Was ist der Umfang eines Rechtecks? Die Formel zur Berechnung des Umfangs. Erkundung eines neuen Themas

Unterricht und Präsentation zum Thema: "Umfang und Fläche eines Rechtecks"

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Was ist ein rechteck und ein quadrat

Rechteck ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln. Die gegenüberliegenden Seiten sind also einander gleich.

Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten und Winkeln. Es wird ein regelmäßiges Viereck genannt.

Vierecke, einschließlich Rechtecke und Quadrate, werden mit 4 Buchstaben bezeichnet - Eckpunkten. Lateinische Buchstaben werden verwendet, um Scheitelpunkte zu bezeichnen: A B C D...

Beispiel.

Es lautet wie folgt: Viereck ABCD; Quadrat EFGH.

Was ist der Umfang eines Rechtecks? Formel zur Berechnung des Umfangs

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Rechtecks ​​oder die Summe aus Länge und Breite multipliziert mit 2.

Der Umfang wird durch den lateinischen Buchstaben angegeben P. Da der Umfang die Länge aller Seiten des Rechtecks ​​ist, wird der Umfang in Längeneinheiten geschrieben: mm, cm, m, dm, km.

Beispielsweise wird der Umfang eines Rechtecks ​​ABCD bezeichnet als P ABCD, wobei A, B, C, D die Eckpunkte des Rechtecks ​​sind.

Schreiben wir die Formel für den Umfang des Vierecks ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Beispiel.
Gegeben sei ein Rechteck ABCD mit den Seiten: AB=CD=5 cm und AD=BC=3 cm.
Lassen Sie uns P ABCD definieren.

Lösung:
1. Zeichnen wir ein Rechteck ABCD mit Anfangsdaten.
2. Schreiben wir eine Formel zur Berechnung des Umfangs dieses Rechtecks:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Antwort: P ABCD = 16 cm.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats

Wir haben eine Formel, um den Umfang eines Rechtecks ​​zu bestimmen.

P ABCD=2*(AB+BC)

Lassen Sie uns damit den Umfang eines Quadrats ermitteln. Da alle Seiten des Quadrats gleich sind, erhalten wir:

P ABCD=4*AB

Beispiel.
Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit einer Seitenlänge von 6 cm: Bestimme den Umfang des Quadrats.

Lösung.
1. Zeichnen Sie ein Quadrat ABCD mit den Originaldaten.

2. Erinnern Sie sich an die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats:

P ABCD=4*AB

3. Setzen Sie unsere Daten in die Formel ein:

P ABCD=4*6cm=24cm

Antwort: P ABCD = 24 cm.

Probleme zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks

1. Messen Sie die Breite und Länge der Rechtecke. Bestimme ihren Umfang.

2. Zeichne ein Rechteck ABCD mit den Seiten 4 cm und 6 cm und bestimme den Umfang des Rechtecks.

3. Zeichne ein CEOM-Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm und bestimme den Umfang des Quadrats.

Wo wird die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks ​​verwendet?

1. Ein Grundstück wird gegeben, es muss eingezäunt werden. Wie lang soll der Zaun sein?

Bei dieser Aufgabe muss der Umfang des Geländes genau berechnet werden, um kein zusätzliches Material für den Bau eines Zauns zu kaufen.

2. Die Eltern beschlossen, Reparaturen im Kinderzimmer durchzuführen. Sie müssen den Umfang des Raums und seine Fläche kennen, um die Anzahl der Tapeten korrekt zu berechnen.
Bestimmen Sie die Länge und Breite des Raumes, in dem Sie wohnen. Bestimmen Sie den Umfang Ihres Zimmers.

Was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?

Quadrat- Dies ist ein numerisches Merkmal der Figur. Die Fläche wird in quadratischen Längeneinheiten gemessen: cm 2, m 2, dm 2 usw. (Quadratzentimeter, Quadratmeter, Quadratdezimeter usw.)
In Berechnungen wird es mit dem lateinischen Buchstaben bezeichnet S.

Um die Fläche eines Rechtecks ​​zu finden, multipliziere die Länge des Rechtecks ​​mit seiner Breite.
Die Fläche des Rechtecks ​​wird berechnet, indem die Länge von AK mit der Breite von KM multipliziert wird. Schreiben wir das als Formel.

S AKMO=AK*KM

Beispiel.
Wie groß ist die Fläche des Rechtecks ​​AKMO, wenn seine Seiten 7 cm und 2 cm lang sind?

S AKMO \u003d AK * KM \u003d 7 cm * 2 cm \u003d 14 cm 2.

Antwort: 14 cm².

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats

Die Fläche eines Quadrats lässt sich ermitteln, indem man die Seite mit sich selbst multipliziert.

