Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion y. Der größte und kleinste Wert einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen Bereich

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Die notwendige Bedingung für das Maximum und Minimum (Extremum) einer Funktion ist die folgende: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder nicht nicht existieren.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Die Ableitung am Punkt x = a kann gegen Null oder Unendlich gehen oder nicht existieren, ohne dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum aufweist.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a negativ und rechts von a positiv ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). Minimum vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) hier stetig ist.

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion verwenden:

An der Stelle x = a sei die erste Ableitung f?(x) verschwunden; ist die zweite Ableitung f??(a) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann hat sie ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Dies ist der Wert des Funktionsarguments, bei dem die Funktion ein Extremum (d. h. Maximum oder Minimum) hat. Um es zu finden, brauchen Sie Finden Sie die Ableitung Funktion f?(x) und, indem man sie mit Null gleichsetzt, löse die Gleichung f?(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sowie die Punkte, an denen die Ableitung dieser Funktion nicht existiert, sind kritische Punkte, also Werte des Arguments, bei denen es ein Extremum geben kann. Sie können leicht durch Hinsehen identifiziert werden Ableitungsgraph: Uns interessieren die Werte des Arguments, bei denen der Graph der Funktion die Abszissenachse (Ox-Achse) schneidet, und diejenigen, bei denen der Graph Diskontinuitäten aufweist.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN in diesem Fall Der kritische Punkt ist x0=-1/3. Mit diesem Argument hat die Funktion den Wert Extremum. Zu ihm finden Ersetzen Sie anstelle von „x“ die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes x0 von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann ist x0 Maximalpunkt; Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert, dann ist x0 Mindestpunktzahl; Wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, gibt es am Punkt x0 weder ein Maximum noch ein Minimum.

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Größter und kleinster Wert einer Funktion auf dem Intervall(auf einem Segment) werden mit dem gleichen Verfahren gefunden, nur unter Berücksichtigung der Tatsache, dass möglicherweise nicht alle kritischen Punkte innerhalb des angegebenen Intervalls liegen. Die kritischen Punkte, die außerhalb des Intervalls liegen, müssen von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Wenn es innerhalb des Intervalls nur einen kritischen Punkt gibt, weist dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum auf. In diesem Fall berücksichtigen wir zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte der Funktion auch die Werte der Funktion an den Enden des Intervalls.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Funktionswerte bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Die Funktion hat den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Um alle Wendepunkte der Geraden y = f(x) zu finden, müssen Sie die zweite Ableitung finden, sie mit Null gleichsetzen (die Gleichung lösen) und alle Werte von x testen, für die die zweite Ableitung Null ist. unendlich oder existiert nicht. Wenn beim Durchlaufen eines dieser Werte die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, dann weist der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Wende auf. Wenn es sich nicht ändert, gibt es keine Biegung.

Die Wurzeln der Gleichung f? (x) = 0 sowie mögliche Unstetigkeitspunkte der Funktion und der zweiten Ableitung unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in eine Reihe von Intervallen. Die Konvexität in jedem ihrer Intervalle wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Wenn die zweite Ableitung an einem Punkt des untersuchten Intervalls positiv ist, dann ist die Linie y = f(x) nach oben konkav, und wenn sie negativ ist, dann nach unten.

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x;y) ausreichend nahe an P0. Bleibt die Differenz positiv, dann haben wir am Punkt P0 ein Minimum, ist sie negativ, dann haben wir ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es im Punkt P0 kein Extremum.

Die Extrema einer Funktion werden für eine größere Anzahl von Argumenten auf ähnliche Weise bestimmt.

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In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zu verwenden, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu berechnen. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Produktionsbelastung berechnen usw., also in Fällen, in denen wir den optimalen Wert eines Parameters bestimmen müssen. Um solche Probleme richtig zu lösen, müssen Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion genau kennen.

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Normalerweise definieren wir diese Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls x, das wiederum dem gesamten Funktionsbereich oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann wie ein Segment sein [a; b ] und offenes Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), unendliches Intervall (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; a, (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Material erklären wir Ihnen, wie Sie den größten und kleinsten Wert einer explizit definierten Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f (x) berechnen.

Grundlegende Definitionen

Beginnen wir wie immer mit der Formulierung grundlegender Definitionen.

Definition 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X, was für jeden Wert x x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f (x) ergibt ≤ f (x) gültig 0) .

Definition 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) in einem bestimmten Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0) , was für jeden Wert x ∈ X, x ≠ x 0 die Ungleichung f(X f) ergibt (x) ≥ f (x 0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Noch einfacher können wir Folgendes sagen: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert in einem bekannten Intervall bei der Abszisse x 0, und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert in demselben Intervall bei x 0.

Definition 3

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments einer Funktion, bei denen ihre Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt der Punkt ist, an dem sich das Extremum der differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion in einem bestimmten Intervall genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert an.

Eine Funktion kann den größten oder kleinsten Wert auch an den Stellen annehmen, an denen die Funktion selbst definiert ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt: Können wir in allen Fällen den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, das können wir nicht tun, wenn die Grenzen eines bestimmten Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs übereinstimmen oder wenn es sich um ein unendliches Intervall handelt. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Segment oder im Unendlichen unendlich kleine oder unendlich große Werte annimmt. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Punkte werden durch die Darstellung in den Grafiken klarer:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die die größten und kleinsten Werte (m a x y und m i n y) an stationären Punkten auf dem Segment annimmt [ - 6 ; 6].

Lassen Sie uns den in der zweiten Grafik dargestellten Fall im Detail untersuchen. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6 ] und wir stellen fest, dass der maximale Wert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, an dem sich die Abszisse am rechten Rand des Intervalls befindet, und der minimale Wert am stationären Punkt.

In der dritten Abbildung stellen die Abszissen der Punkte die Randpunkte des Segments dar [ - 3 ; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert einer gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (- 6; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6), dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der darauf befindlichen Funktion an einem stationären Punkt erreicht wird. Der größte Wert wird uns unbekannt sein. Die Funktion könnte ihren Maximalwert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zum Intervall gehörte. Genau das ist der Fall, wie in Grafik 5 dargestellt.

In Grafik 6 erhält diese Funktion ihren kleinsten Wert an der rechten Grenze des Intervalls (- 3; 2 ], und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion m a x y an einem stationären Punkt hat, dessen Abszisse gleich 1 ist. Am Rand des Intervalls auf der rechten Seite erreicht die Funktion ihren Minimalwert. Bei minus Unendlich nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3.

Nehmen wir das Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annimmt. Wenn x gegen 2 tendiert, tendieren die Werte der Funktion gegen minus Unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen Unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y = 3. Dies ist genau der in Abbildung 8 dargestellte Fall.

In diesem Absatz stellen wir die Abfolge von Aktionen vor, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Segment zu finden.

1. Lassen Sie uns zunächst den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
2. Berechnen wir nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten findet man sie in Funktionen, deren Argument unter dem Modulzeichen geschrieben wird, oder in Potenzfunktionen, deren Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
3. Als nächstes werden wir herausfinden, welche stationären Punkte in das gegebene Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen, die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder diese nicht in das angegebene Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir bestimmen, welche Werte die Funktion an bestimmten stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten annimmt, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b.
5. 5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie Sie diesen Algorithmus bei der Lösung von Problemen richtig anwenden.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Lösung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich einer gegebenen Funktion zu finden. In diesem Fall handelt es sich um die Menge aller reellen Zahlen außer 0. Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente liegen innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Regel der Bruchdifferenzierung:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung einer Funktion an allen Punkten der Segmente [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Es wird ein stationärer Punkt der Funktion sein und in das erste Segment [1; 4 ] .

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und an diesem Punkt, d.h. für x = 1, x = 2 und x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben herausgefunden, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2.

Das zweite Segment enthält keinen einzigen stationären Punkt, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des gegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Das bedeutet m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antwort: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Bevor Sie sich mit dieser Methode befassen, empfehlen wir Ihnen, sich mit der korrekten Berechnung des einseitigen Grenzwerts und des Grenzwerts im Unendlichen zu befassen und sich mit den grundlegenden Methoden zu ihrer Ermittlung vertraut zu machen. Um den größten und/oder kleinsten Wert einer Funktion in einem offenen oder unendlichen Intervall zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte nacheinander aus.

1. Zunächst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs der angegebenen Funktion ist.
2. Bestimmen wir alle Punkte, die im gewünschten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Sie treten normalerweise bei Funktionen auf, bei denen das Argument im Modulzeichen eingeschlossen ist, und bei Potenzfunktionen mit einem gebrochenrationalen Exponenten. Fehlen diese Punkte, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
3. Lassen Sie uns nun bestimmen, welche stationären Punkte in das angegebene Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und wählen geeignete Wurzeln aus. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder dieser nicht in das angegebene Intervall fällt, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

• Wenn das Intervall die Form [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = a und dem einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = b und dem einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzen lim x → b – 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form [ a ; + ∞), dann müssen wir den Wert am Punkt x = a und den Grenzwert bei plus unendlich lim x → + ∞ f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall wie folgt aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x) .
• Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x)
• Wenn - ∞; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen für minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Am Ende müssen Sie auf der Grundlage der erhaltenen Funktionswerte und -grenzen eine Schlussfolgerung ziehen. Hier stehen Ihnen viele Optionen zur Verfügung. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus Unendlich oder plus Unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts gesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen helfen Ihnen zu verstehen, was was ist. Bei Bedarf können Sie zu den Abbildungen 4 – 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Beispiel 2

Bedingung: gegebene Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Lösung

Zunächst ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs enthält ein quadratisches Trinom, das nicht zu 0 werden sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Definitionsbereich der Funktion erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird bei x = - 1 2 0. Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] sowie den Grenzwert bei minus Unendlich:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1, bedeutet dies, dass m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Dadurch können wir den kleinsten Wert von nicht eindeutig bestimmen Wir können nur den Schluss ziehen, dass unterhalb von - 1 eine Einschränkung vorliegt, da sich die Funktion diesem Wert asymptotisch bei minus Unendlich annähert.

