Formel für die Schwingung eines mathematischen Pendels. Energiegleichung für ein mathematisches Pendel. Bewegungsgleichung eines Pendels in endgültiger Form

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels hängt von der Länge des Fadens ab: Mit abnehmender Länge des Fadens nimmt die Schwingungsdauer ab

Für ein mathematisches Pendel sind einige Gesetze erfüllt:

1 Gesetz. Wenn wir bei gleicher Pendellänge unterschiedliche Lasten (z. B. 5 kg und 100 kg) aufhängen, ist die Schwingungsdauer gleich, obwohl die Massen der Lasten sehr unterschiedlich sind. Die Periode eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Masse der Last ab.

2. Gesetz. Wird das Pendel um unterschiedliche, aber kleine Winkel ausgelenkt, so schwingt es mit der gleichen Periode, allerdings mit unterschiedlichen Amplituden. Solange die Amplitude des Pendels klein ist, ähneln die Schwingungen in ihrer Form harmonischen, und dann hängt die Periode des mathematischen Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen ab. Diese Eigenschaft wird Isochronismus genannt.

Lassen Sie uns die Formel für die Periode eines mathematischen Pendels herleiten.

Auf die Last m eines mathematischen Pendels wirken die Schwerkraft mg und die elastische Kraft des Fadens Fynp. Richten wir die 0X-Achse entlang der Tangente zur Aufwärtsbewegungsbahn. Schreiben wir Newtons zweites Gesetz für diesen Fall auf:

Wir projizieren alles auf die OX-Achse:

In kleinen Winkeln

Nachdem wir Substitutionen und kleine Transformationen vorgenommen haben, erhalten wir, dass die Gleichung wie folgt aussieht:

Wenn wir den resultierenden Ausdruck mit der Gleichung harmonischer Schwingungen vergleichen, erhalten wir:

Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass die zyklische Frequenz des Federpendels die Form haben wird:

Dann ist die Periode des mathematischen Pendels gleich:

Die Periode eines mathematischen Pendels hängt nur von der Erdbeschleunigung g und von der Pendellänge l ab. Aus der resultierenden Formel folgt, dass die Periode des Pendels nicht von seiner Masse und Amplitude abhängt (vorausgesetzt, sie ist klein genug). Wir haben auch einen quantitativen Zusammenhang zwischen der Pendelperiode, seiner Länge und der Erdbeschleunigung hergestellt. Die Periode eines mathematischen Pendels ist proportional zur Quadratwurzel des Verhältnisses der Länge des Pendels zur Erdbeschleunigung. Der Proportionalitätsfaktor beträgt 2p

Es gibt auch:

Periode eines Federpendels

Periode eines physikalischen Pendels

Periode eines Torsionspendels

Mathematische Pendel nennen wir einen materiellen Punkt, der an einem schwerelosen und nicht dehnbaren Faden hängt, der an der Aufhängung befestigt ist und sich im Feld der Schwerkraft (oder einer anderen Kraft) befindet.

Untersuchen wir die Schwingungen eines mathematischen Pendels in einem Trägheitsbezugssystem, relativ zu dem der Punkt seiner Aufhängung ruht oder sich gleichmäßig geradlinig bewegt. Wir vernachlässigen die Luftwiderstandskraft (ideales mathematisches Pendel). Zunächst ruht das Pendel in der Gleichgewichtslage C. Dabei kompensieren sich die Schwerkraft und die auf das Pendel einwirkende elastische Kraft F?ynp des Fadens gegenseitig.

Entfernen wir das Pendel aus der Gleichgewichtsposition (indem wir es beispielsweise in Position A auslenken) und lassen es ohne Anfangsgeschwindigkeit los (Abb. 1). In diesem Fall gleichen sich die Kräfte nicht gegenseitig aus. Die auf das Pendel wirkende Tangentialkomponente der Schwerkraft verleiht ihm eine Tangentialbeschleunigung a?? (Komponente der Gesamtbeschleunigung, die entlang der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels gerichtet ist), und das Pendel beginnt sich mit einer im Absolutwert zunehmenden Geschwindigkeit in Richtung der Gleichgewichtsposition zu bewegen. Die tangentiale Komponente der Schwerkraft ist somit eine Rückstellkraft. Die Normalkomponente der Schwerkraft ist entgegen der elastischen Kraft entlang des Fadens gerichtet. Die Resultierende der Kräfte ergibt die Normalbeschleunigung des Pendels, die die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert, und das Pendel bewegt sich entlang des Bogens ABCD.

Je näher das Pendel der Gleichgewichtslage C kommt, desto kleiner wird der Wert der Tangentialkomponente. In der Gleichgewichtslage ist sie gleich Null, die Geschwindigkeit erreicht ihren Maximalwert und das Pendel bewegt sich durch Trägheit weiter und steigt in einem Aufwärtsbogen. In diesem Fall ist die Komponente gegen die Geschwindigkeit gerichtet. Mit zunehmendem Auslenkungswinkel a nimmt der Kraftmodul zu und der Geschwindigkeitsmodul ab, und am Punkt D wird die Geschwindigkeit des Pendels Null. Das Pendel stoppt für einen Moment und beginnt sich dann in die entgegengesetzte Richtung zur Gleichgewichtsposition zu bewegen. Nachdem das Pendel es durch Trägheit erneut passiert hat, verlangsamt es seine Bewegung und erreicht Punkt A (es gibt keine Reibung), d.h. wird einen kompletten Schwung vollenden. Danach wird die Bewegung des Pendels in der bereits beschriebenen Reihenfolge wiederholt.

