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Methode der kleinsten Quadrate, quadratische Funktion. Wie sonst können Sie die Methode der kleinsten Quadrate verwenden? Approximation von Quelldaten durch lineare Abhängigkeit

Approximieren wir die Funktion durch ein Polynom vom Grad 2. Dazu berechnen wir die Koeffizienten des Normalgleichungssystems:

, ,

Lassen Sie uns ein normales System der kleinsten Quadrate erstellen, das die Form hat:

Die Lösung des Systems ist leicht zu finden: , , .

Somit wird ein Polynom 2. Grades gefunden: .

Theoretische Informationen

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Beispiel 2. Den optimalen Grad eines Polynoms finden.

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Beispiel 3. Herleitung eines normalen Gleichungssystems zur Ermittlung der Parameter der empirischen Abhängigkeit.

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem ableiten, um die Koeffizienten und Funktionen zu bestimmen , das die quadratische Mittelwertnäherung einer gegebenen Funktion durch Punkte durchführt. Lassen Sie uns eine Funktion erstellen und notieren Sie die dafür notwendige Extremumbedingung:

Dann nimmt das normale System die Form an:

Wir haben ein lineares Gleichungssystem für unbekannte Parameter erhalten, das leicht zu lösen ist.

Theoretische Informationen

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Beispiel.

Experimentelle Daten zu den Werten von Variablen X Und bei sind in der Tabelle angegeben.

Durch ihre Ausrichtung ergibt sich die Funktion

Benutzen Methode der kleinsten Quadrate, approximieren Sie diese Daten durch eine lineare Abhängigkeit y=ax+b(Parameter finden A Und B). Finden Sie heraus, welche der beiden Linien (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) die experimentellen Daten besser anpasst. Fertige eine Zeichnung an.

Die Essenz der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Die Aufgabe besteht darin, die linearen Abhängigkeitskoeffizienten zu finden, bei denen die Funktion zweier Variablen vorliegt A Und Bnimmt den kleinsten Wert an. Das heißt, gegeben A Und B die Summe der quadratischen Abweichungen der experimentellen Daten von der gefundenen Geraden wird am kleinsten sein. Das ist der Sinn der Methode der kleinsten Quadrate.

Bei der Lösung des Beispiels geht es also darum, das Extremum einer Funktion zweier Variablen zu finden.

Ableitung von Formeln zum Finden von Koeffizienten.

Ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird erstellt und gelöst. Ermitteln der partiellen Ableitungen einer Funktion nach Variablen A Und B, setzen wir diese Ableitungen mit Null gleich.

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem mit einer beliebigen Methode (z. B durch Substitutionsmethode oder Cramer-Methode) und erhalten Sie Formeln zum Ermitteln von Koeffizienten mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Gegeben A Und B Funktion nimmt den kleinsten Wert an. Der Beweis dieser Tatsache wird unten im Text am Ende der Seite gegeben.

Das ist die ganze Methode der kleinsten Quadrate. Formel zum Finden des Parameters A enthält die Summen , , und Parameter N— Menge experimenteller Daten. Wir empfehlen, die Werte dieser Beträge separat zu berechnen.

Koeffizient B nach Berechnung gefunden A.

Es ist Zeit, sich an das ursprüngliche Beispiel zu erinnern.

Lösung.

In unserem Beispiel n=5. Wir füllen die Tabelle aus, um die Berechnung der Beträge zu erleichtern, die in den Formeln der erforderlichen Koeffizienten enthalten sind.

Die Werte in der vierten Zeile der Tabelle werden durch Multiplikation der Werte der 2. Zeile mit den Werten der 3. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der fünften Zeile der Tabelle werden durch Quadrieren der Werte in der 2. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der letzten Spalte der Tabelle sind die Summen der Werte in den Zeilen.

Um die Koeffizienten zu ermitteln, verwenden wir die Formeln der Methode der kleinsten Quadrate A Und B. Wir ersetzen darin die entsprechenden Werte aus der letzten Spalte der Tabelle:

Somit, y = 0,165x+2,184— die gewünschte annähernde Gerade.

Es bleibt abzuwarten, welche der Zeilen y = 0,165x+2,184 oder nähert sich den Originaldaten besser an, d. h. es wird eine Schätzung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate vorgenommen.

Fehlerschätzung der Methode der kleinsten Quadrate.

Dazu müssen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen der Originaldaten von diesen Linien berechnen Und , ein kleinerer Wert entspricht einer Linie, die den Originaldaten im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate besser nahekommt.

Seit , dann gerade y = 0,165x+2,184 nähert sich den Originaldaten besser an.

Grafische Darstellung der Methode der kleinsten Quadrate (LS).

In den Grafiken ist alles deutlich sichtbar. Die rote Linie ist die gefundene Gerade y = 0,165x+2,184, die blaue Linie ist , rosa Punkte sind die Originaldaten.

Warum ist das nötig, warum all diese Näherungen?

Ich persönlich verwende es, um Probleme der Datenglättung, Interpolation und Extrapolation zu lösen (im ursprünglichen Beispiel könnte es darum gehen, den Wert eines beobachteten Werts zu ermitteln). j bei x=3 oder wann x=6 unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate). Aber wir werden später in einem anderen Abschnitt der Website mehr darüber sprechen.

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Nachweisen.

Also das, wenn es gefunden wird A Und B Da die Funktion den kleinsten Wert annimmt, muss an dieser Stelle die Matrix der quadratischen Form des Differentials zweiter Ordnung für die Funktion vorliegen war eindeutig positiv. Zeigen wir es.

Das Differential zweiter Ordnung hat die Form:

Also

Daher hat die Matrix quadratischer Form die Form

und die Werte der Elemente hängen nicht davon ab A Und B.

Zeigen wir, dass die Matrix positiv definit ist. Dazu müssen die eckigen Nebenwerte positiv sein.

Winkelmoll erster Ordnung . Die Ungleichung ist streng, da die Punkte nicht übereinstimmen. Im Folgenden werden wir dies andeuten.

Winkelmoll zweiter Ordnung

Lasst uns das beweisen nach der Methode der mathematischen Induktion.

Abschluss: Werte gefunden A Und B entsprechen dem kleinsten Wert der Funktion sind daher die erforderlichen Parameter für die Methode der kleinsten Quadrate.

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Erstellen einer Prognose mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate. Beispiel einer Problemlösung

Extrapolation ist eine wissenschaftliche Forschungsmethode, die auf der Verbreitung vergangener und gegenwärtiger Trends, Muster und Zusammenhänge mit der zukünftigen Entwicklung des Prognoseobjekts basiert. Zu den Extrapolationsmethoden gehören Methode des gleitenden Durchschnitts, Methode der exponentiellen Glättung, Methode der kleinsten Quadrate.

Wesen Methode der kleinsten Quadrate besteht darin, die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen beobachteten und berechneten Werten zu minimieren. Die berechneten Werte werden anhand der ausgewählten Gleichung – der Regressionsgleichung – ermittelt. Je geringer der Abstand zwischen den tatsächlichen Werten und den berechneten ist, desto genauer ist die Prognose auf Basis der Regressionsgleichung.

Als Grundlage für die Auswahl einer Kurve dient eine theoretische Analyse des Wesens des untersuchten Phänomens, dessen Veränderung sich in einer Zeitreihe widerspiegelt. Manchmal werden Überlegungen zur Art des Anstiegs der Reihenniveaus berücksichtigt. Wenn also ein Produktionswachstum in einer arithmetischen Folge erwartet wird, erfolgt die Glättung in einer geraden Linie. Wenn sich herausstellt, dass das Wachstum geometrisch fortschreitet, muss eine Glättung mithilfe einer Exponentialfunktion erfolgen.

