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Multiplikationsalgorithmus. Das Problem der Multiplikation langer vorzeichenloser Ganzzahlen. Darstellung langer Ganzzahlen

Der beschriebene Prozess ermöglicht es uns, in allgemeiner Form einen Algorithmus zum Subtrahieren von Zahlen im dezimalen Zahlensystem zu formulieren.

1. Wir schreiben den Subtrahend unter den Minuend, sodass die entsprechenden Ziffern untereinander liegen.

2. Wenn die Ziffer der Einerstelle des Subtrahends die entsprechende Ziffer des Minuenden nicht überschreitet, subtrahieren Sie sie von der Ziffer des Minuenden, schreiben Sie die Differenz in die Einerstelle der gewünschten Zahl und fahren Sie dann mit der nächsten fort Ziffer.

3. Wenn die Anzahl der Einheiten des Subtrahends größer ist als die Einheiten des Minuenden, ᴛ.ᴇ. b 0 >a 0, und die Zehnerstelle des Minuenden ist von Null verschieden, dann verringern wir die Zehnerstelle des Minuenden um 1, während wir gleichzeitig die Einerstelle des Minuenden um 10 erhöhen, und subtrahieren anschließend die Zahl b 0 aus der Zahl 10 + einer 0 und schreiben Sie die Differenz in der Einerstelle der gewünschten Zahl, dann fahren Sie mit der nächsten Kategorie fort.

4. Wenn die Anzahl der Einheiten des Subtrahends größer ist als die Anzahl der Einheiten des Minuenden, der an der Zehner-, Hunderter- usw. Stelle steht. Minuend gleich Null sind, dann nehmen wir die erste Nicht-Null-Ziffer im Minuend (nach der Einerstelle), reduzieren sie um 1, alle Ziffern in den unteren Ziffern bis einschließlich der Zehnerstelle werden um 9 erhöht, und die Ziffer in der Einerstelle durch 10: subtrahiere b 0 von 10 + a 0, schreibe die Differenz in der Einerstelle der gewünschten Zahl auf und gehe zur nächsten Ziffer über.

5. In der nächsten Kategorie wiederholen wir den beschriebenen Vorgang.

6. Die Subtraktion endet, wenn die höchstwertige Ziffer des Minuends subtrahiert wird.

Basierend auf der Definition dieser Operation kann die Multiplikation einstelliger Zahlen durchgeführt werden. Um aber nicht jedes Mal auf die Definition zurückgreifen zu müssen, werden alle Produkte einstelliger Zahlen in einer speziellen Tabelle, der sogenannten Multiplikationstabelle für einstellige Zahlen, niedergeschrieben und gespeichert.

Natürlich bleibt die Bedeutung der Multiplikation bei mehrstelligen Zahlen dieselbe, aber die Berechnungstechnik ändert sich. Das Produkt mehrstelliger Zahlen wird normalerweise durch Spaltenmultiplikation mithilfe eines bestimmten Algorithmus ermittelt. Lassen Sie uns herausfinden, wie dieser Algorithmus entsteht und welche theoretischen Fakten ihm zugrunde liegen.

Multiplizieren wir zum Beispiel mit einer Spalte von 428 mit 263.

Wir sehen, dass wir, um die Antwort zu erhalten, 428 mit 3, 6 und 2 multiplizieren mussten, ᴛ.ᴇ. eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl multiplizieren; aber nach der Multiplikation mit 6 wurde das Ergebnis auf besondere Weise aufgeschrieben, indem die Einheiten der Zahl 2568 unter die Zehner der Zahl 1284 gestellt wurden, da sie mit 60 multipliziert wurden und die Zahl 25680 erhielten, aber die Null wurde weggelassen Ende der Aufzeichnung. Der Term 856 ist das Ergebnis der Multiplikation mit 2 Hundertern, ᴛ.ᴇ. die Zahl ist 85600. Gleichzeitig mussten wir die Summe mehrstelliger Zahlen ermitteln.

Um also eine mehrstellige Zahl mit einer mehrstelligen Zahl zu multiplizieren, ist es äußerst wichtig, Folgendes zu können:

Multiplizieren Sie eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl und einer Zehnerpotenz;

Fügen Sie mehrstellige Zahlen hinzu.

