Ermitteln Sie mithilfe von Punkten den Winkel zwischen Geraden. Die Linien werden durch allgemeine Gleichungen gegeben. So ermitteln Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Markieren wir auf einer Geraden im Raum zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2), dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Geradengleichung erfüllen oben erhalten:

Darüber hinaus können wir für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen gemeinsam lösen, erhalten wir:

.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum verläuft.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als Gleichung der Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden in Koordinatenform:

Die praktische Aufgabe besteht oft darin, Geradengleichungen in allgemeiner Form auf die kanonische Form zu reduzieren.

Dazu müssen Sie einen beliebigen Punkt auf der Geraden und die Zahlen m, n, p finden.

In diesem Fall kann der Richtungsvektor der Geraden als Vektorprodukt der Normalenvektoren zu den gegebenen Ebenen ermittelt werden.

Beispiel. Finden Sie die kanonische Gleichung, wenn die Gerade die Form hat:

Um einen beliebigen Punkt auf einer Geraden zu finden, nehmen wir seine Koordinate x = 0 und setzen diesen Wert dann in das gegebene Gleichungssystem ein.

Diese. A(0, 2, 1).

Finden Sie die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.

Dann sind die kanonischen Gleichungen der Geraden:

Beispiel. Bringen Sie die Gleichung einer Geraden in der Form in die kanonische Form:

Um einen beliebigen Punkt auf einer Geraden zu finden, die die Schnittlinie der oben genannten Ebenen ist, nehmen wir z = 0. Dann:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Wir erhalten: A(-1; 3; 0).

Direkter Vektor: .

Winkel zwischen Ebenen.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen im Raum  hängt mit dem Winkel zwischen den Normalen zu diesen Ebenen  1 durch die Beziehung zusammen:  =  1 oder  = 180 0 -  1, d. h.

cos = cos 1 .

Bestimmen wir den Winkel  1. Es ist bekannt, dass Ebenen durch die Beziehungen spezifiziert werden können:

, Wo

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Den Winkel zwischen den Normalenvektoren ermitteln wir aus ihrem Skalarprodukt:

.

Somit wird der Winkel zwischen den Ebenen durch die Formel ermittelt:

Die Wahl des Vorzeichens des Kosinus hängt davon ab, welcher Winkel zwischen den Ebenen gefunden werden soll – spitz oder angrenzend daran stumpf.

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Basierend auf der oben erhaltenen Formel zur Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen können die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen ermittelt werden.

Damit die Ebenen senkrecht stehen, ist es notwendig und ausreichend, dass der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gleich Null ist. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn:

Die Ebenen sind parallel, die Normalenvektoren sind kollinear:  .Diese Bedingung ist erfüllt, wenn: .

Der Winkel zwischen geraden Linien im Raum.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum. Ihre parametrischen Gleichungen sind:

Der Winkel zwischen Geraden  und der Winkel zwischen Richtungsvektoren  dieser Geraden hängen durch die Beziehung zusammen:  =  1 oder  = 180 0 -  1. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren wird aus dem Skalarprodukt ermittelt. Auf diese Weise:

.

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien im Raum.

Damit zwei Geraden parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind, d.h. ihre entsprechenden Koordinaten waren proportional.

Winkel zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Gegeben seien zwei Zeilen im Raum:

Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen Geraden als Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und angenommen werden. Da wir dann die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren verwenden, erhalten wir

Die Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden entsprechen den Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit ihrer Richtungsvektoren und:

Zwei gerade parallel genau dann, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, d. h. l 1 Parallele l 2 genau dann, wenn parallel .

Zwei gerade aufrecht genau dann, wenn die Summe der Produkte der entsprechenden Koeffizienten gleich Null ist: .

U Ziel zwischen Linie und Ebene

Lass es gerade sein D- nicht senkrecht zur θ-Ebene;
D′− Projektion einer Linie D zur θ-Ebene;
Der kleinste Winkel zwischen Geraden D Und D' Wir werden anrufen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.
Bezeichnen wir es als φ=( D,θ)
Wenn D⊥θ, dann ( D,θ)=π/2

Oi→J→k→− rechtwinkliges Koordinatensystem.
Ebenengleichung:

θ: Axt+Von+Tsch+D=0

Wir gehen davon aus, dass die Gerade durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert ist: D[M 0,P→]
Vektor N→(A,B,C)⊥θ
Dann bleibt noch der Winkel zwischen den Vektoren herauszufinden N→ und P→, bezeichnen wir es als γ=( N→,P→).

