Grundlagen probabilistischer und statistischer Methoden zur Beschreibung von Unsicherheiten. Wissenschaftlicher Newsletter für internationale Studierende

Tschebyscheff-Ungleichheit

Bieneme – Chebyshev – eine Ungleichung in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine Schätzung der Wahrscheinlichkeit von Abweichungen der Werte einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Wert liefert. Erwartungen durch seine Varianz. Lasst uns ein Paradies mit endlicher Mathematik sein Erwartung und Varianz von Ch.n. ist das für jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Übersteigt oder nicht

Diese Ungleichung wurde unabhängig von I. Bienayme (1853) und P. L. Chebyshev (1866) entdeckt. In der modernen Literatur wird diese Ungleichheit häufiger genannt Möglicherweise auch, weil der Name P. L. Chebyshev mit seiner Verwendung zum Beweis der Verallgemeinerung verbunden ist Gesetz der großen Zahlen(Tschebyschews Sätze). Ch.n. ist ein Vertreter einer ganzen Klasse von Ungleichungen desselben Typs, von denen die einfachste besagt, dass für eine nichtnegative Zufallsvariable X mit einer endlichen Mathematik gilt warten

(manchmal auch Markovsche Ungleichung genannt). Aus dieser Ungleichung ergeben sich in Abhängigkeit von den Momenten folgende Ungleichungen für beliebige Zufallsvariablen:

(bei r= 2 und Ch.n. selbst), sowie die allgemeinere Ungleichung

Für eine nicht negative gerade Funktion f(x), die für positive Werte von x nicht abnehmend ist . Ungleichung (3) zeigt beispielsweise den Erhalt neuer Ungleichungen gleicher Art an. exponentielle Ungleichung:

Es hat sich eine Tradition entwickelt, all diese Ungleichheiten dem Tschebyscheff-Typ und sogar dem sogenannten Tschebyscheff-Typ zuzuschreiben. Ch.n. Es gibt ein allgemeines Prinzip für den Erhalt von Ch. unter bestimmten Bedingungen auf den Momenten, basierend auf der Verwendung des Systems der Tschebyscheff-Polynome (siehe). Für beliebige Zufallsvariablen Ch.n. Geben Sie genaue, nicht verbesserungsfähige Schätzungen an, aber in bestimmten Situationen können diese Schätzungen verfeinert werden. Wenn beispielsweise X einen Modus hat, der mit dem mathematischen Modus übereinstimmt Erwartung, dann ist die Gaußsche Ungleichung wahr:
Wo
Die Bedeutung einer Teilgleichung in der Wahrscheinlichkeitstheorie wird letztlich nicht durch ihre Genauigkeit, sondern durch ihre Einfachheit und Universalität bestimmt. Die große Rolle von Ch. und diese Modifikationen wurden in Bezug auf Summen von Zufallsvariablen beim Beweis verschiedener Formen des Gesetzes der großen Zahlen und des Gesetzes des wiederholten Logarithmus verwendet. Ch.n. für Summen unabhängiger Zufallsgrößen wurde in zwei Hauptrichtungen verallgemeinert und verfeinert. Der erste von ihnen ist mit dem Übergang von Ch. verbunden.

Auf dem Weg zu viel größerer Ungleichheit

Dies wurde von A. II bewiesen. Kolmogorov und von ihm im Beweis verwendet große Zahlen verschärften das Gesetz(cm. Kolmogorov-Ungleichung).
Der zweite ist dem Ersetzen der Leistungsschätzung in Kap. gewidmet. zu exponentiell abnehmend und führt zu den Bernstein-Kolmogorov-Ungleichungen:

Wo

(cm. Berpstein-Ungleichung). Solche Klarstellungen von Ch. werden unter zusätzlichen Bedingungen der Beschränktheit der Bedingungen erhalten Xi.
Es wurden mehrdimensionale Analoga einiger der hier angegebenen Ungleichungen erhalten (siehe).

Zündete.: Chebyshev I. L., lMat. Sa.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Sehen Sie, was „CHEBYSHEV-UNGLEICHHEIT“ in anderen Wörterbüchern ist:

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1) eine der Hauptungleichungen für monotone Folgen oder Funktionen. Im Fall endlicher Folgen hat es die Form: und in Integralform hat es die Form: … … Große sowjetische Enzyklopädie

Für endliche monotone Folgen gilt die Ungleichung H... Mathematische Enzyklopädie

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Eine Beziehung, die zwei Zahlen und durch eines der Zeichen verbindet: (kleiner), (kleiner oder gleich), (größer als), (größer oder gleich), (ungleich), also manchmal mehrere N. sind zusammen geschrieben, zum Beispiel. N. haben viele Eigenschaften mit Gleichheiten gemeinsam.... ... Mathematische Enzyklopädie

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Kolmogorov-Ungleichung die sogenannte „maximale Ungleichung“, die die Wahrscheinlichkeit begrenzt, dass die Teilsumme einer endlichen Menge unabhängiger Zufallsvariablen einen festen Wert nicht überschreitet... ... Wikipedia

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Bücher

• Wahrscheinlichkeitstheorie. Problembuch. Lehrbuch für den akademischen Bachelor-Abschluss, Paliy I.A.. Das Lehrbuch enthält Aufgaben zu den Hauptabschnitten des Grundkurses in Wahrscheinlichkeitstheorie: Kombinatorik, klassische und geometrische Wahrscheinlichkeiten, Verteilungsgesetz und -funktion...

GRENZTHÄOREME DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE

Tschebyscheffs Ungleichheit und ihre Bedeutung. Satz von Tschebyschew. Satz von Bernoulli. Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie (Lyapunov-Theorem) und seine Verwendung in der mathematischen Statistik.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht die Muster, die Massenzufallsphänomenen innewohnen. Die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie stellen den Zusammenhang zwischen Zufall und Notwendigkeit her. Die Untersuchung von Mustern, die sich in Massenzufallsphänomenen manifestieren, ermöglicht es uns, die Ergebnisse zukünftiger Tests wissenschaftlich vorherzusagen.

Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie werden in zwei Gruppen eingeteilt, von denen eine heißt Gesetz der großen Zahlen, und der andere - .

In diesem Kapitel werden die folgenden Sätze im Zusammenhang mit dem Gesetz der großen Zahlen besprochen: Tschebyscheffs Ungleichung, Tschebyscheffs Sätze und Bernoullis Sätze.

