Zahlenkreis. Trigonometrischer Kreis. Der ultimative Leitfaden (2019)

Zahlenkreis ist ein Einheitskreis, dessen Punkte bestimmten reellen Zahlen entsprechen.

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1.

Gesamtansicht des Zahlenkreises.

1) Sein Radius wird als Maßeinheit verwendet.

2) Der horizontale und vertikale Durchmesser teilen den Zahlenkreis in vier Viertel (siehe Abbildung). Sie werden jeweils als erstes, zweites, drittes und viertes Viertel bezeichnet.

3) Der horizontale Durchmesser wird mit AC bezeichnet, wobei A der Punkt ganz rechts ist.
Der vertikale Durchmesser wird mit BD bezeichnet, wobei B der höchste Punkt ist.
Jeweils:

Das erste Viertel ist der Bogen AB

zweites Viertel – Bogen BC

drittes Viertel – Bogen-CD

viertes Viertel – Bogen DA

4) Der Ausgangspunkt des Zahlenkreises ist Punkt A.

Das Zählen entlang des Zahlenkreises kann sowohl im Uhrzeigersinn als auch gegen den Uhrzeigersinn erfolgen.
Zählen von Punkt A gegen den Uhrzeigersinn heißt positive Richtung.
Zählen von Punkt A im Uhrzeigersinn heißt negative Richtung.

Zahlenkreis auf der Koordinatenebene.

Der Mittelpunkt des Radius des Zahlenkreises entspricht dem Ursprung (Zahl 0).

Der horizontale Durchmesser entspricht der Achse X, vertikal – Achsen j.

Der Startpunkt A des Zahlenkreises liegt auf der Achse X und hat die Koordinaten (1; 0).

WerteX Undj in Vierteln eines Zahlenkreises:

Grundwerte des Zahlenkreises:

Namen und Orte der Hauptpunkte auf dem Zahlenkreis:

So merken Sie sich Nummernkreisnamen.

Es gibt mehrere einfache Muster, die Ihnen helfen, sich die Grundnamen des Zahlenkreises leicht zu merken.

Bevor wir beginnen, möchten wir Sie daran erinnern: Die Zählung erfolgt in positiver Richtung, also ab Punkt A (2π) gegen den Uhrzeigersinn.

1) Beginnen wir mit den Extrempunkten auf den Koordinatenachsen.

Der Startpunkt ist 2π (der Punkt ganz rechts auf der Achse). X, gleich 1).

Wie Sie wissen, ist 2π der Umfang eines Kreises. Das bedeutet, dass ein Halbkreis 1π oder π ist. Achse X teilt den Kreis genau in zwei Hälften. Dementsprechend der Punkt ganz links auf der Achse X gleich -1 heißt π.

Der höchste Punkt auf der Achse bei, gleich 1, teilt den oberen Halbkreis in zwei Hälften. Das heißt, wenn ein Halbkreis π ist, dann ist ein halber Halbkreis π/2.

Gleichzeitig ist π/2 auch ein Viertelkreis. Zählen wir drei solcher Viertel vom ersten bis zum dritten – und wir kommen zum tiefsten Punkt der Achse bei, gleich -1. Wenn es jedoch drei Viertel umfasst, lautet sein Name 3π/2.

2) Kommen wir nun zu den restlichen Punkten. Bitte beachten Sie: Alle gegenüberliegenden Punkte haben den gleichen Zähler – und das sind entgegengesetzte Punkte relativ zur Achse bei, sowohl relativ zur Mitte der Achsen als auch relativ zur Achse X. Dies wird uns helfen, ihre Punktwerte zu kennen, ohne sie zu pauken.

Sie müssen sich nur die Bedeutung der Punkte des ersten Viertels merken: π/6, π/4 und π/3. Und dann werden wir einige Muster „sehen“:

- Relativ zur y-Achse An den Punkten des zweiten Viertels sind im Gegensatz zu den Punkten des ersten Viertels die Zahlen in den Zählern um 1 kleiner als die Größe der Nenner. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt π/6. Der gegenüberliegende Punkt relativ zur Achse bei hat auch 6 im Nenner und 5 im Zähler (1 weniger). Das heißt, der Name dieses Punktes lautet: 5π/6. Der Punkt gegenüber π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und 3 im Zähler (1 kleiner als 4) – das heißt, es handelt sich um einen 3π/4-Punkt.
Der Punkt gegenüber π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und 1 weniger im Zähler: 2π/3.