Beispiel.
In diesem Beispiel wird die Fläche des Quadrats berechnet, indem die Seite AB mit der Breite BC multipliziert wird, aber da sie gleich sind, ist das Ergebnis die Multiplikation der Seite AB mit AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Beispiel.
Finden Sie die Fläche des Quadrats AKMO mit einer Seitenlänge von 8 cm.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Antwort: 64 cm².

Probleme, die Fläche eines Rechtecks ​​und eines Quadrats zu finden

1. Gegeben ist ein Rechteck mit Seiten von 20 mm und 60 mm. Berechne seine Fläche. Schreiben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern.

2. Es wurde ein Vorortgebiet mit einer Größe von 20 m x 30 m gekauft. Bestimmen Sie die Fläche des Sommerhauses und notieren Sie die Antwort in Quadratzentimetern.

Eines der Grundkonzepte der Mathematik ist der Umfang eines Rechtecks. Zu diesem Thema gibt es viele Probleme, deren Lösung nicht ohne die Umfangsformel und die Fähigkeiten zu ihrer Berechnung auskommen kann.

Grundlegendes Konzept

Ein Rechteck ist ein Viereck, in dem alle Winkel rechtwinklig sind und gegenüberliegende Seiten paarweise gleich und parallel sind. In unserem Leben haben viele Figuren die Form eines Rechtecks, zum Beispiel die Oberfläche eines Tisches, eines Notizbuchs und so weiter.

Betrachten Sie ein Beispiel: Entlang der Grundstücksgrenzen muss ein Zaun errichtet werden. Um die Länge jeder Seite herauszufinden, müssen Sie sie messen.

Reis. 1. Grundstück in Form eines Rechtecks.

Das Grundstück hat Seiten mit einer Länge von 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Um die Gesamtlänge des Zauns zu ermitteln, müssen Sie daher die Längen aller Seiten addieren:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 m.

Dieser Wert wird im Allgemeinen als Umfang bezeichnet. Um den Umfang zu finden, müssen Sie also alle Seiten der Figur hinzufügen. Der Buchstabe P wird verwendet, um den Umfang zu bezeichnen.

Um den Umfang einer rechteckigen Figur zu berechnen, müssen Sie sie nicht in Rechtecke teilen, sondern nur alle Seiten dieser Figur mit einem Lineal (Maßband) messen und ihre Summe ermitteln.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in mm, cm, m, km usw. gemessen. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe in das gleiche Maßsystem umgerechnet.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in verschiedenen Einheiten gemessen: mm, cm, m, km und so weiter. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe in ein Maßsystem umgewandelt.

Formumfangsformel

Wenn wir berücksichtigen, dass gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks ​​gleich sind, dann können wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​herleiten:

$P = (a+b) * 2$, wobei a, b die Seiten der Figur sind.

Reis. 2. Rechteck, mit markierten gegenüberliegenden Seiten.

Es gibt einen anderen Weg, um den Umfang zu finden. Wenn die Aufgabe nur eine Seite und die Fläche der Figur gegeben ist, können Sie mit die andere Seite durch die Fläche ausdrücken. Dann sieht die Formel so aus:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist.

Reis. 3. Rechteck mit den Seiten a, b.

Übung : Berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks, wenn seine Seiten 4 cm und 6 cm lang sind.

Lösung:

Wir verwenden die Formel $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Der Umfang der Figur ist also $P = 20 cm$.

Da der Umfang die Summe aller Seiten einer Figur ist, ist der Halbumfang die Summe aus nur einer Länge und einer Breite. Multiplizieren Sie den halben Umfang mit 2, um den Umfang zu erhalten.

Fläche und Umfang sind die beiden Grundkonzepte zum Messen einer beliebigen Figur. Sie sollten nicht verwechselt werden, obwohl sie verwandt sind. Wenn Sie die Fläche vergrößern oder verkleinern, wird der Umfang entsprechend vergrößert oder verkleinert.

In dieser Lektion lernen wir ein neues Konzept kennen - den Umfang eines Rechtecks. Wir formulieren die Definition dieses Begriffs, leiten eine Formel zu seiner Berechnung ab. Wir wiederholen auch das Assoziativgesetz der Addition und das Distributivgesetz der Multiplikation.

In dieser Lektion lernen wir den Umfang eines Rechtecks ​​und seine Berechnung kennen.

Betrachten Sie die folgende geometrische Figur (Abb. 1):

Reis. 1. Rechteck

Diese Figur ist ein Rechteck. Erinnern wir uns, welche charakteristischen Merkmale eines Rechtecks ​​wir kennen.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen Seiten.

Was in unserem Leben kann eine rechteckige Form haben? Zum Beispiel ein Buch, eine Tischplatte oder ein Stück Land.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Aufgabe 1 (Abb. 2)

Die Bauarbeiter mussten einen Zaun um das Grundstück errichten. Die Breite dieses Abschnitts beträgt 5 Meter, die Länge 10 Meter. Welche Zaunlänge bekommen die Bauherren?

