Was heißt die Ableitung einer Funktion. Ableitung der Funktion. Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Was ist ein Derivat? Definition eines Derivats. Die geometrische Bedeutung der Ableitung und des Differentials

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so heißt der angegebene Grenzwert Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise ist für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) wahr. Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, d.h. die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

So, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Funktionsgraphen zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint, seien Sie also gewarnt: Es gibt oft Fallstricke in den Beispielen, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Derivaten.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Der Inhalt des Artikels

DERIVAT-Ableitung der Funktion j = f(x) definiert in einem bestimmten Intervall ( a, b) am Punkt x dieses Intervall wird die Grenze genannt, zu der das Verhältnis des Zuwachses der Funktion tendiert f an diesem Punkt auf das entsprechende Inkrement des Arguments, wenn sich das Inkrement des Arguments Null nähert.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:

Andere Notationen sind ebenfalls weit verbreitet:

Sofortige Geschwindigkeit.

Lassen Sie den Punkt M bewegt sich auf einer geraden Linie. Distanz s Bewegungspunkt, gezählt von einer Anfangsposition M 0 , hängt von der Zeit ab t, d.h. s ist eine Funktion der Zeit t: s= f(t). Irgendwann lassen t bewegender Punkt M war auf Distanz s aus der Startposition M 0, und irgendwann im nächsten Moment t+D t war in der lage M 1 - auf Distanz s+D s aus der Ausgangsposition ( siehe Bild.).

Also für eine gewisse Zeit D t Distanz s um den Wert D geändert s. In diesem Fall sagen wir, dass während des Zeitintervalls D t Größe s erhaltenes Inkrement D s.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes nicht in allen Fällen genau charakterisieren. M damals t. Wenn zum Beispiel der Körper zu Beginn des Intervalls D t sehr schnell bewegt und am Ende sehr langsam, dann kann die Durchschnittsgeschwindigkeit die angegebenen Merkmale der Bewegung des Punktes nicht widerspiegeln und eine Vorstellung von der wahren Geschwindigkeit seiner Bewegung im Moment geben t. Um die wahre Geschwindigkeit anhand der Durchschnittsgeschwindigkeit genauer auszudrücken, müssen Sie sich eine kürzere Zeitdauer D nehmen t. Es charakterisiert am vollständigsten die Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes im Moment t die Grenze, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei D tendiert t® 0. Diese Grenze wird als Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bezeichnet:

Somit ist die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements des Pfades D s zum Zeitschritt D t wenn das Zeitinkrement gegen Null geht. Als

Der geometrische Wert der Ableitung. Tangente an den Graphen einer Funktion.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines jener Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung geführt haben. Die erste veröffentlichte Arbeit zur Differentialrechnung, geschrieben von Leibniz, trug den Titel Eine neue Methode von Maxima und Minima sowie Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis darstellen, und eine besondere Art von Kalkül dafür.

Die Kurve sei der Graph der Funktion j =f(x) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ( cm. Reis.).

Für einen gewissen Wert x Funktion zählt j =f(x). Diese Werte x und j Punkt auf der Kurve M 0(x, j). Wenn das Argument x geben Erhöhung D x, dann der neue Wert des Arguments x+D x entspricht dem neuen Wert der Funktion j+ D j = f(x + D x). Der entsprechende Punkt der Kurve ist der Punkt M 1(x+D x,j+D j). Wenn wir eine Sekante ziehen M 0M 1 und bezeichne mit j Winkel, der durch eine Sekante mit positiver Achsrichtung gebildet wird Ochse, es ist direkt aus der Abbildung ersichtlich, dass .

Wenn jetzt D x gegen Null tendiert, dann der Punkt M 1 bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt M 0 und Winkel j ändert sich mit Änderung D x. Bei Dx® 0 der Winkel j tendiert zu einer gewissen Grenze a und die Linie, die durch den Punkt verläuft M 0 und die Komponente mit der positiven Richtung der Abszissenachse, Winkel a, wird die gewünschte Tangente sein. Seine Steigung:

Folglich, f´( x) = tga

diese. abgeleiteter Wert f´( x) für einen gegebenen Wert des Arguments x gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an den Graphen der Funktion bildet f(x) an der entsprechenden Stelle M 0(x,j) mit positiver Achsrichtung Ochse.

Differenzierbarkeit von Funktionen.

Definition. Wenn die Funktion j = f(x) hat an dem Punkt eine Ableitung x = x 0, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Stetigkeit einer Funktion, die eine Ableitung hat. Satz.

Wenn die Funktion j = f(x) ist irgendwann differenzierbar x = x 0, dann ist sie an dieser Stelle stetig.

Daher kann die Funktion an Unstetigkeitspunkten keine Ableitung haben. Der Umkehrschluss ist falsch, d.h. davon ab, dass irgendwann x = x 0 Funktion j = f(x) stetig ist, folgt daraus nicht, dass sie an dieser Stelle differenzierbar ist. Zum Beispiel die Funktion j = |x| durchgehend für alle x(–½ x x = 0 hat keine Ableitung. An diesem Punkt gibt es keine Tangente an den Graphen. Es gibt eine rechte Tangente und eine linke Tangente, aber sie fallen nicht zusammen.

Einige Sätze über differenzierbare Funktionen. Satz über die Wurzeln der Ableitung (Satz von Roll). Wenn die Funktion f(x) ist auf dem Segment kontinuierlich [a,b], ist an allen inneren Punkten dieses Segments und an den Enden differenzierbar x = a und x = b verschwindet ( f(a) = f(b) = 0), dann innerhalb des Segments [ a,b] gibt es mindestens einen Punkt x= Mit, a c b, in dem die Ableitung fў( x) verschwindet, d.h. fў( c) = 0.

Satz der endlichen Inkremente (Satz von Lagrange). Wenn die Funktion f(x) ist stetig auf dem Segment [ a, b] und ist an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, dann innerhalb des Segments [ a, b] gibt es mindestens einen Punkt Mit, a c b das

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Satz über das Verhältnis der Inkremente zweier Funktionen (Satz von Cauchy). Wenn ein f(x) und g(x) sind zwei auf dem Segment stetige Funktionen [a, b] und differenzierbar an allen inneren Punkten dieses Segments, und gў( x) verschwindet nirgendwo innerhalb dieses Segments, dann innerhalb des Segments [ a, b] gibt es einen solchen Punkt x = Mit, a c b das

Derivate verschiedener Ordnungen.

Lassen Sie die Funktion j =f(x) ist in einem gewissen Intervall differenzierbar [ a, b]. Abgeleitete Werte f ў( x), allgemein gesprochen, abhängen x, d.h. Derivat f ў( x) ist auch eine Funktion von x. Beim Differenzieren dieser Funktion erhält man die sogenannte zweite Ableitung der Funktion f(x), was bezeichnet wird f ўў ( x).

Derivat n- Reihenfolge der Funktion f(x) heißt die Ableitung (erster Ordnung) der Ableitung n- 1- Mai und ist mit dem Symbol gekennzeichnet j(n) = (j(n– 1))Þ.

Differentiale verschiedener Ordnungen.

Funktion Differential j = f(x), wo x eine unabhängige Variable ist, ist dy = f ў( x)dx, einige Funktion aus x, aber von x nur der erste Faktor kann abhängen f ў( x), während der zweite Faktor ( dx) ist das Inkrement der unabhängigen Variablen x und hängt nicht vom Wert dieser Variablen ab. Als dy Es gibt eine Funktion von x, dann können wir das Differential dieser Funktion bestimmen. Das Differential des Differentials einer Funktion wird als Differential zweiter oder zweiter Ordnung dieser Funktion bezeichnet und mit bezeichnet d 2j:

d(dx) = d 2j = f ўў( x)(dx) 2 .

Differential n- Ordnung heißt das erste Differential des Differentials n- 1- bestellen:

d n y = d(n–1j) = f(n)(x)dx(n).

Privates Derivat.

Wenn die Funktion nicht von einem, sondern von mehreren Argumenten abhängt x ich(ichändert sich von 1 auf n,ich= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), dann wird in die Differentialrechnung der Begriff der partiellen Ableitung eingeführt, der die Änderungsgeschwindigkeit einer Funktion mehrerer Variablen charakterisiert, wenn sich beispielsweise nur ein Argument ändert, x ich. Partielle Ableitung 1. Ordnung bzgl x ich als gewöhnliche Ableitung definiert ist, wird davon ausgegangen, dass alle Argumente außer x ich, Werte konstant halten. Für partielle Ableitungen führen wir die Notation ein

So definierte partielle Ableitungen 1. Ordnung (als Funktionen derselben Argumente) können wiederum auch partielle Ableitungen haben, das sind partielle Ableitungen zweiter Ordnung usw. In Bezug auf verschiedene Argumente werden solche Ableitungen als gemischt bezeichnet. Kontinuierliche gemischte Ableitungen gleicher Ordnung hängen nicht von der Differenzierungsordnung ab und sind einander gleich.

Anna Tschugainowa

Die Ableitung einer Funktion ist eines der schwierigsten Themen im Schullehrplan. Nicht jeder Absolvent wird die Frage beantworten, was ein Derivat ist.

Dieser Artikel erklärt einfach und klar, was ein Derivat ist und warum es benötigt wird.. Wir werden jetzt keine mathematische Strenge der Darstellung anstreben. Das Wichtigste ist, die Bedeutung zu verstehen.

Erinnern wir uns an die Definition:

Die Ableitung ist die Änderungsrate der Funktion.

Die Abbildung zeigt Graphen von drei Funktionen. Welche wächst deiner Meinung nach am schnellsten?

Die Antwort liegt auf der Hand - die dritte. Es hat die höchste Änderungsrate, dh die größte Ableitung.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Kostya, Grisha und Matvey bekamen gleichzeitig Jobs. Mal sehen, wie sich ihr Einkommen im Laufe des Jahres verändert hat:

Sie können sofort alles auf dem Diagramm sehen, richtig? Kostyas Einkommen hat sich in sechs Monaten mehr als verdoppelt. Und Grishas Einkommen stieg auch, aber nur ein bisschen. Und Matthews Einkommen ging auf null zurück. Die Startbedingungen sind die gleichen, aber die Änderungsrate der Funktion, d.h. Derivat, - anders. Bei Matvey ist die Ableitung seines Einkommens im Allgemeinen negativ.

Intuitiv können wir die Änderungsrate einer Funktion leicht abschätzen. Aber wie machen wir das?

Was wir wirklich sehen, ist, wie steil der Graph der Funktion nach oben (oder nach unten) geht. Mit anderen Worten, wie schnell sich y mit x ändert. Offensichtlich kann dieselbe Funktion an verschiedenen Punkten einen anderen Wert der Ableitung haben – das heißt, sie kann sich schneller oder langsamer ändern.

Die Ableitung einer Funktion wird mit bezeichnet.

Lassen Sie uns zeigen, wie man mithilfe des Diagramms findet.

Ein Graph einer Funktion wird gezeichnet. Nehmen Sie einen Punkt darauf mit einer Abszisse. Zeichnen Sie an dieser Stelle eine Tangente an den Graphen der Funktion. Wir wollen auswerten, wie steil der Graph der Funktion nach oben geht. Ein praktischer Wert dafür ist Tangente der Steigung der Tangente.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Bitte beachten Sie - als Neigungswinkel der Tangente nehmen wir den Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse.

Manchmal fragen die Schüler, was die Tangente an den Graphen einer Funktion ist. Dies ist eine gerade Linie, die außerdem den einzigen gemeinsamen Punkt mit dem Diagramm in diesem Abschnitt hat, wie in unserer Abbildung gezeigt. Es sieht aus wie eine Tangente an einen Kreis.

Lass uns finden . Wir erinnern uns, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten ist. Aus Dreieck:

Wir haben die Ableitung mithilfe des Diagramms gefunden, ohne die Formel der Funktion zu kennen. Solche Aufgaben finden sich oft in der Klausur in Mathematik unter der Nummer.

Es gibt noch einen weiteren wichtigen Zusammenhang. Denken Sie daran, dass die Gerade durch die Gleichung gegeben ist

Die Menge in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Sie ist gleich der Tangente des Neigungswinkels der Geraden zur Achse.

.

Das verstehen wir

Erinnern wir uns an diese Formel. Es drückt die geometrische Bedeutung der Ableitung aus.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente, die an diesem Punkt an den Graphen der Funktion gezogen wird.

Mit anderen Worten, die Ableitung ist gleich der Tangente der Steigung der Tangente.

Wir haben bereits gesagt, dass dieselbe Funktion an verschiedenen Stellen unterschiedliche Ableitungen haben kann. Mal sehen, wie die Ableitung mit dem Verhalten der Funktion zusammenhängt.

Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion zeichnen. Lassen Sie diese Funktion in einigen Bereichen zunehmen und in anderen abnehmen, und zwar mit unterschiedlichen Raten. Und lassen Sie diese Funktion maximale und minimale Punkte haben.

An einem Punkt nimmt die Funktion zu. Die am Punkt gezeichnete Tangente an den Graphen bildet einen spitzen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Also ist die Ableitung an dem Punkt positiv.

An diesem Punkt nimmt unsere Funktion ab. Die Tangente bildet an dieser Stelle einen stumpfen Winkel; mit positiver Achsrichtung. Da der Tangens eines stumpfen Winkels negativ ist, ist die Ableitung am Punkt negativ.

Folgendes passiert:

Wenn eine Funktion wächst, ist ihre Ableitung positiv.

Wenn es abnimmt, ist seine Ableitung negativ.

Und was passiert bei den Höchst- und Mindestpunkten? Wir sehen, dass bei (Maximalpunkt) und (Minimalpunkt) die Tangente horizontal ist. Daher ist die Tangente der Steigung der Tangente an diesen Punkten Null, und die Ableitung ist ebenfalls Null.

Der Punkt ist der Maximalpunkt. An dieser Stelle wird die Zunahme der Funktion durch eine Abnahme ersetzt. Folglich ändert sich das Vorzeichen der Ableitung an der Stelle von „Plus“ auf „Minus“.

Am Punkt – dem Minimalpunkt – ist die Ableitung ebenfalls gleich Null, ändert aber ihr Vorzeichen von „minus“ auf „plus“.

Fazit: Mit Hilfe der Ableitung erfahren Sie alles, was uns über das Verhalten der Funktion interessiert.

Wenn die Ableitung positiv ist, dann steigt die Funktion.

Wenn die Ableitung negativ ist, dann ist die Funktion fallend.

Am Maximalpunkt ist die Ableitung Null und wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus.

Am Minimalpunkt ist die Ableitung ebenfalls Null und wechselt das Vorzeichen von Minus zu Plus.

Wir schreiben diese Erkenntnisse in Form einer Tabelle:

	steigt	Höchstpunkt	sinkt	Mindestpunkt	steigt
+	0	-	0	+

Machen wir zwei kleine Klarstellungen. Sie werden einen davon benötigen, wenn Sie das Problem lösen. Ein anderer - im ersten Jahr mit einer ernsthafteren Untersuchung von Funktionen und Derivaten.

Es ist ein Fall möglich, in dem die Ableitung einer Funktion irgendwann gleich Null ist, die Funktion aber an dieser Stelle weder ein Maximum noch ein Minimum hat. Diese sog :

An einem Punkt ist die Tangente an den Graphen horizontal und die Ableitung ist Null. Vor dem Punkt nahm die Funktion jedoch zu - und nach dem Punkt steigt sie weiter an. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich nicht – es ist positiv geblieben wie es war.

Es kommt auch vor, dass am Punkt des Maximums oder Minimums die Ableitung nicht existiert. In der Grafik entspricht dies einem scharfen Bruch, wenn es unmöglich ist, an einem bestimmten Punkt eine Tangente zu zeichnen.

Aber wie findet man die Ableitung, wenn die Funktion nicht durch einen Graphen, sondern durch eine Formel gegeben ist? In diesem Fall gilt es

Anwendung

Die Lösung des Derivats zur Website, um das von Studenten und Schülern abgedeckte Material zu konsolidieren. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion in wenigen Sekunden ist nicht schwierig, wenn Sie unseren Online-Problemlösungsdienst nutzen. Jeder dritte Student wird in der Lage sein, eine detaillierte Analyse für ein gründliches Studium in einer praktischen Lektion zu geben. Oft werden wir von der Abteilung der zuständigen Abteilung für Mathematikförderung in den Bildungseinrichtungen des Landes angesprochen. Wie in diesem Fall ganz zu schweigen von der Online-Lösung der Ableitung für einen abgeschlossenen Raum von Zahlenfolgen. Viele wohlhabende Privatpersonen dürfen ihrer Verwunderung Ausdruck verleihen. Aber in der Zwischenzeit sitzen Mathematiker nicht still und arbeiten hart. Die Änderung der Eingabeparameter nach linearen Merkmalen wird vom Ableitungsrechner hauptsächlich aufgrund der Vorherrschaft der absteigenden Positionen der Würfel akzeptiert. Das Ergebnis ist als Oberfläche unvermeidlich. Als Ausgangsdaten erspart das Online-Derivat unnötige Schritte. Außer fiktive Hausaufgaben. Abgesehen davon, dass das Online-Lösen von Ableitungen ein notwendiger und wichtiger Aspekt des Mathematiklernens ist, erinnern sich Schüler oft nicht an Probleme aus der Vergangenheit. Der Student versteht dies wie ein faules Geschöpf. Aber Studenten sind lustige Leute! Entweder tun Sie es nach den Regeln, oder die Ableitung der Funktion in einer schiefen Ebene kann einen materiellen Punkt beschleunigen. Lassen Sie uns den Vektor des absteigenden räumlichen Strahls irgendwohin lenken. In der gewünschten Antwort scheint das Finden der Ableitung aufgrund der Instabilität des mathematischen Systems eine abstrakte theoretische Richtung zu sein. Stellen Sie sich ein Zahlenverhältnis als eine Folge ungenutzter Optionen vor. Der Kommunikationskanal wurde mit der fünften Linie entlang des absteigenden Vektors vom Punkt der geschlossenen Verzweigung des Würfels aufgefüllt. Auf der Ebene gekrümmter Räume führt uns das Online-Lösen der Ableitung zu einer Schlussfolgerung, die die größten Köpfe des Planeten im letzten Jahrhundert zum Nachdenken gebracht hat. Im Zuge der Veranstaltungen aus dem Bereich der Mathematik wurden fünf grundlegend wichtige Faktoren, die zur Verbesserung der Position der Variablenwahl beitragen, in die öffentliche Diskussion gebracht. Das Punktegesetz besagt also, dass das Online-Derivat nicht in jedem Fall detailliert berechnet wird, nur ein loyal fortschreitender Moment kann eine Ausnahme sein. Die Prognose brachte uns in eine neue Entwicklungsrunde. Wir brauchen ein Ergebnis. In der Linie der unter der Oberfläche verlaufenden mathematischen Steigung befindet sich der Rechner der Modenableitungen im Bereich des Schnittpunkts der Produkte auf dem Biegesatz. Es bleibt die Differenzierung der Funktion an ihrem unabhängigen Punkt in der Nähe der Epsilon-Nachbarschaft zu analysieren. Das sieht jeder in der Praxis. Infolgedessen wird es in der nächsten Phase der Programmierung etwas zu entscheiden geben. Der Student braucht das Online-Derivat wie immer, unabhängig von den imaginären Studien, die praktiziert werden. Es stellt sich heraus, dass die Online-Lösung der Ableitungsfunktion multipliziert mit einer Konstanten nicht die allgemeine Bewegungsrichtung des materiellen Punktes ändert, sondern die Geschwindigkeitszunahme in einer geraden Linie charakterisiert. In diesem Sinne ist es nützlich, unseren Ableitungsrechner anzuwenden und alle Werte einer Funktion für den gesamten Satz ihrer Definition zu berechnen. Es ist einfach nicht nötig, die Kraftwellen des Gravitationsfeldes zu studieren. In keinem Fall wird die Online-Derivatlösung die Neigung des ausgehenden Strahls anzeigen, aber nur in seltenen Fällen, wenn es wirklich notwendig ist, können sich Universitätsstudenten dies vorstellen. Wir untersuchen den Auftraggeber. Der Wert des kleinsten Rotors ist vorhersagbar. Wenden Sie auf das Ergebnis die nach rechts gerichteten Linien an, entlang derer die Kugel beschrieben wird, aber der Online-Ableitungsrechner ist die Grundlage für Zahlen mit besonderer Stärke und nichtlinearer Abhängigkeit. Der Mathematik-Projektbericht ist fertig. Persönliche Eigenschaften Die Differenz der kleinsten Zahlen und die Ableitung der Funktion entlang der y-Achse bringen die Konkavität derselben Funktion auf die Höhe. Es gibt eine Richtung - es gibt eine Schlussfolgerung. Es ist einfacher, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Es gibt einen Vorschlag von Studierenden zum Zeitpunkt des Studienbeginns. Brauche die Antwort eines Lehrers. Auch hier wird das mathematische System wie in der vorherigen Position nicht auf der Grundlage einer Aktion reguliert, die beim Auffinden der Ableitung hilft.Wie die niedrigere halblineare Version zeigt die Online-Ableitung im Detail die Identifizierung der Lösung gemäß an degeneriertes bedingtes Gesetz. Stellen Sie einfach die Idee vor, Formeln zu berechnen. Die lineare Differentiation einer Funktion weist die Wahrheit der Lösung zurück, indem sie einfach irrelevante positive Variationen auslegt. Die Bedeutung der Vergleichszeichen wird als kontinuierlicher Bruch der Funktion entlang der Achse betrachtet. Dies ist laut dem Studenten die Bedeutung der bewusstesten Schlussfolgerung, in der das Online-Derivat etwas anderes als ein treues Beispiel mathematischer Analyse ist. Der Radius eines gekrümmten Kreises im euklidischen Raum hingegen gab dem Ableitungsrechner eine natürliche Darstellung des Austauschs entscheidender Probleme für die Stabilität. Die beste Methode ist gefunden. Es war einfacher, die Aufgabe zu leveln. Lassen Sie die Anwendbarkeit des unabhängigen Differenzenanteils zur Lösung der Ableitungen online führen. Die Lösung dreht sich um die x-Achse und beschreibt die Figur eines Kreises. Es gibt einen Ausweg, und er basiert auf Forschung, die von Universitätsstudenten theoretisch unterstützt wird, von der jeder lernt, und sogar zu diesen Zeitpunkten gibt es eine Ableitung der Funktion. Wir haben einen Weg gefunden, um voranzukommen, und die Studenten haben ihn bestätigt. Wir können es uns leisten, die Ableitung zu finden, ohne über einen unnatürlichen Ansatz zur Transformation des mathematischen Systems hinauszugehen. Das linke Proportionalzeichen wächst exponentiell als mathematische Darstellung des Online-Ableitungsrechners aufgrund des unbekannten Umstands linearer Faktoren auf der unendlichen y-Achse. Mathematiker auf der ganzen Welt haben die Exklusivität des Produktionsprozesses bewiesen. Innerhalb eines Kreises gibt es gemäß der Beschreibung der Theorie ein kleinstes Quadrat. Auch hier wird das Online-Derivat unsere Vermutung weiter ausführen, was die theoretisch verfeinerte Meinung überhaupt beeinflusst haben könnte. Es gab Meinungen anderer Art als in dem von uns analysierten Bericht. Gesonderte Aufmerksamkeit darf Studenten unserer Fakultäten nicht widerfahren, aber nur nicht klugen und fortgeschrittenen Mathematikern, bei denen die Differenzierung einer Funktion nur eine Ausrede ist. Die mechanische Bedeutung der Ableitung ist sehr einfach. Die Auftriebskraft wird als Online-Ableitung für die abfallenden Beharrungsräume zeitlich berechnet. Offensichtlich ist der Ableitungsrechner ein rigoroser Prozess zur Beschreibung des Problems der Entartung einer künstlichen Transformation als amorpher Körper. Die erste Ableitung spricht von einer Änderung der Bewegung eines materiellen Punktes. Der dreidimensionale Raum wird offensichtlich im Zusammenhang mit speziell trainierten Technologien zum Lösen von Ableitungen online betrachtet, eigentlich ist er in jedem Kolloquium zum Thema mathematische Disziplin. Die zweite Ableitung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung eines materiellen Punktes und bestimmt die Beschleunigung. Der auf der Verwendung einer affinen Transformation basierende Meridianansatz bringt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus dem Definitionsbereich dieser Funktion auf eine neue Ebene. Ein Online-Ableitungsrechner kann in manchen Fällen nicht ohne Zahlen und symbolische Notation zum richtigen Zeitpunkt der Ausführung auskommen, abgesehen von der umwandelbaren Anordnung der Dinge der Aufgabe. Überraschenderweise gibt es eine zweite Beschleunigung eines materiellen Punktes, diese charakterisiert die Beschleunigungsänderung. In kurzer Zeit werden wir beginnen, die Lösung des Derivats online zu studieren, aber sobald ein bestimmter Meilenstein im Wissen erreicht ist, wird unser Schüler diesen Prozess beenden. Das beste Mittel zum Netzwerken ist ein Live-Chat zu einem mathematischen Thema. Es gibt Grundsätze, die auf keinen Fall verletzt werden dürfen, egal wie schwierig die Aufgabe ist. Es ist sinnvoll, das Derivat rechtzeitig und fehlerfrei online zu finden. Dies führt zu einer neuen Position des mathematischen Ausdrucks. Das System ist stabil. Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist nicht so populär wie die mechanische. Es ist unwahrscheinlich, dass sich jemand daran erinnert, wie die Online-Ableitung in der Ebene den Umriss der Linien der Funktion zur Normalen aus dem Dreieck neben der x-Achse detailliert herausgearbeitet hat. Der Mensch verdient eine große Rolle in der Forschung des letzten Jahrhunderts. Führen wir in drei elementaren Stufen die Differentiation der Funktion an Punkten sowohl aus dem Definitionsbereich als auch im Unendlichen durch. Wird nur im Studienbereich geschrieben, kann aber den Platz des Hauptvektors in Mathematik und Zahlentheorie einnehmen, sobald das, was passiert, den Online-Ableitungsrechner mit dem Problem verbindet. Es würde einen Grund geben, aber es wird einen Grund geben, eine Gleichung aufzustellen. Es ist sehr wichtig, alle Eingabeparameter im Auge zu behalten. Das Beste wird nicht immer frontal genommen, dahinter steckt ein kolossaler Arbeitsaufwand der besten Köpfe, die wussten, wie das Online-Derivat im Weltraum berechnet wird. Seitdem wird die Konvexität als Eigenschaft einer stetigen Funktion betrachtet. Dennoch ist es besser, sich zunächst die Aufgabe zu stellen, Derivate in kürzester Zeit online zu lösen. Damit ist die Lösung vollständig. Neben den nicht erfüllten Normen wird dies als nicht ausreichend angesehen. Anfangs schlägt fast jeder Student vor, eine einfache Methode vorzustellen, wie die Ableitung einer Funktion einen umstrittenen Wachstumsalgorithmus verursacht. In Richtung des aufsteigenden Balkens. Dies ist als allgemeine Position sinnvoll. Früher markierten sie den Beginn der Vollendung einer bestimmten mathematischen Handlung, heute wird es umgekehrt sein. Vielleicht wird die Lösung des Derivats online das Thema erneut aufwerfen, und wir werden eine gemeinsame Meinung über seine Erhaltung bei der Diskussion des Lehrertreffens akzeptieren. Wir hoffen auf Verständnis von allen Seiten der Tagungsteilnehmer. Die logische Bedeutung ist in der Beschreibung des Ableitungsrechners in der Resonanz von Zahlen über die Reihenfolge der Präsentation des Gedankens des Problems enthalten, das im letzten Jahrhundert von den großen Wissenschaftlern der Welt beantwortet wurde. Es hilft, eine komplexe Variable aus dem konvertierten Ausdruck zu extrahieren und die Ableitung online zu finden, um eine massive Aktion des gleichen Typs auszuführen. Die Wahrheit ist viel besser als Vermutungen. Der kleinste Wert im Trend. Das Ergebnis lässt nicht lange auf sich warten, wenn Sie einen einzigartigen Dienst für die genaueste Ortung nutzen, für den es ein Online-Derivat im Detail gibt. Indirekt, aber auf den Punkt gebracht, wie ein weiser Mann sagte, wurde auf Wunsch vieler Studenten aus verschiedenen Städten der Union ein Online-Derivaterechner erstellt. Wenn es einen Unterschied gibt, warum dann zweimal entscheiden. Der gegebene Vektor liegt auf der gleichen Seite wie die Normale. Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Differenzierung einer Funktion keineswegs so wahrgenommen wie heute. Dank der laufenden Entwicklung ist die Online-Mathematik erschienen. Im Laufe der Zeit vergessen die Studenten, mathematische Disziplinen zu würdigen. Die Online-Lösung des Derivats wird unsere These herausfordern, die zu Recht auf der Anwendung der Theorie basiert und durch praktisches Wissen unterstützt wird. Werde über den bestehenden Wert des Darstellungsfaktors hinausgehen und die Formel in expliziter Form für die Funktion schreiben. Es kommt vor, dass Sie das Derivat jetzt online finden müssen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden, aber Sie können immer auf den Trick des Studenten zurückgreifen und einen solchen Dienst trotzdem als Website nutzen. Somit spart der Student viel Zeit beim Kopieren von Beispielen aus einem Notizbuchentwurf in eine endgültige Form. Wenn es keine Widersprüche gibt, dann nutzen Sie für solche komplexen Beispiele den Schritt-für-Schritt-Lösungsservice.