Algorithmus des Satzes des Pythagoras. Verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Aus dem Leben des Pythagoras

Stellen Sie sicher, dass das Dreieck, das Sie erhalten, ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. In rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.

• Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein Quadratsymbol angezeigt und nicht durch die Kurve, die schräge Winkel darstellt.

Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks. Beschriften Sie die Beine mit „a“ und „b“ (Beine sind Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit „c“ (Hypotenuse ist die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Satz des Pythagoras- einer der Grundsätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung festlegt

zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Es wird angenommen, dass es vom griechischen Mathematiker Pythagoras nachgewiesen wurde, nach dem es benannt wurde.

Geometrische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der Quadrate,

auf Beinen gebaut.

Algebraische Formulierung des Satzes des Pythagoras.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Schenkel.

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks wird mit bezeichnet C, und die Längen der Beine durch A Und B:

Beide Formulierungen Satz des Pythagoras sind gleichwertig, aber die zweite Formulierung ist elementarer, das ist nicht der Fall

erfordert den Flächenbegriff. Das heißt, die zweite Aussage kann überprüft werden, ohne etwas über das Gebiet zu wissen und

indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras.

Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann

rechtwinkliges Dreieck.

Oder anders gesagt:

Für jedes Tripel positiver Zahlen A, B Und C, so dass

Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen A Und B und Hypotenuse C.

Satz des Pythagoras für ein gleichschenkliges Dreieck.

Satz des Pythagoras für ein gleichseitiges Dreieck.

Beweise des Satzes des Pythagoras.

Derzeit sind in der wissenschaftlichen Literatur 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich der Satz

Pythagoras ist der einzige Satz mit einer solch beeindruckenden Anzahl an Beweisen. Eine solche Vielfalt

kann nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklärt werden.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon:

nachweisen Flächenmethode, axiomatisch Und exotische Beweise(Zum Beispiel,

mit Hilfe Differentialgleichung).

1. Beweis des Satzes des Pythagoras unter Verwendung ähnlicher Dreiecke.

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der konstruierten Beweise

direkt aus den Axiomen. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe aus C und bezeichnen

seine Gründung durch H.

Dreieck ACHähnlich einem Dreieck AB C an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC.

Durch Einführung der Notation:

wir bekommen:

,

was entspricht -

Gefaltet A 2 und B 2, wir erhalten:

oder , was bewiesen werden musste.

2. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Flächenmethode.

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Alle von ihnen

Verwenden Sie Flächeneigenschaften, deren Beweise komplexer sind als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

• Beweis durch Äquikomplementarität.

Ordnen wir vier gleiche Rechtecke an

Dreieck wie in der Abbildung gezeigt

rechts.

Viereck mit Seiten C- Quadrat,

da die Summe zweier spitzer Winkel 90° beträgt, und

Entfaltungswinkel - 180°.

Die Fläche der gesamten Figur beträgt einerseits

Fläche eines Quadrats mit Seite ( a+b), und andererseits die Summe der Flächen von vier Dreiecken und

Q.E.D.

3. Beweis des Satzes des Pythagoras mit der Infinitesimalmethode.

​

Betrachten Sie die in der Abbildung gezeigte Zeichnung und

den Seitenwechsel beobachtenA, wir können

Schreiben Sie die folgende Beziehung für unendlich

klein seitliche AbstufungenMit Und A(unter Verwendung von Ähnlichkeit

Dreiecke):

Mit der Variablentrennungsmethode finden wir:

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen:

Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir:

So kommen wir zur gewünschten Antwort:

Wie leicht zu erkennen ist, erscheint die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der Linearität

Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe auf das Unabhängige bezogen ist

Beiträge aus dem Zuwachs verschiedener Beine.

Einen einfacheren Beweis erhält man, wenn man davon ausgeht, dass eines der Beine keinen Anstieg erfährt

(in diesem Fall das Bein B). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante:

Eines können Sie hundertprozentig sicher sein: Auf die Frage nach dem Quadrat der Hypotenuse wird jeder Erwachsene kühn antworten: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieser Satz ist fest in den Köpfen jedes gebildeten Menschen verankert, aber man muss nur jemanden bitten, ihn zu beweisen, und schon können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns daher und betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Kurze Biografie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biographie der Person, die ihn in die Welt gesetzt hat, nicht so beliebt. Dies kann behoben werden. Bevor Sie sich also mit den verschiedenen Möglichkeiten befassen, den Satz des Pythagoras zu beweisen, müssen Sie sich kurz mit seiner Persönlichkeit vertraut machen.

Pythagoras - Philosoph, Mathematiker, Denker ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biographie von den Legenden zu unterscheiden, die sich zum Gedenken an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Werken seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, nach der der Junge benannt wurde. Ihrer Vorhersage zufolge sollte der geborene Junge der Menschheit viel Nutzen und Gutes bringen. Genau das hat er getan.

Geburt des Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort berühmte ägyptische Weise zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen durfte er studieren, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Das mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Doch er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen durchführten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Methode zum Beweis dieses Theorems bekannt, sondern mehrere gleichzeitig. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen durchgeführt haben. Deshalb werden wir uns hier verschiedene Möglichkeiten ansehen, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen möchten. Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Es gibt insgesamt 15 verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Dies ist eine ziemlich große Zahl, daher konzentrieren wir uns auf die beliebtesten davon.

Methode eins

Lassen Sie uns zunächst definieren, was uns gegeben wurde. Diese Daten gelten auch für andere Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras, daher lohnt es sich, sich sofort alle verfügbaren Notationen zu merken.

Angenommen, wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und einer Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert auf der Tatsache, dass Sie aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat zeichnen müssen.

Dazu müssen Sie dem Bein der Länge a ein Segment hinzufügen, das dem Bein b entspricht, und umgekehrt. Dadurch sollten zwei gleiche Seiten des Quadrats entstehen. Jetzt müssen nur noch zwei parallele Linien gezeichnet werden, und schon ist das Quadrat fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat zeichnen, dessen Seite der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks entspricht. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ас und св aus zwei parallele Segmente zeichnen, die gleich s sind. Somit erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Jetzt muss nur noch das vierte Segment gezeichnet werden.

Basierend auf der resultierenden Zahl können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 beträgt. Wenn Sie in die Abbildung hineinschauen, können Sie erkennen, dass es neben dem inneren Quadrat noch vier rechtwinklige Dreiecke gibt. Die Fläche beträgt jeweils 0,5av.

Daher ist die Fläche gleich: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Daher ist (a+c) 2 =2ab+c 2

Und daher ist c 2 =a 2 +b 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde auf der Grundlage einer Aussage aus dem Abschnitt der Geometrie über ähnliche Dreiecke abgeleitet. Es besagt, dass der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks im Durchschnitt proportional zu seiner Hypotenuse und dem Abschnitt der Hypotenuse ist, der vom Scheitelpunkt des 90°-Winkels ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also beginnen wir gleich mit dem Beweis. Zeichnen wir ein Segment CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Seiten der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch die Quadrierung beider Ungleichungen abgeschlossen werden.

AC 2 = AB * AD und CB 2 = AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), wobei AD + DV = AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Der Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Methoden zu seiner Lösung erfordern eine vielseitige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Beschreibungen verschiedener Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras bedeuten möglicherweise nichts, bis Sie anfangen, selbst zu üben. Viele Techniken beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

In diesem Fall ist es notwendig, ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD von der Seite BC aus zu vervollständigen. Somit gibt es nun zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Schenkel BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann gilt:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(von 2 - bis 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

von 2 - bis 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Da diese Option von den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die 8. Klasse kaum geeignet ist, können Sie die folgende Methode verwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Rezensionen

Historikern zufolge wurde diese Methode erstmals im antiken Griechenland zum Beweis des Satzes eingesetzt. Es ist das einfachste, da es keinerlei Berechnungen erfordert. Wenn Sie das Bild richtig zeichnen, ist der Beweis der Aussage a 2 + b 2 = c 2 deutlich sichtbar.

Die Bedingungen für diese Methode unterscheiden sich geringfügig von der vorherigen. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen seine drei Seiten. Darüber hinaus ist es notwendig, in das resultierende Quadrat zwei diagonale Linien zu zeichnen. Darin entstehen also vier gleichschenklige Dreiecke.

Sie müssen außerdem ein Quadrat zu den Beinen AB und CB zeichnen und in jedes davon eine diagonale gerade Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite von C.

Jetzt müssen Sie sich die resultierende Zeichnung genau ansehen. Da es auf der Hypotenuse AC vier Dreiecke gibt, die dem Original entsprechen, und auf den Seiten zwei, zeigt dies die Richtigkeit dieses Satzes.

Dank dieser Methode zum Beweis des Satzes des Pythagoras entstand übrigens der berühmte Satz: „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“

Beweis von J. Garfield

James Garfield ist der zwanzigste Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er prägte nicht nur die Geschichte als Herrscher der Vereinigten Staaten, sondern war auch ein begnadeter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer öffentlichen Schule, wurde aber bald Direktor einer der höheren Bildungseinrichtungen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung ermöglichte es ihm, eine neue Theorie zum Beweis des Satzes des Pythagoras vorzuschlagen. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Eckpunkte dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um letztendlich ein Trapez zu bilden.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Betrachtet man das resultierende Trapez als eine aus drei Dreiecken bestehende Figur, so ergibt sich seine Fläche wie folgt:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis ließe sich mehr als ein Lehrbuchband schreiben. Aber gibt es einen Punkt, an dem dieses Wissen nicht in der Praxis angewendet werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Lehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur bei geometrischen Problemen vor. Absolventen werden bald die Schule verlassen, ohne zu wissen, wie sie ihr Wissen und ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden können.

Tatsächlich kann jeder den Satz des Pythagoras in seinem täglichen Leben anwenden. Und das nicht nur bei beruflichen Tätigkeiten, sondern auch bei alltäglichen Hausarbeiten. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang zwischen Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf dem Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie beispielsweise die Bewegung eines Lichtstrahls im Raum. Es ist bekannt, dass sich Licht in beide Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Nennen wir die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und nennen wir mal die Hälfte der Zeit, die Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen T. Und die Geschwindigkeit des Strahls - C. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie denselben Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ändert sich bei der Beobachtung von Körpern auf diese Weise ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall beginnen sich auch stationäre Elemente mit der Geschwindigkeit v in die entgegengesetzte Richtung zu bewegen.

Nehmen wir an, der Comicliner segelt nach rechts. Dann beginnen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl rast, nach links zu bewegen. Wenn sich der Strahl außerdem von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend erreicht das Licht bereits einen neuen Punkt C. Um die halbe Strecke zu ermitteln, um die sich Punkt A bewegt hat, müssen Sie multiplizieren die Geschwindigkeit des Liners um die Hälfte der Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit wandern könnte, müssen Sie die Hälfte des Weges mit einem neuen Buchstaben s markieren und den folgenden Ausdruck erhalten:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann teilt das Segment von Punkt A bis zum Liner dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke. Dank des Satzes des Pythagoras können Sie daher die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen kann.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben werden, es in der Praxis auszuprobieren. Betrachten wir daher alltäglichere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber welchen Nutzen hätten sie, wenn sie ihre Abonnenten nicht über Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit ein Telefon von einem Mobilfunkmast entfernt ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Nehmen wir an, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern verteilen kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Signalübertragungsradius) = 200 km;

OS (Radius des Globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras sogar in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, beispielsweise bei der Bestimmung der Höhe eines Kleiderschranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da die Messung einfach mit einem Maßband durchgeführt werden kann. Viele Menschen fragen sich jedoch, warum es bei der Montage zu bestimmten Problemen kommt, wenn alle Messungen mehr als genau durchgeführt wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert und erst dann angehoben und an der Wand montiert wird. Daher muss sich die Seite des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl in der Höhe als auch in der Diagonale des Raums frei bewegen können.

Nehmen wir an, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke – 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm unter der Raumhöhe liegen sollte. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns anhand idealer Schrankabmessungen die Funktionsweise des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - alles passt.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Aufstellung in diesem Raum geeignet. Denn das Anheben in eine vertikale Position kann zu Schäden am Körper führen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler geprüft haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben nutzen und völlig sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.

Jedes Schulkind weiß, dass das Quadrat der Hypotenuse immer gleich der Summe der Beine ist, die jeweils quadriert sind. Diese Aussage wird als Satz des Pythagoras bezeichnet. Es ist einer der bekanntesten Sätze der Trigonometrie und der Mathematik im Allgemeinen. Schauen wir es uns genauer an.

Das Konzept eines rechtwinkligen Dreiecks

Bevor wir mit der Betrachtung des Satzes des Pythagoras fortfahren, bei dem das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der quadrierten Schenkel ist, sollten wir das Konzept und die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks betrachten, für das der Satz gilt.

Ein Dreieck ist eine flache Figur mit drei Winkeln und drei Seiten. Ein rechtwinkliges Dreieck hat, wie der Name schon sagt, einen rechten Winkel, d. h. dieser Winkel beträgt 90°.

Aus den allgemeinen Eigenschaften aller Dreiecke ist bekannt, dass die Summe aller drei Winkel dieser Figur 180 ° beträgt, was bedeutet, dass für ein rechtwinkliges Dreieck die Summe zweier Winkel, die keine rechten Winkel sind, 180 ° - 90 beträgt o = 90 o. Diese letzte Tatsache bedeutet, dass jeder Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, der nicht rechtwinklig ist, immer weniger als 90 ° beträgt.

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Die anderen beiden Seiten sind die Schenkel des Dreiecks, sie können einander gleich oder unterschiedlich sein. Aus der Trigonometrie wissen wir, dass die Länge dieser Seite umso größer ist, je größer der Winkel ist, gegen den eine Seite eines Dreiecks liegt. Das bedeutet, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse (liegt gegenüber dem 90°-Winkel) immer größer ist als jeder der Schenkel (liegt gegenüber den Winkeln).< 90 o).

Mathematische Notation des Satzes des Pythagoras

Dieser Satz besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der zuvor quadrierten Schenkel ist. Um diese Formulierung mathematisch zu formulieren, betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Seiten a, b und c die beiden Schenkel bzw. die Hypotenuse sind. In diesem Fall kann der Satz, der so formuliert ist, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist, durch die folgende Formel dargestellt werden: c 2 = a 2 + b 2. Daraus lassen sich weitere für die Praxis wichtige Formeln gewinnen: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) und c = √(a 2 + b 2).

Beachten Sie, dass im Fall eines rechtwinkligen gleichseitigen Dreiecks, also a = b, die Formel: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Schenkel, von denen jeder quadriert ist, mathematisch wie folgt geschrieben wird: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, was die Gleichheit impliziert: c = a√2.

Historische Referenz

Der Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Schenkel ist, von denen jeder ein Quadrat ist, war bekannt, lange bevor der berühmte griechische Philosoph ihm Aufmerksamkeit schenkte. Viele Papyri des alten Ägypten sowie Tontafeln der Babylonier bestätigen, dass diese Völker die bekannte Eigenschaft der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks nutzten. Beispielsweise wurde eine der ersten ägyptischen Pyramiden, die Chephren-Pyramide, deren Bau auf das 26. Jahrhundert v. Chr. (2000 Jahre vor dem Leben des Pythagoras) zurückgeht, auf der Grundlage der Kenntnis des Seitenverhältnisses in einem rechtwinkligen Dreieck 3x4x5 gebaut .

Warum trägt der Satz nun den Namen des Griechen? Die Antwort ist einfach: Pythagoras ist der erste, der diesen Satz mathematisch beweist. Die erhaltenen babylonischen und ägyptischen Schriftquellen sprechen lediglich von seiner Verwendung, liefern aber keinen mathematischen Beweis.

Es wird angenommen, dass Pythagoras den fraglichen Satz bewiesen hat, indem er die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke verwendete, die er durch Zeichnen der Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck aus einem Winkel von 90 ° zur Hypotenuse ermittelte.

Ein Beispiel für die Verwendung des Satzes des Pythagoras

Stellen Sie sich ein einfaches Problem vor: Es ist notwendig, die Länge einer geneigten Treppe L zu bestimmen, wenn bekannt ist, dass sie eine Höhe H = 3 Meter hat und der Abstand von der Wand, an der die Treppe ruht, bis zu ihrem Fuß P = 2,5 beträgt Meter.

In diesem Fall sind H und P die Beine und L die Hypotenuse. Da die Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist, erhalten wir: L 2 = H 2 + P 2, woraus L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 Meter oder 3 m und 90,5 cm.

Der Satz des Pythagoras ist die wichtigste Aussage der Geometrie. Der Satz ist wie folgt formuliert: Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Schenkeln aufgebaut sind.

Die Entdeckung dieser Aussage wird üblicherweise dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben. Aber eine Untersuchung babylonischer Keilschrifttafeln und alter chinesischer Manuskripte (Kopien noch älterer Manuskripte) zeigte, dass diese Aussage lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht ein Jahrtausend vor ihm. Das Verdienst von Pythagoras bestand darin, dass er den Beweis dieses Theorems entdeckte.

Es ist wahrscheinlich, dass die im Satz des Pythagoras dargelegte Tatsache erstmals für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke festgestellt wurde. Schauen Sie sich einfach das Mosaik aus schwarzen und hellen Dreiecken an, das in Abb. 1, um die Gültigkeit des Satzes für ein Dreieck zu überprüfen: Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, enthält 4 Dreiecke, und ein Quadrat, das 2 Dreiecke enthält, wird auf jeder Seite gebildet. Um den allgemeinen Fall im alten Indien zu beweisen, verwendeten sie zwei Methoden: In einem Quadrat mit einer Seite stellten sie vier rechtwinklige Dreiecke mit Beinen der Längen und (Abb. 2, a und 2, b) dar und schrieben anschließend ein Wort „ Sehen!" Und tatsächlich sehen wir beim Betrachten dieser Zeichnungen, dass sich links eine Figur ohne Dreiecke befindet, die aus zwei Quadraten mit Seiten besteht und deren Fläche dementsprechend gleich ist, und rechts ein Quadrat mit einer Seite - seine Fläche ist gleich . Dies bedeutet, dass dies die Aussage des Satzes des Pythagoras darstellt.

Zweitausend Jahre lang wurde jedoch nicht dieser visuelle Beweis verwendet, sondern ein komplexerer Beweis, den Euklid erfunden hatte und der in seinem berühmten Buch „Elemente“ (siehe Euklid und seine „Elemente“) enthalten ist. Euklid senkte die Höhe vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels zur Hypotenuse und bewies, dass seine Fortsetzung das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat in zwei Rechtecke teilt, deren Flächen gleich den Flächen der entsprechenden auf den Beinen aufgebauten Quadrate sind (Abb. 3). Die zum Beweis dieses Theorems verwendete Zeichnung wird scherzhaft „Pythagoräische Hose“ genannt. Lange Zeit galt es als eines der Symbole der Mathematik.

Heute sind mehrere Dutzend verschiedene Beweise des Satzes des Pythagoras bekannt. Einige von ihnen basieren auf der Quadratunterteilung, bei der ein auf der Hypotenuse aufgebautes Quadrat aus Teilen besteht, die in den Aufteilungen von auf den Beinen aufgebauten Quadraten enthalten sind; andere - zur Ergänzung gleicher Figuren; der dritte - auf der Tatsache, dass die vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels zur Hypotenuse abgesenkte Höhe ein rechtwinkliges Dreieck in zwei ihm ähnliche Dreiecke teilt.

Der Satz des Pythagoras liegt den meisten geometrischen Berechnungen zugrunde. Schon im antiken Babylon hat man damit die Länge der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks aus den Längen von Basis und Seite, den Pfeil eines Segments aus dem Durchmesser des Kreises und der Länge der Sehne berechnet und die Beziehungen hergestellt zwischen den Elementen einiger regelmäßiger Vielecke. Mit dem Satz des Pythagoras beweisen wir seine Verallgemeinerung, die es uns ermöglicht, die Länge der Seite zu berechnen, die einem spitzen oder stumpfen Winkel gegenüberliegt:

Aus dieser Verallgemeinerung folgt, dass das Vorhandensein eines rechten Winkels nicht nur eine ausreichende, sondern auch eine notwendige Bedingung für die Erfüllung der Gleichheit ist. Aus Formel (1) folgt die Beziehung zwischen den Längen der Diagonalen und Seiten eines Parallelogramms, mit dessen Hilfe sich aus den Längen seiner Seiten leicht die Länge des Medians eines Dreiecks ermitteln lässt.

Basierend auf dem Satz des Pythagoras wird eine Formel abgeleitet, die die Fläche eines beliebigen Dreiecks durch die Längen seiner Seiten ausdrückt (siehe Herons Formel). Natürlich wurde der Satz des Pythagoras auch zur Lösung verschiedener praktischer Probleme verwendet.

Anstelle von Quadraten können Sie auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks beliebige ähnliche Figuren (gleichseitige Dreiecke, Halbkreise usw.) bauen. In diesem Fall ist die Fläche der auf der Hypotenuse aufgebauten Figur gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Figuren. Eine weitere Verallgemeinerung ist mit dem Übergang von der Ebene in den Raum verbunden. Es wird wie folgt formuliert: Das Quadrat der diagonalen Länge eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen (Länge, Breite und Höhe). Ein ähnlicher Satz gilt in mehrdimensionalen und sogar unendlichdimensionalen Fällen.

Der Satz des Pythagoras existiert nur in der euklidischen Geometrie. Es kommt weder in der Lobatschewski-Geometrie noch in anderen nichteuklidischen Geometrien vor. Es gibt kein Analogon zum Satz des Pythagoras über die Kugel. Zwei Meridiane, die einen Winkel von 90° bilden, und der Äquator begrenzen auf einer Kugel ein gleichseitiges sphärisches Dreieck, dessen drei Winkel jeweils rechte Winkel sind. Für ihn nicht wie im Flugzeug.

Berechnen Sie mithilfe des Satzes des Pythagoras den Abstand zwischen Punkten und der Koordinatenebene mithilfe der Formel

.

Nach der Entdeckung des Satzes des Pythagoras stellte sich die Frage, wie man alle Tripel natürlicher Zahlen finden kann, die Seiten rechtwinkliger Dreiecke sein können (siehe Fermats letzter Satz). Sie wurden von den Pythagoräern entdeckt, aber einige allgemeine Methoden zum Auffinden solcher Zahlentripel waren bereits den Babyloniern bekannt. Eine der Keilschrifttafeln enthält 15 Drillinge. Unter ihnen gibt es Drillinge, die aus Zahlen bestehen, die so groß sind, dass es unmöglich ist, sie durch Auswahl zu finden.

Hippokratische Fossa

Hippokratische Lunas sind Figuren, die durch die Bögen zweier Kreise begrenzt werden, und zwar so, dass man aus den Radien und der Länge der gemeinsamen Sehne dieser Kreise mit einem Zirkel und einem Lineal Quadrate konstruieren kann, die ihnen gleich groß sind.

Aus der Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf Halbkreise folgt, dass die Summe der Flächen der in der Abbildung links gezeigten rosa Klumpen gleich der Fläche des blauen Dreiecks ist. Wenn Sie also ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck nehmen, erhalten Sie zwei Löcher, deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche des Dreiecks entspricht. Beim Versuch, das Problem der Quadratur eines Kreises zu lösen (siehe Klassische Probleme der Antike), fand der antike griechische Mathematiker Hippokrates (5. Jahrhundert v. Chr.) mehrere weitere Löcher, deren Flächen durch die Flächen geradliniger Figuren ausgedrückt werden.

Eine vollständige Liste der hippomarginalen Lunulae wurde erst im 19.-20. Jahrhundert erhalten. dank der Verwendung von Methoden der Galois-Theorie.