Formel für den Median auf drei Seiten. Median eines Dreiecks. Sätze im Zusammenhang mit den Medianwerten eines Dreiecks. Formeln zum Finden von Medianen

Anweisungen

Zurückziehen Formel Für Mediane In einem willkürlichen Fall ist es notwendig, sich der Folgerung des Kosinussatzes für das durch Vervollständigung erhaltene Parallelogramm zuzuwenden Dreieck. Damit kann die Formel bewiesen werden, sie ist sehr praktisch zum Lösen, wenn alle Längen der Seiten bekannt sind oder sie leicht aus anderen Ausgangsdaten des Problems ermittelt werden können.

Tatsächlich ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. Es klingt so: für zweidimensional Dreieck mit den Längen der Seiten a, b und c und dem Winkel α gegenüber a gilt folgende Gleichung: a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Eine allgemeine Folgerung aus dem Kosinussatz bestimmt eine der wichtigsten Eigenschaften eines Vierecks: Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten: d1² + d2² = a² + b² + c² + d² .

Vervollständigen Sie das Dreieck zum Parallelogramm ABCD, indem Sie Geraden parallel zu a und c hinzufügen. also mit Seiten a und c und Diagonale b. Die bequemste Art zu bauen ist folgende: Legen Sie ein Segment MD gleicher Länge auf die Gerade, zu der der Median gehört, und verbinden Sie seinen Scheitelpunkt mit den Scheitelpunkten der verbleibenden A und C.

Gemäß der Eigenschaft eines Parallelogramms werden die Diagonalen durch den Schnittpunkt in gleiche Teile geteilt. Wenden Sie die Folgerung des Kosinussatzes an, wonach die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms gleich der Summe des Doppelten der Quadrate seiner Seiten ist: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Da BK = 2 BM und BM der Median von m ist, gilt: (2 m)² + b² = 2 c² + 2 a², woraus: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

Du hast herausgebracht Formel einer von Dreieck für Seite b: mb = m. Ebenso gibt es Mediane seine beiden anderen Seiten:ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²);mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Quellen:

• Medianformel
• Formeln für den Median eines Dreiecks [Video]

Median Dreieck wird als Segment bezeichnet, das einen beliebigen Scheitelpunkt verbindet Dreieck von der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Drei Mediane schneiden sich in einem Punkt immer innen Dreieck. Dieser Punkt teilt jeden Median im Verhältnis 2:1.

Anweisungen

Das Problem, den Median zu finden, kann durch zusätzliche Konstruktionen gelöst werden Dreieck zu einem Parallelogramm und durch den Satz über die Diagonalen eines Parallelogramms Dreieck Und Median, sie zu einem Parallelogramm aufbauen. Also der Median Dreieck wird die Hälfte der Diagonale des resultierenden Parallelogramms sein, zwei Seiten Dreieck- seine Seite (a, b) und die dritte Seite Dreieck, zu dem der Median gezogen wurde, ist die zweite Diagonale des resultierenden Parallelogramms. Nach dem Satz ist die Summe der Quadrate eines Parallelogramms gleich dem Doppelten der Summe der Quadrate seiner Seiten.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
Wo
d1, d2 - Diagonalen des resultierenden Parallelogramms;
von hier:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Der Median ist das Liniensegment, das den Scheitelpunkt verbindet Dreieck und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Kenntnis der Längen aller drei Seiten Dreieck, können Sie seinen Median finden. In besonderen Fällen gleichschenklig und gleichseitig Dreieck Offensichtlich reicht es aus, jeweils zwei (nicht gleich) und eine Seite zu kennen Dreieck.

Du wirst brauchen

• Herrscher

Anweisungen

Betrachten wir den allgemeinen Fall Dreieck ABC mit ungleichen Freunden Parteien. Die Länge des mittleren AE davon Dreieck kann mit der Formel berechnet werden: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Die übrigen Mediane sind absolut ähnlich. Dies kann durch den Satz von Stewart oder durch die Erweiterung abgeleitet werden Dreieck zu einem Parallelogramm.

Wenn ABC gleichschenklig ist und AB = AC, dann beträgt der Median AE beides Dreieck. Daher ist das Dreieck BEA ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras ist AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Aus der Gesamtlänge des Medians Dreieck Für die Mediane BO und CP gilt: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Quellen:

• Mediane und sektorlose Linien eines Dreiecks

Der Median ist das Liniensegment, das den Scheitelpunkt des Dreiecks und die Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet. Wenn Sie die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks kennen, können Sie es finden Mediane. In besonderen Fällen eines gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecks reicht es offensichtlich aus, jeweils zwei (einander nicht gleiche) und eine Seite des Dreiecks zu kennen. Der Median kann auch anhand anderer Daten ermittelt werden.

Du wirst brauchen

• Längen der Seiten eines Dreiecks, Winkel zwischen den Seiten eines Dreiecks

Anweisungen

Betrachten wir den allgemeinsten Fall des Dreiecks ABC mit drei ungleichen Seiten. Länge Mediane Der AE dieses Dreiecks kann mit der Formel berechnet werden: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Ausruhen Mediane sind absolut ähnlich. Dies kann durch den Satz von Stewart oder durch die Vervollständigung eines Dreiecks zu einem Parallelogramm abgeleitet werden.

Wenn ABC gleichschenklig ist und AB = AC, dann ist AE auch dieses Dreieck. Daher ist das Dreieck BEA ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras ist AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Von der Gesamtlänge Mediane Dreieck, für BO und CP gilt: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Der Median eines Dreiecks kann mithilfe anderer Daten ermittelt werden. Wenn beispielsweise die Längen zweier Seiten angegeben sind, wird zu einer von ihnen ein Median gezeichnet, beispielsweise die Längen der Seiten AB und BC sowie der Winkel x zwischen ihnen. Dann die Länge Mediane kann durch den Kosinussatz gefunden werden: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Quellen:

• Mediane und Winkelhalbierende eines Dreiecks
• wie man die Länge des Medians ermittelt

Der Mittelwert und die Höhe eines Dreiecks sind eines der faszinierendsten und interessantesten Themen der Geometrie. Der Begriff „Median“ bezeichnet die Linie oder das Segment, das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit seiner gegenüberliegenden Seite verbindet. Mit anderen Worten: Der Median ist eine Linie, die von der Mitte einer Seite eines Dreiecks zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt desselben Dreiecks verläuft. Da ein Dreieck nur drei Eckpunkte und drei Seiten hat, bedeutet das, dass es nur drei Mediane geben kann.

Eigenschaften des Medians eines Dreiecks

1. Alle Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und sind durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 getrennt, vom Scheitelpunkt aus gerechnet. Wenn Sie also alle drei Mediane in einem Dreieck zeichnen, werden sie durch ihren Schnittpunkt in zwei Teile geteilt. Der Teil, der näher am Scheitelpunkt liegt, macht 2/3 der gesamten Linie aus, und der Teil, der näher an der Seite des Dreiecks liegt, macht 1/3 der Linie aus. Die Mediane schneiden sich in einem Punkt.
2. Drei in ein Dreieck eingezeichnete Mediane teilen dieses Dreieck in 6 kleine Dreiecke mit gleicher Fläche.
3. Je größer die Seite des Dreiecks ist, von der der Median stammt, desto kleiner ist der Median. Umgekehrt hat die kürzeste Seite den längsten Median.
4. Der Median in einem rechtwinkligen Dreieck weist eine Reihe eigener Merkmale auf. Wenn wir beispielsweise einen Kreis um ein solches Dreieck beschreiben, der durch alle Eckpunkte verläuft, dann wird der Median des rechten Winkels zur Hypotenuse zum Radius des umschriebenen Kreises (d. h. seine Länge entspricht dem Abstand von jeder Punkt des Kreises zu seinem Mittelpunkt).

Gleichung der Länge des Medians eines Dreiecks

Die Medianformel stammt aus dem Satz von Stewart und besagt, dass der Median die Quadratwurzel des Verhältnisses der Quadrate der Summe der Seiten eines Dreiecks, die den Scheitelpunkt bilden, minus dem Quadrat der Seite, zu der der Median gezogen wird, zu vier ist . Mit anderen Worten, um die Länge des Medians herauszufinden, müssen Sie die Längen jeder Seite des Dreiecks quadrieren und sie dann als Bruch aufschreiben, dessen Zähler die Summe der Quadrate der Seiten ist Bilden Sie den Winkel, aus dem der Median kommt, minus dem Quadrat der dritten Seite. Der Nenner ist hier die Zahl 4. Dann müssen wir aus diesem Bruch die Quadratwurzel ziehen und erhalten dann die Länge des Medians.

Schnittpunkt der Dreiecksmediane

Wie wir oben geschrieben haben, schneiden sich alle Mediane eines Dreiecks in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt. Es teilt jeden Median in zwei Teile, deren Länge proportional zu 2:1 ist. In diesem Fall ist der Mittelpunkt des Dreiecks auch der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Und andere geometrische Figuren haben ihre eigenen Zentren.

Koordinaten des Schnittpunkts der Mittelwerte des Dreiecks

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Mediane eines Dreiecks zu ermitteln, verwenden wir die Eigenschaft des Schwerpunkts, nach der jeder Median im Verhältnis 2:1 in Segmente unterteilt wird. Wir bezeichnen die Eckpunkte als A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

und berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Dreiecks mit der Formel: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Fläche eines Dreiecks durch den Median

Alle Mediane eines Dreiecks teilen dieses Dreieck in 6 gleiche Dreiecke, und der Mittelpunkt des Dreiecks teilt jeden Median im Verhältnis 2:1. Wenn daher die Parameter jedes Medians bekannt sind, können Sie die Fläche des Dreiecks durch die Fläche eines der kleinen Dreiecke berechnen und diesen Indikator dann um das Sechsfache erhöhen.

1. Was ist der Median?

Es ist sehr einfach!

Nehmen Sie ein Dreieck:

Markieren Sie die Mitte auf einer seiner Seiten.

Und verbinden Sie sich mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt!

Die resultierende Zeile und es gibt einen Median.

2. Eigenschaften des Medians.

Welche guten Eigenschaften hat der Median?

1) Stellen wir uns vor, dass es ein Dreieck gibt rechteckig. Es gibt solche Dinge, oder?

Warum??? Was hat ein rechter Winkel damit zu tun?

Schauen wir genau hin. Nur kein Dreieck, sondern... ein Rechteck. Warum fragst du?

Aber du gehst auf der Erde – siehst du, dass sie rund ist? Nein, natürlich muss man dazu die Erde aus dem Weltraum betrachten. Wir betrachten also unser rechtwinkliges Dreieck „aus dem Weltraum“.

Zeichnen wir eine Diagonale:

Erinnern Sie sich an die Diagonalen eines Rechtecks? gleich Und Aktie Schnittpunkt entzwei? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)

Das bedeutet, dass die Hälfte der zweiten Diagonale uns gehört Median. Die Diagonalen sind gleich und ihre Hälften natürlich auch. Das ist es, was wir bekommen werden

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um es zu glauben, denken Sie selbst: Gibt es außer einem Rechteck noch ein anderes Parallelogramm mit gleichen Diagonalen? Nein, natürlich! Das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck einer halben Seite entsprechen kann.

Sehen wir uns an, wie diese Eigenschaft zur Lösung von Problemen beiträgt.

Hier, Aufgabe:
Zu den Seiten; . Von oben gezeichnet Median. Finden Sie, ob.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir das nicht wüssten Median gleich einer halben Seite

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

2) Und nun lasst uns nicht nur eins, sondern ein Ganzes haben drei Mediane! Wie verhalten sie sich?

Erinnere dich sehr daran wichtige Tatsache:

Schwierig? Sehen Sie das Bild an:

Mediane und Schnittpunkt in einem Punkt.

Und….(wir beweisen dies in, aber vorerst Erinnern!):

• - doppelt so viel wie;
• - doppelt so viel wie;
• - doppelt so viel wie.

Bist du schon müde? Werden Sie für das nächste Beispiel stark genug sein? Jetzt werden wir alles anwenden, worüber wir gesprochen haben!

Aufgabe: In einem Dreieck werden Mediane und eingezeichnet, die sich in einem Punkt schneiden. Finden Sie, ob

Finden wir mithilfe des Satzes des Pythagoras heraus:

Wenden wir nun das Wissen über den Schnittpunkt der Mediane an.

Definieren wir es. Segment, a. Wenn nicht alles klar ist, schauen Sie sich das Bild an.

Das haben wir bereits herausgefunden.

Bedeutet, ; .

In der Aufgabe werden wir nach einem Segment gefragt.

In unserer Notation.

Antwort: .

Gefallen? Versuchen Sie nun, Ihr Wissen über den Median selbst anzuwenden!

MEDIAN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

1. Der Median teilt die Seite in zwei Hälften.

Und alle? Oder teilt sie vielleicht etwas anderes in zwei Hälften? Stell dir das vor!

2. Satz: Der Median teilt die Fläche in zwei Hälften.

Warum? Erinnern wir uns an die einfachste Form der Fläche eines Dreiecks.

Und diese Formel wenden wir gleich doppelt an!

Schauen Sie, der Median ist in zwei Dreiecke unterteilt: und. Aber! Sie haben die gleiche Höhe -! Erst in dieser Höhe fällt es zur Seite und bei - auf der Fortsetzungsseite. Überraschenderweise passiert auch das: Die Dreiecke sind unterschiedlich, aber die Höhe ist gleich. Und jetzt wenden wir die Formel zweimal an.

Was würde das bedeuten? Sehen Sie das Bild an. Tatsächlich enthält dieser Satz zwei Aussagen. Ist Ihnen das aufgefallen?

Erste Aussage: Mediane schneiden sich in einem Punkt.

Zweite Aussage: Der Schnittpunkt des Medians wird durch ein Verhältnis geteilt, gezählt vom Scheitelpunkt.

Versuchen wir, das Geheimnis dieses Theorems zu lüften:

Lassen Sie uns die Punkte verbinden und. Was ist passiert?

Zeichnen wir nun eine weitere Mittellinie: Markieren Sie die Mitte – setzen Sie einen Punkt, markieren Sie die Mitte – setzen Sie einen Punkt.

Jetzt - die Mittellinie. Also

1. parallel;

Sind Ihnen irgendwelche Zufälle aufgefallen? Beide und sind parallel. Und und.

Was folgt daraus?

1. parallel;

Natürlich nur für ein Parallelogramm!

Dies bedeutet, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. Na und? Erinnern wir uns an die Eigenschaften eines Parallelogramms. Was wissen Sie beispielsweise über die Diagonalen eines Parallelogramms? Das ist richtig, sie teilen den Schnittpunkt in zwei Hälften.

Schauen wir uns die Zeichnung noch einmal an.

Das heißt, der Median wird durch Punkte in drei gleiche Teile geteilt. Und genau das Gleiche.

Das bedeutet, dass beide Mediane genau im Verhältnis um einen Punkt getrennt waren, also und.

Was passiert mit dem dritten Median? Kehren wir zum Anfang zurück. Oh Gott?! Nein, jetzt wird alles viel kürzer sein. Werfen wir den Median weg und machen wir die Mediane und.

Stellen Sie sich nun vor, dass wir genau die gleichen Überlegungen angestellt haben wie für die Mediane und. Was dann?

Es stellt sich heraus, dass der Median den Median auf genau die gleiche Weise teilt: im Verhältnis, vom Punkt aus gezählt.

Aber wie viele Punkte kann es auf einem Segment geben, die es im Verhältnis teilen, vom Punkt aus gezählt?

Natürlich nur einer! Und wir haben es bereits gesehen – darum geht es.

Was ist am Ende passiert?

Der Median ist definitiv durchgekommen! Alle drei Mediane durchliefen es. Und alle waren geteilter Meinung, von oben gezählt.

Also haben wir den Satz gelöst (bewiesen). Die Lösung war ein Parallelogramm, das in einem Dreieck sitzt.

4. Formel für die mittlere Länge

Wie kann man die Länge des Medians ermitteln, wenn die Seiten bekannt sind? Sind Sie sicher, dass Sie das brauchen? Lassen Sie uns ein schreckliches Geheimnis lüften: Diese Formel ist nicht sehr nützlich. Aber trotzdem werden wir es schreiben, aber wir werden es nicht beweisen (wenn Sie an dem Beweis interessiert sind, schauen Sie sich die nächste Ebene an).

Wie können wir verstehen, warum das passiert?

Schauen wir genau hin. Nur kein Dreieck, sondern ein Rechteck.

Betrachten wir also ein Rechteck.

Ist Ihnen aufgefallen, dass unser Dreieck genau die Hälfte dieses Rechtecks ​​ist?

Zeichnen wir eine Diagonale

Erinnern Sie sich, dass die Diagonalen eines Rechtecks ​​gleich sind und den Schnittpunkt halbieren? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)
Aber eine der Diagonalen ist unsere Hypotenuse! Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der Diagonalen in der Mitte der Hypotenuse liegt. Es hieß unseres.

Das bedeutet, dass die Hälfte der zweiten Diagonale unser Median ist. Die Diagonalen sind gleich und ihre Hälften natürlich auch. Das ist es, was wir bekommen werden

Außerdem passiert dies nur in einem rechtwinkligen Dreieck!

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um es zu glauben, denken Sie selbst: Gibt es außer einem Rechteck noch ein anderes Parallelogramm mit gleichen Diagonalen? Nein, natürlich! Das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck einer halben Seite entsprechen kann. Sehen wir uns an, wie diese Eigenschaft zur Lösung von Problemen beiträgt.

Hier ist die Aufgabe:

Zu den Seiten; . Der Median wird vom Scheitelpunkt aus ermittelt. Finden Sie, ob.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir nicht wüssten, dass der Median die halbe Seite ist nur in einem rechtwinkligen Dreieck, es gibt keine Möglichkeit, dieses Problem zu lösen. Und jetzt können wir!

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

MEDIAN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Der Median teilt die Seite in zwei Hälften.

2. Satz: Der Median teilt die Fläche in zwei Hälften

4. Formel für die mittlere Länge

Umkehrsatz: Wenn der Median gleich der halben Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig und dieser Median wird zur Hypotenuse gezogen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

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Median eines Dreiecks- Dies ist ein Segment, das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite dieses Dreiecks verbindet.

Eigenschaften von Dreiecksmedianen

1. Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

2. Die Mittellinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der sie jeweils im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt des Dreiecks (Schwerpunkt) bezeichnet.

3. Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.

Länge des zur Seite gezogenen Mittelstreifens: ( Beweisen Sie, indem Sie zu einem Parallelogramm aufbauen und die Gleichheit in einem Parallelogramm aus der doppelten Summe der Quadrate der Seiten und der Summe der Quadrate der Diagonalen verwenden )

T1. Die drei Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, der sie jeweils im Verhältnis 2:1 teilt, gerechnet von den Eckpunkten des Dreiecks. Gegeben: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - Mediane
∆ABC. Beweisen Sie: und

D-vo: Sei M der Schnittpunkt der Mediane CC 1, AA 1 des Dreiecks ABC. Markieren wir A 2 – die Mitte des Segments AM und C 2 – die Mitte des Segments CM. Dann ist A 2 C 2 die Mittellinie des Dreiecks AMS. Bedeutet, A 2 C 2|| Wechselstrom

und A 2 C 2 = 0,5*AC. MIT 1 A 1 - die Mittellinie des Dreiecks ABC. Also A 1 MIT 1 || AC und A 1 MIT 1 = 0,5*AC.

Viereck A 2 C 1 A 1 C 2- ein Parallelogramm, da seine gegenüberliegenden Seiten A sind 1 MIT 1 Und A 2 C 2 gleich und parallel. Somit, A 2 M = MA 1 Und C 2 M = MC 1 . Das bedeutet, dass die Punkte Eine 2 Und M Teilen Sie den Median AA 2 in drei gleiche Teile, d.h. AM = 2MA 2. Gleich wie CM = 2MC 1 . Also Punkt M des Schnittpunkts zweier Mediane AA 2 Und CC 2 Das Dreieck ABC teilt jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gezählt von den Eckpunkten des Dreiecks. Auf ganz ähnliche Weise wird bewiesen, dass der Schnittpunkt der Mediane AA 1 und BB 1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, gerechnet von den Eckpunkten des Dreiecks.

Auf dem Median AA 1 ist ein solcher Punkt Punkt M, also Punkt M und es gibt den Schnittpunkt der Mediane AA 1 und BB 1.

Auf diese Weise, N

T2. Beweisen Sie, dass die Segmente, die den Schwerpunkt mit den Eckpunkten des Dreiecks verbinden, es in drei gleiche Teile teilen. Gegeben: ∆ABC, - sein Mittelwert.

Beweisen: S AMB =S BMC =S AMC.Nachweisen. IN, sie haben etwas gemeinsam. Weil ihre Basen sind gleich und die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe M, sie haben etwas gemeinsam. Dann

Auf ähnliche Weise wird das bewiesen S AMB = S AMC . Auf diese Weise, S AMB = S AMC = S CMB.N

Dreieckshalbierende. Sätze im Zusammenhang mit Dreieckshalbierenden. Formeln zum Finden von Winkelhalbierenden

Winkelhalbierende- ein Strahl, der am Scheitelpunkt eines Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleiche Winkel teilt.

Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte innerhalb des Winkels, die von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt sind.

Eigenschaften

1. Winkelhalbierendes Theorem: Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht

2. Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt – dem Mittelpunkt – dem Mittelpunkt des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

3. Wenn zwei Winkelhalbierende in einem Dreieck gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig (Satz von Steiner-Lemus).

Berechnung der Winkelhalbierenden

l c - Länge der zur Seite c gezogenen Winkelhalbierenden,

a,b,c – Seiten des Dreiecks gegenüber den Eckpunkten A,B,C,

p ist der Halbumfang des Dreiecks,

a l , b l – Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende l c die Seite c teilt,

α, β, γ – Innenwinkel des Dreiecks an den Eckpunkten A, B, C,

h c ist die Höhe des Dreiecks, abgesenkt zur Seite c.

Flächenmethode.

Merkmale der Methode. Wie der Name schon sagt, ist das Hauptobjekt dieser Methode die Fläche. Bei einer Reihe von Figuren, beispielsweise bei einem Dreieck, wird die Fläche ganz einfach durch verschiedene Kombinationen von Elementen der Figur (Dreieck) ausgedrückt. Daher ist es eine sehr effektive Technik, verschiedene Ausdrücke für die Fläche einer bestimmten Figur zu vergleichen. In diesem Fall entsteht eine Gleichung, die die bekannten und gewünschten Elemente der Figur enthält, durch deren Lösung wir das Unbekannte bestimmen. Hier manifestiert sich das Hauptmerkmal der Flächenmethode: Sie „macht“ aus einem geometrischen Problem ein algebraisches Problem und reduziert alles auf die Lösung einer Gleichung (und manchmal eines Gleichungssystems).

1) Vergleichsmethode: Verbunden mit einer großen Anzahl von Formeln S derselben Figuren

2) S-Beziehungsmethode: basierend auf Trace-Unterstützungsproblemen:

Satz von Ceva

Lassen Sie die Punkte A", B", C" auf den Linien BC, CA, AB des Dreiecks liegen. Die Linien AA", BB", CC" schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn

Nachweisen.

Bezeichnen wir mit dem Schnittpunkt der Segmente und . Senken wir die Senkrechten von den Punkten C und A auf die Linie BB 1 ab, bis sie diese an den Punkten K bzw. L schneiden (siehe Abbildung).

Da Dreiecke eine gemeinsame Seite haben, beziehen sich ihre Flächen auf die auf dieser Seite gezeichneten Höhen, d. h. AL und CK:

Die letzte Gleichheit ist wahr, da rechtwinklige Dreiecke im spitzen Winkel ähnlich sind.

Ebenso erhalten wir Und

Lassen Sie uns diese drei Gleichungen multiplizieren:

Q.E.D.

Kommentar. Ein Segment (oder eine Fortsetzung eines Segments), das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit einem auf der gegenüberliegenden Seite liegenden Punkt oder seiner Fortsetzung verbindet, wird Ceviana genannt.

Satz (Umkehrung des Satzes von Ceva). Lassen Sie die Punkte A“, B“, C“ auf den Seiten BC, CA und AB des Dreiecks ABC liegen. Die Beziehung sei erfüllt

Dann schneiden sich die Segmente AA“,BB“,CC“ in einem Punkt.

Satz von Menelaos

Satz von Menelaos. Eine Gerade schneidet das Dreieck ABC, wobei C 1 der Schnittpunkt mit der Seite AB, A 1 der Schnittpunkt mit der Seite BC und B 1 der Schnittpunkt mit der Verlängerung der Seite AC ist. Dann

Nachweisen . Zeichnen wir eine Linie parallel zu AB durch den Punkt C. Bezeichnen wir mit K seinen Schnittpunkt mit der Geraden B 1 C 1 .

Die Dreiecke AC 1 B 1 und CKB 1 sind ähnlich (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Somit,

Auch die Dreiecke BC 1 A 1 und CKA 1 sind ähnlich (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Bedeutet,

Aus jeder Gleichheit drücken wir CK aus:

Wo Q.E.D.

Satz (der Umkehrsatz von Menelaos). Gegeben sei das Dreieck ABC. Lassen Sie Punkt C 1 auf der Seite AB liegen, Punkt A 1 auf der Seite BC und Punkt B 1 auf der Fortsetzung der Seite AC und lassen Sie die folgende Beziehung gelten:

Dann liegen die Punkte A 1, B 1 und C 1 auf derselben Linie.