Formel für den allgemeinen Logarithmus. Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Im Verhältnis zu

Es kann die Aufgabe gestellt werden, aus den beiden anderen Zahlen eine der drei Zahlen zu finden. Wenn a und dann N gegeben sind, werden sie durch Potenzierung gefunden. Wenn N und dann a gegeben sind, indem man die Wurzel aus dem Grad x zieht (oder ihn potenziert). Betrachten wir nun den Fall, dass wir bei gegebenem a und N x finden müssen.

Sei die Zahl N positiv: die Zahl a sei positiv und ungleich eins: .

Definition. Der Logarithmus der Zahl N zur Basis a ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um die Zahl N zu erhalten; Der Logarithmus wird mit bezeichnet

Somit ergibt sich in Gleichung (26.1) der Exponent als Logarithmus von N zur Basis a. Beiträge

haben die gleiche Bedeutung. Gleichheit (26.1) wird manchmal als Hauptidentität der Logarithmentheorie bezeichnet; in Wirklichkeit drückt es die Definition des Begriffs Logarithmus aus. Nach dieser Definition ist die Basis des Logarithmus a immer positiv und von Eins verschieden; die logarithmische Zahl N ist positiv. Negative Zahlen und Null haben keinen Logarithmus. Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl mit einer gegebenen Basis einen wohldefinierten Logarithmus hat. Deshalb bedeutet Gleichheit. Beachten Sie, dass die Bedingung hier wesentlich ist; andernfalls wäre die Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt, da die Gleichheit für alle Werte von x und y gilt.

Beispiel 1. Finden

Lösung. Um eine Zahl zu erhalten, müssen Sie die Basis 2 potenzieren.

Beim Lösen solcher Beispiele können Sie sich in folgender Form Notizen machen:

Beispiel 2. Finden.

Lösung. Wir haben

In den Beispielen 1 und 2 haben wir den gewünschten Logarithmus leicht gefunden, indem wir die Logarithmuszahl als Potenz der Basis mit einem rationalen Exponenten dargestellt haben. Im allgemeinen Fall, zum Beispiel für usw., ist dies nicht möglich, da der Logarithmus einen irrationalen Wert hat. Lassen Sie uns auf ein Problem im Zusammenhang mit dieser Aussage achten. In Absatz 12 haben wir das Konzept der Möglichkeit dargelegt, jede reelle Potenz einer gegebenen positiven Zahl zu bestimmen. Dies war notwendig für die Einführung von Logarithmen, die im Allgemeinen irrationale Zahlen sein können.

Schauen wir uns einige Eigenschaften von Logarithmen an.

Eigenschaft 1. Wenn Zahl und Basis gleich sind, ist der Logarithmus gleich eins, und umgekehrt, wenn der Logarithmus gleich eins ist, sind Zahl und Basis gleich.

Nachweisen. Nach der Definition eines Logarithmus haben wir und woher

Umgekehrt sei Then per Definition

Eigenschaft 2. Der Logarithmus von eins zu jeder Basis ist gleich Null.

Nachweisen. Per Definition eines Logarithmus (die Nullpotenz jeder positiven Basis ist gleich eins, siehe (10.1)). Von hier

Q.E.D.

Die umgekehrte Aussage gilt auch: wenn, dann ist N = 1. Tatsächlich gilt.

Bevor wir die nächste Eigenschaft von Logarithmen formulieren, wollen wir uns darauf einigen, dass zwei Zahlen a und b auf derselben Seite der dritten Zahl c liegen, wenn sie beide größer als c oder kleiner als c sind. Wenn eine dieser Zahlen größer als c und die andere kleiner als c ist, dann sagen wir, dass sie auf gegenüberliegenden Seiten von c liegen.

Eigenschaft 3. Liegen Zahl und Basis auf der gleichen Seite von Eins, dann ist der Logarithmus positiv; Liegen Zahl und Basis auf gegenüberliegenden Seiten von eins, ist der Logarithmus negativ.

Der Beweis der Eigenschaft 3 basiert auf der Tatsache, dass die Potenz von a größer als eins ist, wenn die Basis größer als eins und der Exponent positiv ist oder die Basis kleiner als eins und der Exponent negativ ist. Eine Potenz ist kleiner als eins, wenn die Basis größer als eins und der Exponent negativ ist oder die Basis kleiner als eins ist und der Exponent positiv ist.

Es sind vier Fälle zu berücksichtigen:

Wir beschränken uns auf die Analyse des ersten Teils; den Rest wird der Leser selbst betrachten.

