Tangenten an einen Kreis von einem Punkt sind gleich. Tangenten, die einen Kreis berühren. Visueller Leitfaden (2019)

1. Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden ist größer als der Radius. In diesem Fall liegen alle Punkte der Geraden außerhalb des Kreises.


2. Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden ist kleiner als der Radius. In diesem Fall hat die Gerade Punkte, die innerhalb des Kreises liegen, und da die Gerade in beide Richtungen unendlich ist, wird sie vom Kreis an zwei Punkten geschnitten.


3. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden ist gleich dem Radius. Gerade ist Tangente.

Eine Gerade, die mit einem Kreis nur einen Punkt gemeinsam hat, heißt Tangente zum Kreis.

Der gemeinsame Punkt heißt in diesem Fall Anlaufstelle.

Die Möglichkeit der Existenz einer Tangente, die darüber hinaus als Tangentenpunkt durch jeden Punkt des Kreises gezogen wird, wird durch den folgenden Satz bewiesen.

Satz. Steht eine Gerade an ihrem auf dem Kreis liegenden Ende senkrecht zum Radius, so ist diese Gerade eine Tangente.

Sei O (Abb.) der Mittelpunkt eines Kreises und OA ein Teil seines Radius. Durch sein Ende A zeichnen wir MN ^ OA.

Es muss nachgewiesen werden, dass die Gerade MN tangential ist, d.h. dass diese Gerade mit dem Kreis nur einen gemeinsamen Punkt A hat.

Nehmen wir das Gegenteil an: MN habe einen weiteren gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, zum Beispiel B.

Dann wäre die Gerade OB ein Radius und daher gleich OA.

Dies kann jedoch nicht sein, denn wenn OA senkrecht ist, muss OB zu MN geneigt sein, und die geneigte ist größer als die Senkrechte.

Umkehrsatz. Wenn eine Linie einen Kreis tangiert, steht der zum Tangentialpunkt gezeichnete Radius senkrecht dazu.

Sei MN die Tangente an den Kreis, A der Tangentenpunkt und O der Mittelpunkt des Kreises.

Es muss nachgewiesen werden, dass OA^MN.

Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. Nehmen wir an, dass die von O nach MN fallende Senkrechte nicht OA ist, sondern eine andere Linie, zum Beispiel OB.

Nehmen wir BC = AB und führen OS aus.

Dann sind OA und OS geneigt und gleich weit von der Senkrechten OB entfernt, und daher ist OS = OA.

Daraus folgt, dass der Kreis unter Berücksichtigung unserer Annahme zwei gemeinsame Punkte mit der Geraden MN haben wird: A und C, d.h. MN wird keine Tangente, sondern eine Sekante sein, was der Bedingung widerspricht.

Folge. Durch jeden gegebenen Punkt auf einem Kreis kann man eine Tangente an diesen Kreis ziehen, und zwar nur eine, da man durch diesen Punkt nur eine Senkrechte zum darin eingezeichneten Radius ziehen kann.

Satz. Eine Tangente parallel zu einer Sehne teilt den durch die Sehne begrenzten Bogen am Berührungspunkt in zwei Hälften.

Lassen Sie die Gerade AB (Abb.) den Kreis im Punkt M berühren und parallel zum Akkord CD verlaufen.

Wir müssen beweisen, dass ÈCM = ÈMD.

Wenn wir den Durchmesser ME durch den Tangentenpunkt ziehen, erhalten wir: EM ^ AB und daher EM ^ CB.

Daher CM=MD.

Aufgabe. Zeichne durch einen gegebenen Punkt eine Tangente an einen gegebenen Kreis.

Wenn ein gegebener Punkt auf einem Kreis liegt, zeichnen Sie einen Radius durch ihn und eine senkrechte Gerade durch das Ende des Radius. Diese Linie ist die gewünschte Tangente.

Betrachten wir den Fall, dass der Punkt außerhalb des Kreises liegt.

