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Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik. Nützliche Materialien und Videoanalyse zu Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Nützliche Materialien

Videoanalyse von Aufgaben

An einem runden Tisch mit 5 Stühlen sitzen in zufälliger Reihenfolge 3 Jungen und 2 Mädchen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Mädchen nebeneinander sitzen.

Im Zauberland gibt es zwei Arten von Wetter: gutes und ausgezeichnetes Wetter, und wenn sich das Wetter am Morgen etabliert hat, bleibt es den ganzen Tag unverändert. Es ist bekannt, dass das Wetter morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 das gleiche sein wird wie heute. Heute ist der 28. März, das Wetter im Magic Land ist gut. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wetter am 1. April in Fairyland großartig sein wird.

An der Tauchmeisterschaft nehmen 50 Athleten teil, darunter 8 Springer aus Russland und 10 Springer aus Mexiko. Die Reihenfolge der Aufführungen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Springer aus Russland auf dem fünfzehnten Platz antritt.

Das Bild zeigt ein Labyrinth. Am „Eingang“ kriecht die Spinne in das Labyrinth. Die Spinne kann sich nicht umdrehen und zurückkriechen, daher wählt die Spinne an jeder Gabelung einen der Wege, auf denen sie noch nicht gekrochen ist. Unter der Annahme, dass die Wahl des weiteren Pfades rein zufällig ist, bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Spinne zum Ausgang D kommt.

Eine automatische Linie produziert Batterien. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine fertige Batterie fehlerhaft ist, beträgt 0,02. Vor dem Verpacken durchläuft jede Batterie ein Kontrollsystem. Die Wahrscheinlichkeit, dass das System eine fehlerhafte Batterie ablehnt, beträgt 0,99. Die Wahrscheinlichkeit, dass das System eine funktionierende Batterie fälschlicherweise ablehnt, beträgt 0,01. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte hergestellte Batterie vom Inspektionssystem abgelehnt wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie defekt ist, liegt bei 0,06. Ein Käufer in einem Geschäft wählt ein zufälliges Paket aus, das zwei dieser Batterien enthält. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Batterien in Ordnung sind.

Auswahl von Problemen

1. Mischa hatte vier Bonbons in der Tasche – „Grilyazh“, „Belochka“, „Korovka“ und „Swallow“ sowie die Schlüssel zur Wohnung. Beim Herausnehmen der Schlüssel ließ Mischa versehentlich ein Bonbon aus seiner Tasche fallen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die „Grillage“-Süßigkeit verloren gegangen ist.
2. Am Kugelstoßen-Wettbewerb nehmen 4 Athleten aus Finnland, 7 Athleten aus Dänemark, 9 Athleten aus Schweden und 5 aus Norwegen teil. Die Reihenfolge, in der die Athleten antreten, wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet, der zuletzt antritt, aus Schweden stammt.
3. Vor Beginn der ersten Runde der Badminton-Meisterschaft werden die Teilnehmer per Los nach dem Zufallsprinzip in Spielpaare eingeteilt. Insgesamt nehmen 26 Badmintonspieler an der Meisterschaft teil, darunter 10 Teilnehmer aus Russland, darunter Ruslan Orlov. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Ruslan Orlov in der ersten Runde mit einem Badmintonspieler aus Russland spielen wird?
4. An der Weltmeisterschaft nehmen 16 Mannschaften teil. Mithilfe von Losen müssen sie in vier Gruppen zu je vier Teams aufgeteilt werden. In der Schachtel liegen Karten mit gemischten Gruppennummern: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Mannschaftskapitäne ziehen eine jeweils eine Karte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die russische Mannschaft in der zweiten Gruppe sein wird?
5. Die wissenschaftliche Konferenz dauert 5 Tage. Insgesamt sind 75 Berichte geplant – die ersten drei Tage umfassen 17 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den vierten und fünften Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor Maksimov für den letzten Tag der Konferenz geplant wird?
6. Im Durchschnitt sind von 1000 verkauften Gartenpumpen 5 undicht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig zur Steuerung ausgewählte Pumpe kein Leck aufweist.
7. Die Fabrik produziert Taschen. Im Durchschnitt kommen auf 100 Qualitätstaschen acht Taschen mit versteckten Mängeln. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Tasche von hoher Qualität ist. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
8. Eine mechanische Uhr mit Zwölf-Stunden-Zifferblatt ging irgendwann kaputt und blieb stehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Stundenzeiger einfriert und die 10-Uhr-Position erreicht, aber nicht die 1-Uhr-Position erreicht.
9. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und beim zweiten Mal „Zahl“ landet.
10. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen.
11. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwei Köpfe bekommen.
12. Bei einem Zufallsexperiment werden zwei Würfel geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 8 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
13. Auf dem Rockfestival treten Bands auf – eine aus jedem der angegebenen Länder. Die Reihenfolge der Auftritte wird durch das Los bestimmt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gruppe aus Dänemark nach einer Gruppe aus Schweden und nach einer Gruppe aus Norwegen auftritt? Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
14. Die Klasse besteht aus 26 Personen, darunter zwei Zwillinge – Andrey und Sergey. Die Klasse wird nach dem Zufallsprinzip in zwei Gruppen zu je 13 Personen aufgeteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Andrey und Sergey in derselben Gruppe sind.
15. Die Klasse besteht aus 21 Personen. Unter ihnen sind zwei Freundinnen: Anya und Nina. Die Klasse wird nach dem Zufallsprinzip in 7 Gruppen zu je 3 Personen eingeteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür. dass Anya und Nina in derselben Gruppe sein werden.
16. Der Schütze schießt einmal auf das Ziel. Bei einem Fehlschuss feuert der Schütze einen zweiten Schuss auf dasselbe Ziel ab. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird (entweder beim ersten oder beim zweiten Schuss).
17. Spielt Großmeister Antonov Weiß, dann gewinnt er gegen Großmeister Borisov mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,52. Wenn Antonov Schwarz spielt, dann gewinnt Antonov gegen Borisov mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3. Die Großmeister Antonov und Borisov spielen zwei Spiele und im zweiten Spiel ändern sie die Farbe der Figuren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Antonov beide Male gewinnt.
18. Es gibt drei Verkäufer im Laden. Jeder von ihnen ist mit einem Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 beschäftigt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufälligen Zeitpunkt alle drei Verkäufer gleichzeitig beschäftigt sind (angenommen, die Kunden kommen unabhängig voneinander).
19. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer DVD-Player innerhalb eines Jahres im Rahmen der Garantie repariert wird, beträgt 0,045. In einer bestimmten Stadt gingen von 1.000 im Laufe des Jahres verkauften DVD-Playern 51 in der Garantiewerkstatt ein. Wie stark unterscheidet sich die Häufigkeit des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt?
20. Bei der Herstellung von Lagern mit einem Durchmesser von 67 mm beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser um nicht mehr als 0,01 mm vom angegebenen Durchmesser abweicht, 0,965. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Lager einen Durchmesser von weniger als 66,99 mm oder mehr als 67,01 mm hat.
21. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte natürliche Zahl von 10 bis 19 durch drei teilbar ist?
22. Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um zu bestimmen, welche Mannschaft mit dem Ball beginnt. Das Fizik-Team bestreitet drei Spiele mit verschiedenen Teams. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass „Physiker“ in diesen Spielen genau zweimal gewinnt.
23. Vor Beginn eines Volleyballspiels losen die Mannschaftskapitäne aus, welche Mannschaft das Spiel mit dem Ball beginnt. Das Team „Stator“ spielt abwechselnd mit den Teams „Rotor“, „Motor“ und „Starter“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Stator nur das erste und letzte Spiel startet.
24. Im Laden gibt es zwei Zahlungsautomaten. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 fehlerhaft sein, unabhängig von der anderen Maschine. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Maschine funktioniert.
25. Basierend auf Kundenbewertungen bewertete Ivan Ivanovich die Zuverlässigkeit von zwei Online-Shops. Die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Produkt von Filiale A geliefert wird, beträgt 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Produkt von Filiale B geliefert wird, beträgt 0,9. Iwan Iwanowitsch bestellte Waren gleichzeitig in beiden Geschäften. Unter der Annahme, dass Online-Shops unabhängig voneinander arbeiten, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass kein Shop das Produkt liefert.
26. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel
27. Der Raum wird durch eine Laterne mit zwei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,3. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.
28. Bei der Geometrieprüfung erhält der Studierende eine Frage aus dem Prüfungsfragenkatalog. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frage mit eingeschriebenem Kreis handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zum Thema „Parallelogramm“ handelt, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.
29. Vom Bezirkszentrum fährt täglich ein Bus ins Dorf. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich am Montag weniger als 20 Fahrgäste im Bus befinden, liegt bei 0,94. Die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 15 Passagiere gibt, beträgt 0,56. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Passagiere zwischen 15 und 19 liegt.
30. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Wasserkocher länger als ein Jahr hält, liegt bei 0,97. Die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als zwei Jahre hält, beträgt 0,89. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als zwei Jahre, aber mehr als ein Jahr hält.
31. Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler O. in einem Biologietest mehr als 11 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass O. mehr als 10 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,74. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass O. genau 11 Aufgaben richtig löst.
32. Um in die nächste Wettbewerbsrunde zu gelangen, muss eine Fußballmannschaft in zwei Spielen mindestens 4 Punkte erzielen. Bei einem Sieg erhält eine Mannschaft 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage 0 Punkte. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team in die nächste Runde des Wettbewerbs aufsteigt. Bedenken Sie, dass in jedem Spiel die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten gleich sind und 0,4 betragen.
33. Im Zauberland gibt es zwei Arten von Wetter: gutes und ausgezeichnetes Wetter, und wenn sich das Wetter am Morgen etabliert hat, bleibt es den ganzen Tag unverändert. Es ist bekannt, dass das Wetter morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 das gleiche sein wird wie heute. Heute ist der 3. Juli, das Wetter im Zauberland ist gut. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wetter am 6. Juli in Fairyland großartig sein wird.
34. Die Touristengruppe besteht aus 5 Personen. Mithilfe von Losen wählen sie zwei Personen aus, die ins Dorf gehen müssen, um Lebensmittel zu kaufen. Artjom würde gerne in den Laden gehen, aber er gehorcht dem Los. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Artem in den Laden geht?
35. Um am Institut für die Fachrichtung „Linguistik“ aufgenommen zu werden, muss ein Bewerber beim Einheitlichen Staatsexamen in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und eine Fremdsprache – mindestens 70 Punkte erreichen. Um sich für die Fachrichtung „Handel“ einzuschreiben, müssen Sie in jedem der drei Fächer – Mathematik, Russische Sprache und Sozialkunde – mindestens 70 Punkte erreichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Petrov mindestens 70 Punkte in Mathematik erhält, beträgt 0,6, in Russisch - 0,8, in einer Fremdsprache - 0,7 und in Sozialkunde - 0,5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Petrov sich für mindestens eines der beiden genannten Fachgebiete einschreiben kann
36. Bei Artilleriefeuer feuert das automatische System einen Schuss auf das Ziel ab. Wird das Ziel nicht zerstört, feuert das System einen zweiten Schuss ab. Die Schüsse werden wiederholt, bis das Ziel zerstört ist. Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ziel beim ersten Schuss zu zerstören, beträgt 0,4 und bei jedem weiteren Schuss 0,6. Wie viele Schüsse sind erforderlich, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, mindestens 0,98 beträgt?

Aufgabe 1. Bei der Geometrieprüfung erhält der Studierende eine Frage aus dem Prüfungsfragenkatalog. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,35. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Frage mit eingeschriebenem Kreis handelt, beträgt 0,2. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.

Lösung:

Veranstaltungen „Sie erhalten eine Frage zum Thema „Inscribed Angles““ und „Sie erhalten eine Frage zum Thema „Inscribed Circle““ – . Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ist: 0,35 + 0,2 = 0,55.

Antwort: 0,55.

Aufgabe 2. Zwei Fabriken produzieren das gleiche Glas für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 70 % dieser Gläser, die zweite 30 %. Die erste Fabrik produziert 1 % fehlerhaftes Glas, die zweite 3 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.

Lösung:

Situation 1:

Das Glas stammt aus der ersten Fabrik (Ereigniswahrscheinlichkeit 0,7) und (Multiplikation) es ist defekt (Ereigniswahrscheinlichkeit 0,01).

Das heißt, beide Ereignisse müssen eintreten. In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie bedeutet dies jedes der Ereignisse:

Situation 2:

Das Glas stammt aus der zweiten Fabrik (Ereigniswahrscheinlichkeit 0,3) Und es ist defekt (Ereigniswahrscheinlichkeit 0,03):

Denn beim Glaskauf befinden wir uns in Situation 1 oder (Betrag) in Situation 2 erhalten wir dann:

Antwort: 0,016.

Aufgabe 3. Im Einkaufszentrum verkaufen zwei identische Automaten Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine am Ende des Tages keinen Kaffee mehr hat, liegt bei 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,16. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages noch Kaffee in beiden Maschinen vorhanden ist.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Der Kaffee geht in der ersten Maschine aus“ P(A) beträgt 0,3.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B: „Der Kaffee geht in der zweiten Maschine aus“ P(B) beträgt 0,3.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses AB: „Der Kaffee geht in beiden Maschinen aus“ P(AB) beträgt 0,16.

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier gemeinsamer Ereignisse A+B ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses AB:

Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das dem Ereignis A+B entgegengesetzt ist. Tatsächlich sind insgesamt 4 Ereignisse möglich, drei davon, gelb markiert, entsprechen Ereignis A+B:

Antwort: 0,56.

Aufgabe 4. Im Laden gibt es zwei Zahlungsautomaten. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 fehlerhaft sein, unabhängig von der anderen Maschine. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Maschine funktioniert.

Lösung:

Beide Maschinen sind mit hoher Wahrscheinlichkeit fehlerhaft

Mindestens eine Maschine funktioniert (gut + fehlerhaft, fehlerhaft + fehlerhaft, gut + gut) – dies ist ein Ereignis, das dem Ereignis „beide Maschinen sind fehlerhaft“ entgegengesetzt ist, daher ist die Wahrscheinlichkeit gleich

Antwort: 0,9856.

Aufgabe 5. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,85. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal getroffen und die letzten beiden Mal verfehlt hat. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Lösung:

Biathlet trifft zum ersten Mal das Ziel und (Multiplikation) zweite, Und dritte:

Da die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses, eines Fehlschlags

Der Biathlet verfehlte den vierten Schuss Und am fünften:

Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet das Ziel die ersten drei Mal trifft, ( Und!) Die letzten beiden fehlenden sind wie folgt:

Antwort: 0,01.

Aufgabe 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neuer Staubsauger länger als ein Jahr hält, liegt bei 0,92. Die Wahrscheinlichkeit, dass es länger als zwei Jahre hält, beträgt 0,84. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als zwei Jahre, aber mehr als ein Jahr hält.

Lösung:

Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:

A – „Der Staubsauger hält mehr als ein Jahr, aber weniger als 2“,

B – „Der Staubsauger hält mehr als 2 Jahre“,

C – „Der Staubsauger hält mehr als ein Jahr.“

Ereignis C ist also die Summe der gemeinsamen Ereignisse A und B

Da jedoch A und B nicht gleichzeitig passieren können.

Antwort: 0,08.

Aufgabe 7. Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,07. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Jahres alle drei Glühbirnen durchbrennen

Dann ist die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses – mindestens eine Lampe brennt nicht durch – gleich

Antwort: 0,999657.

Aufgabe 8. Ein Agrarunternehmen kauft Hühnereier von zwei Haushalten. 40 % der Eier aus dem ersten Betrieb sind Eier der höchsten Kategorie und aus dem zweiten Betrieb sind es 90 % der Eier der höchsten Kategorie. Insgesamt erhalten 60 % der Eier die höchste Kategorie. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein von diesem Agrarunternehmen gekauftes Ei vom ersten Bauernhof stammt.

Lösung:

Methode I

Die Wahrscheinlichkeit, dass das vom Agrarunternehmen gekaufte Ei vom Bauernhof stammt, sei I. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das vom Agrarunternehmen gekaufte Ei vom Bauernhof II stammt.

1) vom Bauernhof I Und Kategorie I

2) ab Hof II Und Ich kategorisiere,

II-Methode

Sei die Anzahl der Eier des ersten Betriebs, dann ist die Anzahl der Eier der höchsten Kategorie in diesem Betrieb .

Sei die Anzahl der Eier des zweiten Betriebs, dann beträgt die Anzahl der Eier der höchsten Kategorie in diesem Betrieb.

Denn je nach Bedingung erhalten 60 % der Eier die höchste Kategorie, und alle von dem landwirtschaftlichen Betrieb eingekauften Eier erhalten davon die höchste Kategorie

Das heißt, es werden ein Vielfaches mehr Eier vom ersten Bauernhof gekauft.

Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das von diesem Agrarunternehmen gekaufte Ei vom ersten Bauernhof stammt

Antwort: 0,6.

Aufgabe 9. Cowboy John hat eine Chance von 0,9, eine Fliege an der Wand zu treffen, wenn er einen geschossenen Revolver abfeuert. Wenn John einen ungefeuerten Revolver abfeuert, trifft er die Fliege mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3. Auf dem Tisch liegen 10 Revolver, davon sind nur 4 verschossen. Cowboy John sieht eine Fliege an der Wand, schnappt sich zufällig den ersten Revolver, der ihm begegnet, und schießt auf die Fliege. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John verfehlt.

