Was bedeutet es, ein Polynom zu faktorisieren? Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren, Methoden und Beispiele für die Zerlegung. Künstliche Techniken zur Faktorisierung eines Polynoms

Bei der Betrachtung der Multiplikation von Polynomen haben wir uns an mehrere Formeln erinnert, nämlich: Formeln für (a + b)², für (a – b)², für (a + b) (a – b), für (a + b)³ und für (a – b)³.

Wenn sich herausstellt, dass ein bestimmtes Polynom mit einer dieser Formeln übereinstimmt, kann es faktorisiert werden. Beispielsweise ist das Polynom a² – 2ab + b², wie wir wissen, gleich (a – b)² [oder (a – b) · (a – b), d. h. wir haben es geschafft, a² – 2ab + b² in zwei Faktoren zu faktorisieren ]; Auch

Schauen wir uns das zweite dieser Beispiele an. Wir sehen, dass das hier angegebene Polynom zu der Formel passt, die man durch Quadrieren der Differenz zweier Zahlen erhält (das Quadrat der ersten Zahl minus dem Produkt von zwei durch die erste Zahl und die zweite Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl): x 6 ist das Quadrat der ersten Zahl, und daher ist die erste Zahl selbst x 3, das Quadrat der zweiten Zahl ist das letzte Glied des gegebenen Polynoms, also 1, die zweite Zahl selbst ist daher auch 1; das Produkt von zwei durch die erste Zahl und die zweite ist der Term –2x 3, weil 2x 3 = 2 x 3 1. Daher wurde unser Polynom durch Quadrieren der Differenz der Zahlen x 3 und 1 erhalten, d.h. es ist gleich (x 3 – 12 . Schauen wir uns ein weiteres viertes Beispiel an. Wir sehen, dass dieses Polynom a 2 b 2 – 25 als Differenz der Quadrate zweier Zahlen betrachtet werden kann, nämlich das Quadrat der ersten Zahl ist a 2 b 2, daher ist die erste Zahl selbst ab, das Quadrat der Die zweite Zahl ist 25, warum ist die zweite Zahl selbst 5? Daher kann unser Polynom als durch Multiplikation der Summe zweier Zahlen mit ihrer Differenz erhalten angesehen werden, d. h.

(ab + 5) (ab – 5).

Manchmal kommt es beispielsweise vor, dass in einem bestimmten Polynom die Terme nicht in der Reihenfolge angeordnet sind, die wir gewohnt sind.

9a 2 + b 2 + 6ab – gedanklich können wir den zweiten und dritten Term neu anordnen, und dann wird uns klar, dass unser Trinom = (3a + b) 2 ist.

... (wir ordnen im Geiste den ersten und zweiten Begriff neu).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 usw.

Betrachten wir ein anderes Polynom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Wir sehen, dass sein erster Term das Quadrat der Zahl a und der dritte Term das Quadrat der Zahl 2b ist, aber der zweite Term ist nicht das Produkt von zwei durch die erste Zahl und die zweite – ein solches Produkt wäre gleich 2 a 2b = 4ab. Daher ist es unmöglich, die Formel für das Quadrat der Summe zweier Zahlen auf dieses Polynom anzuwenden. Wenn jemand schreiben würde, dass a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, dann wäre das falsch – man muss alle Terme des Polynoms sorgfältig prüfen, bevor man es mithilfe von Formeln faktorisiert.

40. Eine Kombination beider Techniken. Manchmal muss man bei der Faktorisierung von Polynomen sowohl die Technik der Herausnahme des gemeinsamen Faktors aus Klammern als auch die Technik der Verwendung von Formeln kombinieren. Hier sind Beispiele:

1. 2a 3 – 2ab 2. Nehmen wir zunächst den gemeinsamen Faktor 2a aus der Klammer und erhalten 2a (a 2 – b 2). Der Faktor a 2 – b 2 wiederum wird nach der Formel in die Faktoren (a + b) und (a – b) zerlegt.