- Bezogen auf die Mitte der Koordinatenachsen Alles ist umgekehrt: Die Zahlen in den Zählern entgegengesetzter Punkte (im dritten Viertel) sind um 1 größer als der Wert der Nenner. Nehmen wir noch einmal den Punkt π/6. Der ihm relativ zum Mittelpunkt gegenüberliegende Punkt hat ebenfalls 6 im Nenner und im Zähler ist die Zahl um 1 größer, also 7π/6.

Der Punkt gegenüber dem Punkt π/4 hat ebenfalls 4 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 5π/4.
Der Punkt gegenüber dem Punkt π/3 hat ebenfalls 3 im Nenner und im Zähler ist die Zahl 1 mehr: 4π/3.

- Relativ zur Achse X(viertes Viertel) die Sache ist komplizierter. Hier müssen Sie zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl addieren – diese Summe entspricht dem numerischen Teil des Zählers des gegenüberliegenden Punktes. Beginnen wir noch einmal mit π/6. Addieren wir zum Nennerwert gleich 6 eine Zahl, die 1 kleiner als diese Zahl ist – also 5. Wir erhalten: 6 + 5 = 11. Das bedeutet, dass sie entgegengesetzt zur Achse ist X Der Punkt hat 6 im Nenner und 11 im Zähler – also 11π/6.

Punkt π/4. Wir addieren zum Wert des Nenners eine um 1 kleinere Zahl: 4 + 3 = 7. Dies bedeutet, dass er der Achse entgegengesetzt ist X Der Punkt hat 4 im Nenner und 7 im Zähler – also 7π/4.
Punkt π/3. Der Nenner ist 3. Wir addieren zu 3 eine um eins kleinere Zahl – also 2. Wir erhalten 5. Das bedeutet, dass der gegenüberliegende Punkt 5 im Zähler hat – und das ist der Punkt 5π/3.

3) Ein weiteres Muster für die Punkte der Viertelmittelpunkte. Es ist klar, dass ihr Nenner 4 ist. Achten wir auf die Zähler. Der Zähler der Mitte des ersten Viertels ist 1π (aber es ist nicht üblich, 1 zu schreiben). Der Zähler der Mitte des zweiten Viertels ist 3π. Der Zähler der Mitte des dritten Viertels ist 5π. Der Zähler der Mitte des vierten Viertels ist 7π. Es stellt sich heraus, dass die Zähler der mittleren Viertel die ersten vier ungeraden Zahlen in aufsteigender Reihenfolge enthalten:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Auch das ist ganz einfach. Da die Mittelpunkte aller Viertel eine 4 im Nenner haben, kennen wir bereits ihre vollständigen Namen: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Merkmale des Zahlenkreises. Vergleich mit dem Zahlenstrahl.

Wie Sie wissen, entspricht auf der Zahlengeraden jeder Punkt einer einzelnen Zahl. Wenn beispielsweise Punkt A auf einer Geraden gleich 3 ist, kann er keiner anderen Zahl mehr entsprechen.

Beim Zahlenkreis ist das anders, weil es ein Kreis ist. Um beispielsweise von Punkt A eines Kreises zu Punkt M zu gelangen, können Sie dies wie auf einer Geraden tun (nur durch einen Bogen) oder Sie können einen ganzen Kreis umrunden und dann zu Punkt M gelangen. Abschluss:

Der Punkt M sei gleich einer Zahl t. Wie wir wissen, beträgt der Umfang eines Kreises 2π. Das bedeutet, dass wir einen Punkt auf einem Kreis t auf zwei Arten schreiben können: t oder t + 2π. Es handelt sich um äquivalente Werte.
Das heißt, t = t + 2π. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie im ersten Fall sofort zum Punkt M gekommen sind, ohne einen Kreis zu machen, und im zweiten Fall haben Sie einen Kreis gemacht, sind aber am selben Punkt M gelandet. Sie können zwei, drei oder zweihundert solcher machen Kreise. Wenn wir die Anzahl der Kreise mit dem Buchstaben bezeichnen k, dann erhalten wir einen neuen Ausdruck:
t = t + 2π k.

