Was ist die Summe zweier Beine? Verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen: Beispiele, Beschreibungen und Rezensionen. Beispiele, die Ihnen helfen, Formeln zu verstehen

Stellen Sie sicher, dass das Dreieck, das Sie erhalten, ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. In rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.

• Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein Quadratsymbol angezeigt und nicht durch das Kurvensymbol, das schräge Winkel darstellt.

Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks. Beschriften Sie die Beine mit „a“ und „b“ (Beine sind Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit „c“ (Hypotenuse ist die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden möchten. Mit dem Satz des Pythagoras können Sie jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden (sofern die anderen beiden Seiten bekannt sind). Bestimmen Sie, welche Seite (a, b, c) Sie finden müssen.

• Zum Beispiel bei einer Hypotenuse von 5 und einem Bein von 3. In diesem Fall ist es notwendig, das zweite Bein zu finden. Wir werden später auf dieses Beispiel zurückkommen.
• Wenn die anderen beiden Seiten unbekannt sind, müssen Sie die Länge einer der unbekannten Seiten ermitteln, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Verwenden Sie dazu grundlegende trigonometrische Funktionen (wenn Sie den Wert eines der schrägen Winkel erhalten).

Setzen Sie die Ihnen angegebenen Werte (oder die von Ihnen gefundenen Werte) in die Formel a 2 + b 2 = c 2 ein. Denken Sie daran, dass a und b Beine sind und c die Hypotenuse ist.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 3² + b² = 5².

Quadrieren Sie jede bekannte Seite. Oder lassen Sie die Potenzen weg – Sie können die Zahlen später quadrieren.

• Schreiben Sie in unserem Beispiel: 9 + b² = 25.

Isolieren Sie die unbekannte Seite auf einer Seite der Gleichung.Übertragen Sie dazu die bekannten Werte auf die andere Seite der Gleichung. Wenn Sie die Hypotenuse finden, ist sie im Satz des Pythagoras bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert (Sie müssen also nichts tun).

• Verschieben Sie in unserem Beispiel 9 auf die rechte Seite der Gleichung, um das unbekannte b² zu isolieren. Sie erhalten b² = 16.

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung, nachdem Sie auf der einen Seite der Gleichung die Unbekannte (Quadrat) und auf der anderen Seite den Achsenabschnitt (eine Zahl) haben.

• In unserem Beispiel ist b² = 16. Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung und erhalten Sie b = 4. Das zweite Bein ist also 4.

Nutzen Sie den Satz des Pythagoras in Ihrem täglichen Leben, da er auf eine Vielzahl praktischer Situationen angewendet werden kann. Lernen Sie dazu, rechtwinklige Dreiecke im Alltag zu erkennen – in jeder Situation, in der sich zwei Objekte (oder Linien) im rechten Winkel schneiden und ein drittes Objekt (oder eine dritte Linie) die Spitzen der ersten beiden Objekte (oder) (diagonal) verbindet Linien), können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die unbekannte Seite zu finden (sofern die anderen beiden Seiten bekannt sind).

• Beispiel: Angenommen, eine Treppe lehnt an einem Gebäude. Die Unterseite der Treppe liegt 5 Meter vom Fuß der Mauer entfernt. Die Spitze der Treppe befindet sich 20 Meter über dem Boden (die Wand hinauf). Wie lang ist die Treppe?
  • „5 Meter vom Mauerfuß entfernt“ bedeutet, dass a = 5; „20 Meter über dem Boden gelegen“ bedeutet, dass b = 20 (d. h. Sie erhalten zwei Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, da sich die Gebäudewand und die Erdoberfläche im rechten Winkel schneiden). Die Länge der Treppe entspricht der Länge der Hypotenuse, die unbekannt ist.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Somit beträgt die ungefähre Länge der Treppe 20,6 Meter.