Das Gesetz der großen Zahlen besteht aus mehreren Theoremen, die die Annäherung durchschnittlicher Eigenschaften unter bestimmten Bedingungen an bestimmte konstante Werte beweisen.

1. Tschebyscheffs Ungleichung.

Wenn eine Zufallsvariable einen endlichen Erwartungswert und eine endliche Varianz hat, dann gilt für jede positive Zahl die folgende Ungleichung:

, (9.1)

das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert im absoluten Wert die Differenz zwischen Eins und dem Verhältnis der Varianz dieser Zufallsvariablen zum Quadrat nicht überschreitet.

Schreiben wir nun die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses auf , also das dem Ereignis entgegengesetzte Ereignis . Es ist klar, dass

. (9.2)

Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für jedes Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen und gilt sowohl für positive als auch für negative Zufallsvariablen. Ungleichung (9.2) begrenzt von oben die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable um einen Betrag größer als von ihrer mathematischen Erwartung abweicht. Aus dieser Ungleichung folgt, dass mit abnehmender Streuung auch die Obergrenze der Wahrscheinlichkeit abnimmt und sich die Werte einer Zufallsvariablen mit geringer Streuung um ihren mathematischen Erwartungswert konzentrieren.

Beispiel 1. Um den Zusammenbau einer Einheit richtig zu organisieren, muss die Wahrscheinlichkeit abgeschätzt werden, mit der die Abmessungen der Teile um nicht mehr als von der Mitte des Toleranzfeldes abweichen. Es ist bekannt, dass die Mitte des Toleranzfeldes mit der mathematischen Erwartung der Abmessungen der bearbeiteten Teile übereinstimmt und die Standardabweichung gleich ist.

Lösung. Entsprechend den Bedingungen des Problems gilt: ,. In unserem Fall die Größe der zu bearbeitenden Teile. Unter Verwendung der Tschebyscheff-Ungleichung erhalten wir

2. Satz von Tschebyscheff.

Bei einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Tests kann man mit einer Wahrscheinlichkeit nahe Eins behaupten, dass die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werte einer Zufallsvariablen und dem mathematischen Erwartungswert dieses Wertes in absoluten Werten beträgt kleiner als eine beliebig kleine Zahl sein, vorausgesetzt, die Zufallsvariable hat eine endliche Streuung, d. h.

wo ist eine positive Zahl nahe Null.

Wenn wir das entgegengesetzte Ereignis in geschweiften Klammern angeben, erhalten wir

.

Der Satz von Tschebyschew ermöglicht es, den mathematischen Erwartungswert anhand des arithmetischen Mittels mit ausreichender Genauigkeit zu beurteilen oder umgekehrt: den mathematischen Erwartungswert zu verwenden, um den Erwartungswert des Mittelwerts vorherzusagen. Auf der Grundlage dieses Theorems lässt sich also argumentieren, dass, wenn eine ausreichend große Anzahl von Messungen eines bestimmten Parameters mit einem Gerät ohne systematische Fehler durchgeführt wird, das arithmetische Mittel der Ergebnisse dieser Messungen möglichst wenig abweicht vom wahren Wert des gemessenen Parameters.

Beispiel 2. Um den Bedarf an flüssigem Metall und Rohstoffen zu ermitteln, wird punktuell das durchschnittliche Gewicht des Gussteils einer Laufbuchse für einen Automobilmotor ermittelt, da das anhand des Metallmodells berechnete Gewicht des Gussteils vom tatsächlichen Gewicht abweicht. Wie viele Gussstücke müssen entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit größer als angegeben werden kann, dass das durchschnittliche Gewicht der ausgewählten Gussstücke um nicht mehr als vom berechneten, als mathematische Erwartung angenommenen Gewicht abweicht kg? Es wurde festgestellt, dass die Standardabweichung des Gewichts gleich ist kg .

Lösung. Entsprechend den Bedingungen des Problems haben wir ,, , wobei das durchschnittliche Gewicht der Auskleidungsgussteile ist. Wenn wir die Tschebyscheff-Ungleichung auf eine Zufallsvariable anwenden, erhalten wir:

,

und unter Berücksichtigung der Gleichungen (4.4) und (4.5) -

.

Wenn wir diese Probleme hier ersetzen, erhalten wir

,

Woher finden wir es?

3. Satz von Bernoulli.

Der Satz von Bernoulli stellt einen Zusammenhang zwischen der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses und seiner Wahrscheinlichkeit her.

Bei einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Versuche kann mit einer Wahrscheinlichkeit nahe eins angegeben werden, dass der Unterschied zwischen der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in diesen Versuchen und seiner Wahrscheinlichkeit in einem separaten Versuch in absoluten Werten weniger als ein beliebig kleiner Wert sein wird Zahl, wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Ereignisses in jedem Versuch konstant und gleich ist .

Die Aussage des Theorems kann als folgende Ungleichung geschrieben werden:

, (9.3)

wobei und beliebige kleine positive Zahlen sind.

Unter Verwendung der Eigenschaft des mathematischen Erwartungswerts und der Streuung sowie der Tschebyscheff-Ungleichung kann die Formel (9.3) in die Form geschrieben werden

, (9.4)

Bei der Lösung praktischer Probleme ist es manchmal erforderlich, die Wahrscheinlichkeit der größten Abweichung der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses von seinem Erwartungswert abzuschätzen. Die Zufallsvariable ist in diesem Fall die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses in unabhängigen Versuchen. Wir haben:

,

.

Unter Verwendung der Tschebyscheff-Ungleichung erhalten wir in diesem Fall

.

Beispiel 3. Von den an die Montagehalle geschickten Produkten wurden zufällig ausgewählte Produkte untersucht. Darunter waren auch defekte. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ab, dass die gesamte Charge fehlerhafter Produkte nicht mehr als % und nicht weniger als % enthält.

Lösung. Bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit, ein fehlerhaftes Produkt herzustellen:

.

Die größte Abweichung der Häufigkeit des Auftretens fehlerhafter Produkte von der Wahrscheinlichkeit in absoluten Werten ist gleich ; Anzahl der Tests. Mit Formel (9.4) ermitteln wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

,

.

