Der Abstand zwischen sich kreuzenden Geraden in einem Prisma. Vier Möglichkeiten zur Lösung von Problemen beim Ermitteln des Abstands zwischen sich schneidenden Linien

Der Abstand zwischen zwei Geraden.

Aufgabe C2

In einem regelmäßigen dreieckigen Prisma ABCA1B1C1,
deren Kanten alle gleich 1 sind, ermitteln Sie den Abstand zwischen den Geraden AB und CB1

Der Abstand zwischen sich schneidenden Linien ist der Abstand zwischen einer der sich schneidenden Linien und einer Ebene, die durch eine andere Linie parallel zur ersten verläuft.

Um den Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien zu ermitteln, benötigen Sie:

1. Zeichnen Sie eine Ebene durch eine der Linien parallel zur zweiten Linie.

2. Senken Sie von einem beliebigen Punkt auf der ersten Linie eine Senkrechte zur Ebene ab und ermitteln Sie deren Länge. Das heißt, das Problem besteht darin, den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene zu ermitteln.

Dies kann mit der geometrischen Methode oder mit der Koordinatenmethode erfolgen.jpg" align="left" width="132" height="168">

Beweisen wir, dass die MCC1-Ebene senkrecht zur Geraden AB und damit zur A1B1C-Ebene steht:

Die Strecke MC ist der Median und damit die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC. Die Gerade KM verläuft parallel zur Geraden CC1 und damit senkrecht zu AB. Das heißt, die Gerade AB steht senkrecht auf zwei sich schneidenden Geraden der MCC1-Ebene und damit senkrecht zur Ebene.

Betrachten Sie nun das rechtwinklige Dreieck ISS in der MCC1-Ebene und zeichnen Sie darin die Höhe des MR ein:

Die Länge der Höhe MP des Dreiecks ist der Abstand zwischen den Geraden AB und CB1, den wir ermitteln müssen.

Um die Höhe des MR zu ermitteln, drücken wir die Fläche des ISS-Dreiecks zweimal aus

Platzieren wir unser Prisma im Koordinatensystem. Wenn wir ein Problem mit einem Würfel oder einem rechteckigen Parallelepiped lösen, ist die Wahl des Koordinatensystems offensichtlich: Wir platzieren den Koordinatenursprung an einem der Eckpunkte des Würfels und richten die Achsen entlang der Kanten. Bei einem Prisma ist dies nicht so offensichtlich.

Wir müssen ein Koordinatensystem so wählen, dass die Koordinaten des Punktes M und der Punkte A1, B1 und C, die die Ebene A1B1C definieren, auf einfachste Weise berechnet werden und möglichst viele Nullstellen enthalten. Daher ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem wie dieses zu wählen:

Schreiben wir die Koordinaten der benötigten Punkte auf:

Wenn es sehr detailliert ist...

Offensichtlich ist der Abschnitt, auf den sich die Bedingung bezieht, $%AA_1MN$%, wobei $%M$% und $%N$% die Mittelpunkte der Kanten $%B_1C_1$% bzw. $%BC$% sind (und die Ebene eines solchen Schnitts, offensichtlich senkrecht zu den Ebenen der Basen). Diese. Da dieser Abschnitt ein Quadrat ist, ist die Höhe des Prismas (seine Seitenkante) = die Höhe eines regelmäßigen Dreiecks $%AN = h = a\cdot \sqrt(3)/2 = 2\sqrt(7)\cdot \sqrt(3)/ 2 = \sqrt(21)$%.
Wir suchen nach der Entfernung zwischen der Kreuzung von $%A_1B$% und $%AM$%.

Eine „schlechte“ Lösung (es solle auch eine geben, da diese oft bei anderen Problemen verwendet wird). Wir konstruieren eine Ebene, die zum Beispiel eine gerade Linie $%AM$% und eine parallele Linie $%A_1B$% enthält (wir könnten umgekehrt eine Ebene zeichnen, die durch $%A_1B$% verläuft und parallel zu $%AM verläuft $%). Dazu: Durch t. $%M$% zeichnen wir die Gerade $%ME || A_1B$%; Die durch die parallelen Linien $%A_1B$% und $%AM$% definierte Ebene schneidet zwei parallele Ebenen der Basen entlang PARALLELER Linien, d. h. Wenn der Punkt $%E$% zur „unteren“ Basis gehört, muss es $%A_1M || geben BE$% (d. h. $%BA_1ME$% ist ein Parallelogramm und $%BE = A_1M = \sqrt(21)$%). Nun ist $%A_1B$% konstruktionsbedingt parallel zur Ebene $%AME$% (da $%A_1B || ME$%), und wir suchen nach der Entfernung von jedem Punkt $%A_1B$% (z. B , vom Punkt $%B$% ) zur Ebene $%AME$%. Es = die Höhe der Pyramide $%BAME$%, gezeichnet von der Spitze $%B$% bis zur Basis $%AME$%. Aber es ist schwierig, eine solche Höhe $%H$% aufzubauen, deshalb schauen wir „durch das Volumen“. Einerseits $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(\Delta AME)\cdot H$%, und andererseits: $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(BAE) \cdot MN$% (da die Höhe vom Punkt $%M$% zur Basis $%BAE$% die Höhe des Prismas $%MN = \sqrt(21)$% sein wird (obwohl die Höhe „ außerhalb“ der Pyramide selbst $%BAME$%, aber das ändert nichts)).
In $%\Delta ABE$% ist der Winkel $%\angle ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$% und die Fläche des Dreiecks $%S_(ABE) = 1/2\cdot 2\sqrt( 7) \cdot \sqrt(21) \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt(3)/2$%. Diese. Pyramidenvolumen: $%V_(BAME) = 1/3\cdot 7\sqrt(3) /2 \cdot \sqrt(21) = 7\sqrt(7) /2$%
Es bleibt nur noch die Fläche des Dreiecks $%AME$% zu ermitteln. Wir „kennen“ (wir finden) seine Seiten: $%AM = \sqrt(2) \cdot \sqrt(21) = \sqrt(42)$% (das ist die Diagonale des Quadrats), $%ME = A_1B = \sqrt( (2 \sqrt(7))^2 + (\sqrt(21))^2 ) = \sqrt( 28 + 21) = 7$%, und $%AE$% - aus dem Dreieck $% BAE$% nach dem Kosinussatz: $% AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt(7) \cdot \sqrt(21)\cdot (-\sqrt(3))/2 = 49 + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 91 $%. Diese. (noch einmal) Seiten: $%AM = \sqrt(42)$%, $%ME = 7 = \sqrt(49)$% und $%AE = \sqrt(91)$%. Aber $%91 = 42 + 49$%, d.h. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, d.h. „Nach dem Satz umgekehrt zum Satz des Pythagoras“ ist das Dreieck rechtwinklig ($%AM \perp ME$%). Dann ist seine Fläche: $%S_(AME) = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt(42)$%.
Das heißt, $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt(42) \cdot H = 7\sqrt(7)/2$%, woraus $%H = 3\sqrt(7)/\sqrt ( 42) = 3/\sqrt(6) = \sqrt(6)/2$% --Abstand vom Punkt $%B$% (und von der Geraden $%A_1B$% zur Ebene $%AME$% (gleich zum Abstand zwischen Kreuzungen).

Nun der normale Lösungsweg =)) Finden wir eine Ebene senkrecht zur geraden Linie $%AM$%. „Eine Gerade steht senkrecht auf einer Ebene, wenn sie senkrecht auf zwei nicht parallelen Geraden steht, die in dieser Ebene liegen.“ Offensichtlich $%AM \perp A_1N$% (da dies die Diagonalen des Quadrats sind). Darüber hinaus ist $%AN$% die Projektion des geneigten $%AM$% auf die „untere“ Basis. Und wenn die Projektion $%AN \perp BC$% ist, dann ist die schräge Projektion $%AM\perp BC$% (Theorie der 3 Senkrechten). Man kann auch sagen, dass die Linie $%BC$% in der Ebene der Basis liegt, die senkrecht zur Ebene $%ANM$% ist, und dass $%BC$% senkrecht zu $%AN$% ist – der Linie des Schnittpunkts dieser Ebenen, was bedeutet, dass $ %BC$% senkrecht zur gesamten Ebene $%ANM$% ist, dann $%BC\perp AM$%. Somit sind $%AM\perp A_1N$% und $%AM\perp BC$%, was bedeutet, dass $%AM$% senkrecht zur Ebene $%BA_1N$% steht. Aber die Gerade $%A_1B$% gehört im Allgemeinen zu dieser Ebene (sie muss nicht einmal auf diese Ebene projiziert werden). Diese. durch Konstruieren einer Senkrechten zur Seite $%BA_1$% vom Punkt $%O$% (dem Schnittpunkt von $%AM$% mit der Ebene $%BA_1N$%) (d. h. $%OT\perp A_1B$%) - Wir erhalten eine allgemeine Senkrechte zweier Kreuzungen (ihre Länge = der Abstand zwischen ihnen). Das Dreieck $%\Delta BNA_1$% ist rechteckig ($%\angle BNA_1 = 90^0)$% und die Strecke $%OT$% ist eine halbe Senkrechte zur Hypotenuse. Und Täter. zur Hypotenuse: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt(7)\cdot \sqrt(42)/7 = \sqrt(6)$%. Und Abstand $%OT = \sqrt(6)/2$%

Unter der Vielzahl stereometrischer Probleme in Geometrielehrbüchern, in verschiedenen Aufgabensammlungen und Lehrbüchern zur Vorbereitung auf das Studium sind Probleme bei der Bestimmung des Abstands zwischen Schnittlinien äußerst selten. Möglicherweise liegt dies sowohl an der Enge ihrer praktischen Anwendung (im Vergleich zum Lehrplan der Schule, im Gegensatz zum „Gewinn“ von Problemen bei der Berechnung von Flächen und Volumina) als auch an der Komplexität dieses Themas.

Die Praxis der Durchführung des Einheitlichen Staatsexamens zeigt, dass viele Studierende die in der Prüfungsarbeit enthaltenen Geometrieaufgaben noch nicht einmal ansatzweise lösen. Um die erfolgreiche Lösung geometrischer Aufgaben mit erhöhtem Komplexitätsgrad sicherzustellen, ist es notwendig, Flexibilität im Denken zu entwickeln, die Fähigkeit, die beabsichtigte Konfiguration zu analysieren und Teile darin zu isolieren, deren Berücksichtigung es ermöglicht, einen Weg zur Lösung des Problems zu finden Problem.

Der Schulkurs beinhaltet das Erlernen von vier Möglichkeiten zur Lösung von Problemen bei der Ermittlung des Abstands zwischen sich kreuzenden Linien. Die Wahl der Methode wird zum einen von den Merkmalen einer bestimmten Aufgabe, den Wahlmöglichkeiten, die sie bietet, und zum anderen von den Fähigkeiten und Merkmalen des „räumlichen Denkens“ eines bestimmten Schülers bestimmt. Mit jeder dieser Methoden können Sie den wichtigsten Teil des Problems lösen – die Konstruktion eines Segments senkrecht zu beiden Schnittlinien (für den rechnerischen Teil des Problems ist keine Unterteilung in Methoden erforderlich).

Grundlegende Methoden zur Lösung von Problemen bei der Ermittlung des Abstands zwischen sich kreuzenden Linien

Ermitteln der Länge der gemeinsamen Senkrechten zweier Schräglinien, d. h. ein Segment mit Enden auf diesen Linien und senkrecht zu jeder dieser Linien.

Ermitteln des Abstands von einer der Schnittlinien zu einer Ebene parallel dazu, die durch die andere Linie verläuft.

Ermitteln des Abstands zwischen zwei parallelen Ebenen, die durch gegebene Schnittlinien verlaufen.

Ermitteln des Abstands zwischen einem Punkt, der eine Projektion einer der sich kreuzenden Linien auf eine senkrecht dazu stehende Ebene (dem sogenannten „Bildschirm“) ist, und der Projektion einer anderen Linie auf dieselbe Ebene.

Lassen Sie uns alle vier Methoden anhand der folgenden einfachsten demonstrieren Aufgabe: „In einem Würfel mit einer Kante.“ A Finden Sie den Abstand zwischen einer Kante und der Diagonale der Fläche, die sie nicht schneidet.“ Antwort: .

Bild 1

h skr steht senkrecht auf der Ebene der Seitenfläche, die die Diagonale enthält D und steht senkrecht zur Kante, also h skr und ist der Abstand zwischen der Kante A und diagonal D.

Figur 2

Die Ebene A ist parallel zur Kante und verläuft durch die gegebene Diagonale, also gegeben h skr ist nicht nur der Abstand von der Kante zur Ebene A, sondern auch der Abstand von der Kante zur gegebenen Diagonale.

Figur 3

Die Ebenen A und B sind parallel und verlaufen durch zwei gegebene Schräglinien, daher ist der Abstand zwischen diesen Ebenen gleich dem Abstand zwischen den beiden Schräglinien.

Figur 4

Ebene A steht senkrecht zur Würfelkante. Bei Projektion auf A-Diagonalen D diese Diagonale dreht sich zu einer der Seiten der Würfelbasis. Das h skr ist der Abstand zwischen der Linie, die die Kante enthält, und der Projektion der Diagonale auf die Ebene C, und damit zwischen der Linie, die die Kante enthält, und der Diagonale.

Lassen Sie uns näher auf die Anwendung jeder Methode für die in der Schule untersuchten Polyeder eingehen.

Die Verwendung der ersten Methode ist recht begrenzt: Sie ist nur bei einigen Problemen sinnvoll, da es bei den einfachsten Problemen ziemlich schwierig ist, die genaue und bei komplexen Problemen die ungefähre Lage der gemeinsamen Senkrechten zweier Schnittpunkte zu bestimmen und zu begründen Linien. Darüber hinaus kann es bei der Ermittlung der Länge dieser Senkrechten bei komplexen Problemen auf unüberwindbare Schwierigkeiten stoßen.

Aufgabe 1. In einem rechteckigen Parallelepiped mit Abmessungen a, b, h Finden Sie den Abstand zwischen der Seitenkante und der Diagonale der Basis, die diese nicht schneidet.

Abbildung 5

Lassen Sie AHBD. Da A 1 A senkrecht zur Ebene ABCD steht, gilt A 1 A AH.

AH steht senkrecht auf den beiden sich kreuzenden Linien, daher ist AH? der Abstand zwischen den Linien A 1 A und BD. In einem rechtwinkligen Dreieck ABD ermitteln wir unter Kenntnis der Längen der Schenkel AB und AD die Höhe AH mithilfe von Formeln zur Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks. Antwort:

Aufgabe 2. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide mit einer Seitenkante L und Basisseite A Finden Sie den Abstand zwischen dem Apothem und der Seite der Basis, die die Seitenfläche schneidet, die dieses Apothem enthält.

Abbildung 6

SHCD ist wie ein Apothem, ADCD ist wie ABCD ein Quadrat. Daher ist DH der Abstand zwischen den Geraden SH und AD. DH entspricht der Hälfte der Seiten-CD. Antwort:

Die Verwendung dieser Methode ist auch dadurch eingeschränkt, dass, wenn Sie schnell eine Ebene konstruieren (oder eine fertige finden können), die durch eine der sich kreuzenden Linien und parallel zu einer anderen Linie verläuft, dann von jedem Punkt der zweiten Linie eine Senkrechte konstruiert werden kann Linie zu dieser Ebene (innerhalb des Polyeders) bereitet Schwierigkeiten. Bei einfachen Problemen, bei denen das Konstruieren (oder Finden) der angegebenen Senkrechten keine Schwierigkeiten bereitet, ist diese Methode jedoch die schnellste und einfachste und daher zugänglich.

Problem 2. Die Lösung des oben genannten Problems mit dieser Methode bereitet keine besonderen Schwierigkeiten.

Abbildung 7

Die Ebene EFM ist parallel zur Linie AD, da AD ​​|| E.F. Die Linie MF liegt in dieser Ebene, daher ist der Abstand zwischen der Linie AD und der Ebene EFM gleich dem Abstand zwischen der Linie AD und der Linie MF. Machen wir OHAD. OHEF, OHMO, also OH(EFM), also OH ist der Abstand zwischen der Geraden AD und der Ebene EFM und damit der Abstand zwischen der Geraden AD und der Geraden MF. Finden Sie OH aus dem Dreieck AOD.

Aufgabe 3. In einem rechteckigen Parallelepiped mit Abmessungen a,b Und H Finden Sie den Abstand zwischen der Seitenkante und der Diagonale des Parallelepipeds, die es nicht schneidet.

Abbildung 8

Die Linie AA 1 ist parallel zur Ebene BB 1 D 1 D, B 1 D gehört zu dieser Ebene, daher ist der Abstand von AA 1 zur Ebene BB 1 D 1 D gleich dem Abstand zwischen den Linien AA 1 und B 1 D. Tragen wir aus AHBD. Außerdem ist AH B 1 B, also AH(BB 1 D 1 D), also AHB 1 D, d. h. AH ist der erforderliche Abstand. Finden Sie AH aus dem rechtwinkligen Dreieck ABD.

Antwort:

Aufgabe 4. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma A:F 1 mit Höhe H und Basisseite A Finden Sie den Abstand zwischen den Linien:

Abbildung 9 Abbildung 10

a) AA 1 und ED 1.

Betrachten Sie die Ebene E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 , also

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Auch A 1 E 1 AA 1 . Daher ist A 1 E 1 der Abstand von der Geraden AA 1 zur Ebene E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1). Daher ist AE 1 der Abstand von der Geraden AA 1 zur Geraden ED 1. Wir finden A 1 E 1 aus dem Dreieck F 1 A 1 E 1 mit dem Kosinussatz. Antwort:

b) AF und Diagonale BE 1.

Zeichnen wir eine Gerade FH vom Punkt F senkrecht zu BE. EE 1 FH, FHBE, daher FH(BEE 1 B 1), daher ist FH der Abstand zwischen der Geraden AF und (BEE 1 B 1), und daher der Abstand zwischen der Geraden AF und der Diagonale BE 1. Antwort:

METHODE III

Die Verwendung dieser Methode ist äußerst begrenzt, da eine Ebene parallel zu einer der Linien (Methode II) einfacher zu konstruieren ist als zwei parallele Ebenen. Methode III kann jedoch bei Prismen verwendet werden, wenn die Schnittlinien zu parallelen Flächen gehören, z sowie in Fällen, in denen in einem Polyeder Es ist einfach, parallele Abschnitte zu konstruieren, die gegebene Linien enthalten.

Aufgabe 4.

Abbildung 11

a) Die Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1 sind parallel, da AB || ED und AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), daher ist der Abstand zwischen den Geraden AA 1 und ED 1 gleich dem Abstand zwischen den Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , also A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Wir beweisen auf ähnliche Weise, dass A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Somit ist A 1 E 1 der Abstand zwischen den Ebenen BAA 1 B 1 und DEE 1 D 1 und damit zwischen den Geraden AA 1 und ED 1. Wir finden A 1 E 1 aus dem gleichschenkligen Dreieck A 1 F 1 E 1 mit einem Winkel A 1 F 1 E 1 gleich . Antwort:

Abbildung 12

b) Der Abstand zwischen AF und der Diagonale BE 1 ergibt sich analog.

Aufgabe 5. In einem Würfel mit einer Kante A Finden Sie den Abstand zwischen zwei sich nicht schneidenden Diagonalen zweier benachbarter Flächen.

Dieses Problem wird in einigen Lehrbüchern als klassisches Problem betrachtet, seine Lösung wird jedoch in der Regel durch Methode IV gegeben, ist aber mit Methode III durchaus zugänglich.

Abbildung 13

Eine gewisse Schwierigkeit bei diesem Problem entsteht durch den Nachweis der Rechtwinkligkeit der Diagonale A 1 C zu beiden parallelen Ebenen (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 und BC 1 A 1 B 1, daher ist die Linie BC 1 senkrecht zur Ebene A 1 B 1 C und daher BC 1 A 1 C. Auch A 1 CBD. Folglich steht die Gerade A 1 C senkrecht auf der Ebene BC 1 D. Der rechnerische Teil des Problems bereitet keine besonderen Schwierigkeiten, da h skr= EF ergibt sich als Differenz zwischen der Diagonale des Würfels und den Höhen zweier identischer regelmäßiger Pyramiden A 1 AB 1 D 1 und CC 1 BD.

METHODE IV.

Diese Methode hat eine recht breite Anwendung. Für Aufgaben mit mittlerem und erhöhtem Schwierigkeitsgrad kann es als Hauptaufgabe angesehen werden. Es besteht keine Notwendigkeit, es nur dann zu verwenden, wenn eine der drei vorherigen Methoden einfacher und schneller funktioniert, da Methode IV in solchen Fällen die Lösung des Problems nur erschweren oder erschweren kann. Diese Methode ist sehr vorteilhaft bei der Rechtwinkligkeit sich schneidender Linien, da keine Projektion einer der Linien auf den „Bildschirm“ erstellt werden muss.

Problem 5. Das gleiche „klassische“ Problem (mit sich nicht schneidenden Diagonalen zweier benachbarter Würfelflächen) scheint nicht mehr schwierig zu sein, sobald der „Bildschirm“ gefunden ist – der diagonale Abschnitt des Würfels.

Abbildung 14

Bildschirm :

Abbildung 15

Betrachten Sie die Ebene A 1 B 1 CD. C 1 F (A 1 B 1 CD), weil C 1 FB 1 C und C 1 FA 1 B 1. Dann ist die Projektion von C 1 D auf den „Bildschirm“ das Segment DF. Machen wir EMDF. Das Segment EM ist der Abstand zwischen zwei sich nicht schneidenden Diagonalen zweier benachbarter Flächen. Finden Sie EM aus dem rechtwinkligen Dreieck EDF. Antwort:.

Aufgabe 6. Ermitteln Sie in einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide den Abstand und den Winkel zwischen den Schnittlinien: Seitenkante l und Basisseite A.

Abbildung 16

Bei diesem und ähnlichen Problemen führt Methode IV schneller zu einer Lösung als andere Methoden, da nach der Konstruktion eines Abschnitts, der die Rolle eines „Bildschirms“ senkrecht zu AC (Dreieck BDM) spielt, klar ist, dass keine weitere Konstruktion erforderlich ist eine Projektion einer weiteren Geraden (BM) auf diesen Bildschirm. DH ist die erforderliche Distanz. DH wird mithilfe von Flächenformeln aus dem Dreieck MDB ermittelt. Antwort: .

\(\blacktriangleright\) Sich kreuzende Linien sind Linien, durch die keine Ebene gezeichnet werden kann.

Zeichen für das Überqueren von Linien: Wenn die erste Linie die Ebene, in der die zweite Linie liegt, an einem Punkt schneidet, der nicht auf der zweiten Linie liegt, dann schneiden sich diese Linien.

\(\blacktriangleright\) Weil Durch eine der sich kreuzenden Geraden verläuft dann genau eine Ebene parallel zur anderen Geraden Abstand zwischen sich kreuzenden Linien ist der Abstand zwischen einer dieser Geraden und einer Ebene, die durch die zweite Gerade parallel zur ersten verläuft.

Wenn sich also die Geraden \(a\) und \(b\) schneiden, dann gilt:

Schritt 1. Zeichnen Sie eine Linie \(c\parallel b\), sodass die Linie \(c\) die Linie \(a\) schneidet. Die Ebene \(\alpha\), die durch die Linien \(a\) und \(c\) verläuft, ist die Ebene parallel zur Linie \(b\).

Schritt 2. Senken Sie vom Schnittpunkt der Geraden \(a\) und \(c\) (\(a\cap c=H\) ) die Senkrechte \(HB\) zur Geraden \(b\) (zuerst Methode).

Oder lassen Sie von jedem Punkt \(B"\) der Linie \(b\) eine Senkrechte zur Linie \(c\) fallen (zweite Methode).

Abhängig von den Bedingungen des Problems kann eine dieser beiden Methoden wesentlich praktischer sein als die andere.

Aufgabe 1 #2452

Aufgabenstufe: Einfacher als das Einheitliche Staatsexamen

Ermitteln Sie im Würfel \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), dessen Kante \(\sqrt(32)\) ist, den Abstand zwischen den Linien \(DB_1\) und \(CC_1\).

Die Geraden \(DB_1\) und \(CC_1\) werden entsprechend dem Merkmal gekreuzt, weil Die Gerade \(DB_1\) schneidet die Ebene \((DD_1C_1)\), in der \(CC_1\) liegt, an einem Punkt \(D\), der nicht auf \(CC_1\) liegt.

Wir suchen nach dem Abstand zwischen sich kreuzenden Linien als Abstand zwischen der geraden Linie \(CC_1\) und der Ebene, die parallel zu \(CC_1\) durch \(DB_1\) verläuft. Weil \(DD_1\parallel CC_1\) , dann ist die Ebene \((B_1D_1D)\) parallel zu \(CC_1\) .
Beweisen wir, dass \(CO\) senkrecht zu dieser Ebene steht. Tatsächlich gilt \(CO\perp BD\) (als die Diagonalen eines Quadrats) und \(CO\perp DD_1\) (da die Kante \(DD_1\) senkrecht zur gesamten Ebene \((ABC)\) ist) . Somit ist \(CO\) senkrecht zu zwei Schnittlinien aus der Ebene, daher \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) als Diagonale eines Quadrats ist gleich \(AB\sqrt2\) , das heißt \(AC=\sqrt(32)\cdot \sqrt2=8\). Dann ist \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

Antwort: 4

Aufgabe 2 #2453

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

Gegeben sei ein Würfel \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Finden Sie den Abstand zwischen den Linien \(AB_1\) und \(BC_1\), wenn die Kante des Würfels gleich \(a\) ist.

1) Beachten Sie, dass sich diese Linien entsprechend dem Attribut schneiden, weil Die Gerade \(AB_1\) schneidet die Ebene \((BB_1C_1)\), in der \(BC_1\) liegt, an einem Punkt \(B_1\), der nicht auf \(BC_1\) liegt.
Wir suchen nach dem Abstand zwischen sich kreuzenden Linien als Abstand zwischen der geraden Linie \(BC_1\) und der Ebene, die parallel zu \(BC_1\) durch \(AB_1\) verläuft.

Zeichnen wir dazu \(AD_1\) – es ist parallel zu \(BC_1\) . Daher ist die Ebene gemäß dem Kriterium \((AB_1D_1)\parallel BC_1\) .

2) Lassen Sie uns die Senkrechte \(C_1H\) auf diese Ebene senken und beweisen, dass der Punkt \(H\) auf die Fortsetzung des Segments \(AO\) fällt, wobei \(O\) der Schnittpunkt von ist die Diagonalen des Quadrats \(A_1B_1C_1D_1\) .
Tatsächlich, weil Aufgrund der Eigenschaft des Quadrats \(C_1O\perp B_1D_1\) ist die senkrechte Projektion nach dem Satz von drei \(HO\perp B_1D_1\) . Aber \(\triangle AB_1D_1\) ist gleichschenklig, daher ist \(AO\) der Median und die Höhe. Das bedeutet, dass der Punkt \(H\) auf der Geraden \(AO\) liegen muss.

3) Betrachten Sie die Ebene \((AA_1C_1)\) .

\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) an zwei Ecken ( \(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\), \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\) ). Auf diese Weise,

\[\dfrac(C_1H)(AA_1)=\dfrac(OC_1)(AO) \qquad (*)\]

Nach dem Satz des Pythagoras aus \(\triangle AA_1O\) : \

Daher können wir nun aus \((*)\) die Senkrechte finden

Antwort:

\(\dfrac a(\sqrt3)\)

Aufgabe 3 #2439

Aufgabenniveau: Schwieriger als das Einheitliche Staatsexamen

\(OK\) ist senkrecht zur Linie \(A_1B\) .
Führen wir tatsächlich \(KH\parallel B_1C_1\) aus (daher \(H\in AB_1\) ). Dann weil \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , dann \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Dann ist nach dem Satz der drei Senkrechten (da die Projektion \(HO\perp A_1B\) ist) die schräge Senkrechte \(KO\perp A_1B\) , weshalb.
Somit ist \(KO\) der erforderliche Abstand.

beachte das \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\)(an zwei Ecken). Somit,

\[\dfrac(AO)(AC_1)=\dfrac(OK)(B_1C_1) \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac(\sqrt6\cdot \sqrt2)(2\sqrt3)=1.\]

Auf der Website wurden bereits einige Arten von Problemen in der Stereometrie besprochen, die in einer einzigen Aufgabenbank für die Mathematikprüfung enthalten sind.Zum Beispiel Aufgaben zum Thema .

Ein Prisma heißt regelmäßig, wenn seine Seiten senkrecht zu den Grundflächen stehen und an den Grundflächen ein regelmäßiges Vieleck liegt. Das heißt, ein regelmäßiges Prisma ist ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck an seiner Basis.

Ein regelmäßiges sechseckiges Prisma hat an der Basis ein regelmäßiges Sechseck, die Seitenflächen sind Rechtecke.

In diesem Artikel finden Sie Aufgaben zur Lösung eines Prismas, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck ist. Es gibt keine Besonderheiten oder Schwierigkeiten bei der Lösung. Was ist der Punkt? Bei einem regelmäßigen sechseckigen Prisma müssen Sie den Abstand zwischen zwei Eckpunkten berechnen oder einen bestimmten Winkel ermitteln. Die Probleme sind eigentlich einfach; am Ende besteht die Lösung darin, ein Element in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden.

Der Satz des Pythagoras wird verwendet und. Kenntnisse über die Definition trigonometrischer Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck sind erforderlich.

Schauen Sie sich unbedingt die Informationen zum regelmäßigen Sechseck an.Sie benötigen außerdem die Fähigkeit, eine große Anzahl davon zu extrahieren. Sie können Polyeder lösen, sie berechnen auch den Abstand zwischen Eckpunkten und Winkeln.

Kurz gesagt: Was ist ein regelmäßiges Sechseck?

Es ist bekannt, dass in einem regelmäßigen Sechseck die Seiten gleich sind. Außerdem sind auch die Winkel zwischen den Seiten gleich.

*Gegenüberliegende Seiten sind parallel.

Weitere Informationen

Der Radius eines um ein regelmäßiges Sechseck umschriebenen Kreises ist gleich seiner Seite. *Dies lässt sich ganz einfach bestätigen: Wenn wir die gegenüberliegenden Eckpunkte eines Sechsecks verbinden, erhalten wir sechs gleiche gleichseitige Dreiecke. Warum gleichseitig?

Jedes Dreieck hat einen Winkel von 60°, dessen Scheitelpunkt in der Mitte liegt 0 (360:6=60). Da die beiden Seiten eines Dreiecks mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt in der Mitte gleich sind (dies sind die Radien des umschriebenen Kreises), beträgt jeder Winkel an der Basis eines solchen gleichschenkligen Dreiecks ebenfalls 60 Grad.

Das heißt, ein regelmäßiges Sechseck besteht im übertragenen Sinne aus sechs gleichen gleichseitigen Dreiecken.

Welche andere Tatsache sollte beachtet werden, die zur Lösung von Problemen nützlich ist? Der Scheitelwinkel eines Sechsecks (der Winkel zwischen seinen angrenzenden Seiten) beträgt 120 Grad.

*Auf die Formeln für ein reguläres N-Eck haben wir bewusst nicht eingegangen. Wir werden diese Formeln in Zukunft noch ausführlicher betrachten, sie werden hier einfach nicht benötigt.

Betrachten wir die Aufgaben:

272533. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich 48. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten A und E 1 .

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck AA 1 E 1 . Nach dem Satz des Pythagoras:

*Der Winkel zwischen den Seiten eines regelmäßigen Sechsecks beträgt 120 Grad.

Abschnitt AE 1 ist die Hypotenuse AA 1 und A 1 E 1 Beine. Rippe AA 1 wir wissen. Abschnitt a 1 E 1 wir können using using finden.

Satz: Das Quadrat einer beliebigen Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate seiner beiden anderen Seiten ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Somit

Nach dem Satz des Pythagoras:

Antwort: 96

*Bitte beachten Sie, dass eine Quadrierung von 48 nicht erforderlich ist.

In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten 35. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten B und E.

Man sagt, dass alle Kanten gleich 35 sind, das heißt, die Seite des Sechsecks, die an der Basis liegt, ist gleich 35. Und auch, wie bereits gesagt, ist der Radius des um ihn herum beschriebenen Kreises gleich der gleichen Zahl.

Auf diese Weise,

Antwort: 70

273353. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich vierzig Wurzeln aus fünf. Finden Sie den Abstand zwischen Punkten B und E 1.

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck BB 1 E 1 . Nach dem Satz des Pythagoras:

Segment B 1 E 1 ist gleich zwei Radien des um ein regelmäßiges Sechseck umschriebenen Kreises, und sein Radius ist gleich der Seite des Sechsecks, d. h

Auf diese Weise,

Antwort: 200

273683. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich 45. Finden Sie den Tangens des Winkels AD 1 D.

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ADD 1, in dem ANZEIGE gleich dem Durchmesser eines um die Basis umschriebenen Kreises. Es ist bekannt, dass der Radius eines Kreises, der ein regelmäßiges Sechseck umschreibt, gleich seiner Seite ist.

Auf diese Weise,

Antwort: 2

In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich 23. Finden Sie den Winkel TUPFEN. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Betrachten Sie ein regelmäßiges Sechseck:

Dabei betragen die Winkel zwischen den Seiten 120°. Bedeutet,

Die Länge der Kante selbst spielt keine Rolle; sie hat keinen Einfluss auf den Winkel.

Antwort: 60

In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich 10. Finden Sie den Winkel AC 1 C. Geben Sie die Antwort in Grad an.

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck AC 1 C:

Lass uns finden A.C.. In einem regelmäßigen Sechseck betragen die Winkel zwischen seinen Seiten 120 Grad, also nach dem Kosinussatz für ein DreieckABC:

Auf diese Weise,

Also Winkel AC 1 C entspricht 60 Grad.

Antwort: 60

274453. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sind alle Kanten gleich 10. Finden Sie den Winkel AC 1 C. Geben Sie die Antwort in Grad an.