Eines können Sie hundertprozentig sicher sein: Auf die Frage nach dem Quadrat der Hypotenuse wird jeder Erwachsene kühn antworten: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieser Satz ist fest in den Köpfen jedes gebildeten Menschen verankert, aber man muss nur jemanden bitten, ihn zu beweisen, und schon können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns daher und überlegen wir uns verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Kurze Biografie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biographie der Person, die ihn in die Welt gesetzt hat, nicht so beliebt. Dies kann behoben werden. Bevor Sie sich mit den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes von Pythagoras befassen, müssen Sie daher kurz seine Persönlichkeit kennenlernen.

Pythagoras - Philosoph, Mathematiker, Denker ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biographie von den Legenden zu unterscheiden, die sich zum Gedenken an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Werken seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, nach der der Junge benannt wurde. Ihrer Vorhersage zufolge sollte der geborene Junge der Menschheit viel Nutzen und Gutes bringen. Genau das hat er getan.

Geburt des Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort berühmte ägyptische Weise zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen durfte er studieren, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Das mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Doch er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen durchführten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Methode zum Beweis dieses Theorems bekannt, sondern mehrere gleichzeitig. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen durchgeführt haben. Deshalb werden wir uns hier verschiedene Möglichkeiten ansehen, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen möchten. Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Es gibt 15 verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Dies ist eine ziemlich große Zahl, daher konzentrieren wir uns auf die beliebtesten davon.

Methode eins

Lassen Sie uns zunächst definieren, was uns gegeben wurde. Diese Daten gelten auch für andere Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras, daher lohnt es sich, sich sofort alle verfügbaren Notationen zu merken.

Angenommen, wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und einer Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert auf der Tatsache, dass Sie aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat zeichnen müssen.

Dazu müssen Sie dem Bein der Länge a ein Segment hinzufügen, das dem Bein b entspricht, und umgekehrt. Dadurch sollten zwei gleiche Seiten des Quadrats entstehen. Jetzt müssen nur noch zwei parallele Linien gezeichnet werden, und schon ist das Quadrat fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat zeichnen, dessen Seite der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks entspricht. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ас und св aus zwei parallele Segmente zeichnen, die gleich s sind. Somit erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Jetzt muss nur noch das vierte Segment gezeichnet werden.

Basierend auf der resultierenden Zahl können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 beträgt. Wenn Sie in die Abbildung hineinschauen, können Sie erkennen, dass es neben dem inneren Quadrat noch vier rechtwinklige Dreiecke gibt. Die Fläche beträgt jeweils 0,5av.

Daher ist die Fläche gleich: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Daher ist (a+c) 2 =2ab+c 2

Und daher ist c 2 =a 2 +b 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde auf der Grundlage einer Aussage aus dem Abschnitt der Geometrie über ähnliche Dreiecke abgeleitet. Es besagt, dass der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks im Durchschnitt proportional zu seiner Hypotenuse und dem Abschnitt der Hypotenuse ist, der vom Scheitelpunkt des 90°-Winkels ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also beginnen wir gleich mit dem Beweis. Zeichnen wir ein Segment CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Seiten der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch die Quadrierung beider Ungleichungen abgeschlossen werden.

AC 2 = AB * AD und CB 2 = AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), wobei AD + DV = AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Der Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Methoden zu seiner Lösung erfordern eine vielseitige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Beschreibungen verschiedener Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen, bedeuten möglicherweise nichts, bis Sie anfangen, ihn selbst zu üben. Viele Techniken beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

In diesem Fall ist es notwendig, ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD von der Seite BC aus zu vervollständigen. Somit gibt es nun zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Schenkel BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann gilt:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(von 2 - bis 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

von 2 - bis 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Da diese Option von den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die 8. Klasse kaum geeignet ist, können Sie die folgende Methode verwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Rezensionen

Historikern zufolge wurde diese Methode erstmals im antiken Griechenland zum Beweis des Satzes verwendet. Es ist das einfachste, da es keinerlei Berechnungen erfordert. Wenn Sie das Bild richtig zeichnen, ist der Beweis der Aussage a 2 + b 2 = c 2 deutlich sichtbar.

Die Bedingungen für diese Methode unterscheiden sich geringfügig von der vorherigen. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen ihre drei Seiten. Darüber hinaus ist es notwendig, in das resultierende Quadrat zwei diagonale Linien zu zeichnen. Darin entstehen also vier gleichschenklige Dreiecke.

Sie müssen außerdem ein Quadrat zu den Beinen AB und CB zeichnen und in jedes davon eine diagonale gerade Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite von C.

Jetzt müssen Sie sich die resultierende Zeichnung genau ansehen. Da es auf der Hypotenuse AC vier Dreiecke gibt, die dem Original entsprechen, und auf den Seiten zwei, zeigt dies die Richtigkeit dieses Satzes.

Dank dieser Methode zum Beweis des Satzes des Pythagoras entstand übrigens der berühmte Satz: „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“

Beweis von J. Garfield

James Garfield ist der zwanzigste Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er prägte nicht nur die Geschichte als Herrscher der Vereinigten Staaten, sondern war auch ein begnadeter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer öffentlichen Schule, wurde aber bald Direktor einer der höheren Bildungseinrichtungen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung ermöglichte es ihm, eine neue Theorie zum Beweis des Satzes des Pythagoras vorzuschlagen. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Eckpunkte dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um letztendlich ein Trapez zu bilden.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Betrachtet man das resultierende Trapez als eine aus drei Dreiecken bestehende Figur, so ergibt sich seine Fläche wie folgt:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis ließe sich mehr als ein Lehrbuchband schreiben. Aber gibt es einen Punkt, an dem dieses Wissen nicht in der Praxis angewendet werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Lehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur bei geometrischen Problemen vor. Absolventen werden bald die Schule verlassen, ohne zu wissen, wie sie ihr Wissen und ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden können.

Tatsächlich kann jeder den Satz des Pythagoras in seinem täglichen Leben anwenden. Und das nicht nur bei beruflichen Tätigkeiten, sondern auch bei alltäglichen Hausarbeiten. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang zwischen Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf dem Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie beispielsweise die Bewegung eines Lichtstrahls im Raum. Es ist bekannt, dass sich Licht in beide Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Nennen wir die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und nennen wir mal die Hälfte der Zeit, die Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen T. Und die Geschwindigkeit des Strahls - C. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie denselben Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ändert sich bei der Beobachtung von Körpern auf diese Weise ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall beginnen sich auch stationäre Elemente mit der Geschwindigkeit v in die entgegengesetzte Richtung zu bewegen.

Nehmen wir an, der Comicliner segelt nach rechts. Dann beginnen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl rast, nach links zu bewegen. Wenn sich der Strahl außerdem von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend erreicht das Licht bereits einen neuen Punkt C. Um die halbe Strecke zu ermitteln, um die sich Punkt A bewegt hat, müssen Sie multiplizieren die Geschwindigkeit des Liners um die Hälfte der Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit wandern könnte, müssen Sie die Hälfte des Weges mit einem neuen Buchstaben s markieren und den folgenden Ausdruck erhalten:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann teilt das Segment von Punkt A bis zum Liner dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke. Dank des Satzes des Pythagoras können Sie daher die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen kann.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben, es in der Praxis auszuprobieren. Betrachten wir daher alltäglichere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber welchen Nutzen hätten sie, wenn sie ihre Abonnenten nicht über Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit ein Telefon von einem Mobilfunkmast entfernt ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Nehmen wir an, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern verteilen kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Signalübertragungsradius) = 200 km;

OS (Radius des Globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras sogar in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, beispielsweise bei der Bestimmung der Höhe eines Kleiderschranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da die Messung einfach mit einem Maßband durchgeführt werden kann. Doch viele fragen sich, warum es bei der Montage zu gewissen Problemen kommt, wenn alle Maße mehr als genau genommen wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert und erst dann angehoben und an der Wand montiert wird. Daher muss sich die Seite des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl in der Höhe als auch in der Diagonale des Raums frei bewegen können.

Nehmen wir an, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke – 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm unter der Raumhöhe liegen sollte. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns anhand idealer Schrankabmessungen die Funktionsweise des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - alles passt.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Aufstellung in diesem Raum geeignet. Denn das Anheben in eine vertikale Position kann zu Schäden am Körper führen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler geprüft haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben nutzen und völlig sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.

Durchschnittsniveau

Rechtwinkliges Dreieck. Der komplette illustrierte Leitfaden (2019)

RECHTWINKLIGES DREIECK. ERSTE EBENE.

Bei Problemen ist der rechte Winkel überhaupt nicht notwendig - der untere linke, also müssen Sie lernen, ein rechtwinkliges Dreieck in dieser Form zu erkennen,

und darin

und darin

Was ist gut an einem rechtwinkligen Dreieck? Nun... erstens gibt es besonders schöne Namen für seine Seiten.

Achtung Zeichnung!

Denken Sie daran und verwechseln Sie nicht: Es gibt zwei Beine und nur eine Hypotenuse(das Einzige, das Einzige und das Längste)!

Nun, wir haben die Namen besprochen, jetzt kommt das Wichtigste: der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras.

Dieser Satz ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck. Es wurde von Pythagoras vor unvordenklichen Zeiten bewiesen und hat seitdem denjenigen, die es kennen, großen Nutzen gebracht. Und das Beste daran ist, dass es einfach ist.

Also, Satz des Pythagoras:

Erinnern Sie sich an den Witz: „Die Hosen des Pythagoras sind auf allen Seiten gleich!“?

Lassen Sie uns dieselben pythagoräischen Hosen zeichnen und sie betrachten.

Sieht es nicht aus wie eine Art Shorts? Nun, auf welchen Seiten und wo sind sie gleich? Warum und woher kam der Witz? Und dieser Witz hängt genau mit dem Satz des Pythagoras zusammen, oder genauer gesagt mit der Art und Weise, wie Pythagoras selbst seinen Satz formulierte. Und er hat es so formuliert:

"Summe Flächen von Quadraten, auf den Beinen gebaut, ist gleich quadratische Fläche, auf der Hypotenuse aufgebaut.“

Klingt es wirklich etwas anders? Und als Pythagoras die Aussage seines Theorems zeichnete, ergab sich genau dieses Bild.

In diesem Bild ist die Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats. Und damit sich Kinder besser daran erinnern können, dass die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hat sich jemand Witziger diesen Witz über pythagoreische Hosen ausgedacht.

Warum formulieren wir jetzt den Satz des Pythagoras?

Hat Pythagoras gelitten und über Quadrate gesprochen?

Sehen Sie, in der Antike gab es keine... Algebra! Es gab keine Schilder usw. Es gab keine Inschriften. Können Sie sich vorstellen, wie schrecklich es für die armen alten Schüler war, sich alles in Worten zu merken??! Und wir können uns freuen, dass wir eine einfache Formulierung des Satzes des Pythagoras haben. Wiederholen wir es noch einmal, um uns besser daran zu erinnern:

Es sollte jetzt einfach sein:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Nun, der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke wurde besprochen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie es bewiesen wird, lesen Sie die folgenden Theorieebenen und gehen wir nun weiter ... in den dunklen Wald ... der Trigonometrie! Zu den schrecklichen Worten Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Tatsächlich ist alles gar nicht so beängstigend. Natürlich sollte im Artikel auf die „echte“ Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingegangen werden. Aber ich will es wirklich nicht, oder? Wir können uns freuen: Um Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, können Sie einfach die folgenden einfachen Dinge ausfüllen:

Warum ist alles gleich um die Ecke? Wo ist die Ecke? Um dies zu verstehen, müssen Sie wissen, wie die Aussagen 1 – 4 in Worten geschrieben werden. Schauen Sie, verstehen Sie und erinnern Sie sich!

1.
Eigentlich hört es sich so an:

Was ist mit dem Winkel? Gibt es ein Bein, das der Ecke gegenüberliegt, also ein gegenüberliegendes (für einen Winkel) Bein? Natürlich gibt es! Das ist ein Bein!

Was ist mit dem Winkel? Schauen Sie genau hin. Welches Bein grenzt an die Ecke? Natürlich das Bein. Dies bedeutet, dass für den Winkel das Bein benachbart ist und

Jetzt aufgepasst! Schauen Sie, was wir haben:

Sehen Sie, wie cool es ist:

Kommen wir nun zum Tangens und Kotangens.

Wie kann ich das jetzt in Worte fassen? Wie groß ist das Bein im Verhältnis zum Winkel? Gegenüber natürlich – es „liegt“ gegenüber der Ecke. Was ist mit dem Bein? Angrenzend an die Ecke. Was haben wir also?

Sehen Sie, wie Zähler und Nenner die Plätze getauscht haben?

Und jetzt noch einmal die Ecken und einen Austausch gemacht:

Zusammenfassung

Schreiben wir kurz alles auf, was wir gelernt haben.

Satz des Pythagoras:

Der wichtigste Satz über rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Erinnern Sie sich übrigens noch gut daran, was Beine und Hypotenuse sind? Wenn nicht sehr gut, dann schauen Sie sich das Bild an – frischen Sie Ihr Wissen auf

Es ist durchaus möglich, dass Sie den Satz des Pythagoras schon oft verwendet haben, aber haben Sie sich jemals gefragt, warum ein solcher Satz wahr ist? Wie kann ich es beweisen? Machen wir es wie die alten Griechen. Zeichnen wir ein Quadrat mit einer Seite.

Sehen Sie, wie geschickt wir seine Seiten in Längensegmente unterteilt haben!

Nun verbinden wir die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie selbst schauen sich die Zeichnung an und überlegen, warum das so ist.

Wie groß ist die Fläche des größeren Quadrats? Rechts, . Wie wäre es mit einer kleineren Fläche? Sicherlich, . Die Gesamtfläche der vier Ecken bleibt erhalten. Stellen Sie sich vor, wir hätten jeweils zwei davon genommen und sie mit ihren Hypotenusen aneinander gelehnt. Was ist passiert? Zwei Rechtecke. Das bedeutet, dass die Fläche der „Schnitte“ gleich ist.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Lassen Sie uns transformieren:

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf antike Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten folgende Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Und das alles noch einmal in Form eines Tablets:

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

I. Auf zwei Seiten

II. Durch Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beins und spitzer Winkel

A)

B)

Aufmerksamkeit! Dabei ist es sehr wichtig, dass die Beine „passend“ sind. Wenn es zum Beispiel so läuft:

DANN SIND DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden gegenüberliegend.

Ist Ihnen aufgefallen, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema an und achten Sie darauf, dass für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke drei ihrer Elemente gleich sein müssen: zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen oder drei Seiten. Für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke genügen jedoch nur zwei entsprechende Elemente. Großartig, oder?

Ähnlich verhält es sich mit den Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke

I. Entlang eines spitzen Winkels

II. Auf zwei Seiten

III. Durch Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Warum ist das so?

Betrachten Sie anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks ein ganzes Rechteck.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten einen Punkt – den Schnittpunkt der Diagonalen. Was ist über die Diagonalen eines Rechtecks ​​bekannt?

Und was folgt daraus?

Es stellte sich also heraus

1. - Median:

Denken Sie an diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch das Gegenteil der Fall ist.

Welchen Nutzen kann man aus der Tatsache ziehen, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schauen Sie genau hin. Wir haben: , das heißt, die Abstände vom Punkt zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks waren gleich. Aber im Dreieck gibt es nur einen Punkt, dessen Abstände von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich sind, und das ist der KREISMITTELPUNKT. Also was ist passiert?

Beginnen wir also mit diesem „Außerdem ...“.

Schauen wir uns an und.

Aber ähnliche Dreiecke haben alle gleiche Winkel!

Das Gleiche gilt für und

Jetzt lasst es uns zusammenfassen:

Welchen Nutzen lässt sich aus dieser „dreifachen“ Ähnlichkeit ziehen?

Nun, zum Beispiel - zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Schreiben wir die Beziehungen der entsprechenden Parteien auf:

Um die Höhe zu ermitteln, lösen wir die Proportionen und erhalten die erste Formel „Höhe im rechtwinkligen Dreieck“:

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir das Verhältnis und erhalten die zweite Formel:

Sie müssen sich beide Formeln gut merken und die bequemere verwenden. Schreiben wir sie noch einmal auf

Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel: .

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke:

• auf zwei Seiten:
• nach Bein und Hypotenuse: oder
• entlang des Beins und des angrenzenden spitzen Winkels: oder
• entlang des Beins und im entgegengesetzten spitzen Winkel: oder
• durch Hypotenuse und spitzen Winkel: oder.

Ähnlichkeitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

• eine spitze Ecke: oder
• aus der Proportionalität zweier Beine:
• aus der Proportionalität von Bein und Hypotenuse: oder.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck

• Der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse:
• Der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse:
• Der Tangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite:
• Der Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite: .

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks: oder.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der vom Scheitelpunkt des rechten Winkels ausgehende Median gleich der halben Hypotenuse: .

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

• über Beine:

Satz des Pythagoras: Summe der Flächen der auf Beinen ruhenden Quadrate ( A Und B), gleich der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats ( C).

Geometrische Formulierung:

Der Satz wurde ursprünglich wie folgt formuliert:

Algebraische Formulierung:

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks wird mit bezeichnet C, und die Längen der Beine durch A Und B :

A 2 + B 2 = C 2

Beide Formulierungen des Satzes sind gleichwertig, die zweite Formulierung ist jedoch einfacher; sie erfordert nicht den Begriff der Fläche. Das heißt, die zweite Aussage kann verifiziert werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras:

Nachweisen

Derzeit sind in der wissenschaftlichen Literatur 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Diese Vielfalt lässt sich nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklären.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon: Beweise nach der Flächenmethode, axiomatische und exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der Beweise, der direkt aus den Axiomen konstruiert wurde. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe ab C und bezeichne seine Basis mit H. Dreieck ACHähnlich einem Dreieck ABC an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC. Durch Einführung der Notation

wir bekommen

Was ist gleichwertig

Wenn wir es addieren, erhalten wir

Beweise mit der Flächenmethode

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Sie alle nutzen Flächeneigenschaften, deren Beweis komplexer ist als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

Beweis durch Äquikomplementarität

1. Ordnen wir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke an, wie in Abbildung 1 gezeigt.
2. Viereck mit Seiten C ist ein Quadrat, da die Summe zweier spitzer Winkel 90° und der gerade Winkel 180° beträgt.
3. Die Fläche der gesamten Figur entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit der Seite (a + b) und andererseits der Summe der Flächen von vier Dreiecken und zwei inneren Quadrate.

Q.E.D.

Beweise durch Äquivalenz

Eleganter Beweis mittels Permutation

Ein Beispiel für einen solchen Beweis ist in der Zeichnung rechts dargestellt, in der ein auf der Hypotenuse aufgebautes Quadrat in zwei auf den Seiten gebildete Quadrate neu angeordnet wird.

Euklids Beweis

Zeichnung für Euklids Beweis

Illustration für Euklids Beweis

Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate ist, und dann die Flächen von das große und zwei kleine Quadrate sind gleich.

Schauen wir uns die Zeichnung links an. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet. Er schneidet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke – BHJI und HAKJ. jeweils. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau den Flächen der Quadrate entsprechen, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind.

Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Grundfläche wie Das gegebene Rechteck ist gleich der halben Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (in der Abbildung nicht dargestellt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA gemäß obiger Eigenschaft gleich der halben Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich, die Dreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ist gleich. Nämlich - AB=AK,AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Wir drehen das Dreieck CAK um 90° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke in Frage wird übereinstimmen (aufgrund der Tatsache, dass der Winkel am Scheitelpunkt des Quadrats 90° beträgt).

Die Begründung für die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks ​​BHJI ist völlig ähnlich.

Damit haben wir bewiesen, dass sich die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats aus den Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate zusammensetzt. Die Idee hinter diesem Beweis wird durch die obige Animation weiter veranschaulicht.

Beweis von Leonardo da Vinci

Beweis von Leonardo da Vinci

Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung.

Betrachten wir die Zeichnung, wie aus der Symmetrie hervorgeht, als Segment CICH schneidet das Quadrat ABHJ in zwei identische Teile (da Dreiecke ABC Und JHICH gleich im Aufbau). Bei einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn erkennen wir die Gleichheit der schattierten Figuren CAJICH Und GDAB . Nun ist klar, dass die Fläche der von uns schattierten Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits entspricht sie der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Der letzte Schritt des Beweises bleibt dem Leser überlassen.

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Der folgende Beweis mithilfe von Differentialgleichungen wird oft dem berühmten englischen Mathematiker Hardy zugeschrieben, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte.

Schauen Sie sich die in der Abbildung gezeigte Zeichnung an und beobachten Sie den Seitenwechsel A können wir die folgende Beziehung für infinitesimale Seiteninkremente schreiben Mit Und A(unter Verwendung der Dreiecksähnlichkeit):

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Mit der Methode der Variablentrennung finden wir

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen

Wenn wir diese Gleichung integrieren und die Anfangsbedingungen verwenden, erhalten wir

C 2 = A 2 + B 2 + konstant.

So kommen wir zur gewünschten Antwort

C 2 = A 2 + B 2 .

Wie leicht zu erkennen ist, entsteht die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.

Ein einfacherer Beweis kann erhalten werden, wenn wir annehmen, dass eines der Beine kein Inkrement erfährt (in diesem Fall das Bein B). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante

Variationen und Verallgemeinerungen

• Wenn wir anstelle von Quadraten andere ähnliche Figuren auf den Seiten konstruieren, dann gilt die folgende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen ähnlicher Figuren, die auf den Seiten aufgebaut sind, gleich der Fläche der Figur, die auf der Hypotenuse aufgebaut ist. Insbesondere:
  • Die Summe der Flächen regelmäßiger Dreiecke, die auf den Beinen aufgebaut sind, ist gleich der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist.
  • Die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Halbkreise (sowie des Durchmessers) ist gleich der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Halbkreises. Dieses Beispiel wird verwendet, um die Eigenschaften von Figuren zu beweisen, die durch die Bögen zweier Kreise begrenzt werden und als hippokratische Lunulae bezeichnet werden.

Geschichte

Chu-pei 500–200 v. Chr. Links steht die Inschrift: Die Summe der Quadrate der Längen von Höhe und Basis ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse.

Das alte chinesische Buch Chu-pei spricht von einem pythagoräischen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: Dasselbe Buch bietet eine Zeichnung, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt.

Cantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3² + 4² = 5² den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt war. h., zur Zeit König Amenemhats I. (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten die Harpedonaptes oder „Seilzieher“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen wir ein 12 m langes Seil und binden wir im Abstand von 3 m einen farbigen Streifen daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Der rechte Winkel wird zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten geschlossen. Den Harpedonaptianern könnte man einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man beispielsweise einen Holzwinkel verwendet, der von allen Zimmerleuten verwendet wird. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerwerkstatt darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras bei den Babyloniern bekannt. In einem Text aus der Zeit Hammurabis, also aus dem Jahr 2000 v. h., es wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben. Daraus lässt sich schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einer kritischen Untersuchung griechischer Quellen kam Van der Waerden (niederländischer Mathematiker) zu folgendem Schluss:

Literatur

Auf Russisch

• Skopets Z. A. Geometrische Miniaturen. M., 1990
• Elensky Shch. Auf den Spuren von Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Erwachende Wissenschaft. Mathematik des alten Ägypten, Babylon und Griechenland. M., 1959
• Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. M., 1982
• W. Litzman, „Satz des Pythagoras“ M., 1960.
  • Eine Seite über den Satz des Pythagoras mit zahlreichen Beweisen, Material aus dem Buch von V. Litzmann, zahlreiche Zeichnungen werden in Form separater Grafikdateien präsentiert.
• Der Satz des Pythagoras und die pythagoräischen Tripel, Kapitel aus dem Buch von D. V. Anosov „Ein Blick auf die Mathematik und etwas daraus“
• Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis G. Glaser, Akademiker der Russischen Akademie für Pädagogik, Moskau

Auf Englisch

• Satz des Pythagoras bei WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, Abschnitt über den Satz des Pythagoras, ca. 70 Beweise und umfangreiche Zusatzinformationen (Englisch)

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Geometrie ist keine einfache Wissenschaft. Es kann sowohl für den Lehrplan als auch im wirklichen Leben nützlich sein. Die Kenntnis vieler Formeln und Theoreme vereinfacht geometrische Berechnungen. Eine der einfachsten Figuren der Geometrie ist ein Dreieck. Eine der Arten von Dreiecken, das gleichseitige, hat seine eigenen Eigenschaften.

Merkmale eines gleichseitigen Dreiecks

Per Definition ist ein Dreieck ein Polyeder mit drei Winkeln und drei Seiten. Dies ist eine flache zweidimensionale Figur, deren Eigenschaften in der High School untersucht werden. Je nach Winkelart unterscheidet man spitzwinklige, stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke. Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geometrische Figur, bei der einer der Winkel 90° beträgt. Ein solches Dreieck hat zwei Schenkel (sie bilden einen rechten Winkel) und eine Hypotenuse (sie liegt dem rechten Winkel gegenüber). Je nachdem, welche Größen bekannt sind, gibt es drei einfache Möglichkeiten, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen.

Die erste Möglichkeit besteht darin, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist die älteste Methode zur Berechnung einer beliebigen Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Es klingt so: „In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.“ Um die Hypotenuse zu berechnen, muss man also die Quadratwurzel aus der Summe zweier Katheten zum Quadrat ableiten. Zur Verdeutlichung werden Formeln und ein Diagramm angegeben.

Zweiter Weg. Berechnung der Hypotenuse anhand von 2 bekannten Größen: Schenkel und angrenzender Winkel

Eine der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks besagt, dass das Verhältnis der Länge des Schenkels zur Länge der Hypotenuse dem Kosinus des Winkels zwischen diesem Schenkel und der Hypotenuse entspricht. Nennen wir den uns bekannten Winkel α. Dank der bekannten Definition können Sie nun ganz einfach eine Formel zur Berechnung der Hypotenuse formulieren: Hypotenuse = leg/cos(α)

Dritter Weg. Berechnung der Hypotenuse anhand von 2 bekannten Größen: Bein und entgegengesetzter Winkel

Wenn der entgegengesetzte Winkel bekannt ist, ist es möglich, die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks wieder zu nutzen. Das Verhältnis der Beinlänge zur Hypotenuse entspricht dem Sinus des entgegengesetzten Winkels. Nennen wir den bekannten Winkel noch einmal α. Für die Berechnungen verwenden wir nun eine etwas andere Formel:
Hypotenuse = Seite/Sünde (α)

Beispiele, die Ihnen helfen, Formeln zu verstehen

Für ein tieferes Verständnis der einzelnen Formeln sollten Sie anschauliche Beispiele berücksichtigen. Angenommen, Sie erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden Daten:

• Bein – 8 cm.
• Der angrenzende Winkel cosα1 beträgt 0,8.
• Der Gegenwinkel sinα2 beträgt 0,8.

Nach dem Satz des Pythagoras: Hypotenuse = Quadratwurzel von (36+64) = 10 cm.
Je nach Beingröße und angrenzendem Winkel: 8/0,8 = 10 cm.
Je nach Beingröße und Gegenwinkel: 8/0,8 = 10 cm.

Sobald Sie die Formel verstanden haben, können Sie die Hypotenuse problemlos mit beliebigen Daten berechnen.

Video: Satz des Pythagoras