Bei Gleichheit kann der Exponent weder negativ noch gleich Null sein, also ist er positiv, d. h. wie es zu beweisen ist.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, welche der folgenden Logarithmen positiv und welche negativ sind:

Lösung: a) Da die Zahl 15 und die Basis 12 auf derselben Seite von Eins liegen;

b) da sich 1000 und 2 auf einer Seite der Einheit befinden; in diesem Fall ist es nicht wichtig, dass die Basis größer als die logarithmische Zahl ist;

c) da 3,1 und 0,8 auf gegenüberliegenden Seiten der Einheit liegen;

G) ; Warum?

D) ; Warum?

Die folgenden Eigenschaften 4-6 werden oft als Logarithmationsregeln bezeichnet: Sie ermöglichen es, bei Kenntnis der Logarithmen einiger Zahlen die Logarithmen ihres Produkts, ihres Quotienten und ihres Grades zu ermitteln.

Eigenschaft 4 (Produktlogarithmusregel). Der Logarithmus des Produkts mehrerer positiver Zahlen zu einer bestimmten Basis ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Zahlen zu derselben Basis.

Nachweisen. Die angegebenen Zahlen seien positiv.

Für den Logarithmus ihres Produkts schreiben wir die Gleichung (26.1), die den Logarithmus definiert:

Von hier aus werden wir finden

Durch Vergleich der Exponenten des ersten und letzten Ausdrucks erhalten wir die erforderliche Gleichheit:

Beachten Sie, dass die Bedingung wesentlich ist; Der Logarithmus des Produkts zweier negativer Zahlen macht Sinn, aber in diesem Fall erhalten wir

Wenn das Produkt mehrerer Faktoren positiv ist, ist sein Logarithmus im Allgemeinen gleich der Summe der Logarithmen der Absolutwerte dieser Faktoren.

Eigenschaft 5 (Regel für die Logarithmierung von Quotienten). Der Logarithmus eines Quotienten positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors, bezogen auf die gleiche Basis. Nachweisen. Wir finden immer wieder

Q.E.D.

Eigenschaft 6 (Potenzlogarithmusregel). Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus dieser Zahl multipliziert mit dem Exponenten.

Nachweisen. Schreiben wir noch einmal die Hauptidentität (26.1) für die Zahl:

Q.E.D.

Folge. Der Logarithmus einer Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus der Wurzel dividiert durch den Exponenten der Wurzel:

Die Gültigkeit dieser Folgerung kann bewiesen werden, indem man sich vorstellt, wie und Eigenschaft 6 verwendet.

Beispiel 4. Logarithmieren zur Basis von a:

a) (es wird angenommen, dass alle Werte b, c, d, e positiv sind);

b) (es wird angenommen, dass ).

Lösung: a) Es ist zweckmäßig, in diesem Ausdruck auf gebrochene Potenzen zu gehen:

Basierend auf den Gleichungen (26.5)–(26.7) können wir nun schreiben:

Wir stellen fest, dass mit den Logarithmen von Zahlen einfachere Operationen durchgeführt werden als mit den Zahlen selbst: Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Logarithmen addiert, beim Dividieren werden sie subtrahiert usw.

Deshalb werden in der Rechenpraxis Logarithmen verwendet (siehe Absatz 29).

Die umgekehrte Wirkung des Logarithmus wird Potenzierung genannt, nämlich: Potenzierung ist die Wirkung, durch die die Zahl selbst aus einem gegebenen Logarithmus einer Zahl ermittelt wird. Im Wesentlichen handelt es sich bei der Potenzierung nicht um eine besondere Aktion: Es geht darum, eine Basis zu potenzieren (gleich dem Logarithmus einer Zahl). Der Begriff „Potenzierung“ kann als Synonym für den Begriff „Potenzierung“ angesehen werden.

Beim Potenzieren müssen Sie die umgekehrten Regeln zu den Regeln der Logarithmierung anwenden: Ersetzen Sie die Summe der Logarithmen durch den Logarithmus des Produkts, die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten usw. Insbesondere, wenn ein Faktor vorne steht des Vorzeichens des Logarithmus, dann muss es bei der Potenzierung in die Exponentengrade unter dem Vorzeichen des Logarithmus übertragen werden.

Beispiel 5. Finden Sie N, wenn das bekannt ist

Lösung. Im Zusammenhang mit der eben genannten Potenzierungsregel werden wir die Faktoren 2/3 und 1/3, die vor den Vorzeichen der Logarithmen auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen, in Exponenten unter den Vorzeichen dieser Logarithmen übertragen; wir bekommen

Jetzt ersetzen wir die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten:

Um den letzten Bruch in dieser Gleichungskette zu erhalten, haben wir den vorherigen Bruch im Nenner von der Irrationalität befreit (Absatz 25).

Eigenschaft 7. Wenn die Basis größer als eins ist, dann hat die größere Zahl einen größeren Logarithmus (und die kleinere einen kleineren), wenn die Basis kleiner als eins ist, dann hat die größere Zahl einen kleineren Logarithmus (und die kleinere). einer hat einen größeren).