Lassen Sie uns eine Gleichung erhalten, die die freien Schwingungen eines mathematischen Pendels beschreibt.

Das Pendel sei zu einem bestimmten Zeitpunkt am Punkt B. Seine Verschiebung S von der Gleichgewichtsposition in diesem Moment ist gleich der Länge des Bogens SV (d. h. S = |SV|). Bezeichnen wir die Länge des Aufhängefadens mit l und die Masse des Pendels mit m.

Aus Abbildung 1 geht hervor, dass , wo . Bei kleinen Winkeln () schlägt das Pendel daher aus

Das Minuszeichen wird in diese Formel eingefügt, da die tangentiale Komponente der Schwerkraft auf die Gleichgewichtsposition gerichtet ist und die Verschiebung von der Gleichgewichtsposition aus gezählt wird.

Nach Newtons zweitem Gesetz. Projizieren wir die Vektorgrößen dieser Gleichung auf die Richtung der Tangente an die Flugbahn des mathematischen Pendels

Aus diesen Gleichungen erhalten wir

Dynamische Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels. Die Tangentialbeschleunigung eines mathematischen Pendels ist proportional zu seiner Auslenkung und auf die Gleichgewichtslage gerichtet. Diese Gleichung kann geschrieben werden als

Vergleich mit der harmonischen Schwingungsgleichung Wir können daraus schließen, dass das mathematische Pendel harmonische Schwingungen ausführt. Und da die betrachteten Schwingungen des Pendels nur unter dem Einfluss innerer Kräfte auftraten, handelte es sich um freie Schwingungen des Pendels. Folglich sind freie Schwingungen eines mathematischen Pendels mit kleinen Abweichungen harmonisch.

Bezeichnen wir

Zyklische Frequenz von Pendelschwingungen.

Schwingungsdauer eines Pendels. Somit,

Dieser Ausdruck wird Huygens-Formel genannt. Es bestimmt die Periode der freien Schwingungen eines mathematischen Pendels. Aus der Formel folgt, dass bei kleinen Abweichungswinkeln von der Gleichgewichtslage die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels beträgt:

1. hängt nicht von seiner Masse und Schwingungsamplitude ab;
2. ist proportional zur Quadratwurzel der Pendellänge und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Erdbeschleunigung.

Dies steht im Einklang mit den experimentellen Gesetzen kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels, die von G. Galileo entdeckt wurden.

Wir betonen, dass diese Formel zur Berechnung des Zeitraums verwendet werden kann, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

1. die Schwingungen des Pendels sollten gering sein;
2. Der Aufhängepunkt des Pendels muss in Ruhe sein oder sich relativ zum Trägheitsbezugssystem, in dem es sich befindet, gleichmäßig geradlinig bewegen.

Bewegt sich der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels mit Beschleunigung, so ändert sich die Spannungskraft des Fadens, was zu einer Änderung der Rückstellkraft und damit der Schwingungsfrequenz und -dauer führt. Wie Berechnungen zeigen, lässt sich die Schwingungsdauer des Pendels in diesem Fall mit der Formel berechnen

Dabei ist die „effektive“ Beschleunigung des Pendels in einem nicht trägen Bezugssystem. Sie ist gleich der geometrischen Summe der Erdbeschleunigung und des dem Vektor entgegengesetzten Vektors, d.h. es kann mit der Formel berechnet werden

Was ist ein mathematisches Pendel?

Aus früheren Lektionen sollten Sie bereits wissen, dass ein Pendel in der Regel ein Körper ist, der unter dem Einfluss der Gravitationswechselwirkung schwingt. Das heißt, wir können sagen, dass in der Physik unter diesem Begriff allgemein ein fester Körper verstanden wird, der unter dem Einfluss der Schwerkraft oszillierende Bewegungen ausführt, die um einen festen Punkt oder eine feste Achse erfolgen.

Funktionsprinzip eines mathematischen Pendels

Schauen wir uns nun das Funktionsprinzip eines mathematischen Pendels an und finden wir heraus, was es ist.

Das Funktionsprinzip eines mathematischen Pendels besteht darin, dass, wenn ein materieller Punkt um einen kleinen Winkel a von der Gleichgewichtsposition abweicht, d. h. einen Winkel, bei dem die Bedingung sina=a erfüllt wäre, eine Kraft F = -mgsina = - entsteht. mga wirkt auf den Körper.

Wir sehen, dass die Kraft F einen negativen Exponenten hat, und daraus folgt, dass das Minuszeichen uns sagt, dass diese Kraft in die entgegengesetzte Richtung zur Verschiebung gerichtet ist. Und da die Kraft F proportional zur Verschiebung S ist, folgt daraus, dass der materielle Punkt unter dem Einfluss einer solchen Kraft harmonische Schwingungen ausführt.

Eigenschaften eines Pendels

Wenn wir ein anderes Pendel nehmen, hängt seine Schwingungsdauer von vielen Faktoren ab. Zu diesen Faktoren gehören:

Erstens: Körpergröße und -form;
Zweitens der Abstand, der zwischen dem Aufhängepunkt und dem Schwerpunkt besteht;
Drittens auch die Verteilung des Körpergewichts relativ zu einem bestimmten Punkt.

Im Zusammenhang mit diesen verschiedenen Umständen von Pendeln ist es ziemlich schwierig, die Periode eines hängenden Körpers zu bestimmen.

Und wenn wir ein mathematisches Pendel nehmen, dann hat es alle Eigenschaften, die sich anhand bekannter physikalischer Gesetze beweisen lassen, und seine Periode lässt sich leicht anhand einer Formel berechnen.

Durch viele verschiedene Beobachtungen an solchen mechanischen Systemen konnten Physiker solche Muster bestimmen wie:

Erstens hängt die Schwingungsdauer des Pendels nicht von der Masse der Last ab. Das heißt, wenn wir bei gleicher Länge des Pendels Gewichte unterschiedlicher Masse daran aufhängen, dann bleibt die Schwingungsdauer ihrer Schwingungen immer noch dieselbe, auch wenn ihre Massen recht auffällige Unterschiede aufweisen.

Zweitens, wenn wir das Pendel beim Starten des Systems um kleine, aber unterschiedliche Winkel auslenken, dann haben seine Schwingungen die gleiche Periode, aber die Amplituden sind unterschiedlich. Bei kleinen Abweichungen vom Gleichgewichtszentrum werden die Schwingungen in ihrer Form einen nahezu harmonischen Charakter haben. Das heißt, wir können sagen, dass die Periode eines solchen Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen abhängt. Aus dem Griechischen übersetzt wird diese Eigenschaft dieses mechanischen Systems Isochronismus genannt, wobei „isos“ gleich und „chronos“ Zeit bedeutet.

Praktische Anwendung von Pendelschwingungen

Ein mathematisches Pendel wird für verschiedene Studien von Physikern, Astronomen, Vermessern und anderen Wissenschaftlern verwendet. Mit Hilfe eines solchen Pendels suchen sie nach Mineralien. Indem man die Beschleunigung eines mathematischen Pendels beobachtet und die Anzahl seiner Schwingungen zählt, kann man Kohle- und Erzvorkommen im Inneren unserer Erde finden.

K. Flammarion, der berühmte französische Astronom und Naturforscher, behauptete, dass er mit Hilfe eines mathematischen Pendels viele wichtige Entdeckungen machen konnte, darunter das Erscheinen des Tunguska-Meteoriten und die Entdeckung eines neuen Planeten.

Heutzutage nutzen viele Hellseher und Okkultisten ein solches mechanisches System, um nach vermissten Personen zu suchen und prophetische Vorhersagen zu treffen.

Mit der Technologie und der Welt um uns herum müssen wir uns oft auseinandersetzen periodisch Prozesse, die sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Solche Prozesse werden aufgerufen oszillierend. Schwingungen sind Veränderungen einer physikalischen Größe, die nach einem bestimmten Gesetz im Laufe der Zeit auftreten. Schwingungsphänomene unterschiedlicher physikalischer Natur unterliegen allgemeinen Gesetzen. Beispielsweise können Stromschwingungen in einem Stromkreis und Schwingungen eines mathematischen Pendels durch dieselben Gleichungen beschrieben werden. Die Gemeinsamkeit der Schwingungsmuster ermöglicht es uns, Schwingungsprozesse unterschiedlicher Art aus einem einzigen Blickwinkel zu betrachten.

Mechanische Vibrationen sind Bewegungen von Körpern, die sich in genau gleichen Zeitabständen wiederholen. Beispiele für einfache Schwingsysteme sind ein Gewicht auf einer Feder oder ein mathematisches Pendel. Im System existieren harmonische Schwingungen Es ist notwendig, dass es sich in einer stabilen Gleichgewichtslage befindet, also in einer Lage, von der aus eine Rückstellkraft auf das System einzuwirken beginnt.

Mechanische Schwingungen können ebenso wie oszillierende Prozesse jeder anderen physikalischen Natur auftreten frei Und gezwungen. Kostenlose Vibrationen werden unter dem Einfluss der inneren Kräfte des Systems ausgeführt, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Schwingungen eines Gewichtes an einer Feder oder Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen. Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die unter dem Einfluss äußerer periodisch wechselnder Kräfte auftreten gezwungen.

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind Schwingungen, die nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz auftreten, genannt harmonische Schwingungen. Eine Gleichung, die physikalische Systeme beschreibt, die in der Lage sind, harmonische Schwingungen mit einer zyklischen Frequenz auszuführen ω 0 wird wie folgt eingestellt:

Die Lösung der vorherigen Gleichung lautet Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen, das so aussieht:

Wo: X– Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage, A– Amplitude der Schwingungen, d. h. die maximale Abweichung von der Gleichgewichtslage, ω – zyklische oder kreisförmige Vibrationsfrequenz ( ω = 2Π /T), T- Zeit. Die Größe unter dem Kosinuszeichen: φ = ωt + φ 0 heißt Phase harmonischer Prozess. Die Bedeutung der Schwingungsphase ist: das Stadium, in dem sich die Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet. Bei T= 0, das verstehen wir φ = φ 0 also φ 0 Anruf Anfangsphase(das heißt, das Stadium, von dem aus die Schwingung begann).

Man nennt das minimale Zeitintervall, über das eine Körperbewegung wiederholt wird Schwingungsdauer T. Wenn die Anzahl der Schwingungen N, und ihre Zeit T, dann ergibt sich der Zeitraum als:

Man nennt die zur Schwingungsdauer umgekehrte physikalische Größe Schwingungsfrequenz:

Schwingungsfrequenz ν zeigt an, wie viele Schwingungen in 1 s auftreten. Die Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz). Die Schwingungsfrequenz hängt mit der zyklischen Frequenz zusammen ω und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit für harmonische mechanische Schwingungen wird durch die folgende Formel ausgedrückt:

Maximaler Geschwindigkeitswert für harmonische mechanische Schwingungen:

Maximale absolute Geschwindigkeitswerte υ m = ωA werden in den Momenten erreicht, in denen der Körper Gleichgewichtspositionen durchläuft ( X= 0). Die Beschleunigung wird auf ähnliche Weise bestimmt A = A x eines Körpers bei harmonischen Schwingungen. Abhängigkeit der Beschleunigung von der Zeit für harmonische mechanische Schwingungen:

Maximaler Beschleunigungswert für mechanische harmonische Schwingungen:

Das Minuszeichen im vorherigen Ausdruck bedeutet die Beschleunigung A(T) hat immer das umgekehrte Vorzeichen der Verschiebung X(T) und bringt daher den Körper in seine Ausgangsposition zurück ( X= 0), d.h. bringt den Körper in harmonische Schwingungen.

Bitte beachte, dass:

• Die physikalischen Eigenschaften des Schwingsystems bestimmen lediglich die Eigenfrequenz der Schwingungen ω 0 oder Punkt T.
• Parameter des Schwingungsvorgangs wie z. B. Amplitude A = X m und Anfangsphase φ 0 werden durch die Art und Weise bestimmt, wie das System zum ersten Zeitpunkt aus dem Gleichgewicht gebracht wurde, d. h. Anfangsbedingungen.
• Bei einer oszillierenden Bewegung legt ein Körper in einer Zeit, die der Periode entspricht, einen Weg zurück, der 4 Amplituden entspricht. In diesem Fall kehrt der Körper zum Ausgangspunkt zurück, dh die Bewegung des Körpers ist gleich Null. Folglich legt der Körper in einer Zeit, die einem Viertel der Periode entspricht, einen Weg zurück, der der Amplitude entspricht.

Um zu bestimmen, wann der Sinus und wann der Kosinus in der Schwingungsgleichung eingesetzt werden sollte, müssen Sie die folgenden Faktoren berücksichtigen:

• Am einfachsten geht es, wenn in der Problemstellung die Schwingungen als Sinus oder Kosinus bezeichnet werden.
• Wenn man sagt, dass der Körper aus der Gleichgewichtslage gedrückt wurde, nehmen wir einen Sinus mit einer Anfangsphase gleich Null.
• Wenn gesagt wird, dass der Körper abgelenkt und freigegeben wurde – ein Kosinus mit einer Anfangsphase gleich Null.
• Wenn der Körper aus einem Zustand herausgedrückt wird, der von der Gleichgewichtslage abweicht, ist die Anfangsphase ungleich Null und Sie können sowohl Sinus als auch Cosinus annehmen.

Mathe-Pendel

Mathematische Pendel bezeichnet einen kleinen Körper, der an einem dünnen, langen und nicht dehnbaren Faden hängt, dessen Masse im Vergleich zur Masse des Körpers vernachlässigbar ist. Nur bei kleinen Schwingungen liegt ein mathematisches Pendel harmonisch vor Oszillator, also ein System, das in der Lage ist, harmonische Schwingungen (nach dem Sin- oder Cos-Gesetz) durchzuführen. In der Praxis gilt diese Näherung für Winkel in der Größenordnung von 5–10°. Die Schwingungen eines Pendels bei großen Amplituden sind nicht harmonisch.

Die zyklische Schwingungsfrequenz eines mathematischen Pendels wird nach folgender Formel berechnet:

Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels:

Die resultierende Formel heißt Huygens-Formel und ist erfüllt: wenn der Aufhängepunkt des Pendels bewegungslos ist. Es ist wichtig zu bedenken, dass die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels nicht von der Amplitude der Schwingungen abhängt. Diese Eigenschaft eines Pendels nennt man Isochronizität. Wie für jedes andere System, das mechanische harmonische Schwingungen ausführt, gelten für ein mathematisches Pendel die folgenden Beziehungen:

1. Der Weg von der Gleichgewichtslage bis zum Extrempunkt (oder zurück) wird in einem Viertel der Periode zurückgelegt.
2. Der Weg vom Extrempunkt bis zur halben Amplitude (oder umgekehrt) wird in einem Sechstel der Periode zurückgelegt.
3. Der Weg von der Gleichgewichtslage bis zur halben Amplitude (oder umgekehrt) wird in einem Zwölftel einer Periode zurückgelegt.

Federpendel

Freie Schwingungen entstehen unter dem Einfluss der inneren Kräfte des Systems, nachdem das System aus seiner Gleichgewichtslage entfernt wurde. Damit freie Schwingungen gemäß dem harmonischen Gesetz auftreten, ist es notwendig, dass die Kraft, die dazu neigt, den Körper in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen, proportional zur Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtsposition ist und in die der Verschiebung entgegengesetzte Richtung gerichtet ist. Elastizität hat diese Eigenschaft.

Also eine Last von einiger Masse M, befestigt an der Versteifungsfeder k, deren zweites Ende bewegungslos fixiert ist, bilden ein System, das in der Lage ist, freie harmonische Schwingungen ohne Reibung auszuführen. Eine Belastung einer Feder wird aufgerufen Federpendel.

Die zyklische Schwingungsfrequenz eines Federpendels wird nach folgender Formel berechnet:

Schwingungsdauer eines Federpendels:

Bei kleinen Amplituden ist die Schwingungsdauer eines Federpendels nicht von der Amplitude abhängig (wie bei einem mathematischen Pendel). Bei einem horizontalen Federlastsystem wird die auf die Last wirkende Schwerkraft durch die Stützreaktionskraft kompensiert. Wenn die Last an einer Feder aufgehängt ist, ist die Schwerkraft entlang der Bewegungslinie der Last gerichtet. In der Gleichgewichtslage ist die Feder um einen Betrag gedehnt X 0 gleich:

Und es kommt zu Schwankungen um diese neue Gleichgewichtslage. Die obigen Ausdrücke für die Eigenfrequenz ω 0 und Schwingungsperiode T gelten auch in diesem Fall. Somit bleibt die resultierende Formel für die Schwingungsdauer einer Last auf einer Feder in allen Fällen gültig, unabhängig von der Schwingungsrichtung, der Bewegung des Trägers oder der Einwirkung äußerer konstanter Kräfte.

Bei freien mechanischen Schwingungen ändern sich kinetische und potentielle Energien periodisch. Bei der maximalen Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage verschwindet seine Geschwindigkeit und damit auch seine kinetische Energie. In dieser Position erreicht die potentielle Energie des Schwingkörpers ihren Maximalwert. Bei einer Belastung einer Feder ist die potentielle Energie die Energie der elastischen Verformung der Feder. Für ein mathematisches Pendel ist dies die Energie im Schwerefeld der Erde.

Wenn ein Körper in seiner Bewegung die Gleichgewichtslage durchläuft, ist seine Geschwindigkeit maximal. Durch die Trägheit schießt der Körper über die Gleichgewichtslage hinaus. In diesem Moment hat es maximale kinetische und minimale potentielle Energie (in der Regel wird die potentielle Energie an der Gleichgewichtsposition als Null angenommen). Eine Zunahme der kinetischen Energie erfolgt aufgrund einer Abnahme der potentiellen Energie. Bei weiterer Bewegung beginnt die potentielle Energie aufgrund einer Abnahme der kinetischen Energie zuzunehmen und so weiter.

Bei harmonischen Schwingungen kommt es somit zu einer periodischen Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt. Wenn im Schwingsystem keine Reibung vorhanden ist, bleibt die gesamte mechanische Energie bei freien Schwingungen unverändert. In diesem Fall ergibt sich der Maximalwert der kinetischen Energie bei mechanischen harmonischen Schwingungen durch die Formel:

Der Maximalwert der potentiellen Energie bei mechanischen harmonischen Schwingungen eines Federpendels:

Die Beziehung zwischen den Energieeigenschaften des mechanischen Schwingungsprozesses (die gesamte mechanische Energie ist gleich den Maximalwerten der kinetischen und potentiellen Energien sowie der Summe der kinetischen und potentiellen Energien zu einem beliebigen Zeitpunkt):

Mechanische Wellen

Wenn an einer beliebigen Stelle in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium Schwingungen von Teilchen angeregt werden, beginnen die Schwingungen aufgrund der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen des Mediums mit endlicher Geschwindigkeit von einem Punkt zum anderen zu übertragen. Der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen in einem Medium nennt man Welle.

Mechanische Wellen gibt es in verschiedenen Arten. Wenn bei der Ausbreitung einer Welle Partikel des Mediums eine Verschiebung in einer Richtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung erfahren, spricht man von einer solchen Welle quer. Erfolgt die Verschiebung von Partikeln des Mediums in Ausbreitungsrichtung der Welle, spricht man von einer solchen Welle längs.

Sowohl bei Transversal- als auch bei Longitudinalwellen findet keine Stoffübertragung in Richtung der Wellenausbreitung statt. Bei der Ausbreitung schwingen die Teilchen des Mediums nur um Gleichgewichtslagen. Wellen übertragen jedoch Schwingungsenergie von einem Punkt im Medium zu einem anderen.

Ein charakteristisches Merkmal mechanischer Wellen ist, dass sie sich in materiellen Medien (fest, flüssig oder gasförmig) ausbreiten. Es gibt nichtmechanische Wellen, die sich im Vakuum ausbreiten können (z. B. Licht, d. h. elektromagnetische Wellen können sich im Vakuum ausbreiten).

• Mechanische Longitudinalwellen können sich in allen Medien ausbreiten – fest, flüssig und gasförmig.
• Transversalwellen Nicht kann in flüssigen oder gasförmigen Medien vorkommen.

Für die Praxis sind einfache harmonische oder sinusförmige Wellen von großem Interesse. Sie zeichnen sich durch Amplitude aus A Schwingungen von Teilchen, Frequenz ν und Wellenlänge λ . Sinusförmige Wellen breiten sich in homogenen Medien mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit aus υ .

Wellenlänge λ nennen wir den Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten, die in den gleichen Phasen schwingen. Abstand gleich Wellenlänge λ , die Welle breitet sich in einer Zeit aus, die der Periode entspricht T Daher kann die Wellenlänge nach folgender Formel berechnet werden:

Wo: υ – Geschwindigkeit der Wellenausbreitung. Wenn eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht, ändern sich die Wellenlänge und die Geschwindigkeit ihrer Ausbreitung. Lediglich die Frequenz und Periode der Welle bleiben unverändert.

Der Unterschied in den Phasen der Schwingungen zweier Punkte einer Welle, deren Abstand l berechnet nach der Formel:

Stromkreis

In elektrischen Stromkreisen, aber auch in mechanischen Systemen wie der Belastung einer Feder oder eines Pendels können freie Schwingungen auftreten. Das einfachste elektrische System, das zu freien Schwingungen fähig ist, ist eine Reihenschaltung LC-Schaltung. Ohne Dämpfung sind freie Schwingungen in einem Stromkreis harmonisch. Energieeigenschaften und ihr Zusammenhang bei Schwankungen im Stromkreis:

Periode harmonischer Schwingungen in einem elektrischen Schwingkreis bestimmt durch die Formel:

Zyklische Schwingungsfrequenz in einem elektrischen Schwingkreis:

Die zeitliche Abhängigkeit der Ladung eines Kondensators bei Schwingungen im Stromkreis wird durch das Gesetz beschrieben:

Abhängigkeit des durch eine Induktivität fließenden elektrischen Stroms von der Zeit bei Schwingungen im Stromkreis:

Abhängigkeit der Spannung am Kondensator von der Zeit bei Schwankungen im Stromkreis:

Der maximale Stromwert für harmonische Schwingungen in einem Stromkreis lässt sich nach folgender Formel berechnen:

Der maximale Spannungswert am Kondensator bei harmonischen Schwingungen im Stromkreis:

Alle realen Stromkreise enthalten elektrischen Widerstand R. Der Prozess der freien Schwingungen in einem solchen Stromkreis gehorcht nicht mehr dem harmonischen Gesetz. Während jeder Schwingungsperiode wird ein Teil der im Stromkreis gespeicherten elektromagnetischen Energie in vom Widerstand abgegebene Wärme umgewandelt und die Schwingungen werden gedämpft.

Wechselstrom. Transformator

Der Großteil des weltweiten Stroms wird derzeit von Wechselstromgeneratoren erzeugt, die sinusförmige Spannung erzeugen. Sie ermöglichen die einfachste und wirtschaftlichste Übertragung, Verteilung und Nutzung elektrischer Energie.

Ein Gerät zur Umwandlung mechanischer Energie in Wechselstromenergie wird genannt Generator. Es zeichnet sich durch variable Spannung aus U(T) (induzierte EMK) an seinen Anschlüssen. Der Betrieb eines Wechselstromgenerators basiert auf dem Phänomen der elektromagnetischen Induktion.

Wechselstrom nennt man elektrischen Strom, der sich im Laufe der Zeit nach einem harmonischen Gesetz ändert. Mengen U 0 , ICH 0 = U 0 /R werden genannt Amplitude Spannungs- und Stromwerte. Spannungswerte U(T) und aktuelle Stärke ICH(T) werden je nach Zeit aufgerufen sofortig.

Wechselstrom ist charakterisiert gültig Werte von Strom und Spannung. Der effektive (effektive) Wert eines Wechselstroms ist die Stärke eines Gleichstroms, der beim Durchlaufen eines Stromkreises pro Zeiteinheit die gleiche Wärmemenge freisetzen würde wie ein gegebener Wechselstrom. Für Wechselstrom effektiver aktueller Wert kann mit der Formel berechnet werden:

Ebenso können Sie eintreten aktueller (effektiver) Wert für die Spannung, berechnet nach der Formel:

Somit bleiben die Ausdrücke für Gleichstromleistung auch für Wechselstrom gültig, wenn wir darin die Effektivwerte von Strom und Spannung verwenden:

Bitte beachten Sie, dass wenn wir von Spannung oder Wechselstrom sprechen, (sofern nicht anders angegeben) der Effektivwert gemeint ist. 220 V ist also die effektive Spannung im häuslichen Stromnetz.

Kondensator im Wechselstromkreis

Streng genommen leitet ein Kondensator keinen Strom (in dem Sinne, dass keine Ladungsträger durch ihn fließen). Wenn also ein Kondensator an einen Gleichstromkreis angeschlossen ist, ist der Strom zu jedem Zeitpunkt an jedem Punkt im Stromkreis Null. Bei Anschluss an einen Wechselstromkreis wird der Kondensator aufgrund der ständigen Änderung der EMF aufgeladen. Es fließt immer noch kein Strom durch den Stromkreis, aber es ist Strom im Stromkreis vorhanden. Daher wird üblicherweise gesagt, dass ein Kondensator Wechselstrom leitet. In diesem Fall ist das Konzept des Kondensatorwiderstands in einem Wechselstromkreis (bzw Kapazität

Beachten Sie, dass die Kapazität von der Frequenz des Wechselstroms abhängt. Er unterscheidet sich grundlegend von dem Widerstand R, den wir gewohnt sind. So wird am Widerstand R Wärme freigesetzt (weshalb er oft als aktiv bezeichnet wird), am kapazitiven Blindwiderstand jedoch keine Wärme. Der aktive Widerstand ist mit der Wechselwirkung von Ladungsträgern während des Stromflusses verbunden, und der kapazitive Widerstand ist mit den Aufladevorgängen des Kondensators verbunden.

Induktor in einem Wechselstromkreis

Wenn Wechselstrom in der Spule fließt, tritt das Phänomen der Selbstinduktion und damit der EMF auf. Aus diesem Grund sind Spannung und Strom in der Spule phasenverschoben (wenn der Strom Null ist, hat die Spannung ihren Maximalwert und umgekehrt). Aufgrund dieser Diskrepanz ist die durchschnittliche in der Spule freigesetzte Wärmeleistung Null. In diesem Fall ist das Konzept des Spulenwiderstands in einem Wechselstromkreis (bzw induktive Reaktanz). Dieser Widerstand ergibt sich aus:

Beachten Sie, dass die induktive Reaktanz von der Frequenz des Wechselstroms abhängt. Wie die kapazitive Reaktanz unterscheidet sie sich vom Widerstand R. Wie die kapazitive Reaktanz erzeugt die induktive Reaktanz keine Wärme. Induktive Reaktanz ist mit dem Phänomen der Selbstinduktion in der Spule verbunden.

Transformer

Unter den Wechselstromgeräten, die in der Technik breite Anwendung gefunden haben, nimmt Folgendes einen bedeutenden Platz ein Transformer. Das Funktionsprinzip von Transformatoren zur Erhöhung oder Verringerung der Wechselspannung basiert auf dem Phänomen der elektromagnetischen Induktion. Der einfachste Transformator besteht aus einem geschlossenen Kern, auf den zwei Wicklungen gewickelt sind: primär Und sekundär. Die Primärwicklung ist an eine Wechselstromquelle mit einer gewissen Spannung angeschlossen U 1, und die Sekundärwicklung ist mit der Last verbunden, an der Spannung auftritt U 2. Darüber hinaus, wenn die Anzahl der Windungen in der Primärwicklung gleich ist N 1 und in der Sekundarstufe N 2, dann gilt folgende Beziehung:

Übersetzungsverhältnis berechnet nach der Formel:

Wenn der Transformator ideal ist, gilt folgende Beziehung (die Eingangs- und Ausgangsleistungen sind gleich):

Bei einem nichtidealen Transformator wird das Konzept des Wirkungsgrades eingeführt:

Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Wellen ist ein elektromagnetisches Feld, das sich in Raum und Zeit ausbreitet. Elektromagnetische Wellen sind transversal – die Vektoren der elektrischen Intensität und der magnetischen Induktion stehen senkrecht zueinander und liegen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Elektromagnetische Wellen breiten sich in Materie mit endlicher Geschwindigkeit aus, die mit der Formel berechnet werden kann:

Wo: ε Und μ – dielektrische und magnetische Permeabilität des Stoffes, ε 0 und μ 0 – elektrische und magnetische Konstanten: ε 0 = 8,85419 10 –12 F/m, μ 0 = 1,25664·10 –6 H/m. Die Geschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum (wo ε = μ = 1) konstant und gleich ist Mit= 3∙10 8 m/s, er kann auch mit der Formel berechnet werden:

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum ist eine der grundlegenden physikalischen Konstanten. Wenn sich eine elektromagnetische Welle in einem beliebigen Medium ausbreitet, wird die Geschwindigkeit ihrer Ausbreitung auch durch die folgende Beziehung ausgedrückt:

Wo: N– Der Brechungsindex eines Stoffes ist eine physikalische Größe, die angibt, um wie viel Mal die Lichtgeschwindigkeit in einem Medium geringer ist als im Vakuum. Der Brechungsindex kann, wie aus den vorherigen Formeln hervorgeht, wie folgt berechnet werden:

• Elektromagnetische Wellen transportieren Energie. Bei der Ausbreitung von Wellen entsteht ein Fluss elektromagnetischer Energie.
• Elektromagnetische Wellen können nur durch sich schnell bewegende Ladungen angeregt werden. Gleichstromkreise, in denen sich Ladungsträger mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, sind keine Quelle elektromagnetischer Wellen. Aber die Stromkreise, in denen Wechselstrom fließt, also solche Schaltkreise, in denen Ladungsträger ständig ihre Bewegungsrichtung ändern, d.h. Sie bewegen sich mit Beschleunigung – sie sind eine Quelle elektromagnetischer Wellen. In der modernen Funktechnik werden elektromagnetische Wellen über Antennen unterschiedlicher Bauart ausgesendet, in denen schnell wechselnde Ströme angeregt werden.

Oszillierende Bewegung- periodische oder nahezu periodische Bewegung eines Körpers, deren Koordinaten, Geschwindigkeit und Beschleunigung in gleichen Zeitabständen ungefähr die gleichen Werte annehmen.

Mechanische Schwingungen treten auf, wenn beim Entfernen eines Körpers aus der Gleichgewichtslage eine Kraft auftritt, die dazu neigt, den Körper zurückzubringen.

Die Verschiebung x ist die Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage.

Amplitude A ist das Modul der maximalen Verschiebung des Körpers.

Schwingungsdauer T – Zeit einer Schwingung:

Schwingungsfrequenz

Die Anzahl der Schwingungen, die ein Körper pro Zeiteinheit ausführt: Bei Schwingungen ändern sich Geschwindigkeit und Beschleunigung periodisch. In der Gleichgewichtslage ist die Geschwindigkeit maximal und die Beschleunigung Null. An den Punkten maximaler Verschiebung erreicht die Beschleunigung ihr Maximum und die Geschwindigkeit wird Null.

HARMONISCHER VIBRATIONSPLAN

Harmonisch Schwingungen, die nach dem Sinus- oder Cosinusgesetz auftreten, heißen:

Dabei ist x(t) die Verschiebung des Systems zum Zeitpunkt t, A die Amplitude und ω die zyklische Schwingungsfrequenz.

Wenn man auf der vertikalen Achse die Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtslage und auf der horizontalen Achse die Zeit aufträgt, erhält man ein Schwingungsdiagramm x = x(t) – die Abhängigkeit der Verschiebung des Körpers von der Zeit. Bei freien harmonischen Schwingungen handelt es sich um eine Sinus- oder Kosinuswelle. Die Abbildung zeigt Diagramme der Abhängigkeit der Verschiebung x, Projektionen der Geschwindigkeit V x und der Beschleunigung a x von der Zeit.

Wie aus den Diagrammen ersichtlich ist, ist bei maximaler Verschiebung x die Geschwindigkeit V des oszillierenden Körpers Null, die Beschleunigung a und damit die auf den Körper wirkende Kraft ist maximal und der Verschiebung entgegengesetzt gerichtet. In der Gleichgewichtslage werden Weg und Beschleunigung zu Null und die Geschwindigkeit ist maximal. Die Beschleunigungsprojektion hat immer das entgegengesetzte Vorzeichen zur Verschiebung.

ENERGIE DER VIBRATIONSBEWEGUNG

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist gleich der Summe seiner kinetischen und potentiellen Energien und bleibt ohne Reibung konstant:

In dem Moment, in dem die Verschiebung ein Maximum x = A erreicht, geht die Geschwindigkeit und damit auch die kinetische Energie gegen Null.

In diesem Fall ist die Gesamtenergie gleich der potentiellen Energie:

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist proportional zum Quadrat der Amplitude seiner Schwingungen.

Wenn das System die Gleichgewichtslage überschreitet, sind Verschiebung und potentielle Energie Null: x = 0, E p = 0. Daher ist die Gesamtenergie gleich der kinetischen Energie:

Die gesamte mechanische Energie eines schwingenden Körpers ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage. Somit:

MATHEMATISCHES PENDEL

1. Mathe-Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden hängt.

In der Gleichgewichtslage wird die Schwerkraft durch die Spannung des Fadens kompensiert. Wird das Pendel ausgelenkt und losgelassen, kompensieren sich die Kräfte nicht mehr gegenseitig und es entsteht eine resultierende Kraft, die auf die Gleichgewichtslage gerichtet ist. Newtons zweites Gesetz:

Bei kleinen Schwingungen, wenn die Verschiebung x viel kleiner als l ist, bewegt sich der Materialpunkt fast entlang der horizontalen x-Achse. Dann erhalten wir aus dem Dreieck MAB:

Als sin a = x/l, dann ist die Projektion der resultierenden Kraft R auf die x-Achse gleich

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft R immer entgegengesetzt zur Verschiebung x gerichtet ist.

2. Sowohl bei Schwingungen eines mathematischen Pendels als auch bei Schwingungen eines Federpendels ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung und in die entgegengesetzte Richtung gerichtet.

Vergleichen wir die Ausdrücke für die Rückstellkraft von mathematischen Pendeln und Federpendeln:

Es ist ersichtlich, dass mg/l ein Analogon von k ist. Ersetzen von k durch mg/l in der Formel für die Periode eines Federpendels

wir erhalten die Formel für die Periode eines mathematischen Pendels:

Die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Amplitude ab.

Mit einem mathematischen Pendel wird die Zeit gemessen und die Erdbeschleunigung an einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche bestimmt.

Freie Schwingungen eines mathematischen Pendels bei kleinen Auslenkungswinkeln sind harmonisch. Sie entstehen durch die resultierende Schwerkraft und die Spannungskraft des Fadens sowie die Trägheit der Last. Die Resultierende dieser Kräfte ist die Rückstellkraft.

Beispiel. Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung auf einem Planeten, auf dem ein 6,25 m langes Pendel eine freie Schwingungsdauer von 3,14 s hat.

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels hängt von der Länge des Fadens und der Erdbeschleunigung ab:

Indem wir beide Seiten der Gleichheit quadrieren, erhalten wir:

Antwort: die Erdbeschleunigung beträgt 25 m/s 2 .

Aufgaben und Tests zum Thema „Thema 4. „Mechanik. Schwingungen und Wellen.“

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