Manchmal muss man die Formelzerlegungstechnik mehrmals anwenden:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Wir sehen, dass der erste Faktor a 2 + b 2 keiner der bekannten Formeln entspricht; Darüber hinaus werden wir anhand spezieller Divisionsfälle (Punkt 37) feststellen, dass a 2 + b 2 (die Summe der Quadrate zweier Zahlen) überhaupt nicht faktorisiert werden kann. Der zweite der resultierenden Faktoren a 2 – b 2 (die Differenz durch das Quadrat zweier Zahlen) wird in die Faktoren (a + b) und (a – b) zerlegt. Also,

41. Anwendung spezieller Teilungsfälle. Basierend auf Absatz 37 können wir beispielsweise sofort schreiben:

Was bedeutet Factoring? Das bedeutet, Zahlen zu finden, deren Produkt gleich der ursprünglichen Zahl ist.

Um zu verstehen, was es bedeutet, Faktor zu berücksichtigen, schauen wir uns ein Beispiel an.

Ein Beispiel für die Faktorisierung einer Zahl

Faktorisieren Sie die Zahl 8.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 2 mal 4 dargestellt werden:

Die Darstellung von 8 als Produkt von 2 * 4 bedeutet Faktorisierung.

Beachten Sie, dass dies nicht die einzige Faktorisierung von 8 ist.

Schließlich wird 4 wie folgt faktorisiert:

Von hier aus können 8 dargestellt werden:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Schauen wir uns unsere Antwort an. Finden wir heraus, was die Faktorisierung ist:

Das heißt, wir haben die ursprüngliche Nummer erhalten, die Antwort ist richtig.

Zerlegen Sie die Zahl 24 in Primfaktoren

Wie zerlegt man die Zahl 24 in Primfaktoren?

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch eins und sich selbst teilbar ist.

Die Zahl 8 kann als Produkt von 3 mal 8 dargestellt werden:

Hier wird die Zahl 24 faktorisiert. Aber in der Aufgabe heißt es: „Faktoriere die Zahl 24 in Primfaktoren“, d. h. Es sind die Primfaktoren, die benötigt werden. Und in unserer Erweiterung ist 3 ein Primfaktor und 8 kein Primfaktor.

Beim Faktorisieren einer Gleichung geht es darum, die Terme oder Ausdrücke zu finden, die bei Multiplikation zur Ausgangsgleichung führen. Faktorisieren ist eine nützliche Fähigkeit zur Lösung grundlegender algebraischer Probleme und wird bei der Arbeit mit quadratischen Gleichungen und anderen Polynomen nahezu unverzichtbar. Faktorisierung wird verwendet, um algebraische Gleichungen zu vereinfachen, damit sie leichter lösbar sind. Mithilfe der Faktorisierung können Sie bestimmte mögliche Antworten schneller eliminieren, als wenn Sie eine Gleichung manuell lösen würden.

Schritte

Faktorisieren von Zahlen und grundlegenden algebraischen Ausdrücken

1. Zahlen faktorisieren. Das Konzept der Faktorisierung ist einfach, aber in der Praxis kann die Faktorisierung eine Herausforderung darstellen (wenn eine komplexe Gleichung vorliegt). Schauen wir uns also zunächst das Konzept der Faktorisierung am Beispiel von Zahlen an, fahren mit einfachen Gleichungen fort und gehen dann zu komplexen Gleichungen über. Die Faktoren einer gegebenen Zahl sind die Zahlen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Beispielsweise sind die Faktoren der Zahl 12 die Zahlen: 1, 12, 2, 6, 3, 4, da 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Ebenso kann man sich die Faktoren einer Zahl als ihre Teiler vorstellen, also die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist.
   • Finden Sie alle Faktoren der Zahl 60. Wir verwenden oft die Zahl 60 (z. B. 60 Minuten in einer Stunde, 60 Sekunden in einer Minute usw.), und diese Zahl hat eine ziemlich große Anzahl von Faktoren.
     • 60 Multiplikatoren: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.

