Flächenberechnung mit einer Palette. Messen der Fläche einer Figur mit einer Palette. Didaktische Materialien für den Unterricht

Um die Flächen kleiner Flächen mit gekrümmten Konturen im Plan zu bestimmen, werden meist geradlinige Paletten verwendet. Zu den geradlinigen Paletten zählen die bekanntesten und gebräuchlichsten quadratischen und parallelen Paletten.

Eine quadratische Palette ist ein Netzwerk aus zueinander senkrechten Linien, die alle 1–2 mm auf transparentem Zelluloid, Plexiglas, Fotofilm, Glas oder Transparentpapier gezeichnet sind.

Die Fläche der Figur wird durch einfaches Zählen der der Figur überlagerten Zellen der Palette bestimmt. Die Anteile der durch die Kontur in Teile geschnittenen Zellen werden nach Augenmaß berücksichtigt (Abb. 13). Es wird nicht empfohlen, eine quadratische Palette zu verwenden, um Flächen auf dem Plan zu bestimmen, die größer als 2 cm 2 sind. Der Nachteil seiner Verwendung (neben der Tatsache, dass die durch die Kontur zerlegten Flächen der Zelllappen mit dem Auge geschätzt werden müssen) besteht darin, dass die Zählung der Anzahl ganzer Zellen oft mit groben Fehlern einhergeht.

Solche Mängel werden bei der Bestimmung von Flächen mit einer Parallelpalette nicht beobachtet, bei der es sich um ein Blatt transparentes Zelluloid, Plexiglas oder Pauspapier handelt, auf dem parallele Linien im überwiegenden Abstand von 2 mm voneinander aufgetragen werden. Der Konturbereich wird mit dieser Palette wie folgt bestimmt. Platzieren Sie es so auf der Kontur, dass die Extrempunkte liegen A Und B in der Mitte zwischen den parallelen Linien der Palette platziert. Dann wird die gesamte Kontur durch parallele Linien in trapezähnliche Figuren mit gleicher Höhe unterteilt, und die Segmente paralleler Linien innerhalb der Kontur sind die Mittellinien der Trapeze (Abb. 14). Die gestrichelte Linie zeigt die Grundflächen dieser Trapeze.

Die Summe der Flächen von Trapezen, d.h. Konturfläche ist gleich

Um die Fläche der Kontur zu erhalten, müssen Sie daher die Summe der Mittellinien nehmen, d.h. die Summe der Segmente paralleler Linien innerhalb der Kontur und multipliziert mit dem Abstand zwischen ihnen.

Um die Bestimmung der Fläche zu vereinfachen, wird nacheinander die Summe der Mittellinien in die Zirkellösung eingezeichnet, diese mit einem Maßstabslineal ermittelt und mit der resultierenden Länge multipliziert H, m (Abb. 15). Um solche Berechnungen nicht durchführen zu müssen, wird für jeden Maßstab ein spezieller Maßstab erstellt, auf dem die Konturfläche gemessen wird, wobei die Summe der Mittellinien bekannt ist.

Maßstabsberechnung: M 1:10000, H= 2 mm, bei einer Skalenlänge von 1 cm beträgt die Fläche (0,2 cm  100 m)  (1 cm  100 m) = 2000 m 2 = 0,2 ha. Eine parallele Palette sollte nicht verwendet werden, um Flächen auf dem Plan zu definieren, die größer als 10 cm2 sind.

4.5. Genauigkeit der Flächenberechnungen grafisch und mithilfe einer Palette

Bei der Aufteilung einer Site in einfache Zahlen ist die Berechnungsgenauigkeit für verschiedene Optionen nicht gleich. Die Fläche eines Dreiecks wird grafisch genauer berechnet als die Flächen anderer Figuren. Folglich wird die Fläche bei der Aufteilung eines Geländes in Dreiecke genauer berechnet als bei der Aufteilung in andere Formen (Trapeze, Rechtecke). Wenn Sie einen Standort in Dreiecke unterteilen, ist von allen Optionen diejenige mit gleichseitigen Dreiecken oder die Höhe die beste H ungefähr gleich der Basis A.

