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Lösen Sie ein symmetrisches Gleichungssystem in drei Unbekannten. §5. Homogene Gleichungen und Systeme

Einführung

Symmetrie... ist die Idee, mit der der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.

Das Konzept der Symmetrie zieht sich durch die gesamte Menschheitsgeschichte. Es findet sich bereits am Ursprung des menschlichen Wissens. Es entstand im Zusammenhang mit der Erforschung eines lebenden Organismus, nämlich des Menschen, und wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. von Bildhauern verwendet. e.
Das Wort „Symmetrie“ ist griechisch. Es bedeutet „Verhältnismäßigkeit“, „Verhältnismäßigkeit“, Einheitlichkeit in der Anordnung der Teile. Es wird ausnahmslos in allen Bereichen der modernen Wissenschaft weit verbreitet verwendet.
Viele großartige Menschen haben über dieses Muster nachgedacht. Zum Beispiel sagte L. N. Tolstoi: „Als ich vor einer Tafel stand und mit Kreide verschiedene Figuren darauf zeichnete, kam mir plötzlich der Gedanke: Warum ist Symmetrie für das Auge klar?“ Was ist Symmetrie? Es ist ein angeborenes Gefühl. Worauf basiert es?"
Tatsächlich gefällt die Symmetrie dem Auge. Wer hat nicht die Symmetrie der Naturschöpfungen bewundert: Blätter, Blumen, Vögel, Tiere; oder menschliche Schöpfungen: Gebäude, Technik, - alles, was uns seit unserer Kindheit umgibt, alles, was nach Schönheit und Harmonie strebt.
Symmetrie (altgriechisch συμμετρία – „Proportionalität“) im weitesten Sinne – Unveränderlichkeit bei jeglichen Transformationen. Beispielsweise bedeutet die Kugelsymmetrie eines Körpers, dass sich das Aussehen des Körpers nicht ändert, wenn er im Raum in beliebigen Winkeln gedreht wird (wobei ein Punkt an Ort und Stelle bleibt). Bilaterale Symmetrie bedeutet, dass die rechte und linke Seite einer Ebene gleich aussehen.
Symmetrie begegnet uns überall – in der Natur, Technik, Kunst, Wissenschaft. Beachten wir zum Beispiel die Symmetrie, die für einen Schmetterling und ein Ahornblatt charakteristisch ist, die Symmetrie eines Autos und eines Flugzeugs, die Symmetrie in der rhythmischen Struktur eines Gedichts und einer musikalischen Phrase, die Symmetrie von Ornamenten und Bordüren, die Symmetrie der atomaren Struktur von Molekülen und Kristallen. Der Begriff der Symmetrie zieht sich durch die gesamte jahrhundertealte Geschichte der menschlichen Kreativität. Es findet sich bereits am Ursprung des menschlichen Wissens; Es wird ausnahmslos in allen Bereichen der modernen Wissenschaft weit verbreitet verwendet. Die Prinzipien der Symmetrie spielen eine wichtige Rolle in Physik und Mathematik, Chemie und Biologie, Technik und Architektur, Malerei und Bildhauerei, Poesie und Musik. Die Naturgesetze, die das unerschöpfliche Bild der Phänomene in ihrer Vielfalt bestimmen, unterliegen wiederum den Prinzipien der Symmetrie.

Ziele:

Betrachten Sie die Arten und Arten von Symmetrien;

Analysieren Sie, wie und wo Symmetrie verwendet wird.

Überlegen Sie, wie Symmetrie in einem Algebrakurs in der Schule verwendet wird

Symmetrie.
Das Wort „Symmetrie“ hat eine zweifache Interpretation. In gewissem Sinne bedeutet symmetrisch etwas sehr Proportionales, Ausgewogenes; Symmetrie zeigt die Art und Weise, wie viele Teile koordiniert sind und mit deren Hilfe sie zu einem Ganzen zusammengefasst werden. Die zweite Bedeutung dieses Wortes ist Gleichgewicht. Auch Aristoteles sprach von Symmetrie als einem Zustand, der durch das Verhältnis von Extremen gekennzeichnet ist. Aus dieser Aussage folgt, dass Aristoteles der Entdeckung eines der grundlegendsten Naturgesetze – des Gesetzes ihrer Dualität – vielleicht am nächsten war.
Es müssen Aspekte hervorgehoben werden, ohne die Symmetrie unmöglich ist:
1) das Objekt ist der Träger der Symmetrie; Dinge, Prozesse, geometrische Figuren, mathematische Ausdrücke, lebende Organismen usw. können als symmetrische Objekte wirken.

2) einige Merkmale – Mengen, Eigenschaften, Beziehungen, Prozesse, Phänomene – eines Objekts, die bei Symmetrietransformationen unverändert bleiben; sie werden Invarianten oder Invarianten genannt.

3) Änderungen (eines Objekts), die dazu führen, dass das Objekt aufgrund invarianter Merkmale mit sich selbst identisch bleibt; solche Änderungen werden Symmetrietransformationen genannt;

4) die Eigenschaft eines Objekts, sich nach den entsprechenden Änderungen entsprechend ausgewählten Eigenschaften in sich selbst umzuwandeln.

Symmetrie drückt also die Erhaltung von etwas trotz einiger Veränderungen oder die Erhaltung von etwas trotz einer Veränderung aus. Symmetrie setzt die Unveränderlichkeit nicht nur des Objekts selbst, sondern auch aller seiner Eigenschaften in Bezug auf die am Objekt durchgeführten Transformationen voraus. Die Unveränderlichkeit bestimmter Objekte kann in Bezug auf verschiedene Operationen beobachtet werden – Rotationen, Translationen, gegenseitiger Austausch von Teilen, Spiegelungen usw. Dabei werden verschiedene Arten der Symmetrie unterschieden.

Asymmetrie

Asymmetrie ist das Fehlen oder die Verletzung von Symmetrie.
Symmetrie und Asymmetrie sind in der Architektur zwei gegensätzliche Methoden der regelmäßigen Organisation räumlicher Form. Asymmetrische Kompositionen im Prozess der architektonischen Entwicklung entstanden als Verkörperung komplexer Kombinationen von Lebensprozessen und Umweltbedingungen.

