Diskriminante negative komplexe Wurzeln. Online-Rechner. Eine quadratische Gleichung lösen

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Mit der Diskriminante können Sie jede quadratische Gleichung mithilfe einer allgemeinen Formel lösen, die die folgende Form hat:

Die Diskriminanzformel hängt vom Grad des Polynoms ab. Die obige Formel eignet sich zur Lösung quadratischer Gleichungen der folgenden Form:

Die Diskriminante hat die folgenden Eigenschaften, die Sie kennen müssen:

* „D“ ist 0, wenn das Polynom mehrere Wurzeln (gleiche Wurzeln) hat;

* „D“ ist ein symmetrisches Polynom in Bezug auf die Wurzeln des Polynoms und daher ein Polynom in seinen Koeffizienten; Darüber hinaus sind die Koeffizienten dieses Polynoms ganze Zahlen, unabhängig von der Erweiterung, in der die Wurzeln gezogen werden.

Nehmen wir an, wir erhalten eine quadratische Gleichung der folgenden Form:

1 Gleichung

Nach der Formel haben wir:

Da \ hat die Gleichung 2 Wurzeln. Definieren wir sie:

Wo kann ich eine Gleichung mit einem Diskriminanz-Online-Löser lösen?

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Lass uns mit arbeiten quadratische Gleichungen. Das sind sehr beliebte Gleichungen! In ihrer allgemeinsten Form sieht eine quadratische Gleichung so aus:

Zum Beispiel:

Hier A =1; B = 3; C = -4

Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier A =-3; B = 6; C = -18

Nun ja, du verstehst...

Wie löst man quadratische Gleichungen? Wenn Sie eine quadratische Gleichung in dieser Form vor sich haben, dann ist alles einfach. Erinnere dich an das Zauberwort diskriminierend . Selten hat ein Gymnasiast dieses Wort nicht gehört! Der Satz „Wir lösen eine Lösung durch eine Diskriminante“ weckt Vertrauen und Sicherheit. Denn vom Diskriminanten sind keine Tricks zu erwarten! Die Anwendung ist einfach und problemlos. Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht also so aus:

Der Ausdruck unter dem Zeichen der Wurzel ist der Eine diskriminierend. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um X zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus einer quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c Dies ist die Formel, die wir berechnen. Lasst uns ersetzen mit Ihren eigenen Schildern! Zum Beispiel für die erste Gleichung A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir es auf:

Das Beispiel ist fast gelöst:

Das ist alles.

Welche Fälle sind bei Verwendung dieser Formel möglich? Es gibt nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Das bedeutet, dass die Wurzel daraus gezogen werden kann. Ob die Wurzel gut oder schlecht extrahiert wird, ist eine andere Frage. Wichtig ist, was grundsätzlich extrahiert wird. Dann hat Ihre quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Streng genommen ist dies nicht eine Wurzel, sondern zwei identisch. Dies spielt jedoch bei Ungleichheiten eine Rolle, wo wir uns näher mit dem Thema befassen werden.

3. Die Diskriminante ist negativ. Die Quadratwurzel einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Alles ist sehr einfach. Und was, Sie denken, dass es unmöglich ist, einen Fehler zu machen? Nun ja, wie...
Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit Vorzeichenwerten a, b und c. Oder besser gesagt, nicht mit ihren Vorzeichen (wo kann man es verwechseln?), sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier hilft eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Zahlen. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, TU das!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie selten beim ersten Mal Antworten erhalten.

Nun, seien Sie nicht faul. Das Schreiben einer zusätzlichen Zeile dauert etwa 30 Sekunden. Und die Anzahl der Fehler wird stark abnehmen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig aufzuschreiben. Aber es scheint nur so. Versuche es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile wird es nicht mehr nötig sein, alles so sorgfältig aufzuschreiben. Es wird schon von alleine klappen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten lässt sich einfach und fehlerfrei lösen!

Also, wie man quadratische Gleichungen löst durch die Diskriminante, an die wir uns erinnerten. Oder sie haben es gelernt, was auch gut ist. Sie wissen, wie man richtig bestimmt a, b und c. Weißt du wie? aufmerksam setze sie in die Wurzelformel ein und aufmerksam Zähle das Ergebnis. Sie verstehen, dass hier das Schlüsselwort lautet aufmerksam?

Allerdings sehen quadratische Gleichungen oft etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Das unvollständige quadratische Gleichungen . Sie können auch durch eine Diskriminante gelöst werden. Sie müssen nur richtig verstehen, was sie hier bedeuten. a, b und c.

Hast du es herausgefunden? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es ist überhaupt nicht da! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet das das c = 0 ! Das ist alles. Ersetzen Sie stattdessen Null in der Formel C, und wir werden Erfolg haben. Das Gleiche gilt für das zweite Beispiel. Nur haben wir hier keine Null Mit, A B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne jegliche Diskriminierung. Betrachten wir die erste unvollständige Gleichung. Was können Sie auf der linken Seite tun? Sie können X aus Klammern entfernen! Nehmen wir es raus.

Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist! Glauben Sie mir nicht? Okay, dann überlegen Sie sich zwei Zahlen ungleich Null, deren Multiplikation Null ergibt!
Klappt nicht? Das ist es...
Daher können wir getrost schreiben: x = 0, oder x = 4

Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide sind geeignet. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen, ist die Lösung viel einfacher als die Verwendung einer Diskriminante.

Auch die zweite Gleichung lässt sich einfach lösen. Bewegen Sie 9 nach rechts. Wir bekommen:

Jetzt muss nur noch die Wurzel aus 9 gezogen werden, und das war’s. Es wird sich herausstellen:

Auch zwei Wurzeln . x = +3 und x = -3.

Auf diese Weise werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder indem man X aus Klammern setzt oder indem man einfach die Zahl nach rechts verschiebt und dann die Wurzel zieht.
Es ist äußerst schwierig, diese Techniken zu verwechseln. Ganz einfach, weil man im ersten Fall die Wurzel von

Beachten Sie nun praktische Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Die gleichen, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind... Was später schmerzhaft und beleidigend wird...

Erster Termin. Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen und sie in die Standardform bringen. Was bedeutet das?
Nehmen wir an, dass Sie nach allen Transformationen die folgende Gleichung erhalten:

Beeilen Sie sich nicht, die Grundformel zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Konstruieren Sie das Beispiel richtig. Zuerst X quadriert, dann ohne Quadrat, dann der freie Term. So:

Und noch einmal: Beeilen Sie sich nicht! Ein Minus vor einem X im Quadrat kann Sie wirklich verärgern. Es ist leicht zu vergessen... Beseitigen Sie das Minus. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Aber jetzt können Sie sicher die Formel für die Wurzeln aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel fertig lösen. Entscheide dich selbst. Sie sollten jetzt Wurzeln 2 und -1 haben.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie die Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Hab keine Angst, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Grundformel aufgeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, ist die Überprüfung der Wurzeln einfach. Es reicht aus, sie zu vervielfachen. Das Ergebnis sollte ein kostenloses Mitglied sein, d.h. in unserem Fall -2. Bitte beachten Sie, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit Deinem Schild . Wenn es nicht klappt, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo einen Fehler gemacht haben. Suchen Sie nach dem Fehler. Wenn es funktioniert, müssen Sie die Wurzeln hinzufügen. Letzte und letzte Kontrolle. Der Koeffizient sollte sein B Mit Gegenteil vertraut. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem X steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass dies nur für Beispiele so einfach ist, bei denen x im Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie zumindest solche Gleichungen! Es wird immer weniger Fehler geben.

Rezeption Dritter. Wenn Ihre Gleichung gebrochene Koeffizienten hat, entfernen Sie die Brüche! Multiplizieren Sie die Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen schleichen sich aus irgendeinem Grund immer wieder Fehler ein ...

Übrigens habe ich versprochen, das böse Beispiel durch ein paar Minuspunkte zu vereinfachen. Bitte! Da ist er.

Um nicht durch die Minuspunkte verwirrt zu werden, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Das Lösen macht Freude!

Fassen wir also das Thema zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem X-Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x im Quadrat rein ist und sein Koeffizient gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta verifiziert werden. Tu es!

Bruchgleichungen. ODZ.

Wir beherrschen weiterhin die Gleichungen. Wir wissen bereits, wie man mit linearen und quadratischen Gleichungen arbeitet. Der letzte verbleibende Blick - Bruchgleichungen. Oder sie werden auch viel seriöser genannt - gebrochene rationale Gleichungen. Es ist das Gleiche.

Bruchgleichungen.

Wie der Name schon sagt, enthalten diese Gleichungen zwangsläufig Brüche. Aber nicht nur Brüche, sondern Brüche, die haben im Nenner unbekannt. Zumindest in einem. Zum Beispiel:

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es nur Nenner gibt Zahlen, das sind lineare Gleichungen.

Wie man sich entscheidet Bruchgleichungen? Beseitigen Sie zunächst Brüche! Danach geht die Gleichung meist in eine lineare oder quadratische Gleichung über. Und dann wissen wir, was zu tun ist ... In manchen Fällen kann daraus eine Identität werden, wie zum Beispiel 5=5 oder ein falscher Ausdruck, wie zum Beispiel 7=2. Aber das kommt selten vor. Ich werde dies weiter unten erwähnen.

Aber wie wird man Brüche los? Sehr einfach. Anwenden der gleichen identischen Transformationen.

Wir müssen die gesamte Gleichung mit demselben Ausdruck multiplizieren. Damit alle Nenner reduziert werden! Alles wird sofort einfacher. Lassen Sie es mich anhand eines Beispiels erklären. Lassen Sie uns die Gleichung lösen:

Wie wurden Sie in der Grundschule unterrichtet? Wir verschieben alles auf eine Seite, bringen es auf einen gemeinsamen Nenner usw. Vergiss es wie einen bösen Traum! Dies müssen Sie tun, wenn Sie Brüche addieren oder subtrahieren. Oder Sie arbeiten mit Ungleichheiten. Und in Gleichungen multiplizieren wir beide Seiten sofort mit einem Ausdruck, der uns die Möglichkeit gibt, alle Nenner zu reduzieren (d. h. im Wesentlichen um einen gemeinsamen Nenner). Und was ist dieser Ausdruck?

Auf der linken Seite erfordert die Reduzierung des Nenners eine Multiplikation mit x+2. Und rechts ist eine Multiplikation mit 2 erforderlich. Das bedeutet, dass die Gleichung mit multipliziert werden muss 2(x+2). Multiplizieren:

Dies ist eine übliche Multiplikation von Brüchen, aber ich beschreibe sie im Detail:

Bitte beachten Sie, dass ich die Klammer noch nicht öffne (x + 2)! Im Großen und Ganzen schreibe ich es also:

Auf der linken Seite zieht es sich vollständig zusammen (x+2), und rechts 2. Welches war erforderlich! Nach der Reduktion erhalten wir linear Die gleichung:

Und jeder kann diese Gleichung lösen! x = 2.

Lassen Sie uns ein anderes, etwas komplizierteres Beispiel lösen:

Wenn wir uns daran erinnern, dass 3 = 3/1 und 2x = 2x/ 1 können wir schreiben:

Und wieder werden wir los, was uns nicht wirklich gefällt – Brüche.

Wir sehen, dass wir den Bruch mit multiplizieren müssen, um den Nenner mit X zu reduzieren (x – 2). Und einige sind für uns kein Hindernis. Nun, lasst uns multiplizieren. Alle linke Seite und alle rechte Seite:

Wieder Klammern (x – 2) Ich verrate es nicht. Ich arbeite mit der Klammer als Ganzes, als wäre es eine Zahl! Dies muss immer erfolgen, sonst wird nichts reduziert.

Mit einem Gefühl tiefer Zufriedenheit reduzieren wir (x – 2) und wir erhalten eine Gleichung ohne Brüche, mit einem Lineal!

Öffnen wir nun die Klammern:

Wir bringen ähnliche mit, verschieben alles auf die linke Seite und erhalten:

Klassische quadratische Gleichung. Aber das Minus vor uns ist nicht gut. Sie können es jederzeit entfernen, indem Sie mit -1 multiplizieren oder dividieren. Wenn Sie sich das Beispiel jedoch genau ansehen, werden Sie feststellen, dass es am besten ist, diese Gleichung durch -2 zu dividieren! Auf einen Schlag wird das Minus verschwinden und die Chancen werden attraktiver! Teilen Sie durch -2. Auf der linken Seite – Term für Term und auf der rechten Seite – dividieren Sie einfach Null durch -2, Null und wir erhalten:

Wir lösen durch die Diskriminante und prüfen mit dem Satz von Vieta. Wir bekommen x = 1 und x = 3. Zwei Wurzeln.

Wie Sie sehen, wurde die Gleichung nach der Transformation im ersten Fall linear, hier jedoch quadratisch. Es kommt vor, dass nach dem Entfernen von Brüchen alle X reduziert werden. Es bleibt etwas übrig, etwa 5=5. Das bedeutet es x kann alles sein. Was auch immer es ist, es wird immer noch reduziert. Und es stellt sich als reine Wahrheit heraus, 5=5. Aber nachdem man die Brüche entfernt hat, könnte sich herausstellen, dass es völlig falsch ist, wie zum Beispiel 2=7. Und das bedeutet das keine Lösungen! Jedes X erweist sich als unwahr.

Die Hauptlösung wurde realisiert Bruchgleichungen? Es ist einfach und logisch. Wir ändern den ursprünglichen Ausdruck so, dass alles, was uns nicht gefällt, verschwindet. Oder es stört. In diesem Fall handelt es sich um Brüche. Dasselbe werden wir mit allen möglichen komplexen Beispielen mit Logarithmen, Sinus und anderen Schrecken machen. Wir Stets Lasst uns das alles loswerden.

Allerdings müssen wir den ursprünglichen Ausdruck in die gewünschte Richtung ändern nach den Regeln, ja... Deren Beherrschung ist die Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik. Also meistern wir es.

Jetzt lernen wir, wie man eines davon umgeht Hauptüberfälle beim Einheitlichen Staatsexamen! Aber zuerst wollen wir sehen, ob Sie darauf reinfallen oder nicht?

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an:

Die Sache ist schon bekannt, wir multiplizieren beide Seiten mit (x – 2), wir bekommen:

Ich erinnere Sie daran, mit Klammern (x – 2) Wir arbeiten wie mit einem, ganzheitlichen Ausdruck!

Hier habe ich nicht mehr eins in die Nenner geschrieben, das ist unwürdig... Und ich habe keine Klammern in die Nenner gesetzt, außer x – 2 Es gibt nichts, man muss nicht zeichnen. Kürzen wir:

Öffnen Sie die Klammern, verschieben Sie alles nach links und geben Sie ähnliche ein:

Wir lösen, prüfen, wir bekommen zwei Wurzeln. x = 2 Und x = 3. Großartig.

Angenommen, in der Aufgabe heißt es, die Wurzel aufzuschreiben, oder deren Summe, wenn es mehr als eine Wurzel gibt. Was werden wir schreiben?

Wenn Sie entscheiden, dass die Antwort 5 ist, dann Sie wurden überfallen. Und die Aufgabe wird Ihnen nicht gutgeschrieben. Sie haben vergeblich gearbeitet... Die richtige Antwort ist 3.