Wenn der Winkel γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Wenn der Winkel γ>π/2 ist, dann ist der gewünschte Winkel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Dann, Winkel zwischen Gerade und Ebene kann mit der Formel berechnet werden:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Vgl 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Frage29. Das Konzept der quadratischen Form. Zeichenbestimmtheit quadratischer Formen.

Quadratische Form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle Variablen x 1, x 2, …, x n heißt Summe der Form
, (1)

Wo ein ij – einige Zahlen, die Koeffizienten genannt werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen ein ij = ein ji.

Die quadratische Form heißt gültig, Wenn ein ij Î GR. Matrix quadratischer Form heißt eine Matrix, die aus ihren Koeffizienten besteht. Die quadratische Form (1) entspricht der einzigen symmetrischen Matrix
Das ist EIN T = A. Folglich kann die quadratische Form (1) in Matrixform j geschrieben werden ( X) = x T Ah, Wo x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Und umgekehrt entspricht jede symmetrische Matrix (2) bis zur Variablenschreibweise einer eindeutigen quadratischen Form.

Rang der quadratischen Form wird der Rang seiner Matrix genannt. Die quadratische Form heißt nicht degeneriert, wenn seine Matrix nicht singulär ist A. (Denken Sie daran, dass die Matrix A heißt nicht entartet, wenn seine Determinante ungleich Null ist. IN ansonsten die quadratische Form ist entartet.

positiv definitiv(oder streng positiv) wenn

J ( X) > 0 , für jeden X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Matrix A positiv definite quadratische Form j ( X) wird auch positiv definit genannt. Daher entspricht eine positiv definite quadratische Form einer eindeutigen positiv definiten Matrix und umgekehrt.

Die quadratische Form (1) heißt negativ definiert(oder streng negativ) wenn

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), außer X = (0, 0, …, 0).

Ähnlich wie oben wird eine Matrix negativ definiter quadratischer Form auch negativ definit genannt.

Folglich ist die positive (negative) bestimmte quadratische Form j ( X) erreicht den minimalen (maximalen) Wert j ( X*) = 0 bei X* = (0, 0, …, 0).

Beachten Sie, dass die meisten quadratischen Formen nicht vorzeichenbestimmt sind, das heißt, sie sind weder positiv noch negativ. Solche quadratischen Formen verschwinden nicht nur im Ursprung des Koordinatensystems, sondern auch an anderen Punkten.

Wann N> 2 sind spezielle Kriterien erforderlich, um das Vorzeichen einer quadratischen Form zu überprüfen. Schauen wir sie uns an.

Haupt-Minderjährige quadratische Form nennt man Minor:

das heißt, es handelt sich um Minderjährige in der Größenordnung von 1, 2, ..., N Matrizen A, befindet sich in der oberen linken Ecke, die letzte davon stimmt mit der Determinante der Matrix überein A.

Kriterium der positiven Bestimmtheit (Sylvester-Kriterium)

X) = x T Ah positiv definit war, ist es notwendig und ausreichend, dass alle großen Nebenwerte der Matrix vorhanden sind A waren positiv, das heißt: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatives Sicherheitskriterium Damit die quadratische Form j ( X) = x T Ah negativ definitiv war, ist es notwendig und ausreichend, dass seine Hauptminorwerte gerader Ordnung positiv und ungerader Ordnung negativ sind, d. h.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N

Oh-oh-oh-oh-oh... na ja, das ist hart, als ob er sich einen Satz vorliest =) Entspannung hilft aber später, zumal ich mir heute die passenden Accessoires gekauft habe. Fahren wir daher mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier gerader Linien

Dies ist der Fall, wenn das Publikum im Chor mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) Spiel;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das mathematische Kreuzungszeichen, es kommt sehr oft vor. Die Notation bedeutet, dass die Linie die Linie im Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine Zahl „Lambda“, so dass die Gleichheiten erfüllt sind