Lassen Sie uns zunächst überlegen Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl.

Lasst uns multiplizieren z.B, 428 mal 3. Gemäß der Regel zum Schreiben von Zahlen im Dezimalsystem kann 428 als 4 dargestellt werden × 10 2 +2× 10+8 und dann 428 × 3=(4× 10 2 +2× 10+8)× 3. Basierend auf der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition öffnen wir die Klammern: (4 × 10 2 +(2× 10)× 3+8× 3. Produkte in Klammern finden Sie mit der Multiplikationstabelle für einstellige Zahlen: 12 × 10 2 +6× 10+24. Wir sehen, dass die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl auf die Multiplikation einstelliger Zahlen reduziert wurde. Um jedoch das Endergebnis zu erhalten, müssen Sie den Ausdruck 12 transformieren × 10 2 +6× 10+24 - Die Koeffizienten vor den Zehnerpotenzen müssen kleiner als 10 sein. Stellen Sie sich dazu die Zahl 12 als 1·10+2 und die Zahl 24 als 2·10+4 vor. Dann öffnen wir im Ausdruck (1·10+2)·10 2 +6·10+(2·10+4) die Klammern: 1·10 3 +2·10 2 +6·10+2·10+4 . Basierend auf der Assoziativität der Addition und der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition gruppieren wir die Terme 6 10 und 2 10 und nehmen 10 aus Klammern: 1 10 3 + 2 10 2 + (6 + 2) 10 + 4. Die Summe 6+2 ist die Summe einstelliger Zahlen und kann mithilfe der Additionstabelle ermittelt werden: 1 10 3 +2 10 2 +8 10+4. Der resultierende Ausdruck ist die Dezimalschreibweise der Zahl 1284, also 428·3=1284.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl basiert auf:

Zahlen im dezimalen Zahlensystem schreiben;

Eigenschaften der Addition und Multiplikation;

Einstellige Additions- und Multiplikationstabellen.

Lassen Sie uns die Regel zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl in allgemeiner Form herleiten.

Es sei notwendig, x=a n ×10 n +a n–1 ×10 n–1 +…+a 1 ×10+a 0 mit einer einstelligen Zahl y zu multiplizieren:

x×y=(a n ×10 n +a n–1 ×10 n–1 +…+a 1 ×10+a 0)×y=(a n ×y)×10 n +(a n–1 × y)×10 n–1 +…+a 0 ×y wobei die Transformationen basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation durchgeführt werden. Danach ersetzen wir mithilfe der Multiplikationstabelle alle Produkte a k ×y, wobei 0 £k£n, durch die entsprechenden Werte von a k ×y=b k ×10+c und erhalten:

x×y=(b p ×10+s p)+(b p-1 ×10+s p-1)×10 p-1 +...+(b 1 ×10+s 1)×10+( b 0 ×10+s 0)= =b p ×10 p+1 +(s p +b p-1)×10 p +...+(s 1 +b 0)×10+s 0. Mithilfe der Additionstabelle ersetzen wir die Summen durch k +b k -1 , wobei 0 £ k £ n und k = 0,1,2, ..., n, durch ihre Werte. Wenn beispielsweise c 0 eindeutig ist, dann ist die letzte Ziffer des Produkts gleich c 0. Wenn c 0 =10+m 0, dann ist die letzte Ziffer gleich m 0, und Sie müssen 1 zur Klammer hinzufügen (c 1 + b 0). Wenn wir diesen Vorgang fortsetzen, erhalten wir die Dezimalschreibweise der Zahl x × j.

Der beschriebene Prozess ermöglicht es uns zu formulieren im Allgemeinen ein Algorithmus zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl zu einer einstelligen Zahl y.

1. Schreiben Sie die zweite Zahl unter die erste.

2. Multiplizieren Sie die Einerstelle der Zahl x mit der Zahl y. Wenn das Produkt kleiner als 10 ist, schreiben wir es in die Kategorie der Antworteinheiten und gehen zur nächsten Kategorie (Zehner) über.

3. Wenn das Produkt der Ziffern der Einheiten der Zahl x und der Zahl y größer oder gleich 10 ist, dann stellen wir es in der Form 10q 1 + c 0 dar, wobei c 0 eine einstellige Zahl ist; Schreiben Sie von 0 in die Kategorie der Antworteinheiten und merken Sie sich q 1 – übertragen Sie es in die nächste Kategorie.

4. Multiplizieren Sie die Zehnerstelle mit der Zahl y, addieren Sie die Zahl q 1 zum resultierenden Produkt und wiederholen Sie den in den Absätzen beschriebenen Vorgang. 2 und 3.

5. Der Multiplikationsprozess endet, wenn die höchstwertige Ziffer multipliziert wird.

Wie Sie wissen, läuft die Multiplikation einer Zahl x mit einer Zahl der Form 10 k auf das Hinzufügen von k Nullen zur Dezimalschreibweise einer gegebenen Zahl hinaus. Zeigen wir es. Multiplizieren Sie die Zahl x=a n ×10 n +a n–1 ×10 n–1 +…+a 1 ×10+a 0 mit 10 k:

(a n ×10 n +a n–1 ×10 n–1 +…+a 1 ×10+a 0)×10 k =a n ×10 n+ k +a n–1 ×10 n+ k –1 +… +a 0 × 10 k . Der resultierende Ausdruck ist die Summe der Ziffernterme der Zahl, da sie gleich ist

a n ×10 n+ k +a n–1 ×10 n+ k –1 +…+a 0 ×10 k +0×10 k -1 +0×10 k –2 +…+0×10 +0.

Z.B,

347 10 3 =(3 10 2 +4 10+7) 10 3 =3 10 5 +4 10 4 +7 10 3 =3 10 5 +4 10 4 +7 10 3 +0·10 2 + +0·10 +0= =347000

Beachten wir auch, dass die Multiplikation mit der Zahl y×10 k, wobei y eine einstellige Zahl ist, auf die Multiplikation mit der einstelligen Zahl y und der Zahl 10 k reduziert wird. Zum Beispiel: 52×300=52×(3×10 2)=(52×3)×10 2 =156×10 2 =15600.

Betrachten wir nun den Algorithmus zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl. Wenden wir uns zunächst dem Beispiel zu, mit dem wir begonnen haben, ᴛ.ᴇ. zum Werk 428 × 263. Stellen wir uns die Zahl 263 als die Summe von 2 vor × 10 2 +6× 10+3 und schreibe das Produkt 428 × (2× 10 2 + 6× 10 + 3). Gemäß der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition beträgt sie 428 × (2× 10 2) + 428× (6× 10) + 428× 3. Von hier aus erhalten wir unter Anwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation: (428 × 2) × 10 2 +(428× 6)× 10+428× 3. Wir sehen, dass die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 428 mit der mehrstelligen Zahl 263 auf die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 428 mit den einstelligen Zahlen 2,6 und 3 sowie mit Zehnerpotenzen reduziert wurde.

Lassen Sie uns überlegen Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl in allgemeiner Form.

Seien x und y mehrstellige Zahlen und y=b m ×10 m +b m –1 ×10 m –1 +…+b 0. Aufgrund der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition sowie der Assoziativität der Multiplikation können wir schreiben:

x×y=x×(b m ×10 m +b m –1 ×10 m –1 +…+b 0)=(x×b m)×10 m +(x×b m –1)×10 m –1 +… +b 0 ×x. Durch sukzessives Multiplizieren der Zahl x mit einstelligen Zahlen b m, b m –1, …, b 0 und dann mit 10 m, 10 m –1, …, 1 erhalten wir Terme, deren Summe gleich x × y ist.

Formuliert in allgemeiner Form einen Algorithmus zur Multiplikation der Zahl x= mit der Zahl y =.

1. Notieren Sie den Faktor x darunter, den zweiten Faktor y.

2. Multiplizieren Sie die Zahl x mit der niedrigstwertigen Ziffer b 0 der Zahl y und schreiben Sie das Produkt x × b 0 unter die Zahl y.

3. Multiplizieren Sie die Zahl x mit der nächsten Ziffer b 1 der Zahl y und schreiben Sie das Produkt x × b 1, jedoch um eine Ziffer nach links verschoben, was der Multiplikation von x × b 1 mit 10 entspricht.

4. Wir berechnen weiterhin Produkte, bis wir x×b k berechnen.

5. Wir addieren die resultierenden k+1 Produkte.

Das Studium des Algorithmus zur Multiplikation mehrstelliger Zahlen im Mathematik-Grundkurs erfolgt in der Regel nach den identifizierten Stufen. Die einzigen Unterschiede bestehen in der Aufnahme. Wenn sie beispielsweise den Fall der Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl begründen, schreiben sie:

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400× 3 + 20× 3 + 8× 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284.

Die Grundlage der durchgeführten Transformationen sind:

Darstellung des ersten Multiplikators als Summe von Zifferntermen (ᴛ.ᴇ. Aufnahme einer Zahl im dezimalen Zahlensystem);

Die Regel zum Multiplizieren einer Summe mit einer Zahl (oder die Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition);

„Runde“ (ᴛ.ᴇ. mit Nullen endende) Zahlen mit einer einstelligen Zahl multiplizieren, was auf die Multiplikation einstelliger Zahlen hinausläuft.

Basierend auf der Definition dieser Aktion kann die Multiplikation einstelliger Zahlen erfolgen. Um aber nicht jedes Mal auf die Definition zurückgreifen zu müssen, werden alle Produkte einstelliger Zahlen in einer speziellen Tabelle, der sogenannten Multiplikationstabelle für einstellige Zahlen, niedergeschrieben und gespeichert.

Multiplizieren wir zum Beispiel mit einer Spalte von 428 mit 263.

Wir sehen, dass wir, um die Antwort zu erhalten, 428 mit 3, 6 und 2 multiplizieren mussten, d. h. eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl multiplizieren; aber nach der Multiplikation mit 6 wurde das Ergebnis auf besondere Weise geschrieben, indem die Einheiten der Zahl 2568 unter die Zehner gestellt wurden, da sie mit 60 multipliziert wurden und die Zahl 25680 erhielten, aber die Null wurde am Ende des Datensatzes weggelassen. Der Term 856 ist das Ergebnis der Multiplikation mit 2 Hundertern, d.h. die Zahl ist 85600. Außerdem mussten wir die Summe mehrstelliger Zahlen ermitteln.

Um also eine mehrstellige Zahl mit einer mehrstelligen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie in der Lage sein:

Multiplizieren Sie eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl und einer Zehnerpotenz.

Fügen Sie mehrstellige Zahlen hinzu.

Schauen wir uns zunächst die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl an. Multiplizieren wir zum Beispiel 428 mit 3. Nach der Regel zum Schreiben von Zahlen im dezimalen Zahlensystem lässt sich 428 als 4∙10² + 2∙10 + 8 und dann 428∙3 = (4∙10² + 2∙) darstellen 10 + 8) ∙ 3 ; Basierend auf der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition öffnen wir die Klammern: (4∙10²) ∙ ∙ ∙ (2∙10)∙ ∙ + 8 ∙ З

Die Produkte in Klammern können mithilfe der einstelligen Multiplikationstabelle ermittelt werden. Wir sehen, dass die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl auf die Multiplikation einstelliger Zahlen reduziert wurde. Um jedoch das Endergebnis zu erhalten, müssen Sie den Ausdruck 12∙10² + 6∙10 + 24 transformieren – die Koeffizienten vor den Zehnerpotenzen müssen kleiner als 10 sein. Stellen Sie sich dazu die Zahl 12 als 1 10 + vor 2 und die Zahl 24 als 2 · 10 + 4. Dann öffnen wir die Klammern und gruppieren die Terme basierend auf der Assoziativität der Addition und der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition.

Die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl basiert also auf:

Zahlen im dezimalen Zahlensystem schreiben;

Eigenschaften der Addition und Multiplikation;

Einstellige Additions- und Multiplikationstabellen.

Lassen Sie uns die Regel zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl in allgemeiner Form herleiten. Es sei erforderlich, x = x zu multiplizieren = ,

zu einer einstelligen Zahl y:

x ∙ y = (a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + a 0) ∙ J

Darüber hinaus werden die Transformationen basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation durchgeführt. Anschließend ersetzen wir mithilfe der Multiplikationstabelle alle Produkte a bis ∙ y =b bis ∙ ∙10 + s und wir bekommen:

x ∙ y = (b n ∙ 10 + c n) ·10n+(b n -1 ∙10 + c n -1 ·) ∙10 n -1 + … +(b 1 ∙10 + s 1) ·10+(b 0 10 + c 0) =

bn ∙ 10n +(mit n + b n -1) ∙10 n + … +(c 1 + b 0) · 10 + von 0

Mithilfe der Additionstabelle ersetzen wir die Summen sk + b re-1, Wo 0 £ bis £ n Und Zu: = 0, 1, 2, ..., N, deren Bedeutungen. Wenn zum Beispiel ab 0 eindeutig, dann ist die letzte Ziffer des Produkts gleich ab 0. Wenn ab 0 = 10 + m 0, dann ist die letzte Ziffer gleich m 0, und zur Klammer ( c 1 + b 0) müssen wir 1 addieren. Wenn wir diesen Vorgang fortsetzen, erhalten wir die Dezimalschreibweise der Zahl x ∙ y.

Der beschriebene Prozess ermöglicht es uns, in allgemeiner Form einen Algorithmus zur Multiplikation einer mehrstelligen Zahl zu formulieren X= a n a n -1 ...a 1 a 0 zu einer einstelligen Zahl y.

1. Schreiben Sie die zweite Zahl unter die erste.

2. Multiplizieren Sie die Einerstelle der Zahl x mit der Zahl y. Wenn das Produkt kleiner als 10 ist, schreiben wir es in die Einheitenkategorie der Antwort und gehen zur nächsten Kategorie (Zehner) über.

3. Wenn das Produkt der Ziffern der Einheiten der Zahl x mal der Zahl y größer oder gleich 10 ist, dann stellen wir es in der Form dar 10 q 1 + c 0; , Wo c 0– einstellige Zahl; aufschreiben c 0 in die Kategorie der Antworteinheiten einordnen und merken q 1- Übergang zur nächsten Kategorie.

4. Multiplizieren Sie die Zehnerstellen mit der Zahl y und addieren Sie die Zahl zum resultierenden Produkt q 1 und wiederholen Sie den in den Absätzen beschriebenen Vorgang. 2 und 3.

5. Der Multiplikationsprozess endet, wenn die höchstwertige Ziffer multipliziert wird.

Wie Sie wissen, multiplizieren Sie eine Zahl X zu einer Zahl des Formulars 10 kommt es darauf an, eine bestimmte Zahl der Dezimalschreibweise zuzuordnen Zu Nullen. Zeigen wir es. Lasst uns die Zahl multiplizieren)

X = a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + a 0 An 10 :

(a n ·10 n + a n -1 ·10 n -1 + ... +a 1 · 10 + a 0) × 10

Der resultierende Ausdruck ist die Summe der Ziffernterme der Zahl

a n a n -1 …a 1 a 0 0…0, da es gleich ist

a n ·10 n + + a n -1 ·10 n + -1 + ... + a 0 · 10+ 0 × 10+ 0 × 10+…+ 0 × 10 + 0.

Zum Beispiel: 347 × 10³ ⁵⁴ = (3× 10² + 4 ×10 + 7) × 10³ = 3 × 10⁵ + 4 × 10⁴ + 7 × 10³ + 0 × 10² + 0 × 10 + 0 = 347000.

Beachten Sie auch die Multiplikation mit einer Zahl y × 10 , wobei y eine einstellige Zahl ist, reduziert sich auf die Multiplikation mit einer einstelligen Zahl bei und nach Nummer 10 . Zum Beispiel 52 × 300 = 52 × (3 × 10²) = (52× 3) = 156 × 10² = 15600.