Asymmetrie

Wir nennen gebrochene, teilweise gestörte Symmetrie Asymmetrie .
Asymmetrie ist ein in der belebten Natur weit verbreitetes Phänomen. Es ist auch typisch für den Menschen. Ein Mensch ist asymmetrisch, obwohl die Umrisse seines Körpers eine Symmetrieebene aufweisen. Asymmetrie beeinflusst
bessere Kontrolle einer der Hände, in der asymmetrischen Anordnung des Herzens und vieler anderer Organe, in der Struktur dieser Organe.
Die Asymmetrien des menschlichen Körpers ähneln Abweichungen von der exakten Symmetrie in der Architektur. Ihre Ursache liegt in der Regel in der praktischen Notwendigkeit, nämlich darin, dass die Vielfalt der Funktionen nicht in die Grenzen starrer Symmetriegesetze passt. Manchmal bilden solche Abweichungen die Grundlage für eine akute emotionale Wirkung.

^ Arten von Symmetrien in Mathematik und Naturwissenschaften:

Bilaterale Symmetrie- Spiegelreflexionssymmetrie, bei der ein Objekt eine Symmetrieebene hat, relativ zu der seine beiden Hälften spiegelsymmetrisch sind. Bei Tieren äußert sich die bilaterale Symmetrie in der Ähnlichkeit oder nahezu vollständigen Identität der linken und rechten Körperhälfte. In diesem Fall kommt es immer zu zufälligen Abweichungen von der Symmetrie (zum Beispiel Unterschiede in den Papillarlinien, Verzweigungen von Blutgefäßen). Oft gibt es kleine, aber natürliche Unterschiede in der äußeren Struktur und größere Unterschiede zwischen der rechten und linken Körperhälfte die Anordnung der inneren Organe. Beispielsweise ist das Herz von Säugetieren normalerweise asymmetrisch und nach links verschoben.

Bei Tieren ist das Auftreten einer bilateralen Symmetrie in der Evolution mit dem Kriechen entlang des Substrats (entlang des Bodens eines Reservoirs) verbunden, wodurch die dorsale und ventrale sowie die rechte und linke Körperhälfte erscheinen. Im Allgemeinen ist bei Tieren die bilaterale Symmetrie bei aktiv beweglichen Formen stärker ausgeprägt als bei sessilen. Bei Pflanzen weist normalerweise nicht der gesamte Organismus eine bilaterale Symmetrie auf, sondern seine einzelnen Teile – Blätter oder Blüten. Botaniker nennen bilateral symmetrische Blüten zygomorph.

^Symmetrie N-ter Ordnung- Symmetrie in Bezug auf Drehungen um einen Winkel von 360°/n um eine beliebige Achse. Beschrieben von der Zn-Gruppe.

Axiale Symmetrie(Radialsymmetrie, Strahlsymmetrie) – eine Form der Symmetrie, bei der ein Körper (oder eine Figur) mit sich selbst zusammenfällt, wenn sich das Objekt um einen bestimmten Punkt oder eine bestimmte Linie dreht. Oftmals fällt dieser Punkt mit dem Symmetriezentrum des Objekts zusammen, also dem Punkt, an dem
unendlich viele Achsen bilateraler Symmetrie schneiden sich. Geometrische Objekte wie Kreis, Kugel, Zylinder oder Kegel haben radiale Symmetrie. Beschrieben von der SO(2)-Gruppe.

^ Sphärische Symmetrie- Symmetrie in Bezug auf Rotationen im dreidimensionalen Raum in beliebigen Winkeln. Beschrieben von der SO(3)-Gruppe. Lokale sphärische Symmetrie des Raums oder Mediums wird auch Isotropie genannt.

^ Rotationssymmetrie– ein Begriff, der die Symmetrie eines Objekts in Bezug auf alle oder einige Eigenrotationen des m-dimensionalen euklidischen Raums bezeichnet.

^ Symmetrie bei Tieren und Menschen.

Symmetrie ist ein wichtiges Merkmal, das die Merkmale der Struktur, des Lebensstils und des Verhaltens des Tieres widerspiegelt. Damit Fische schwimmen können, ist eine symmetrische Form erforderlich. Vogel zum Fliegen. Symmetrie in der Natur gibt es also aus einem Grund: Sie ist auch nützlich, oder mit anderen Worten, zweckmäßig. In der Biologie liegt das Symmetriezentrum bei Blumen, Quallen, Seesternen usw. Das Vorhandensein von Symmetrieformen lässt sich bereits bei den einfachsten - Einzellern (Ciliaten, Amöben) - nachweisen. Der menschliche Körper ist nach dem Prinzip der Bilateralität aufgebaut Symmetrie. Das Gehirn ist in zwei Hälften geteilt. In voller Übereinstimmung mit der allgemeinen Symmetrie des menschlichen Körpers ist jede Hemisphäre ein nahezu exaktes Spiegelbild der anderen. Die Steuerung der Grundbewegungen des menschlichen Körpers und seiner Sinnesfunktionen ist gleichmäßig auf die beiden Gehirnhälften verteilt. Die linke Hemisphäre steuert die rechte Gehirnhälfte und die rechte Hemisphäre steuert die linke Seite. Studien haben gezeigt, dass ein symmetrisches Gesicht attraktiver ist. Forscher behaupten außerdem, dass ein Gesicht mit idealen Proportionen ein Zeichen dafür ist, dass der Körper seines Besitzers gut auf die Bekämpfung von Infektionen vorbereitet ist. Erkältungen, Asthma und Grippe bessern sich eher bei Menschen, deren linke Seite genau der rechten entspricht. Und auch bei der Kleidung versucht man in der Regel, den Eindruck der Symmetrie aufrechtzuerhalten: Der rechte Ärmel entspricht dem linken, das rechte Hosenbein entspricht dem linken. Die Knöpfe an der Jacke und am Hemd sitzen genau in der Mitte, und wenn sie sich davon entfernen, dann in symmetrischen Abständen. Und gleichzeitig versucht man manchmal, den Unterschied zwischen links und rechts hervorzuheben und zu verstärken. Im Mittelalter trugen Männer einst Hosen mit Beinen unterschiedlicher Farbe (z. B. eine rot und die andere schwarz oder weiß). Aber
Solche Mode ist immer nur von kurzer Dauer. Nur taktvolle, bescheidene Abweichungen von der Symmetrie bleiben lange Zeit bestehen.

Symmetrie in der Kunst

Symmetrie in der Kunst im Allgemeinen und in der bildenden Kunst im Besonderen hat ihren Ursprung in der Realität, die voller symmetrisch angeordneter Formen ist.
Die symmetrische Organisation einer Komposition zeichnet sich durch das Gleichgewicht ihrer Teile in Masse, Ton, Farbe und gleichmäßiger Form aus. In solchen Fällen ist ein Teil fast ein Spiegelbild des zweiten. Symmetrische Kompositionen haben meist ein ausgeprägtes Zentrum. Sie fällt in der Regel mit dem geometrischen Mittelpunkt der Bildebene zusammen. Wenn der Fluchtpunkt aus der Mitte verschoben wird, einer der Teile stärker mit Massen belastet ist oder das Bild diagonal aufgebaut ist, verleiht dies der Komposition Dynamik und stört in gewissem Maße das ideale Gleichgewicht.
Die Symmetrieregel wurde auch von Bildhauern des antiken Griechenlands verwendet. Ein Beispiel ist die Komposition des Westgiebels des Zeustempels und des Olympia-Tempels. Es basiert auf dem Kampf der Lapithen (Griechen) mit den Zentauren in Gegenwart des Gottes Apollo. Die Bewegung nimmt von den Rändern zur Mitte hin allmählich zu. Seine größte Ausdruckskraft erreicht es im Bild zweier junger Männer, die auf die Zentauren einschlugen. Die wachsende Bewegung scheint sofort zu stoppen, als man sich der Figur Apollos nähert, die ruhig und majestätisch in der Mitte des Giebels steht.
Eine Vorstellung von den verlorenen Werken berühmter Maler des 5. Jahrhunderts v. Chr. e. kann aus antiken Vasengemälden und pompejanischen Fresken zusammengestellt werden, inspiriert, wie Forscher glauben, von den Werken griechischer Meister der klassischen Ära ...
Symmetrische Kompositionen wurden auch bei griechischen Meistern des 4.-3. Jahrhunderts v. Chr. beobachtet. e. Dies kann anhand von Kopien der Fresken beurteilt werden. In pompejanischen Fresken stehen die Hauptfiguren im Zentrum einer Pyramidenkomposition, die durch Symmetrie gekennzeichnet ist.
Künstler griffen oft auf die Regeln der Symmetrie zurück, wenn sie feierliche, überfüllte Versammlungen, Paraden, Versammlungen in großen Sälen usw. darstellten.
Künstler der Frührenaissance legten großen Wert auf die Regel der Symmetrie, wie die monumentale Malerei (zum Beispiel Giottos Fresken) beweist. Während der Hochrenaissance erreichte die italienische Komposition ihre Reife. Beispielsweise ordnet Leonardo da Vinci in dem Gemälde „Heilige Anna mit Maria und dem Christuskind“ drei Figuren zu einem nach oben gerichteten Dreieck an. In der unteren rechten Ecke zeigt er die Figur eines Lammes, das von einem kleinen Christus gehalten wird. Alles ist so angeordnet, dass dieses Dreieck unter der volumetrisch-räumlichen Figurengruppe nur zu erahnen ist.
Das Letzte Abendmahl von Leonardo da Vinci kann auch als symmetrische Komposition bezeichnet werden. Dieses Fresko zeigt den dramatischen Moment, als
Christus sagte zu seinen Jüngern: „Einer von euch wird mich verraten.“ Die psychologische Reaktion der Apostel auf diese prophetischen Worte verbindet die Figuren mit dem kompositorischen Zentrum, in dem sich die Figur Christi befindet. Der Eindruck der Integrität dieser zentripetalen Komposition wird noch dadurch verstärkt, dass der Künstler das Refektorium perspektivisch mit dem Fluchtpunkt paralleler Linien in der Mitte des Fensters zeigte, vor dem deutlich das Haupt Christi gezeichnet ist. Dadurch wird der Blick des Betrachters unwillkürlich auf die zentrale Figur des Bildes gelenkt.
Unter den Werken, die die Möglichkeiten der Symmetrie demonstrieren, kann man auch Raffaels „Verlobung Mariens“ nennen, in dem die für die Renaissance charakteristischen Kompositionstechniken ihren vollständigsten Ausdruck fanden.
Auch das Gemälde „Bogatyrs“ von V. M. Vasnetsov basiert auf der Symmetrieregel. Im Zentrum der Komposition steht die Figur von Ilya Muromets. Links und rechts stehen wie spiegelbildlich Aljoscha Popowitsch und Dobrynja Nikitich. Die Figuren sind entlang der Bildebene angeordnet und sitzen ruhig auf Pferden. Der symmetrische Aufbau der Komposition vermittelt einen Zustand relativer Ruhe. Die linke und die rechte Figur sind in ihrer Masse nicht gleich groß, was am ideologischen Plan des Autors liegt. Im Vergleich zur Muromez-Figur sind beide jedoch weniger kraftvoll und verleihen der Komposition im Großen und Ganzen eine vollkommene Ausgewogenheit.
Die Stabilität der Komposition gibt dem Betrachter ein Gefühl des Vertrauens in die Unbesiegbarkeit der Helden, der Verteidiger des russischen Landes. Darüber hinaus wird in „Bogatyrs“ ein Zustand angespannter Ruhe am Rande des Übergangs in die Tat vermittelt. Das bedeutet, dass die Symmetrie auch den Keim dynamischer Bewegung in Zeit und Raum in sich trägt.

Symmetrie in der Algebra.

Die einfachsten symmetrischen Ausdrücke für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden sich im Satz von Vieta. Dadurch können sie zur Lösung einiger Probleme im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen verwendet werden. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 1:

Quadratische Gleichung hat Wurzeln und . Ohne diese Gleichung zu lösen, drücken wir durch und die Summen , aus. Der Ausdruck ist symmetrisch bezüglich und . Lassen Sie uns sie durch + und ausdrücken und dann den Satz von Vieta anwenden.

Beim Studium zusätzlicher Literatur zum Lösen von Gleichungssystemen bin ich auf einen neuen Systemtyp gestoßen – symmetrisch. Und ich habe mir ein Ziel gesetzt:

Fassen Sie wissenschaftliche Informationen zum Thema „Gleichungssysteme“ zusammen.

Verstehen und lernen Sie, Lösungen durch die Einführung neuer Variablen zu lösen;

3) Betrachten Sie die grundlegenden Theorien im Zusammenhang mit symmetrischen Gleichungssystemen

4) Lernen Sie, symmetrische Gleichungssysteme zu lösen.

Geschichte der Lösung von Gleichungssystemen.

Die Eliminierung von Unbekannten aus linearen Gleichungen wird seit langem angewendet. Im 17.-18. Jahrhundert. V. Ausschlusstechniken wurden von Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange entwickelt.

In moderner Schreibweise hat ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten die Form: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Lösungen dieses Systems werden durch Formeln ausgedrückt.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Dank der im 17. Jahrhundert entwickelten Koordinatenmethode. Fermat und Descartes wurde es möglich, Gleichungssysteme grafisch zu lösen.

In alten babylonischen Texten, die im 3.-2. Jahrtausend v. Chr. verfasst wurden. e. , enthält viele Probleme, die durch die Konstruktion von Gleichungssystemen gelöst werden können, in die auch Gleichungen zweiten Grades eingeführt werden.