Betrachten wir die Geraden und erstellen wir drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten: . Aus jeder Gleichung folgt, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit –1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung durch 2 geschnitten, erhält man die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Geraden parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten der Variablen proportional sind: , Aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Geraden. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind Das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von „Lambda“, dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien erstellen wir also ein System:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass und aus der zweiten Gleichung: , was bedeutet Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien schneiden sich

Bei praktischen Problemen können Sie das gerade besprochene Lösungsschema verwenden. Es erinnert übrigens sehr an den Algorithmus zur Überprüfung von Vektoren auf Kollinearität, den wir uns im Unterricht angesehen haben Das Konzept der linearen (Un-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren. Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Ermitteln Sie die relative Position der Linien:

Lösung basierend auf der Untersuchung der Richtungsvektoren gerader Linien:

a) Aus den Gleichungen ermitteln wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind und sich die Geraden schneiden.

Für alle Fälle stelle ich an der Kreuzung einen Stein mit Schildern auf:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben den gleichen Richtungsvektor, das heißt, sie sind entweder parallel oder fallen zusammen. Die Determinante muss hier nicht gezählt werden.

Es ist offensichtlich, dass die Koeffizienten der Unbekannten proportional sind und .

Finden wir heraus, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht:
Daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient „Lambda“ lässt sich leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren ablesen. Es kann jedoch auch über die Koeffizienten der Gleichungen selbst ermittelt werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (im Allgemeinen erfüllt sie jede Zahl).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antwort:

Schon bald werden Sie lernen (oder haben es sogar schon gelernt), das verbal besprochene Problem buchstäblich in Sekundenschnelle zu lösen. In dieser Hinsicht sehe ich keinen Sinn darin, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten; es ist besser, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie konstruiere ich eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie?

Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall, der Räuber, hart bestraft.

Beispiel 2

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Gerade, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Bezeichnen wir die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Geraden „tse“ auch zur Konstruktion der Geraden „de“ geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antwort:

Die Beispielgeometrie sieht einfach aus:

Das analytische Testen besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

In den meisten Fällen können analytische Tests problemlos mündlich durchgeführt werden. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an, und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität der Linien bestimmen, ohne sie zeichnen zu müssen.

Beispiele für eigenständige Lösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und sie ist, wie Sie wissen, eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden verläuft

Es gibt einen rationalen und einen weniger rationalen Weg, das Problem zu lösen. Der kürzeste Weg ist am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall übereinstimmender Linien ist von geringem Interesse. Betrachten wir daher ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan sehr bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade sich im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege – grafisch und analytisch.

Die grafische Methode besteht darin, einfach die vorgegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt: . Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Linie einsetzen. Sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten: Die Koordinaten eines Punktes sind eine Lösung des Systems. Im Wesentlichen haben wir uns eine grafische Lösung angesehen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass Siebtklässler so entscheiden, sondern darum, dass es einige Zeit dauern wird, eine korrekte und GENAUE Zeichnung zu erstellen. Darüber hinaus sind einige Geraden nicht so einfach zu konstruieren und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es sinnvoller, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lassen Sie uns das System lösen:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Nehmen Sie an einer Unterrichtsstunde teil, um relevante Fähigkeiten zu entwickeln Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antwort:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
2) Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion:

Noch nicht einmal ein Paar Schuhe war abgenutzt, bevor wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Geraden

Beginnen wir mit einer typischen und sehr wichtigen Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie konstruiere ich eine Gerade senkrecht zu einer gegebenen Geraden?

Beispiel 6

Die Gerade ergibt sich aus der Gleichung. Schreiben Sie eine Gleichung senkrecht zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Durch die Bedingung ist bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Linie zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Stellen wir die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor auf:

Antwort:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Wir entnehmen die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der Hilfe Skalarprodukt von Vektoren Wir kommen zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens können Sie Normalenvektoren verwenden, das ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Auch der Test lässt sich leicht mündlich durchführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt senkrechter Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Da das Problem mehrere Aktionen umfasst, ist es zweckmäßig, die Lösung Punkt für Punkt zu formulieren.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand vom Punkt zur Linie

Wir haben einen geraden Flussstreifen vor uns und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

In der Geometrie wird der Abstand traditionell mit dem griechischen Buchstaben „rho“ bezeichnet, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Abstand vom Punkt zur Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

Machen wir die Zeichnung:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie entspricht genau der Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit erstellen. = 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten wir eine andere Aufgabe basierend auf derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der relativ zur Geraden symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Schritte selbst durchzuführen, aber ich werde den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts eines Segments wir finden .

Es wäre eine gute Idee zu überprüfen, ob der Abstand ebenfalls 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es beim Rechnen zu Schwierigkeiten kommen, aber im Turm ist ein Mikrorechner eine große Hilfe, mit dem man gewöhnliche Brüche berechnen kann. Ich habe Sie schon oft beraten und werde Sie auch weiterhin weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel, über das Sie selbst entscheiden können. Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber es ist besser, selbst zu raten, ich denke, Ihr Einfallsreichtum war gut entwickelt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jede Ecke ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINERE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich ausgerichtet„Himbeer“-Ecke.

Wenn die Linien senkrecht zueinander stehen, kann jeder der vier Winkel als Winkel zwischen ihnen angenommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung, in die der Winkel „gescrollt“ wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ ausgerichteter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, zum Beispiel wenn .

Warum habe ich dir das erzählt? Es scheint, dass wir mit dem üblichen Winkelkonzept auskommen können. Tatsache ist, dass die Formeln, mit denen wir Winkel ermitteln, leicht zu einem negativen Ergebnis führen können, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie in der Zeichnung darauf, bei einem negativen Winkel dessen Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie finde ich den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung Und Methode eins

Betrachten wir zwei Geraden, die durch Gleichungen in allgemeiner Form definiert sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau dieser ist es Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:

Wenn , dann wird der Nenner der Formel Null und die Vektoren sind orthogonal und die Linien sind senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt hinsichtlich der Nichtsenkrechtigkeit von Geraden gemacht.

Basierend auf dem oben Gesagten ist es zweckmäßig, die Lösung in zwei Schritten zu formalisieren:

1) Berechnen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Linien:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.

2) Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Mit der Umkehrfunktion lässt sich der Winkel selbst leicht ermitteln. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antwort:

In Ihrer Antwort geben wir den genauen Wert sowie einen mit einem Taschenrechner berechneten Näherungswert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch im Bogenmaß) an.

Nun ja, Minus, Minus, keine große Sache. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da in der Problemstellung die erste Zahl eine Gerade ist und das „Abschrauben“ des Winkels genau damit begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Linien vertauschen, also die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung übernehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung. Kurz gesagt, Sie müssen direkt beginnen .

Mit diesem Online-Rechner können Sie den Winkel zwischen Geraden ermitteln. Eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen wird gegeben. Um den Winkel zwischen geraden Linien zu berechnen, stellen Sie die Abmessung ein (2, wenn eine gerade Linie auf einer Ebene betrachtet wird, 3, wenn eine gerade Linie im Raum betrachtet wird), geben Sie die Elemente der Gleichung in die Zellen ein und klicken Sie auf „Lösen“. Taste. Siehe den theoretischen Teil unten.

×

Warnung

Alle Zellen löschen?

Schließen Löschen

Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b (b>0) ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

1. Winkel zwischen Geraden in einer Ebene

Linien werden durch kanonische Gleichungen definiert

1.1. Bestimmen des Winkels zwischen Geraden

Lassen Sie die Linien im zweidimensionalen Raum L 1 und L

Somit können wir aus Formel (1.4) den Winkel zwischen den Geraden ermitteln L 1 und L 2. Wie aus Abb. 1 ersichtlich ist, bilden sich schneidende Linien benachbarte Winkel φ Und φ 1 . Wenn der gefundene Winkel größer als 90° ist, können Sie den minimalen Winkel zwischen Geraden ermitteln L 1 und L 2: φ 1 =180-φ .

Aus Formel (1.4) können wir die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden ableiten.

Beispiel 1. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Linien

Vereinfachen und lösen wir:

1.2. Bedingung für parallele Linien

Lassen φ =0. Dann cosφ=1. In diesem Fall nimmt der Ausdruck (1.4) die folgende Form an:

,

,

Beispiel 2: Bestimmen Sie, ob die Linien parallel sind

Gleichheit (1.9) ist erfüllt, daher sind die Geraden (1.10) und (1.11) parallel.

Antwort. Die Linien (1.10) und (1.11) sind parallel.