4. Satz von Lyapunov.

Die betrachteten Sätze des Gesetzes der großen Zahlen betreffen die Frage der Approximation bestimmter Zufallsvariablen an bestimmte Grenzwerte, unabhängig von ihrem Verteilungsgesetz. In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es eine weitere Gruppe von Theoremen bezüglich der Grenzgesetze der Verteilung einer Summe von Zufallsvariablen. Diese Gruppe von Theoremen hat den allgemeinen Namen Zentraler Grenzwertsatz. Die verschiedenen Formen des zentralen Grenzwertsatzes unterscheiden sich voneinander in den Bedingungen, die an die Summe der konstituierenden Zufallsvariablen gestellt werden.

Das Verteilungsgesetz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ( ) nähert sich dem Normalverteilungsgesetz mit unbegrenztem Anstieg, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Alle Größen haben endliche mathematische Erwartungen und Varianzen:

; ;,

Wo , ;

2) Keine der Größen unterscheidet sich wertmäßig stark von allen anderen:

.

Bei der Lösung vieler praktischer Probleme wird die folgende Formulierung des Lyapunov-Theorems für das arithmetische Mittel der beobachteten Werte der Zufallsvariablen verwendet, die ebenfalls eine Zufallsvariable ist (die oben aufgeführten Bedingungen sind erfüllt):

Wenn eine Zufallsvariable einen endlichen mathematischen Erwartungswert und eine endliche Varianz hat, dann die Verteilung des arithmetischen Mittels , berechnet aus den beobachteten Werten einer Zufallsvariablen in unabhängigen Tests, nähert sich dem Normalgesetz mit mathematischen Dispersionserwartungen, d.h..

.

Daher kann die Wahrscheinlichkeit dessen, was im Intervall enthalten ist, mithilfe der Formel berechnet werden

(9.5)

Unter Verwendung der Laplace-Funktion (siehe Anhang 2) kann Formel (9.5) in der folgenden Form geschrieben werden, die für Berechnungen praktisch ist:

; .

Es ist zu beachten, dass der zentrale Grenzwertsatz nicht nur für kontinuierliche, sondern auch für diskrete Zufallsvariablen gilt. Die praktische Bedeutung des Satzes von Lyapunov ist enorm. Die Erfahrung zeigt, dass sich das Verteilungsgesetz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen, die in ihrer Streuung vergleichbar sind, schnell dem Normalzustand nähert. Bereits bei einer Anzahl von Termen in der Größenordnung von zehn kann das Gesetz der Summenverteilung durch ein normales ersetzt werden.

Ein Sonderfall des Grenzwert-Zentralsatzes ist der Satz von Laplace (siehe Kapitel 3, Absatz 5). Es wird der Fall betrachtet, dass die Zufallsvariablen ,, diskret und identisch verteilt sind und nur zwei mögliche Werte annehmen: und. Zur Anwendung dieses Theorems in der mathematischen Statistik siehe Absatz 6 von Kapitel 3.

FRAGEN ZUM SELBSTTEST

1. Wie nennt man das Gesetz der großen Zahlen? Was bedeutet dieser Name?

2. Formulieren Sie Tschebyscheffs Ungleichung und den Satz von Tschebyscheff.

3. Welche Rolle spielen Grenzwertsätze in der Wahrscheinlichkeitstheorie?

4. Welches der Verteilungsgesetze erscheint als begrenzendes Gesetz?

5. Was ist Lyapunovs zentraler Grenzwertsatz?

6. Wie kann der Satz von Laplace als Grenzwertsatz in der Wahrscheinlichkeitstheorie interpretiert werden?

AUFGABEN ZUR UNABHÄNGIGEN LÖSUNG.

1. Die Länge der hergestellten Produkte stellt eine Zufallsvariable dar, deren Durchschnittswert (mathematische Erwartung) gleich ist cm. Die Varianz dieser Größe beträgt . Schätzen Sie mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, dass: a) die Abweichung der Länge des hergestellten Produkts von seinem Durchschnittswert in absoluten Werten nicht größer wird; b) Die Länge des Produkts wird durch die Zahl zwischen und ausgedrückt cm.

Antwort: a) ; B).

2. Das Gerät besteht aus unabhängig voneinander arbeitenden Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements ist im Laufe der Zeit gleich. Schätzen Sie mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, dass der absolute Wert der Differenz zwischen der Anzahl der ausgefallenen Elemente und der durchschnittlichen Anzahl (mathematische Erwartung) der Ausfälle im Zeitverlauf geringer sein wird.

1

In diesem Artikel werden die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere die Ungleichung von Tschebyscheff, das Gesetz der großen Zahlen, diskutiert, die einen Zusammenhang zwischen den theoretischen und experimentellen Eigenschaften von Zufallsvariablen mit einer großen Anzahl von Tests herstellen. Der Inhalt des Artikels konzentriert sich auf eine detaillierte Untersuchung des Hauptsatzes von Tschebyschew. Ihr Beweis basiert auf einem sehr allgemeinen Lemma, der sogenannten Tschebyscheff-Ungleichung. Diese Ungleichung gilt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen. Tschebyscheffs Ungleichung ist von begrenztem Wert, da sie oft eine grobe und offensichtliche Schätzung liefert. Der Kern des Satzes besteht darin, dass einzelne Zufallsvariablen eine signifikante Streuung aufweisen können, ihr arithmetisches Mittel jedoch wenig streut. Der Satz von Tschebyschew ist ein eindrucksvolles Beispiel, das die Gültigkeit der Lehre des dialektischen Materialismus über den Zusammenhang zwischen Zufall und Notwendigkeit bestätigt.

Wahrscheinlichkeitstheorie

zufällige Variablen

Grenzwertsätze

Gesetz der großen Zahlen

Tschebyscheff-Ungleichung

Satz von Tschebyschew

1. Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Wahrscheinlichkeitstheorie. Mathe-Statistik. – M.: Gardarika, 2009. – 328 S.

2. Buldyk G.M. Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. 2005. – 285 S.

3. Gmurman V.E. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik: Lehrbuch. – 12. Auflage – M.: Higher Education, 2008. – 479 S. – (Grundlagen der Naturwissenschaften)

4. Pismenny D. Vorlesungsskript zu Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematischer Statistik und Zufallsprozessen / Dmitry Pismenny. – 3. Auflage – M.: Iris-press, 2008. – 288 S. - (Hochschulbildung)

Einführung

Grenzwertsätze werden herkömmlicherweise in zwei Gruppen eingeteilt. Zur ersten Gruppe von Theoremen gehört das Gesetz der großen Zahlen, das die Stabilität von Durchschnittswerten festlegt: Bei einer großen Anzahl von Tests ist ihr Durchschnittsergebnis nicht mehr zufällig und kann genau vorhergesagt werden. Die zweite Gruppe von Theoremen, die als zentraler Grenzwertsatz bezeichnet wird, legt die Bedingungen fest, aufgrund derer sich das Verteilungsgesetz der Summe einer großen Anzahl von Zufallsvariablen auf unbestimmte Zeit dem Normalzustand annähert.