Der Fehler verringert sich, wenn die Fläche des Dreiecks nicht wie folgt berechnet wird
, und nach Herons Formel

Wo
. Dies ergibt selbst für ein gleichseitiges Dreieck eine Verfeinerung von bis zu 13 %. Die Grundfläche eines Dreiecks kann um ein Vielfaches kleiner sein als die Höhe, wenn sie am Boden und nicht auf einem Plan gemessen wird.

Die Flächen kleiner Flächen mit gekrümmten Grenzen können mithilfe von Paletten gemessen werden. Eine Palette zum Messen von Flächen ist eine Platte aus transparentem Material (Wachs, Lavsan, Kunststoff, Pauspapier), auf die ein Raster aus Quadraten mit den Maßen 2x2 mm oder ein System aus äquidistanten parallelen Linien aufgetragen wird.

Nachdem Sie eine Palette mit einem Quadratgitter auf dem Plan platziert haben, zählen Sie die Anzahl der Quadrate, die in die gemessene Fläche passen, und bewerten Sie die Bruchteile der Quadrate an den Rändern der Fläche mit dem Auge. Das Berechnungsergebnis wird mit der Fläche eines Quadrats multipliziert.

So entspricht ein Quadrat von 2 × 2 mm auf einem Grundriss im Maßstab 1:1000 einem Quadrat von 2 × 2 m auf dem Boden, also einer Fläche von 4 m 2. Wenn die gezählte Anzahl der Quadrate 122,4 beträgt, beträgt die Fläche des Grundstücks 122,4 · 4 m 2 = 490 m 2.

Um eine Fläche mit einer Palette mit parallelen Linien zu messen, wird diese so auf dem Plan platziert, dass die gegenüberliegenden Kanten der Fläche in der Mitte zwischen den Linien der Palette liegen (Abb. 5.1).

Die durch die Kontur der Fläche begrenzten Segmente der Palettenlinien können als Mittellinien von Trapezen betrachtet werden, die in der Zeichnung zwischen den gestrichelten Linien eingeschlossen sind. Messen der Längen der Mittellinien d 1, d 2, ..., d n, die Fläche des Grundstücks wird nach Formel (5.1) berechnet:

P = H(d 1 + d 2 + … + d n), (5.1)

Wo H- der Abstand zwischen den Linien der Palette (maßstabsgetreu).

Bestimmung der Segmentsumme d 1 + d 2 + … + d n mit einem Messkompass durchgeführt. Ein Segment in die Zählerlösung übernehmen d 1, bewegen Sie das Messgerät zur nächsten Zeile, um das Segment fortzusetzen d 2 und erhöhen Sie die Lösung so, dass die Lösung die Menge enthält d 1 + d 2. Anschließend akkumulieren Sie die Gesamtsumme der Entfernungen und bestimmen ihren Wert mithilfe einer Maßstabsleiste.

Die rechteckige Palette ist in Form eines Quadratgitters aufgebaut. Die Bestimmung der Fläche mit einer rechteckigen Palette erfolgt nach der Methode von A.N. Savich (Abb. 5.2).

Die Methode von A. N. Savich wird bei der Vermessung großer Flächen auf einem Plan verwendet. Teil P 0 Die Fläche des Geländes (Abb. 5.2), die aus ganzen Quadraten besteht, die durch Gitterlinien gebildet werden, erfordert keine Messung – sie entspricht der Summe der bekannten Flächen der Quadrate. Flächen messen P 1, R 2, R 3, R 4, an den Rändern des Geländes gelegen und zusammengesetzt

P = P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4. (5.2)

Messbereiche P 1, R 2, R 3, R 4 kann mit jeder der oben beschriebenen Methoden durchgeführt werden (durch Koordinaten, durch lineare Winkelmessungen).

Reis. 5.3 Zur Savich-Methode

Zur Verbesserung der Genauigkeit von Flächenmessungen P 1, R 2, R 3 Und R 4 Es wird empfohlen, auch die Additionen dieser Flächen zu ganzen Quadraten zu messen und deren Endwerte zu berechnen. Nehmen wir zum Beispiel die direkte Flächenmessung P 1 gab Ergebnisse R(Abb. 5.3). Durch Messung der Fläche ergänzend R Bis zu fünf ganze Quadrate ergibt das Ergebnis Q. Wenn da nicht Messfehler und Papierverformungen wären, dann wäre der Betrag R+Q wäre genau gleich P Q– die Fläche eines Rechtecks, bestehend aus fünf Quadraten. Unter der Annahme, dass die Fehler proportional zur Größe der gemessenen Flächen sind, schreiben wir das Verhältnis, woraus folgt . (5.3)

Flächen werden auf ähnliche Weise berechnet R 2, R 3, R 4.

Der Vorteil der Savich-Methode besteht darin, dass ein erheblicher Teil der Fläche (nämlich - P 0) wird ohne Messungen analytisch bestimmt. Durch die Reduzierung der zu messenden Fläche und die Durchführung kontrollierter Messungen erhöht sich die Genauigkeit der Flächenbestimmung. Zusätzlich wird die Verformung des Papiers berücksichtigt.

Wenn ein erheblicher Teil der Fläche aus ganzen Quadraten besteht und nur ein kleiner Teil davon gemessen werden muss, liegt die Genauigkeit der Savich-Methode nahe an der Genauigkeit analytischer Methoden.

5.2 Methoden zur Bestimmung der Fläche eines Grundstücks mit gekrümmten Grenzen

Um die Flächen kleiner Flächen mit gekrümmten Konturen im Plan zu bestimmen, werden geradlinige und gekrümmte Paletten verwendet. Die bekanntesten und gebräuchlichsten quadratischen und parallelen Paletten werden als geradlinig klassifiziert.

Quadratische Palette stellt ein Netzwerk aus zueinander senkrechten Linien dar, die alle 1 mm auf transparentem Zelluloid, Plexiglas, Fotofilm, Glas oder Wachs gezeichnet sind (Abb. 1.1, A). Die Fläche der Figur wird berechnet, indem einfach die Zellen der Palette gezählt werden, die der Figur überlagert sind. Die Anteile der durch die Kontur in Teile geschnittenen Zellen werden nach Augenmaß berücksichtigt. Wie in Abbildung 5.2, a zu sehen ist, nimmt die Konturfläche 58 Zellen 1 ein. Bei einem Plan im Maßstab 1:10.000 beträgt die Fläche einer Zelle mit einer Seitenlänge von 1 mm 10x10 = 100 m 2 = 0,01 ha. Daher beträgt die Konturfläche 0,58 Hektar.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, werden im Abstand von 0,5 und 1 cm verdickte Linien gezeichnet, damit die Anzahl der Zellen in Gruppen auf einmal gezählt werden kann (25 und 100 mm2).

Der Nachteil seiner Verwendung besteht neben der Tatsache, dass die Flächen der durch die Kontur zerlegten Zelllappen mit dem Auge geschätzt werden müssen, darin, dass die Zählung der Anzahl ganzer Zellen oft mit groben Fehlern einhergeht.

Solche Mängel werden bei der Flächenbestimmung nicht festgestellt Parallelpalette, Hierbei handelt es sich um eine Folie aus transparentem Zelluloid, Plexiglas oder Wachs, auf der parallele Linien gezeichnet sind, die überwiegend 2 mm voneinander entfernt sind (Abb. 1.1, b).

