Ein Polynom quadrieren. Quadratisches Trinom und seine Wurzeln

Ein Polynom ist eine algebraische Struktur, die die Summe oder Differenz von Elementen darstellt. Die meisten vorgefertigten Formeln betreffen Binome, es ist jedoch nicht schwierig, neue Formeln für Strukturen höherer Ordnung abzuleiten. Sie können beispielsweise das Trinom auf erhöhen Quadrat.

Anweisungen

• Ein Polynom ist das Grundkonzept zur Lösung algebraischer Gleichungen und zur Darstellung von Potenz-, rationalen und anderen Funktionen. Diese Struktur umfasst das häufigste Fach im Schulunterricht Quadrat neue Gleichung.
• Wenn ein umständlicher Ausdruck vereinfacht wird, besteht oft die Notwendigkeit, das Trinom auf zu erhöhen Quadrat. Eine vorgefertigte Formel dafür gibt es nicht, wohl aber mehrere Methoden. Stellen Sie sich zum Beispiel vor Quadrat Trinom als Produkt zweier identischer Ausdrücke.
• Betrachten Sie ein Beispiel: erhöhen auf Quadrat Trinom 3 x² + 4 x – 8.
• Ändern Sie die Notation (3 x² + 4 x – 8)² in (3 x² + 4 x – 8) (3 x² + 4 x – 8) und verwenden Sie die Regel zur Multiplikation von Polynomen, die darin besteht, die Produkte nacheinander zu berechnen. Multiplizieren Sie zunächst die erste Komponente der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten, machen Sie dann dasselbe mit der zweiten und schließlich mit der dritten: (3 x² + 4 x – 8) (3 x² + 4 x – 8) = 3 x² (3 x² + 4 x - 8) + 4 x (3 x² + 4 x – 8) – 8 (3 x² + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x³ – 24 x² + 12 x³ + 16 x² – 32 x – 24 x² – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x³ – 32 x² – 64 x + 64.
• Das gleiche Ergebnis kann erreicht werden, wenn wir bedenken, dass durch die Multiplikation zweier Trinome eine Summe von sechs Elementen übrig bleibt, von denen drei sind Quadrat ami jedes Termes, und die anderen drei sind alle möglichen paarweisen Produkte in verdoppelter Form. Diese Elementarformel sieht einfach so aus: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 a b + 2 a c + 2 b c.
• Wenden Sie es auf Ihr Beispiel an: (3 x² + 4 x - 8)² = (3 x² + 4 x + (-8))² = (3 x²)² + (4 x)² + (-8)² + 2 (3 x²) (4 x) + 2 (3 x²) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x² + 64 + 24 x³ – 48 x² – 64 x = 9 x ^4 + 24 x³ - 32 x² - 64 x + 64.
• Wie Sie sehen, war die Antwort dieselbe, es waren jedoch weniger Manipulationen erforderlich. Dies ist besonders wichtig, wenn die Monome selbst komplexe Strukturen sind. Diese Methode ist für ein Trinom jeden Grades und einer beliebigen Anzahl von Variablen anwendbar.

Ein Polynom ist eine algebraische Konstruktion, die die Summe oder Differenz von Elementen darstellt. Viele vorgefertigte Formeln betreffen Binome, es ist jedoch nicht schwierig, neue Formeln für Konstruktionen höherer Ordnung abzuleiten. Es ist beispielsweise erlaubt, zu bauen Trinom V Quadrat .

Anweisungen

1. Ein Polynom ist die grundlegende Darstellung zum Lösen algebraischer Gleichungen und zur Darstellung von Potenz-, Sinn- und anderen Funktionen. Diese Struktur umfasst ein im Schulunterricht besonders häufig vorkommendes Fach: Quadrat neue Gleichung.

2. Wenn ein massiver Ausdruck einfacher wird, wird es oft notwendig, ihn zu konstruieren Trinom V Quadrat. Dafür gibt es keine Patentrezepte, aber es gibt mehrere Möglichkeiten. Sagen wir, stellen Sie sich vor Quadrat Trinom und in Form eines Produkts aus zwei identischen Ausdrücken.