In diesem Artikel betrachten wir die Tschebyscheff-Ungleichung, die verwendet wird: a) für eine grobe Schätzung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die mit Zufallsvariablen verbunden sind, deren Verteilung unbekannt ist; b) Beweise einer Reihe von Sätzen des Gesetzes der großen Zahlen.

Der Zweck dieses Artikels ist das erfolgreiche Studium und die praktische Anwendung des Satzes von Tschebyschew und des Gesetzes der großen Zahlen für eine effektive mathematische Ausbildung von Studierenden wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Hochschulen.

Tschebyscheffs Ungleichung

Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen.

Satz 1. Wenn eine Zufallsvariable

P (|X-M(X)|)≥ε)≤ (1)

Beweisen wir Satz (1) für eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit Dichte f(x).

Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X in einen Bereich außerhalb des Intervalls fällt. Wir können schreiben

Da der Integrationsbereich in der folgenden Form 2 ≥ ε2 geschrieben werden kann. Wir haben

da das Integral einer nichtnegativen Funktion nur zunehmen kann, wenn der Integrationsbereich erweitert wird. Deshalb

Die Tschebyscheff-Ungleichung wird auf ähnliche Weise für eine diskrete Zufallsvariable bewiesen. Betrachten wir eine Zufallsvariable X mit mathematischem Erwartungswert M(X) und Varianz D(X). Dann ist der folgende Satz gültig.

Satz 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert

P (|X - M(X)|)<ε} ≥ 1- (2)

In Form (2) legt es eine Untergrenze für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses fest, und in Form (1) legt es eine Obergrenze fest.

Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt für Zufallsvariablen X = m, die eine Binomialverteilung mit dem mathematischen Erwartungswert M(X) = a = np und der Varianz D(X) = npq haben. Diese Ungleichheit nimmt die Form an

P(|m - np| (3)

Für die Häufigkeit eines Ereignisses in n unabhängigen Versuchen, in denen es jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p=M()=a auftreten kann, deren Varianz D()= ist, hat die Tschebyscheff-Ungleichung die Form

P (| - p| (4)

Tschebyscheffs Ungleichung ist von begrenztem Wert, da sie oft eine grobe und offensichtliche Schätzung liefert. Wenn beispielsweise D(X) >ε2 und > 1, dann 1-> 0; Daher weist die Tschebyscheff-Ungleichung in diesem Fall darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung nicht negativ ist, und dies ist bereits trivial, da jede Wahrscheinlichkeit durch eine nicht negative Zahl ausgedrückt wird. Diese Ungleichung wird verwendet, um den Satz von Tschebyscheff abzuleiten.

Satz von Tschebyschew

Betrachten wir eine Zufallsvariable X, bei der sich das Verteilungsgesetz von Experiment zu Experiment ändert. Dann haben wir es mit mehreren (n) Größen zu tun.

Satz 3. Wenn X1, X2, ..., (Xi)< С, i=, то при возрастании n среднее арифметическое наблюдаемых значений величин Хi, i=, сходится по вероятности к среднему арифметическому их ожиданий, то есть для любого ε> 0

Betrachten wir den Wert Y=. Sein mathematischer Erwartungswert ist M(Y) = und seine Varianz ist D(Y) = .

Wenden wir die Tschebyscheff-Ungleichung auf den Wert Y an, den wir erhalten

P()

Seit damals

Egal wie klein, wenn wir für n zum Grenzwert in Formel (6) übergehen, erhalten wir

Q.E.D.

Der Satz von Tschebyschew besagt also, dass das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen (deren Varianzen gleichmäßig begrenzt sind) keine Zufallsvariable mehr ist. Das heißt, es ist stabil und konvergiert in der Wahrscheinlichkeit zu einem bestimmten nicht zufälligen Wert, da das arithmetische Mittel mathematischer Erwartungen ein nicht zufälliger Wert ist.

Eine andere Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen erhält man, wenn man in Formel (5) auf die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses eingeht

Für identisch verteilte Zufallsvariablen Хi, i= gibt es einen Sonderfall des Satzes von Tschebyscheff.

Satz 4 (Khinchins Satz). Seien X1, X2, ... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlichen mathematischen Erwartungen M(Xi) = m. Dann konvergiert die Folge (Yn), wobei Yn, m mit der Wahrscheinlichkeit 1, d. h. für jedes ε>0

Das Gesetz der Großen gilt für abhängige Zufallsvariablen.

Satz 5 (Satz von Markov). Wenn für Zufallsvariablen X1, X2, ...

= 0

dann konvergiert das arithmetische Mittel der beobachteten Werte von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeit dem arithmetischen Mittel ihrer mathematischen Erwartungen:

für jedes ε> 0

Der Kern des Chebyshev-Theorems besteht darin, dass einzelne Zufallsvariablen eine signifikante Streuung aufweisen können, ihr arithmetisches Mittel jedoch wenig streut.

Daraus folgt, dass es unmöglich ist, mit Sicherheit vorherzusagen, welchen wahrscheinlichen Wert jede der Zufallsvariablen annehmen wird, aber es ist möglich, vorherzusagen, welchen Wert ihr arithmetisches Mittel annehmen wird.

Damit verliert das arithmetische Mittel einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen den Charakter einer Zufallsvariablen. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die Abweichung jedes ihrer Werte von ihren mathematischen Erwartungen sowohl positiv als auch negativ sein kann und sie sich im arithmetischen Mittel gegenseitig aufheben.

Der Satz von Tschebyscheff gilt nicht nur für diskrete, sondern auch für kontinuierliche Größen; Es ist ein eindrucksvolles Beispiel, das die Gültigkeit der Lehren des dialektischen Materialismus über den Zusammenhang zwischen Zufall und Notwendigkeit bestätigt.

Bibliografischer Link

Minasova N.R., Makeeva O.O. LIMIT-THEORIE DER WAHRSCHEINLICHKEIT. Tschebyschews Ungleichheit. GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN // Wissenschaftliches Bulletin für internationale Studierende. – 2014. – Nr. 2.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=11855 (Zugriffsdatum: 06.04.2019). Wir machen Sie auf Zeitschriften des Verlags „Academy of Natural Sciences“ aufmerksam.