Diese Eigenschaft wird auch als Regel für die Logarithmierung von Ungleichungen formuliert, deren beide Seiten positiv sind:

Bei der Logarithmierung von Ungleichungen auf eine Basis größer als eins bleibt das Vorzeichen der Ungleichheit erhalten, und bei der Logarithmierung auf eine Basis kleiner als eins ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil (siehe auch Absatz 80).

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften 5 und 3. Betrachten Sie den Fall, wenn Wenn , dann und durch Logarithmen erhalten wir

(a und N/M liegen auf der gleichen Seite der Einheit). Von hier

Fall a folgt, der Leser wird es selbst herausfinden.

Basierend auf der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) erhält man aus dem Exponentialgraphen durch Spiegelung an der Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus wird für positive Werte der Variablen x definiert. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei x → 0 Der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Jede Potenzfunktion x a mit einem positiven Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt „Logarithmus“ vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Logarithmische Ausdrücke, Lösungsbeispiele. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen befassen. Bei den Aufgaben geht es darum, die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden. Es ist zu beachten, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Was das Einheitliche Staatsexamen betrifft, wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Lassen Sie uns Beispiele geben, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Grundlegende logarithmische Identität:

Eigenschaften von Logarithmen, die man sich immer merken muss:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus ihrer Basis.

* * *

*Übergang zu einer neuen Stiftung

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Die Berechnung von Logarithmen hängt eng mit der Verwendung von Exponenteneigenschaften zusammen.

Lassen Sie uns einige davon auflisten:

Der Kern dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich bei der Übertragung des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten ins Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Eine Folgerung aus dieser Eigenschaft:

* * *

Bei der Potenzierung bleibt die Basis gleich, die Exponenten werden jedoch multipliziert.

* * *

Wie Sie gesehen haben, ist das Konzept eines Logarithmus selbst einfach. Die Hauptsache ist, dass Sie eine gute Übung brauchen, die Ihnen eine gewisse Fähigkeit verleiht. Natürlich sind Formelkenntnisse erforderlich. Wenn die Fähigkeit zur Umrechnung elementarer Logarithmen nicht entwickelt ist, können Sie beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Üben Sie, lösen Sie zunächst die einfachsten Beispiele aus dem Mathematikkurs und gehen Sie dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie „hässliche“ Logarithmen gelöst werden; im Einheitlichen Staatsexamen wird es keine davon geben, aber sie sind von Interesse, verpassen Sie es nicht!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Heute werden wir darüber reden Logarithmusformeln und geben Sie Hinweise Lösungsbeispiele.

Sie selbst implizieren Lösungsmuster gemäß den Grundeigenschaften von Logarithmen. Bevor wir zur Lösung logarithmische Formeln anwenden, möchten wir Sie an alle Eigenschaften erinnern:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele für die Lösung von Logarithmen anhand von Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (bezeichnet durch log a b) ist ein Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Laut Definition ist log a b = x, was a x = b entspricht, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus- Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus mit der Basis 10. Er wird als lg bezeichnet.

log 10 100 = 2, weil 10 2 = 100

Natürlicher Logarithmus- ebenfalls ein gewöhnlicher Logarithmus-Logarithmus, jedoch mit der Basis e (e = 2,71828... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Es ist ratsam, sich die Formeln bzw. Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal anhand von Beispielen durchgehen.

• Grundlegende logarithmische Identität
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften der Potenz einer logarithmischen Zahl und der Basis des Logarithmus

  Exponent der logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Übergang zu einer neuen Stiftung
  log a b = log c b/log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann ist log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen, sind die Formeln für Logarithmen nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir uns nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen angesehen haben, können wir mit logarithmischen Gleichungen fortfahren. Beispiele zur Lösung logarithmischer Gleichungen werden wir im Artikel „“ genauer betrachten. Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschieden, eine andere Ausbildung zu absolvieren und optional im Ausland zu studieren.

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die nicht gleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich ist zu 2.

Grundlegende logarithmische Identität

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Die linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Tatsächlich erhalten wir dieselbe Zahl, wenn wir die Zahl a in die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie in die Nullpotenz erhöhen, erhalten wir eins.

Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln unbedacht beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f (x) und g (x) beide kleiner als Null sind.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des akzeptablen Wertebereichs, was grundsätzlich inakzeptabel ist, da es zum Lösungsverlust führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Und noch einmal möchte ich zur Vorsicht mahnen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in ein neues Fundament

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.

Wenn wir als neue Basis c die Zahl b wählen, erhalten wir einen wichtigen Spezialfall der Formel (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des Dezimallogarithmus verwendet.

Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)