Beispiel 1:

Ich habe die Flächen meiner beiden Quadrate addiert: 25. Die Seite des zweiten Quadrats ist gleich der Seite des ersten und 5 weitere. Das entsprechende Gleichungssystem in der entsprechenden Notation sieht so aus: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diophantus, der nicht über Notationen für viele Unbekannte verfügte, gab sich große Mühe, das Unbekannte so auszuwählen, dass die Lösung des Systems auf die Lösung einer einzigen Gleichung reduziert wurde.

Beispiel #2:

„Finden Sie zwei natürliche Zahlen und wissen Sie, dass ihre Summe 20 und die Summe ihrer Quadrate 208 beträgt.“

Das Problem wurde auch durch die Aufstellung eines Gleichungssystems gelöst, x + y = 20, aber x2 + y2 = 208 gelöst

Diophantus wählte die Hälfte der Differenz der erforderlichen Zahlen als Unbekannte, d. h.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- erfüllt daher nicht die Bedingungen des Problems, wenn z = 2x = 12 und y = 8

Konzepte eines Systems algebraischer Gleichungen.

Bei vielen Problemen ist es notwendig, mehrere unbekannte Größen zu finden, wobei man weiß, dass andere mit ihrer Hilfe gebildete Größen (Funktionen der Unbekannten) einander oder einigen gegebenen Größen gleich sind. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Ein rechteckiges Grundstück mit einer Fläche von 2400 m2 ist mit einem 200 m langen Zaun eingezäunt. Finden Sie die Länge und Breite des Grundstücks. Tatsächlich ist das „algebraische Modell“ dieses Problems ein System aus zwei Gleichungen und einer Ungleichung.

Mögliche Ungleichheiten sollten stets im Auge behalten werden. Wenn Sie Probleme beim Zusammenstellen von Gleichungssystemen lösen. Aber die Hauptsache ist, die Gleichungen selbst zu lösen. Ich erzähle Ihnen von den Methoden, die dabei zum Einsatz kommen.

Beginnen wir mit Definitionen.

Ein Gleichungssystem ist eine Menge mehrerer (mehr als einer) Gleichungen, die durch eine geschweifte Klammer verbunden sind.

Die geschweifte Klammer bedeutet, dass alle Gleichungen des Systems gleichzeitig ausgeführt werden müssen, und zeigt, dass Sie ein Zahlenpaar (x; y) finden müssen, das jede Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.

Eine Lösung für ein System ist ein Zahlenpaar x und y, das, wenn es in dieses System eingesetzt wird, jede seiner Gleichungen in eine korrekte numerische Gleichheit umwandelt.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Substitutionsmethode.

Die Substitutionsmethode besteht darin, dass in einer der Gleichungen eine Variable durch eine andere ausgedrückt wird. Der resultierende Ausdruck wird in eine andere Gleichung eingesetzt, die dann zu einer Gleichung mit einer Variablen wird, und dann gelöst. Die resultierenden Werte dieser Variablen werden in eine beliebige Gleichung des ursprünglichen Systems eingesetzt und die zweite Variable wird gefunden.

Algorithmus.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.

2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.

4. Ersetzen Sie nacheinander jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x.

5) Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y).

Beispiel Nr. 1 y = x – 1,

Setzen wir y = x - 1 in die zweite Gleichung ein, erhalten wir 5x + 2 (x - 1) = 16, woraus x = 2. Setzen wir den resultierenden Ausdruck in die erste Gleichung ein: y = 2 - 1 = 1.

Antwort: (2; 1).

Beispiel #2:

8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2

2x – 21µ = 2 16µ – 8 – 21µ = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Antwort: (-20; -2).

Beispiel Nr. 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – quadratische Gleichung y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Daher (-2; -4); (4; 8) – Lösungen dieses Systems.

Additionsmethode.

Die Additionsmethode besteht darin, dass, wenn ein gegebenes System aus Gleichungen besteht, die zusammen eine Gleichung mit einer Variablen bilden, wir durch Lösen dieser Gleichung die Werte einer der Variablen erhalten. Der Wert der zweiten Variablen wird wie bei der Substitutionsmethode ermittelt.

Algorithmus zur Lösung von Systemen mit der Additionsmethode.

1. Gleichen Sie die Module der Koeffizienten für eine der Unbekannten aus.

2. Finden Sie durch Addition oder Subtraktion der resultierenden Gleichungen eine Unbekannte.

3. Ersetzen Sie den gefundenen Wert in eine der Gleichungen des ursprünglichen Systems und finden Sie die zweite Unbekannte.

Beispiel Nr. 1. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der Additionsmethode: x + y = 20, x – y = 10

Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, erhalten wir

Lassen Sie uns aus dem zweiten Ausdruck x = 20 - y ausdrücken

Setzen Sie y = 5 in diesen Ausdruck ein: x = 20 – 5 x = 15.

Antwort: (15; 5).

Beispiel #2:

Stellen wir die Gleichungen des vorgeschlagenen Systems in Form einer Differenz dar, die wir erhalten

7y = 21, daher y = 3

Setzen wir diesen Wert in x = ein, ausgedrückt aus der zweiten Gleichung des Systems, erhalten wir x = 4.

Antwort: (4; 3).

Beispiel #3:

2x + 11y = 15,

10x – 11y = 9

Wenn wir diese Gleichungen hinzufügen, erhalten wir:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, wenn wir diesen Wert in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir:

10 * 2 – 11y = 9, daher y = 1.

Die Lösung dieses Systems ist das Paar: (2; 1).

Grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen.

Algorithmus.

1. Erstellen Sie Diagramme für jede Systemgleichung.

2. Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der konstruierten Linien.

Der Fall der gegenseitigen Anordnung von Linien in einer Ebene.

1. Wenn sich die Geraden schneiden, also einen gemeinsamen Punkt haben, dann hat das Gleichungssystem eine Lösung.

2. Wenn die Geraden parallel sind, also keine gemeinsamen Punkte haben, dann hat das Gleichungssystem keine Lösungen.

3. Wenn die Geraden zusammenfallen, also viele Punkte haben, dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1:

Lösen Sie grafisch das Gleichungssystem x – y = -1,

Lassen Sie uns y aus der ersten und zweiten Gleichung ausdrücken: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Lassen Sie uns Diagramme für jede der Systemgleichungen erstellen:

1) y = 1 + x – der Graph der Funktion ist die Gerade x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – der Graph der Funktion ist die Gerade x 0 1 y 4 2

Antwort: (1; 2).

Beispiel Nr. 2: y x + 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - der Graph der Funktion ist die Gerade x 0 2 y 3 2 y = - der Graph der Funktion ist die Gerade x 0 2 y 2 1

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Beispiel Nr. 3: y x – 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - der Graph der Funktion ist die Gerade x 0 2 y -1 0

Antwort: Das System hat unendlich viele Lösungen.

Methode zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode zum Einführen neuer Variablen besteht darin, dass eine neue Variable nur in eine Gleichung oder zwei neue Variablen für beide Gleichungen gleichzeitig eingeführt wird, dann die Gleichung(en) in Bezug auf die neuen Variablen gelöst werden und anschließend ein einfacheres System gelöst werden muss von Gleichungen, aus denen wir die gewünschte Lösung finden.

Beispiel 1:

X + y = 5

Bezeichnen wir = z, dann =.

Die erste Gleichung wird die Form z + = annehmen, sie entspricht 6z – 13 + 6 = 0. Nachdem wir die resultierende Gleichung gelöst haben, haben wir z = ; z =. Dann = oder = , mit anderen Worten, die erste Gleichung teilt sich in zwei Gleichungen auf, daher haben wir zwei Systeme:

X + y = 5 x + y = 5

Die Lösungen dieser Systeme sind die Lösungen des gegebenen Systems.

Die Lösung des ersten Systems ist das Paar: (2; 3), und das zweite ist das Paar (3; 2).

Daher sind die Lösungen des Systems + = , x + y = 5

Die Paare sind (2; 3); (3; 2)

Beispiel #2:

Sei = X, a = Y.

X = , 5 * - 2U = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5U – 2U = 1

X = , -9,5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

Wir werden einen umgekehrten Ersatz vornehmen.

2 x = 1, y = 0,5

Antwort: (1; 0,5).

Symmetrische Gleichungssysteme.

Ein System mit n Unbekannten heißt symmetrisch, wenn es sich beim Umordnen der Unbekannten nicht ändert.

Ein symmetrisches System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y wird durch Einsetzen von u = x + y, v = xy gelöst. Beachten Sie, dass die in symmetrischen Systemen vorkommenden Ausdrücke durch u und v ausgedrückt werden. Lassen Sie uns einige solcher Beispiele nennen, die zweifellos von Interesse für die Lösung vieler symmetrischer Systeme sind: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v usw.

Ein symmetrisches System aus drei Gleichungen für die Unbekannten x, y, z wird durch Einsetzen von x + y + z = u, xy + yz + xz = w gelöst. Wenn u, v, w gefunden werden, wird eine kubische Gleichung t2 – ut2 + vt – w = 0 erstellt, deren Wurzeln t1, t2, t3 in verschiedenen Permutationen Lösungen des ursprünglichen Systems sind. Die gebräuchlichsten Ausdrücke in solchen Systemen werden in Form von u, v, w wie folgt ausgedrückt: x2 + y2 + z2 = u2 – 2v x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w

Beispiel Nr. 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Sei x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Wir werden einen umgekehrten Ersatz vornehmen.

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel Nr. 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Sei x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Wir werden einen umgekehrten Ersatz vornehmen.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel Nr. 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Sei x =y = u, xy =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Wir werden einen umgekehrten Ersatz vornehmen.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Antwort: (1; 3); (3; 1).

Beispiel Nr. 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Sei x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Wir werden einen umgekehrten Ersatz vornehmen.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Antwort: (4; 1); (14).

Beispiel Nr. 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Nehmen wir eine Änderung der Unbekannten vor, das System wird die Form u2 + v = 49, u + v = 23 annehmen

Durch Addition dieser Gleichungen erhalten wir u2 + u – 72 = 0 mit Wurzeln u1 = 8, u2 = -9. Dementsprechend ist v1 = 15, v2 = 32. Es bleibt die Menge der Systeme x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 zu lösen

System x + y = 8, hat Lösungen x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Das System x + y = -9 hat keine reellen Lösungen.

Antwort: (3; 5), (5; 3).

Beispiel Nr. 6. Lösen Sie das Gleichungssystem.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Unter Verwendung der wichtigsten symmetrischen Polynome u = y + x und v = xy erhalten wir das folgende Gleichungssystem

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Wenn wir den Ausdruck v = -3 – u aus der zweiten Gleichung des Systems in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir die folgende Gleichung 2u2 + 7u + 5 = 0, deren Wurzeln u1 = -1 und u2 = -2,5 sind; und dementsprechend ergeben sich aus v = -3 – u die Werte v1 = -2 und v2 = -0,5.

Jetzt müssen noch die folgenden Systeme x + y = -1 und x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5 gelöst werden

Die Lösungen dieser Menge von Systemen und damit des ursprünglichen Systems (aufgrund ihrer Äquivalenz) lauten wie folgt: (1; -2), (-2; 1), (;).

Beispiel #7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Unter Verwendung grundlegender symmetrischer Polynome kann das System in der folgenden Form geschrieben werden

3uv – 2v = 78,

Wenn wir u = aus der zweiten Gleichung ausdrücken und in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir 9v2 – 28v – 156 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung v1 = 6 und v2 = - ermöglichen es uns, die entsprechenden Werte u1 = 5 zu finden, u2 = - aus dem Ausdruck u =.

Lösen wir nun die folgende Menge von Systemen x + y = 5 und x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, und y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y und y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, und y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, und x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Antwort: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Abschluss.

Während ich den Artikel schrieb, lernte ich verschiedene Arten algebraischer Gleichungssysteme kennen. Zusammengefasste wissenschaftliche Informationen zum Thema „Gleichungssysteme“.

Ich habe es herausgefunden und gelernt, es durch die Einführung neuer Variablen zu lösen.

Behandelte die grundlegenden Theorien im Zusammenhang mit symmetrischen Gleichungssystemen

Gelernt, symmetrische Gleichungssysteme zu lösen.

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 y +27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1)

= −6.

y = −6

Beachten Sie, dass die Lösung der zweiten Gleichung noch keine Lösung des Systems ist. Die resultierenden Zahlen müssen in die verbleibende erste Gleichung des Systems eingesetzt werden. In diesem Fall erhalten wir nach der Substitution eine Identität.

Antwort: (1, – 6).♦

§5. Homogene Gleichungen und Systeme
Funktion f(x,y)	angerufen	homogen		k wenn
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	Zum Beispiel ist die Funktion f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
ist homogen vom Grad 4, weil		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2). Gleichung f(x,y) = 0, wobei				f (x, y) –

Die homogene Funktion heißt homogen. Es kommt auf die Gleichung an

tion mit einer Unbekannten, wenn Sie eine neue Variable t = x y einführen.

f (x, y) = a,

System mit zwei Variablen g (x, y) = b, wobeif (x,y),g (x,y) –

Homogene Funktionen gleichen Grades heißen homogen. Wenn ab ≠ 0, multiplizieren Sie die erste Gleichung mit b, die zweite mit a und

Wir nehmen das eine vom anderen und erhalten ein äquivalentes System

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Die erste Gleichung durch Änderung der Variablen t =

(oder t =

) wird reduziert auf

Gleichung mit einer Unbekannten.