Varianz einer Zufallsvariablen. Der mathematische Erwartungswert zeigt, um welchen Punkt sich die Werte einer Zufallsvariablen gruppieren. Es ist auch notwendig, die Variabilität einer Zufallsvariablen relativ zur mathematischen Erwartung messen zu können. Oben ist gezeigt, dass es ein Minimum erreicht . Daher ist die Einnahme selbstverständlich.

Definition 5. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist eine Zahl.

Lassen Sie uns eine Reihe von Eigenschaften der Streuung einer Zufallsvariablen ermitteln, die in probabilistischen statistischen Methoden ständig verwendet werden Entscheidungsfindung.

Aussage 8. Lassen - Zufallswert, und sind einige Zahlen, . Dann .

Wie aus den Aussagen 3 und 5 hervorgeht, . Somit, . Da der konstante Faktor über das Vorzeichen der Summe hinaus herausgenommen werden kann, gilt .

Aussage 8 zeigt insbesondere, wie sich die Streuung des Beobachtungsergebnisses ändert, wenn sich Ursprung und Maßeinheit ändern. Es gibt eine Regel zum Umwandeln von Berechnungsformeln beim Übergang zu anderen Werten der Verschiebungs- und Skalierungsparameter.

Aussage 9. Wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, ist die Varianz ihrer Summe gleich der Summe der Varianzen: .

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Identität

was aus der bekannten Formel der Elementarmalgebra bei Substitution folgt Und . Aus den Aussagen 3 und 5 und der Definition der Varianz folgt dies

Nach Aussage 6 folgt Unabhängigkeit aus Unabhängigkeit Und . Aus Aussage 7 folgt das

Da (siehe Aussage 3) die rechte Seite der letzten Gleichung gleich 0 ist, ergibt sich unter Berücksichtigung der beiden vorherigen Gleichungen die Schlussfolgerung von Aussage 9.

Aussage 10. Sei paarweise unabhängige Zufallsvariablen (d. h. und unabhängig, wenn ). Sei ihre Summe, . Dann ist der mathematische Erwartungswert der Summe gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme – . Die Varianz der Summe ist gleich der Summe der Varianzen der Terme.

Die in Aussage 10 formulierten Beziehungen sind von grundlegender Bedeutung für die Untersuchung von Probeneigenschaften, da die Ergebnisse von Beobachtungen oder Messungen, die in der Probe enthalten sind, normalerweise in der mathematischen Statistik und Theorie berücksichtigt werden Entscheidungsfindung und Ökonometrie als Implementierung unabhängiger Zufallsvariablen.

Für jede Menge numerischer Zufallsvariablen (nicht nur unabhängige) ist der mathematische Erwartungswert ihrer Summe gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen. Diese Aussage ist eine Verallgemeinerung von Aussage 5. Ein strenger Beweis lässt sich mit der Methode leicht durchführen mathematische Induktion.

Bei der Ableitung der Varianzformel verwenden wir die folgende Eigenschaft des Summensymbols:

Sagen wir es, wir verstehen

Machen wir uns nun die Tatsache zunutze, dass der mathematische Erwartungswert der Summe gleich der Summe der mathematischen Erwartungen ist:

(8)

Wie im Beweis von Aussage 9 gezeigt, folgt aus der paarweisen Unabhängigkeit der betrachteten Zufallsvariablen, dass für . Folglich bleiben in der Summe (8) nur noch Terme mit übrig, und diese sind gleich gerade.

Die grundlegenden Eigenschaften solcher Merkmale von Zufallsvariablen wie mathematischer Erwartungswert und Streuung, die in den Aussagen 8–10 ermittelt wurden, werden in fast allen probabilistischen statistischen Modellen realer Phänomene und Prozesse ständig verwendet.

Beispiel 9. Betrachten wir ein Ereignis und eine Zufallsvariable mit , if und else, d. h. Wenn . Zeigen wir das.

Verwenden wir Formel (5) für den mathematischen Erwartungswert. Zufälliger Wert nimmt zwei Werte an – 0 und 1, den Wert 1 mit Wahrscheinlichkeit und den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit, und daher . Ebenso mit Wahrscheinlichkeit und mit Wahrscheinlichkeit und daher. Wenn wir den gemeinsamen Faktor herausnehmen, finden wir das.

Beispiel 10. Betrachten wir unabhängige Versuche, in denen jeweils ein bestimmtes Ereignis eintreten kann oder auch nicht. Lassen Sie uns Zufallsvariablen einführen wie folgt: wenn das Ereignis im -ten Versuch aufgetreten ist, und - andernfalls. Dann sind die Zufallsvariablen paarweise unabhängig (siehe Beispiel 7). Wie in Beispiel 9 gezeigt, , wo . Manchmal auch „Erfolgswahrscheinlichkeit“ genannt – wenn das Eintreten eines Ereignisses als „Erfolg“ gewertet wird.

Zufälliger Wert Binomial genannt. Es ist klar, dass für alle möglichen Ergebnisse der Experimente. Um die Verteilung zu finden, d.h. Wahrscheinlichkeit bei Es reicht aus, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des betreffenden Ereignisses in jedem der Experimente zu kennen. Tatsächlich tritt ein Zufallsereignis genau dann ein, wenn das Ereignis genau während der Tests auftritt. Wenn die Zahlen aller dieser Tests bekannt sind (d. h. die Zahlen in der Testfolge), dann ist die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens eines Ereignisses in den Experimenten und in den Experimenten seines Gegenteils die Wahrscheinlichkeit der Erzeugung unabhängiger Ereignisse . Die Wahrscheinlichkeit eines Produkts ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, d. h. . Auf wie viele Arten können Testnummern angegeben werden? Dies ist die Anzahl der Kombinationen von Elementen, die in der Kombinatorik berücksichtigt werden. Wie bekannt,

Wo ist das Symbol! bezeichnet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis , d.h. (Nehmen Sie zusätzlich an, dass 0! = 1). Aus dem oben Gesagten ergibt sich das Binomialverteilung, d.h. Die Verteilung einer binomialen Zufallsvariablen hat die Form

Name " Binomialverteilung" basiert auf dem nummerierten Term in Newtons Binomialentwicklung

wenn du sagst. Dann bekommen wir

Verwenden Sie für die Anzahl der Elementkombinationen mit Ausnahme von die Notation .