Die Besonderheit des zweiten Intervalls besteht darin, dass es darin keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze gibt. Folglich können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Nachdem wir den Grenzwert bei minus Unendlich definiert haben und das Argument auf der linken Seite zu -3 tendiert, erhalten wir nur ein Werteintervall:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Dies bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall - 1 liegen; +∞

Um den größten Wert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2, wenn x = 1. Wir müssen auch den einseitigen Grenzwert für den Fall kennen, wenn das Argument auf der rechten Seite zu -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 den größten Wert annimmt. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. Alles was wir wissen , ist das Vorhandensein einer Untergrenze von -4.

Nehmen Sie für das Intervall (- 3 ; 2) die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen Sie erneut, wie groß die einseitige Grenze ist, wenn Sie auf der linken Seite zu 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Dies bedeutet, dass m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 und der kleinste Wert nicht bestimmt werden kann und die Werte der Funktion von unten durch die Zahl - 4 begrenzt werden .

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen erhalten haben, können wir sagen, dass für das Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt bei x = 1 den größten Wert an, es ist jedoch unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) wird die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert erreichen, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 angenommen; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir den Wert der Funktion bei x = 4 berechnet haben, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus Unendlich nähert sich asymptotisch der Geraden y = - 1 .

Vergleichen wir das, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Diagramm der gegebenen Funktion. In der Abbildung sind die Asymptoten durch gestrichelte Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir Ihnen über das Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion sagen wollten. Die von uns angegebenen Handlungsabläufe helfen Ihnen, die notwendigen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zunächst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen sie zunimmt. Anschließend können Sie weitere Schlussfolgerungen ziehen. Auf diese Weise können Sie die größten und kleinsten Werte der Funktion genauer bestimmen und die erhaltenen Ergebnisse begründen.

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Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:

1. Überprüfen Sie, welche stationären Punkte in einem bestimmten Segment enthalten sind.
2. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
3. Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu ermitteln, müssen Sie:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
2. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
3. Faktorisieren Sie die Ableitung einer Funktion.
4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen, indem Sie die Notation in Schritt 3 verwenden.
5. Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von Minus nach Plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezeichnet und umgekehrt.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat des Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden Sie die ODZ der Funktion: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen wir eine Koordinatenlinie, platzieren stationäre Punkte darauf und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen. Ersetzen Sie dazu eine beliebige Zahl aus dem Bereich ganz rechts in die Ableitung, beispielsweise Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist der Punkt $-10,5$ der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Sie den größten Wert der Funktion $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Segment $[-5;1]$

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und finden Sie stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den Gesamtfaktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen wir jeden Faktor mit Null gleich

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte aus, die zum angegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Die stationären Punkte $x=0$ und $x=-3$ passen zu uns

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3

Wie finde ich den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment?

Dafür Wir folgen einem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden die ODZ-Funktionen.

2 . Finden der Ableitung der Funktion

3 . Die Ableitung mit Null gleichsetzen

4 . Wir ermitteln die Intervalle, über die die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn im Intervall I die Ableitung der Funktion 0 ist" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Zeitraum zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion ist, dann ist die Funktion nimmt in diesem Zeitraum ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN Am Maximalpunkt der Funktion ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ nach „-“..

IN Minimalpunkt der Funktiondie Ableitung ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“.

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten und Wählen Sie den größten Wert aus, wenn Sie den größten Wert der Funktion ermitteln möchten
• oder vergleichen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Mindestpunkten und Wählen Sie den kleinsten Wert aus, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion ermitteln möchten

Abhängig davon, wie sich die Funktion auf dem Segment verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

Schauen wir uns einige Beispiele zur Lösung von Problemen aus der Open Task Bank an

1 . Aufgabe B15 (Nr. 26695)

Auf dem Segment.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Folglich nimmt die Funktion zu und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment.

1. ODZ-Funktionen title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei gleich Null, ändert jedoch an diesen Punkten das Vorzeichen nicht:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um deutlich zu machen, warum die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, transformieren wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3. Aufgabe B15 (Nr. 26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Segment.

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Legen wir die Wurzeln dieser Gleichung auf den trigonometrischen Kreis.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lasst uns Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung am Punkt x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte und ändert die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung einer Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (an dem die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion bei vergleichen am minimalen Punkt und am linken Ende des Segments, .