Betrachten wir nun den Algorithmus zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl. Wenden wir uns zunächst dem Beispiel zu, mit dem wir begonnen haben, d. h. zum Produkt 428 × 263. Stellen wir uns die Zahl 263 als die Summe 2 × 10² + 6 × 10 + 3 vor und schreiben wir das Produkt 428 × (2 × 10² + 6 × 10 + 3). Sie beträgt gemäß der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition 428 × (2 × 10 ²) + 428 × (6 × 10) + 428 × 3. Von hier aus erhalten wir unter Anwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation: (428 × 2) × 10² + (428 × 6) ×10 + 428 × 3. Wir sehen, dass die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 428 mit der mehrstelligen Zahl 263 auf die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 428 mit den einstelligen Zahlen 2, 6 und 3 sowie mit Zehnerpotenzen reduziert wurde.

Betrachten wir die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl in allgemeiner Form. Seien x und y mehrstellige Zahlen und y

bei= b 10 + b 10 + ... + b 1 10 + b 0 ,

Aufgrund der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition sowie der Assoziativität der Multiplikation können wir schreiben: x × y = (x b 10 + b 10 + ... + b 1 10 + b 0) = x · b 1 mal 10.

4. Wir berechnen die Produkte bis zur Berechnung weiter x schwarz.

5. Erhalten k + 1 Wir addieren die Arbeiten.

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 8 × 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Die Basis der durchgeführten Umrechnungen sind:

Darstellung des ersten Multiplikators als Summe von Zifferntermen (d. h. Schreiben einer Zahl im dezimalen Zahlensystem);

die Regel zum Multiplizieren einer Summe mit einer Zahl (oder die Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition);

„Runde“ (d. h. mit Nullen endende) Zahlen mit einer einstelligen Zahl multiplizieren, was einer Multiplikation einstelliger Zahlen gleichkommt.

Einführung

Meine Forschungsarbeit ist der Rechenoperation der russischen Volksmultiplikation gewidmet, die eine Reihe interessanter historischer Momente ans Licht brachte.

Ich fange aus der Ferne an: Betrachten Sie eine einfache Multiplikationstabelle, die jeder aus der Schule kennt. Die Multiplikationstabelle, auch Pythagoräische Tabelle genannt (Abb. 1.1), ist eine Tabelle, in der die Zeilen und Spalten mit Faktoren überschrieben sind und die Zellen der Tabelle ihr Produkt enthalten.

Das berühmte pythagoräische Einmaleins wird zweifellos als das größte intellektuelle Produkt des „Know-hows“ in der Geschichte der Menschheit bezeichnet. Neben der bekannten Verwendung der klassischen Multiplikationstabelle zur Entwicklung praktischer Fähigkeiten bei der Multiplikation natürlicher Zahlen kann sie auch in einigen mathematischen Beweisen verwendet werden, beispielsweise bei der Ableitung der Formel für die Summe der Kubikzahlen natürlicher Zahlen oder beim Erhalten einer ähnlichen Formel Ausdruck für die Summe der Quadrate.

Doch nicht nur der große Pythagoras dachte und lehrte seine Umgebung, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, mit Zahlen zu operieren.

Sehr weit entfernt von der griechischen Stadt Kroton, in der Pythagoras wirkte, und auch viele Jahre später und kaum unter dem direkten Einfluss von Pythagoras, gab es in Russland offenbar kreative Individuen, die nicht an das Dogma des Christentums gebunden waren Vollständigkeit der Arithmetik. Und hier ist ein hervorragendes Beispiel dafür, wie das russische Volk erneut das „pythagoräische“ Fahrrad erfand. Leider ist nicht genau bekannt, wann und von wem genau diese meiner Meinung nach nicht minder großartige Erfindung entdeckt wurde.

Erstens ist dies nicht die pythagoräische Multiplikationsmethode. Dies ist eine weitere Multiplikationsmethode, deren wahrer Ursprung noch nicht geklärt ist. Hier gibt es kein berühmtes Einmaleins, aber es gibt Manipulationen, die zum gewünschten Ergebnis führen.

Und das ist der Hauptpunkt im Problem der neuen Wissenschaft – der numerischen Wissenschaft, wo es die Entdeckung neuer Manipulationen mit Zahlen und Zahlen ist, die wirklich ungewöhnliche Wege eröffnet, ihre Geheimnisse zu verstehen. Diese Multiplikationsmethode wird als russische Volkszählung oder, wie sie auch genannt wird, als russische „Bauern“-Multiplikationsmethode bezeichnet.