Lösung:

John schnappt sich den zielsicheren Revolver (möglicherweise) Und Fehlschläge (Wahrscheinlichkeit). Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses

John schnappt sich einen nicht abgefeuerten Revolver (möglicherweise) Und Fehlschläge (Wahrscheinlichkeit). Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses

John kann sich einen zielgerichteten Revolver schnappen und verfehlen oder Nehmen Sie einen nicht abgefeuerten Revolver und verfehlen Sie ihn. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt also:

Antwort: 0,46.

Aufgabe 10. Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler U bei einem Mathematiktest mehr als 12 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,78. Die Wahrscheinlichkeit, dass U mehr als 11 Probleme richtig löst, beträgt 0,88. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 12 Probleme richtig löst.

Lösung:

Angenommen, Ereignis A: „Der Schüler löst 12 Aufgaben richtig.“

Ereignis B: „Der Schüler wird mehr als 12 Probleme lösen“,

Ereignis C: „Der Schüler wird mehr als 11 Probleme lösen.“

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B:

– das ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

Antwort: 0,1.

Aufgabe 11. Im Zauberland gibt es zwei Arten von Wetter: gutes und ausgezeichnetes Wetter, und wenn sich das Wetter am Morgen etabliert hat, bleibt es den ganzen Tag unverändert. Es ist bekannt, dass das Wetter morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 das gleiche sein wird wie heute. Am 3. August ist das Wetter im Zauberland gut. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wetter am 6. August in Fairyland großartig sein wird.

Lösung:

(Wir haben „X“ für „gutes Wetter“, „O“ für „ausgezeichnetes Wetter“ markiert)

Ereignis D: XXXO wird mit Wahrscheinlichkeit eintreten

Ereignis F: XXOO wird mit Wahrscheinlichkeit eintreten

Ereignis J: ХООО wird mit Wahrscheinlichkeit eintreten

Ereignis H: XOXO wird mit Wahrscheinlichkeit eintreten

Antwort: 0,392.

Aufgabe 12. Das Bild zeigt ein Labyrinth. Die Spinne kriecht in das Labyrinth am Eingangspunkt. Die Spinne kann sich nicht umdrehen und zurückkriechen, daher wählt die Spinne an jedem Ast einen der Wege, auf denen sie noch nicht gekrochen ist. Unter der Annahme, dass die Wahl des weiteren Pfades rein zufällig ist, bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Spinne zum Ausgang D kommt.

Lösung:

Auf ihrem Weg trifft die Spinne auf vier Gabeln. Und an jeder Gabelung kann die Spinne mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 den Weg wählen, der zum Ausgang D führt (schließlich sind an jeder Gabelung zwei unabhängige, gleichermaßen mögliche Ereignisse möglich: „den richtigen Weg wählen“ und „den falschen Weg wählen“). Die Spinne erreicht den Ausgang D, wenn sie an der ersten Gabelung den „richtigen Weg“ wählt Und Auf dem zweiten, Und am dritten, Und am vierten, das heißt, die Spinne wird mit einer Wahrscheinlichkeit gleich zum Ausgang D kommen
Antwort: 0,0625.

Aufgabe 13. Alle Patienten mit Verdacht auf Hepatitis werden einer Blutuntersuchung unterzogen. Ergibt der Test eine Hepatitis, gilt das Testergebnis als positiv. Bei Patienten mit Hepatitis ergibt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 ein positives Ergebnis. Wenn der Patient keine Hepatitis hat, kann der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 ein falsch positives Ergebnis liefern. Es ist bekannt, dass bei 6 % der Patienten mit Verdacht auf Hepatitis der Test ein positives Ergebnis liefert. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient, der mit Verdacht auf Hepatitis aufgenommen wurde, tatsächlich an Hepatitis leidet. Runden Sie Ihre Antwort auf den nächsten Tausender.

Lösung:

Sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient mit Verdacht auf Hepatitis aufgenommen wird sehr krank Hepatitis.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient mit Verdacht auf Hepatitis aufgenommen wird nicht krank Hepatitis.

Die Analyse ergibt in Einzelfällen ein positives Ergebnis

der Patient ist krank Und (Multiplikation) der test ist positiv

oder (Zusatz)

der Patient ist nicht krank Und Der Test ist falsch positiv

Da gemäß den Bedingungen der Aufgabe bei 6 % der Patienten mit Verdacht auf Hepatitis die Analyse ein positives Ergebnis liefert, dann

Auf den nächsten Tausender runden: .

Antwort: 0,056.

Aufgabe 14. Bei Artilleriefeuer feuert das automatische System einen Schuss auf das Ziel ab. Wird das Ziel nicht zerstört, feuert das System einen zweiten Schuss ab. Die Schüsse werden wiederholt, bis das Ziel zerstört ist. Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ziel beim ersten Schuss zu zerstören, beträgt 0,4 und bei jedem weiteren Schuss 0,6. Wie viele Schüsse sind erforderlich, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, mindestens 0,98 beträgt?

Lösung:

Formulieren wir die Problemfrage neu:

Wie viele Schüsse sind nötig, bis die Fehlschusswahrscheinlichkeit unter 0,02 liegt?

Bei einem Schuss beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses 0,6.

Bei zwei Schüssen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses (der erste Schuss ist ein Fehlschuss und der zweite Schuss ist ein Fehlschuss).

Bei drei Schüssen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses –

Bei vier Schüssen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses –

Bei fünf Schüssen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses –

Das merken wir.

Fünf Schüsse reichen also aus, damit die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, mindestens 0,98 beträgt.

Die Abbildung zeigt, wie sich die Lufttemperatur vom 3. bis 5. April verändert hat. Die horizontale Achse gibt die Tageszeit an, die vertikale Achse die Temperatur in Grad Celsius. Wie viele Stunden lang lag die Temperatur am 5. April über −3 Grad Celsius?

Antwort: 15.

Diese Bedingung ist in der Zeit von 9 bis 24 Uhr (Mitternacht) erfüllt, was 15 Stunden entspricht.

Aufgabe 3. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Auf kariertem Papier ist ein Winkel abgebildet. Finden Sie seinen Wert. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Antwort: 45.

Wie Sie sehen, ist der Bogen, auf dem der eingeschriebene Winkel ruht, ein Viertel des Kreises. Da ein Kreis 360 Grad hat, hat ein Bogen 90 Grad. Und da die Größe des eingeschriebenen Winkels gleich der Hälfte des Bogens ist, auf dem er ruht, erhalten wir 45 Grad.

Aufgabe 4. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Das Bild zeigt ein Labyrinth. Der Käfer kriecht am „Eingang“ in das Labyrinth. Der Käfer kann sich nicht umdrehen oder zurückkriechen, daher wählt der Käfer an jeder Gabelung einen der Wege, auf denen er noch nicht gekrochen ist. Unter der Annahme, dass die Wahl rein zufällig ist, bestimmen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Käfer zu einem der Ausgänge kommt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Antwort: 0,17.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, an Kreuzungen in verschiedene Richtungen zu fahren, gleich ist, erhalten wir die folgenden Werte (die Aufgabe besteht einfach darin, einen Weg zu jedem der Ausgänge zu zeichnen und dabei zu berücksichtigen, dass beispielsweise wenn Wenn es zwei Wege gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, in eine Richtung zu gehen, 0,5, wenn es drei gibt, dann 1/3 usw. Der Rückweg muss nicht gezählt werden.

G: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

B: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)$$

A: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

$$\frac(1)(3)\cdot0.25(1+0.5+\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\cdot0.5)=$$ $$\frac (1 )(12)(\frac(6)(6)+\frac(3)(6)+\frac(2)(6)+\frac(1)(6))=$$ $$\frac (2 )(12)=\frac(1)(6)\ungefähr0,17$$

Aufgabe 6. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Im Dreieck ABC ist die Winkelhalbierende AL eingezeichnet. Es ist bekannt, dass $$\angle ALC=130^(\circ)$$ und $$\angle ABC=103^(\circ)$$. Finden Sie $$\angle ACB$$. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Antwort: 23.

$$\angle ALB=180^(\circ)-\angle ALC=50^(\circ)$$; $$\angle BAL=180^(\circ)-\angle ABL-\angle ALB=180^(\circ)-103^(\circ)-50^(\circ)=27^(\circ)$$ ; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^(\circ)-\angle BAC-\angle ABC=23^(\circ)$$

Aufgabe 7. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion $$y=f"(x)$$, definiert im Intervall (−3; 9). An welchem ​​Punkt des Intervalls [−2; 3] gilt $$f (x)$$ den größten Wert annehmen?

Antwort: -2.

Bei dieser Aufgabe müssen Sie Folgendes beachten: Die Ableitung ist negativ, was bedeutet, dass die Funktion abnimmt. In unserem Fall befindet sich der Graph einer beliebigen Funktion unter der Ox-Achse auf dem gesamten Segment [-2;3] (die Tatsache, dass er „springt“, hat keinen Einfluss auf die Abnahme der Funktion: Er nimmt einfach irgendwo ab schneller, irgendwo langsamer). Da die Funktion im gesamten Segment abnimmt, liegt ihr größter Wert am Anfang des Segments.

Aufgabe 8. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Wie oft verringert sich das Volumen des Oktaeders, wenn alle seine Kanten halbiert werden?

Antwort: 8.

Um diese Probleme zu lösen, müssen Sie bedenken, dass die Umfänge ähnlicher Figuren als Ähnlichkeitskoeffizient, Flächen als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten und Volumina als Kubik des Ähnlichkeitskoeffizienten in Beziehung gesetzt werden. Das heißt, wenn Sie die Kante um die Hälfte reduzieren, ändert sich die Lautstärke um das Achtfache

Aufgabe 9. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks $$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))$$ für $$a=0,1$$.

Antwort: 10.

$$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))=$$ $$\frac(a^(\frac(1)(4))\cdot a^(\frac(1)(12)))(a\cdot a^(\frac(1)(3)))=$$ $$a^(\frac(1)(4)+\frac( 1)(12)-1-\frac(1)(3))=$$ $$a^(-1)=\frac(1)(0,1)=10$$

Aufgabe 10. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Eine im Wasser befindliche Taucherglocke, die $$v=4$$ Mol Luft bei einem Druck von $$p_(1)=1,2$$ Atmosphären enthält, wird langsam auf den Boden des Reservoirs abgesenkt. In diesem Fall kommt es zu einer isothermen Kompression der Luft. Die Arbeit (in Joule), die Wasser beim Komprimieren von Luft verrichtet, wird durch den Ausdruck $$A=\alpha vT\log_(2)\frac(p_(2))(p_(1))$$ bestimmt, wobei α=5,75 - Konstante, T =300 K ist die Lufttemperatur, $$p_(1)$$ (atm) ist der Anfangsdruck und $$p_(2)$$ (atm) ist der endgültige Luftdruck in der Glocke. Auf welchen maximalen Druck $$p_(2)$$ (in atm) kann Luft in einer Glocke komprimiert werden, wenn beim Komprimieren der Luft nicht mehr als 20.700 J Arbeit verrichtet werden?

Antwort: 9.6.

$$20700=5.75\cdot4\cdot300\log_(2)\frac(p_(2))(1,2)\Leftrightarrow $$$$\log_(2)\frac(p_(2))(1, 2) =\frac(20700)(23\cdot300)=3\Leftrightarrow $$$$\frac(p_(2))(1,2)=2^(3)=8\Leftrightarrow $$$$p_( 2) =1,2\cdot8=9,6$$

Aufgabe 11. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Ein Motorschiff, dessen Geschwindigkeit bei stehendem Wasser 24 km/h beträgt, fährt entlang des Flusses und kehrt nach dem Anhalten zu seinem Ausgangspunkt zurück. Die aktuelle Geschwindigkeit beträgt 2 km/h, der Aufenthalt dauert 4 Stunden und das Schiff kehrt 16 Stunden nach Abfahrt zum Ausgangspunkt zurück. Wie viele Kilometer hat das Schiff während der gesamten Reise zurückgelegt?

Antwort: 286.

Sei x die einfache Entfernung. Die Geschwindigkeit entlang der Strömung beträgt 24+2=26, gegenüber der Strömung 24-2=22. Der Aufenthalt dauerte 4 Stunden, die Reise selbst dauerte also 16-4=12. Diese Zeit erhält man durch Summieren der Zeit entlang des Stroms und gegen den Strom:

$$\frac(x)(26)+\frac(x)(22)=12\Leftrightarrow$$$$\frac(24x)(11\cdot13\cdot2)=12\Leftrightarrow $$$$x=\ frac(11\cdot12\cdot13\cdot2)(24)=143$$

Dann betrug die Strecke hin/zurück 143-143=286 km.

Aufgabe 12. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $$y=x\sin x+\cos x-\frac(3)(4)\sin x$$, die zum Intervall $$(0;\frac(\pi)(2) gehört ))$$

Antwort: 0,75.

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac(3)(4)\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac(3)(4 ) ))=0\Leftrightarrow $$$$x=0.75 ; x=\frac(\pi)(2)+\pi*n, n \in Z$$

Markieren wir die erhaltenen Punkte auf der Koordinatenlinie und ordnen die Vorzeichen der Ableitung an (zuerst betrachten wir jeden der in der Ableitung enthaltenen Faktoren, dann nur das Vorzeichen der Ableitung selbst als Produkt von Faktoren):

Wie wir aus der Abbildung ersehen können (F=0 ist der Anfang des Segments, das wir betrachten), liegt der Mindestpunkt bei x=0,75.

Aufgabe 13. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

A) Lösen Sie die Gleichung $$\cos2(x+\frac(\pi)(3))+4\sin(x+\frac(\pi)(3))=\frac(5)(2)$$

B) Finden Sie die Wurzeln, die zum Segment $$[-\frac(\pi)(2);\pi]$$ gehören

Antwort: $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$.

Sei $$x+\frac(\pi)(3)=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac(5)(2)\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(5)(2)=0\ Leftrightarrow $$$$-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(3)(2)=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^(2)y-8\sin y+3 =0$$;

$$\sin y=\frac(8+4)(8)=\frac(3)(2)$$ - keine Lösungen;

$$\sin y=\frac(8-4)(8)=\frac(1)(2)\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)y=\frac(\pi)(6 )+2\pi n,n\in Z\\y=\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\ left\(\begin(matrix)x+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x+\frac(\pi)(3) =\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)x=-\frac( \pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x=\frac(\pi)(2)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.$$

Konstruieren wir einen Einheitskreis, markieren wir die Wurzeln im Allgemeinen und im Intervall und finden Sonderfälle von Wurzeln:

Offensichtlich sind die in diese Segmente fallenden Wurzeln $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$

Aufgabe 14. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Die Basis der viereckigen Pyramide SABCD ist ein Quadrat ABCD mit der Seite AB=4. Die Seitenkante SC, gleich 4, steht senkrecht zur Basis der Pyramide. Die Ebene $$\alpha$$, die parallel zur Geraden BD durch den Scheitelpunkt C verläuft, schneidet die Kante SA im Punkt M, und SM:MA=1:2

A) Beweisen Sie, dass $$SA\perp\alpha$$

B) Finden Sie die Querschnittsfläche der Pyramide SABCD durch die Ebene $$\alpha$$

Antwort: $$\frac(8\sqrt(3))(3)$$.

a) 1) $$AS=\sqrt(16+32)=4\sqrt(3)$$; $$AM=\frac(4\sqrt(3)\cdot2)(3)$$; $$MS=\frac(4\sqrt(3))(3)$$; $$MC=\frac(4\cdot4\sqrt(2))(4\sqrt(3))=\frac(4\sqrt(2))(\sqrt(3))=\frac(4\sqrt( 6))(3)$$; $$4^(2)=(\frac(4\sqrt(6))(3))^(2)+(\frac(4\sqrt(3))(3))^(2)=\frac( 16\cdot6+16\cdot3)(9)=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

b) 1) $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(MS)(SA)\cdot\frac(AO)(OC)=1$$; $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(1)=1$$; $$\frac(CE)(EM)=\frac(3)(1)$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac(3)(4)\cdot CM=\frac(3)(4 )\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)=\sqrt(6)$$

2) $$\cos ACM=\frac(CM)(AC)=\frac(\frac(4\sqrt(6))(3))(4\sqrt(2))=\frac(\sqrt(3 ))(3)$$; $$OE=\sqrt(OC^(2)+CE^(2)-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM)=$$ $$\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+ (\sqrt(6))^(2)-2\cdot2\sqrt(2)\cdot\sqrt(6)\cdot\frac(\sqrt(3))(3))=$$ $$\sqrt( 8+6-\frac(4\cdot6)(3))=\sqrt(6)$$

3) $$SO=\sqrt(OC^(2)+SC^(2))=\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+4^(2))=\sqrt(24) $$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt(6)-\sqrt(6)=\sqrt(6)$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - Mittellinie $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac(1)(2)DB=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(2)=2\sqrt(2)$ $;

4) $$S_(CKMN)=\frac(1)(2)\cdot CM\cdot NK=\frac(1)(2)\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)\cdot2\ sqrt(2)=\frac(4\cdot\sqrt(12))(3)=\frac(8\sqrt(3))(3)$$

Aufgabe 15. Trainingsversion des Einheitlichen Staatsexamens Nr. 229 Larina.

Lösen Sie die Ungleichung $$\log_(x-2)\frac(1)(5)\geq\log_(\frac(x-3)(x-5))\frac(1)(5)$$

Antwort: $$x\in)