2. Erinnern: Terme eines Ausdrucks, der einen Koeffizienten (Zahl) und eine Variable enthält, können ebenfalls faktorisiert werden. Ermitteln Sie dazu die Koeffizientenfaktoren für die Variable. Wenn Sie wissen, wie man die Terme von Gleichungen faktorisiert, können Sie diese Gleichung leicht vereinfachen.

   • Beispielsweise kann der Term 12x als Produkt von 12 und x geschrieben werden. Sie können 12x auch als 3(4x), 2(6x) usw. schreiben und 12 in die Faktoren aufteilen, die für Sie am besten funktionieren.
     • Sie können 12x mehrmals hintereinander austeilen. Mit anderen Worten: Sie sollten nicht bei 3(4x) oder 2(6x) stehen bleiben; Setzen Sie die Erweiterung fort: 3(2(2x)) oder 2(3(2x)) (offensichtlich 3(4x)=3(2(2x)) usw.)

3. Wenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation an, um algebraische Gleichungen zu faktorisieren. Wenn Sie wissen, wie man Zahlen und Ausdrucksterme (Koeffizienten mit Variablen) faktorisiert, können Sie einfache algebraische Gleichungen vereinfachen, indem Sie den gemeinsamen Faktor einer Zahl und eines Ausdrucksterms ermitteln. Um eine Gleichung zu vereinfachen, müssen Sie normalerweise den größten gemeinsamen Faktor (GCD) ermitteln. Diese Vereinfachung ist aufgrund der distributiven Eigenschaft der Multiplikation möglich: Für alle Zahlen a, b, c gilt die Gleichheit a(b+c) = ab+ac.

   • Beispiel. Faktorisieren Sie die Gleichung 12x + 6. Ermitteln Sie zunächst den ggT von 12x und 6. 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12x als auch 6 teilt. Sie können diese Gleichung also faktorisieren durch: 6(2x+1).
   • Dieser Vorgang gilt auch für Gleichungen mit negativen und gebrochenen Termen. Beispielsweise kann x/2+4 in 1/2(x+8) faktorisiert werden; Beispielsweise kann -7x+(-21) in -7(x+3) faktorisiert werden.

   Quadratische Gleichungen faktorisieren

   1. Stellen Sie sicher, dass die Gleichung in quadratischer Form vorliegt (ax 2 + bx + c = 0). Quadratische Gleichungen haben die Form: ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b, c numerische Koeffizienten ungleich 0 sind. Wenn Sie eine Gleichung mit einer Variablen (x) erhalten und in dieser Gleichung ein oder mehrere Terme vorkommen Mit einer Variablen zweiter Ordnung können Sie alle Terme der Gleichung auf eine Seite der Gleichung verschieben und sie gleich Null setzen.

      • Nehmen wir zum Beispiel die Gleichung: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Dies kann in die Gleichung x 2 + 6x + 9 = 0 umgewandelt werden, die eine quadratische Gleichung ist.
      • Gleichungen mit Variable x großer Ordnung, zum Beispiel x 3, x 4 usw. sind keine quadratischen Gleichungen. Dies sind kubische Gleichungen, Gleichungen vierter Ordnung usw. (es sei denn, solche Gleichungen können zu quadratischen Gleichungen vereinfacht werden, indem die Variable x mit 2 potenziert wird).

   2. Quadratische Gleichungen mit a = 1 werden zu (x+d)(x+e) erweitert, wobei d*e=c und d+e=b. Wenn die Ihnen gegebene quadratische Gleichung die Form x 2 + bx + c = 0 hat (d. h. der Koeffizient von x 2 ist 1), dann kann eine solche Gleichung (aber nicht garantiert) auf die oben genannten Faktoren erweitert werden. Dazu müssen Sie zwei Zahlen finden, die multipliziert „c“ und addiert „b“ ergeben. Sobald Sie diese beiden Zahlen (d und e) gefunden haben, setzen Sie sie in den folgenden Ausdruck ein: (x+d)(x+e), der beim Öffnen der Klammern zur ursprünglichen Gleichung führt.

      • Angenommen, eine quadratische Gleichung x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 und 3+2=5, sodass Sie diese Gleichung in (x+3)(x+2) faktorisieren können.
      • Nehmen Sie für negative Terme die folgenden geringfügigen Änderungen am Faktorisierungsprozess vor:
        • Wenn eine quadratische Gleichung die Form x 2 -bx+c hat, dann entwickelt sie sich zu: (x-_)(x-_).
        • Wenn eine quadratische Gleichung die Form x 2 -bx-c hat, dann entwickelt sie sich zu: (x+_)(x-_).
      • Hinweis: Leerzeichen können durch Brüche oder Dezimalzahlen ersetzt werden. Beispielsweise wird die Gleichung x 2 + (21/2)x + 5 = 0 zu (x+10)(x+1/2) erweitert.

   3. Faktorisierung durch Versuch und Irrtum. Einfache quadratische Gleichungen können faktorisiert werden, indem einfach Zahlen in die möglichen Lösungen eingesetzt werden, bis Sie die richtige Lösung gefunden haben. Wenn die Gleichung die Form ax 2 +bx+c hat, wobei a>1 ist, werden mögliche Lösungen in der Form (dx +/- _)(ex +/- _) geschrieben, wobei d und e numerische Koeffizienten ungleich Null sind , die bei Multiplikation a ergeben. Entweder d oder e (oder beide Koeffizienten) können gleich 1 sein. Wenn beide Koeffizienten gleich 1 sind, verwenden Sie die oben beschriebene Methode.

      • Zum Beispiel gegeben die Gleichung 3x 2 - 8x + 4. Hier hat 3 nur zwei Faktoren (3 und 1), daher werden mögliche Lösungen als (3x +/- _)(x +/- _) geschrieben. Wenn Sie in diesem Fall die Leerzeichen durch -2 ersetzen, erhalten Sie die richtige Antwort: -2*3x=-6x und -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x und -2*-2=4, das heißt, eine solche Erweiterung beim Öffnen der Klammern führt zu den Termen der ursprünglichen Gleichung.

Was ist zu tun, wenn Sie bei der Lösung einer Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen oder bei einer Aufnahmeprüfung in Mathematik ein Polynom erhalten haben, das mit den in der Schule gelernten Standardmethoden nicht faktorisiert werden kann? In diesem Artikel erzählt Ihnen ein Mathematiklehrer von einer effektiven Methode, deren Studium außerhalb des Lehrplans der Schule liegt, mit deren Hilfe die Faktorisierung eines Polynoms jedoch nicht schwierig ist. Lesen Sie diesen Artikel bis zum Ende und schauen Sie sich das beigefügte Video-Tutorial an. Die erworbenen Kenntnisse helfen Ihnen bei der Prüfung.

Faktorisierung eines Polynoms mit der Divisionsmethode

Für den Fall, dass Sie ein Polynom größer als zweiten Grades erhalten haben und den Wert der Variablen erraten konnten, bei dem dieses Polynom gleich Null wird (dieser Wert ist beispielsweise gleich ), wissen Sie es! Dieses Polynom kann durch geteilt werden.

Es ist beispielsweise leicht zu erkennen, dass ein Polynom vierten Grades bei verschwindet. Dies bedeutet, dass es ohne Rest durch dividiert werden kann und so ein Polynom dritten Grades (weniger um eins) erhält. Das heißt, präsentieren Sie es in der Form:

Wo A, B, C Und D- einige Zahlen. Erweitern wir die Klammern:

Da die Koeffizienten für gleiche Grade gleich sein müssen, erhalten wir:

Also haben wir:

Fortfahren. Es reicht aus, mehrere kleine ganze Zahlen durchzugehen, um zu sehen, dass das Polynom dritten Grades wieder durch teilbar ist. Daraus ergibt sich ein Polynom zweiten Grades (um eins kleiner). Fahren Sie dann mit einem neuen Eintrag fort:

Wo E, F Und G- einige Zahlen. Wir öffnen die Klammern erneut und gelangen zu folgendem Ausdruck:

Aus der Bedingung der Koeffizientengleichheit für gleiche Grade erhalten wir wiederum:

Dann erhalten wir:

Das heißt, das ursprüngliche Polynom kann wie folgt faktorisiert werden:

Prinzipiell lässt sich das Ergebnis auf Wunsch mit Hilfe der Quadratdifferenzformel auch in folgender Form darstellen:

Hier ist eine einfache und effektive Möglichkeit, Polynome zu faktorisieren. Denken Sie daran, es könnte Ihnen bei einer Prüfung oder einem Mathe-Wettbewerb nützlich sein. Überprüfen Sie, ob Sie gelernt haben, diese Methode anzuwenden. Versuchen Sie, die folgende Aufgabe selbst zu lösen.

Faktorisieren Sie das Polynom:

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Material vorbereitet von Sergey Valerievich

Jedes algebraische Polynom vom Grad n kann als Produkt von n-linearen Faktoren der Form und einer konstanten Zahl dargestellt werden, die den Koeffizienten des Polynoms am höchsten Grad x entspricht, d. h.

Wo - sind die Wurzeln des Polynoms.

Die Wurzel eines Polynoms ist die Zahl (reell oder komplex), die das Polynom verschwinden lässt. Die Wurzeln eines Polynoms können entweder reelle Wurzeln oder komplex konjugierte Wurzeln sein, dann kann das Polynom in der folgenden Form dargestellt werden:

Betrachten wir Methoden zur Zerlegung von Polynomen vom Grad „n“ in das Produkt von Faktoren ersten und zweiten Grades.

Methode Nr. 1.Methode unbestimmter Koeffizienten.

Die Koeffizienten eines solchen transformierten Ausdrucks werden nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt. Der Kern der Methode besteht darin, dass die Art der Faktoren, in die ein bestimmtes Polynom zerlegt wird, im Voraus bekannt ist. Bei Verwendung der Methode der unsicheren Koeffizienten gelten folgende Aussagen:

P.1. Zwei Polynome sind identisch gleich, wenn ihre Koeffizienten für die gleichen Potenzen von x gleich sind.

S.2. Jedes Polynom dritten Grades wird in das Produkt linearer und quadratischer Faktoren zerlegt.

S.3. Jedes Polynom vierten Grades kann in das Produkt zweier Polynome zweiten Grades zerlegt werden.

Beispiel 1.1. Es ist notwendig, den kubischen Ausdruck zu faktorisieren:

P.1. Nach den anerkannten Aussagen gilt für den kubischen Ausdruck die gleiche Gleichung:

S.2. Die rechte Seite des Ausdrucks kann als Terme wie folgt dargestellt werden:

S.3. Wir stellen ein Gleichungssystem aus der Bedingung der Koeffizientengleichheit bei den entsprechenden Potenzen des kubischen Ausdrucks zusammen.

Dieses Gleichungssystem kann durch Auswahl von Koeffizienten gelöst werden (wenn es sich um ein einfaches akademisches Problem handelt) oder es können Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme verwendet werden. Bei der Lösung dieses Gleichungssystems stellen wir fest, dass die unsicheren Koeffizienten wie folgt bestimmt werden:

Somit wird der ursprüngliche Ausdruck in der folgenden Form faktorisiert:

Diese Methode kann sowohl in analytischen Berechnungen als auch in der Computerprogrammierung verwendet werden, um den Prozess der Wurzelfindung einer Gleichung zu automatisieren.

Methode Nr. 2.Vieta-Formeln

Vietas Formeln sind Formeln, die die Koeffizienten algebraischer Gleichungen vom Grad n und ihren Wurzeln verbinden. Diese Formeln wurden implizit in den Werken des französischen Mathematikers Francois Vieta (1540 – 1603) dargestellt. Aufgrund der Tatsache, dass Vieth nur positive reelle Wurzeln berücksichtigte, hatte er keine Möglichkeit, diese Formeln in allgemeiner expliziter Form zu formulieren.

Für jedes algebraische Polynom vom Grad n, das n reelle Wurzeln hat,

Es gelten folgende Beziehungen, die die Wurzeln eines Polynoms mit seinen Koeffizienten verbinden:

Die Formeln von Vieta lassen sich bequem verwenden, um die Richtigkeit der Wurzelsuche eines Polynoms zu überprüfen und aus gegebenen Wurzeln ein Polynom zu konstruieren.

Beispiel 2.1. Betrachten wir am Beispiel einer kubischen Gleichung, wie die Wurzeln eines Polynoms mit seinen Koeffizienten zusammenhängen

Gemäß den Formeln von Vieta hat die Beziehung zwischen den Wurzeln eines Polynoms und seinen Koeffizienten die folgende Form:

Ähnliche Beziehungen können für jedes Polynom vom Grad n aufgestellt werden.

Methode Nr. 3. Faktorisieren einer quadratischen Gleichung mit rationalen Wurzeln

Aus Vietas letzter Formel folgt, dass die Wurzeln eines Polynoms Teiler seines freien Termes und seines führenden Koeffizienten sind. In diesem Zusammenhang, wenn die Problemstellung ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten angibt

dann hat dieses Polynom eine rationale Wurzel (irreduzibler Bruch), wobei p der Teiler des freien Termes und q der Teiler des führenden Koeffizienten ist. In diesem Fall kann ein Polynom vom Grad n dargestellt werden als (Satz von Bezout):

Ein Polynom, dessen Grad um 1 kleiner ist als der Grad des Anfangspolynoms, wird durch Division eines Polynoms vom Grad n durch ein Binomial bestimmt, beispielsweise nach dem Horner-Schema oder auf einfachste Weise – „Spalte“.

Beispiel 3.1. Es ist notwendig, das Polynom zu faktorisieren

P.1. Aufgrund der Tatsache, dass der Koeffizient des höchsten Termes gleich eins ist, sind die rationalen Wurzeln dieses Polynoms Teiler des freien Termes des Ausdrucks, d.h. können ganze Zahlen sein . Wir setzen jede der dargestellten Zahlen in den ursprünglichen Ausdruck ein und stellen fest, dass die Wurzel des dargestellten Polynoms gleich ist.

Teilen wir das ursprüngliche Polynom durch ein Binomial:

Lassen Sie uns Horners Schema verwenden

Die Koeffizienten des ursprünglichen Polynoms werden in der oberen Zeile eingestellt, während die erste Zelle der oberen Zeile leer bleibt.

In die erste Zelle der zweiten Zeile wird die gefundene Wurzel geschrieben (im betrachteten Beispiel steht die Zahl „2“), und die folgenden Werte in den Zellen werden auf eine bestimmte Weise berechnet und sind die Koeffizienten des Polynoms, das man durch Division des Polynoms durch das Binomial erhält. Die unbekannten Koeffizienten werden wie folgt bestimmt:

Der Wert aus der entsprechenden Zelle der ersten Zeile wird in die zweite Zelle der zweiten Zeile übertragen (im betrachteten Beispiel wird die Zahl „1“ geschrieben).

Die dritte Zelle der zweiten Zeile enthält den Wert des Produkts aus der ersten Zelle und der zweiten Zelle der zweiten Zeile plus dem Wert aus der dritten Zelle der ersten Zeile (im betrachteten Beispiel 2 ∙1 -5 = -3). ).

Die vierte Zelle der zweiten Zeile enthält den Wert des Produkts aus der ersten Zelle und der dritten Zelle der zweiten Zeile plus dem Wert aus der vierten Zelle der ersten Zeile (im betrachteten Beispiel 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Somit wird das ursprüngliche Polynom faktorisiert:

Methode Nummer 4.Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Zur Vereinfachung von Berechnungen und zur Faktorisierung von Polynomen werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet. Mit abgekürzten Multiplikationsformeln können Sie die Lösung einzelner Probleme vereinfachen.

Formeln zur Faktorisierung