Wenn a = 0

(b = 0) , dann die Gleichung f (x ,y ) = 0(g (x ,y ) = 0) durch Ersetzen

Variablen t =

(oder t =

) wird auf eine Gleichung mit einer Unbekannten reduziert

− xy +y

21 ,

Beispiel 20. (MSU, 2001, Fakultät für Chemie) Lösen Sie das System

− 2xy + 15= 0.

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11. Klasse. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

− xy +y 2 =21,

− xy +y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0,y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. Symmetrische Systeme

f(x,y)

angerufen

symmetrisch,

f (x, y) = f(y, x) .

f (x, y) = a

Gleichungssystem der Form

wobei f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symmetrisch

g(x, y) = b,

ric, wird als symmetrisches System bezeichnet. Solche Systeme lösen

treten häufiger auf	einfach durch die Einführung neuer	Variablen
x + y= u, xy

x 3+ x 3y 3+ y 3= 17,

Beispiel 21. Lösen Sie das Gleichungssystem

x + xy+ y= 5 .

♦ Dies ist ein algebraisches (symmetrisches) System, normalerweise wird es durch Ersetzen von x + y = u,xy = v gelöst. Das merke ich

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

Wir schreiben das System im Formular um

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11. Klasse. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

− 3 uv+ v

u = 5 − v,

6 =0

V =5

−5V

v = 3, u= 2

(in alten Variablen)

x + y= 2,

x =2 −y ,

xy = 3,

y 2 − 2y + 3= 0

x + y= 3,

x = 3 − y,

x = 2,y = 1,

y −3 y +2 =0

x = 1,y = 2.

xy = 2,

Antwort: (2;1) ,

(1; 2) .♦

Literatur

1. S. I. Kolesnikova „Intensiver Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen.“ Moskau, Iris – Presse;

2. „Lösung komplexer Probleme des Einheitlichen Staatsexamens“ Moskau, Iris – Press oder „Waco“, 2011;

3. Magazin „Potential“ Nr. 1–2 für 2005 – Artikel von S.I. Kolesnikova „Irrationale Gleichungen“ und „Irrationale Ungleichungen“;

4. S. I. Kolesnikova „Irrationale Gleichungen“, Moskau, 2010,

Azbuka LLC;

5. S. I. Kolesnikova „Irrationale Ungleichheiten“, Moskau, 2010, LLC „Azbuka“;

6. S.I. Kolesnikova „Gleichungen und Ungleichungen mit Modulen“, Moskau, 2010, Azbuka LLC.

Kontrollfragen

1(2). Finden Sie die kürzeste Länge des Intervalls, das alle Lösungen der Ungleichung 5x + 1≥ 2(x − 1) enthält.

2(2). Lösen Sie die Ungleichungx 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (die kubische Gleichung muss nicht gelöst werden, da rechts und links ein Faktor x − 2 vorhanden ist).

3(2). Lösen Sie die Ungleichung 2− x ≥ x − 3.

4(2). Finden Sie die kürzeste Länge des Intervalls, zu dem die

alle Lösungen für die Ungleichung ernten	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Finden Sie die Summe der Quadrate ganzzahliger Lösungen der Ungleichung

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11. Klasse. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6(3). Lösen Sie die Ungleichung 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7(3). Lösen Sie die Ungleichung	−x 3 −x −1		≤x.
				9 − 4x − (x + 3) )

8(3). Lösen Sie die Ungleichung	4 −x −(x +2 ) )(				≤ 0.
		(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). Finden Sie die kürzeste Länge des Intervalls, zu dem die

alle Lösungen für die Ungleichung ernten
	x+5	x+2		144 − x< 0.


	X−2	4 x −5	6x − 6
	X−2	4 x −5	6x − 6

10(2). Finden Sie die kürzeste Länge des Intervalls, das alle Lösungen der Ungleichung 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 enthält.

11(4). Finden Sie die Summe der Quadrate aller ganzzahligen Lösungen der Ungleichungen

2(2). Finden Sie die kürzeste Länge des Intervalls, das enthält
	(x − 1 )3 (x + 3 )
alle Lösungen der Ungleichung				≤ 0 .
	2x − 1	x − 2	) (x − 1 )

3(2). Lösen Sie die Ungleichung

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7,5 ) 4 .

4(4). Lösen Sie die Ungleichung

x2 + 3 x− 4

x 2− 16

2x 2 + 3x − 20

5(3). Ungleichung lösen(x 2

X +1 ) 2 −2 x 3 +x 2 +x −3 x 2

≥ 0 .

Eigenschaften 4 − 2x − 1≤ 3.

Aufgaben

− 5x + 6+ 9− 2x − 5

Studienjahr 2012-2013 Jahr, Nr. 1, 11. Klasse. Mathematik. Algebraische Gleichungen, Ungleichungen, Systeme

7(4). Finden Sie alle Parameterwerte

a , für jedes davon

Funktion f (x) = x 2 + 4x +

x 2−

x − 1

− a akzeptiert nur

Nicht-Negation-

teliale Bedeutungen.

8(4). Lösen Sie die Gleichung 4 x − 3

x − 1

5x + 14− 3

5x + 14− 1

9(4). Löse die Gleichung

x 2− 5 +

x 2 −3 =x +1 +

x + 3 .

24 − x 2

9 2 x

10(3). Lösen Sie die Ungleichung

≥ 0 .

x2 − 4 7 x− 10

11(3). Drei Rennfahrer starten gleichzeitig von einem Punkt auf einer Rundstrecke und fahren mit konstanter Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Der erste Fahrer holte den zweiten zum ersten Mal ein und fuhr seine fünfte Runde an einem Punkt, der dem Start diametral gegenüberliegt, und eine halbe Stunde später holte er den dritten Fahrer zum zweiten Mal ein, den Start nicht mitgerechnet. Der zweite Fahrer holte den dritten erstmals 3 Stunden nach dem Start ein. Wie viele Runden pro Stunde schafft der erste Fahrer, wenn der zweite die Runde in mindestens zwanzig Minuten schafft?

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Rationale Gleichungen und Ungleichungen

I. Rationale Gleichungen.

Lineare Gleichungen.

Systeme linearer Gleichungen.

Reziproke Gleichungen.