Aus Aussage 10 und den Berechnungen von Beispiel 9 folgt das für eine Zufallsvariable mit Binomialverteilung, mathematischer Erwartungswert und Streuung werden durch die Formeln ausgedrückt

da es sich um die Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit denselben mathematischen Erwartungen und Varianzen wie in Beispiel 9 handelt.

Tschebyscheff-Ungleichungen. Das Problem der Überprüfung, ob der Anteil fehlerhafter Produkte in einer Charge einer bestimmten Anzahl entspricht, wurde oben diskutiert. Um den probabilistisch-statistischen Ansatz zur Überprüfung solcher Aussagen zu demonstrieren, sind die Ungleichungen nützlich, die erstmals in der Wahrscheinlichkeitstheorie vom großen russischen Mathematiker Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821–1894) verwendet wurden und daher seinen Namen tragen. Diese Ungleichungen werden in der Theorie der mathematischen Statistik häufig verwendet und finden auch direkt Anwendung in einer Reihe praktischer Probleme Entscheidungsfindung. Beispielsweise bei Problemen der statistischen Analyse technologischer Prozesse und der Produktqualität in Fällen, in denen die explizite Form der Verteilungsfunktion von Beobachtungsergebnissen unbekannt ist (siehe unten, wo sie insbesondere bei der Problematik der Eliminierung stark abweichender Beobachtungsergebnisse verwendet werden). ).

Tschebyscheffs erste Ungleichung. Sei nicht negativ Zufallswert(d. h. für alle ). Dann gilt für jede positive Zahl die folgende Ungleichung:

Nachweisen. Alle Terme auf der rechten Seite der Formel (4), die den mathematischen Erwartungswert bestimmt, sind im betrachteten Fall nicht negativ. Daher erhöht sich die Summe nicht, wenn einige Terme weggelassen werden. Belassen wir in der Summe nur die Terme, für die . Wir verstehen das

Aus (9) und (10) folgt das Geforderte.

Tschebyscheffs zweite Ungleichung. Lassen - Zufallswert. Für jede positive Zahl gilt die folgende Ungleichung:

Diese Ungleichheit war in der Arbeit von P. L. Chebyshev „Über Durchschnittswerte“ enthalten, die der Russischen Akademie der Wissenschaften am 17. Dezember 1866 vorgelegt und im folgenden Jahr veröffentlicht wurde.

Um das Zweite zu beweisen Tschebyscheff-Ungleichungen Betrachten wir eine Zufallsvariable. Sie ist nicht negativ und daher für jede positive Zahl, wie aus dem ersten folgt Tschebyscheff-Ungleichungen, die Ungleichung ist wahr

Sagen wir es. Das Ereignis fällt mit dem Ereignis zusammen und daher

Q.E.D.

Beispiel 11. Sie können eine nicht negative Zufallsvariable und eine positive Zahl angeben, sodass aus der ersten Tschebyscheff-Ungleichung eine Gleichheit wird.

Es genügt zu überlegen. Dann , d.h. .

Folglich kann Tschebyschews erste Ungleichung in ihrer allgemeinen Formulierung nicht verstärkt werden. Für die überwiegende Mehrheit der Zufallsvariablen werden jedoch in der probabilistisch-statistischen Modellierung von Prozessen verwendet Entscheidungsfindung, die linken Seiten der Tschebyscheff-Ungleichungen sind viel kleiner als die entsprechenden rechten Seiten.

Beispiel 12. Kann aus Tschebyschews erster Ungleichheit Gleichheit für alle werden? Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. Zeigen wir das für jede nicht negative Zufallsvariable mit einem Wert ungleich Null mathematische Erwartung man kann eine positive Zahl finden, so dass die erste Tschebyscheff-Ungleichung streng ist.

Tatsächlich ist der mathematische Erwartungswert einer nicht negativen Zufallsvariablen entweder positiv oder gleich 0. Im ersten Fall nehmen wir zum Beispiel eine positive Zahl, die kleiner als eine positive Zahl ist . Dann größer als 1, während die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 1 nicht überschreiten kann und daher die erste Tschebyscheff-Ungleichung hierfür streng ist. Der zweite Fall ist durch die Bedingungen von Beispiel 11 ausgeschlossen.

Beachten Sie, dass im zweiten Fall die Gleichheit 0 des mathematischen Erwartungswerts die identische Gleichheit 0 der Zufallsvariablen impliziert. Und für eine solche Zufallsvariable gilt für jedes positive Ergebnis sowohl die linke als auch die rechte Seite der ersten Tschebyscheff-Ungleichungen sind gleich 0.

Ist es in der Formulierung des ersten möglich? Tschebyscheff-Ungleichungen die Anforderung der Nichtnegativität der Zufallsvariablen verwerfen? Was ist mit dem Erfordernis der Positivität? Es ist leicht zu erkennen, dass keine der beiden Anforderungen verworfen werden kann, da sonst die rechte Seite der ersten gilt Tschebyscheff-Ungleichungen kann negativ werden.

Gesetz der großen Zahlen. Die Ungleichung von Tschebyscheff ermöglicht es uns, ein bemerkenswertes Ergebnis zu beweisen, das der mathematischen Statistik zugrunde liegt: Gesetz der großen Zahlen. Daraus folgt, dass sich die Stichprobeneigenschaften mit zunehmender Anzahl der Experimente den theoretischen annähern, was es ermöglicht, die Parameter probabilistischer Modelle anhand experimenteller Daten abzuschätzen. Ohne das Gesetz gäbe es keine großen Zahlen größer Teile der angewandten mathematischen Statistik.

Satz von Tschebyschew. Die Zufallsvariablen seien paarweise unabhängig und es gäbe eine solche Zahl Vor allen . Dann gilt für jedes Positive die Ungleichung

(11)

Nachweisen . Betrachten wir Zufallsvariablen und . Dann laut Aussage 10

Aus den Eigenschaften der mathematischen Erwartung folgt, dass und aus den Eigenschaften der Dispersion – . Auf diese Weise,

Aus den Bedingungen des Satzes von Tschebyschew folgt dies

Wenden wir Tschebyscheffs zweite Ungleichung an. Für die Wahrscheinlichkeit auf der linken Seite der Ungleichung (11) erhalten wir die Schätzung

Q.E.D.

Dieser Satz wurde von P. L. Chebyshev im selben Werk von 1867 „Über Durchschnittswerte“ wie erhalten Tschebyscheff-Ungleichungen.

Beispiel 13. Lassen . Unter welchen Bedingungen überschreitet die rechte Seite der Ungleichung (11) 0,1 nicht? 0,05? 0,00001?

Im betrachteten Fall ist die rechte Seite der Ungleichung (11) gleich . Sie überschreitet nicht 0,1, wenn nicht weniger als 1000, überschreitet nicht 0,05, wenn nicht weniger als 2000, überschreitet nicht 0,00001, wenn nicht weniger als 10.000.000.

Die rechte Seite der Ungleichung (11) und damit auch die linke Seite nimmt mit zunehmenden und festen Werten ab und nähert sich 0. Folglich nähert sich die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel unabhängiger Zufallsvariablen von seiner mathematischen Erwartung um weniger als abweicht, mit 1 an zunehmende Anzahl von Zufallsvariablen und für jede . Diese Aussage wird als GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN bezeichnet.

Am wichtigsten für probabilistisch-statistische Methoden Entscheidungsfindung(und für die mathematische Statistik im Allgemeinen) der Fall, wenn alles ., haben den gleichen mathematischen Erwartungswert und die gleiche Varianz . Als Ersatz (Schätzung) für die dem Forscher unbekannte mathematische Erwartung wird ein arithmetisches Stichprobenmittel verwendet

Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt, dass es sich mit zunehmender Anzahl von Experimenten (Tests, Messungen) beliebig nahe an nähert, was wie folgt geschrieben wird:

Hier bedeutet das Zeichen „Konvergenz durch Wahrscheinlichkeit“. Beachten wir, dass sich das Konzept der „Konvergenz der Wahrscheinlichkeit“ vom Konzept des „Übergangs zum Grenzwert“ in der mathematischen Analyse unterscheidet. Denken Sie daran, dass eine Folge einen Grenzwert bei hat, wenn es für jede beliebig kleine Zahl eine Zahl gibt, so dass für jede die folgende Aussage wahr ist: . Bei Verwendung des Konzepts der „Konvergenz durch Wahrscheinlichkeit“ wird angenommen, dass die Elemente der Folge zufällig sind, eine weitere beliebig kleine Zahl eingeführt wird und die Aussage nicht mit Sicherheit, sondern mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens erfüllt wird.

Zu Beginn der Vorlesung wurde darauf hingewiesen, dass aus der Sicht einiger Naturwissenschaftler die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Zahl ist, zu der sich die Anzahl des Auftretens des Ereignisses zur Anzahl aller Erfahrungen verhält Ansätze mit unbegrenzter Steigerung der Erfahrungszahl. Der berühmte Mathematiker Jacob Bernoulli (1654–1705), der in der Stadt Basel in der Schweiz lebte, bewies diese Aussage im Rahmen eines mathematischen Modells Ende des 17. Jahrhunderts (der Beweis wurde erst nach seinem Tod im Jahr 1713 veröffentlicht). ). Die moderne Formulierung des Satzes von Bernoulli lautet wie folgt.

Satz von Bernoulli. Sei die Anzahl des Auftretens des Ereignisses in unabhängigen (paarweisen) Versuchen und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses in jedem der Versuche. Dann gilt für alle die Ungleichung

(12)

Nachweisen. Wie in Beispiel 10 gezeigt, Zufallswert Es hat Binomialverteilung mit der Erfolgswahrscheinlichkeit und ist die Summe unabhängiger Zufallsvariablen, von denen jede gleich 1 mit Wahrscheinlichkeit und 0 mit Wahrscheinlichkeit ist, d.h. . Wenden wir den Satz von Chebyshev mit an und wir erhalten die erforderliche Ungleichung (12).

Der Satz von Bernoulli ermöglicht es, die mathematische Definition der Wahrscheinlichkeit (nach A.N. Kolmogorov) mit der Definition einer Reihe von Naturwissenschaftlern (nach R. Mises (1883–1953)) zu verbinden, wonach die Wahrscheinlichkeit die Grenze der Häufigkeit in ist unendliche Folge Tests). Lassen Sie uns diesen Zusammenhang demonstrieren. Beachten Sie dazu zunächst das

Vor allen. Wirklich,

Daher können wir im Satz von Chebyshev verwenden. Dann nähert sich für jedes und feste die rechte Seite der Ungleichung (12) mit zunehmender Zunahme dem Wert 0, was die Übereinstimmung der mathematischen Definition im Rahmen des probabilistischen Modells mit der Meinung von Naturwissenschaftlern beweist.

Es gibt auch direkte experimentelle Beweise dafür, dass die Häufigkeit des Auftretens bestimmter Ereignisse nahe an der aus theoretischen Überlegungen ermittelten Wahrscheinlichkeit liegt. Erwägen Sie, eine Münze zu werfen. Da sowohl das Wappen als auch die Rauten die gleiche Chance haben, oben zu stehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen gezeichnet wird, aus Gründen der Chancengleichheit 1/2. Der französische Naturforscher Buffon aus dem 18. Jahrhundert warf 4040 Mal eine Münze, und das Wappen tauchte 2048 Mal auf. Die Häufigkeit des Auftretens des Wappens in Buffons Experiment beträgt 0,507. Der englische Statistiker K. Pearson warf eine Münze 12.000 Mal und beobachtete 6.019 Vorkommen des Wappens – eine Häufigkeit von 0,5016. Ein anderes Mal warf er eine Münze 24.000 Mal und das Wappen erschien 12.012 Mal – eine Häufigkeit von 0,5005. Wie wir sehen, weichen die Häufigkeiten in all diesen Fällen nur geringfügig von der theoretischen Wahrscheinlichkeit von 0,5 ab [[2.3], S.148].

Über das Testen statistischer Hypothesen. Mithilfe der Ungleichung (12) können wir etwas über die Überprüfung sagen, ob die Produktqualität bestimmte Anforderungen erfüllt.

Nehmen wir an, dass von 100.000 Produktionseinheiten 30.000 defekt waren. Stimmt dies mit der Hypothese überein, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 0,23 beträgt? Welches probabilistische Modell eignet sich zunächst? Wir akzeptieren, dass ein komplexes Experiment durchgeführt wird, das aus 100.000 Tests von 100.000 Produkteinheiten auf Eignung besteht. Wir gehen davon aus, dass die Tests (paarweise) unabhängig sind und dass in jedem Test die Wahrscheinlichkeit, dass eine Produktionseinheit fehlerhaft ist, gleich ist. In der Praxis wurde festgestellt, dass das Ereignis „Eine Produktionseinheit ist nicht geeignet“ bei 100.000 Tests 30.000 Mal auftrat. Stimmt dies mit der Hypothese überein, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit = 0,23 ist?