3. Betrachten Sie ein Beispiel: Einbau Quadrat Trinom 3 x? + 4 x – 8.

4. Notation ändern (3 x? + 4 x – 8)? durch (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) und verwenden Sie die Regel zur Multiplikation von Polynomen, die aus der sequentiellen Berechnung von Produkten besteht. Multiplizieren Sie zunächst die erste Komponente der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten, machen Sie dann dasselbe mit der zweiten und schließlich mit der dritten: (3 x? + 4 x – 8) (3 x? + 4 x – 8) = 3 x ? (3 x? + 4 x – 8) + 4 x (3 x? + 4 x – 8) – 8 (3 x? + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x? – 24 x? + 12 x? + 16 x? – 32 x – 24 x? – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x? – 32 x? – 64 x + 64.

5. Sie können zum gleichen Ergebnis gelangen, wenn Sie sich das Ergebnis der Multiplikation mit 2 merken TrinomÜbrig bleibt die Summe von sechs Elementen, davon drei Quadrat ami jedes Termes und die anderen drei - alle möglichen paarweisen Produkte in verdoppelter Form. Diese Elementarformel sieht einfach so aus: (a + b + c)? = ein? +b? +c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Wenden Sie es auf Ihr Beispiel an: (3 x? + 4 x – 8)? = (3 x? + 4 x + (-8))? =(3 x?)? + (4 x)? + (-8)? + 2 (3 x?) (4 x) + 2 (3 x?) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x? + 64 + 24 x? – 48 x? – 64 x = 9 x^4 + 24 x? – 32 x? – 64 x + 64.

7. Wie Sie sehen, war das Ergebnis dasselbe, es waren jedoch weniger Manipulationen erforderlich. Dies ist besonders wichtig, wenn die Monome selbst schwierige Konstruktionen sind. Diese Methode ist anwendbar für Trinom und jeder Grad und jede Anzahl von Variablen.

Bei der Lösung arithmetischer und algebraischer Probleme ist gelegentlich eine Konstruktion erforderlich Fraktion V Quadrat. Es ist für jeden einfacher, dies zu tun, wenn Fraktion Decimal ist ein ziemlich gewöhnlicher Taschenrechner. Wie auch immer, wenn Fraktion gewöhnlich oder gemischt, dann, wenn eine solche Zahl erhöht wird Quadrat Es können einige Schwierigkeiten auftreten.

Du wirst brauchen

• Taschenrechner, Computer, Excel-Anwendung.

Anweisungen

1. Eine Dezimalzahl konstruieren Fraktion V Quadrat Nehmen Sie einen technischen Taschenrechner und geben Sie den Bauwert ein Quadrat Fraktion und drücken Sie die Taste zum Erhöhen der zweiten Einschalttaste. Auf den meisten Taschenrechnern ist diese Schaltfläche mit „x?“ beschriftet. Auf einem Standard-Windows-Rechner ist die Funktion zum Erhöhen vorhanden Quadrat sieht aus wie „x^2“. Sagen wir Quadrat der Dezimalbruch 3,14 ist gleich: 3,14? = 9,8596.

2. Um einzubauen Quadrat Dezimal Fraktion Multiplizieren Sie diese Zahl auf einem gewöhnlichen (Buchhaltungs-)Rechner mit sich selbst. Einige Taschenrechnermodelle bieten übrigens die Möglichkeit, eine Zahl auf zu erhöhen Quadrat auch wenn kein spezieller Knopf vorhanden ist. Lesen Sie daher vorab die Anleitung für einen bestimmten Rechner. Gelegentlich finden sich auf der Rückseite oder auf der Verpackung des Taschenrechners Beispiele für „knifflige“ Potenzierungen. Zum Beispiel auf vielen Taschenrechnern, um eine Zahl zu erhöhen Quadrat Drücken Sie einfach die Tasten „x“ und „=“.