Es sei erforderlich (Abb.), eine Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O durch Punkt A zu zeichnen.

Dazu beschreiben wir vom Punkt A als Mittelpunkt aus einen Bogen mit dem Radius AO und vom Punkt O als Mittelpunkt aus schneiden wir diesen Bogen in den Punkten B und C mit einer Kompassöffnung, die dem Durchmesser des gegebenen Kreises entspricht .

Nachdem wir dann die Sehnen OB und OS gezeichnet haben, verbinden wir Punkt A mit den Punkten D und E, an denen diese Sehnen den gegebenen Kreis schneiden.

Die Linien AD und AE tangieren den Kreis O.

Tatsächlich geht aus der Konstruktion hervor, dass die Rohre AOB und AOC gleichschenklig sind (AO = AB = AC), wobei die Grundflächen OB und OS gleich dem Durchmesser des Kreises O sind.

Da OD und OE Radien sind, ist D die Mitte von OB und E die Mitte von OS, was bedeutet, dass AD und AE Mediane sind, die zu den Basen gleichschenkliger Rohre und daher senkrecht zu diesen Basen gezogen werden. Stehen die Geraden DA und EA senkrecht auf den Radien OD und OE, dann sind sie Tangenten.

Folge. Zwei Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, sind gleich und bilden mit der Geraden, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet, gleiche Winkel.

Also AD=AE und ÐOAD = ÐOAE (Abb.), weil rechteckige tr-ki AOD und AOE mit einer gemeinsamen Hypotenuse AO und gleichen Beinen OD und OE (als Radien) gleich sind.

Beachten Sie, dass das Wort „Tangente“ hier das tatsächliche „Tangentensegment“ von einem bestimmten Punkt zum Kontaktpunkt bedeutet.

Aufgabe. Zeichnen Sie eine Tangente an einen gegebenen Kreis O parallel zu einer gegebenen Geraden AB (Abb.).

Wir senken vom Mittelpunkt O eine Senkrechte OS auf AB ab und zeichnen durch den Punkt D, an dem diese Senkrechte den Kreis schneidet, EF || AB.

Die gesuchte Tangente ist EF.

Tatsächlich, da OS ^ AB und EF || AB, dann EF ^ OD, und die Linie senkrecht zum Radius an ihrem auf dem Kreis liegenden Ende ist eine Tangente.

Aufgabe. Zeichnen Sie eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise O und O 1 (Abb.).

Analyse. Nehmen wir an, dass das Problem gelöst ist.

Sei AB die gemeinsame Tangente, A und B die Tangentenpunkte.

Wenn wir einen dieser Punkte finden, zum Beispiel A, können wir natürlich auch den anderen leicht finden.

Zeichnen wir die Radien OA und O 1 B. Diese Radien stehen senkrecht zur gemeinsamen Tangente und sind parallel zueinander.

Wenn wir also aus O 1 O 1 C || zeichnen BA, dann ist die Pipeline OCO 1 am Scheitelpunkt C rechteckig.

Wenn wir also einen Kreis von O als Mittelpunkt mit dem Radius OS beschreiben, dann berührt er die Gerade O 1 C im Punkt C.

Der Radius dieses Hilfskreises ist bekannt: Er ist gleich OA – CA = OA – O 1 B, d.h. es ist gleich der Differenz zwischen den Radien dieser Kreise.

Konstruktion. Vom Mittelpunkt O aus beschreiben wir einen Kreis mit einem Radius, der der Differenz dieser Radien entspricht.

Von O 1 ziehen wir eine Tangente O 1 C an diesen Kreis (auf die in der vorherigen Aufgabe angegebene Weise).

Durch den Tangentenpunkt C zeichnen wir den Radius OS und setzen ihn fort, bis er den gegebenen Kreis im Punkt A trifft. Abschließend zeichnen wir von A aus AB parallel zu CO 1.

Auf genau die gleiche Weise können wir eine weitere gemeinsame Tangente A 1 B 1 konstruieren (Abb.). Direkte Linien AB und A 1 B 1 werden aufgerufen extern gemeinsame Tangenten.

Sie können zwei weitere ausgeben intern Tangenten wie folgt:

Analyse. Nehmen wir an, dass das Problem gelöst ist (Abb.). Sei AB der gewünschte Tangens.

Zeichnen wir die Radien OA und O 1 B zu den Tangentenpunkten A und B. Da diese Radien beide senkrecht zur gemeinsamen Tangente stehen, sind sie parallel zueinander.

Wenn wir also aus O 1 O 1 C || zeichnen BA und OA weiter bis Punkt C, dann steht OS senkrecht zu O 1 C.

Infolgedessen berührt der durch den Radius OS vom Punkt O als Mittelpunkt beschriebene Kreis die Gerade O 1 C im Punkt C.

Der Radius dieses Hilfskreises ist bekannt: Er ist gleich OA+AC = OA+O 1 B, d.h. es ist gleich der Summe der Radien der gegebenen Kreise.

Konstruktion. Von O als Mittelpunkt aus beschreiben wir einen Kreis mit einem Radius, der der Summe dieser Radien entspricht.

Von O 1 ziehen wir eine Tangente O 1 C an diesen Kreis.

Wir verbinden den Kontaktpunkt C mit O.

Schließlich zeichnen wir durch Punkt A, an dem OS den gegebenen Kreis schneidet, AB = O 1 C.

Auf ähnliche Weise können wir eine weitere interne Tangente A 1 B 1 konstruieren.

Allgemeine Definition von Tangente

Lassen Sie eine Tangente AT und eine Sekante AM durch Punkt A zu einem Kreis mit Mittelpunkt ziehen (Abb.).

Lassen Sie uns diese Sekante um Punkt A drehen, sodass der andere Schnittpunkt B immer näher an A heranrückt.

Dann nähert sich die Senkrechte OD, die von der Mitte zur Sekante abgesenkt wird, immer mehr dem Radius OA, und der Winkel AOD kann kleiner werden als jeder kleine Winkel.

Der von Sekante und Tangente gebildete Winkel MAT ist gleich dem Winkel AOD (aufgrund der Rechtwinkligkeit ihrer Seiten).

Daher kann der Winkel MAT auch beliebig klein werden, wenn sich Punkt B A auf unbestimmte Zeit nähert.

Dies drückt sich mit anderen Worten wie folgt aus:

Eine Tangente ist die Grenzposition, zu der eine durch einen Tangentenpunkt gezogene Sekante tendiert, wenn sich der zweite Schnittpunkt dem Tangentialpunkt auf unbestimmte Zeit nähert.

Diese Eigenschaft wird als Definition einer Tangente verwendet, wenn es um jede Kurve geht.

Somit ist die Tangente an die Kurve AB (Abb.) die Grenzposition MT, zu der die Sekante MN tendiert, wenn sich der Schnittpunkt P unbegrenzt M nähert.

Beachten Sie, dass die so definierte Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve haben kann (wie in Abb. zu sehen ist).

Umfang ist eine Figur, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden. Dieser Punkt heißt Center Kreis, und das Segment, das den Mittelpunkt mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet, ist Radius Kreise.

Der durch einen Kreis begrenzte Teil der Ebene heißt Überall.

Kreissektor oder einfach Sektor ist der Teil eines Kreises, der durch einen Bogen und zwei Radien begrenzt wird, die die Enden des Bogens mit dem Mittelpunkt des Kreises verbinden.

Segment ist der Teil eines Kreises, der von einem Bogen und einer ihn umgebenden Sehne begrenzt wird.

Grundbegriffe

Tangente

Eine Gerade mit nur einem gemeinsamen Punkt heißt Tangente zu einem Kreis, und ihr gemeinsamer Punkt heißt Anlaufstelle Gerade und Kreis.

Tangenteneigenschaften

Eine Tangente an einen Kreis verläuft senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Tangentensegmente an einen Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit einer geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Akkord

Ein Segment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird als sein bezeichnet Akkord. Ein Akkord, der durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, wird aufgerufen Durchmesser

Eigenschaften von Akkorden

Der Durchmesser (Radius) senkrecht zur Sehne teilt diese Sehne und die beiden von ihr begrenzten Bögen in zwei Hälften. Auch der umgekehrte Satz gilt: Wenn der Durchmesser (Radius) eine Sehne halbiert, dann steht er senkrecht zu dieser Sehne.

Die zwischen parallelen Sehnen enthaltenen Bögen sind gleich.

Wenn zwei Akkorde eines Kreises, AB Und CD sich in einem Punkt schneiden M, dann ist das Produkt der Segmente eines Akkords gleich dem Produkt der Segmente eines anderen Akkords: AM MB = CM MD.

Eigenschaften eines Kreises

Eine gerade Linie darf keine gemeinsamen Punkte mit einem Kreis haben; einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis haben ( Tangente); habe zwei Punkte mit ihr gemeinsam ( Sekante).

Durch drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, kann man einen Kreis zeichnen, und zwar nur einen.

Der Berührungspunkt zweier Kreise liegt auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte.

Tangens- und Sekantensatz

Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt gezogen werden, dann ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil: M.C. 2 = MA MB.

Sekantensatz

Werden zwei Sekanten von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt gezogen, so ist das Produkt einer Sekante und ihres äußeren Teils gleich dem Produkt der anderen Sekante und ihres äußeren Teils. MA MB = MC MD.

Winkel im Kreis

Zentral Ein Winkel in einem Kreis ist ein ebener Winkel mit einem Scheitelpunkt in der Mitte.

Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt auf einem Kreis liegt und dessen Seiten diesen Kreis schneiden, heißt beschrifteter Winkel.

Zwei beliebige Punkte auf einem Kreis teilen ihn in zwei Teile. Jeder dieser Teile heißt Bogen Kreise. Das Maß eines Bogens kann das Maß seines entsprechenden Mittelpunktswinkels sein.

Der Bogen heißt Halbkreis, wenn das Segment, das seine Enden verbindet, einen Durchmesser hat.

Eigenschaften von Winkeln, die einem Kreis zugeordnet sind

Ein eingeschriebener Winkel ist entweder gleich der Hälfte seines entsprechenden Mittelpunktswinkels oder ergänzt die Hälfte dieses Winkels zu 180°.

Winkel, die in denselben Kreis eingeschrieben sind und auf demselben Bogen ruhen, sind gleich.

Der vom Durchmesser eingeschriebene Winkel beträgt 90°.

Der Winkel, den eine Tangente an einen Kreis und eine durch den Berührungspunkt gezogene Sekante bilden, ist gleich der Hälfte des zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bogens.

Längen und Flächen

Umfang C Radius R berechnet nach der Formel:

C= 2 R.

Quadrat S Kreisradius R berechnet nach der Formel:

S= R 2 .

Beschriftete und umschriebene Kreise

Kreis und Dreieck

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks, sein Radius R berechnet nach der Formel:

r = ,

Wo S ist die Fläche des Dreiecks und - Halbumfang;

R= ,

R= ;

Hier sind a, b, c die Seiten des Dreiecks, der Winkel gegenüber der Seite A, S- Fläche eines Dreiecks;

der Mittelpunkt des um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt in der Mitte der Hypotenuse;

Die Mittelpunkte des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreises eines Dreiecks fallen nur dann zusammen, wenn dieses Dreieck regelmäßig ist.

Kreis und Vierecke

Ein Kreis kann genau dann um ein konvexes Viereck beschrieben werden, wenn die Summe seiner inneren Gegenwinkel gleich 180° ist:

180°;

Ein Kreis kann genau dann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind:

a + c = b + d;

Ein Parallelogramm kann genau dann als Kreis beschrieben werden, wenn es ein Rechteck ist.

Es ist genau dann möglich, einen Kreis um ein Trapez zu beschreiben, wenn dieses Trapez gleichschenklig ist. der Mittelpunkt des Kreises liegt am Schnittpunkt der Symmetrieachse des Trapezes mit der Seitensenkrechten;

Ein Kreis kann genau dann in ein Parallelogramm eingeschrieben werden, wenn es sich um eine Raute handelt.

Sekante, Tangente – all das war im Geometrieunterricht hunderte Male zu hören. Doch der Schulabschluss liegt hinter uns, Jahre vergehen und all dieses Wissen ist vergessen. Woran sollten Sie sich erinnern?

Wesen

Der Begriff „Tangente an einen Kreis“ ist wahrscheinlich jedem bekannt. Aber es ist unwahrscheinlich, dass jeder seine Definition schnell formulieren kann. Eine Tangente hingegen ist eine gerade Linie, die in derselben Ebene wie ein Kreis liegt und sie nur in einem Punkt schneidet. Es mag eine große Anzahl davon geben, aber sie haben alle die gleichen Eigenschaften, auf die weiter unten eingegangen wird. Wie Sie vielleicht erraten haben, ist der Tangentenpunkt der Ort, an dem sich der Kreis und die gerade Linie schneiden. In jedem konkreten Fall gibt es nur eine, wenn es jedoch mehrere davon gibt, handelt es sich um eine Sekante.

Entdeckungs- und Studiengeschichte

Das Konzept einer Tangente tauchte bereits in der Antike auf. Die Konstruktion dieser Geraden, zunächst zu einem Kreis, dann zu Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit Lineal und Zirkel, erfolgte in den Anfangsstadien der Entwicklung der Geometrie. Natürlich hat die Geschichte den Namen des Entdeckers nicht bewahrt, aber es ist offensichtlich, dass die Menschen schon damals mit den Eigenschaften einer Tangente an einen Kreis vertraut waren.

In der Neuzeit flammte das Interesse an diesem Phänomen wieder auf – eine neue Studienrunde dieses Konzepts begann in Kombination mit der Entdeckung neuer Kurven. So führte Galileo das Konzept einer Zykloide ein und Fermat und Descartes konstruierten eine Tangente daran. Was die Kreise betrifft, so scheint es, dass es für die Alten in diesem Bereich keine Geheimnisse mehr gibt.

Eigenschaften

Der zum Schnittpunkt gezeichnete Radius ist Dies

die wichtigste, aber nicht die einzige Eigenschaft, die eine Tangente an einen Kreis hat. Ein weiteres wichtiges Merkmal sind zwei gerade Linien. Durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt können also zwei Tangenten gezogen werden, deren Segmente gleich sind. Es gibt einen weiteren Satz zu diesem Thema, der jedoch selten im Rahmen eines Standardschulkurses gelehrt wird, obwohl er zur Lösung mancher Probleme äußerst praktisch ist. Es hört sich so an. Von einem Punkt außerhalb des Kreises werden eine Tangente und eine Sekante dorthin gezogen. Es entstehen die Segmente AB, AC und AD. A ist der Schnittpunkt von Geraden, B ist der Tangentenpunkt, C und D sind Schnittpunkte. In diesem Fall gilt die folgende Gleichung: Die Länge der Tangente an den Kreis im Quadrat ist gleich dem Produkt der Strecken AC und AD.

Es gibt eine wichtige Konsequenz aus dem oben Gesagten. Für jeden Punkt auf dem Kreis kann man eine Tangente konstruieren, aber nur eine. Der Beweis dafür ist ganz einfach: Wenn wir theoretisch eine Senkrechte vom Radius darauf fallen lassen, stellen wir fest, dass das gebildete Dreieck nicht existieren kann. Und das bedeutet, dass die Tangente die einzige ist.

Konstruktion

Unter anderen Problemen in der Geometrie gibt es in der Regel keine besondere Kategorie

beliebt bei Schülern und Studenten. Um Probleme dieser Kategorie zu lösen, benötigen Sie lediglich einen Zirkel und ein Lineal. Es handelt sich um Bauaufgaben. Es gibt auch solche zum Konstruieren einer Tangente.

Gegeben sei also ein Kreis und ein Punkt, der außerhalb seiner Grenzen liegt. Und es ist notwendig, eine Tangente durch sie zu ziehen. Wie macht man das? Zunächst müssen Sie ein Segment zwischen dem Mittelpunkt des Kreises O und einem bestimmten Punkt zeichnen. Teilen Sie es dann mit einem Zirkel in zwei Hälften. Dazu müssen Sie einen Radius einstellen – etwas mehr als die Hälfte des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises und diesem Punkt. Danach müssen Sie zwei sich kreuzende Bögen erstellen. Darüber hinaus muss der Radius des Kompasses nicht geändert werden und der Mittelpunkt jedes Teils des Kreises ist der ursprüngliche Punkt bzw. O. Die Schnittpunkte der Bögen müssen verbunden werden, wodurch das Segment in zwei Hälften geteilt wird. Stellen Sie auf dem Kompass einen Radius ein, der dieser Entfernung entspricht. Als nächstes konstruieren Sie mit dem Mittelpunkt am Schnittpunkt einen weiteren Kreis. Sowohl der ursprüngliche Punkt als auch O liegen darauf. In diesem Fall gibt es zwei weitere Schnittpunkte mit dem in der Aufgabe angegebenen Kreis. Sie sind Ansprechpartner für den eingangs genannten Punkt.

Es war die Konstruktion von Tangenten an den Kreis, die zur Geburt führte

Differentialrechnung. Die erste Arbeit zu diesem Thema wurde vom berühmten deutschen Mathematiker Leibniz veröffentlicht. Es bot die Möglichkeit, Maxima, Minima und Tangenten unabhängig von gebrochenen und irrationalen Größen zu finden. Nun, jetzt wird es für viele andere Berechnungen verwendet.

Darüber hinaus hängt die Tangente an einen Kreis mit der geometrischen Bedeutung von Tangente zusammen. Daher kommt auch sein Name. Aus dem Lateinischen übersetzt bedeutet Tangens „Tangente“. Somit wird dieses Konzept nicht nur mit Geometrie und Differentialrechnung, sondern auch mit Trigonometrie in Verbindung gebracht.

Zwei Kreise

Die Tangente betrifft nicht immer nur eine Figur. Wenn eine große Anzahl gerader Linien zu einem Kreis gezeichnet werden kann, warum dann nicht auch umgekehrt? Dürfen. In diesem Fall wird die Aufgabe jedoch erheblich komplizierter, da die Tangente an zwei Kreise möglicherweise durch keinen Punkt verläuft und die relative Position aller dieser Figuren sehr unterschiedlich sein kann

anders.

Arten und Sorten

Wenn wir von zwei Kreisen und einer oder mehreren Geraden sprechen, ist, auch wenn bekannt ist, dass es sich um Tangenten handelt, nicht sofort klar, in welcher Beziehung alle diese Figuren zueinander stehen. Auf dieser Grundlage werden mehrere Sorten unterschieden. Kreise können also einen oder zwei gemeinsame Punkte haben oder auch gar nicht. Im ersten Fall überschneiden sie sich, im zweiten berühren sie sich. Und hier werden zwei Sorten unterschieden. Ist ein Kreis sozusagen in den zweiten eingebettet, so heißt die Tangente intern, wenn nicht, dann extern. Sie können die relative Position der Figuren nicht nur anhand der Zeichnung verstehen, sondern auch anhand der Informationen über die Summe ihrer Radien und den Abstand zwischen ihren Mittelpunkten. Sind diese beiden Größen gleich, dann berühren sich die Kreise. Ist der erste größer, schneiden sie sich, ist er kleiner, haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Das Gleiche gilt für gerade Linien. Für zwei beliebige Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben, ist dies möglich

Konstruieren Sie vier Tangenten. Zwei davon schneiden sich zwischen den Formen, sie werden als intern bezeichnet. Ein paar andere sind extern.

Wenn wir von Kreisen sprechen, die einen gemeinsamen Punkt haben, wird das Problem stark vereinfacht. Tatsache ist, dass sie in diesem Fall für jede relative Position nur eine Tangente haben. Und es wird durch den Punkt ihrer Kreuzung gehen. Der Bau wird also nicht schwierig sein.

Wenn die Figuren zwei Schnittpunkte haben, kann für sie eine gerade Linie konstruiert werden, die den Kreis sowohl des einen als auch des anderen tangiert, jedoch nur außen. Die Lösung für dieses Problem ähnelt der, die im Folgenden besprochen wird.

Probleme lösen

Sowohl die innere als auch die äußere Tangente an zwei Kreise sind nicht so einfach zu konstruieren, obwohl dieses Problem gelöst werden kann. Tatsache ist, dass hierfür eine Hilfsfigur verwendet wird, sodass Sie sich diese Methode selbst ausdenken müssen

ziemlich problematisch. Gegeben sind also zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien und Mittelpunkten O1 und O2. Für sie müssen Sie zwei Tangentenpaare konstruieren.

Zunächst müssen Sie in der Nähe der Mitte des größeren Kreises einen Hilfskreis bauen. In diesem Fall sollte der Unterschied zwischen den Radien der beiden Anfangsfiguren auf dem Kompass ermittelt werden. Tangenten an den Hilfskreis werden vom Mittelpunkt des kleineren Kreises aus erstellt. Anschließend werden von O1 und O2 Senkrechte zu diesen Linien gezogen, bis sie die ursprünglichen Figuren schneiden. Wie aus der Grundeigenschaft der Tangente hervorgeht, werden die benötigten Punkte auf beiden Kreisen gefunden. Das Problem ist gelöst, zumindest der erste Teil.

Um interne Tangenten zu konstruieren, müssen Sie praktische Lösungen finden

ähnliche Aufgabe. Auch hier benötigen Sie eine Hilfsfigur, deren Radius dieses Mal jedoch der Summe der Originalfiguren entspricht. Vom Mittelpunkt eines dieser Kreise werden Tangenten daran konstruiert. Der weitere Lösungsverlauf lässt sich anhand des vorherigen Beispiels nachvollziehen.

Eine Tangente an einen oder sogar zwei oder mehrere Kreise ist keine so schwierige Aufgabe. Natürlich lösen Mathematiker solche Probleme längst nicht mehr manuell und vertrauen die Berechnungen speziellen Programmen an. Aber Sie sollten nicht denken, dass Sie es jetzt nicht mehr selbst tun müssen, denn um eine Aufgabe für einen Computer richtig zu formulieren, müssen Sie viel tun und verstehen. Leider bestehen Bedenken, dass Konstruktionsaufgaben den Studierenden nach dem endgültigen Übergang zu einer Testform der Wissenskontrolle immer mehr Schwierigkeiten bereiten werden.

Das Finden gemeinsamer Tangenten für eine größere Anzahl von Kreisen ist nicht immer möglich, selbst wenn sie in derselben Ebene liegen. Aber in manchen Fällen kann man eine solche gerade Linie finden.

Beispiele aus dem Leben

Eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise kommt in der Praxis häufig vor, obwohl dies nicht immer auffällt. Förderbänder, Blocksysteme, Riemenscheiben-Antriebsriemen, Fadenspannung in einer Nähmaschine und sogar nur eine Fahrradkette – all das sind Beispiele aus der Praxis. Sie sollten also nicht glauben, dass geometrische Probleme nur in der Theorie bleiben: In der Technik, der Physik, dem Bauwesen und vielen anderen Bereichen finden sie praktische Anwendung.

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Das Konzept einer Tangente an einen Kreis

Ein Kreis hat drei mögliche relative Positionen relativ zu einer geraden Linie:

Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden gleich dem Radius ist, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer als der Radius, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Lassen Sie uns nun das Konzept einer Tangente an einen Kreis einführen.

Definition 1

Eine Tangente an einen Kreis ist eine Linie, die einen Schnittpunkt mit ihr hat.

Der gemeinsame Punkt des Kreises und der Tangente wird Tangentenpunkt genannt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Tangente an einen Kreis

Theoreme im Zusammenhang mit dem Konzept einer Tangente an einen Kreis

Satz 1

Satz der Tangenteneigenschaft: Eine Tangente an einen Kreis steht senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Nachweisen.

Betrachten Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt $O$. Zeichnen wir die Tangente $a$ am Punkt $A$. $OA=r$ (Abb. 2).

Beweisen wir, dass $a\bot r$

Wir werden den Satz durch Widerspruch beweisen. Angenommen, die Tangente $a$ steht nicht senkrecht zum Kreisradius.

Abbildung 2. Illustration von Satz 1

Das heißt, $OA$ ist zur Tangente geneigt. Da die Senkrechte zur Geraden $a$ immer kleiner ist als die zur gleichen Geraden geneigte, ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius. Wie wir wissen, hat die Gerade in diesem Fall zwei Schnittpunkte mit dem Kreis. Was der Definition einer Tangente widerspricht.

Daher steht die Tangente senkrecht zum Kreisradius.

Der Satz ist bewiesen.

Satz 2

Umkehrung des Tangenteneigenschaftssatzes: Wenn eine Linie, die durch das Ende des Radius eines Kreises verläuft, senkrecht zum Radius steht, dann ist diese Linie eine Tangente an diesen Kreis.

Nachweisen.

Gemäß den Bedingungen des Problems gilt, dass der Radius eine Senkrechte ist, die vom Mittelpunkt des Kreises zu einer gegebenen Geraden gezogen wird. Daher ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden gleich der Länge des Radius. Wie wir wissen, hat der Kreis in diesem Fall nur einen Schnittpunkt mit dieser Geraden. Nach Definition 1 finden wir, dass diese Linie den Kreis tangiert.

Der Satz ist bewiesen.

Satz 3

Tangentensegmente an einen Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit einer geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$. Vom Punkt $A$ (der auf dem gesamten Kreis liegt) werden zwei verschiedene Tangenten gezogen. Vom Kontaktpunkt $B$ bzw. $C$ (Abb. 3).

Beweisen wir, dass $\angle BAO=\angle CAO$ und dass $AB=AC$.

Abbildung 3. Illustration von Satz 3

Nach Satz 1 gilt:

Daher sind die Dreiecke $ABO$ und $ACO$ rechtwinklige Dreiecke. Da $OB=OC=r$ und die Hypotenuse $OA$ gemeinsam ist, sind diese Dreiecke in Hypotenuse und Bein gleich.

Daher erhalten wir $\angle BAO=\angle CAO$ und $AB=AC$.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel einer Aufgabe zum Konzept einer Tangente an einen Kreis

Beispiel 1

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Radius $r=3\ cm$. Die Tangente $AC$ hat einen Tangentenpunkt $C$. $AO=4\ cm$. Finden Sie $AC$.

Lösung.

Lassen Sie uns zunächst alles in der Abbildung darstellen (Abb. 4).

Figur 4.

Da $AC$ eine Tangente und $OC$ ein Radius ist, erhalten wir nach Satz 1, dass $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ ist. Wir haben herausgefunden, dass das Dreieck $ACO$ rechteckig ist, was bedeutet, dass wir nach dem Satz des Pythagoras Folgendes haben:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \