Wie werden Bruchzahlen multipliziert? Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren. IV. Ein Projekt aufbauen, um aus einem Problem herauszukommen

§ 87. Addition von Brüchen.

Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren ganzer Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Terme) zu einer Zahl (Summe) zusammengefasst werden, die alle Einheiten und Brüche der Einheiten der Terme enthält.

Wir werden nacheinander drei Fälle betrachten:

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition gemischter Zahlen.

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.

Betrachten Sie ein Beispiel: 1/5 + 2/5.

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als eins und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann ist der Teil AC dieses Segments gleich 1/5 des Segments AB und der Teil desselben Segments CD ist gleich 2/5 AB.

Aus der Zeichnung geht hervor, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Wenn wir diese Terme und die resultierende Summe betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.

Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Addieren wir die Brüche: 3 / 4 + 3 / 8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden:

Der Zwischenlink 6/8 + 3/8 konnte nicht geschrieben werden; Aus Gründen der Klarheit haben wir es hier geschrieben.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, müssen Sie sie zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beschriften.

Betrachten wir ein Beispiel (wir schreiben zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche):

3. Addition gemischter Zahlen.

Addieren wir die Zahlen: 2 3/8 + 3 5/6.

Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:

Nun addieren wir nacheinander die ganzzahligen und gebrochenen Teile:

§ 88. Subtraktion von Brüchen.

Das Subtrahieren von Brüchen wird auf die gleiche Weise definiert wie das Subtrahieren ganzer Zahlen. Hierbei handelt es sich um eine Aktion, mit deren Hilfe aus der Summe zweier Terme und einem davon ein weiterer Term gefunden wird. Betrachten wir nacheinander drei Fälle:

1. Brüche mit gleichen Nennern subtrahieren.
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.

1. Brüche mit gleichen Nennern subtrahieren.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

13 / 15 - 4 / 15

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann stellt der Teil AC dieses Segments 1/15 von AB dar und der Teil AD desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns ein weiteres Segment ED gleich 4/15 AB beiseite legen.

Wir müssen den Bruch 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass das Segment ED vom Segment AD abgezogen werden muss. Dadurch bleibt das Segment AE erhalten, das 9/15 des Segments AB ausmacht. Wir können also schreiben:

Das von uns erstellte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtrahieren der Zähler erhalten wurde, der Nenner jedoch derselbe blieb.

Um Brüche mit gleichen Nennern zu subtrahieren, müssen Sie daher den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.

2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.

Beispiel. 3/4 - 5/8

Lassen Sie uns zunächst diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren:

Der Zwischentakt 6 / 8 - 5 / 8 ist hier der Übersichtlichkeit halber geschrieben, kann aber später übersprungen werden.

Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie diese zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren, dann den Zähler des Minuenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz vorzeichen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

3. Subtraktion gemischter Zahlen.

Beispiel. 10 3/4 - 7 2/3.

Lassen Sie uns die Bruchteile von Minuend und Subtrahend auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren:

Wir subtrahierten ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Es gibt jedoch Fälle, in denen der Nachkommateil des Subtrahends größer ist als der Nachkommateil des Minuenden. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzen Teil des Minuends nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und sie zum Bruchteil des Minuends hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:

§ 89. Multiplikation von Brüchen.

Beim Studium der Bruchmultiplikation werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Ermitteln des Bruchteils einer bestimmten Zahl.
3. Eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Der Begriff des Interesses.
7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Einen Bruch (Multiplikanden) mit einer ganzen Zahl (Faktor) zu multiplizieren bedeutet, eine Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Das heißt, wenn Sie 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:

Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Somit,

Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl gleichbedeutend damit ist, diesen Bruch so oft zu erhöhen, wie es Einheiten in der ganzen Zahl gibt. Und da das Erhöhen eines Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird

oder durch Reduzierung seines Nenners , dann können wir entweder den Zähler mit einer ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch diese dividieren, sofern eine solche Division möglich ist.

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl und lassen den Nenner gleich, oder dividieren, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl und lassen den Zähler unverändert.

Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

2. Ermitteln des Bruchteils einer bestimmten Zahl. Es gibt viele Probleme, bei denen Sie einen Teil einer bestimmten Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Zahl finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, geben wir zunächst Beispiele für solche Probleme und stellen dann eine Methode zu deren Lösung vor.

Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; Ein Drittel dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?

Aufgabe 2. Der Zug muss zwischen den Städten A und B eine Strecke von 300 km zurücklegen. Er hat bereits 2/3 dieser Strecke zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?

Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Ziegeln, der Rest ist aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es insgesamt?

Dies sind einige der vielen Probleme, auf die wir stoßen, wenn wir einen Teil einer bestimmten Zahl finden. Sie werden normalerweise als Probleme bezeichnet, um den Bruchteil einer bestimmten Zahl zu finden.

Lösung für Problem 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Das bedeutet, dass Sie die Zahl 60 durch 3 teilen müssen, um den Preis für Bücher zu ermitteln:

Lösung von Problem 2. Der Kern des Problems besteht darin, dass Sie 2/3 von 300 km finden müssen. Berechnen wir zunächst 1/3 von 300; Dies wird erreicht, indem man 300 km durch 3 teilt:

300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).

Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:

100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).

Lösung von Problem 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 ausmachen. Lassen Sie uns zunächst 1/4 von 400 ermitteln.

400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).

Um drei Viertel von 400 zu berechnen, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:

100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).

Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:

Um den Wert eines Bruchs aus einer bestimmten Zahl zu ermitteln, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.

3. Eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren.

Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass unter der Multiplikation ganzer Zahlen die Addition identischer Terme zu verstehen ist (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). In diesem Absatz (Punkt 1) wurde festgestellt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, die Summe identischer Terme zu finden, die diesem Bruch entspricht.

In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu ermitteln.

Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier stoßen wir zum Beispiel auf die Multiplikation: 9 2 / 3. Es ist klar, dass die vorherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht anwendbar ist. Dies wird aus der Tatsache deutlich, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.

Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, also mit anderen Worten die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist und wie diese Aktion zu verstehen ist.

Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch wird aus der folgenden Definition deutlich: Eine ganze Zahl (Multiplikand) mit einem Bruch (Multiplikand) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikanden zu finden.

Das heißt, 9 mit 2/3 zu multiplizieren bedeutet, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende bei 6 landen.

Doch nun stellt sich eine interessante und wichtige Frage: Warum werden solche scheinbar unterschiedlichen Operationen, wie das Ermitteln der Summe gleicher Zahlen und das Ermitteln des Bruchteils einer Zahl, in der Arithmetik mit demselben Wort „Multiplikation“ genannt?

Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (mehrmaliges Wiederholen einer Zahl mit Begriffen) und die neue Aktion (Ermitteln des Bruchteils einer Zahl) Antworten auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von der Überlegung aus, dass homogene Fragestellungen oder Aufgaben durch die gleiche Handlung gelöst werden.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem wird gelöst, indem man die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert, also 50 x 4 = 200 (Rubel).

Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchteil ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel werden 3/4 m dieses Stoffes kosten?“

Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.

Sie können die darin enthaltenen Zahlen noch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.

Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in der Zahl unterscheiden, nennen wir die zu ihrer Lösung verwendeten Aktionen das gleiche Wort – Multiplikation.

Wie multipliziert man eine ganze Zahl mit einem Bruch?

Nehmen wir die im letzten Problem gefundenen Zahlen:

Laut Definition müssen wir 3/4 von 50 finden. Finden wir zuerst 1/4 von 50 und dann 3/4.

1/4 von 50 ist 50/4;

3/4 der Zahl 50 ist .

Somit.

Betrachten wir ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 =?

1/8 der Zahl 12 ist 12/8,

5/8 der Zahl 12 ist .

Somit,

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner dieses Bruchs als Nenner vorzeichen.

Schreiben wir diese Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollständig zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Multiplikation einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Sie (wenn möglich) vor der Multiplikation Folgendes tun sollten: Ermäßigungen, Zum Beispiel:

4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch, d. h. wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch ermitteln, der im Faktor des ersten Bruchs (dem Multiplikanden) enthalten ist.

Das heißt, die Multiplikation von 3/4 mit 1/2 (die Hälfte) bedeutet, die Hälfte von 3/4 zu finden.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?

Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 multipliziert mit 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 von 3/4 finden müssen. Finden wir zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7

1/7 der Zahl 3/4 wird wie folgt ausgedrückt:

5/7 Zahlen 3/4 werden wie folgt ausgedrückt:

Auf diese Weise,

Ein weiteres Beispiel: 5/8 multipliziert mit 4/9.

1/9 von 5/8 ist,

4/9 der Zahl 5/8 ist .

Auf diese Weise,

Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.

Diese Regel kann in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden:

Bei der Multiplikation müssen (wenn möglich) Kürzungen vorgenommen werden. Schauen wir uns Beispiele an:

5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, wird dieser Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen genutzt. Das bedeutet, dass in den Fällen, in denen der Multiplikand oder der Multiplikator oder beide Faktoren als gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch unechte Brüche ersetzt werden. Lassen Sie uns zum Beispiel gemischte Zahlen multiplizieren: 2 1/2 und 3 1/5. Lassen Sie uns jeden von ihnen in einen unechten Bruch umwandeln und dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel zum Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren:

Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie zunächst in unechte Brüche umwandeln und diese dann gemäß der Regel zum Multiplizieren von Brüchen mit Brüchen multiplizieren.

Notiz. Ist einer der Faktoren eine ganze Zahl, dann kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:

6. Der Begriff des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei der Durchführung verschiedener praktischer Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass viele Größen nicht irgendwelche, sondern natürliche Unterteilungen zulassen. Sie können zum Beispiel ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird eine Kopeke sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 eines Rubels nehmen, es sind „10 Kopeken“ oder ein Zehn-Kopeken-Stück. Sie können einen viertel Rubel nehmen, also 25 Kopeken, einen halben Rubel, also 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber Sie nehmen es praktisch nicht, zum Beispiel 2/7 eines Rubels, weil der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.

Bei der Gewichtseinheit Kilogramm sind vor allem Dezimalteilungen möglich, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g. Auch Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/13 sind nicht üblich.

Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben Dezimalteilungen.

Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst nützlich und praktisch ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Mengen zu verwenden. Die langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche wohlbegründete Teilung die „hundertste“ Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele aus den unterschiedlichsten Bereichen menschlicher Praxis.

1. Der Preis für Bücher ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.

Beispiel. Der vorherige Preis des Buches betrug 10 Rubel. Es verringerte sich um 1 Rubel. 20 Kopeken

2. Sparkassen zahlen den Einlegern 2/100 des im Laufe des Jahres eingezahlten Sparbetrags.

Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse eingezahlt, der Jahreserlös aus diesem Betrag beträgt 10 Rubel.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Schüler.

BEISPIEL Es gab nur 1.200 Schüler an der Schule, von denen 60 ihren Abschluss machten.

Der Hundertstelteil einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet.

Das Wort „Prozent“ ist dem Lateinischen entlehnt und seine Wurzel „Cent“ bedeutet einhundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich aus der Tatsache, dass ursprünglich im antiken Rom Zinsen die Bezeichnung für das Geld war, das der Schuldner „für jeden Hundert“ an den Kreditgeber zahlte. Das Wort „Cent“ hört man in so vertrauten Worten: Centner (einhundert Kilogramm), Centimeter (sagen wir Zentimeter).

Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk im letzten Monat 1/100 aller von ihm hergestellten Produkte fehlerhaft war, sagen wir Folgendes: Im vergangenen Monat produzierte das Werk ein Prozent der von ihm hergestellten Produkte. Anstatt zu sagen: Das Werk hat 4/100 Produkte mehr produziert als der festgelegte Plan, sagen wir: Das Werk hat den Plan um 4 Prozent übertroffen.

Die obigen Beispiele können unterschiedlich ausgedrückt werden:

1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.

2. Sparkassen zahlen den Einlegern jährlich 2 Prozent auf den eingezahlten Sparbetrag.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent aller Schüler.

Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes „Prozentsatz“ das %-Symbol zu schreiben.

Sie müssen jedoch bedenken, dass das %-Zeichen in Berechnungen normalerweise nicht geschrieben wird; es kann in der Problemstellung und im Endergebnis geschrieben werden. Bei Berechnungen müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit dem Nenner 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.

Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit dem Nenner 100 zu ersetzen:

Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 zu schreiben:

7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl.

Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, davon 30 % Birkenbrennholz. Wie viel Birkenbrennholz gab es?

Die Bedeutung dieses Problems besteht darin, dass Birkenbrennholz nur einen Teil des an die Schule gelieferten Brennholzes ausmachte und dieser Teil im Bruchteil 30/100 ausgedrückt wird. Das bedeutet, dass wir die Aufgabe haben, den Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30/100 multiplizieren (Probleme, den Bruch einer Zahl zu finden, werden gelöst, indem man die Zahl mit dem Bruch multipliziert).

Das bedeutet, dass 30 % von 200 60 ergeben.

Der in diesem Problem vorkommende Bruch 30/100 kann um 10 reduziert werden. Es wäre möglich, diese Reduzierung von Anfang an vorzunehmen; an der Lösung des Problems hätte sich nichts geändert.

Aufgabe 2. Im Lager befanden sich 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21 % aus, Kinder im Alter von 12 Jahren machten 61 % aus und schließlich machten Kinder im Alter von 13 Jahren 18 % aus. Wie viele Kinder jeden Alters gab es im Lager?

Bei dieser Aufgabe müssen Sie drei Berechnungen durchführen, d. h. nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann im Alter von 12 Jahren und schließlich im Alter von 13 Jahren ermitteln.

Das bedeutet, dass Sie hier dreimal den Bruchteil der Zahl ermitteln müssen. Lass es uns tun:

1) Wie viele 11-jährige Kinder gab es?

2) Wie viele 12-jährige Kinder gab es?

3) Wie viele 13-jährige Kinder gab es?

Nach Lösung des Problems ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; ihre Summe sollte 300 betragen:

63 + 183 + 54 = 300

Es ist auch zu beachten, dass die Summe der in der Problemstellung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:

21% + 61% + 18% = 100%

Dies lässt darauf schließen, dass die Gesamtzahl der Kinder im Lager mit 100 % angenommen wurde.

3 a d a h a 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel, 6 % für Wohnungen und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für kulturelle Zwecke und 15 % für Ersparnisse aus. Wie viel Geld wurde für die im Problem angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Bruchteil von 1.200 fünfmal ermitteln. Lassen Sie uns Folgendes tun.

1) Wie viel Geld wurde für Lebensmittel ausgegeben? Das Problem besagt, dass dieser Aufwand 65 % des Gesamteinkommens ausmacht, also 65/100 der Zahl 1.200. Machen wir die Rechnung:

2) Wie viel Geld haben Sie für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir ähnlich wie zuvor argumentieren, kommen wir zu folgender Berechnung:

3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?

4) Wie viel Geld wurde für kulturelle Zwecke ausgegeben?

5) Wie viel Geld hat der Arbeitnehmer gespart?

Um dies zu überprüfen, ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden als 100 % angenommen, was sich leicht überprüfen lässt, indem man die in der Problemstellung angegebenen Prozentzahlen addiert.

Wir haben drei Probleme gelöst. Obwohl es sich bei diesen Problemen um unterschiedliche Dinge handelte (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Kosten des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil es bei allen Aufgaben notwendig war, mehrere Prozent der gegebenen Zahlen zu finden.

§ 90. Division von Brüchen.

Während wir uns mit der Division von Brüchen befassen, werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Einen Bruch durch eine ganze Zahl dividieren
3. Eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren.
4. Einen Bruch durch einen Bruch dividieren.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl aus ihrem gegebenen Bruch.
7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.

Wie bereits in der Abteilung für ganze Zahlen erwähnt, ist Division die Aktion, die darin besteht, dass aus dem Produkt zweier Faktoren (Dividende) und einem dieser Faktoren (Divisor) ein anderer Faktor gefunden wird.

Wir haben uns im Abschnitt über ganze Zahlen mit der Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl befasst. Wir sind dort auf zwei Fälle von Division gestoßen: Division ohne Rest oder „ganz“ (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividend nicht immer das Produkt des Divisors durch die ganze Zahl ist. Nachdem wir die Multiplikation mit einem Bruch eingeführt haben, können wir jeden Fall der Division von ganzen Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).

Wenn man beispielsweise 7 durch 12 dividiert, findet man eine Zahl, deren Produkt durch 12 7 ergibt. Eine solche Zahl ist der Bruch 7 / 12, weil 7 / 12 · 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14 / 25, weil 14 / 25 25 = 14.

Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden und dessen Nenner gleich dem Divisor ist.

2. Einen Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Divisionsdefinition haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); Es ist erforderlich, einen zweiten Faktor zu finden, der bei Multiplikation mit 3 das gegebene Produkt 6/7 ergeben würde. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns liegende Aufgabe darin bestand, den Bruch 6/7 um das Dreifache zu reduzieren.

Wir wissen bereits, dass die Reduzierung eines Bruchs entweder durch Verringern seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher können Sie schreiben:

IN in diesem Fall Der Zähler von 6 ist durch 3 teilbar, daher sollte der Zähler halbiert werden.

Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:

Darauf aufbauend lässt sich eine Regel aufstellen: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren.(wenn möglich), Belassen Sie den gleichen Nenner oder multiplizieren Sie den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl und lassen Sie den gleichen Zähler übrig.

3. Eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren.

Es sei notwendig, 5 durch 1/2 zu dividieren, d. h. eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit 1/2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1/2 ein echter Bruch ist , und beim Multiplizieren einer Zahl muss das Produkt eines echten Bruchs kleiner sein als das zu multiplizierende Produkt. Um dies klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , was x 1 / 2 = 5 bedeutet.

Wir müssen eine solche Zahl finden X , was, wenn es mit 1/2 multipliziert würde, 5 ergeben würde. Da das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit 1/2 bedeutet, die Hälfte dieser Zahl zu finden, dann also die Hälfte der unbekannten Zahl X ist gleich 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, also 5 2 = 10.

Also 5: 1 / 2 = 5 · 2 = 10

Lass uns das Prüfen:

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir an, Sie möchten 6 durch 2/3 teilen. Versuchen wir zunächst anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.

Abb.19

Zeichnen wir ein Segment AB mit 6 Einheiten und teilen wir jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit sind drei Drittel (3/3) des gesamten Segments AB sechsmal größer, d. h. B. 18/3. Mit kleinen Klammern verbinden wir die 18 resultierenden Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass der Bruch 2/3 9-mal in 6 Einheiten enthalten ist, oder anders ausgedrückt, der Bruch 2/3 ist 9-mal kleiner als 6 ganze Einheiten. Somit,

Wie kommt man zu diesem Ergebnis ohne eine Zeichnung allein durch Berechnungen? Lassen Sie uns so argumentieren: Wir müssen 6 durch 2/3 dividieren, d. h. wir müssen die Frage beantworten, wie oft 2/3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden: Wie oft ist 1/3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit gibt es 3 Drittel, und in 6 Einheiten sind es 6 mal mehr, also 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Das bedeutet, dass 1/3 18-mal in b-Einheiten enthalten ist und 2/3 nicht 18-mal, sondern halb so oft in b-Einheiten enthalten ist, also 18:2 = 9 Deshalb haben wir bei der Division von 6 durch 2/3 Folgendes getan:

Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollständig zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Division einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Bitte beachten Sie, dass dort die gleiche Formel erhalten wurde.

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

4. Einen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Nehmen wir an, wir müssen 3/4 durch 3/8 teilen. Was bedeutet die Zahl, die sich aus der Division ergibt? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, erstellen wir eine Zeichnung (Abb. 20).

Nehmen wir ein Segment AB, nehmen es als Ganzes, teilen es in 4 gleiche Teile und markieren 3 solcher Teile. Segment AC entspricht 3/4 von Segment AB. Teilen wir nun jedes der vier ursprünglichen Segmente in zwei Hälften, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile entspricht 1/8 des Segments AB. Verbinden wir 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass ein Segment gleich 3/8 genau zweimal in einem Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das bedeutet, dass das Ergebnis der Division wie folgt geschrieben werden kann:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Nehmen wir an, wir müssen 15/16 durch 3/32 teilen:

Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3/32 ein Produkt von 15/16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen so:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 unbekannte Nummer X sind 15/16

1/32 einer unbekannten Zahl X Ist ,

32 / 32 Zahlen X bilden .

Somit,

Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler machen. und der zweite der Nenner.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

5. Division gemischter Zahlen.

Bei der Division gemischter Zahlen müssen diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt werden und anschließend müssen die resultierenden Brüche gemäß den Regeln für die Division von Brüchen dividiert werden. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lassen Sie uns gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Teilen wir nun:

Um gemischte Zahlen zu dividieren, müssen Sie sie also in unechte Brüche umwandeln und dann mit der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.

6. Finden einer Zahl aus ihrem gegebenen Bruch.

Unter den verschiedenen Bruchproblemen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchs einer unbekannten Zahl angegeben ist und Sie diese Zahl finden müssen. Diese Art von Problem ist die Umkehrung des Problems, den Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es galt, einen Bruchteil dieser Zahl zu finden, hier wurde ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es galt, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch deutlicher, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.

Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten die Glaser 50 Fenster, also 1/3 aller Fenster des gebauten Hauses. Wie viele Fenster gibt es in diesem Haus?

Lösung. Das Problem besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass insgesamt dreimal mehr Fenster vorhanden sind, d. h.

Das Haus hatte 150 Fenster.

Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, was 3/8 des gesamten Mehlvorrats des Ladens entspricht. Wie hoch war der anfängliche Mehlvorrat des Geschäfts?

Lösung. Aus der Problemlage geht hervor, dass 1.500 kg verkauftes Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; Das bedeutet, dass 1/8 dieser Reserve dreimal weniger ist, d. h. um sie zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:

1.500: 3 = 500 (das ist 1/8 der Reserve).

Offensichtlich wird der gesamte Vorrat achtmal größer sein. Somit,

500 8 = 4.000 (kg).

Der anfängliche Mehlvorrat im Lager betrug 4.000 kg.

Aus der Betrachtung dieses Problems lässt sich die folgende Regel ableiten.

Um aus einem gegebenen Wert seines Bruchs eine Zahl zu ermitteln, genügt es, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.

Wir haben zwei Probleme beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruch gelöst. Solche Probleme werden, wie aus dem letzten besonders deutlich hervorgeht, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).

Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen gelernt haben, können die oben genannten Probleme mit einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.

Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:

In Zukunft werden wir Probleme lösen, eine Zahl aus ihrem Bruch mit einer Aktion zu finden – der Division.

7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden, die einige Prozent dieser Zahl kennt.

Aufgabe 1. Anfang dieses Jahres habe ich 60 Rubel von der Sparkasse erhalten. Einnahmen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr angespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse eingezahlt? (Die Kassen geben den Einlegern eine Rendite von 2 % pro Jahr.)

Der Kern des Problems besteht darin, dass ich einen bestimmten Geldbetrag auf eine Sparkasse gelegt habe und dort ein Jahr geblieben bin. Nach einem Jahr erhielt ich 60 Rubel von ihr. Einkommen, das 2/100 des Geldes beträgt, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?

Wenn wir also einen Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag ermitteln. Dies ist ein gewöhnliches Problem beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruchteil. Folgende Probleme werden durch Division gelöst:

Das bedeutet, dass 3.000 Rubel bei der Sparkasse eingezahlt wurden.

Aufgabe 2. Die Fischer erfüllten den Monatsplan in zwei Wochen um 64 % und ernteten 512 Tonnen Fisch. Was war ihr Plan?

Aus den Bedingungen des Problems geht hervor, dass die Fischer einen Teil des Plans umgesetzt haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wir wissen nicht, wie viele Tonnen Fisch laut Plan zubereitet werden müssen. Das Finden dieser Nummer wird die Lösung des Problems sein.

Solche Probleme werden durch Division gelöst:

Das bedeutet, dass laut Plan 800 Tonnen Fisch zubereitet werden müssen.

Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer hinter sich hatte, fragte einer der Passagiere einen vorbeikommenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?

Aus den Problembedingungen geht hervor, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten ermitteln, d. h. für diesen Teil das Ganze:

§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.

Nehmen wir den Bruch 2/3 und ersetzen wir den Zähler durch den Nenner, wir erhalten 3/2. Wir haben die Umkehrung dieses Bruchs erhalten.

Um den Kehrwert eines bestimmten Bruchs zu erhalten, müssen Sie seinen Zähler anstelle des Nenners und den Nenner anstelle des Zählers einsetzen. Auf diese Weise können wir den Kehrwert eines beliebigen Bruchs ermitteln. Zum Beispiel:

3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5

Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig umgekehrt.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 sein, oder einfach 2. Indem wir nach dem Umkehrbruch der gegebenen Eins suchen, erhalten wir eine ganze Zahl. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:

1/3, rückwärts 3; 1/5, umgekehrt 5

Da wir bei der Suche nach Kehrbrüchen auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, werden wir im Folgenden nicht von Kehrbrüchen, sondern von Kehrzahlen sprechen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie man die Umkehrung einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen kann dies einfach gelöst werden: Sie müssen den Nenner anstelle des Zählers einsetzen. Auf die gleiche Weise können Sie die Umkehrung einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Das bedeutet, dass die Umkehrung von 7 1/7 sein wird, weil 7 = 7/1; für die Zahl 10 ist die Umkehrung 1/10, da 10 = 10/1

Diese Idee kann anders ausgedrückt werden: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch eine gegebene Zahl dividiert. Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Wenn wir tatsächlich die Umkehrung des Bruchs 5/9 schreiben müssen, können wir 1 nehmen und durch 5/9 dividieren, d. h.

Lassen Sie uns nun auf eines hinweisen Eigentum reziproke Zahlen, die für uns nützlich sein werden: Das Produkt der reziproken Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:

Mithilfe dieser Eigenschaft können wir auf folgende Weise reziproke Zahlen ermitteln. Nehmen wir an, wir müssen die Umkehrung von 8 finden.

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, daher X = 1/8. Suchen wir eine andere Zahl, die die Umkehrung von 7/12 ist, und bezeichnen sie mit dem Buchstaben X , dann 7/12 X = 1, daher X = 1: 7 / 12 oder X = 12 / 7 .

Wir haben hier das Konzept der reziproken Zahlen eingeführt, um die Informationen zum Teilen von Brüchen etwas zu ergänzen.

Wenn wir die Zahl 6 durch 3/5 teilen, machen wir Folgendes:

Achten Sie besonders auf den Ausdruck und vergleichen Sie ihn mit dem angegebenen: .

Wenn wir den Ausdruck separat nehmen, ohne Verbindung zum vorherigen, ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: aus der Division von 6 durch 3/5 oder aus der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen passiert das Gleiche. Deshalb können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.

Die unten aufgeführten Beispiele bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.

Brüche multiplizieren und dividieren.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Zur Erinnerung: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Hier ist er nicht nötig...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umkehren zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Zum Beispiel:

Wenn Sie auf Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen stoßen, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition bilden wir aus einer ganzen Zahl mit Eins im Nenner einen Bruch – und machen Sie weiter! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie kann ich diesen Bruch anständig aussehen lassen? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Zweipunktdivision:

Aber vergessen Sie nicht die Reihenfolge der Teilung! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüren Sie den Unterschied? 4 und 1/9!

Was bestimmt die Reihenfolge der Teilung? Entweder mit Klammern, oder (wie hier) mit der Länge horizontaler Linien. Entwickeln Sie Ihr Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividieren und multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch eine sehr einfache und wichtige Technik. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen sehr nützlich sein! Teilen wir eins durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und das passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das ist alles für Operationen mit Brüchen. Die Sache ist ganz einfach, aber es gibt mehr als genug Fehler. Berücksichtigen Sie praktische Ratschläge und es wird weniger (Fehler) geben!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine allgemeinen Worte, keine guten Wünsche! Das ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen zum Einheitlichen Staatsexamen als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als bei den mentalen Berechnungen Fehler zu machen.

2. In Beispielen mit verschiedenen Arten von Brüchen gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie unbedingt erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Tipps. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen konnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen...

Denken Sie daran – die richtige Antwort lautet ab dem zweiten (besonders dem dritten) Mal erhaltenen Informationen zählen nicht! So ist das harte Leben.

Also, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens schon eine Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Wir lösen das Beispiel, prüfen es, lösen das nächste. Wir haben alles entschieden - von Anfang bis Ende noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Berechnung:

Hast du dich entschieden?

Wir suchen nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich unordentlich aufgeschrieben, sozusagen fernab der Versuchung ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolons geschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für dich! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber lösbar Probleme.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

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) und Nenner für Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).

Formel zur Multiplikation von Brüchen:

Zum Beispiel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch reduziert werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, können Sie weitere Berechnungen einfacher durchführen.

Einen gemeinsamen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Division von Brüchen mit natürlichen Zahlen.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:

Gemischte Brüche multiplizieren.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

• gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
• Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen;
• Reduziere den Bruch;
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.

Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie ihn zunächst in die Form unechter Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, bei der ein gemeinsamer Bruch mit einer Zahl multipliziert wird.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler unverändert lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstöckige Brüche.

In der Oberstufe trifft man häufig auf dreistöckige (oder mehrstöckige) Brüche. Beispiel:

Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, verwenden Sie die Division durch 2 Punkte:

Beachten Sie! Bei der Division von Brüchen ist die Reihenfolge der Division sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.

Beachten Sie, Zum Beispiel:

Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als sich in gedanklichen Berechnungen zu verlieren.

2. Wechseln Sie bei Aufgaben mit verschiedenen Brucharten zu den gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche, bis eine Reduzierung nicht mehr möglich ist.

4. Wir wandeln mehrstufige Bruchausdrücke durch Division durch 2 Punkte in gewöhnliche um.

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren ist keine schwierige Aufgabe. Aber es gibt Feinheiten, die Sie wahrscheinlich in der Schule verstanden, aber inzwischen vergessen haben.

Wie man eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert – ein paar Begriffe

Wenn Sie sich daran erinnern, was ein Zähler und ein Nenner sind und wie sich ein echter Bruch von einem unechten Bruch unterscheidet, überspringen Sie diesen Absatz. Es ist für diejenigen, die die Theorie völlig vergessen haben.

Der Zähler ist der obere Teil des Bruchs – was wir dividieren. Der Nenner ist kleiner. Das ist es, wonach wir dividieren.
Ein echter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich seinem Nenner ist.

So multiplizieren Sie eine ganze Zahl mit einem Bruch

Die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch ist sehr einfach: Wir multiplizieren den Zähler mit der ganzen Zahl, berühren aber nicht den Nenner. Zum Beispiel: zwei multipliziert mit einem Fünftel – wir erhalten zwei Fünftel. Vier multipliziert mit drei Sechzehnteln ergibt zwölf Sechzehntel.

Die Ermäßigung

Im zweiten Beispiel kann der resultierende Bruch reduziert werden.
Was bedeutet das? Bitte beachten Sie, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner dieses Bruchs durch vier teilbar sind. Die Division beider Zahlen durch einen gemeinsamen Teiler nennt man Bruchreduzierung. Wir bekommen drei Viertel.

Unechte Brüche

Aber nehmen wir an, wir multiplizieren vier mit zwei Fünfteln. Es stellte sich heraus, dass es acht Fünftel waren. Dies ist ein unechter Bruch.
Es muss unbedingt in die richtige Form gebracht werden. Dazu müssen Sie ein ganzes Teil daraus auswählen.
Hier müssen Sie eine Division mit Rest verwenden. Als Rest erhalten wir eins und drei.
Ein ganzes und drei Fünftel ist unser echter Bruchteil.

Etwas schwieriger ist es, fünfunddreißig Achtel in die richtige Form zu bringen. Die Zahl, die der Zahl siebenunddreißig am nächsten kommt und durch acht teilbar ist, ist zweiunddreißig. Bei der Teilung erhalten wir vier. Subtrahieren Sie zweiunddreißig von fünfunddreißig, erhalten Sie drei. Ergebnis: vier ganze und drei Achtel.

Gleichheit von Zähler und Nenner. Und hier ist alles sehr einfach und schön. Wenn Zähler und Nenner gleich sind, ist das Ergebnis einfach eins.

Man sollte sich nicht beeilen, den gemeinsamen Nenner |waters in einer Zeile aufzuschreiben; Den Schülern ist oft nicht bewusst, dass diese Brüche in gleiche Brüche mit einem gemeinsamen Nenner umgewandelt werden.

Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren

Der nächste Schritt besteht darin, zu lernen, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert. Die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl wird auf die gleiche Weise definiert wie die Multiplikation ganzer Zahlen.

Beim Studium der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl ist es notwendig, mit den Schülern die Definition der Aktion der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl als Addition gleicher Terme festzulegen, von denen jeder gleich dem Multiplikanden ist; Zeigen Sie die Identität der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl und der mehrfachen Vergrößerung des Bruchs, geben Sie die Definition der Multiplikation eines Bruchs mit 1 an; Zeigen Sie eine rationale Technik zum Reduzieren eines Bruchs, dessen Zähler das Produkt darstellt, dem die Schüler zum ersten Mal begegnen, wenn sie einen Bruch mit einem Ganzen multiplizieren. lehren, wie man diese Aktion auf Aufgaben anwendet; Betrachten Sie spezielle Fälle der Multiplikation, zum Beispiel die Multiplikation eines Bruchs mit einer Zahl, die dem Nenner entspricht; Multiplizieren einer gemischten Zahl mit einer ganzen Zahl. Die angegebene Liste der Probleme, die beim Studium der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl auftreten, zeigt, dass jede scheinbar einfache Frage eine sorgfältige Untersuchung erfordert und wie viele zusätzliche Probleme im Zusammenhang mit dieser Frage auftreten.

Hier ist ein Beispiel für einen Unterrichtsplan zu diesem Thema:

1) Hausaufgaben überprüfen.

2) Mündliche Übungen zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

3) Mündliche Beispiele zur Division eines Produkts durch eine Zahl:

4) Brüche reduzieren:

5) Wiederholung der Definition der Multiplikation mit einer ganzen Zahl:

6) Definition der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl:

7) Lösen von Problemen in einer Aktion zum Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl »»

Nummer. Beispiel: 1 m3 Kiefernholz wiegt t. Ermitteln Sie das Gewicht von 2 m3 davon

Brennholz (Tonnen), 7 m3.

8) Formulieren Sie die Regel zum Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl:

Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, reicht es aus, den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl zu multiplizieren und dabei den gleichen Nenner zu hinterlassen.

9) Lösungsbeispiele für die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl:

10) Erstellen Sie Probleme, deren Lösung eine Multiplikation erfordern würde.

11) Hausaufgaben.

Die in diesem Plan enthaltenen mündlichen Übungen zur Division eines Produkts durch eine Zahl und zur Reduzierung von Brüchen zielen darauf ab, die Schüler darauf vorzubereiten, die Reduzierung von Brüchen zu begründen, in denen das Produkt im Zähler erscheint. Die Schüler erinnern sich daran, wie man ein Produkt durch eine Zahl dividiert, und verwenden beim Reduzieren von Brüchen die folgende Überlegung: Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren; der Zähler enthält das Produkt; Um ein Produkt durch eine Zahl zu dividieren, genügt es, einen der Faktoren durch diese Zahl zu dividieren. Wenn wir einen Bruch reduzieren, teilen wir daher 10 und 25 durch 5.

In der nächsten Lektion sollten die Schüler gebeten werden, mehrere Beispiele für die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl zu verwenden, um den Multiplikanden und das Produkt in der Größe zu vergleichen. Stellen Sie fest, dass bei Brüchen wie bei ganzen Zahlen das mehrfache Erhöhen eines Bruchs bedeutet, ihn mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren. Basierend auf der Betrachtung von Beispielen des Formulars

Es wird eine Schlussfolgerung über die Änderung des Wertes eines Bruchs bei einer Erhöhung des Zählers oder einer Verringerung des Nenners um eine bestimmte Anzahl von Malen gezogen und eine bestimmte, für den Fall geeignete Technik zur Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl angegeben wenn der Nenner des Bruchs durch eine bestimmte ganze Zahl dividiert wird:

Beim Lernen, eine gemischte Zahl mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, werden zunächst zwei Methoden in Betracht gezogen. Zum Beispiel:

Die letzte Argumentation zeigt die Gültigkeit des Verteilungsgesetzes der Multiplikation in Bezug auf die Summe, wenn einer der Terme ein Bruch ist. Ein Beispiel für das Formular wird betrachtet

und es wird der Schluss gezogen, dass es bei der Multiplikation einer gemischten Zahl mit einer ganzen Zahl in den meisten Fällen einfacher ist, die ganze Zahl und den Bruch getrennt mit der ganzen Zahl zu multiplizieren.

Einen Bruch durch eine ganze Zahl dividieren

Nachdem Sie einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert haben, sollten Sie mit der Division der ganzen Zahl und des Bruchs durch die ganze Zahl fortfahren, da zum Ermitteln des Bruchs einer Zahl vor der Multiplikation mit dem Bruch eine Division durch den Nenner erforderlich ist. Darauf wird in der meisten methodischen Literatur hingewiesen. Die Division wird als Umkehraktion der Multiplikation definiert.

Schauen wir uns ein Beispiel an: 4:5.

Zunächst wird eine Überlegung angestellt: Um 4 durch 5 zu dividieren, stellen Sie sich im Geiste vor, dass jede Einheit in fünf gleiche Teile geteilt wird. Dann enthalten 4 Einheiten 20 Fünftel. Wenn wir 20 Fünftel durch 5 teilen, erhalten wir, was überprüft wird:

Wir haben einen Bruch gefunden, der bei Multiplikation mit 5 4 ergibt. Daher ist die Division korrekt. Schreiben wir auf:

Abschluss. Die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl ergibt einen Bruch, dessen Zähler gleich dem Dividenden und dessen Nenner gleich dem Divisor ist. Umgekehrt: Jeder Bruch kann als Quotient aus Zähler dividiert durch Nenner betrachtet werden.

Beispielsweise ist es gleich dem Quotienten von 3 dividiert durch 7, da ·7=3.

Das Studium der Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl beginnt mit der Betrachtung eines Beispiels für die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl, für die ein Umkehrproblem erstellt wird. Zum Beispiel:

Umkehrproblem:

Sie müssen einen Bruch finden, der bei Multiplikation mit 4 das Produkt ergibt. Dieser Bruch wird sein, schreiben wir:

Als Ergebnis der Betrachtung einer Reihe ähnlicher Beispiele kommen die Schüler zu dem Schluss, dass es bei der Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl ausreicht, den Zähler durch die ganze Zahl zu dividieren, wobei der gleiche Nenner übrig bleibt. Anschließend wird die Frage gestellt, was zu tun ist, wenn der Zähler eines bestimmten Bruchs nicht durch eine ganze Zahl teilbar ist. Die zweite Multiplikationsmethode wird betrachtet: , von hier .