Der Zweck meiner Arbeit besteht darin, neue Möglichkeiten beim Schreiben von Programmen mithilfe einer sehr interessanten Multiplikationsmethode zu studieren und zu entdecken – der Methode der russischen Volksmultiplikation.

Aber warum ist diese wenig bekannte, vor langer Zeit erfundene Methode der Multiplikation für uns so wichtig? Wo wird es jetzt verwendet? Ich werde später darüber schreiben. Schauen wir uns nun den Algorithmus der russischen Volksmultiplikation an.

Multiplikationsalgorithmus

Schauen wir uns das Funktionsprinzip dieser Methode an:

Lassen Sie uns zwei Zahlen multiplizieren: 987 und 1998.

1. Schreiben Sie eines links, das andere rechts in die Zeile (Abbildung 2).

2. Wir dividieren die linke Zahl durch 2, multiplizieren die rechte Zahl mit 2 und schreiben die Ergebnisse in die Spalte darunter (entsteht bei der Division ein Rest, wird dieser verworfen und der ganze Teil aufgeschrieben).

Um eine mehrstellige Zahl mit einer mehrstelligen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie in der Lage sein:

Multiplizieren Sie eine mehrstellige Zahl mit einer einstelligen Zahl und einer Zehnerpotenz.

Fügen Sie mehrstellige Zahlen hinzu.

Der Algorithmus zur Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl basiert auf folgenden theoretischen Fakten:

Eigenschaften der Addition und Multiplikation;

Tabellen zum Addieren und Multiplizieren einstelliger Zahlen.

Aufgabe 6. Veranschaulichen Sie die theoretischen Grundlagen des Multiplikationsalgorithmus, indem Sie das Produkt 537·4 berechnen.

Lösung. Nach der Regel zum Schreiben von Zahlen im dezimalen Zahlensystem lässt sich 537 als 5·102 + 3·10 + 7 darstellen und dann ist 537·4 = (5·102 + 3·10 + 7)·4. Basierend auf der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition öffnen wir die Klammern: (5·102)·4 + (3·10)·4 + 7·4. Als nächstes verwenden wir die Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation: (5·4)·102 + (3·4)·10 + (7·4). Die Produkte in Klammern können mithilfe der Tabelle zur Multiplikation einstelliger Zahlen ermittelt werden: 20·102 + 12·10 + 28. Wir sehen, dass die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl auf die Multiplikation einstelliger Zahlen reduziert wurde Zahlen. Aber um das Endergebnis zu erhalten, müssen wir den Ausdruck 20 · 102 + 12 · 10 + 28 transformieren – die Koeffizienten der Zehnerpotenzen müssen kleiner als 10 sein. Stellen Sie sich dazu die Zahl 20 als 2 · 10 vor, die Zahl 12 als 1 10 + 2 und die Zahl 28 in der Form 2·10 + 8. Dann öffnen wir im Ausdruck (2·10)·102 + (1·10 + 2)·10 + + (2·10 + 8). die Klammern: 2·103 + 1·102 + 2·10 + 2·10 + 8.

Basierend auf der Assoziativität der Addition und der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition gruppieren wir die Terme 2 10 und 2 10 und nehmen 10 aus Klammern: 2 103 + 1 102 + (2 + 2) 10 + 8. Die Summe 2 + 2 ist die Summe einstelliger Zahlen und kann mithilfe der Additionstabelle ermittelt werden: 2·103 + 1·102 + 4·10 + 8. Der resultierende Ausdruck ist die Dezimalschreibweise der Zahl 2148, d. h. 537 4 = 2148.

Im Allgemeinen ein Algorithmus zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl bei in einer Spalte wird es wie folgt formuliert:

Schreiben Sie die zweite Zahl unter die erste.

Multiplizieren der Ziffern der Einerstelle einer Zahl X pro Zahl u. Wenn das Produkt kleiner als 10 ist, schreiben wir es in die Einheitenkategorie der Antwort und gehen zur nächsten Kategorie (Zehner) über.

Ist das Produkt der Ziffern der Einheiten einer Zahl X pro Zahl bei größer oder gleich 10, dann stellen wir es als 10 dar q1+ c0, Wo с0 – einstellige Zahl; aufschreiben c0 in die Kategorie der Antworteinheiten einordnen und merken q1– Übergang zur nächsten Kategorie.

Multiplizieren Sie die Zehnerstellen mit der Zahl ja, Addiere die Zahl zum resultierenden Produkt q1 und wiederholen Sie den in den Absätzen 2 und 3 beschriebenen Vorgang.

Der Multiplikationsprozess endet, wenn die höchstwertige Ziffer multipliziert wird.

Wie Sie wissen, multiplizieren Sie eine Zahl X auf eine Zahl wie 10 k kommt es darauf an, eine bestimmte Zahl der Dezimalschreibweise zuzuordnen k Nullen. Zeigen wir es.

Lass uns die Zahl multiplizieren am 10 k: . Der resultierende Ausdruck ist die Summe der Ziffernterme der Zahl

da gleich.

Beispiel: 635 103 = (6 102 + 3 10 + 5) 103 = 6 105 + 3 104 + 5 103 = 6 105 + 3 104 + 5 103 + 0 102 + 0 · 10 + 0 = 635000.

Beachten Sie auch die Multiplikation mit einer Zahl j·10 k, Wo bei- eine einstellige Zahl, reduziert auf Multiplikation mit einer einstelligen Zahl bei und zur Zahl 10 k. Zum Beispiel: 43·500 = 43·(5·10 2 ) = (43 5) 10 2 =215·102 = 21500.

Aufgabe 7. Veranschaulichen Sie den Algorithmus zum Multiplizieren einer mehrstelligen Zahl 437 mit einer mehrstelligen Zahl 254.

Lösung. Stellen wir uns die Zahl 254 als die Summe 2·102 + 5·1 0+ 4 vor und schreiben wir das Produkt 437·(2·102 + 5·10 + 4). Gemäß der Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition ist sie gleich 437·(2·102) + + 437·(5·10) + 437·4. Von hier aus erhalten wir unter Anwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation (437·2)·102 + (437·5)·10 + 437·4. Wir sehen, dass die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 437 mit der mehrstelligen Zahl 254 auf die Multiplikation der mehrstelligen Zahl 437 mit den einstelligen Zahlen 2, 5 und 4 sowie mit Zehnerpotenzen reduziert wurde. So haben wir erhalten: 87400 + 21850 + 1748. Mit dem Algorithmus zum Addieren mehrstelliger Zahlen erhalten wir:

Also 437·254 = 110998.

Lassen Sie uns in allgemeiner Form den Algorithmus zum Multiplizieren einer Zahl formulieren pro Nummer .

1. Notieren Sie den Multiplikator X und darunter der zweite Faktor u.

2. Multiplizieren Sie die Zahl X in den Juniorenrang b0 Zahlen bei und nimm das Stück auf X·b0 unter der Nummer u.

3. Multiplizieren Sie die Zahl X zum nächsten Level b1, Zahlen bei und nimm das Stück auf X·b1, sondern um ein Bit nach links verschoben, was einer Multiplikation entspricht X·b1 am 10.

4. Wir berechnen die Produkte bis zur Berechnung weiter X·bk.

5. Erhalten k+ 1 Produkt hinzugefügt.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Veranschaulichen Sie die theoretischen Grundlagen des Algorithmus zur Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl, indem Sie das Produkt 468·3 berechnen.

2. Veranschaulichen Sie die theoretischen Grundlagen des Algorithmus zur Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer mehrstelligen Zahl, indem Sie das Produkt 362·175 berechnen.

3. Multiplizieren Sie Zahlen mit Spaltenschreibweise und erläutern Sie jeden Schritt des Algorithmus: a) 873·36; c) 6030·345; b) 7365·64; d) 5478·346.

4. Finden Sie mithilfe der Eigenschaften der Multiplikation den rationalsten Weg, den Wert des Ausdrucks zu berechnen:

a) 8·13·4·125·25; b) 24·(27·125); c) (88 + 48) 125; d) 124·4 + 116·4;

e) (3750 - 125) 8; e) 1779·1243 - 779·1243.

5. Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks auf rationale Weise:

a) (420 - 394) 405 - 25 405; b) 105·209 + (964 - 859)·209·400.

Typ