Vietas Formel für Polynome höheren Grades.

Gleichungssysteme zweiten Grades.

Eine Methode zur Einführung neuer Unbekannter beim Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen.

Homogene Gleichungen.

Symmetrische Gleichungssysteme lösen.

Gleichungen und Gleichungssysteme mit Parametern.

Grafische Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.

Gleichungen mit Modulzeichen.

Grundlegende Methoden zur Lösung rationaler Gleichungen

II. Rationale Ungleichheiten.

Eigenschaften äquivalenter Ungleichungen.

Algebraische Ungleichungen.

Intervallmethode.

Bruchrationale Ungleichungen.

Ungleichungen, die eine Unbekannte unter dem Absolutwertzeichen enthalten.

Ungleichungen mit Parametern.

Systeme rationaler Ungleichheiten.

Grafische Lösung von Ungleichungen.

III. Screening-Test.

Rationale Gleichungen

Funktion des Formulars

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

Dabei ist n eine natürliche Zahl, a 0, a 1,…, a n einige reelle Zahlen, die als ganze rationale Funktion bezeichnet werden.

Eine Gleichung der Form P(x) = 0, wobei P(x) eine vollständige rationale Funktion ist, wird als vollständige rationale Gleichung bezeichnet.

Gleichung des Formulars

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

wobei P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) ganze rationale Funktionen sind, genannt eine rationale Gleichung.

Das Lösen der rationalen Gleichung P (x) / Q (x) = 0, wobei P (x) und Q (x) Polynome sind (Q (x)  0), läuft darauf hinaus, die Gleichung P (x) = 0 und zu lösen Überprüfen, ob die Wurzeln die Bedingung Q (x)  0 erfüllen.

Lineare Gleichungen.

Eine Gleichung der Form ax+b=0, wobei a und b einige Konstanten sind, wird als lineare Gleichung bezeichnet.

Wenn a0, dann hat die lineare Gleichung eine einzige Wurzel: x = -b /a.

Wenn a=0; b0, dann hat die lineare Gleichung keine Lösungen.

Wenn a=0; b=0, dann ist es leicht zu erkennen, dass jedes x eine Lösung der linearen Gleichung ist, wenn man die ursprüngliche Gleichung in der Form ax = -b umschreibt.

Die Gleichung der Geraden lautet: y = ax + b.

Wenn eine Gerade durch einen Punkt mit den Koordinaten X 0 und Y 0 verläuft, dann erfüllen diese Koordinaten die Geradengleichung, d.h. Y 0 = aX 0 + b.

Beispiel 1.1. Löse die Gleichung

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Lösung. Öffnen Sie nacheinander die Klammern, fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu und finden Sie x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Beispiel 1.2. Löse die Gleichung

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Lösung. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Antwort: .

Beispiel 1.3. Löse die Gleichung.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Lösung. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Antwort: Beliebige Zahl.

Systeme linearer Gleichungen.

Gleichung des Formulars

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

wobei a 1, b 1, …, a n, b einige Konstanten sind, die als lineare Gleichung mit n Unbekannten x 1, x 2, …, x n bezeichnet werden.

Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle im System enthaltenen Gleichungen linear sind. Besteht das System aus n Unbekannten, dann sind folgende drei Fälle möglich:

das System hat keine Lösungen;

das System hat genau eine Lösung;

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2.4. Gleichungssystem lösen

Lösung. Sie können ein System linearer Gleichungen mit der Substitutionsmethode lösen, die darin besteht, eine Unbekannte durch andere Unbekannte für eine beliebige Gleichung des Systems auszudrücken und dann den Wert dieser Unbekannten in die übrigen Gleichungen einzusetzen.

Aus der ersten Gleichung drücken wir aus: x= (8 – 3y) / 2. Wir setzen diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein und erhalten ein Gleichungssystem

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. Aus der zweiten Gleichung erhalten wir y = 2. Unter Berücksichtigung dessen ergibt sich aus der ersten Gleichung x = 1. Antwort: (1 ; 2). Beispiel 2.5. Gleichungssystem lösen

Lösung. Das System hat keine Lösungen, da zwei Gleichungen des Systems nicht gleichzeitig erfüllt werden können (aus der ersten Gleichung x + y = 3 und aus der zweiten x + y = 3,5).

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Beispiel 2.6. Gleichungssystem lösen

Lösung. Das System hat unendlich viele Lösungen, da die zweite Gleichung aus der ersten durch Multiplikation mit 2 erhalten wird (d. h. es gibt tatsächlich nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten).

Antwort: Es gibt unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2.7. Gleichungssystem lösen

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Lösung. Beim Lösen linearer Gleichungssysteme ist es praktisch, die Gauß-Methode zu verwenden, die darin besteht, das System in eine Dreiecksform umzuwandeln.

Wir multiplizieren die erste Gleichung des Systems mit – 2 und addieren das resultierende Ergebnis mit der zweiten Gleichung und erhalten – 3y + 6z = – 3. Diese Gleichung kann als y – 2z = 1 umgeschrieben werden. Addition der ersten Gleichung mit der Drittens erhalten wir 7y = 7 oder y = 1.

Dadurch erhielt das System eine dreieckige Form

x + y – z = 2,

Wenn wir y = 1 in die zweite Gleichung einsetzen, finden wir z = 0. Wenn wir y = 1 und z = 0 in die erste Gleichung einsetzen, finden wir x = 1. Antwort: (1; 1; 0). Beispiel 2.8. Bei welchen Werten des Parameters a liegt das Gleichungssystem vor?

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

hat unendlich viele Lösungen? Lösung. Aus der ersten Gleichung drücken wir x aus:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Wenn wir diesen Ausdruck in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Bei der Analyse der letzten Gleichung stellen wir fest, dass sie für a = 3 die Form 0y = 0 hat, d.h. es ist für alle Werte von y erfüllt. Antwort: 3.

Quadratische Gleichungen und Gleichungen, die auf sie reduziert werden können.

Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b und c einige Zahlen sind (a0);

x ist eine Variable, die als quadratische Gleichung bezeichnet wird.

Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung.

Teilen wir zunächst beide Seiten der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 durch a – die Wurzeln werden dadurch nicht verändert. Um die resultierende Gleichung zu lösen

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

Wählen Sie auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat aus

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

Der Kürze halber bezeichnen wir den Ausdruck (b 2 – 4ac) mit D. Dann nimmt die resultierende Identität die Form an

Drei Fälle sind möglich:

Wenn die Zahl D positiv ist (D > 0), können Sie in diesem Fall die Quadratwurzel von D ziehen und D in der Form D = (D) 2 schreiben. Dann

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, daher nimmt die Identität die Form an

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

Unter Verwendung der Quadratdifferenzformel leiten wir hieraus ab:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Satz: Wenn die Identität gilt

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

dann hat die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 für X 1  X 2 zwei Wurzeln X 1 und X 2 und für X 1 = X 2 - nur eine Wurzel X 1.