Reis. 2. Illustration für Aufgabe 1

Der Zaun wird entlang der Grundstücksgrenzen platziert. Um die Länge des Zauns herauszufinden, müssen Sie daher die Länge jeder Seite kennen. Dieses Rechteck hat gleiche Seiten: 5 Meter, 10 Meter, 5 Meter, 10 Meter. Machen wir einen Ausdruck zur Berechnung der Zaunlänge: 5 + 10 + 5 + 10. Wenden wir das kommutative Additionsgesetz an: 5+10+5+10=5+5+10+10. In diesem Ausdruck gibt es Summen identischer Terme (5 + 5 und 10 + 10). Ersetzen wir die Summen identischer Terme durch Produkte: 5+5+10+10=5 2+10 2. Wenden wir nun das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition an: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (5+10) 2. Zuerst führen wir die Aktion in Klammern aus: 5+10=15. Und dann wiederholen wir die Zahl 15 zweimal: 15 2=30.

Antwort: 30 Meter.

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: , wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist. Die Summe aus Länge und Breite wird genannt Halbumfang. Um den Umfang aus dem Halbumfang zu erhalten, müssen Sie ihn um das Zweifache erhöhen, dh mit 2 multiplizieren.

Lassen Sie uns die Rechteckumfangsformel verwenden und den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 7 cm und 3 cm ermitteln: (7+3) 2=20 (cm).

Der Umfang jeder Figur wird in linearen Einheiten gemessen.

In dieser Lektion haben wir den Umfang eines Rechtecks ​​und die Formel für seine Berechnung kennengelernt.

Das Produkt aus einer Zahl und der Summe von Zahlen ist gleich der Summe der Produkte aus der gegebenen Zahl und jedem der Terme.

Wenn der Umfang die Summe der Längen aller Seiten der Figur ist, dann ist der Halbumfang die Summe aus einer Länge und einer Breite. Wir finden den Halbumfang, wenn wir an der Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks ​​arbeiten (wenn wir die erste Operation in Klammern ausführen - (a + b)).

Referenzliste

1. Alexandrova E.I. Mathe. Note 2 - M.: Trappe, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Mathe. Note 2 - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G. V., Mirakova T. I. Mathe. Note 2 -M.: Bildung, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Hausaufgaben

1. Berechne den Umfang eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 13 Metern und einer Breite von 7 Metern.
2. Finde den halben Umfang eines Rechtecks, wenn seine Länge 8 cm und seine Breite 4 cm beträgt.
3. Berechne den Umfang eines Rechtecks, wenn sein halber Umfang 21 cm beträgt.

In dieser Lektion lernen wir ein neues Konzept kennen - den Umfang eines Rechtecks. Wir formulieren die Definition dieses Begriffs, leiten eine Formel zu seiner Berechnung ab. Wir wiederholen auch das Assoziativgesetz der Addition und das Distributivgesetz der Multiplikation.

In dieser Lektion lernen wir den Umfang eines Rechtecks ​​und seine Berechnung kennen.

Betrachten Sie die folgende geometrische Figur (Abb. 1):

Reis. 1. Rechteck

Diese Figur ist ein Rechteck. Erinnern wir uns, welche charakteristischen Merkmale eines Rechtecks ​​wir kennen.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen Seiten.

Was in unserem Leben kann eine rechteckige Form haben? Zum Beispiel ein Buch, eine Tischplatte oder ein Stück Land.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Aufgabe 1 (Abb. 2)

Die Bauarbeiter mussten einen Zaun um das Grundstück errichten. Die Breite dieses Abschnitts beträgt 5 Meter, die Länge 10 Meter. Welche Zaunlänge bekommen die Bauherren?

Reis. 2. Illustration für Aufgabe 1

Der Zaun wird entlang der Grundstücksgrenzen platziert. Um die Länge des Zauns herauszufinden, müssen Sie daher die Länge jeder Seite kennen. Dieses Rechteck hat gleiche Seiten: 5 Meter, 10 Meter, 5 Meter, 10 Meter. Machen wir einen Ausdruck zur Berechnung der Zaunlänge: 5 + 10 + 5 + 10. Wenden wir das kommutative Additionsgesetz an: 5+10+5+10=5+5+10+10. In diesem Ausdruck gibt es Summen identischer Terme (5 + 5 und 10 + 10). Ersetzen wir die Summen identischer Terme durch Produkte: 5+5+10+10=5 2+10 2. Wenden wir nun das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition an: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (5+10) 2. Zuerst führen wir die Aktion in Klammern aus: 5+10=15. Und dann wiederholen wir die Zahl 15 zweimal: 15 2=30.

Antwort: 30 Meter.

Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller seiner Seiten. Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: , wobei a die Länge des Rechtecks ​​und b die Breite des Rechtecks ​​ist. Die Summe aus Länge und Breite wird genannt Halbumfang. Um den Umfang aus dem Halbumfang zu erhalten, müssen Sie ihn um das Zweifache erhöhen, dh mit 2 multiplizieren.

Lassen Sie uns die Rechteckumfangsformel verwenden und den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seiten 7 cm und 3 cm ermitteln: (7+3) 2=20 (cm).

Der Umfang jeder Figur wird in linearen Einheiten gemessen.

In dieser Lektion haben wir den Umfang eines Rechtecks ​​und die Formel für seine Berechnung kennengelernt.

Das Produkt aus einer Zahl und der Summe von Zahlen ist gleich der Summe der Produkte aus der gegebenen Zahl und jedem der Terme.

Wenn der Umfang die Summe der Längen aller Seiten der Figur ist, dann ist der Halbumfang die Summe aus einer Länge und einer Breite. Wir finden den Halbumfang, wenn wir an der Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks ​​arbeiten (wenn wir die erste Operation in Klammern ausführen - (a + b)).

Referenzliste

1. Alexandrova E.I. Mathe. Note 2 - M.: Trappe, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Mathe. Note 2 - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G. V., Mirakova T. I. Mathe. Note 2 -M.: Bildung, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Hausaufgaben

1. Berechne den Umfang eines Rechtecks ​​mit einer Länge von 13 Metern und einer Breite von 7 Metern.
2. Finde den halben Umfang eines Rechtecks, wenn seine Länge 8 cm und seine Breite 4 cm beträgt.
3. Berechne den Umfang eines Rechtecks, wenn sein halber Umfang 21 cm beträgt.

Ein Rechteck (oder Parallelogramm) ABCD, dann hat es folgende Eigenschaften: Die parallelen Seiten sind paarweise gleich (siehe). AB = SD und AC = VD. Wenn wir das Verhältnis der Seiten in dieser Figur kennen, können wir daraus ableiten Rechteck(und Parallelogramm): P \u003d AB + SD + AC + VD. Einige Seiten seien gleich der Zahl a, die andere der Zahl b, dann P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + c). Beispiel 1. In ABCD sind die Seiten gleich AB = CD = 7 cm und AC = VD = 3 cm. Finde den Umfang eines solchen Rechtecks. Lösung: P \u003d 2 * (a + c). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 cm.

Beim Lösen von Problemen für die Summe der Seitenlängen mit einer Figur, die Quadrat oder Rhombus genannt wird, sollte eine leicht modifizierte Umfangsformel verwendet werden. Ein Quadrat und eine Raute sind Formen, die die gleichen vier Seiten haben. Basierend auf der Definition des Umfangs P \u003d AB + SD + AC + VD und unter der Annahme von Längen mit dem Buchstaben a, dann P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Beispiel 2. Eine Raute mit einer Seitenlänge von 2 cm. Finden Sie ihren Umfang. Lösung: 4*2 cm = 8 cm.

Wenn das angegebene Viereck ein Trapez ist, müssen Sie in diesem Fall nur die Längen seiner vier Seiten addieren. P \u003d AB + SD + AC + VD. Beispiel 3. Finden Sie ABCD, wenn seine Seiten gleich sind: AB = 1 cm, SD = 3 cm, AC = 4 cm, ID = 2 cm Lösung: P = AB + SD + AC + ID = 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 10 cm Es kann vorkommen, dass es sich als gleichseitig herausstellt (es hat zwei Seiten gleich), dann kann sein Umfang auf die Formel reduziert werden: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2 * a + b + s. Beispiel 4. Finden Sie den Umfang einer Gleichschenkel, wenn ihre Seitenflächen 4 cm und die Basen 2 cm und 6 cm betragen. Lösung: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4 cm + 2 cm + 6 cm \u003d 16 cm.

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Nützlicher Rat

Niemand macht sich die Mühe, den Umfang eines Vierecks (und jeder anderen Figur) als Summe der Seitenlängen zu finden, ohne die abgeleiteten Formeln zu verwenden. Sie werden aus Gründen der Zweckmäßigkeit und Vereinfachung der Berechnung angegeben. Die Lösungsmethode ist kein Fehler, die richtige Antwort und die Kenntnis der mathematischen Terminologie sind wichtig.

Quellen:

• wie man den umfang eines rechtecks ​​findet

Wir alle beginnen einmal in der Schule, den Umfang eines Rechtecks ​​zu studieren. Erinnern wir uns also, wie man es berechnet und was ist der Umfang im Allgemeinen?

Das Wort "Perimeter" kommt von zwei griechischen Wörtern: "peri", was "um", "etwa" bedeutet, und "metron", was "messen", "messen" bedeutet. Diese. Perimeter, übersetzt aus dem Griechischen, bedeutet "Messung um".