3. Für den Bau in Quadrat Gewöhnlicher Bruch (bestehend aus Zähler und Nenner), erhöhen zu Quadrat getrennt den Zähler und den Nenner dieses Bruchs. Das heißt, verwenden Sie die weitere Regel: (h/z)? = h? / z?, wobei h der Zähler des Bruchs und z der Nenner des Bruchs ist. Beispiel: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Bei Einbau Quadrat Fraktion– gemischt (besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem gewöhnlichen Bruch), dann bringen Sie es vorher in seine übliche Form. Wenden Sie also die folgende Formel an: (c h/z)? = ((c*z+h) / z)? = (ts*z+h)? / z?, wobei c der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs ist. Beispiel: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Falls eingebaut Quadrat Regelmäßige (nicht dezimale) Brüche werden kontinuierlich addiert. Verwenden Sie dann MS Excel. Geben Sie dazu die folgende Formel in eine der Zellen der Tabelle ein: = DEGREE(A2;2) wobei A2 die Adresse der Zelle ist, in die der erhöhte Wert eingetragen wird Quadrat Fraktion.Um dem Programm mitzuteilen, dass die eingegebene Nummer als gewöhnliche Nummer behandelt werden soll Fraktion yu (d. h. nicht in eine Dezimalzahl umwandeln), vorher eingeben Fraktion Ich habe die Zahl „0“ und das Zeichen „Leerzeichen“. Das heißt, um beispielsweise den Bruch 2/3 einzugeben, müssen Sie „0 2/3“ eingeben (und die Eingabetaste drücken). In diesem Fall wird in der Eingabezeile die dezimale Darstellung des eingegebenen Bruchs angezeigt. Die Bedeutung und Darstellung des Bruchs bleibt in der Zelle in ihrer ursprünglichen Form erhalten. Darüber hinaus wird bei Verwendung mathematischer Funktionen, deren Argumente gewöhnliche Brüche sind, das Ergebnis auch als gewöhnlicher Bruch dargestellt. Folglich Quadrat der Bruch 2/3 wird als 4/9 dargestellt.

Mathematische Rätsel sind manchmal so faszinierend, dass man lernen möchte, wie man sie erstellt, und nicht nur, sie zu lösen. Am spannendsten dürfte es für Anfänger sein, ein magisches Quadrat zu erstellen, also ein Quadrat mit den Seitenabmessungen nxn, in das reelle Zahlen von 1 bis n2 eingeschrieben sind, sodass sich die Summe der Zahlen entlang der horizontalen, vertikalen und diagonalen Linien von ergibt das Quadrat ist identisch und entspricht einer Zahl.

Anweisungen

1. Bevor Sie Ihr Quadrat erstellen, sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass es keine magischen Quadrate zweiter Ordnung gibt. Eigentlich gibt es nur ein magisches Quadrat dritter Ordnung; die restlichen Ableitungen erhält man durch Drehung oder Spiegelung des Hauptquadrats entlang der Symmetrieachse. Je größer die Ordnung, desto größer ist die Anzahl der zulässigen magischen Quadrate dieser Ordnung.

2. Lernen Sie die Grundlagen des Bauens. Die Regeln zum Konstruieren verschiedener magischer Quadrate sind entsprechend der Reihenfolge des Quadrats in drei Gruppen unterteilt, nämlich, dass es ungerade, gleich dem Doppelten oder Vierfachen einer ungeraden Zahl sein kann. Derzeit gibt es keine universelle Methode zur Konstruktion aller Quadrate, obwohl verschiedene Schemata weit verbreitet sind.

3. Verwenden Sie ein Computerprogramm. Laden Sie die erforderliche Anwendung herunter und geben Sie die gewünschten Quadratwerte (2-3) ein, das Programm generiert selbst die notwendigen digitalen Kombinationen.

4. Konstruieren Sie das Quadrat selbständig. Nehmen Sie eine n x n-Matrix, in der Sie eine abgestufte Raute konstruieren. Füllen Sie darin alle Quadrate links und oben entlang jeder Diagonale mit einer Folge ungerader Zahlen.

5. Bestimmen Sie den Wert der zentralen Zelle O. Platzieren Sie in den Ecken des magischen Quadrats die folgenden Zahlen: Die obere rechte Zelle ist O-1, die untere linke Zelle ist O+1, die untere rechte Zelle ist O-n und die obere Die linke Zelle ist O+n. Füllen Sie die leeren Zellen in den Eckdreiecken nach eher primitiven Regeln aus: In den Zeilen von links nach rechts erhöhen sich die Zahlen um n + 1 und in den Spalten von oben nach unten erhöhen sich die Zahlen um n-1.

6. Es ist möglich, alle Quadrate mit einer Ordnung gleich n nur für n\le 4 zu finden; daher sind separate Verfahren zur Konstruktion magischer Quadrate mit n > 4 interessant. Es ist für jeden einfacher, den Aufbau eines solchen ungeraden Quadrats zu berechnen Befehl. Verwenden Sie eine spezielle Formel, bei der Sie lediglich die erforderlichen Daten eingeben müssen, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Nehmen wir an, die Konstante eines Quadrats, das gemäß dem Diagramm in Abb. konstruiert wurde. 1, wird nach der Formel berechnet: S = 6a1 +105b, wobei a1 der 1. Term der Progression und b die Differenz der Progression ist.

7. Für das in Abb. 2, Formel: S = 6*1 + 105*2 = 216

8. Darüber hinaus gibt es Algorithmen zur Konstruktion pandiagonaler Quadrate und perfekter magischer Quadrate. Verwenden Sie zum Erstellen dieser Modelle spezielle Programme.

Beachten Sie!
Magische oder magische Quadrate haben Mathematiker schon seit der Antike angezogen, doch bis heute gibt es keine Darstellung aller zulässigen Quadrate. Einer alten chinesischen Legende zufolge war das leichteste magische Quadrat auf dem Rücken einer großen heiligen Schildkröte abgebildet.

Eine „Gleichung“ ist in der Mathematik ein Datensatz, der einige mathematische oder algebraische Operationen enthält und auf jeden Fall ein Gleichheitszeichen enthält. Häufiger bezeichnet diese Darstellung jedoch nicht die Identität als Ganzes, sondern nur ihre linke Seite. Folglich die Aufgabe des Konstruierens Gleichungen V Quadrat Vielmehr soll jeder diese Operation nur für das Monom oder Polynom auf der linken Seite der Gleichung anwenden.

Anweisungen

1. Multiplizieren Sie die Gleichung mit sich selbst – das ist die Operation der Potenzierung in die zweite Potenz, also zu Quadrat. Wenn der anfängliche Ausdruck in irgendeinem Ausmaß Variablen enthält, sollte der Exponent verdoppelt werden. Sagen wir (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Wenn es nicht möglich ist, die in der Gleichung enthaltenen numerischen Indikatoren im Kopf zu multiplizieren, verwenden Sie einen Taschenrechner, einen Online-Rechner oder machen Sie es auf Papier „in einer Spalte“.

2. Wenn der Ausgangsausdruck mehrere addierte oder subtrahierte Variablen mit numerischen Exponenten enthält (also ein Polynom ist), muss die Multiplikationsoperation nach den entsprechenden Regeln durchgeführt werden. Das bedeutet, dass Sie den gesamten Term multiplizieren sollten Gleichungen- multiplizierbar mit der gesamten Laufzeit Gleichungen-Faktor und vereinfachen Sie dann den resultierenden Ausdruck. Die Tatsache, dass in Ihrem Fall beides Gleichungen identisch, ändert an dieser Regel nichts. Nehmen wir an, wenn Sie einbauen Quadrat die Gleichung x?+4-3*x erforderlich ist, dann kann die gesamte Operation in dieser Form geschrieben werden: (x?+4-3*x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Der resultierende Ausdruck sollte vereinfacht werden und, falls zulässig, sollten die Potenzterme in absteigender Reihenfolge des Exponenten angeordnet werden: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? = x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Formeln zum Erhöhen auf Quadrat Es ist besser, einige besonders häufig vorkommende Ausdrücke auswendig zu lernen. In der Schule werden sie normalerweise in einer Liste mit dem Namen „abgekürzte Multiplikationsformeln“ aufgeführt. Es enthält insbesondere Formeln, um die Summe zweier Variablen (x+y) in die zweite Potenz zu erhöhen? = x?+2*x*y+y?, ihre Unterschiede (x-y)? = x?-2*x*y+y?, Summe von 3 Termen (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z und die Differenz von 3 Termen (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Video zum Thema

Die Methode der Quadrierung eines Binomials wird zur Vereinfachung massiver Ausdrücke sowie zur Lösung quadratischer Gleichungen verwendet. In der Praxis wird es normalerweise mit anderen Techniken kombiniert, einschließlich Faktorisierung, Gruppierung usw.

Anweisungen

1. Die Methode zur Isolierung des vollständigen Quadrats eines Binomials basiert auf der Verwendung von zwei Formeln zur abgekürzten Multiplikation von Polynomen. Diese Formeln sind Spezialfälle des Newtonschen Binomials 2. Grades und ermöglichen uns, den gewünschten Ausdruck zu vereinfachen, sodass eine weitere Reduktion oder Faktorisierung möglich ist: (m + n)² = m² + 2 m n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Nach dieser Methode ist es notwendig, aus dem anfänglichen Polynom die Quadrate zweier Monome und die Summe/Differenz ihres Doppelprodukts zu extrahieren. Der Einsatz dieser Methode macht Sinn, wenn der höchste Grad der Terme nicht kleiner als 2 ist. Stellen Sie sich vor, Sie haben die Aufgabe, den folgenden Ausdruck in Faktoren mit abnehmendem Grad zu faktorisieren: 4 y^4 + z^4

3. Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Methode der Isolierung eines vollständigen Quadrats verwenden. Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck aus 2 Monomen mit Variablen geraden Grades besteht. Folglich ist es möglich, jeden von ihnen mit m und n zu bezeichnen: m = 2·y²; n = z².

4. Jetzt müssen wir den ursprünglichen Ausdruck auf die Form (m + n)² reduzieren. Es enthält bereits die Quadrate dieser Terme, es fehlt jedoch das Doppelprodukt. Sie müssen es unnatürlich addieren und dann subtrahieren: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² – 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² – 4 y² z².

5. Im resultierenden Ausdruck sehen Sie die Formel für die Differenz der Quadrate: (2 y² + z²)² – (2 y z)² = (2 y² + z² – 2 y z) (2 y² + z² + 2 y z).

6. Es stellt sich heraus, dass die Methode aus zwei Schritten besteht: Isolieren der Monome eines perfekten Quadrats m und n, Addieren und Subtrahieren ihres Doppelprodukts. Die Methode zur Isolierung des vollständigen Quadrats eines Binomials kann nicht nur unabhängig, sondern auch in Kombination mit anderen Methoden verwendet werden: Entfernen des Universalfaktors aus Klammern, Ersetzen einer Variablen, Gruppieren von Termen usw.

7. Beispiel 2. Wählen Sie das perfekte Quadrat im Ausdruck aus: 4 y² + 2 y z + z². Lösung: 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z)² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Die Methode wird verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Die linke Seite der Gleichung ist ein Trinom der Form a·y? + b·y + c, wobei a, b und c einige Zahlen sind und a ? 0. a·y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Diese Berechnungen führen zur Darstellung der Diskriminante, die gleich (b? – 4·a·c)/(4·a) ist, und die Wurzeln der Gleichung sind gleich: y_1,2 = ±(b/( 2 a)) ± ? ((b? – 4 a c)/(4 a)).

Es gibt mehrere Lösungen Quadrat Gleichungen, insbesondere die bekannte – wählen Sie aus Trinom Quadrat des Binomials. Diese Methode führt zur Berechnung der Diskriminante und gewährleistet eine gleichzeitige Suche nach beiden Wurzeln.

Anweisungen

1. Eine algebraische Gleichung 2. Grades heißt quadratisch. Die klassische Form der linken Seite dieser Gleichung ist das Polynom a x? + b x + c. Um die Formel für die Lösung abzuleiten, müssen Sie isolieren Trinom Quadrat des Binomials. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Verschieben Sie das freie Element c mit einem Minuszeichen nach rechts: a x? + b x = -c.

2. Beide Seiten der Gleichung mit 4 a:4 a multiplizieren? X? + 4 a b x = -4 a c.

3. Fügen Sie den Ausdruck b?:4 a? X? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Offenbar ist auf der linken Seite die erweiterte Form eines quadratischen Binomials zu sehen, das aus den Termen 2 a x und b besteht. Falten Sie das gegebene Trinom zu einem perfekten Quadrat: (2 a x + b)? = b? – 4 n. Chr. 2 a x + b = ±?(b? – 4 a c)

5. Aus: x1,2 = (-b ± ?(b? – 4 a c))/2 a. Die Differenz unter dem Wurzelzeichen wird Diskriminante genannt, und die Formel ist zum Lösen ähnlicher Gleichungen bekannt.

6. Die zweite Methode besteht darin, das Doppelprodukt von Elementen aus einem Monom ersten Grades zu isolieren. Diese. Sie müssen aus dem Term b x ermitteln, welche Faktoren für ein vollständiges Quadrat verwendet werden können. Diese Methode ist im Beispiel besser zu sehen: x? + 4 x + 13 = 0

7. Schauen Sie sich das Monom 4 x an. Offenbar lässt es sich in der Form 2 (2 x) darstellen, d.h. das Doppelte des Produkts aus x und 2. Folglich ist es notwendig, das Quadrat der Summe (x + 2) zu isolieren. Um das Bild zu vervollständigen, fehlt der Term 4, der aus dem freien Term entnommen werden kann: x? + 4 x + 4 – 9 ? (x + 2)? = 9

8. Ziehen Sie die Quadratwurzel: x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Die Methode zum Isolieren des Quadrats eines Binomials wird häufig verwendet, um massive algebraische Ausdrücke zusammen mit anderen Methoden zu vereinfachen: Gruppieren, Ändern einer Variablen, Setzen eines universellen Faktors aus Klammern usw. Das perfekte Quadrat ist eine der abgekürzten Multiplikationsformeln und ein Sonderfall des Newtonschen Binomials.

Bei der Lösung arithmetischer und algebraischer Probleme ist manchmal eine Konstruktion erforderlich Fraktion V Quadrat. Der einfachste Weg, dies zu tun, ist, wenn Fraktion Dezimalzahl - ein normaler Taschenrechner reicht aus. Wie auch immer, wenn Fraktion gewöhnlich oder gemischt, dann beim Erhöhen einer solchen Zahl auf Quadrat Es können einige Schwierigkeiten auftreten.

Du wirst brauchen

• Taschenrechner, Computer, Excel-Anwendung.

Anweisungen

Eine Dezimalzahl erhöhen Fraktion V Quadrat Nehmen Sie ein technisches Dokument und geben Sie darauf ein, was eingebaut wird Quadrat Fraktion und drücken Sie die Taste zum Erhöhen der zweiten Einschalttaste. Bei den meisten Taschenrechnern ist diese Schaltfläche mit „x²“ beschriftet. Auf einem Standard-Windows-Rechner ist die Funktion zum Erhöhen vorhanden Quadrat sieht aus wie „x^2“. Zum Beispiel, Quadrat Der Dezimalbruch 3,14 ist gleich: 3,14² = 9,8596.

Zum Einbauen Quadrat Dezimal Fraktion Multiplizieren Sie diese Zahl auf einem normalen (Buchhaltungs-)Rechner mit sich selbst. Einige Taschenrechnermodelle bieten übrigens die Möglichkeit, eine Zahl auf zu erhöhen Quadrat auch wenn kein spezieller Knopf vorhanden ist. Lesen Sie daher zunächst die Anleitung Ihres konkreten Rechners. Manchmal sind auf der Rückseite oder auf dem Taschenrechner „knifflige“ Potenzierungen angegeben. Beispielsweise bei vielen Taschenrechnern, um eine Zahl zu erhöhen Quadrat Drücken Sie einfach die Tasten „x“ und „=“.

Für den Bau in Quadrat gemeinsamer Bruch (bestehend aus Zähler und Nenner), erhöhen zu Quadrat getrennt den Zähler und den Nenner dieses Bruchs. Verwenden Sie also die folgende Regel: (h / z)² = h² / z², wobei h der Zähler des Bruchs und z der Nenner des Bruchs ist. Beispiel: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.

Bei Einbau Quadrat Fraktion– gemischt (besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem gewöhnlichen Bruch), dann reduziere es zuerst auf eine gewöhnliche Form. Wenden Sie also die folgende Formel an: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², wobei c der ganzzahlige Teil des gemischten Bruchs ist. Beispiel: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Wenn drin Quadrat(Nicht) Brüche kommen ständig vor, dann verwenden Sie MS Excel. Geben Sie dazu die folgende Formel in eine der Tabellen ein: = DEGREE (A2;2) wobei A2 die Adresse der Zelle ist, in die der erhöhte Wert eingetragen wird Quadrat Fraktion.Um dem Programm mitzuteilen, dass die eingegebene Nummer behandelt werden soll Fraktion yu (d. h. nicht in eine Dezimalzahl umwandeln), vorher eingeben Fraktion Ich habe die Zahl „0“ und das Zeichen „Leerzeichen“. Das heißt, um beispielsweise den Bruch 2/3 einzugeben, müssen Sie „0 2/3“ eingeben (und die Eingabetaste drücken). In diesem Fall wird in der Eingabezeile die dezimale Darstellung des eingegebenen Bruchs angezeigt. Der Wert und die Darstellung des Bruchs selbst werden in ihrer ursprünglichen Form gespeichert. Darüber hinaus wird bei Verwendung mathematischer Funktionen, deren Argumente gewöhnliche Brüche sind, das Ergebnis auch als gewöhnlicher Bruch dargestellt. Somit Quadrat der Bruch 2/3 wird als 4/9 dargestellt.

Ein Polynom ist eine algebraische Struktur, die die Summe oder Differenz von Elementen darstellt. Die meisten vorgefertigten Formeln betreffen Binome, es ist jedoch nicht schwierig, neue Formeln für Strukturen höherer Ordnung abzuleiten. Sie können zum Beispiel bauen Trinom V Quadrat.

Anweisungen

Wenn ein umständlicher Ausdruck vereinfacht wird, entsteht oft die Notwendigkeit, ihn zu konstruieren Trinom V Quadrat. Eine vorgefertigte Formel dafür gibt es nicht, wohl aber mehrere Methoden. Stellen Sie sich zum Beispiel vor Quadrat Trinom aber in Form eines Produkts zweier identischer Ausdrücke.

Betrachten Sie ein Beispiel: erhöhen auf Quadrat Trinom 3 x + 4 x – 8.

Ändern Sie die Notation (3 x + 4 x – 8) in (3 x + 4 x – 8) (3 x + 4 x – 8) und verwenden Sie die Regel zur Multiplikation von Polynomen, die darin besteht, die Produkte nacheinander zu berechnen. Multiplizieren Sie zunächst den ersten Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten, machen Sie dann dasselbe mit dem zweiten und schließlich mit dem dritten: (3 x + 4 x – 8) (3 x + 4 x – 8) = 3 x (3 x + 4 x - 8) + 4 x (3 x + 4 x – 8) – 8 (3 x + 4 x – 8) = 9 x^4 + 12 x – 24 x + 12 x + 16 x – 32 x – 24 x – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x – 32 x – 64 x + 64.

Sie können zum gleichen Ergebnis gelangen, wenn Sie sich das Ergebnis der Multiplikation mit zwei merken TrinomÜbrig bleibt die Summe von sechs Elementen, davon drei Quadrat ami jedes Termes, und die anderen drei sind alle möglichen paarweisen Produkte in verdoppelter Form. Diese Elementarformel sieht einfach so aus: (a + b + c) = a + b + c + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

Wenden Sie es auf Ihr Beispiel an: (3 x + 4 x - 8) = (3 x + 4 x + (-8)) = (3 x) + (4 x) + (-8) + 2 (3 x) ( 4 x) + 2 (3 x) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x + 64 + 24 x – 48 x – 64 x = 9 x^4 + 24 x - 32 x - 64 x + 64.

Wie Sie sehen, war die Antwort dieselbe, es waren jedoch weniger Manipulationen erforderlich. Dies ist besonders wichtig, wenn die Monome selbst komplexe Strukturen sind. Diese Methode ist anwendbar für Trinom aber von beliebigem Grad und beliebiger Anzahl von Variablen.

Alles interessant

Sie können die Wurzel eines Quadrattrinoms mithilfe der Diskriminante ermitteln. Darüber hinaus gilt für das reduzierte Polynom zweiten Grades der Satz von Vieta, basierend auf dem Verhältnis der Koeffizienten. Anleitung 1 Quadratische Gleichungen sind ein ziemlich umfangreiches Thema in...

Die Methode, das vollständige Quadrat eines Binomials aus einem quadratischen Trinom zu isolieren, ist die Grundlage des Algorithmus zur Lösung von Gleichungen zweiten Grades und wird auch zur Vereinfachung umständlicher algebraischer Ausdrücke verwendet. Anleitung 1Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats...

Die Potenzierung einer Zahl ist eine verkürzte Schreibweise der Operation der Mehrfachmultiplikation, bei der alle Faktoren gleich der ursprünglichen Zahl sind. Und das Extrahieren der Wurzel bedeutet den umgekehrten Vorgang – die Bestimmung des Multiplikators, der einbezogen werden soll ...

Es gibt mehrere Methoden zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Die gebräuchlichste besteht darin, das Quadrat des Binomials aus dem Trinom zu extrahieren. Diese Methode führt zur Berechnung der Diskriminante und gewährleistet die gleichzeitige Suche beider Wurzeln. Anleitung 1Algebraisch…

Eine „Gleichung“ ist in der Mathematik ein Datensatz, der einige mathematische oder algebraische Operationen enthält und notwendigerweise ein Gleichheitszeichen enthält. Häufiger bezeichnet dieser Begriff jedoch nicht die Identität als Ganzes, sondern nur ihre linke Seite...

Die Methode der Quadrierung eines Binomials wird verwendet, um umständliche Ausdrücke zu vereinfachen und quadratische Gleichungen zu lösen. In der Praxis wird es normalerweise mit anderen Techniken kombiniert, einschließlich Faktorisierung, Gruppierung usw. Anweisungen ...

Eine Matrix ist ein zweidimensionales Array von Zahlen. Mit solchen Arrays werden gewöhnliche arithmetische Operationen durchgeführt (Addition, Multiplikation, Potenzierung), diese Operationen werden jedoch anders interpretiert als bei gewöhnlichen Zahlen. Dies wird während des Baus falsch sein ...

Vereinfachen Sie mathematische Ausdrücke, um Berechnungen schnell und effizient durchzuführen. Verwenden Sie dazu mathematische Beziehungen, um den Ausdruck zu verkürzen und die Berechnungen zu vereinfachen. Sie benötigen - den Begriff eines Monoms eines Polynoms; -...

Manche Gleichungen erscheinen auf den ersten Blick sehr kompliziert. Wenn Sie es jedoch herausfinden und ein paar mathematische Tricks anwenden, können sie leicht gelöst werden. Anleitung 1Um eine komplexe Gleichung zu vereinfachen, wenden Sie eine der Methoden darauf an ...

In der Mathematik ist ein Monom der einfachste algebraische Ausdruck, der aus Variablen, Zahlen und Zeichen besteht, die mathematische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation usw.) bezeichnen. Und ein algebraischer Ausdruck, der mehrere davon enthält ...

Beim Lösen arithmetischer und algebraischer Probleme müssen Sie manchmal einen Bruch quadrieren. Am einfachsten geht das, wenn der Bruch eine Dezimalzahl ist – ein normaler Taschenrechner reicht aus. Wenn der Bruch jedoch gewöhnlich oder gemischt ist, dann wird bei der Bildung eines solchen ...

Das Erhöhen einer Zahl in die zweite Potenz nennt man Quadrieren einer Zahl. Im Allgemeinen gehört die Potenzierung einer Zahl zu den algebraischen Operationen, die das Verständnis und die Umsetzung von Berechnungen erschweren. Es besteht jedoch die Notwendigkeit zu bauen...

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Die Summe der Monome nennt man Polynom. Die Terme in einem Polynom werden Terme des Polynoms genannt. Monome werden auch als Polynome klassifiziert, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Glied besteht.

Zum Beispiel ein Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kann vereinfacht werden.

Stellen wir alle Begriffe in Form von Monomen der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lassen Sie uns ähnliche Terme im resultierenden Polynom darstellen:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome heißen Polynome der Standardform.

Hinter Grad des Polynoms einer Standardform nehmen die höchsten Befugnisse ihrer Mitglieder in Anspruch. Somit hat das Binomial \(12a^2b - 7b\) den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6\) den zweiten.

Typischerweise sind die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge der Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Die Summe mehrerer Polynome kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden.

Manchmal müssen die Terme eines Polynoms in Gruppen unterteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt werden muss. Da einschließende Klammern die Umkehrtransformation öffnender Klammern sind, ist sie leicht zu formulieren Regeln zum Öffnen von Klammern:

Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden die in den Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts eines Monoms und eines Polynoms

Mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation können Sie das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom umwandeln (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie dieses Monom mit jedem Term des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel bereits mehrfach angewendet, um mit einer Summe zu multiplizieren.

Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Termes eines Polynoms und jedes Termes des anderen.

Normalerweise wird die folgende Regel verwendet.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summenquadrate, Differenzen und Quadratdifferenzen

Mit manchen Ausdrücken muss man sich in algebraischen Transformationen häufiger auseinandersetzen als mit anderen. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, das Quadrat von der Unterschied und die Differenz der Quadrate. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, zum Beispiel ist \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b . Allerdings kommt das Quadrat der Summe von a und b nicht sehr häufig vor; in der Regel enthält es anstelle der Buchstaben a und b verschiedene, teilweise recht komplexe Ausdrücke.

Die Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen); tatsächlich sind Sie dieser Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Es ist nützlich, sich die resultierenden Identitäten zu merken und sie ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und dem Doppelprodukt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) – das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das verdoppelte Produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) – die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten ermöglichen es einem, bei Transformationen seine linken Teile durch rechte Teile zu ersetzen und umgekehrt – rechte Teile durch linke Teile. Am schwierigsten ist es, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, wie die Variablen a und b darin ersetzt werden. Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.