Um die Hypothese zu testen, verwenden wir die Ungleichung (12). Im vorliegenden Fall. Um die Hypothese zu testen, werden wir dies tun. Schätzen wir die Wahrscheinlichkeit ab, dass es sich von dem gleichen wie im betrachteten Fall unterscheidet oder mehr, d.h. Schätzen wir die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit ab. Setzen wir die Ungleichung (12) ein. Dann

(13)

Bei = 100000 beträgt die rechte Seite von (13) weniger als 1/2500. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung nicht geringer ist als die beobachtete, sehr gering ist. Wenn also die Ausgangshypothese richtig ist, ist im betrachteten Experiment ein Ereignis eingetreten, dessen Wahrscheinlichkeit weniger als 1/2500 beträgt. Da 1/2500 eine sehr kleine Zahl ist, muss die ursprüngliche Hypothese verworfen werden.

Methoden zum Testen statistischer Hypothesen werden im Folgenden ausführlicher besprochen. Hier stellen wir fest, dass eines der Hauptmerkmale der Hypothesentestmethode das Signifikanzniveau ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit, die getestete Hypothese abzulehnen (in der mathematischen Statistik wird sie Null genannt und mit Null bezeichnet), wenn sie wahr ist. Dies wird häufig durchgeführt, um eine statistische Hypothese zu testen. Wählen Sie das Signifikanzniveau – kleine Zahl. Sofern im vorherigen Absatz beschrieben

Genauere Berechnungen basierend auf der Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe unten) ergeben = 0,095, = 0,0000005, sodass Schätzung (13) im betrachteten Fall stark überschätzt wird. Der Grund dafür ist, dass es aus den allgemeinsten Überlegungen gewonnen wurde; es kann nicht in Bezug auf alle möglichen Zufallsvariablen verbessert werden (siehe Beispiel 11 oben), in Bezug auf die Binomialverteilung jedoch möglich.

Es ist klar, dass auf die Einführung eines Signifikanzniveaus nicht verzichtet werden kann, da auch sehr große Abweichungen eine positive Eintrittswahrscheinlichkeit haben. Wenn also die Hypothese wahr ist, ist das Ereignis „Alle 100.000 Produktionseinheiten sind defekt“ aus mathematischer Sicht keineswegs unmöglich, sondern hat ein positives Ergebnis

Bei = 10000 ist die rechte Seite der letzten Ungleichung gleich 1/400. Das heißt, wenn die Ausgangshypothese richtig ist, dann hat in unserem einzigen Experiment ein Ereignis stattgefunden, dessen Wahrscheinlichkeit sehr gering ist – weniger als 1/400. Daher muss die ursprüngliche Hypothese zurückgewiesen werden.

Wenn bei 1000 Münzwürfen in 400 Fällen das Wappen herausfiel, dann ist die rechte Seite der oben geschriebenen Ungleichung gleich 1/40. Die Symmetriehypothese wird auf dem Signifikanzniveau 0,05 (und 0,1) abgelehnt, die betrachteten Methoden ermöglichen jedoch keine Ablehnung auf dem Signifikanzniveau 0,01.

Wenn = 100, a = 40, dann ist die rechte Seite der Ungleichung gleich 1/4. Es gibt keine Gründe, die Hypothese abzulehnen. Mit subtileren Methoden, die auf dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren, kann gezeigt werden, dass die linke Seite der Ungleichung ungefähr 0,05 beträgt. Dies zeigt, wie wichtig es ist, die richtige Methode zum Testen einer Hypothese oder zum Schätzen von Parametern zu wählen. Daher ist eine Standardisierung solcher Methoden ratsam, um den Aufwand für den Vergleich und die Auswahl der besten Methode zu sparen und veraltete, falsche oder ineffektive Methoden zu vermeiden.

Es ist klar, dass es selbst nach mehreren hundert Experimenten unmöglich ist, eine absolut symmetrische Münze (= 1/2) zuverlässig von einer einigermaßen asymmetrischen Münze (für die beispielsweise = 0,49) zu unterscheiden ist. Darüber hinaus ist jede echte Münze etwas asymmetrisch, sodass eine Münze mit = 1/2 eine mathematische Abstraktion ist. Mittlerweile ist es in einer Reihe von Management- und Produktionssituationen notwendig, eine faire Auslosung durchzuführen, und dies erfordert eine absolut symmetrische Münze. Beispielsweise können wir über die Reihenfolge der Prüfung von Investitionsprojekten durch eine Expertenkommission, über das Verfahren zur Einberufung von Kandidaten zu einem Vorstellungsgespräch, über die Auswahl von Produkteinheiten aus einer Charge für eine Stichprobe zur Kontrolle usw. sprechen.

Und die rechte Seite der Ungleichung (12) hat die Form

Hier also basierend auf der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie (mit endlichem Raum). elementare Ereignisse) konnten wir probabilistische Modelle zur Beschreibung der Qualitätsprüfung von Teilen (Produkteinheiten) und des Münzwurfs erstellen und Methoden zum Testen von Hypothesen im Zusammenhang mit diesen Phänomenen vorschlagen. In der mathematischen Statistik gibt es subtilere und komplexere Methoden zum Testen der oben beschriebenen Hypothesen, die in praktischen Berechnungen verwendet werden.

Sie können fragen: „In den oben besprochenen Modellen waren die Wahrscheinlichkeiten im Voraus bekannt – aus Strukovs Worten oder weil wir die Symmetrie der Münze angenommen haben. Aber wie erstellt man Modelle, wenn die Wahrscheinlichkeiten unbekannt sind? Wie kann man die unbekannten Wahrscheinlichkeiten schätzen?“ Der Satz von Bernoulli ist das Ergebnis, das diese Frage beantwortet. Die Schätzung der unbekannten Wahrscheinlichkeit ist nämlich die Zahl , da nachgewiesen wurde, dass sich die Wahrscheinlichkeit von etwas, das sich um mehr als jede feste Zahl unterscheidet, dem Wert 0 nähert. Je genauer die Schätzung, desto mehr . Darüber hinaus lässt sich beweisen, dass die Schätzung der Wahrscheinlichkeit unter bestimmten Gesichtspunkten (siehe unten) die bestmögliche ist (im Sinne der mathematischen Statistik – konsistent, unvoreingenommen und effizient).