Was ist los?! Und Sie versuchen, eine Überprüfung durchzuführen. Ersetzen Sie die Werte des Unbekannten durch Original Beispiel. Und wenn bei x = 3 alles wird wunderbar zusammenwachsen, wir bekommen 9 = 9, dann wann x = 2 Es wird eine Division durch Null sein! Was Sie absolut nicht tun können. Bedeutet x = 2 ist keine Lösung und wird in der Antwort nicht berücksichtigt. Dies ist die sogenannte Fremd- oder Extrawurzel. Wir verwerfen es einfach. Die letzte Wurzel ist eins. x = 3.

Wie so?! – Ich höre empörte Ausrufe. Uns wurde beigebracht, dass eine Gleichung mit einem Ausdruck multipliziert werden kann! Dies ist eine identische Transformation!

Ja, identisch. Unter einer kleinen Bedingung – dem Ausdruck, mit dem wir multiplizieren (dividieren) – verschieden von Null. A x – 2 bei x = 2 gleich Null! Also alles ist fair.

Und was kann ich jetzt tun?! Nicht mit Ausdruck multiplizieren? Sollte ich jedes Mal nachsehen? Wieder ist es unklar!

Ruhig! Keine Panik!

In dieser schwierigen Situation werden uns drei magische Buchstaben retten. Ich weiß was du denkst. Rechts! Das ODZ . Bereich akzeptabler Werte.

Erste Ebene

Quadratische Gleichungen. Der umfassende Leitfaden (2019)

Im Begriff „quadratische Gleichung“ lautet das Schlüsselwort „quadratisch“. Das bedeutet, dass die Gleichung notwendigerweise eine Variable (dasselbe x) im Quadrat enthalten muss und es keine x mit der dritten (oder höheren) Potenz geben darf.

Die Lösung vieler Gleichungen läuft darauf hinaus, quadratische Gleichungen zu lösen.

Lassen Sie uns lernen, festzustellen, dass es sich um eine quadratische Gleichung und nicht um eine andere Gleichung handelt.

Beispiel 1.

Lassen Sie uns den Nenner loswerden und jeden Term der Gleichung mit multiplizieren

Verschieben wir alles auf die linke Seite und ordnen die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von X an

Jetzt können wir mit Sicherheit sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Obwohl diese Gleichung ursprünglich enthalten war, ist sie nicht quadratisch!

Beispiel 3.

Multiplizieren wir alles mit:

Beängstigend? Der vierte und zweite Grad... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4.

Es scheint da zu sein, aber schauen wir uns das genauer an. Verschieben wir alles auf die linke Seite:

Sehen Sie, es ist reduziert – und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun selbst herauszufinden, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

1. Quadrat;
2. Quadrat;
3. nicht quadratisch;
4. nicht quadratisch;
5. nicht quadratisch;
6. Quadrat;
7. nicht quadratisch;
8. Quadrat.

Mathematiker unterteilen herkömmlicherweise alle quadratischen Gleichungen in die folgenden Typen:

• Vollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben- das sind Gleichungen, in denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)

• Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

  Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer x im Quadrat enthalten!!! Andernfalls handelt es sich nicht mehr um eine quadratische Gleichung, sondern um eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Einteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Diese Einteilung wird durch die Lösungsmethoden bestimmt. Schauen wir uns jeden von ihnen genauer an.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen – sie sind viel einfacher!

Es gibt Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen:

1. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
2. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
3. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Da wir wissen, wie man die Quadratwurzel zieht, lassen Sie uns diese Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Die Hauptsache ist, dass Sie wissen und immer daran denken müssen, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Löse die Gleichung

Jetzt müssen Sie nur noch die Wurzel von der linken und rechten Seite extrahieren. Erinnern Sie sich schließlich daran, wie man Wurzeln zieht?

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Löse die Gleichung

Antwort:

Beispiel 7:

Löse die Gleichung

Oh! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, die keine Wurzeln haben, haben Mathematiker ein spezielles Symbol erfunden – (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antwort:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir den Root nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Löse die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antwort:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Auf Beispiele verzichten wir hier.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass eine vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Form Gleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist etwas schwieriger (nur ein wenig) als diese.

Erinnern, Jede quadratische Gleichung kann mit einer Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Mit den anderen Methoden geht es schneller, aber wenn Sie Probleme mit quadratischen Gleichungen haben, meistern Sie zunächst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit einer Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen mit dieser Methode ist sehr einfach; die Hauptsache ist, sich die Abfolge der Aktionen und ein paar Formeln zu merken.

Wenn ja, dann hat die Gleichung eine Wurzel. Sie müssen dem Schritt besondere Aufmerksamkeit schenken. Diskriminant() gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn ja, wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
• Wenn ja, können wir in diesem Schritt die Wurzel der Diskriminante nicht extrahieren. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Kehren wir zu unseren Gleichungen zurück und schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel 9:

Löse die Gleichung

Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat.

Schritt 3.

Antwort:

Beispiel 10:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass die Gleichung eine Wurzel hat.

Antwort:

Beispiel 11:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird in Standardform dargestellt, also Schritt 1 wir überspringen.

Schritt 2.

Wir finden die Diskriminante:

Das bedeutet, dass wir nicht in der Lage sein werden, die Wurzel der Diskriminante zu extrahieren. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antwort: Keine Wurzeln

2. Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine Art Gleichung, die als reduziert bezeichnet wird (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Summe der Wurzeln gegeben Die quadratische Gleichung ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Löse die Gleichung

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist gleich, d.h. wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist gleich:

Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen:

• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antwort: ; .

Beispiel 13:

Löse die Gleichung

Antwort:

Beispiel 14:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Antwort:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, bei der - die Unbekannte, - einige Zahlen und.

Die Zahl wird als höchste oder bezeichnet erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, A - Freies Mitglied.

Warum? Denn wenn die Gleichung sofort linear wird, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. In diesem Stuhl heißt die Gleichung unvollständig. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten quadratischer Gleichungen

Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Schauen wir uns zunächst Methoden zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen an – sie sind einfacher.

Wir können die folgenden Arten von Gleichungen unterscheiden:

I., in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Schauen wir uns nun die Lösung für jeden dieser Untertypen an.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis immer eine positive Zahl. Deshalb:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Es besteht keine Notwendigkeit, diese Formeln auswendig zu lernen. Das Wichtigste ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit negativem Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln.

Um kurz zu beschreiben, dass es für ein Problem keine Lösungen gibt, verwenden wir das leere Set-Symbol.

Antwort:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antwort:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung faktorisieren und die Wurzeln finden:

Antwort:

Methoden zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich die Abfolge der Aktionen und ein paar Formeln zu merken. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit einer Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Ist Ihnen in der Formel für Wurzeln die Wurzel aus der Diskriminante aufgefallen? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen Schritt 2 besondere Aufmerksamkeit schenken. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln:
• Wenn ja, dann hat die Gleichung die gleichen Wurzeln und tatsächlich eine Wurzel:

  Solche Wurzeln werden Doppelwurzeln genannt.

• Wenn ja, wird die Wurzel der Diskriminante nicht extrahiert. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum sind unterschiedliche Anzahlen von Wurzeln möglich? Wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung zu. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem Sonderfall, bei dem es sich um eine quadratische Gleichung handelt, . Das bedeutet, dass die Wurzeln einer quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der Abszissenachse (Achse) sind. Eine Parabel schneidet die Achse möglicherweise überhaupt nicht oder an einem (wenn der Scheitelpunkt der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten.

Darüber hinaus ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet, und wenn, dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antwort:

Antwort: .

Antwort:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antwort: .

2. Satz von Vieta

Es ist sehr einfach, den Satz von Vieta anzuwenden: Sie müssen lediglich ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist und dessen Summe gleich dem zweiten Koeffizienten ist, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig zu bedenken, dass der Satz von Vieta nur in angewendet werden kann reduzierte quadratische Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Diese Gleichung kann mit dem Satz von Vieta gelöst werden, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist gleich:

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und prüfen wir, ob ihre Summe gleich ist:

• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag beträgt;
• Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antwort: ; .

Beispiel #2:

Lösung:

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen wir dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: sie geben insgesamt.

und: sie geben insgesamt. Um zu erhalten, reicht es aus, einfach die Vorzeichen der vermeintlichen Wurzeln zu ändern: und schließlich auch des Produkts.

Antwort:

Beispiel #3:

Lösung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Daher ist die Summe der Wurzeln gleich Unterschiede ihrer Module.

Wählen wir Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist gleich – passt nicht;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die Wurzel mit dem kleineren Modul negativ sein: . Wir überprüfen:

Antwort:

Beispiel #4:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen wir dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur die Wurzeln für die erste Bedingung geeignet:

Antwort:

Beispiel #5:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung ist gegeben, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Da ihr Produkt jedoch positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln ein Minuszeichen haben.

Wählen wir Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antwort:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu finden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber der Satz von Vieta wird benötigt, um das Auffinden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Damit Sie davon profitieren können, müssen Sie die Aktionen automatisch durchführen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber betrügen Sie nicht: Sie können keine Diskriminante verwenden! Nur der Satz von Vieta:

Aufgabenlösungen für selbstständiges Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie üblich beginnen wir die Auswahl mit dem Stück:

Aufgrund der Menge nicht geeignet;

: Die Menge ist genau das, was Sie brauchen.

Antwort: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe muss gleich sein und das Produkt muss gleich sein.

Da es aber nicht sein darf, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antwort: ; .

Aufgabe 3.

Hmm... Wo ist das?

Sie müssen alle Begriffe in einen Teil verschieben:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Okay, hör auf! Die Gleichung ist nicht gegeben. Der Satz von Vieta ist jedoch nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Zuerst müssen Sie also eine Gleichung angeben. Wenn Sie nicht führen können, geben Sie diese Idee auf und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch eine Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Angabe einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Großartig. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist die Auswahl so einfach wie das Schälen von Birnen: Schließlich handelt es sich um eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antwort: ; .

Aufgabe 4.

Das freie Mitglied ist negativ. Was ist das Besondere daran? Und Tatsache ist, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern den Unterschied in ihren Modulen: Dieser Unterschied ist gleich, aber ein Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon ist minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen ist. Das bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, da.

Antwort: ; .

Aufgabe 5.

Was sollten Sie zuerst tun? Richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine davon ist minus. Welche? Ihre Summe sollte gleich sein, was bedeutet, dass das Minus eine größere Wurzel hat.

Antwort: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:

1. Der Satz von Vieta wird nur in den angegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
2. Mit dem Satz von Vieta können Sie die Wurzeln durch mündliche Auswahl finden.
3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Termes gefunden wird, dann gibt es keine ganzen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch eine Diskriminante).

3. Methode zur Auswahl eines vollständigen Quadrats

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, in Form von Termen aus abgekürzten Multiplikationsformeln – dem Quadrat der Summe oder Differenz – dargestellt werden, kann die Gleichung nach dem Ersetzen von Variablen in Form einer unvollständigen quadratischen Gleichung dieser Art dargestellt werden.

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antwort:

Im Allgemeinen sieht die Transformation so aus:

Dies impliziert: .

Erinnert Sie an nichts? Das ist eine diskriminierende Sache! Genau so haben wir die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Quadratische Gleichung- Dies ist eine Gleichung der Form, wobei - die Unbekannte, - die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, - der freie Term.

Vollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

• Wenn der Koeffizient, sieht die Gleichung wie folgt aus: ,
• Wenn ein freier Term vorhanden ist, hat die Gleichung die Form: ,
• Wenn und, sieht die Gleichung wie folgt aus: .

1. Algorithmus zur Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Lassen Sie uns das Unbekannte ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

• wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
• Wenn ja, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern heraus: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zur Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit Diskriminanz

1) Bringen wir die Gleichung in die Standardform: ,

2) Berechnen wir die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

• Wenn, dann hat die Gleichung Wurzeln, die durch die Formel gefunden werden:
• Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• Wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (Gleichung der Form wo) ist gleich und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d.h. , A.

2.3. Lösung durch Auswahl eines vollständigen Quadrats

Die Diskriminante wird ebenso wie quadratische Gleichungen ab der 8. Klasse in einem Algebrakurs studiert. Sie können eine quadratische Gleichung durch eine Diskriminante und den Satz von Vieta lösen. Die Methode zum Studium quadratischer Gleichungen sowie Diskriminanzformeln wird Schulkindern, wie viele Dinge in der realen Bildung, eher erfolglos beigebracht. Daher vergehen Schuljahre, die Bildung in den Klassen 9-11 wird durch „Hochschulbildung“ ersetzt und alle schauen wieder hin – „Wie löst man eine quadratische Gleichung?“, „Wie findet man die Wurzeln der Gleichung?“, „Wie findet man die Diskriminante?“ Und...

Diskriminanzformel

Die Diskriminante D der quadratischen Gleichung a*x^2+bx+c=0 ist gleich D=b^2–4*a*c.
Die Wurzeln (Lösungen) einer quadratischen Gleichung hängen vom Vorzeichen der Diskriminante (D) ab:
D>0 – die Gleichung hat 2 verschiedene reelle Wurzeln;
D=0 – die Gleichung hat 1 Wurzel (2 passende Wurzeln):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Die Formel zur Berechnung der Diskriminante ist recht einfach, daher bieten viele Websites einen Online-Diskriminanzrechner an. Wir haben diese Art von Skripten noch nicht herausgefunden. Wenn also jemand weiß, wie man das implementiert, schreiben Sie uns bitte per E-Mail Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt. Um es anzuzeigen, muss JavaScript aktiviert sein. .

Allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung:

Wir finden die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formel
Wenn der Koeffizient einer quadrierten Variablen gepaart ist, empfiehlt es sich, nicht die Diskriminante, sondern deren vierten Teil zu berechnen
In solchen Fällen werden die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formel ermittelt

Der zweite Weg, Wurzeln zu finden, ist der Satz von Vieta.

Der Satz wird nicht nur für quadratische Gleichungen, sondern auch für Polynome formuliert. Sie können dies auf Wikipedia oder anderen elektronischen Ressourcen lesen. Betrachten wir jedoch zur Vereinfachung den Teil, der die obigen quadratischen Gleichungen betrifft, also Gleichungen der Form (a=1)
Der Kern der Formeln von Vieta besteht darin, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich dem Koeffizienten der Variablen mit umgekehrtem Vorzeichen ist. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist gleich dem freien Term. Der Satz von Vieta kann in Formeln geschrieben werden.
Die Herleitung der Vieta-Formel ist recht einfach. Schreiben wir die quadratische Gleichung durch einfache Faktoren
Wie Sie sehen, ist alles Geniale gleichzeitig einfach. Es ist effektiv, die Formel von Vieta zu verwenden, wenn die Differenz im Modul der Wurzeln oder die Differenz in den Modulen der Wurzeln 1,2 beträgt. Beispielsweise haben die folgenden Gleichungen gemäß dem Satz von Vieta Wurzeln




Bis zu Gleichung 4 sollte die Analyse so aussehen. Das Produkt der Wurzeln der Gleichung ist 6, daher können die Wurzeln die Werte (1, 6) und (2, 3) oder Paare mit entgegengesetzten Vorzeichen sein. Die Summe der Wurzeln beträgt 7 (der Koeffizient der Variablen mit dem umgekehrten Vorzeichen). Daraus schließen wir, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung x=2 sind; x=3.
Es ist einfacher, die Wurzeln der Gleichung unter den Teilern des freien Termes auszuwählen und ihr Vorzeichen anzupassen, um die Vieta-Formeln zu erfüllen. Auf den ersten Blick scheint dies schwierig zu sein, aber mit der Übung an einer Reihe quadratischer Gleichungen wird sich diese Technik als effektiver erweisen als die Berechnung der Diskriminante und das Finden der Wurzeln der quadratischen Gleichung auf klassische Weise.
Wie Sie sehen, ist die Schultheorie des Studiums der Diskriminante und der Methoden zum Finden von Lösungen für die Gleichung ohne praktische Bedeutung – „Warum brauchen Schulkinder eine quadratische Gleichung?“, „Was ist die physikalische Bedeutung der Diskriminante?“

Versuchen wir es herauszufinden Was beschreibt die Diskriminante?

Im Algebrakurs studieren sie Funktionen, Schemata zur Untersuchung von Funktionen und die Konstruktion eines Funktionsgraphen. Von allen Funktionen nimmt die Parabel einen wichtigen Platz ein, deren Gleichung in der Form geschrieben werden kann
Die physikalische Bedeutung der quadratischen Gleichung sind also die Nullstellen der Parabel, also die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Abszissenachse Ox
Ich bitte Sie, sich die im Folgenden beschriebenen Eigenschaften von Parabeln zu merken. Es wird Zeit, Prüfungen, Prüfungen oder Aufnahmeprüfungen abzulegen, und Sie werden für das Referenzmaterial dankbar sein. Das Vorzeichen der quadrierten Variablen entspricht der Frage, ob die Äste der Parabel im Diagramm nach oben gehen (a>0).

oder eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen (a<0) .

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt in der Mitte zwischen den Wurzeln

Physikalische Bedeutung der Diskriminante:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D>0), hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Wenn die Diskriminante Null ist (D=0), dann berührt die Parabel am Scheitelpunkt die x-Achse.
Und im letzten Fall, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Unvollständige quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichung – einfach zu lösen! *Im Folgenden „KU“ genannt. Freunde, es scheint, dass es in der Mathematik nichts Einfacheres geben könnte, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber irgendetwas sagte mir, dass viele Menschen Probleme mit ihm haben. Ich beschloss, zu sehen, wie viele On-Demand-Impressionen Yandex pro Monat ausgibt. Hier ist, was passiert ist, schauen Sie:

Was bedeutet das? Das bedeutet, dass monatlich etwa 70.000 Menschen nach diesen Informationen suchen, und dies ist Sommer und was während des Schuljahres passieren wird – es wird doppelt so viele Anfragen geben. Das ist nicht verwunderlich, denn nach diesen Informationen suchen die Jungs und Mädels, die schon lange ihren Schulabschluss haben und sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, und auch Schulkinder bemühen sich, ihr Gedächtnis aufzufrischen.

Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die Ihnen erklären, wie Sie diese Gleichung lösen können, habe ich beschlossen, auch einen Beitrag zu leisten und das Material zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher aufgrund dieser Anfrage auf meine Website gelangen. Zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn das Thema „KU“ auftaucht, einen Link zu diesem Artikel bereitstellen; Drittens erzähle ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung, als normalerweise auf anderen Websites angegeben wird. Lass uns anfangen! Der Inhalt des Artikels:

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:

wo Koeffizienten ein,Bund c sind beliebige Zahlen mit a≠0.

Im Schulkurs wird der Stoff in folgender Form vermittelt – die Gleichungen sind in drei Klassen eingeteilt:

1. Sie haben zwei Wurzeln.

2. *Nur eine Wurzel haben.

3. Sie haben keine Wurzeln. Besonders hervorzuheben ist hier, dass sie keine wirklichen Wurzeln haben

Wie werden Wurzeln berechnet? Nur!

Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem „schrecklichen“ Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:

Die Grundformeln lauten wie folgt:

*Sie müssen diese Formeln auswendig kennen.

Sie können sofort aufschreiben und lösen:

Beispiel:

1. Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.

3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Schauen wir uns die Gleichung an:

Wenn die Diskriminante gleich Null ist, sagt der Schulkurs in diesem Zusammenhang, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Alles ist richtig, es ist so, aber...

Diese Idee ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, wundern Sie sich nicht, Sie erhalten zwei gleiche Wurzeln, und um mathematisch genau zu sein, sollte die Antwort zwei Wurzeln lauten:

x 1 = 3 x 2 = 3

Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kann man es aufschreiben und sagen, dass es eine Wurzel gibt.

Nun das nächste Beispiel:

Wie wir wissen, kann die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen werden, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.

Das ist der gesamte Entscheidungsprozess.

Quadratische Funktion.

Dies zeigt, wie die Lösung geometrisch aussieht. Es ist äußerst wichtig, dies zu verstehen (in einem der Artikel werden wir in Zukunft die Lösung der quadratischen Ungleichung im Detail analysieren).

Dies ist eine Funktion der Form:

wobei x und y Variablen sind

a, b, c – gegebene Zahlen, mit a ≠ 0

Der Graph ist eine Parabel:

Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen einer quadratischen Gleichung mit „y“ gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einen (die Diskriminante ist Null) und keinen (die Diskriminante ist negativ). Details zur quadratischen Funktion Sie können sehen Artikel von Inna Feldman.

Schauen wir uns Beispiele an:

Beispiel 1: Lösen 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Antwort: x 1 = 8 x 2 = –12

*Es war möglich, die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 zu dividieren, also zu vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.

Beispiel 2: Entscheiden x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Wir haben herausgefunden, dass x 1 = 11 und x 2 = 11

Es ist zulässig, in der Antwort x = 11 zu schreiben.

Antwort: x = 11

Beispiel 3: Entscheiden x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.

Antwort: keine Lösung

Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!

Hier werden wir über die Lösung der Gleichung für den Fall sprechen, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Wissen Sie etwas über komplexe Zahlen? Ich werde hier nicht im Detail darauf eingehen, warum und wo sie entstanden sind und welche spezifische Rolle und Notwendigkeit sie in der Mathematik haben; dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.

Das Konzept einer komplexen Zahl.

Eine kleine Theorie.

Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form

z = a + bi

wobei a und b reelle Zahlen sind, i ist die sogenannte imaginäre Einheit.

a+bi – Dies ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.

Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel aus minus eins:

Betrachten Sie nun die Gleichung:

Wir erhalten zwei konjugierte Wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichung.

Betrachten wir Sonderfälle, in denen der Koeffizient „b“ oder „c“ gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie können leicht und ohne Diskriminanten gelöst werden.

Fall 1. Koeffizient b = 0.

Die Gleichung lautet:

Lassen Sie uns konvertieren:

Beispiel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Fall 2. Koeffizient c = 0.

Die Gleichung lautet:

Lassen Sie uns transformieren und faktorisieren:

*Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Beispiel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 oder x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.

Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.

Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.

Es gibt Eigenschaften, mit denen Sie Gleichungen mit großen Koeffizienten lösen können.

AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt

A + B+ c = 0, Das

- wenn für die Koeffizienten der Gleichung AX 2 + bx+ C=0 Gleichheit gilt

A+ c =B, Das

Diese Eigenschaften helfen bei der Lösung einer bestimmten Art von Gleichung.

Beispiel 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Die Summe der Quoten beträgt 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, was bedeutet

Beispiel 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Gleichheit gilt A+ c =B, Bedeutet

Regelmäßigkeiten der Koeffizienten.

1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx + c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient „c“ numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Wenn in Gl. ax 2 + bx – c = 0 Koeffizient „b“ ist gleich (a 2 – 1) und Koeffizient „c“ ist numerisch gleich dem Koeffizienten „a“, dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Wenn in der Gleichung ax 2 – bx – c = 0 der Koeffizient „b“ gleich (a 2 – 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten „a“ ist, dann sind seine Wurzeln gleich

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Satz von Vieta.

Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker Francois Vieta benannt. Mit dem Satz von Vieta können wir die Summe und das Produkt der Wurzeln einer beliebigen KU durch ihre Koeffizienten ausdrücken.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Insgesamt ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Das sind Wurzeln. Mit einer gewissen Geschicklichkeit können Sie mit dem vorgestellten Satz viele quadratische Gleichungen sofort mündlich lösen.

Zusätzlich der Satz von Vieta. Der Vorteil besteht darin, dass nach dem Lösen einer quadratischen Gleichung auf die übliche Weise (durch eine Diskriminante) die resultierenden Wurzeln überprüft werden können. Ich empfehle, dies immer zu tun.

TRANSPORTMETHODE

Bei dieser Methode wird der Koeffizient „a“ mit dem freien Term multipliziert, als ob er darauf „geworfen“ würde, weshalb er aufgerufen wird „Transfer“-Methode. Diese Methode wird verwendet, wenn die Wurzeln der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta leicht gefunden werden können und, was am wichtigsten ist, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Wenn A± b+c≠ 0, dann kommt die Übertragungstechnik zum Einsatz, zum Beispiel:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Mit dem Satz von Vieta in Gleichung (2) lässt sich leicht bestimmen, dass x 1 = 10 x 2 = 1

Die resultierenden Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da die beiden aus x 2 „geworfen“ wurden), erhalten wir

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Was ist die Begründung? Schauen Sie, was passiert.

Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind gleich:

Wenn man sich die Wurzeln der Gleichungen anschaut, erhält man nur unterschiedliche Nenner, und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten von x 2 ab:

Der zweite (modifizierte) hat Wurzeln, die doppelt so groß sind.

Daher dividieren wir das Ergebnis durch 2.

*Wenn wir die Drei erneut würfeln, dividieren wir das Ergebnis durch 3 usw.

Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Quadrat. ur-ie und Einheitliches Staatsexamen.

Ich erzähle Ihnen kurz, wie wichtig es ist – Sie müssen in der Lage sein, schnell und ohne nachzudenken zu entscheiden, Sie müssen die Formeln von Wurzeln und Diskriminanten auswendig kennen. Viele der in den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens enthaltenen Probleme beschränken sich auf die Lösung einer quadratischen Gleichung (einschließlich geometrischer Gleichungen).

Etwas Erwähnenswertes!

1. Die Form des Schreibens einer Gleichung kann „implizit“ sein. Beispielsweise ist folgender Eintrag möglich:

15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x+42+9x 2 - 45x=0 oder 15 -5x+10x 2 = 0.

Sie müssen es in eine Standardform bringen (um bei der Lösung nicht verwirrt zu werden).

2. Denken Sie daran, dass x eine unbekannte Größe ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann – t, q, p, h und anderen.