Daher die Formel:

Zahlenkreisgleichung
(Die zweite Gleichung befindet sich im Abschnitt „Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens“):

x 2 + y 2 = 1

In diesem Artikel werden wir die Definition des Zahlenkreises ausführlich analysieren, seine Haupteigenschaft herausfinden und die Zahlen 1,2,3 usw. anordnen. Erfahren Sie, wie Sie andere Zahlen auf einem Kreis markieren (einschließlich Pi).

Zahlenkreis wird ein Kreis mit Einheitsradius genannt, dessen Punkte übereinstimmen , geordnet nach folgenden Regeln:

1) Der Ursprung liegt am äußersten rechten Punkt des Kreises;

2) Gegen den Uhrzeigersinn – positive Richtung; im Uhrzeigersinn – negativ;

3) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in positiver Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(t\);

4) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in negativer Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(–t\).

Warum heißt der Kreis Zahlenkreis?
Weil darauf Zahlen stehen. Auf diese Weise ähnelt der Kreis der Zahlenachse – auf dem Kreis gibt es wie auf der Achse für jede Zahl einen bestimmten Punkt.

Warum wissen, was ein Zahlenkreis ist?
Mithilfe des Zahlenkreises werden die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ermittelt. Um Trigonometrie zu beherrschen und das Einheitliche Staatsexamen mit mehr als 60 Punkten zu bestehen, müssen Sie daher verstehen, was ein Zahlenkreis ist und wie man Punkte darauf platziert.

Was bedeuten die Worte „...mit Einheitsradius...“ in der Definition?
Das bedeutet, dass der Radius dieses Kreises gleich \(1\) ist. Und wenn wir einen solchen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung konstruieren, dann schneidet er die Achsen in den Punkten \(1\) und \(-1\).

Es muss nicht unbedingt klein gezeichnet werden; man kann die „Größe“ der Unterteilungen entlang der Achsen verändern, dann wird das Bild größer (siehe unten).

Warum ist der Radius genau eins? Dies ist praktischer, da wir in diesem Fall bei der Berechnung des Umfangs mit der Formel \(l=2πR\) Folgendes erhalten:

Die Länge des Zahlenkreises beträgt \(2π\) oder ungefähr \(6,28\).

Was bedeutet „...deren Punkte reellen Zahlen entsprechen“?
Wie wir oben sagten, wird es auf dem Zahlenkreis für jede reelle Zahl definitiv ihren „Platz“ geben – einen Punkt, der dieser Zahl entspricht.

Warum den Ursprung und die Richtung auf dem Zahlenkreis bestimmen?
Der Hauptzweck des Zahlenkreises besteht darin, seinen Punkt für jede Zahl eindeutig zu bestimmen. Aber wie können Sie bestimmen, wo Sie den Punkt setzen sollen, wenn Sie nicht wissen, von wo aus Sie zählen und wohin Sie sich bewegen sollen?

Hier ist es wichtig, den Ursprung auf der Koordinatenlinie und auf dem Zahlenkreis nicht zu verwechseln – das sind zwei verschiedene Bezugssysteme! Und verwechseln Sie auch nicht \(1\) auf der \(x\)-Achse und \(0\) auf dem Kreis – das sind Punkte auf verschiedenen Objekten.

Welche Punkte entsprechen den Zahlen \(1\), \(2\) usw.?
Erinnern Sie sich, wir haben angenommen, dass der Zahlenkreis einen Radius von \(1\) hat? Dies wird unser Einheitssegment sein (in Analogie zur Zahlenachse), das wir auf dem Kreis eintragen.

Um einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu markieren, der der Zahl 1 entspricht, müssen Sie von 0 bis zu einem Abstand gehen, der dem Radius in positiver Richtung entspricht.

Um einen Punkt auf dem Kreis zu markieren, der der Zahl \(2\) entspricht, müssen Sie eine Distanz zurücklegen, die zwei Radien vom Ursprung entspricht, sodass \(3\) eine Distanz gleich drei Radien usw. ist.