Die Konturfläche dieser Palette wird wie folgt berechnet. Platzieren Sie es so auf der Kontur, dass die Extrempunkte liegen A und B in der Mitte zwischen den parallelen Linien der Palette platziert. Somit stellt sich heraus, dass die gesamte Kontur durch parallele Linien in trapezähnliche Figuren mit gleicher Höhe unterteilt ist, und die Segmente paralleler Linien innerhalb der Kontur sind die Mittellinien der Trapeze. Gestrichelte Linien in der Abbildung 1.1 , B Die Basen dieser Trapeze sind dargestellt. Die Summe der Flächen von Trapezen, also die Fläche der Kontur,

P=cdh + efh + mnh+ ... + klh.

Da alle Höhen von Trapezen gleich sind,

P=h(cd+ef+mn + ... + kl)

.

Reis. 1.1 – Bestimmung der quadratischen (a) und parallelen Konturfläche (B) Paletten

Um die Fläche der Kontur zu erhalten, müssen Sie daher die Summe der Mittellinien, also die Summe der Segmente paralleler Linien, die innerhalb der Kontur verlaufen, nehmen und mit dem Abstand zwischen ihnen multiplizieren.

Um die Bestimmung der Fläche zu vereinfachen, wird die Summe der Mittellinien nacheinander in die Kompasslösung eingegeben: Nehmen Sie zunächst das Segment CD, Richten Sie dann, ohne den Zirkel zu drücken, sein linkes Bein auf den Punkt / aus (siehe Abb. 5.2, B). Danach, ohne das rechte Bein des Zirkels von seiner Stelle zu bewegen, vergrößern Sie die Öffnung des Zirkels und stellen Sie das linke Bein auf die Spitze e. Somit ist in der Kompasslösung ein Segment gleich cd+ef. Als nächstes wird das linke Bein des Kompasses am Punkt l installiert, wodurch das rechte Bein vom Punkt ansteigt P auf Distanz cd+ef Danach wird, ohne das rechte Bein von seinem Platz zu bewegen, die Öffnung des Zirkels vergrößert und das linke Bein auf den Punkt gebracht T, usw. Das letzte in die Kompasslösung eingezeichnete Segment ist das Segment Zu). Die Summe der in der Kompasslösung gesammelten Mittellinien wird mit einem Maßstabslineal ermittelt und die resultierende Länge mit der Distanz L multipliziert, die der Anzahl der Meter auf dem Boden entspricht.

Wenn der Planmaßstab beispielsweise 1:10.000 beträgt, H - 20 m und die Summe der Mittellinien beträgt 682 m, dann beträgt die Konturfläche 13.640 m 2 oder 1,36 Hektar. Um solche Berechnungen nicht durchführen zu müssen, wird eine spezielle Berechnung für den erforderlichen Planmaßstab erstellt. Skala, Daraus wird die Fläche der Kontur berechnet, wobei die Summe der Mittellinien bekannt ist. Berechnen wir die Maßstabsbasis für einen Maßstab von 1:10.000. Bei einem Abstand zwischen parallelen Linien von 2 mm und einer Maßstabsbasis von 1 cm beträgt die Fläche 20.100 = 2000 m 2 = 0,20 Hektar. Daher entspricht jeder Zentimeter der Skala 0,20 Hektar auf dem Boden. Die linke Basis der Skala ist in 10 Teile unterteilt, wie es beim Aufbau einer linearen Skala der Fall ist (siehe Abb. 1.1 , B).

Eine Grundfläche im Maßstab 1:25.000 von 1 cm entspräche einer Fläche von 1,25 Hektar. Eine solche Grundlage ist für die Flächenbestimmung unpraktisch, daher muss die Grundlage berechnet werden, der die Fläche von 1 Hektar entspricht. In diesem Fall beträgt die Länge der Basis offensichtlich 0,8 cm. Die linke Basis der Skala ist ebenfalls in 10 Teile unterteilt.

Bei einem Maßstab von 1:5000 beträgt die Grundfläche 2 cm, was einer Fläche von 0,1 Hektar entspricht.

Nachdem die Summe der Mittellinien in die Kompasslösung eingezeichnet wurde, wird die Fläche auf der Skala auf die gleiche Weise bestimmt wie die Abstände auf einer linearen Skala. Die Palette und der Maßstab werden normalerweise vom Interpreten selbst erstellt. Eine parallele Palette sollte nicht verwendet werden, um Flächen auf dem Plan zu definieren, die größer als 10 cm2 sind.

Zu den krummlinigen Paletten gehören hyperbolische Paletten, die ein System hyperbolischer Kurven darstellen und zur Bestimmung der Flächen der einfachsten geometrischen Figuren verwendet werden. Diese Paletten finden keine nennenswerte Verbreitung, da es mit ihrer Hilfe nicht möglich ist, die Fläche eines Bereichs mit gekrümmter Kontur schnell zu bestimmen.

Heute erfahren Sie, wie Sie es finden Quadrat auf eine neue Art und Weise.

Beantworten Sie Fragen für den Lehrer (ggf. im Videoraum).

1. Erinnern Sie sich, welcher Bereich ist?
2. In welchen Einheiten wird gemessen?
3. Sag mir, welche geometrischen Formen du kennst?
4. Bereiche, welche Formen können Sie finden?
5. Welche Formeln können Sie dafür verwenden? Schreiben Sie sie auf und zeigen Sie sie Ihrem Lehrer. Sie können es im Videoraum zeigen oder weiterschreiben.

Können Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln?

Kennen Sie eine Formel, die Ihnen bei der Lösung dieses Problems helfen kann?

Jetzt kennen Sie diese Formel nicht. Sie werden dir in der High School davon erzählen.

Versuchen wir dennoch, dieses Problem zu lösen.

Abbildung 1 zeigt ein Rechteck. Angegeben sind seine Abmessungen und die Fläche S = 200 Quadratmeter. Einheiten

Schlagen Sie Optionen zum Ermitteln der Flächen der in Abbildung 2 gezeigten Dreiecke vor.

Notieren Sie Ihre Lösungen in Ihrem Notizbuch und erklären Sie sie der Lehrkraft (ggf. im Videoraum).

Sie konnten also die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln. Die von Ihnen vorgeschlagene Methode ist nur für diesen Dreieckstyp gültig.

Aber sie sind unterschiedlich. Deshalb müssen wir uns mit einer neuen Art der Flächensuche vertraut machen.

Heute lernen Sie in der Lektion, den Bereich von Formen mithilfe von zu finden.

Lassen Sie uns lernen, wie Sie die Fläche mithilfe einer Palette bestimmen.

Argumentation:

1. Eine Seitenlänge eines Rechtecks ​​beträgt 3 cm.
2. Drei Seiten eines kleinen Quadrats passen in drei Zentimeter.
3. Daher beträgt die Seitenlänge des Quadrats 1 cm (3 cm: 3 = 1 cm).
4. Die andere Seitenlänge des Rechtecks ​​beträgt 5 cm.
5. Die 5 Seiten eines kleinen Quadrats passen in fünf Zentimeter.
6. Daher beträgt die Seitenlänge des Quadrats 1 cm (5 cm: 5 = 1 cm).
7. Wir kommen zu dem Schluss, dass wir tatsächlich Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm haben.
8. Die Fläche dieses kleinen Quadrats beträgt 1 cm2.
9. Wir zählen, wie viele Quadrate sich im Rechteck befinden. Es gibt 15 davon.
10. Daher beträgt die Fläche des Rechtecks: 1 cm 2 · 15 = 15 cm 2.
11. Kolya hat also die richtige Antwort.

Machen Sie sich mit dem Algorithmus zum Ermitteln der Fläche einer Figur mithilfe einer Palette vertraut.

Anschauen und wiederholen, wie Sie mit der Palette die Fläche einer beliebigen Form ermitteln können.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ermitteln der Fläche einer geometrischen Figur mithilfe einer Palette an.