Bei welchen Werten des Parameters a gilt die Gleichung. Logarithmische Gleichungen mit einem Parameter. Systeme rationaler Gleichungen mit Parametern

Aufgabe 1 #6329

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils das System gilt \[\begin(cases) (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end(cases)\]

hat genau vier Lösungen.

(USE 2018, Hauptwelle)

Die zweite Gleichung des Systems kann als \(y=\pm x\) umgeschrieben werden. Daher betrachten wir zwei Fälle: wenn \(y=x\) und wenn \(y=-x\) . Dann ist die Anzahl der Lösungen des Systems gleich der Summe der Anzahl der Lösungen im ersten und zweiten Fall.

1) \(y=x\) . Setze es in die erste Gleichung ein und erhalte: \ (Beachten Sie, dass wir im Fall von \(y=-x\) dasselbe tun und auch eine quadratische Gleichung erhalten.)
Damit das ursprüngliche System 4 verschiedene Lösungen hat, ist es notwendig, dass in jedem der beiden Fälle 2 Lösungen erhalten werden.
Eine quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln, wenn \(D>0\) ist. Finden wir die Diskriminante von Gleichung (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Diskriminante größer als Null: \(a^2+4a+2<0\) , откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).

2) \(y=-x\) . Wir erhalten eine quadratische Gleichung: \ Die Diskriminante ist größer als Null: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\), daher \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).

Es muss geprüft werden, ob die Lösungen im ersten Fall mit den Lösungen im zweiten Fall übereinstimmen.

Dann sei \(x_0\) die allgemeine Lösung der Gleichungen (1) und (2). \ Von hier aus erhalten wir entweder \(x_0=0\) oder \(a=0\) .
Wenn \(a=0\) , dann sind die Gleichungen (1) und (2) gleich, daher haben sie die gleichen Wurzeln. Dieser Fall passt nicht zu uns.
Wenn \(x_0=0\) ihre gemeinsame Wurzel ist, dann \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), woraus \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , woraus \(a=-1\) oder \(a=-0.6\) . Dann wird das gesamte ursprüngliche System drei verschiedene Lösungen haben, was uns nicht passt.

In Anbetracht all dessen lautet die Antwort:

Antwort:

\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \Rechts)\)

Aufgabe 2 #4032

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte von \(a\) , für die jeweils das System gilt \[\begin(cases) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(cases)\ ]

hat eine einzigartige Lösung.

Schreiben wir das System in der Form um: \[\begin(cases) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(cases)\] Betrachten wir drei Funktionen: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Aus dem System folgt, dass \(y\leqslant g\) , aber \(y\geqslant h\) . Damit das System Lösungen hat, muss sich der Graph \(y\) daher in dem Bereich befinden, der durch die Bedingungen angegeben wird: „oberhalb“ des Graphen \(h\), aber „unter“ dem Graphen \(g\):

(Wir nennen die „linke“ Region Region I, die „rechte“ Region Region II)
Beachten Sie, dass für jedes feste \(a\ne 0\) der Graph von \(y\) eine Parabel ist, deren Scheitelpunkt im Punkt \((-1;0)\ liegt) und die Zweige entweder gerichtet sind nach oben oder unten. Wenn \(a=0\) , dann sieht die Gleichung wie folgt aus: \(y=0\) und der Graph ist eine gerade Linie, die mit der x-Achse zusammenfällt.
Beachten Sie, dass der Graph \(y\) genau einen gemeinsamen Punkt mit Region I oder Region II haben muss, damit das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung hat (das bedeutet, dass der Graph \(y\) einen einzigen gemeinsamen Punkt haben muss mit der Grenze eines dieser Gebiete).

Schauen wir uns mehrere Fälle getrennt an.

1) \(a>0\) . Dann zeigen die Äste der Parabel \(y\) nach oben. Damit das ursprüngliche System eine eindeutige Lösung hat, ist es notwendig, dass die Parabel \(y\) die Grenze der Region I oder die Grenze der Region II berührt, d. h. die Parabel \(g\) und die Die Abszisse des Tangentenpunkts muss \(\leqslant -3\) oder \(\geqslant 2\) sein (d. h. die Parabel \(y\) muss die Grenze einer der Regionen berühren, die sich oberhalb der Abszissenachse befindet , da die Parabel \(y\) über der Abszissenachse liegt).

\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Bedingungen dafür, dass sich die Graphen \(y\) und \(g\) im Punkt mit der Abszisse \(x_0\leqslant -3\) oder \(x_0\geqslant 2\) berühren: \[\begin(cases) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered)\right. \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(aligned)\end(gathered) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(cases)\] Aus diesem System \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Wir haben den ersten Wert des Parameters \(a\) erhalten.

2) \(a=0\) . Dann ist \(y=0\) und es ist klar, dass die Gerade unendlich viele gemeinsame Punkte mit der Region II hat. Daher passt dieser Parameterwert nicht zu uns.

3)\(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).

Finden wir \(a\), für den die Parabel \(y\) durch den Punkt \(B\) verläuft: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Wir stellen sicher, dass mit diesem Wert des Parameters der zweite Schnittpunkt der Parabel \(y=-\frac34(x+1)^2\) mit der Geraden \(h=-2x-1\) ist Punkt mit Koordinaten \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\).
Somit haben wir einen weiteren Parameterwert erhalten.