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, haben Sie möglicherweise zwei Fragen:
1. Was passiert, wenn der Kreis „endet“ (d. h. wir eine vollständige Revolution machen)?
Antwort: Auf geht's in die zweite Runde! Und wenn der zweite vorbei ist, gehen wir zum dritten über und so weiter. Daher können unendlich viele Zahlen auf einem Kreis aufgetragen werden.

2. Wo werden die negativen Zahlen sein?
Antwort: genau da! Sie können auch so angeordnet werden, dass die erforderliche Anzahl an Radien von Null an gezählt wird, jetzt jedoch in negativer Richtung.

Leider ist es schwierig, ganze Zahlen auf dem Zahlenkreis zu bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Länge des Zahlenkreises nicht gleich einer ganzen Zahl ist: \(2π\). Und an den bequemsten Stellen (an den Schnittpunkten mit den Achsen) gibt es auch Brüche, keine ganzen Zahlen

Lektion und Präsentation zum Thema: „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“

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Was wir studieren werden:
1. Definition.
2. Wichtige Koordinaten des Zahlenkreises.
3. Wie finde ich die Koordinate des Zahlenkreises?
4. Tabelle der Hauptkoordinaten des Zahlenkreises.
5. Beispiele zur Problemlösung.

Definition des Zahlenkreises auf der Koordinatenebene

Platzieren wir den Zahlenkreis so in der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, und nehmen wir seinen Radius als Einheitssegment. Der Startpunkt des Zahlenkreises A ist auf den Punkt (1;0) ausgerichtet.

Jeder Punkt auf dem Zahlenkreis hat seine eigenen x- und y-Koordinaten in der Koordinatenebene und:
1) für $x > 0$, $y > 0$ – im ersten Quartal;
2) für $x 0$ - im zweiten Quartal;
3) für $x 4) für $x > 0$, $y
Für jeden Punkt $M(x; y)$ auf dem Zahlenkreis sind die folgenden Ungleichungen erfüllt: $-1
Erinnern Sie sich an die Gleichung des Zahlenkreises: $x^2 + y^2 = 1$.

Für uns ist es wichtig zu lernen, wie man die Koordinaten der Punkte auf dem in der Abbildung dargestellten Zahlenkreis findet.

Finden wir die Koordinate des Punktes $\frac(π)(4)$

Der Punkt $M(\frac(π)(4))$ ist die Mitte des ersten Viertels. Lassen Sie uns die Senkrechte MR vom Punkt M zur Geraden OA fallen lassen und betrachten Sie das Dreieck OMP. Da der Bogen AM die Hälfte des Bogens AB ist, gilt $∠MOP=45°$.
Das bedeutet, dass das Dreieck OMP ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist und $OP=MP$, d.h. am Punkt M sind Abszisse und Ordinate gleich: $x = y$.
Da die Koordinaten des Punktes $M(x;y)$ die Gleichung des Zahlenkreises erfüllen, müssen Sie, um sie zu finden, das Gleichungssystem lösen:
$\begin (Fälle) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (Fälle)$
Nachdem wir dieses System gelöst haben, erhalten wir: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes M, der der Zahl $\frac(π)(4)$ entspricht, $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Die Koordinaten der in der vorherigen Abbildung dargestellten Punkte werden auf ähnliche Weise berechnet.

Koordinaten von Punkten auf dem Zahlenkreis

Schauen wir uns Beispiele an

Beispiel 1.
Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(45\frac(π)(4))$.

Lösung:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Das bedeutet, dass die Zahl $45\frac(π)(4)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $\frac(5π)(4)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(4)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Beispiel 2.
Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(37π)(3))$.

Lösung:

Weil die Zahlen $t$ und $t+2π*k$, wobei k eine ganze Zahl ist, entsprechen dann demselben Punkt auf dem Zahlenkreis:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Das bedeutet, dass die Zahl $-\frac(37π)(3)$ demselben Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht wie die Zahl $–\frac(π)(3)$ und die Zahl –$\frac(π) (3)$ entspricht dem gleichen Punkt wie $\frac(5π)(3)$. Wenn wir uns den Wert des Punktes $\frac(5π)(3)$ in der Tabelle ansehen, erhalten wir:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Beispiel 3.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y =\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen?