1.3. Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien

Lassen φ =90°. Dann cosφ=0. In diesem Fall nimmt der Ausdruck (1.4) die folgende Form an:

Beispiel 3. Bestimmen Sie, ob die Linien senkrecht sind

Bedingung (1.13) ist erfüllt, daher stehen die Geraden (1.14) und (1.15) senkrecht zueinander.

Antwort. Die Linien (1.14) und (1.15) stehen senkrecht zueinander.

Linien werden durch allgemeine Gleichungen definiert

1.4. Bestimmen des Winkels zwischen Geraden

Lassen Sie zwei gerade Linien L 1 und L 2 werden durch allgemeine Gleichungen gegeben

Aus der Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren ergibt sich:

Beispiel 4. Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Werte ersetzen A 1 , B 1 , A 2 , B 2 in (1.23) erhalten wir:

Dieser Winkel ist größer als 90°. Lassen Sie uns den minimalen Winkel zwischen geraden Linien ermitteln. Subtrahieren Sie dazu diesen Winkel von 180:

Andererseits die Bedingung paralleler Linien L 1 und L 2 entspricht der Bedingung der Kollinearität von Vektoren N 1 und N 2 und kann wie folgt dargestellt werden:

Gleichheit (1.24) ist erfüllt, daher sind die Geraden (1.26) und (1.27) parallel.

Antwort. Die Linien (1.26) und (1.27) sind parallel.

1.6. Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien

Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Linien L 1 und L 2 kann durch Einsetzen aus Formel (1.20) extrahiert werden cos(φ )=0. Dann ist das Skalarprodukt ( N 1 ,N 2)=0. Wo

Gleichheit (1.28) ist erfüllt, daher stehen die Geraden (1.29) und (1.30) senkrecht zueinander.

Antwort. Die Geraden (1.29) und (1.30) stehen senkrecht aufeinander.

2. Winkel zwischen Geraden im Raum

2.1. Bestimmen des Winkels zwischen Geraden

Es sollen gerade Linien im Raum sein L 1 und L 2 sind durch kanonische Gleichungen gegeben

wo | Q 1 | und | Q 2 | Richtungsvektormodule Q 1 und Q 2 bzw. φ -Winkel zwischen Vektoren Q 1 und Q 2 .

Aus Ausdruck (2.3) erhalten wir:

.

Vereinfachen und lösen wir:

.

Finden wir den Winkel φ

Für jeden Studenten, der sich auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vorbereitet, wird es nützlich sein, das Thema „Winkel zwischen Geraden finden“ zu wiederholen. Wie Statistiken zeigen, bereiten Aufgaben in diesem Abschnitt der Stereometrie beim Bestehen der Zertifizierungsprüfung vielen Studierenden Schwierigkeiten. Gleichzeitig finden sich im Einheitlichen Staatsexamen sowohl auf der Grund- als auch auf der Spezialebene Aufgaben, bei denen es darum geht, den Winkel zwischen Geraden zu ermitteln. Das bedeutet, dass jeder sie lösen kann.

Grundlegende Momente

Es gibt 4 Arten relativer Positionen von Linien im Raum. Sie können zusammenfallen, sich schneiden, parallel sein oder sich schneiden. Der Winkel zwischen ihnen kann spitz oder gerade sein.

Um den Winkel zwischen Linien im Einheitlichen Staatsexamen oder beispielsweise beim Lösen zu ermitteln, können Schulkinder in Moskau und anderen Städten auf verschiedene Arten Probleme in diesem Abschnitt der Stereometrie lösen. Sie können die Aufgabe mit klassischen Konstruktionen lösen. Dazu lohnt es sich, die grundlegenden Axiome und Theoreme der Stereometrie zu erlernen. Der Schüler muss in der Lage sein, logisch zu denken und Zeichnungen zu erstellen, um die Aufgabe auf ein planimetrisches Problem zu übertragen.

Sie können die Koordinatenvektormethode auch mit einfachen Formeln, Regeln und Algorithmen verwenden. In diesem Fall kommt es vor allem darauf an, alle Berechnungen korrekt durchzuführen. Das Shkolkovo-Bildungsprojekt wird Ihnen helfen, Ihre Fähigkeiten zur Problemlösung in Stereometrie und anderen Abschnitten des Schulkurses zu verbessern.