Aufgrund dieses Theorems folgt aus der oben abgeleiteten Identität die Gleichung

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

und somit hat die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zwei Wurzeln:

X 1 =(-b +  D) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a.

Also x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Normalerweise werden diese Wurzeln mit einer Formel geschrieben:

wobei b 2 – 4ac = D.

wenn die Zahl D gleich Null ist (D = 0), dann die Identität

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

hat die Form x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

Daraus folgt, dass für D = 0 die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 eine Wurzel der Multiplizität 2 hat: X 1 = – b / 2a

3) Wenn die Zahl D negativ ist (D< 0), то – D >0 und daher der Ausdruck

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

ist die Summe zweier Terme, von denen einer nicht negativ und der andere positiv ist. Eine solche Summe kann nicht gleich Null sein, so die Gleichung

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

hat keine wirklichen Wurzeln. Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 hat sie auch nicht.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, sollte man also die Diskriminante berechnen

D = b 2 – 4ac.

Wenn D = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine eindeutige Lösung:

Wenn D > 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).

Wenn D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Wenn einer der Koeffizienten b oder c Null ist, kann die quadratische Gleichung ohne Berechnung der Diskriminante gelöst werden:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Die Wurzeln einer allgemeinen quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 werden durch die Formel gefunden

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient von x 2 gleich 1 ist, heißt reduziert. Normalerweise wird die gegebene quadratische Gleichung wie folgt bezeichnet:

x 2 + px + q = 0.

Satz von Vieta.

Wir haben die Identität abgeleitet

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

wobei X 1 und X 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c =0 sind. Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite dieser Identität.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2.

Daraus folgt, dass X 1 + X 2 = – b / a und X 1 X 2 = c / a. Wir haben den folgenden Satz bewiesen, der erstmals vom französischen Mathematiker F. Vieta (1540 – 1603) aufgestellt wurde:

Satz 1 (Vieta). Die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist gleich dem Koeffizienten von X, mit umgekehrtem Vorzeichen genommen und durch den Koeffizienten von X 2 dividiert; Das Produkt der Wurzeln dieser Gleichung ist gleich dem freien Term dividiert durch den Koeffizienten von X 2 .

Satz 2 (umgekehrt). Wenn die Gleichheiten erfüllt sind

X 1 + X 2 = – b / a und X 1 X 2 = c / a,

dann sind die Zahlen X 1 und X 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0.

Kommentar. Die Formeln X 1 + X 2 = – b / a und X 1 X 2 = c / a bleiben auch dann wahr, wenn die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 eine Wurzel in den angegebenen Formeln 2 = X 1. Daher wird allgemein angenommen, dass die Gleichung ax 2 + bx +c = 0 für D = 0 zwei Wurzeln hat, die miteinander übereinstimmen.

Bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit dem Satz von Vieta ist es nützlich, die Beziehungen zu verwenden

(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).

Beispiel 3.9. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Lösung. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Antwort: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Beispiel 3.10. Lösen Sie die Gleichung x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Lösung. Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung x(x 2 – 5x + 6) = 0 faktorisieren,

daher x = 0 oder x 2 – 5x + 6 = 0.

Wenn wir die quadratische Gleichung lösen, erhalten wir X 1 = 2, X 2 = 3.

Antwort: 0; 2; 3.

Beispiel 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Lösung. Schreiben wir die Gleichung um, indem wir –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0 schreiben und nun x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) gruppieren. (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. Antwort: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2.Beispiel 3.12. Gleichung7 lösen

Lernziele:

lehrreich: Schulung zum Lösen von Gleichungssystemen, die eine homogene Gleichung und symmetrische Gleichungssysteme enthalten;
Entwicklung: Entwicklung des Denkens, der Aufmerksamkeit, des Gedächtnisses und der Fähigkeit, das Wesentliche hervorzuheben;
lehrreich: Entwicklung von Kommunikationsfähigkeiten.

Unterrichtsart: Lektion, neues Material zu lernen.

Eingesetzte Lehrtechnologien:

in Gruppen arbeiten;
Entwurfsmethode.

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Projektor.

Eine Woche vor dem Unterricht erhalten die Schüler Themen für kreative Aufgaben (je nach Option).
Ich wähle. Symmetrische Gleichungssysteme. Lösungen.
Option II. Systeme, die eine homogene Gleichung enthalten. Lösungen.

Jeder Schüler muss anhand zusätzlicher Lehrliteratur das passende Lehrmaterial finden, ein Gleichungssystem auswählen und dieses lösen.
Jeweils ein Studierender erstellt multimediale Präsentationen zum Thema der gestalterischen Aufgabe. Bei Bedarf berät der Lehrer die Schüler.

I. Motivation für die Lernaktivitäten der Schüler

Eröffnungsrede des Lehrers
In der vorherigen Lektion haben wir uns mit der Lösung von Gleichungssystemen durch Ersetzen von Unbekannten befasst. Es gibt keine allgemeine Regel für die Auswahl neuer Variablen. Allerdings lassen sich bei sinnvoller Wahl der Variablen zwei Arten von Gleichungssystemen unterscheiden:

symmetrische Gleichungssysteme;
Gleichungssysteme, von denen eines homogen ist.

II. Neues Material lernen

Studierende der Option 2 berichten über ihre Hausaufgaben.

1. Vorführung von Folien der Multimedia-Präsentation „Systeme mit einer homogenen Gleichung“ (Präsentation 1).

2. Arbeiten Sie zu zweit am selben Schreibtisch: Ein Student in Option 2 erklärt seinem Tischnachbarn die Lösung eines Systems, das eine homogene Gleichung enthält.

Studentenbericht zu Option 1.

1. Vorführung von Folien der Multimedia-Präsentation „Symmetrische Gleichungssysteme“ (Präsentation 2).

Die Schüler schreiben in ihre Hefte:

2. Arbeiten Sie zu zweit am selben Schreibtisch: Ein Student in Option 1 erklärt seinem Tischnachbarn die Lösung eines symmetrischen Gleichungssystems.

III. Vertiefung des Gelernten

Arbeiten Sie in Gruppen (Schüler, die an benachbarten Schreibtischen sitzen, werden zu einer Gruppe von 4 Schülern zusammengefasst).
Jede der 6 Gruppen erledigt die folgende Aufgabe.

Bestimmen Sie den Systemtyp und lösen Sie ihn: