microsoft Office-Softwarepaket zu arbeiten, sowie Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sie im Mathematikunterricht erworben haben. Dadurch wird das pädagogische Ziel des Unterrichts erreicht: in der Mathematik Verallgemeinerung des Wissens zu den Themen: „Matrizen. Aktionen mit Matrizen. „Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Gauß-Methode“ in der Informatik entwickeln die Studierenden die Fähigkeit, mit tabellarischen Formeln zu arbeiten, und machen sich mit den Fähigkeiten von Excel zur Lösung verschiedener Gleichungen und Gleichungssysteme vertraut.

11. Klasse, Informatik.

Thema: „Verwendung des Tabellenkalkulationsprogramms MS Excel zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme.“

Das Thema ist für zwei Unterrichtsstunden ausgelegt.

Unterrichtsart: kombinierter Unterricht, Verbesserung von Kenntnissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Unterrichtsart: integriert.

Lernziele:

lehrreich:

• Wiederholung und Festigung der Kenntnisse der Studierenden über mathematische Apparate zum Thema;
• die Fähigkeit üben, von der mathematischen Notation von Ausdrücken zur Notation in einer Tabellenkalkulationsumgebung überzugehen;
• den Schülern die Rationalität der Verwendung von Tabellenkalkulationen zur Lösung von Systemen aus n linearen Gleichungen mit n Unbekannten demonstrieren;

Entwicklung von Aufmerksamkeit, Gedächtnis, Vorstellungskraft, Denken, Sprache. Interesse am Thema und selbstständige Arbeitsfähigkeiten entwickeln.

Entwicklung und Bildung:

• Entwicklung der Fähigkeit, zu analysieren, das Wesentliche hervorzuheben, zu vergleichen und Analogien aufzubauen;
• Entwicklung der Fähigkeit, vorhandenes Wissen und Fähigkeiten in einer neuen Situation anzuwenden;
• Flexibilität des Denkens entwickeln, den kürzesten Weg finden, um das Ziel zu erreichen; Konzentration, Rationalität und kritisches Denken entwickeln.
• Fähigkeit, interdisziplinäre Verbindungen herzustellen.
• Bildung von Fähigkeiten, die einen schnellen Wechsel der Arten von Bildungsaktivitäten ermöglichen.

Organisationsformen kognitiver Aktivität: frontal, individuell, gruppenweise, kollektiv.

Methoden und Techniken des Unterrichts: erklärend-illustrativer, problembezogener Vortrag, visuell-illustrativer, praktischer, heuristischer Dialog.

Ausstattung: Tafel, Computer, Multimedia-Beamer und Leinwand, Präsentation, Karten mit individuellen Aufgaben, Ordner mit elektronischem Material für den Unterricht.

Lehrmittel: Lehrerpräsentation MS PowerPoint „Lösen mathematischer Probleme mit Excel“, Internetressourcen.

Computersoftware: Microsoft Office 2007-Softwarepaket.

Unterrichtsstruktur

№	Künstlername	Methoden der pädagogischen Technik	Zeit (Min.)
1	Zeit organisieren.	Festlegung von Unterrichtszielen und Forschungsproblemen	2
2	Eröffnungsrede des Lehrers. Betrachtung. Kennenlernen des Themas, Zielsetzung.	Aktualisierung des Referenzwissens	10
4	Frontalarbeit mit der Klasse. Arbeiten mit Formeln in Excel. Relative und absolute Links. Anwendung logischer Funktionen. Anlage 2.	Neues Material lernen Bildung des Konzepts einer tabellarischen Formel. Teilweise Sucharbeit.	10
5	Präsentation des Lehrers.	Vorbereitung auf das Verständnis und die Anwendung des gelernten Stoffes. Wiederholung, Verallgemeinerung mathematischer Kenntnisse, ergänzt durch Demonstration neuer Excel-Funktionen. Ausbildung praktischer Arbeit. Erklärend - Veranschaulichung, Wiederholung und Verallgemeinerung notwendiger Kenntnisse aus der Mathematik unter Hinzufügung neuer Funktionen in Excel. Heuristisches Gespräch Präsentation des Lehrers.	25
6	Aufgaben für die praktische Arbeit. (Gemeinsam mit dem Lehrer durchgeführt. Anhang 3)	Konsolidierung (Schulung, Kompetenzentwicklung). Praktische Arbeit. Gespräch über Fragen aus dem Vortrag des Lehrers.	25
10	Praktische Arbeit. Anhang 3.	Zusammenfassung der Lektion. Kontrolle.	3
9	Analyse der Arbeit im Unterricht. Überprüfung der Erreichung des gesetzten Unterrichtsziels: Zusammenfassung des Lernstoffs, Durchführung praktischer Arbeiten, Schüleraktivität in allen Phasen des Unterrichts.	Hausaufgaben machen.	3
11	Hausaufgaben sind kreativ.	Selbsteinschätzung der Aktivität.	2
Betrachtung.

Zeitreserve von 10 Minuten für Einzelarbeit bei der Durchführung praktischer Arbeiten

Beschreibung der Lektion

• 1. Organisatorischer Moment.
• Der Lehrer teilt den Schülern das Thema und den Zweck der Lektion mit. Die Schüler notieren das Thema der Unterrichtsfolie auf der Titelseite.
• Beschreibt, wie die Lektion aufgebaut sein wird.

Stellt Probleme vor, die während des Unterrichts gelöst werden müssen.

2. Aktualisierung des Grundwissens.

Lehrer. Um eine Unterrichtsstunde zu diesem Thema erfolgreich durchführen zu können, müssen wir uns Material aus dem Mathematikunterricht „Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme“ und aus der Informatik „Arbeiten mit Formeln in Excel“ merken und wiederholen. Logische Formeln. Relative und absolute Referenzen.“

Öffnen Sie die Datei D://Lektionen_11/Lösung von SLAE/Anhang 2. Die Schüler haben eine Datei ohne Arbeitsblattlösung.

Frontalarbeit mit Studierenden zur Prüfung von Kenntnissen und Fähigkeiten im Umgang mit Formeln und Funktionen in Excel. Auf dem Bildschirm wird eine Beispieltabelle angezeigt.

in dem alle Felder ausgefüllt werden müssen. Die Studierenden schlagen Algorithmen zum Ausfüllen der Felder vor. Notieren Sie in Ihrem Notizbuch die Formel zum Ausfüllen der Spalte K (Gewinner, Preisträger) und vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit der auf dem Bildschirm angezeigten Lösung (Lösungsblatt, Anhang 2).

3. Neues Material studieren.

Lehrer

Welche Methoden zur Lösung linearer Gleichungen kennen Sie? Wenn Sie sich die in der Hausaufgabe der vorherigen Lektion veröffentlichte Datei nicht angesehen haben, können Sie die Datei D://Lessons_11/SLAE Solution/Appendix 1 öffnen.

Studenten

Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten, Cramer-Methode.

Lehrer

Schauen Sie sich die Beschreibung der Cramer-Methode an. Mit welchen Elementen müssen Sie bei der Anwendung dieser Methode arbeiten können?

Studenten

Mit Qualifikanten.

Lehrer

Diese. Bei Matrizen wird ein Beispiel einer Matrix auf dem Bildschirm angezeigt. Öffnen Sie die Datei D://Lessons_11/Solution of SLAE/Anhang 3, Beispielblatt und erledigen Sie die Aufgabe.

Die Studierenden öffnen das Dokument Anhang 3 (Blatt Beispiel 1).

Die auf dem Bildschirm dargestellten Aufgaben werden ausgeführt.

Lehrer

Für die Arbeit mit Matrizen in Excel gibt es spezielle Formeln, Formeln für die Arbeit mit Arrays, oder auch Tabellenformeln genannt.

Präsentation. Folie 3, 4. Die Schüler schreiben das Konzept einer tabellarischen Formel und die Merkmale ihrer Eingabe auf.

4. Vorbereitung auf das Verständnis und die Anwendung des untersuchten Materials. Praktische Arbeit.

Heuristisches Gespräch.

1. Zur Lösung welcher Probleme können tabellarische Formeln verwendet werden?

Die Antwort kann durch die von ihnen ausgeführte Aufgabe vorgegeben sein – Operationen mit Matrizen, wenn die Lösung auch eine Matrix sein soll.

2. Geben Sie das Konzept einer Matrix an? Kann jemand sagen, dass jede rechteckige Tabelle, die mit numerischen Werten gefüllt ist, eine Matrix ist?

Die Antwort ist ja. Folie 5

3. Welche Arten von Matrizen kennen Sie, wie unterscheiden sie sich voneinander? (Füllung, Dimension usw.)

Präsentieren Sie nach der Diskussion Folie 6.

4. Ist es möglich, mit Matrizen beliebige Aktionen auszuführen?

Die Schüler können einige Operationen mit Matrizen, Addition, Multiplikation mit einer Zahl usw. auflisten. Folie 7.

Der Lehrer informiert die Schüler über die vielfältigen Möglichkeiten der Excel-Tabelle für die Arbeit mit Matrizen.

Die Studierenden schreiben das Thema des Themenpunkts Folie 8 auf.

Wiederholung, Verallgemeinerung mathematischer Kenntnisse, ergänzt durch Demonstration neuer Excel-Funktionen.

Präsentationsfolien 9-14.

Die Demonstration jeder Folie wird durch Fragen zum Thema der Folie vorgegeben.

Im Notizbuch schreiben die Studierenden ausschließlich Excel-Funktionen für die Arbeit mit Matrizen auf und führen gleichzeitig praktische Übungsaufgaben aus den Blättern von Anhang 3 durch: Beispiel 2, Beispiel 3, Beispiel 4. Schauen Sie sich Beispiel 5, Anhang 3, Folie 14 genauer an .

Lehrer

Kommen wir nun direkt zum Lösen von SLAEs und machen uns mit der Methode vertraut, die Sie im Mathematikunterricht kennengelernt haben, das ist die Matrixmethode. Folie 16. Warum glauben Sie, dass Sie Systeme nicht mit der Matrixmethode gelöst haben?

Studenten

Schwierigkeiten bei der Berechnung der inversen Matrix

Lehrer

Notieren Sie in Ihrem Notizbuch den Algorithmus zur Lösung des Systems mit der Matrixmethode.

Öffnen Sie eine neue Excel-Arbeitsmappe und gemeinsam lösen wir das auf dem Bildschirm dargestellte System. Folien 18-21.

Der Lehrer öffnet die Datei – eine leere Übung – und löst gemeinsam mit den Schülern die Aufgabe.

Der Lösung liegt eine ausführliche Erklärung bei. Die Lösung der Studierenden wird mit dem Lösungsvorschlag im Vortrag verglichen. Folien 18-21.

Lehrer

Betrachten wir nun die Lösung von SLAEs mit der Cramer-Methode. Diese Methode ist Ihnen bekannt, aber im Mathematikunterricht haben Sie hauptsächlich Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gelöst. Warum? Folie 22.

Studenten

Die Berechnung von Determinanten nimmt viel Zeit in Anspruch.

Lehrer

Die Funktionen von Excel lösen dieses Problem. Öffnen Sie ein neues Blatt Papier im Buch und gemeinsam lösen wir das auf dem Bildschirm dargestellte Gleichungssystem.

Die Studierenden vergleichen ihre Lösungen mit der in der Präsentation vorgestellten Lösung. Folien 23-25.

5. Konsolidierung (heuristische Konversation, Schulung, Kompetenzentwicklung).

Diskussion des Themas nach Themen. Präsentation. Folie 26.

Praktische Arbeit in Gruppen: Gruppe (Übungen) Anhang 3 Blätter Beispiel 6, Beispiel 7, Gruppe (Technologen) Blatt Beispiel 8 Lösen Sie ein System mit der Gaußschen Methode (Sie können Internetressourcen nutzen), Gruppe (Programmierer) erstellen ein Programm in der Programmierung In der Sprache Pascal oder C# ist die Lösung eines Gleichungssystems mit der Cramer-Methode für eine begrenzte Anzahl von Zeilen und Spalten möglich.

6. Zusammenfassung der Lektion.

Überprüfen Sie die praktische Arbeit, besprechen Sie Probleme bei der Umsetzung mit jeder Gruppe. Wenn nicht alle Aufgaben erledigt wurden, passen Sie die Hausaufgaben an. Benotung für die Lektion.

Hausaufgaben. Zur Auswahl:

1. (Anhang 4) Vervollständigen Sie eine der Optionen auf der Karte, analysieren Sie Programme zur Lösung von Gleichungssystemen in Pascal aus theoretischem Material (Anhang 1)

2. Vervollständigen Sie eine der Optionen auf der Karte. Erstellen Sie ein separates Programm zum Lösen von Systemen mithilfe der Gaußschen Methode oder der Matrixmethode. Eine Gruppe von Programmierern finalisiert das Programm mithilfe der Cramer-Methode.

7. Fazit.

Die Erfahrung mit integriertem Unterricht zeigt, dass die Qualität des Wissens der Schüler zunimmt, es wird möglicherweise nicht in Noten ausgedrückt, aber ihr Horizont erweitert sich, die Kreativität entwickelt sich, das Interesse an den Fächern steigt und das Interesse am Lernen im Allgemeinen nimmt zu, es entsteht der Glaube, dass die Schüler es können mehr lernen, als laut Programm vorgesehen ist.

Die vorgeschlagene Lektion zum Inhalt und zur Umsetzung von Aufgaben scheint reichhaltig und mit Theorie und praktischen Übungen überladen zu sein, aber die Verwendung einer Präsentation und vorbereiteter Dateien (Anhang 3) hilft, alle geplanten Aktionen abzuschließen. Es wird empfohlen, diese Aktivität im Mathematikunterricht durchzuführen, wenn die Schüler bereits Methoden zur Lösung von SLAEs erlernt haben. Veröffentlichen Sie es eine Woche vor dem Studium dieses Themas per E-Mail. Tagebuch als Referenz, Informationsmaterial zu Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen und eine Beschreibung der Erstellung von Programmen zur Lösung von Gleichungssystemen in einer Programmiersprache.

Literatur

1. Voronina T.P. Bildung im Zeitalter neuer Informationstechnologien / T.P. Voronin.- M.: AMO, 2008. -147 S.

2. Glinskaya E. A. Interdisziplinäre Verbindungen in der Bildung / E. A. Glinskaya, S.V. Titova. – 3. Aufl. – Tula: Info, 2007. - 44 S.

3. Danilyuk D. Ya. Akademisches Fach als integriertes System / D. Ya. Danilyuk // Pädagogik. - 2007. - Nr. 4. - S. 24-28.

4. Ivanova M.A. Interdisziplinäre Verbindungen im Informatikunterricht / M.A. Ivanova, I.L. Kareva // Informatik und Bildung. – 2005. - Nr. 5. – S. 17–20.

5. A.V. Mogilev, N.I. Park, E.K. Henner „Informatik“, Moskau, ACADEMA, 2000

6. S.A. Nemnyugin, „Turbo PASCAL“, Workshop, St. Petersburg, 2002

Berechnen Sie die Werte der Wurzeln des gebildeten Gleichungssystems mit zwei Methoden: der inversen Matrix und der Cramer-Methode.

Geben wir diese Werte in die Zellen A2:C4 – Matrix A und Zellen D2:D4 – Matrix B ein.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Methode der inversen Matrix

Finden wir die Matrixinverse der Matrix A. Dazu geben wir in Zelle A9 die Formel =MOBR(A2:C4) ein. Wählen Sie anschließend den Bereich A9:C11 aus, beginnend mit der Zelle, die die Formel enthält. Drücken Sie die Taste F2 und dann die Tasten STRG+UMSCHALT+EINGABETASTE. Die Formel wird als Arrayformel eingefügt. =MOBR(A2:C4).
Finden wir das Produkt der Matrizen A-1 * b. Geben Sie in den Zellen F9:F11 die Formel =MULTIPLE(A9:C11,D2:D4) als Arrayformel ein. Wir bekommen in den Zellen F9:F11 Wurzeln der Gleichung:

Lösen eines Gleichungssystems mit der Cramer-Methode

Lösen wir das System mit der Cramer-Methode, dafür ermitteln wir die Determinante der Matrix.
Finden wir die Determinanten der Matrizen, die wir erhalten, indem wir eine Spalte durch Spalte b ersetzen.

Geben Sie in Zelle B16 die Formel =MOPRED(D15:F17) ein,

Geben Sie in Zelle B17 die Formel =MOPRED(D19:F21) ein.

Geben Sie in Zelle B18 die Formel =MOPRED(D23:F25) ein.

Finden wir die Wurzeln der Gleichung, dazu geben wir in Zelle B21 ein: =B16/$B$15, in Zelle B22 geben wir ein: = =B17/$B$15, in Zelle B23 geben wir ein: ==B18/$B$15 .

Lassen Sie uns die Wurzeln der Gleichung ermitteln:

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen in Excel Methoden zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen sind im Lehrbuch „Fundamentals of Computational Mathematics. Demidovich B.P., Maron I.A. 1966“ ausführlich beschrieben. Herunterladen – 11 MB

1. Inverse-Matrix-Methode (Lösung in Excel)

Gegeben sei die Gleichung:
A*X = B, wobei A eine quadratische Matrix ist, X,B Vektoren sind;
wobei B ein bekannter Vektor (d. h. eine Zahlenspalte) ist, X ein unbekannter Vektor ist,
dann kann die Lösung X geschrieben werden als:
X = A -1 *B, wobei A -1 die inverse Matrix von A ist.
In MS Excel wird die inverse Matrix mit der Funktion MOBR() berechnet und Matrizen (oder eine Matrix mit einem Vektor) werden mit der Funktion MULTIPLE() multipliziert.

Es gibt „Feinheiten“ bei der Verwendung dieser Matrixaktionen in Excel. Um also die Umkehrmatrix der Matrix A zu berechnen, benötigen Sie:

1. Wählen Sie mit der Maus einen quadratischen Zellbereich aus, in dem die inverse Matrix platziert werden soll. 2. Beginnen Sie mit der Eingabe der Formel =MOBR(3. Wählen Sie mit der Maus Matrix A aus. In diesem Fall wird der entsprechende Zellbereich rechts von der Klammer eingegeben. 4. Schließen Sie die Klammer und drücken Sie die Tastenkombination: Strg- Umschalt-Eingabetaste 5. Die inverse Matrix sollte berechnet und in den dafür vorgesehenen Bereich gefüllt werden. So multiplizieren Sie eine Matrix mit einem Vektor: 1. Wählen Sie mit der Maus den Bereich der Zellen aus, in dem das Ergebnis der Multiplikation platziert werden soll. 2 . Beginnen Sie mit der Eingabe der Formel =MULTIPLE(3. Wählen Sie mit der Maus die Matrix aus – den ersten Faktor. In diesem Fall wird der entsprechende Zellbereich rechts von der Klammer eingegeben. 4. Geben Sie über die Tastatur ein Trennzeichen ein ;( Semikolon) 5. Wählen Sie den Vektor-Sekunden-Faktor mit der Maus aus. In diesem Fall wird der entsprechende Zellbereich rechts von der Klammer eingegeben. 6. Schließen Sie die Klammer und drücken Sie die Tastenkombination: Strg-Umschalt-Eingabetaste. Das Produkt sollte berechnet und der dafür vorgesehene Bereich ausgefüllt werden. Ja und eine andere Methode, bei der die Excel-Funktions-Builder-Schaltfläche verwendet wird. Ein Beispiel für ein SLAE 4. Ordnung.

Laden Sie ein Excel-Dokument herunter, in dem dieses Beispiel mit verschiedenen Methoden gelöst wird.

2. Gaußsche Methode

Die Gauß-Methode wird im Detail (Schritt für Schritt) nur zu Bildungszwecken durchgeführt, wenn Sie zeigen müssen, dass Sie es können. Und um ein echtes SLAE zu lösen, ist es besser, die inverse Matrixmethode in Excel zu verwenden oder spezielle Programme, zum Beispiel dieses, zu verwenden

Kurzbeschreibung.

3. Jacobi-Methode (Methode der einfachen Iterationen)

Um die Jacobi-Methode (und die Seidel-Methode) anzuwenden, müssen die Diagonalkomponenten der Matrix A größer sein als die Summe der anderen Komponenten derselben Zeile. Das gegebene System verfügt nicht über diese Eigenschaft, daher führe ich vorläufige Transformationen durch.

(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Hinweis: Die Auswahl der Koeffizienten erfolgte auf dem Blatt „Analyse“. Es werden Gleichungssysteme gelöst, deren Ziel es ist, die außerdiagonalen Elemente verschwinden zu lassen. Koeffizienten sind die gerundeten Ergebnisse der Lösung solcher Gleichungssysteme. Darum geht es natürlich nicht. Als Ergebnis erhalte ich ein Gleichungssystem:
Um die Jacobi-Methode anzuwenden, muss das Gleichungssystem in die Form transformiert werden:
X = B2 + A2*X Transformation:

Als nächstes dividiere ich jede Zeile durch den Faktor der linken Spalte, also durch 16, 7, 3, 70. Dann hat Matrix A2 die Form:


Und Vektor B2:

Ein System linearer algebraischer Gleichungen kann auch mit gelöst werden Add-on „Suche nach einer Lösung“. Bei Verwendung dieses Add-Ons wird eine Folge von Näherungen erstellt , i=0,1,…n.

Lass uns anrufen Vektor der Residuen nächster Vektor:

Die Aufgabe von Excel besteht darin Finden Sie eine solche Näherung , bei dem der Residuenvektor Null werden würde, d.h. eine Übereinstimmung der Werte des rechten und linken Teils des Systems erreichen.

Betrachten Sie als Beispiel SLAE (3.27).

Reihenfolge:

1. Lassen Sie uns die Tabelle wie in Abb. 3.4 entwerfen. Geben wir die Systemkoeffizienten (Matrix A) in die Zellen A3:C5 ein.

Abb.3.4. Lösen von SLAE mit dem Add-on „Solution Search“.

2. In den Zellen A8:C8 wird die Lösung des Systems gebildet (x 1, x 2, x 3). Sie bleiben zunächst leer, d.h. gleich Null. In Zukunft werden wir sie anrufen veränderliche Zellen.. Um jedoch die Richtigkeit der eingegebenen Formeln weiter zu kontrollieren, ist es zweckmäßig, einige Werte, beispielsweise Einheiten, in diese Zellen einzugeben. Diese Werte können als Nullnäherung der Lösung des Systems betrachtet werden, = (1, 1, 1).

3. In Spalte D geben wir Ausdrücke zur Berechnung der linken Seiten des Originalsystems ein. Geben Sie dazu in Zelle D3 die Formel ein und kopieren Sie sie ans Ende der Tabelle:

D3=SUMMENPRODUKT (A3:C3;$A$8:$C$8).

Verwendete Funktion SUMMENPRODUKT gehört zur Kategorie Mathematisch.

4. In Spalte E schreiben wir die Werte der rechten Seiten des Systems (Matrix B).

5. In Spalte F tragen wir Residuen gemäß Formel (3.29) ein, d.h. Geben Sie die Formel F3=D3-E3 ein und kopieren Sie sie an das Ende der Tabelle.

6. Es wäre eine gute Idee, die Richtigkeit der Berechnungen für den Fall = (1, 1, 1) zu überprüfen.

7. Lass uns ein Team auswählen Daten\Analyse\Lösungssuche.

Reis. 3.5. Add-In-Fenster für die Lösungssuche

Im Fenster Eine Lösung finden(Abb. 3.5) im Feld Veränderbare Zellen geben Sie den Block an $A$8:$C$8, und auf dem Feld Einschränkungen – $F$3:$F$5=0. Klicken Sie anschließend auf die Schaltfläche Hinzufügen und diese Einschränkungen einführen. Und dann der Knopf Ausführen

Die resultierende Lösung von Systemen (3.28) X 1 = 1; X 2 = –1X 3 = 2 ist in den Zellen A8:C8 geschrieben, Abb. 3.4.

Implementierung der Jacobi-Methode mit MS Excel

Betrachten Sie als Beispiel das Gleichungssystem (3.19), dessen Lösung oben mit der Jacobi-Methode erhalten wurde (Beispiel 3.2).

Bringen wir dieses System in seine normale Form:

Sequenzierung

1. Erstellen wir eine Tabelle wie in Abb. 3.6 gezeigt:

Wir tragen Matrizen und (3.15) in die Zellen B6:E8 ein.

Bedeutung e– in H5.

Iterationsnummer k Lassen Sie uns mithilfe der automatischen Vervollständigung eine Tabelle in Spalte A erstellen.

Als Nullnäherung wählen wir den Vektor

= (0, 0, 0) und geben Sie es in die Zellen B11:D11 ein.

2. Unter Verwendung der Ausdrücke (3.29) schreiben wir in die Zellen B12:D12 Formeln zur Berechnung der ersten Näherung:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Diese Formeln können mit der SUMPRODUCT-Funktion von Excel anders geschrieben werden.

Geben Sie in Zelle E12 die Formel E12=ABS(B11-B12) ein und kopieren Sie sie nach rechts in die Zellen F12:G12.

Abb.3.6. Schema zur Lösung von SLAEs mit der Jacobi-Methode

3. Geben Sie in Zelle H12 die zu berechnende Formel ein M(k), unter Verwendung des Ausdrucks (3.18): H12 = MAX(E12:G12). Die MAX-Funktion ist in der Kategorie statistisch.

4. Wählen Sie die Zellen B12:H12 aus und kopieren Sie sie bis zum Ende der Tabelle. Somit erhalten wir k Näherungen der Lösung des SLAE.

5. Bestimmen Sie die Näherungslösung des Systems und die Anzahl der Iterationen, die erforderlich sind, um die angegebene Genauigkeit zu erreichen e.

Dazu schätzen wir den Grad der Nähe zweier benachbarter Iterationen mithilfe der Formel (3.18). Nutzen wir den Vorteil Bedingte Formatierung in Spaltenzellen.

Das Ergebnis dieser Formatierung ist in Abb. 3.6 sichtbar. Zellen der Spalte H, deren Werte die Bedingung (3.18) erfüllen, d.h. weniger e=0,1, getönt.

Bei der Analyse der Ergebnisse gehen wir davon aus, dass die vierte Iteration eine Näherungslösung des ursprünglichen Systems mit einer gegebenen Genauigkeit von e=0,1 ist, d. h.

Lass uns erforschen Art des iterativen Prozesses. Wählen Sie dazu den Zellblock A10:D20 aus und verwenden Sie Kartenmeister, Lassen Sie uns die Änderungen in jeder Komponente des Lösungsvektors in Abhängigkeit von der Iterationsnummer grafisch darstellen.

Die angegebenen Diagramme (Abb. 3.7) bestätigen die Konvergenz des iterativen Prozesses.

Reis. 3.7. Illustration eines konvergenten iterativen Prozesses

Wert ändern e In Zelle H5 erhalten wir eine neue Näherungslösung des ursprünglichen Systems mit neuer Genauigkeit.

Implementierung der Sweep-Methode mittels Excel-Anwendung

Betrachten wir die Lösung des folgenden Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der „Sweeping“-Methode unter Verwendung von Tabellen Excel.

Vektoren:

Sequenzierung

1. Entwerfen wir die Tabelle wie in Abb. 3.8 gezeigt. Ausgangsdaten der erweiterten Matrix des Systems (3.30), d.h. Vektoren werden in die Zellen B5:E10 eingetragen.

2. Über Rennquoten U 0 =0 und V 0 =0 Geben Sie in die Zellen G4 bzw. H4 ein.

3. Berechnen wir die laufenden Koeffizienten L i , U i , V i. Dazu berechnen wir in den Zellen F5, G5, H5 L 1, U 1, V 1. nach Formel (3.8). Dazu führen wir die Formeln ein:

F5 = B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, und kopieren Sie sie dann nach unten.

Abb.3.8. Berechnungsschema der „laufenden“ Methode

4. In Zelle I10 berechnen wir x 6 nach Formel (3.10)

I10 = (E10-B10*H9)/(B10*G9+C10).

5. Mit Formel (3.7) berechnen wir alle anderen Unbekannten x 5 x 4 , x 3 , x 2 , x 1 . Dazu berechnen wir in Zelle I9 x 5 nach Formel (3.6): I9=G9*I10+H9. Und dann kopieren wir diese Formel.

Kontrollfragen

1. System linearer algebraischer Gleichungen (SLAE). Was ist die Lösung von SLAU. Wenn es eine einzigartige Lösung für das SLAE gibt.

2. Allgemeine Merkmale direkter (exakter) Methoden zur Lösung von SLAEs. Gauß- und Sweep-Methoden.

3. Allgemeine Merkmale iterativer Methoden zur Lösung von SLAEs. Jacobi- (einfache Iteration) und Gauß-Seidel-Methoden.

4. Bedingungen für die Konvergenz iterativer Prozesse.

5. Was versteht man unter den Bedingungen der Konditionalität von Problemen und Berechnungen, der Korrektheit des Problems bei der Lösung von SLAEs?

Kapitel 4.

Numerische Integration

Bei der Lösung eines größeren Spektrums technischer Probleme muss man sich der Notwendigkeit stellen, ein bestimmtes Integral zu berechnen:

Berechnung Bereiche, begrenzt durch Kurven, arbeiten, Trägheitsmomente, Multiplikation von Diagrammen nach Mohrs Formel usw. reduziert sich auf die Berechnung eines bestimmten Integrals.

Wenn kontinuierlich auf dem Segment [ a, b]-Funktion y = f(x) hat eine Stammfunktion für dieses Segment F(x), d.h. F ’ (x) = f(x), dann kann Integral (4.1) mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet werden:

Allerdings nur für eine enge Klasse von Funktionen y=f(x) Stammfunktion F(x) kann in Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Darüber hinaus ist die Funktion y=f(x) kann grafisch oder tabellarisch angegeben werden. In diesen Fällen werden verschiedene Formeln verwendet, um die Berechnung von Integralen anzunähern.

Solche Formeln heißen Quadraturformeln oder numerische Integrationsformeln.

Die Formeln zur numerischen Integration sind gut grafisch dargestellt. Es ist bekannt, dass der Wert des bestimmten Integrals (4.1) anteilig Fläche eines krummlinigen Trapezes, das vom Integranden gebildet wird y=f(x), gerade x=a und x=b, Achse OH(Abb. 4.1).

Wir ersetzen das Problem der Berechnung des bestimmten Integrals (4.1) durch das Problem der Berechnung der Fläche dieses krummlinigen Trapezes. Die Aufgabe, die Fläche einer gekrümmten Linie zu ermitteln, ist jedoch nicht einfach.

Daher wird die Idee der numerischen Integration sein indem man ein gekrümmtes Trapez durch eine Figur ersetzt, deren Fläche ganz einfach berechnet wird.

y=f(x)

j

X

xi

xi+1

xn=b

xо=a

Si

Abb.4.1. Geometrische Interpretation der numerischen Integration

Zu diesem Zweck wurde das Integrationssegment [ a, b] Teilen wir es auf N gleich Elementarsegmente (i=0, 1, 2, …..,n-1), in Schritten h=(b-a)/n. In diesem Fall wird das krummlinige Trapez gespalten n elementare krummlinige Trapeze mit gleichen Gründen H(Abb. 4.1).

Jedes elementare krummlinige Trapez wird durch eine Figur ersetzt, deren Fläche ganz einfach berechnet wird. Bezeichnen wir diesen Bereich Si. Die Summe aller dieser Flächen nennt man Integralsumme und wird nach der Formel berechnet

Dann hat die Näherungsformel zur Berechnung des bestimmten Integrals (4.1) die Form

Die Genauigkeit der Berechnung nach Formel (4.4) hängt von der Stufe ab H, d.h. aus der Anzahl der Partitionen N. Mit Steigerung N die Integralsumme nähert sich dem exakten Wert des Integrals

Dies ist in Abb. 4.2 gut dargestellt.

Abb.4.2. Abhängigkeit von der Genauigkeit der Integralrechnung

aus der Anzahl der Partitionen

Es ist in der Mathematik bewiesen Satz: Wenn die Funktion y=f(x) stetig ist, dann existiert der Grenzwert der Integralsumme b n und hängt nicht von der Methode der Aufteilung des Segments in Elementarsegmente ab.

Formel (4.4) kann verwendet werden, wenn der Genauigkeitsgrad dieser nähert sich. Zur Abschätzung des Fehlers des Ausdrucks (4.4) gibt es verschiedene Formeln, die jedoch in der Regel recht komplex sind. Wir werden die Genauigkeit der Näherung (4.4) mithilfe der Methode abschätzen halber Schritt.

» Lektion 15. SLEs mit der Cramer-Methode und der Gauß-Methode lösen.

Lektion 15. SLEs mit der Cramer-Methode und der Gauß-Methode lösen.

Cramer-Methode

(SLU)
- Systemdeterminante
Wenn die Determinante des SLE von Null verschieden ist, wird die Lösung des Systems eindeutig mithilfe der Cramer-Formeln bestimmt:
, , ()
Wo:

	Dazu tragen wir in der Spalte, in der sich die Variable x befindet, und damit in der ersten Spalte, anstelle der Koeffizienten für x freie Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf der rechten Seite der Gleichungen stehen
	Dazu tragen wir in die Spalte, in der sich die Variable y befindet (Spalte 2), anstelle der Koeffizienten für y freie Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf der rechten Seite der Gleichungen stehen
	Dazu tragen wir in der Spalte, in der sich die Variable z befindet, und damit in der dritten Spalte, anstelle der Koeffizienten für z freie Koeffizienten ein, die im Gleichungssystem auf der rechten Seite der Gleichungen stehen

Übung 1. Lösen Sie SLE mithilfe der Cramer-Formeln in Excel

Fortschritt der Entscheidung

1. Schreiben wir die Gleichung in Matrixform:

2. Geben Sie Matrix A und B in Excel ein.

3. Finden Sie die Determinante der Matrix A. Sie sollte gleich 30 sein.

4. Die Determinante des Systems ist von Null verschieden, daher wird die Lösung eindeutig durch Cramers Formeln bestimmt.

5. Tragen Sie die Werte dX, dY, dZ in die Excel-Tabelle ein (siehe Abbildung unten).

6. Um die Werte dX, dY, dZ in den Zellen F8, F12, F16 zu berechnen, müssen Sie eine Funktion eingeben, die die Determinante von dX, dY bzw. dZ berechnet.

7. Um den Wert von X in Zelle I8 zu berechnen, müssen Sie die Formel =F8/B5 eingeben (unter Verwendung der Cramer-Formel dX/|A|).

8. Geben Sie die Formeln ein, um Y und Z selbst zu berechnen.

Aufgabe 2: Finden Sie unabhängig die Lösung des SLE mithilfe der Cramer-Methode:

Cramers Formeln und die Matrixmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme haben keine ernsthafte praktische Anwendung, da sie mit umständlichen Berechnungen verbunden sind. In der Praxis wird die Gauß-Methode am häufigsten zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet.

Gauß-Methode

Der Gaußsche Lösungsprozess besteht aus zwei Stufen.

1. Direkter Schlag: das System wird auf eine stufenförmige (insbesondere dreieckige) Form reduziert.

Um ein Gleichungssystem zu lösen, schreiben Sie die erweiterte Matrix dieses Systems auf

und elementare Transformationen werden über die Zeilen dieser Matrix durchgeführt, um sie in eine Form zu bringen, in der sich Nullen unterhalb der Hauptdiagonale befinden.
Es ist erlaubt, elementare Transformationen an Matrizen durchzuführen.
Mit Hilfe dieser Transformationen erhält man jedes Mal eine erweiterte Matrix eines neuen Systems, die der ursprünglichen äquivalent ist, d.h. ein System, dessen Lösung mit der Lösung des ursprünglichen Systems übereinstimmt.

2. Rückwärtshub: Es erfolgt eine sequentielle Bestimmung der Unbekannten aus diesem schrittweisen System.

Beispiel. Stellen Sie die Kompatibilität her und lösen Sie das System

Lösung.
Gerader Strich: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und vertauschen die erste und zweite Zeile, sodass das Element gleich eins ist (dies erleichtert die Transformation der Matrix).



.

Wir haben Die Ränge der Systemmatrix und ihrer erweiterten Matrix stimmten mit der Anzahl der Unbekannten überein. Nach dem Kronecker-Capelli-Theorem ist das Gleichungssystem konsistent und seine Lösung eindeutig.
Umkehren: Schreiben wir das Gleichungssystem auf, dessen erweiterte Matrix wir durch Transformationen erhalten haben:

Also haben wir .
Als nächstes finden wir durch Einsetzen in die dritte Gleichung .
Wenn wir und in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir .
Wenn wir die gefundenen Werte in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir .
Somit haben wir eine Lösung für das System.

SLE mit der Gaußschen Methode in Excel lösen:

Der Text fordert Sie auf, eine Formel der Form in einen Zellbereich einzugeben: (=A1:B3+$C$2:$C$3) usw., dies sind die sogenannten „Array-Formeln“. Microsoft Excel schließt es automatisch in geschweifte Klammern (( )) ein. Um diese Art von Formel einzugeben, müssen Sie den gesamten Bereich auswählen, in den Sie die Formel einfügen möchten, und die Formel ohne geschweifte Klammern in die erste Zelle eingeben (für das obige Beispiel =A1:B3+$C$2:$C$3). und drücken Sie Strg+Umschalt+Eingabetaste.
Lassen Sie uns ein lineares Gleichungssystem haben:

1. Schreiben wir die Koeffizienten des Gleichungssystems in die Zellen A1:D4 und die Spalte der freien Terme in die Zellen E1:E4. Wenn in einer ZelleA10 ist, müssen Sie die Zeilen vertauschen, damit diese Zelle einen anderen Wert als Null hat. Zur besseren Übersichtlichkeit können Sie den Zellen, die freie Elemente enthalten, eine Füllung hinzufügen.

2. Es ist notwendig, den Koeffizienten von x1 in allen Gleichungen außer der ersten auf 0 zu bringen. Lassen Sie uns dies zunächst für die zweite Gleichung tun. Kopieren wir die erste Zeile ohne Änderungen in die Zellen A6:E6, in die Zellen A7:E7 müssen Sie die Formel eingeben: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Wir subtrahieren also die erste Zeile von der zweiten Zeile, multipliziert mit A2/$A$1, d. h. das Verhältnis der ersten Koeffizienten der zweiten und ersten Gleichung. Um das Ausfüllen der Zeilen 8 und 9 zu erleichtern, müssen Verweise auf die Zellen der ersten Zeile absolut sein (verwenden Sie das $-Symbol).

3. Wir kopieren die eingegebene Formel in die Zeilen 8 und 9 und entfernen so die Koeffizienten vor x1 in allen Gleichungen außer der ersten.

4. Bringen wir nun die Koeffizienten vor x2 in der dritten und vierten Gleichung auf 0. Kopieren Sie dazu die resultierende 6. und 7. Zeile (nur Werte) in die Zeilen 11 und 12 und geben Sie die Formel in die Zellen A13:E13 ein (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), die wir dann in die Zellen A14:E14 kopieren. Somit wird die Differenz zwischen den Zeilen 8 und 7, multipliziert mit dem Koeffizienten B8/$B$7, realisiert. .

5. Es bleibt noch, den Koeffizienten von x3 in der vierten Gleichung auf 0 zu bringen. Dazu führen wir erneut ähnliche Aktionen durch: Kopieren Sie die resultierenden Zeilen 11, 12 und 13 (nur Werte) in die Zeilen 16-18 und geben Sie die Formel ein (=A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Somit wird die Differenz zwischen den Zeilen 14 und 13 realisiert, multipliziert mit dem Koeffizienten C14/$C$13. Vergessen Sie nicht, die Zeilen neu anzuordnen, um die 0 im Nenner des Bruchs zu entfernen.

6. Der Vorwärtsdurchlauf mit der Gaußschen Methode ist abgeschlossen. Beginnen wir den Rückwärtsdurchlauf ab der letzten Zeile der resultierenden Matrix. Es ist notwendig, alle Elemente der letzten Zeile durch den Koeffizienten x4 zu dividieren. Geben Sie dazu in Zeile 24 die Formel (=A19:E19/D19) ein.

7. Bringen wir alle Zeilen in eine ähnliche Form. Füllen Sie dazu die Zeilen 23, 22, 21 mit den folgenden Formeln aus:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) – subtrahiere von der dritten Zeile den vierten multipliziert mit dem Koeffizienten bei x4 der dritten Zeile.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – von der zweiten Zeile subtrahieren wir die dritte und vierte, multipliziert mit den entsprechenden Koeffizienten.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – von der ersten Zeile subtrahieren wir die zweite, dritte und vierte, multipliziert mit den entsprechenden Koeffizienten.

Das Ergebnis (die Wurzeln der Gleichung) wird in den Zellen E21:E24 berechnet.

Zusammengestellt von: Saliy N.A.