Lösung:
Die Gerade $y =\frac(1)(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Punkt M entspricht der Zahl $\frac(π)(6)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form: $\frac(π)(6)+2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $\frac(5π)(6)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Wir haben, wie in solchen Fällen oft gesagt wird, zwei Wertereihen erhalten:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ und $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Antwort: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ und $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Beispiel 4.
Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.

Lösung:

Die Gerade $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ schneidet den Zahlenkreis in den Punkten M und P. Die Ungleichung $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ entspricht zu den Punkten des Bogens PM. Punkt M entspricht der Zahl $3\frac(π)(4)$ (aus den Tabellendaten). Dies bedeutet eine beliebige Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Punkt P entspricht der Zahl $-\frac(3π)(4)$ und damit einer beliebigen Zahl der Form $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Dann erhalten wir $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Antwort: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Finden Sie die Koordinate eines Punktes auf dem Zahlenkreis: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y = -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
4) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Ordinate $y ≥ -\frac(1)(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.
5) Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit der Abszisse $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ und notieren Sie, welchen Zahlen $t$ sie entsprechen.

Datum: Unterricht1
Thema: Zahlenkreis auf einer Koordinatenlinie

Ziele: das Konzept eines Zahlenkreismodells in kartesischen und krummlinigen Koordinatensystemen einführen; die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten von Punkten auf einem Zahlenkreis zu finden und die entgegengesetzte Aktion auszuführen: Wenn Sie die kartesischen Koordinaten eines Punktes kennen, bestimmen Sie seinen numerischen Wert auf dem Zahlenkreis.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Erläuterung des neuen Materials.

1. Nachdem wir den Zahlenkreis im kartesischen Koordinatensystem platziert haben, analysieren wir im Detail die Eigenschaften von Punkten auf dem Zahlenkreis, die sich in verschiedenen Koordinatenvierteln befinden.

Für einen Punkt M Der Zahlenkreis verwendet die Notation M(T), wenn wir über die krummlinige Koordinate eines Punktes sprechen M, oder aufzeichnen M (X;bei), wenn es sich um kartesische Koordinaten eines Punktes handelt.

2. Ermitteln der kartesischen Koordinaten „guter“ Punkte auf dem Zahlenkreis. Es geht darum, von der Platte wegzukommen M(T) Zu M (X;bei).

3. Ermitteln der Vorzeichen der Koordinaten „schlechter“ Punkte auf dem Zahlenkreis. Wenn zum Beispiel M(2) = M (X;bei), Das X 0; bei 0. (Schüler lernen, die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen anhand der Viertel des Zahlenkreises zu bestimmen.)

1. Nr. 5.1 (a; b), Nr. 5.2 (a; b), Nr. 5.3 (a; b).

Diese Aufgabengruppe zielt darauf ab, die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten „guter“ Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden.

Lösung:

№ 5.1 (A).

2. Nr. 5.4 (a; b), Nr. 5.5 (a; b).

Diese Aufgabengruppe zielt darauf ab, die Fähigkeiten zu entwickeln, die krummlinigen Koordinaten eines Punktes anhand seiner kartesischen Koordinaten zu ermitteln.

Lösung:

№ 5.5 (B).

3. Nr. 5.10 (a; b).

Diese Übung zielt darauf ab, die Fähigkeit zu entwickeln, die kartesischen Koordinaten „schlechter“ Punkte zu finden.

V. Zusammenfassung der Lektion.

Fragen an Studierende:

– Was ist ein Modell – ein Zahlenkreis auf einer Koordinatenebene?

– Wie kann man, wenn man die krummlinigen Koordinaten eines Punktes auf dem Zahlenkreis kennt, seine kartesischen Koordinaten ermitteln und umgekehrt?

Hausaufgaben: Nr. 5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), Nr. 5.10 (c; d).

Datum: Unterricht2
THEMA: Probleme mit dem Modell „Zahlenkreis auf der Koordinatenebene“ lösen

Ziele: die Fähigkeit weiterentwickeln, von krummlinigen Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis zu kartesischen Koordinaten zu wechseln; die Fähigkeit entwickeln, Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden, deren Koordinaten eine gegebene Gleichung oder Ungleichung erfüllen.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment.

II. Mündliche Arbeit.

1. Benennen Sie die krummlinigen und kartesischen Koordinaten der Punkte auf dem Zahlenkreis.

2. Vergleichen Sie den Bogen auf dem Kreis und seine analytische Notation.

III. Erläuterung des neuen Materials.

2. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.

Schauen wir uns die Beispiele 2 und 3 mit p an. 41–42 Lehrbücher.

Die Bedeutung dieses „Spiels“ liegt auf der Hand: Die Schüler bereiten sich darauf vor, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen der Form zu lösen. Um den Kern der Sache zu verstehen, sollte den Schülern zunächst beigebracht werden, diese Gleichungen mithilfe des Zahlenkreises zu lösen, ohne weiterzumachen bis hin zu vorgefertigten Formeln.

Wenn wir ein Beispiel für das Finden eines Punktes mit einer Abszisse betrachten, machen wir die Schüler auf die Möglichkeit aufmerksam, zwei Antwortreihen in einer Formel zu kombinieren:

3. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, deren Koordinaten eine gegebene Ungleichung erfüllen.

Schauen wir uns die Beispiele 4–7 von S. 1 an. 43–44 Lehrbücher. Durch die Lösung solcher Probleme bereiten wir die Schüler auf die Lösung trigonometrischer Ungleichungen der Form vor

Nach der Betrachtung der Beispiele können die Studierenden selbstständig formulieren Algorithmus Lösungen für Ungleichungen der angegebenen Art:

1) Vom analytischen Modell gehen wir zum geometrischen Modell über – dem Bogen HERR Zahlenkreis;

2) bilden den Kern der analytischen Aufzeichnung HERR; für den Bogen erhalten wir

3) Machen Sie eine allgemeine Aufzeichnung:

IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

1. Gruppe. Finden eines Punktes auf dem Zahlenkreis mit einer Koordinate, die eine gegebene Gleichung erfüllt.

Nr. 5.6 (a; b) – Nr. 5.9 (a; b).

Bei der Bearbeitung dieser Übungen üben wir die schrittweise Ausführung: Erfassen des Kernpunktes, analytisches Erfassen.

2. Gruppe. Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis mit einer Koordinate, die eine gegebene Ungleichung erfüllt.

Nr. 5.11 (a; b) – 5.14 (a; b).

Die Hauptkompetenz, die sich Schüler bei der Durchführung dieser Übungen aneignen müssen, ist die Erstellung des Kerns einer analytischen Notation des Bogens.

V. Selbständiges Arbeiten.

Möglichkeit 1

1. Markieren Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht, und ermitteln Sie deren kartesische Koordinaten:

2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit einer gegebenen Abszisse und notieren Sie welche Zahlen T Sie passen.

3. Markieren Sie auf dem Zahlenkreis Punkte mit einer Ordinate, die die Ungleichung erfüllen, und notieren Sie mit der doppelten Ungleichung, welche Zahlen T Sie passen.

Möglichkeit 2

1. Markieren Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht, und ermitteln Sie deren kartesische Koordinaten:

2. Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis mit einer bestimmten Ordinate bei= 0,5 und notieren Sie welche Zahlen T Sie passen.

3. Markieren Sie auf dem Zahlenkreis die Punkte mit der Abszisse, die die Ungleichung erfüllen, und notieren Sie mithilfe der doppelten Ungleichung, welche Zahlen T Sie passen.

VI. Zusammenfassung der Lektion.

Fragen an Studierende:

– Wie findet man einen Punkt auf einem Kreis, dessen Abszisse eine gegebene Gleichung erfüllt?

– Wie finde ich einen Punkt auf einem Kreis, dessen Ordinate eine gegebene Gleichung erfüllt?

– Nennen Sie den Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mithilfe des Zahlenkreises.

Hausaufgaben: Nr. 5.6 (c; d) – Nr. 5.9 (c; d),

Nr. 5.11 (c; d) – Nr. 5.14 (c; d).

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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

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