Da wir alle möglichen Fälle für \(a\) berücksichtigt haben, lautet die endgültige Antwort: \

Antwort:

\(\left\(-\frac34; \frac43\right\)\)

Aufgabe 3 #4013

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils das Gleichungssystem gilt \[\begin(cases) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(cases)\]

hat genau zwei Lösungen.

1) Betrachten Sie die erste Gleichung des Systems als quadratisch in Bezug auf \(x\) : \ Die Diskriminante ist gleich \(D=9y^2\) , also \ Dann kann die Gleichung als \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] umgeschrieben werden. Daher kann das gesamte System umgeschrieben werden als \[\begin(cases) \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &y=2x\\ &y=0.5x\end(aligned)\end(gathered)\right.\\ (x-a)^2 + (y-a)^2=5a^4\end(cases)\] Die Menge definiert zwei Geraden, die zweite Gleichung des Systems definiert einen Kreis mit Mittelpunkt bei \((a;a)\) und Radius \(R=\sqrt5a^2\) . Damit die ursprüngliche Gleichung zwei Lösungen hat, muss der Kreis den Bevölkerungsgraphen an genau zwei Punkten schneiden. Hier ist eine Zeichnung, wenn zum Beispiel \(a=1\) :


Beachten Sie, dass der Mittelpunkt des Kreises entlang der geraden Linie \(y=x\) „läuft“, da die Koordinaten des Kreismittelpunkts gleich sind.

2) Da die Gerade \(y=kx\) eine Tangente hat, deren Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse \(Ox\) gleich \(k\) ist, dann ist die Tangente der Neigungswinkel der Geraden \(y=0,5x\) gleich \(0,5\) ist (nennen wir es \(\mathrm(tg)\,\alpha\)), die Gerade \(y=2x \) ist gleich \(2\) (nennen wir es \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). beachte das \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), somit, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Daher ist \(\alpha=90^\circ-\beta\) , woraus \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Das bedeutet, dass der Winkel zwischen \(y=2x\) und der positiven Richtung \(Oy\) gleich dem Winkel zwischen \(y=0,5x\) und der positiven Richtung \(Ox\) ist:


Und da die Gerade \(y=x\) die Winkelhalbierende des I-Koordinatenwinkels ist (das heißt, die Winkel zwischen ihr und den positiven Richtungen \(Ox\) und \(Oy\) sind gleich \(45^). \circ\) ), dann sind die Winkel zwischen \(y=x\) und den Geraden \(y=2x\) und \(y=0,5x\) gleich.
Wir brauchten das alles, um zu sagen, dass die Geraden \(y=2x\) und \(y=0,5x\) symmetrisch zueinander in Bezug auf \(y=x\) sind, also wenn der Kreis eins berührt von ihnen, dann berührt es notwendigerweise die zweite Zeile.
Beachten Sie, dass bei \(a=0\) der Kreis zum Punkt \((0;0)\) entartet und nur einen Schnittpunkt mit beiden Geraden hat. Das heißt, dieser Fall passt nicht zu uns.
Damit ein Kreis zwei Schnittpunkte mit Geraden hat, muss er diese Geraden berühren:


Wir sehen, dass der Fall, in dem sich der Kreis im dritten Viertel befindet, symmetrisch (relativ zum Ursprung) zu dem Fall ist, in dem er sich im ersten Viertel befindet. Das heißt, im ersten Viertel \(a>0\) und im dritten \(a<0\) (но такие же по модулю).
Daher betrachten wir nur das erste Quartal.


beachte das \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Dann dann \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Aber auf der anderen Seite, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] somit, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm\ dfrac15\] Somit haben wir bereits sofort sowohl positive als auch negative Werte für \(a\) erhalten. Daher lautet die Antwort:\

Antwort:

\(\{-0,2;0,2\}\)

Aufgabe 4 #3278

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte von \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat eine einzigartige Lösung.

(USE 2017, offizieller Test 21.04.2017)

Nehmen wir die Änderung \(t=5^x, t>0\) vor und verschieben alle Terme in einen Teil: \ Wir haben eine quadratische Gleichung erhalten, deren Wurzeln nach dem Satz von Vieta \(t_1=a+6\) und \(t_2=5+3|a|\) sind. Damit die ursprüngliche Gleichung eine Wurzel hat, reicht es aus, dass die resultierende Gleichung mit \(t\) auch eine (positive!) Wurzel hat.
Beachten wir sofort, dass \(t_2\) für alle \(a\) positiv sein wird. Somit erhalten wir zwei Fälle:

1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]

2) Da \(t_2\) immer positiv ist, muss \(t_1\) \(\leqslant 0\) sein: \

Antwort:

\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)

Aufgabe 5 #3252

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

\[\sqrt(x^2-a^2)=\sqrt(3x^2-(3a+1)x+a)\]

hat genau eine Wurzel auf dem Segment \(\) .

(USE 2017, Reservetag)

Die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Daher stellen wir fest, dass \(x=a\) die Wurzel der Gleichung für jedes \(a\) ist, da die Gleichung die Form \(0=0\) annimmt. Damit diese Wurzel zum Segment \(\) gehört, ist es notwendig, dass \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
Die zweite Wurzel der Gleichung ergibt sich aus \(x+a=3x-1\) , also \(x=\frac(a+1)2\) . Damit diese Zahl die Wurzel der Gleichung ist, muss sie die ODZ der Gleichung erfüllen, das heißt: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Damit diese Wurzel zum Segment \(\) gehört, ist es notwendig, dass \ Damit die Wurzel \(x=\frac(a+1)2\) existiert und zum Segment \(\) gehört, ist es also notwendig, dass \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Beachten Sie, dass dann für \(0\leqslant a\leqslant 1\) beide Wurzeln \(x=a\) und \(x=\frac(a+1)2\) zum Segment \(\) gehören (d. h , die Gleichung hat zwei Wurzeln auf diesem Segment), außer wenn sie zusammenfallen: \ Es passt also zu uns \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\) und \(a=1\) .

Antwort:

\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)

Aufgabe 6 #3238

Aufgabenniveau: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung gilt \

hat eine einzelne Wurzel im Segment \(.\)

(USE 2017, Reservetag)

Die Gleichung ist äquivalent: \ ODZ-Gleichungen: \[\begin(cases) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(cases)\] Auf der ODZ wird die Gleichung wie folgt umgeschrieben: \

1) Sei \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Passt nicht zu \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.

2) Sei \(a=0\) . Dann ist die ODZ-Gleichung: \(x\geqslant 0\) . Die Gleichung wird wie folgt umgeschrieben: \ Die resultierende Wurzel passt zur ODZ und ist im Segment \(\) enthalten. Daher ist \(a=0\) geeignet.

3) Sei \(a>0\) . Dann ist ODZ: \(x\geqslant a\) und \(x\leqslant 1\) . Wenn also \(a>1\) , dann ist die ODZ eine leere Menge. Somit ist \(0 Betrachten Sie die Funktion \(y=x^3-a(x^2-3x+3)\) . Lass es uns erkunden.
Die Ableitung ist gleich \(y"=3x^2-2ax+3a\). Lassen Sie uns bestimmen, welches Vorzeichen die Ableitung haben kann. Finden Sie dazu die Diskriminante der Gleichung \(3x^2-2ax+3a=0 \) : \(D=4a( a-9)\) Daher ist für \(a\in (0;1]\) die Diskriminante \(D<0\) . Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\) положительно при всех \(x\) . Следовательно, при \(a\in (0;1]\) производная \(y">0\). Daher nimmt \(y\) zu. Aufgrund der Eigenschaft einer steigenden Funktion kann die Gleichung \(y(x)=0\) also nicht mehr als eine Wurzel haben.

Damit die Wurzel der Gleichung (der Schnittpunkt des Graphen \(y\) mit der Abszissenachse) auf dem Segment \(\) liegt, ist es daher notwendig, dass \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Wenn man bedenkt, dass im betrachteten Fall zunächst \(a\in (0;1]\) lautet, lautet die Antwort \(a\in (0;1]\). Beachten Sie, dass die Wurzel \(x_1\) \( (1) \) , die Wurzeln \(x_2\) und \(x_3\) erfüllen \((2)\) . Beachten Sie auch, dass die Wurzel \(x_1\) zum Segment \(\) gehört.
Betrachten wir drei Fälle:

1) \(a>0\) . Dann ist \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) erfüllt \((2)\) , \(x_3\) erfüllt nicht \((1)\) oder stimmt mit \(x_1\) überein oder erfüllt \((1)\) , aber nicht im Segment \(\) enthalten (d. h. kleiner als \(0\) );
- \(x_1\) erfüllt nicht \((2)\) , \(x_3\) erfüllt \((1)\) und ist nicht gleich \(x_1\) .
Beachten Sie, dass \(x_3\) nicht sowohl kleiner als Null sein als auch \((1)\) erfüllen kann (d. h. größer als \(\frac35\) sein kann). Aufgrund dieser Bemerkung werden die Fälle im folgenden Satz erfasst: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Wenn wir diese Menge lösen und \(a>0\) berücksichtigen, erhalten wir: \

2) \(a=0\) . Dann ist \(x_2=x_3=3\in .\) Beachten Sie, dass in diesem Fall \(x_1\) \((2)\) und \(x_2=3\) \((1)\) erfüllt ist eine Gleichung, die zwei Wurzeln auf \(\) hat. Dieser Wert von \(a\) passt nicht zu uns.

3)\(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) und \(x_3\notin \) . Ähnlich wie bei Punkt 1 müssen Sie die folgende Menge lösen: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(gesammelt)\right.\] Lösen Sie diese Menge und berücksichtigen Sie, dass \(a<0\) , получим: \\]

Antwort:

\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)

MKOU „Lodeynopolskaya-Sekundarschule Nr. 68“

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Rede auf einem Treffen der Region Moskau

Problemlösungsmethoden

mit Parametern

Prokusheva Natalya Gennadievna

Lodeinoje Pole

2013-2014

Probleme mit Parametern

Probleme mit Parametern gehören zu den schwierigsten Aufgaben, die sowohl beim Einheitlichen Staatsexamen als auch bei zusätzlichen Auswahlprüfungen an Universitäten angeboten werden.

Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Bildung des logischen Denkens und der mathematischen Kultur. Die Schwierigkeiten, die bei ihrer Lösung auftreten, sind darauf zurückzuführen, dass jedes Problem mit Parametern eine ganze Klasse gewöhnlicher Probleme darstellt, für die jeweils eine Lösung gefunden werden muss.

Wenn in einer Gleichung (Ungleichung) einige Koeffizienten nicht durch bestimmte Zahlenwerte angegeben, sondern durch Buchstaben bezeichnet werden, werden sie Parameter genannt und die Gleichung (Ungleichung) ist parametrisch.

Unbekannte werden in der Regel durch die letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: x, y, z, ... und Parameter durch die ersten: a, b, c, ...

Eine Gleichung (Ungleichung) mit Parametern zu lösen bedeutet, anzugeben, bei welchen Werten der Parameter Lösungen existieren und was diese sind. Zwei Gleichungen (Ungleichungen), die dieselben Parameter enthalten, heißen äquivalent, wenn:

a) sie sind für die gleichen Parameterwerte sinnvoll;

b) jede Lösung der ersten Gleichung (Ungleichung) ist eine Lösung der zweiten und umgekehrt.

Natürlich erlaubt eine so kleine Klasse von Problemen vielen nicht, die Hauptsache zu begreifen: Der Parameter ist eine feste, aber unbekannte Zahl und hat einen dualen Charakter. Erstens ermöglicht der vermeintliche Ruhm, mit dem Parameter als Zahl zu „kommunizieren“, und zweitens wird der Freiheitsgrad der Kommunikation durch seine Unklarheit eingeschränkt. Daher erfordert die Division durch einen Ausdruck, der einen Parameter enthält, und das Extrahieren der Wurzel geraden Grades aus solchen Ausdrücken vorläufige Forschung. Typischerweise beeinflussen die Ergebnisse dieser Studien sowohl die Entscheidung als auch die Antwort.

Wie kann man mit der Lösung solcher Probleme beginnen? Haben Sie keine Angst vor Problemen mit Parametern. Zunächst müssen Sie das tun, was beim Lösen einer Gleichung oder Ungleichung getan wird: Reduzieren Sie die gegebene Gleichung (Ungleichung) auf eine einfachere Form, wenn möglich: Faktorisieren Sie einen rationalen Ausdruck, faktorisieren Sie ein trigonometrisches Polynom, entfernen Sie Moduli, Logarithmen usw. usw. Dann müssen Sie die Aufgabe immer wieder sorgfältig lesen.

Bei der Lösung von Problemen, die einen Parameter enthalten, gibt es Probleme, die in zwei große Klassen eingeteilt werden können. Die erste Klasse umfasst Probleme, bei denen es notwendig ist, eine Ungleichung oder Gleichung für alle möglichen Werte eines Parameters zu lösen. Die zweite Klasse umfasst Aufgaben, bei denen nicht alle möglichen Lösungen gefunden werden müssen, sondern nur solche, die einige zusätzliche Bedingungen erfüllen.

Der für Schulkinder verständlichste Weg, solche Probleme zu lösen, besteht darin, zunächst alle Lösungen zu finden und dann diejenigen auszuwählen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen. Dies ist jedoch nicht immer möglich. Es gibt eine Vielzahl von Problemen, für die es unmöglich ist, alle Lösungen zu finden, und wir werden auch nicht dazu aufgefordert. Daher müssen wir nach einer Möglichkeit suchen, das Problem zu lösen, ohne dass uns die gesamte Menge an Lösungen für eine bestimmte Gleichung oder Ungleichung zur Verfügung steht. Suchen Sie beispielsweise nach den Eigenschaften der in der Gleichung enthaltenen Funktionen, die uns eine Beurteilung ermöglichen die Existenz einer bestimmten Menge von Lösungen.

Hauptaufgabentypen mit Parametern

Typ 1. Gleichungen, Ungleichungen, ihre Systeme und Mengen, die entweder für jeden Wert des Parameters (der Parameter) oder für Parameterwerte, die zu einer vorgegebenen Menge gehören, gelöst werden müssen.

Diese Art von Problem ist grundlegend für die Beherrschung des Themas „Probleme mit Parametern“, da die investierte Arbeit den Erfolg bei der Lösung von Problemen aller anderen Grundtypen vorgibt.

Typ 2. Gleichungen, Ungleichungen, ihre Systeme und Mengen, für die es notwendig ist, die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Wert des Parameters (der Parameter) zu bestimmen.

Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass es bei der Lösung derartiger Probleme nicht erforderlich ist, gegebene Gleichungen, Ungleichungen, deren Systeme und Kombinationen usw. zu lösen oder diese Lösungen bereitzustellen; In den meisten Fällen handelt es sich bei solch unnötiger Arbeit um einen taktischen Fehler, der zu unnötiger Zeitverschwendung führt. Allerdings sollte man dies nicht verabsolutieren, da manchmal eine direkte Lösung gemäß Typ 1 der einzig sinnvolle Weg ist, eine Antwort bei der Lösung eines Problems vom Typ 2 zu erhalten.

Typ 3. Gleichungen, Ungleichungen, ihre Systeme und Sammlungen, für die es erforderlich ist, alle Parameterwerte zu finden, für die die angegebenen Gleichungen, Ungleichungen, ihre Systeme und Sammlungen eine bestimmte Anzahl von Lösungen haben (insbesondere keine haben oder haben). unendlich viele Lösungen).

Es ist leicht zu erkennen, dass Probleme vom Typ 3 in gewissem Sinne das Gegenteil von Problemen vom Typ 2 sind.

Typ 4. Gleichungen, Ungleichungen, ihre Systeme und Mengen, für die die Lösungsmenge für die erforderlichen Werte des Parameters die angegebenen Bedingungen im Definitionsbereich erfüllt.

Suchen Sie beispielsweise nach Parameterwerten, bei denen:

1) die Gleichung ist für jeden Wert der Variablen aus einem bestimmten Intervall erfüllt;
2) Die Lösungsmenge der ersten Gleichung ist eine Teilmenge der Lösungsmenge der zweiten Gleichung usw.

Ein Kommentar. Die Vielfalt der Probleme mit einem Parameter deckt den gesamten Verlauf der Schulmathematik (sowohl Algebra als auch Geometrie) ab, die überwiegende Mehrheit davon in Abschluss- und Aufnahmeprüfungen gehört jedoch zu einem der vier aufgeführten Typen, die aus diesem Grund als einfach bezeichnet werden.

Die am weitesten verbreitete Klasse von Problemen mit einem Parameter sind Probleme mit einer Unbekannten und einem Parameter. Der nächste Absatz zeigt die wichtigsten Möglichkeiten zur Lösung von Problemen dieser speziellen Klasse auf.

Grundlegende Methoden zur Lösung von Problemen mit einem Parameter

Methode I(analytisch). Dies ist eine Methode der sogenannten direkten Lösung, bei der Standardverfahren zum Finden der Antwort bei Problemen ohne Parameter wiederholt werden. Manchmal heißt es, dies sei eine Methode einer energischen, im guten Sinne „arroganten“ Lösung.

Methode II(Grafik). Je nach Aufgabenstellung (mit variablen X und Parameter A) Graphen werden berücksichtigt oder in der Koordinatenebene ( X; j), oder in der Koordinatenebene ( X; A).

Ein Kommentar. Die außergewöhnliche Klarheit und Schönheit der grafischen Methode zur Lösung von Problemen mit einem Parameter fesselt Studierende des Themas „Probleme mit einem Parameter“ so sehr, dass sie beginnen, andere Lösungsmethoden zu ignorieren und die bekannte Tatsache vergessen: für jede Klasse von Problemen , ihre Autoren können ein Problem formulieren, das auf diese Weise brillant gelöst wird und auf andere Weise enorme Schwierigkeiten mit sich bringt. Daher ist es in der Anfangsphase des Studiums gefährlich, mit grafischen Techniken zur Lösung von Problemen mit einem Parameter zu beginnen.

Methode III(Entscheidung bezüglich Parameter). Bei dieser Lösung werden die Variablen X Und A werden als gleich akzeptiert und die Variable ausgewählt, hinsichtlich derer die analytische Lösung als einfacher angesehen wird. Nach natürlichen Vereinfachungen kehren wir zur ursprünglichen Bedeutung der Variablen zurück X Und A und beenden Sie die Lösung.

Fahren wir nun mit der Demonstration dieser Methoden zur Lösung von Problemen mit einem Parameter fort.

1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern

Lineare Funktion: – Gleichung einer Geraden mit Steigungskoeffizienten . Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur positiven Richtung der Achse .

Lineare Gleichungen mit Parametern der Form

Wenn , die Gleichung hat Das einzige Lösung.

Wenn , diese Gleichung hat keine Lösungen, Wann , und die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, Wann .

Beispiel 1. Löse die Gleichung | X | = A .

Lösung:

A > 0, => X 1,2 = ± A

A = 0, => X = 0

A < 0, =>es gibt keine Lösungen.

Antwort: X 1,2 = ± A bei A > 0; X= 0 bei A= 0; Es gibt keine Lösungen dafür A < 0.

Beispiel 2. Gleichung |3 lösen – X | = A .

Lösung:

A > 0, => 3 – X = ± A , => X= 3 ± A

A = 0, => 3 – X = 0. => X = 3

A < 0, =>es gibt keine Lösungen.

Antwort: X 1,2 = 3 ± A bei A > 0; X= 3 bei A= 0; Es gibt keine Lösungen dafür A < 0.

Beispiel 3. Löse die Gleichung M ² X – M = X + 1.

Lösung:

M ² X – M = X + 1

M ² X – X = M + 1

(m² – 1)x = m + 1

Antwort:
bei M ≠ ± 1; X Є R bei M= –1; Es gibt keine Lösungen dafür M = 1.

Beispiel 4. A löse die Gleichung: ( A 2 – 4) X = A + 2 .

Lösung: Lassen Sie uns den Koeffizienten faktorisieren. .

Wenn , die Gleichung hat Das einzige Lösung: .

Wenn , Die gleichung hat keine Lösungen.

Wenn , dann gilt die Gleichung unendlich viele Lösungen .

Beispiel 6. Für alle Parameterwerte A löse die Gleichung:
.

Lösung: ODZ: . Unter dieser Bedingung entspricht die Gleichung der folgenden: . Lassen Sie uns prüfen, ob Sie zur ODZ gehören: , Wenn . Wenn , dann die Gleichung hat keine Lösungen.

Beispiel 7. Für alle Parameterwerte A Lösen Sie die Gleichung: | X + 3| – A | X – 1| = 4.

Lösung: Teilen wir die Zahlengeraden durch Punkte, an denen die Ausdrücke unter dem Modulzeichen verschwinden, in drei Teile und lösen wir drei Systeme:

1) , Wenn . Gefunden wird die Lösung sein, wenn .

2) , Wenn . Die gefundene erfüllt die erforderliche Ungleichung und ist daher eine Lösung für . Wenn , dann ist die Lösung irgendeine .

3) , Wenn . Gefunden Nicht erfüllt die erforderliche Ungleichung, daher Nicht ist eine Lösung, wenn . Wenn , dann ist die Lösung jedes x > 1.

Antwort: bei ; bei ;

P ri ; ist auch eine Lösung für alle .

Beispiel 8. Finde alle A, für jede davon mindestens eine der Lösungen zu Gleichung 15 X – 7A = 2 – 3Axt + 6A weniger 2 .

Lösung: Lassen Sie uns für jede Lösung Lösungen für die Gleichung finden . , Wenn . Lösen wir die Ungleichung: .

Wenn die Gleichung keine Lösungen hat.

Antwort : AÎ (–5 , 4) .

Lineare Ungleichungen mit Parametern

Zum Beispiel: Ungleichung lösen: kx < B .

Wenn k> 0 also
. Wenn k < 0, то
. Wenn k= 0, dann wann B> 0 Lösung ist beliebig X Є R, und wann
es gibt keine Lösungen.

Lösen Sie die übrigen Ungleichungen im Kasten auf die gleiche Weise.

Beispiel 1. Lösen Sie die Ungleichung für alle Werte des Parameters a
.

Lösung:

. Wenn die Klammer davor steht X ist positiv, d.h. bei
, Das
. Wenn die Klammer davor steht X negativ, d.h. bei
, Das
. Wenn A= 0 oder a = , dann gibt es keine Lösungen.

Antwort:
bei
;
bei
;

Es gibt keine Lösungen dafür A= 0 oder a = .

Beispiel 2. Für alle Parameterwerte A Ungleichheit lösen | X– ein| – | X + A| < 2A .

Lösung:

Bei A=0 haben wir eine falsche Ungleichung 0< 0, т.е. решений нет. Пусть a >0, dann bei x< –A beide Module werden mit einem Minus erweitert und wir erhalten die falsche Ungleichung 2 A < 2A, d.h. es gibt keine Lösungen. Wenn X Є [– A ; A] , dann beginnt das erste Modul mit einem Minus und das zweite mit einem Plus, und wir erhalten die Ungleichung –2 X < 2A, d.h. X > –A, d. h. die Lösung ist beliebig X Є (– A ; A]. Wenn X > A beide Module beginnen mit einem Plus und wir erhalten die korrekte Ungleichung –2 A < 2A, d.h. , die Lösung ist beliebig X Є ( A; +∞). Wenn wir beide Antworten kombinieren, erhalten wir das Wann A > 0 X Є (– A ; +∞).

Lassen A < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2A. Also, mit A < 0 решений нет.

Antwort: X Є (– A; +∞) bei A> 0, es gibt keine Lösungen für
.

Kommentar. Die Lösung dieses Problems ist schneller und einfacher, wenn Sie die geometrische Interpretation des Moduls der Differenz zweier Zahlen als Abstand zwischen Punkten verwenden. Dann kann der Ausdruck auf der linken Seite als Abstandsdifferenz vom Punkt interpretiert werden X zu Punkten A Und - A .

Beispiel 3. Finde alle A, für jede davon alle Lösungen der Ungleichung
erfüllen Ungleichung 2 X – A² + 5< 0.

Lösung:

Die Lösung der Ungleichung |x | ≤ 2 ist eine Menge A=[–2; 2] und die Lösung der Ungleichung 2 X – A² + 5< 0 является множество B = (–∞;
). Um die Bedingungen des Problems zu erfüllen, ist es notwendig, dass Satz A in Satz B () enthalten ist. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn .

Antwort: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).

Beispiel 4. Finden Sie alle Werte von a, für die die Ungleichung gilt
Läuft für alle X aus dem Segment.

Lösung:

Ein Bruch zwischen den Wurzeln ist kleiner als Null, daher müssen Sie herausfinden, welche Wurzel größer ist.

–3A + 2 < 2A + 4
und –3 A + 2 > 2A + 4
. Also, mit
XЄ (–3 A + 2; 2A+ 4) und damit die Ungleichung für alle x aus dem Segment gilt, ist es notwendig, dass

Bei
XЄ (2 A + 4; –3A+ 2) und damit die Ungleichung für alle gilt X Aus dem Segment ist es notwendig, dass

Wenn a = – (wenn die Wurzeln zusammenfallen), gibt es keine Lösungen, weil in diesem Fall hat die Ungleichung die Form: .

Antwort:
.

Beispiel 5. A Die Ungleichung gilt für alle negativen Werte X?

Lösung:

Die Funktion wächst monoton, wenn der Koeffizient bei X nicht negativ und nimmt monoton ab, wenn der Koeffizient bei ist X Negativ.

Lassen Sie uns das Vorzeichen des Koeffizienten herausfinden

A ≤ –3,

A ≥ 1; (A² + 2 A – 3) < 0 <=> –3 < A < 1.

A ≤ –3,

Lassen A≥ 1. Dann die Funktion F (X ) nimmt nicht monoton ab und die Bedingung des Problems ist erfüllt, wenn F (X ) ≤ 0 <=> 3A ² – A – 14 ≤ 0 <=>
.

A ≤ –3,

Zusammen mit den Bedingungen A≥ 1; wir bekommen:

Sei -3< A < 1. Тогда функция F (X ) nimmt monoton ab und die Bedingung des Problems kann niemals erfüllt werden.

Antwort:
.

2. Quadratische Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern

Quadratische Funktion:
.

In der Menge der reellen Zahlen wird diese Gleichung nach dem folgenden Schema untersucht.

Beispiel 1. Bei welchen Werten A Die gleichungX ² – Axt + 1 = 0 hat keine wirklichen Wurzeln?

Lösung:

X ² – Axt + 1 = 0

D = A ² – 4 1 =A ² – 4

A ² – 4< 0 + – +

( A – 2)( A + 2) < 0 –2 2

Antwort: beia Є (–2; 2)

Beispiel 2.Für welche Werte von a gilt die Gleichung A (X ² – X + 1) = 3 X + 5 hat zwei verschiedene echte Wurzeln?

Lösung:

A (X ² – X + 1) = 3 X + 5, A ≠ 0

Oh ² – ah+ a – 3 X – 5 = 0

Oh ² – ( A + 3) X + A – 5 = 0

D = ( A +3)² – 4A ( A – 5) = A ² +6A + 9 – 4 A ² + 20A = –3 A ² + 26A + 9

–3 A ² + 26 A + 9 > 0

3 A ² – 26A – 9 < 0

D = 26² – 4 3 (–9) = 784

A 1 =
; A 2 =
+ – +

0 9

Antwort:beiAЄ (–1/3; 0)U (0; 9)

Beispiel 3: Lösen Sie die Gleichung
.

Lösung:

ODZ: X ≠1, X ≠ A

X – 1 + X – A = 2, 2 X = 3 + A ,

1)
; 3 + A ≠ 2; A ≠ –1

2)
; 3 + A ≠ 2 A ; A ≠ 3

Antwort:
beiA Є (–∞; –1)U (–1; 3) U (3; +∞);

Es gibt keine Lösungen dafüra = –1; 3.

Beispiel4 . Löse die Gleichung | X ²–2 X –3 | = A .

Lösung:

Schauen wir uns die Funktionen an j = | X ²–2 X –3 | Undj = A .

Bei A < 0 keine Lösungen;
bei A = 0 und A> 4 zwei Lösungen;
bei 0< A < 4 – четыре решения;
bei A= 4 – drei Lösungen.

Antwort:

bei A < 0 нет решений;
bei A= 0 und A> 4 zwei Lösungen;
bei 0< A < 4 – четыре решения;
bei A= 4 – drei Lösungen.

Beispiel 5.Finden Sie alle Werte A , für die jeweils die Gleichung | X ²–( A +2) X +2 A | = | 3 X –6 |
hat genau zwei Wurzeln. Wenn solche Werte A Wenn Sie mehr als eins haben, geben Sie deren Produkt in Ihrer Antwort an.

Lösung:

Erweitern wir das quadratische Trinom X ²–( A +2) X +2 A durch Multiplikatoren.
;
;
;

Wir bekommen | ( X –2)( X – A ) | = 3 | X –2 |.
Diese Gleichung ist äquivalent zur Menge

Daher hat diese Gleichung genau zwei Wurzeln, wenn A+ 3 = 2 und A – 3 = 2.
Von hier aus finden wir die gewünschten Werte A Sind A 1 = –1; A 2 = 5; A 1 · A 2 = –5.

Antwort: –5.

Beispiel 6.Finden Sie alle Werte A , für die die Wurzeln der Gleichung Axt ² – 2( A + 1) X – A + 5 = 0 sind positiv.

Lösung:

Kontrollpunkt A= 0, weil ändert den Kern der Gleichung.

1. A = 0 –2X + = 0;

Antwort: ein Є U .

Beispiel 7.Beiwelche Parameterwerte A Die gleichung | X ² – 4 X + 3 | = Axt hat 3 Wurzeln.

Lösung:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen j = | X ² – 4 X + 3 | Und j = Axt .

Die Funktion wird auf dem Segment grafisch dargestellt
.
Diese Gleichung hat drei Wurzeln, wenn der Graph der Funktion vorliegt j = Axt wird tangential zum Diagramm sein j = X ²+ 4 X – 3 An
Segment

Die Tangentengleichung hat die Form j = F (X 0 ) + F ’(X 0 )(X – X 0 ),



Weil Tangentengleichung j = A, erhalten wir ein Gleichungssystem

Weil X 0 Є ,

Antwort: bei A = 4 – 2
.

Quadratische Ungleichungen mit Parametern

Beispiel.Finden Sie alle Parameterwerte A , für jede davon unter den Lösungen der Ungleichungen
Es gibt keinen Punkt auf dem Liniensegment.

Lösung:

Lösen wir zunächst die Ungleichung für alle Werte des Parameters und finden dann diejenigen, für die es unter den Lösungen keinen einzigen Punkt des Segments gibt .
Lassen
, Axt = T ²

T ≥ 0

Bei einem solchen Variablenaustausch wird die ODZ der Ungleichheit automatisch durchgeführt. X kann ausgedrückt werden durch T, Wenn A≠ 0. Daher ist der Fall, wenn A = 0, werden wir gesondert betrachten.
1.Lassen Sie A = 0 also X> 0, und das gegebene Segment ist eine Lösung.
2.Lassen Sie A≠ 0 also
und Ungleichheit
wird das Formular annehmen
,

Die Lösung der Ungleichung hängt von den Werten ab A, also müssen wir zwei Fälle betrachten.
1) Wenn A>0 also
bei
, oder in alten Variablen,

Die Lösung enthält genau dann keinen einzigen Punkt des angegebenen Segments, wenn die Bedingungen erfüllt sind A ≤ 7,

16A≥ 96. Daher gilt: A Є .
2). Wenn A< 0, то
;
; TЄ (4 A ; A). Als T≥ 0, dann gibt es keine Lösungen.

Antwort: .

Irrationale Gleichungen mit Parametern

Bei der Lösung irrationaler Gleichungen und Ungleichungen mit einem Parameter sollte zunächst der Bereich akzeptabler Werte berücksichtigt werden. Zweitens: Wenn beide Seiten der Ungleichung nichtnegative Ausdrücke sind, kann eine solche Ungleichung unter Beibehaltung des Vorzeichens der Ungleichung quadriert werden.
In vielen Fällen werden irrationale Gleichungen und Ungleichungen nach Änderung von Variablen auf quadratische Gleichungen reduziert.

Beispiel 1. Löse die Gleichung
.

Lösung:

ODZ: X + 1 ≥ 0, X ≥ –1, A ≥ 0.

X + 1 = A ².

Wenn X = A² – 1, dann ist die Bedingung erfüllt.

Antwort: X = A² – 1 at A≥ 0; Es gibt keine Lösungen dafür A < 0.

Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung
.

Lösung:

ODZ: X + 3 ≥ 0, X ≥ –3,

Axt ≥ 0; X ≤ A;

X + 3 = Axt,

2X = A – 3,

<=>
<=>
<=> A ≥ –3.

Antwort:
bei A≥ –3; Es gibt keine Lösungen dafür A < –3.

Beispiel 3. Wie viele Wurzeln hat die Gleichung?
abhängig von den Parameterwerten A?

Lösung:

Bereich akzeptabler Werte der Gleichung: x Є [–2; 2]

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen. Der Graph der ersten Funktion ist die obere Hälfte des Kreises X² + j² = 4. Der Graph der zweiten Funktion ist die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Koordinatenwinkels. Subtrahieren Sie vom Graphen der ersten Funktion den Graphen der zweiten und erhalten Sie den Graphen der Funktion
. Wenn Sie ersetzen bei An A, dann ist der letzte Graph der Funktion die Menge der Punkte (x; a), die die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

Anhand der Grafik sehen wir die Antwort.

Antwort: bei AЄ (–∞; –2) U (1; +∞), keine Wurzeln;

bei AЄ [–2; 2), zwei Wurzeln;

bei A= 1, eine Wurzel.

Beispiel 4. Bei welchen Parameterwerten A Die gleichung
hat eine einzige Lösung?

Lösung:

Methode 1 (analytisch):

Antwort:

Methode 2 (grafisch):

Antwort: für a ≥ –2 hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Beispiel 5. Für welche Werte des Parameters a hat die Gleichung = 2 + x eine eindeutige Lösung.

Lösung:

Betrachten wir eine grafische Version der Lösung dieser Gleichung, das heißt, wir konstruieren zwei Funktionen:
bei 1 = 2 + X Und bei 2 =

Die erste Funktion ist linear und verläuft durch die Punkte (0; 2) und (–2; 0).
Der Graph der zweiten Funktion enthält einen Parameter. Betrachten wir zunächst den Graphen dieser Funktion unter A= 0 (Abb. 1). Beim Ändern des Parameterwerts verschiebt sich der Graph entlang der Achse OH um den entsprechenden Wert links (für positiv). A) oder nach rechts (für negativ). A) (Abb. 2)

Aus der Abbildung geht klar hervor, wann A < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Antwort: bei A≥ –2 hat die Gleichung eine eindeutige Lösung.

Trigonometrische Gleichungen mit Parametern.

Beispiel 1.Löse die Gleichung Sünde (– X + 2 X – 1) = B + 1.

Lösung:

Angesichts der Seltsamkeit der Funktion
, reduzieren wir diese Gleichung auf das Äquivalent
.

1. B = –1

3. B =–2

4. | B + 1| > 1

Es gibt keine Lösungen.

5. BЄ(–1; 0)

6. BЄ(–2; –1)

Beispiel 2.Finden Sie alle Werte des Parameters p, für den die Gleichung gilt
hat keine Lösungen.

Lösung:

Lassen Sie uns cos 2 ausdrücken X durch sinx.

Lassen
Dann reduzierte sich die Aufgabe darauf, alle Werte zu finden P, für die die Gleichung keine Lösungen auf [–1; 1]. Die Gleichung kann nicht algorithmisch gelöst werden, daher werden wir das Problem mithilfe eines Diagramms lösen. Schreiben wir die Gleichung in der Form und nun eine Skizze des Diagramms der linken Seite
einfach zu bauen.
Die Gleichung hat keine Lösungen, wenn die Gerade ist j = P+ 9 schneidet den Graphen nicht im Intervall [–1; 1], d.h.

Antwort:P Є (–∞; –9) U (17; +∞).

Gleichungssysteme mit Parametern

Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit Parametern

Gleichungssystem

Die Lösungen eines Systems aus zwei linearen Gleichungen sind die Schnittpunkte zweier Geraden: und .

Es gibt 3 mögliche Fälle:

1. Linien sind nicht parallel . Dann sind ihre Normalenvektoren nicht parallel, d.h. . In diesem Fall hat das System einzige Entscheidung.

2. Die Linien sind parallel und fallen nicht zusammen. Dann sind ihre Normalenvektoren parallel, aber die Verschiebungen sind unterschiedlich, d.h. .

In diesem Fall Das System hat keine Lösungen .

3. Die Geraden fallen zusammen. Dann sind ihre Normalenvektoren parallel und die Verschiebungen fallen zusammen, d.h. . In diesem Fall hat das System unendlich viele Lösungen - alle Punkte einer Geraden .