Arbeitsformel für die Methode der kleinsten Quadrate : Y t+1 = a*X + b, wobei t + 1 – Prognosezeitraum; Уt+1 – vorhergesagter Indikator; a und b sind Koeffizienten; X ist ein Symbol der Zeit.

Die Berechnung der Koeffizienten a und b erfolgt nach folgenden Formeln:

wo, Uf – tatsächliche Werte der Dynamikreihe; n – Anzahl der Zeitreihenebenen;

Die Glättung von Zeitreihen mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate dient dazu, das Entwicklungsmuster des untersuchten Phänomens widerzuspiegeln. Bei der analytischen Darstellung eines Trends wird die Zeit als unabhängige Variable betrachtet und die Niveaus der Reihe fungieren als Funktion dieser unabhängigen Variablen.

Die Entwicklung eines Phänomens hängt nicht davon ab, wie viele Jahre seit seinem Beginn vergangen sind, sondern davon, welche Faktoren seine Entwicklung in welche Richtung und mit welcher Intensität beeinflusst haben. Daraus wird deutlich, dass die Entwicklung eines Phänomens im Laufe der Zeit das Ergebnis der Wirkung dieser Faktoren ist.

Die korrekte Bestimmung des Kurventyps und der Art der analytischen Abhängigkeit von der Zeit ist eine der schwierigsten Aufgaben der prädiktiven Analyse .

Die Auswahl des Typs der den Trend beschreibenden Funktion, deren Parameter nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt werden, erfolgt in den meisten Fällen empirisch, indem eine Reihe von Funktionen konstruiert und entsprechend dem Wert der Funktion miteinander verglichen werden mittlerer quadratischer Fehler, berechnet nach der Formel:

wobei UV die tatsächlichen Werte der Dynamikreihe sind; Ur – berechnete (geglättete) Werte der Dynamikreihe; n – Anzahl der Zeitreihenebenen; p – die Anzahl der Parameter, die in Formeln definiert sind, die den Trend (Entwicklungstrend) beschreiben.

Nachteile der Methode der kleinsten Quadrate :

Wenn versucht wird, das untersuchte Wirtschaftsphänomen mithilfe einer mathematischen Gleichung zu beschreiben, ist die Prognose für einen kurzen Zeitraum genau und die Regressionsgleichung sollte neu berechnet werden, sobald neue Informationen verfügbar sind.
die Komplexität der Auswahl einer Regressionsgleichung, die mit Standard-Computerprogrammen lösbar ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate zur Entwicklung einer Prognose

Aufgabe . Es liegen Daten vor, die die Arbeitslosenquote in der Region charakterisieren, %

Erstellen Sie eine Prognose der Arbeitslosenquote in der Region für November, Dezember und Januar unter Verwendung der folgenden Methoden: gleitender Durchschnitt, exponentielle Glättung, kleinste Quadrate.
Berechnen Sie die Fehler in den resultierenden Prognosen mit jeder Methode.
Vergleichen Sie die Ergebnisse und ziehen Sie Schlussfolgerungen.

Lösung der kleinsten Quadrate

Um dieses Problem zu lösen, erstellen wir eine Tabelle, in der wir die notwendigen Berechnungen durchführen:

ε = 28,63/10 = 2,86 % Prognosegenauigkeit hoch.

Abschluss : Vergleich der Ergebnisse der Berechnungen Methode des gleitenden Durchschnitts , exponentielle Glättungsmethode und der Methode der kleinsten Quadrate können wir sagen, dass der durchschnittliche relative Fehler bei der Berechnung mit der Methode der exponentiellen Glättung im Bereich von 20–50 % liegt. Das bedeutet, dass die Genauigkeit der Prognose in diesem Fall nur zufriedenstellend ist.

Im ersten und dritten Fall ist die Prognosegenauigkeit hoch, da der durchschnittliche relative Fehler weniger als 10 % beträgt. Die Methode des gleitenden Durchschnitts ermöglichte es jedoch, zuverlässigere Ergebnisse zu erhalten (Prognose für November – 1,52 %, Prognose für Dezember – 1,53 %, Prognose für Januar – 1,49 %), da der durchschnittliche relative Fehler bei Verwendung dieser Methode am kleinsten ist – 1 ,13 %.

Methode der kleinsten Quadrate

MNC-Programm

Daten eingeben

Daten und Näherung y = a + b x

ich- Anzahl der Versuchspunkte;
x i- Wert eines festen Parameters an einem Punkt ich;
y i- Wert des gemessenen Parameters an einem Punkt ich;
ω ich- Gewicht an einem Punkt messen ich;
y i, kalk.- Differenz zwischen gemessenem und regressionsberechnetem Wert j am Punkt ich;
S x i (x i)- Fehlerschätzung x i beim Messen j am Punkt ich.

Daten und Näherung y = k x

ich	x i	y i	ω ich	y i, kalk.	Δy ich	S x i (x i)

Klicken Sie auf das Diagramm

Benutzerhandbuch für das MNC-Onlineprogramm.

Geben Sie im Datenfeld in jeder einzelnen Zeile die Werte von „x“ und „y“ an einem experimentellen Punkt ein. Werte müssen durch ein Leerzeichen (Leerzeichen oder Tabulator) getrennt werden.

Der dritte Wert könnte das Gewicht des Punktes „w“ sein. Wenn das Gewicht eines Punktes nicht angegeben ist, ist es gleich eins. In den allermeisten Fällen sind die Gewichte der experimentellen Punkte unbekannt oder werden nicht berechnet, d. h. Alle experimentellen Daten gelten als gleichwertig. Manchmal sind die Gewichte im untersuchten Wertebereich absolut nicht gleichwertig und lassen sich sogar theoretisch berechnen. Beispielsweise können in der Spektrophotometrie Gewichte mit einfachen Formeln berechnet werden, obwohl dies aus Gründen der Arbeitskostenreduzierung meist vernachlässigt wird.

Daten können über die Zwischenablage aus einer Tabellenkalkulation in einer Office-Suite wie Excel von Microsoft Office oder Calc von Open Office eingefügt werden. Wählen Sie dazu in der Tabelle den zu kopierenden Datenbereich aus, kopieren Sie ihn in die Zwischenablage und fügen Sie die Daten in das Datenfeld auf dieser Seite ein.

Um mit der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen, sind mindestens zwei Punkte erforderlich, um zwei Koeffizienten „b“ – den Tangens des Neigungswinkels der Linie – und „a“ – den Wert, der von der Linie auf der „y“-Achse geschnitten wird, zu bestimmen.

Um den Fehler der berechneten Regressionskoeffizienten abzuschätzen, müssen Sie die Anzahl der experimentellen Punkte auf mehr als zwei festlegen.

Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Je größer die Anzahl der Versuchspunkte, desto genauer ist die statistische Bewertung der Koeffizienten (aufgrund einer Abnahme des Student-Koeffizienten) und desto näher kommt die Schätzung der Schätzung der Gesamtstichprobe.

Das Erhalten von Werten an jedem Versuchspunkt ist oft mit erheblichen Arbeitskosten verbunden, daher wird oft eine Kompromisszahl von Experimenten durchgeführt, die eine überschaubare Schätzung liefert und nicht zu übermäßigen Arbeitskosten führt. In der Regel wird die Anzahl der experimentellen Punkte für eine lineare Abhängigkeit der kleinsten Quadrate mit zwei Koeffizienten im Bereich von 5–7 Punkten gewählt.

Eine kurze Theorie der kleinsten Quadrate für lineare Beziehungen

Nehmen wir an, wir haben einen Satz experimenteller Daten in Form von Wertepaaren [`y_i`, `x_i`], wobei `i` die Nummer einer experimentellen Messung von 1 bis `n` ist; „y_i“ – der Wert der gemessenen Größe am Punkt „i“; „x_i“ – der Wert des Parameters, den wir am Punkt „i“ festlegen.

Betrachten Sie als Beispiel die Wirkungsweise des Ohmschen Gesetzes. Indem wir die Spannung (Potenzialdifferenz) zwischen Abschnitten eines Stromkreises ändern, messen wir die Strommenge, die durch diesen Abschnitt fließt. Die Physik gibt uns eine experimentell gefundene Abhängigkeit:

„I = U/R“,
wobei „Ich“ die aktuelle Stärke ist; „R“ – Widerstand; „U“ – Spannung.

In diesem Fall ist „y_i“ der gemessene Stromwert und „x_i“ der Spannungswert.

Betrachten Sie als weiteres Beispiel die Absorption von Licht durch eine Lösung einer Substanz in Lösung. Die Chemie gibt uns die Formel:

`A = ε l C`,
wobei „A“ die optische Dichte der Lösung ist; „ε“ – Durchlässigkeit des gelösten Stoffes; „l“ – Weglänge, wenn Licht durch eine Küvette mit einer Lösung geht; „C“ ist die Konzentration des gelösten Stoffes.

In diesem Fall ist „y_i“ der gemessene Wert der optischen Dichte „A“ und „x_i“ der Konzentrationswert der von uns angegebenen Substanz.

Wir betrachten den Fall, wenn der relative Fehler in der Zuweisung „x_i“ deutlich kleiner ist als der relative Fehler in der Messung „y_i“. Wir gehen außerdem davon aus, dass alle gemessenen Werte „y_i“ zufällig und normalverteilt sind, d. h. gehorchen dem Normalverteilungsgesetz.

Im Fall einer linearen Abhängigkeit von „y“ von „x“ können wir die theoretische Abhängigkeit schreiben:
`y = a + b x`.

Aus geometrischer Sicht bezeichnet der Koeffizient „b“ den Tangens des Neigungswinkels der Linie zur „x“-Achse und der Koeffizient „a“ den Wert von „y“ am Schnittpunkt der Linie mit der „y“-Achse (bei „x = 0“).

Ermitteln der Parameter der Regressionslinie.

In einem Experiment können die Messwerte von „y_i“ aufgrund von Messfehlern, die im wirklichen Leben immer inhärent sind, nicht genau auf der theoretischen Geraden liegen. Daher muss eine lineare Gleichung durch ein Gleichungssystem dargestellt werden:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
wobei „ε_i“ der unbekannte Messfehler von „y“ im „i“-ten Experiment ist.

Abhängigkeit (1) wird auch aufgerufen Rückschritt, d.h. die Abhängigkeit zweier Größen voneinander mit statistischer Signifikanz.

Die Aufgabe der Wiederherstellung der Abhängigkeit besteht darin, die Koeffizienten „a“ und „b“ aus den experimentellen Punkten [„y_i“, „x_i““ zu finden.

Um die Koeffizienten „a“ und „b“ zu finden, wird es normalerweise verwendet Methode der kleinsten Quadrate(MNC). Es handelt sich um einen Sonderfall des Maximum-Likelihood-Prinzips.

Schreiben wir (1) in der Form „ε_i = y_i – a – b x_i“ um.

Dann beträgt die Summe der quadrierten Fehler
`Φ = sum_(i=1)^(n) ε_i^2 = sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

Das Prinzip der kleinsten Quadrate (kleinste Quadrate) besteht darin, die Summe (2) in Bezug auf die Parameter „a“ und „b“ zu minimieren.

Das Minimum wird erreicht, wenn die partiellen Ableitungen der Summe (2) nach den Koeffizienten „a“ und „b“ gleich Null sind:
`frac(partielles Φ)(partielles a) = frac(partielle Summe_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partielles a) = 0`
`frac(partielles Φ)(partielles b) = frac(partielle Summe_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partielles b) = 0`

Wenn wir die Ableitungen erweitern, erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i — 2y_i) = sum_(i=1)^(n) (a + bx_i — y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i — 2x_iy_i) = sum_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i — x_iy_i) = 0`

Wir öffnen die Klammern und übertragen die Summen unabhängig von den geforderten Koeffizienten auf die andere Hälfte, wir erhalten ein System linearer Gleichungen:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b sum_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

Wenn wir das resultierende System lösen, finden wir Formeln für die Koeffizienten „a“ und „b“:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n sum_(i=1)^(n) x_iy_i — sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n) y_i) (n sum_(i=1)^ (n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

Diese Formeln haben Lösungen, wenn „n > 1“ (die Linie kann aus mindestens 2 Punkten konstruiert werden) und wenn die Determinante „D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 – (sum_(i= 1 )^(n) x_i)^2 != 0`, d.h. wenn die „x_i“-Punkte im Experiment unterschiedlich sind (d. h. wenn die Linie nicht vertikal ist).

Schätzung der Fehler der Regressionslinienkoeffizienten

Für eine genauere Beurteilung des Fehlers bei der Berechnung der Koeffizienten „a“ und „b“ ist eine große Anzahl experimenteller Punkte wünschenswert. Bei „n = 2“ ist es unmöglich, den Fehler der Koeffizienten abzuschätzen, weil Die Näherungslinie verläuft eindeutig durch zwei Punkte.

Der Fehler der Zufallsvariablen „V“ wird bestimmt Gesetz der Fehlerakkumulation
`S_V^2 = sum_(i=1)^p (frac(partielles f)(partielles z_i))^2 S_(z_i)^2`,
wobei „p“ die Anzahl der Parameter „z_i“ mit Fehler „S_(z_i)“ ist, die sich auf den Fehler „S_V“ auswirken;
„f“ ist eine Funktion der Abhängigkeit von „V“ von „z_i“.

Schreiben wir das Gesetz der Fehlerakkumulation für den Fehler der Koeffizienten „a“ und „b“ auf
`S_a^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial a)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial a )(partielles x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partielles a)(partielles y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(partial b)(partial y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(partial b )(partielles x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 sum_(i=1)^(n)(frac(partielles b)(partielles y_i))^2 `,
Weil „S_(x_i)^2 = 0“ (wir haben zuvor einen Vorbehalt gemacht, dass der Fehler „x“ vernachlässigbar ist).

„S_y^2 = S_(y_i)^2“ – Fehler (Varianz, quadratische Standardabweichung) bei der Messung von „y“, unter der Annahme, dass der Fehler für alle Werte von „y“ einheitlich ist.

Wenn wir die Formeln zur Berechnung von „a“ und „b“ in die resultierenden Ausdrücke einsetzen, erhalten wir

`S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 — x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2) sum_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i — sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2)

In den meisten realen Experimenten wird der Wert von „Sy“ nicht gemessen. Hierzu ist es notwendig, mehrere parallele Messungen (Experimente) an einem oder mehreren Punkten im Plan durchzuführen, was die Zeit (und möglicherweise auch die Kosten) des Experiments erhöht. Daher wird üblicherweise angenommen, dass die Abweichung von „y“ von der Regressionsgeraden als zufällig angesehen werden kann. Die Schätzung der Varianz „y“ wird in diesem Fall anhand der Formel berechnet.

`S_y^2 = S_(y, rest)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

Der „n-2“-Teiler erscheint, weil unsere Anzahl an Freiheitsgraden aufgrund der Berechnung von zwei Koeffizienten unter Verwendung derselben Stichprobe experimenteller Daten abgenommen hat.

Diese Schätzung wird auch als Restvarianz relativ zur Regressionslinie „S_(y, rest)^2“ bezeichnet.

Die Signifikanz der Koeffizienten wird mithilfe des Student-t-Tests bewertet

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

Wenn die berechneten Kriterien „t_a“, „t_b“ kleiner als die tabellierten Kriterien „t(P, n-2)“ sind, wird davon ausgegangen, dass der entsprechende Koeffizient mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit „P“ nicht signifikant von Null abweicht.

Um die Qualität der Beschreibung einer linearen Beziehung zu beurteilen, können Sie „S_(y, rest)^2“ und „S_(bar y)“ relativ zum Mittelwert mithilfe des Fisher-Kriteriums vergleichen.

`S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i — (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` – Stichprobenschätzung der Varianz „y“ relativ zum Mittelwert.

Um die Wirksamkeit der Regressionsgleichung zur Beschreibung der Abhängigkeit zu beurteilen, wird der Fisher-Koeffizient berechnet
`F = S_(bar y) / S_(y, rest)^2`,
der mit dem tabellarischen Fisher-Koeffizienten „F(p, n-1, n-2)“ verglichen wird.

Wenn „F > F(P, n-1, n-2)“, wird der Unterschied zwischen der Beschreibung der Beziehung „y = f(x)“ mithilfe der Regressionsgleichung und der Beschreibung mithilfe des Mittelwerts mit Wahrscheinlichkeit als statistisch signifikant angesehen „P“. Diese. Die Regression beschreibt die Abhängigkeit besser als die Streuung von „y“ um den Mittelwert.

Klicken Sie auf das Diagramm
um Werte zur Tabelle hinzuzufügen

Methode der kleinsten Quadrate. Die Methode der kleinsten Quadrate bedeutet die Bestimmung unbekannter Parameter a, b, c, der akzeptierten funktionalen Abhängigkeit

Die Methode der kleinsten Quadrate bezieht sich auf die Bestimmung unbekannter Parameter a, b, c,… akzeptierte funktionale Abhängigkeit

y = f(x,a,b,c,…),

was ein Minimum des mittleren Quadrats (Varianz) des Fehlers liefern würde

, (24)

wobei x i, y i eine Menge von Zahlenpaaren ist, die aus dem Experiment erhalten wurden.

Da die Bedingung für das Extremum einer Funktion mehrerer Variablen die Bedingung ist, dass ihre partiellen Ableitungen gleich Null sind, dann sind die Parameter a, b, c,… werden aus dem Gleichungssystem ermittelt:

; ; ; … (25)

Es muss beachtet werden, dass die Methode der kleinsten Quadrate verwendet wird, um Parameter nach dem Funktionstyp auszuwählen y = f(x) definiert

Wenn aus theoretischen Überlegungen keine Rückschlüsse auf die empirische Formel gezogen werden können, muss man sich an visuellen Darstellungen orientieren, vor allem an grafischen Darstellungen der beobachteten Daten.

In der Praxis beschränken sie sich meist auf die folgenden Funktionstypen:

1) linear ;

2) quadratisch a.

Beispiel.

Experimentelle Daten zu den Werten von Variablen X Und bei sind in der Tabelle angegeben.

Durch ihre Ausrichtung ergibt sich die Funktion

Die Essenz der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Die Aufgabe besteht darin, die linearen Abhängigkeitskoeffizienten zu finden, bei denen die Funktion zweier Variablen vorliegt A Und B nimmt den kleinsten Wert an. Das heißt, gegeben A Und B die Summe der quadratischen Abweichungen der experimentellen Daten von der gefundenen Geraden wird am kleinsten sein. Das ist der Sinn der Methode der kleinsten Quadrate.

Bei der Lösung des Beispiels geht es also darum, das Extremum einer Funktion zweier Variablen zu finden.

Ableitung von Formeln zum Finden von Koeffizienten.

Ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird erstellt und gelöst. Partielle Ableitungen einer Funktion nach Variablen finden A Und B, setzen wir diese Ableitungen mit Null gleich.

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem mit einer beliebigen Methode (z. B durch Substitutionsmethode oder ) und erhalten Sie Formeln zum Ermitteln von Koeffizienten mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Gegeben A Und B Funktion nimmt den kleinsten Wert an. Der Beweis dieser Tatsache ist gegeben.

Das ist die ganze Methode der kleinsten Quadrate. Formel zum Finden des Parameters A enthält die Summen , , und Parameter N- Menge experimenteller Daten. Wir empfehlen, die Werte dieser Beträge separat zu berechnen. Koeffizient B nach Berechnung gefunden A.

Es ist Zeit, sich an das ursprüngliche Beispiel zu erinnern.

Lösung.

In unserem Beispiel n=5. Wir füllen die Tabelle aus, um die Berechnung der Beträge zu erleichtern, die in den Formeln der erforderlichen Koeffizienten enthalten sind.

Die Werte in der vierten Zeile der Tabelle werden durch Multiplikation der Werte der 2. Zeile mit den Werten der 3. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der fünften Zeile der Tabelle werden durch Quadrieren der Werte in der 2. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der letzten Spalte der Tabelle sind die Summen der Werte in den Zeilen.

Um die Koeffizienten zu ermitteln, verwenden wir die Formeln der Methode der kleinsten Quadrate A Und B. Wir ersetzen darin die entsprechenden Werte aus der letzten Spalte der Tabelle:

Somit, y = 0,165x+2,184- die gewünschte Annäherungsgerade.

Es bleibt abzuwarten, welche der Zeilen y = 0,165x+2,184 oder nähert sich den Originaldaten besser an, d. h. es wird eine Schätzung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate vorgenommen.

Fehlerschätzung der Methode der kleinsten Quadrate.

Seit , dann gerade y = 0,165x+2,184 nähert sich den Originaldaten besser an.

Grafische Darstellung der Methode der kleinsten Quadrate (LS).

In den Grafiken ist alles deutlich sichtbar. Die rote Linie ist die gefundene Gerade y = 0,165x+2,184, die blaue Linie ist , rosa Punkte sind die Originaldaten.

Warum ist das nötig, warum all diese Näherungen?

Nachweisen.

Lernprogramm

Einführung

Ich bin Mathematiker und Programmierer. Der größte Sprung in meiner Karriere war, als ich sagen lernte: "Ich verstehe nichts!" Jetzt schäme ich mich nicht, der Koryphäe der Wissenschaft zu sagen, dass er mir einen Vortrag hält, dass ich nicht verstehe, was er, die Koryphäe, mir sagt. Und es ist sehr schwierig. Ja, es ist schwierig und peinlich, seine Unwissenheit zuzugeben. Wer gibt schon gerne zu, dass er die Grundlagen einer Sache nicht kennt? Berufsbedingt muss ich sehr viele Präsentationen und Vorträge besuchen, bei denen ich, zugegebenermaßen, in den allermeisten Fällen schlafen möchte, weil ich nichts verstehe. Aber ich verstehe es nicht, denn das große Problem der aktuellen Situation in der Wissenschaft liegt in der Mathematik. Es wird davon ausgegangen, dass alle Zuhörer mit absolut allen Bereichen der Mathematik vertraut sind (was absurd ist). Zuzugeben, dass man nicht weiß, was ein Derivat ist (wir werden etwas später darüber sprechen), was es ist, ist beschämend.

Aber ich habe gelernt zu sagen, dass ich nicht weiß, was Multiplikation ist. Ja, ich weiß nicht, was eine Subalgebra über einer Lie-Algebra ist. Ja, ich weiß nicht, warum man im Leben quadratische Gleichungen braucht. Übrigens, wenn Sie sicher sind, dass Sie es wissen, dann haben wir etwas zu besprechen! Mathematik ist eine Reihe von Tricks. Mathematiker versuchen, die Öffentlichkeit zu verwirren und einzuschüchtern; Wo es keine Verwirrung gibt, gibt es keinen Ruf, keine Autorität. Ja, es ist prestigeträchtig, in einer möglichst abstrakten Sprache zu sprechen, was völliger Unsinn ist.

Wissen Sie, was ein Derivat ist? Höchstwahrscheinlich werden Sie mir etwas über die Grenze des Differenzverhältnisses sagen. Im ersten Jahr des Mathematik- und Mechanikstudiums an der Staatlichen Universität St. Petersburg erzählte mir Viktor Petrowitsch Chawin bestimmt Ableitung als Koeffizient des ersten Termes der Taylor-Reihe der Funktion an einem Punkt (dies war eine separate Übung zur Bestimmung der Taylor-Reihe ohne Ableitungen). Ich habe lange über diese Definition gelacht, bis ich endlich verstand, worum es ging. Die Ableitung ist nichts anderes als ein einfaches Maß dafür, wie ähnlich die Funktion, die wir differenzieren, der Funktion y=x, y=x^2, y=x^3 ist.

Ich habe jetzt die Ehre, vor Studenten Vorlesungen zu halten besorgt Mathematik. Wenn Sie Angst vor Mathematik haben, sind wir auf dem gleichen Weg. Sobald Sie versuchen, einen Text zu lesen, und es Ihnen vorkommt, dass er zu kompliziert ist, wissen Sie, dass er schlecht geschrieben ist. Ich behaupte, dass es keinen einzigen Bereich der Mathematik gibt, der nicht „an den Fingern“ diskutiert werden kann, ohne an Genauigkeit zu verlieren.

Aufgabe für die nahe Zukunft: Ich habe meinen Schülern aufgetragen, zu verstehen, was ein linearer quadratischer Regler ist. Seien Sie nicht schüchtern, verbringen Sie drei Minuten Ihres Lebens und folgen Sie dem Link. Wenn Sie nichts verstehen, sind wir auf dem gleichen Weg. Ich (ein professioneller Mathematiker und Programmierer) habe auch nichts verstanden. Und ich versichere Ihnen, Sie können es „an Ihren Fingern“ herausfinden. Im Moment weiß ich nicht, was es ist, aber ich versichere Ihnen, dass wir es herausfinden können.

Die erste Vorlesung, die ich meinen Studenten halten werde, nachdem sie voller Entsetzen auf mich zugerannt kommen und sagen, dass ein linear-quadratischer Regler eine schreckliche Sache ist, die man in seinem Leben nie beherrschen wird, lautet: Methoden der kleinsten Quadrate. Können Sie lineare Gleichungen lösen? Wenn Sie diesen Text lesen, dann höchstwahrscheinlich nicht.

Wenn also zwei Punkte (x0, y0), (x1, y1), zum Beispiel (1,1) und (3,2), gegeben sind, besteht die Aufgabe darin, die Gleichung der Geraden zu finden, die durch diese beiden Punkte verläuft:

Illustration

Diese Zeile sollte eine Gleichung wie die folgende haben:

Hier sind uns Alpha und Beta unbekannt, aber zwei Punkte dieser Linie sind bekannt:

Wir können diese Gleichung in Matrixform schreiben:

Hier sollten wir einen lyrischen Exkurs machen: Was ist eine Matrix? Eine Matrix ist nichts anderes als ein zweidimensionales Array. Dabei handelt es sich um eine Art der Datenspeicherung, der keine weitere Bedeutung zugemessen werden sollte. Es hängt von uns ab, wie wir eine bestimmte Matrix genau interpretieren. In regelmäßigen Abständen interpretiere ich es als lineare Abbildung, in regelmäßigen Abständen als quadratische Form und manchmal einfach als eine Menge von Vektoren. Dies alles wird im Kontext geklärt.

Ersetzen wir konkrete Matrizen durch ihre symbolische Darstellung:

Dann kann (Alpha, Beta) leicht gefunden werden:

Genauer gesagt für unsere vorherigen Daten:

Was zu der folgenden Gleichung der Geraden führt, die durch die Punkte (1,1) und (3,2) verläuft:

Okay, hier ist alles klar. Finden wir die Gleichung der durchgehenden Geraden drei Punkte: (x0,y0), (x1,y1) und (x2,y2):

Oh-oh-oh, aber wir haben drei Gleichungen für zwei Unbekannte! Ein Standardmathematiker wird sagen, dass es keine Lösung gibt. Was wird der Programmierer sagen? Und er wird zunächst das bisherige Gleichungssystem in folgender Form umschreiben:

In unserem Fall sind die Vektoren i, j, b dreidimensional, daher gibt es (im allgemeinen Fall) keine Lösung für dieses System. Jeder Vektor (alpha\*i + beta\*j) liegt in der Ebene, die von den Vektoren (i, j) aufgespannt wird. Wenn b nicht zu dieser Ebene gehört, gibt es keine Lösung (Gleichheit kann in der Gleichung nicht erreicht werden). Was zu tun ist? Suchen wir nach einem Kompromiss. Bezeichnen wir mit e(Alpha, Beta) genau, wie weit wir die Gleichberechtigung noch nicht erreicht haben:

Und wir werden versuchen, diesen Fehler zu minimieren:

Warum quadratisch?

Wir suchen nicht nur nach dem Minimum der Norm, sondern nach dem Minimum des Quadrats der Norm. Warum? Der Minimalpunkt selbst fällt zusammen und das Quadrat ergibt eine glatte Funktion (eine quadratische Funktion der Argumente (Alpha, Beta)), während einfach die Länge eine kegelförmige Funktion ergibt, die am Minimalpunkt nicht differenzierbar ist. Brr. Ein Quadrat ist bequemer.

Offensichtlich wird der Fehler minimiert, wenn der Vektor e orthogonal zu der von den Vektoren aufgespannten Ebene ich Und J.

Illustration

Mit anderen Worten: Wir suchen eine Gerade, bei der die Summe der Quadratlängen der Abstände aller Punkte zu dieser Geraden minimal ist:

UPDATE: Ich habe hier ein Problem, der Abstand zur Geraden sollte vertikal gemessen werden und nicht durch orthogonale Projektion. Dieser Kommentator hat recht.

Illustration

Mit ganz anderen Worten (vorsichtig, schlecht formalisiert, aber es sollte klar sein): Wir nehmen alle möglichen Linien zwischen allen Punktpaaren und suchen nach der Durchschnittslinie zwischen allen:

Illustration

Eine andere Erklärung ist einfach: Wir befestigen eine Feder zwischen allen Datenpunkten (hier haben wir drei) und der geraden Linie, die wir suchen, und die gerade Linie des Gleichgewichtszustands ist genau das, was wir suchen.

Minimale quadratische Form

Also, angesichts dieses Vektors B und eine Ebene, die von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird A(in diesem Fall (x0,x1,x2) und (1,1,1)) suchen wir nach dem Vektor e mit einem minimalen Längenquadrat. Offensichtlich ist das Minimum nur für den Vektor erreichbar e, orthogonal zur Ebene, die von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird A:

Mit anderen Worten, wir suchen nach einem Vektor x=(Alpha, Beta), so dass:

Ich möchte Sie daran erinnern, dass dieser Vektor x=(alpha, beta) das Minimum der quadratischen Funktion ||e(alpha, beta)||^2 ist:

Hier ist es nützlich, sich daran zu erinnern, dass die Matrix auch als quadratische Form interpretiert werden kann, beispielsweise kann die Identitätsmatrix ((1,0),(0,1)) als Funktion x^2 + y^ interpretiert werden 2:

quadratische Form

All diese Gymnastik ist unter dem Namen lineare Regression bekannt.

Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingung

Nun die einfachste eigentliche Aufgabe: Es gibt eine bestimmte triangulierte Oberfläche, die geglättet werden muss. Laden wir zum Beispiel ein Modell meines Gesichts:

Der ursprüngliche Commit ist verfügbar. Um externe Abhängigkeiten zu minimieren, habe ich den Code meines Software-Renderers übernommen, bereits auf Habré. Um ein lineares System zu lösen, verwende ich OpenNL. Dies ist ein hervorragender Löser, der jedoch sehr schwierig zu installieren ist: Sie müssen zwei Dateien (.h+.c) in den Ordner mit Ihrem Projekt kopieren. Die gesamte Glättung erfolgt mit dem folgenden Code:

Für (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = faces[i]; für (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X-, Y- und Z-Koordinaten sind trennbar, ich glätte sie separat. Das heißt, ich löse drei lineare Gleichungssysteme mit jeweils einer Anzahl von Variablen, die der Anzahl der Eckpunkte in meinem Modell entspricht. Die ersten n Zeilen der Matrix A haben nur eine 1 pro Zeile, und die ersten n Zeilen des Vektors b haben die ursprünglichen Modellkoordinaten. Das heißt, ich binde eine Feder zwischen der neuen Position des Scheitelpunkts und der alten Position des Scheitelpunkts – die neuen sollten sich nicht zu weit von den alten entfernen.

Alle nachfolgenden Zeilen der Matrix A (faces.size()*3 = Anzahl der Kanten aller Dreiecke im Netz) haben ein Vorkommen von 1 und ein Vorkommen von -1, wobei der Vektor b null entgegengesetzte Komponenten hat. Das bedeutet, dass ich an jeder Kante unseres Dreiecksnetzes eine Feder anlege: Alle Kanten versuchen, den gleichen Scheitelpunkt wie ihr Start- und Endpunkt zu erreichen.

Noch einmal: Alle Scheitelpunkte sind Variablen und können sich nicht weit von ihrer ursprünglichen Position entfernen, aber gleichzeitig versuchen sie, einander ähnlich zu werden.

Hier ist das Ergebnis:

Alles wäre gut, das Modell ist wirklich geglättet, aber es hat sich von seiner ursprünglichen Kante entfernt. Ändern wir den Code ein wenig:

Für (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

In unserer Matrix A füge ich für die Eckpunkte, die am Rand liegen, keine Zeile aus der Kategorie v_i = verts[i][d] hinzu, sondern 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Was ändert sich? Und das verändert unsere quadratische Form des Fehlers. Nun kostet eine einzelne Abweichung von oben am Rand nicht wie bisher eine Einheit, sondern 1000*1000 Einheiten. Das heißt, wir haben an den äußersten Scheitelpunkten eine stärkere Feder aufgehängt, die Lösung wird es vorziehen, die anderen stärker zu dehnen. Hier ist das Ergebnis:

Verdoppeln wir die Federkraft zwischen den Eckpunkten:
nlCoefficient(face[ j ], 2); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -2);

Logisch, dass die Oberfläche glatter geworden ist:

Und jetzt noch hundertmal stärker:

Was ist das? Stellen Sie sich vor, wir hätten einen Drahtring in Seifenwasser getaucht. Infolgedessen wird der resultierende Seifenfilm versuchen, die geringstmögliche Krümmung aufzuweisen und den Rand – unseren Drahtring – zu berühren. Genau das haben wir erreicht, indem wir den Rand fixiert und innen eine glatte Oberfläche gewünscht haben. Herzlichen Glückwunsch, wir haben gerade die Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen gelöst. Hört sich cool an? Aber in Wirklichkeit müssen Sie nur ein lineares Gleichungssystem lösen.

Poisson-Gleichung

Erinnern wir uns an einen anderen coolen Namen.

Nehmen wir an, ich habe ein Bild wie dieses:

Sieht für alle gut aus, aber mir gefällt der Stuhl nicht.

Ich schneide das Bild in zwei Hälften:

Und ich werde mit meinen Händen einen Stuhl auswählen:

Dann ziehe ich alles, was in der Maske weiß ist, auf die linke Seite des Bildes und sage gleichzeitig im gesamten Bild, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Pixeln gleich der Differenz zwischen zwei benachbarten Pixeln auf der rechten Seite sein sollte Bild:

Für (int i=0; i

Hier ist das Ergebnis:

Code und Bilder verfügbar

Die Essenz der Methode der kleinsten Quadrate ist beim Finden der Parameter eines Trendmodells, das die Entwicklungstendenz eines zufälligen Phänomens in Zeit oder Raum am besten beschreibt (ein Trend ist eine Linie, die die Tendenz dieser Entwicklung charakterisiert). Die Aufgabe der Methode der kleinsten Quadrate (LSM) besteht darin, nicht nur ein Trendmodell zu finden, sondern das beste oder optimale Modell zu finden. Dieses Modell ist optimal, wenn die Summe der quadratischen Abweichungen zwischen den beobachteten Istwerten und den entsprechenden berechneten Trendwerten minimal (am kleinsten) ist:

wobei die quadratische Abweichung zwischen dem beobachteten Istwert ist

und der entsprechende berechnete Trendwert,

Der tatsächliche (beobachtete) Wert des untersuchten Phänomens,

Der berechnete Wert des Trendmodells,

Die Anzahl der Beobachtungen des untersuchten Phänomens.

MNC wird recht selten allein verwendet. In der Regel wird es in Korrelationsstudien meist nur als notwendige technische Technik eingesetzt. Es ist zu beachten, dass die Informationsbasis von OLS nur eine zuverlässige statistische Reihe sein kann und die Anzahl der Beobachtungen nicht weniger als 4 betragen sollte, da sonst die Glättungsverfahren von OLS möglicherweise den gesunden Menschenverstand verlieren.

Das MNC-Toolkit lässt sich auf die folgenden Verfahren reduzieren:

Erstes Verfahren. Es stellt sich heraus, ob überhaupt eine Tendenz besteht, das resultierende Attribut zu ändern, wenn sich das ausgewählte Faktor-Argument ändert, oder mit anderen Worten: Gibt es einen Zusammenhang zwischen „ bei " Und " X ».

Zweites Verfahren. Es wird ermittelt, welche Linie (Trajektorie) diesen Trend am besten beschreiben bzw. charakterisieren kann.

Drittes Verfahren.

Beispiel. Nehmen wir an, wir haben Informationen über den durchschnittlichen Sonnenblumenertrag für den untersuchten Betrieb (Tabelle 9.1).

Tabelle 9.1

Beobachtungsnummer

Produktivität, c/ha

Da der Stand der Technik in der Sonnenblumenproduktion in unserem Land in den letzten 10 Jahren praktisch unverändert geblieben ist, bedeutet dies, dass die Ertragsschwankungen im analysierten Zeitraum offenbar stark von Schwankungen der Wetter- und Klimabedingungen abhingen. Ist das wirklich wahr?

Erstes OLS-Verfahren. Die Hypothese über die Existenz eines Trends bei den Änderungen des Sonnenblumenertrags in Abhängigkeit von Änderungen der Wetter- und Klimabedingungen in den analysierten 10 Jahren wird getestet.

In diesem Beispiel für „ j „Es empfiehlt sich, den Sonnenblumenertrag zu nehmen, und für“ X » – Nummer des beobachteten Jahres im analysierten Zeitraum. Testen der Hypothese über die Existenz einer Beziehung zwischen „ X " Und " j „kann auf zwei Arten erfolgen: manuell und mithilfe von Computerprogrammen. Mit der Verfügbarkeit der Computertechnologie kann dieses Problem natürlich von selbst gelöst werden. Um die MNC-Tools besser zu verstehen, ist es jedoch ratsam, die Hypothese über die Existenz eines Zusammenhangs zwischen „ X " Und " j » manuell, wenn nur ein Stift und ein gewöhnlicher Taschenrechner zur Hand sind. In solchen Fällen lässt sich die Hypothese über das Vorhandensein eines Trends am besten visuell anhand der Position des grafischen Bildes der analysierten Dynamikreihe – des Korrelationsfelds – überprüfen:

Das Korrelationsfeld liegt in unserem Beispiel um eine langsam ansteigende Linie. Dies allein weist darauf hin, dass es einen bestimmten Trend bei den Veränderungen der Sonnenblumenerträge gibt. Es ist unmöglich, nur dann über das Vorhandensein einer Tendenz zu sprechen, wenn das Korrelationsfeld wie ein Kreis, ein Kreis, eine streng vertikale oder streng horizontale Wolke aussieht oder aus chaotisch verstreuten Punkten besteht. In allen anderen Fällen ist die Hypothese über die Existenz einer Beziehung zwischen „ X " Und " j ", und weiter forschen.

Zweites OLS-Verfahren. Es wird ermittelt, welche Linie (Trajektorie) den Trend der Veränderungen des Sonnenblumenertrags im analysierten Zeitraum am besten beschreiben oder charakterisieren kann.

Wenn Sie über Computertechnologie verfügen, erfolgt die Auswahl des optimalen Trends automatisch. Bei der „manuellen“ Verarbeitung erfolgt die Auswahl der optimalen Funktion in der Regel visuell – anhand der Lage des Korrelationsfeldes. Das heißt, basierend auf der Art des Diagramms wird die Gleichung der Linie ausgewählt, die am besten zum empirischen Trend (der tatsächlichen Flugbahn) passt.

Bekanntlich gibt es in der Natur eine Vielzahl funktionaler Abhängigkeiten, sodass es äußerst schwierig ist, auch nur einen kleinen Teil davon visuell zu analysieren. Glücklicherweise können in der realen Wirtschaftspraxis die meisten Zusammenhänge ziemlich genau beschrieben werden, entweder durch eine Parabel, eine Hyperbel oder eine gerade Linie. Dabei kann man sich mit der „manuellen“ Möglichkeit, die beste Funktion auszuwählen, auf nur diese drei Modelle beschränken.

		Hyperbel:

Parabel zweiter Ordnung: :

Es ist leicht zu erkennen, dass sich in unserem Beispiel der Trend der Sonnenblumenertragsänderungen über die analysierten 10 Jahre am besten durch eine gerade Linie charakterisieren lässt, sodass die Regressionsgleichung die Gleichung einer geraden Linie sein wird.

Drittes Verfahren. Die Parameter der diese Linie charakterisierenden Regressionsgleichung werden berechnet, d. h. es wird eine analytische Formel ermittelt, die das beste Trendmodell beschreibt.

Das Finden der Werte der Parameter der Regressionsgleichung, in unserem Fall der Parameter und , ist der Kern des OLS. Bei diesem Prozess geht es darum, ein System normaler Gleichungen zu lösen.

(9.2)

Dieses Gleichungssystem lässt sich recht einfach mit der Gauß-Methode lösen. Erinnern wir uns daran, dass als Ergebnis der Lösung in unserem Beispiel die Werte der Parameter und gefunden werden. Somit hat die gefundene Regressionsgleichung die folgende Form:

Methode der kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten Quadrate ( OLS, OLS, gewöhnliche kleinste Quadrate) - eine der grundlegenden Methoden der Regressionsanalyse zur Schätzung unbekannter Parameter von Regressionsmodellen anhand von Beispieldaten. Die Methode basiert auf der Minimierung der Summe der Quadrate der Regressionsresiduen.

Es ist zu beachten, dass die Methode der kleinsten Quadrate selbst als Methode zur Lösung eines Problems in einem beliebigen Bereich bezeichnet werden kann, wenn die Lösung in einem Kriterium zur Minimierung der Quadratsumme einiger Funktionen der erforderlichen Variablen liegt oder dieses erfüllt. Daher kann die Methode der kleinsten Quadrate auch für eine ungefähre Darstellung (Approximation) einer bestimmten Funktion durch andere (einfachere) Funktionen verwendet werden, wenn eine Menge von Größen gefunden wird, die Gleichungen oder Einschränkungen erfüllen, deren Anzahl die Anzahl dieser Größen übersteigt , usw.

Die Essenz von MNC

Gegeben sei ein (parametrisches) Modell einer probabilistischen (Regressions-)Beziehung zwischen der (erklärten) Variablen j und viele Faktoren (erklärende Variablen) X

Wo ist der Vektor unbekannter Modellparameter?

- Zufälliger Modellfehler.

Lassen Sie es auch Beispielbeobachtungen der Werte dieser Variablen geben. Sei die Beobachtungszahl (). Dann sind die Werte der Variablen in der Beobachtung. Dann ist es für gegebene Werte der Parameter b möglich, die theoretischen (Modell-)Werte der erklärten Variablen y zu berechnen:

Die Größe der Residuen hängt von den Werten der Parameter b ab.

Das Wesen der Methode der kleinsten Quadrate (gewöhnlich, klassisch) besteht darin, Parameter b zu finden, für die die Summe der Quadrate der Residuen (eng. Restquadratsumme) wird minimal sein:

Im Allgemeinen kann dieses Problem durch numerische Optimierungs- (Minimierungs-)Methoden gelöst werden. In diesem Fall reden sie darüber nichtlineare kleinste Quadrate(NLS oder NLS – Englisch) Nichtlineare kleinste Quadrate). In vielen Fällen ist es möglich, eine analytische Lösung zu erhalten. Um das Minimierungsproblem zu lösen, ist es notwendig, stationäre Punkte der Funktion zu finden, indem man sie nach den unbekannten Parametern b differenziert, die Ableitungen mit Null gleichsetzt und das resultierende Gleichungssystem löst:

Wenn die Zufallsfehler des Modells normalverteilt sind, die gleiche Varianz aufweisen und unkorreliert sind, sind die OLS-Parameterschätzungen dieselben wie die Maximum-Likelihood-Schätzungen (MLM).

OLS im Fall eines linearen Modells

Die Regressionsabhängigkeit sei linear:

Lassen j ist ein Spaltenvektor von Beobachtungen der erklärten Variablen und eine Matrix von Faktorbeobachtungen (die Zeilen der Matrix sind die Vektoren der Faktorwerte in einer bestimmten Beobachtung, die Spalten sind der Vektor der Werte eines bestimmten Faktors in allen Beobachtungen). Die Matrixdarstellung des linearen Modells lautet:

Dann sind der Vektor der Schätzungen der erklärten Variablen und der Vektor der Regressionsresiduen gleich

Dementsprechend ist die Summe der Quadrate der Regressionsresiduen gleich

Wenn wir diese Funktion nach dem Parametervektor differenzieren und die Ableitungen mit Null gleichsetzen, erhalten wir ein Gleichungssystem (in Matrixform):

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die allgemeine Formel für Schätzungen der kleinsten Quadrate für ein lineares Modell:

Für analytische Zwecke ist die letztere Darstellung dieser Formel nützlich. Wenn in einem Regressionsmodell die Daten zentriert, dann hat in dieser Darstellung die erste Matrix die Bedeutung einer Stichproben-Kovarianzmatrix von Faktoren und die zweite ist ein Vektor von Kovarianzen von Faktoren mit der abhängigen Variablen. Wenn zusätzlich die Daten auch sind normalisiert zu MSE (das heißt letztendlich standardisiert), dann hat die erste Matrix die Bedeutung einer Stichprobenkorrelationsmatrix von Faktoren, der zweite Vektor - ein Vektor von Stichprobenkorrelationen von Faktoren mit der abhängigen Variablen.

Eine wichtige Eigenschaft von OLS-Schätzungen für Modelle mit Konstante- Die Linie der konstruierten Regression verläuft durch den Schwerpunkt der Stichprobendaten, d. h. die Gleichheit ist erfüllt:

Insbesondere im Extremfall, wenn der einzige Regressor eine Konstante ist, stellen wir fest, dass die OLS-Schätzung des einzigen Parameters (der Konstante selbst) gleich dem Durchschnittswert der erklärten Variablen ist. Das heißt, das arithmetische Mittel, das für seine guten Eigenschaften aus den Gesetzen der großen Zahlen bekannt ist, ist auch eine Schätzung der kleinsten Quadrate – es erfüllt das Kriterium der minimalen Summe der quadratischen Abweichungen davon.

Beispiel: einfachste (paarweise) Regression

Bei der gepaarten linearen Regression werden die Berechnungsformeln vereinfacht (Sie können auf Matrixalgebra verzichten):

Eigenschaften von OLS-Schätzern

Zunächst stellen wir fest, dass es sich bei den OLS-Schätzungen für lineare Modelle um lineare Schätzungen handelt, wie aus der obigen Formel hervorgeht. Für unverzerrte OLS-Schätzungen ist es notwendig und ausreichend, die wichtigste Bedingung der Regressionsanalyse zu erfüllen: Die mathematische Erwartung eines zufälligen Fehlers, bedingt durch die Faktoren, muss gleich Null sein. Diese Bedingung ist insbesondere dann erfüllt, wenn

die mathematische Erwartung zufälliger Fehler ist Null und
Faktoren und Zufallsfehler sind unabhängige Zufallsvariablen.

Die zweite Bedingung – die Bedingung der Exogenität der Faktoren – ist grundlegend. Wenn diese Eigenschaft nicht erfüllt ist, können wir davon ausgehen, dass fast alle Schätzungen äußerst unbefriedigend sind: Sie sind nicht einmal konsistent (d. h. selbst eine sehr große Datenmenge ermöglicht es uns in diesem Fall nicht, qualitativ hochwertige Schätzungen zu erhalten ). Im klassischen Fall wird im Gegensatz zu einem Zufallsfehler eine stärkere Annahme über den Determinismus der Faktoren getroffen, was automatisch bedeutet, dass die Exogenitätsbedingung erfüllt ist. Im allgemeinen Fall reicht es für die Konsistenz der Schätzungen aus, die Exogenitätsbedingung zusammen mit der Konvergenz der Matrix zu einer nicht singulären Matrix zu erfüllen, wenn die Stichprobengröße bis ins Unendliche ansteigt.

Damit Schätzungen der (gewöhnlichen) kleinsten Quadrate neben Konsistenz und Unvoreingenommenheit auch effektiv sind (die besten in der Klasse der linearen unvoreingenommenen Schätzungen), müssen zusätzliche Eigenschaften des Zufallsfehlers erfüllt sein:

Diese Annahmen können für die Kovarianzmatrix des Zufallsfehlervektors formuliert werden

Ein lineares Modell, das diese Bedingungen erfüllt, heißt klassisch. OLS-Schätzungen für die klassische lineare Regression sind erwartungstreue, konsistente und die effektivsten Schätzungen in der Klasse aller linearen erwartungstreuen Schätzungen (in der englischen Literatur wird die Abkürzung manchmal verwendet). BLAU (Bester linearer, unvermittelter Schätzer) – die beste lineare unverzerrte Schätzung; in der russischen Literatur wird häufiger das Gauß-Markov-Theorem zitiert). Wie leicht zu zeigen ist, ist die Kovarianzmatrix des Vektors der Koeffizientenschätzungen gleich:

Generalisiertes OLS

Die Methode der kleinsten Quadrate ermöglicht eine breite Verallgemeinerung. Anstatt die Summe der Quadrate der Residuen zu minimieren, kann man eine positiv definite quadratische Form des Residuenvektors minimieren, bei der es sich um eine symmetrische positiv definite Gewichtsmatrix handelt. Ein Sonderfall dieses Ansatzes ist die konventionelle Methode der kleinsten Quadrate, bei der die Gewichtsmatrix proportional zur Identitätsmatrix ist. Wie aus der Theorie der symmetrischen Matrizen (oder Operatoren) bekannt ist, gibt es für solche Matrizen eine Zerlegung. Folglich kann das angegebene Funktional wie folgt dargestellt werden, das heißt, dieses Funktional kann als Summe der Quadrate einiger transformierter „Reste“ dargestellt werden. Somit können wir eine Klasse von Methoden der kleinsten Quadrate unterscheiden – LS-Methoden (Least Squares).

Es wurde bewiesen (Theorem von Aitken), dass für ein verallgemeinertes lineares Regressionsmodell (bei dem der Kovarianzmatrix zufälliger Fehler keine Einschränkungen auferlegt werden) die sogenannten Schätzungen am effektivsten (in der Klasse der linearen unverzerrten Schätzungen) sind. verallgemeinerte kleinste Quadrate (GLS – Generalized Least Squares)- LS-Methode mit einer Gewichtsmatrix, die der inversen Kovarianzmatrix zufälliger Fehler entspricht: .

Es kann gezeigt werden, dass die Formel für GLS-Schätzungen der Parameter eines linearen Modells die Form hat

Die Kovarianzmatrix dieser Schätzungen ist dementsprechend gleich

Tatsächlich liegt das Wesen von OLS in einer bestimmten (linearen) Transformation (P) der Originaldaten und der Anwendung gewöhnlicher OLS auf die transformierten Daten. Der Zweck dieser Transformation besteht darin, dass für die transformierten Daten die Zufallsfehler bereits die klassischen Annahmen erfüllen.

Gewichtetes OLS

Im Fall einer diagonalen Gewichtsmatrix (und damit einer Kovarianzmatrix zufälliger Fehler) haben wir die sogenannten gewichteten kleinsten Quadrate (WLS). In diesem Fall wird die gewichtete Quadratsumme der Modellresiduen minimiert, d. h. jede Beobachtung erhält ein „Gewicht“, das umgekehrt proportional zur Varianz des Zufallsfehlers in dieser Beobachtung ist: . Tatsächlich werden die Daten durch Gewichtung der Beobachtungen transformiert (Dividierung durch einen Betrag, der proportional zur geschätzten Standardabweichung der Zufallsfehler ist), und auf die gewichteten Daten wird gewöhnliches OLS angewendet.

Einige Sonderfälle der Verwendung von MNC in der Praxis

Annäherung der linearen Abhängigkeit

Betrachten wir den Fall, wenn wir als Ergebnis der Untersuchung der Abhängigkeit einer bestimmten skalaren Größe von einer bestimmten skalaren Größe (dies könnte beispielsweise die Abhängigkeit der Spannung von der Stromstärke sein: , wobei ein konstanter Wert ist, der Widerstand von des Leiters) wurden Messungen dieser Größen durchgeführt, wodurch die Werte und die entsprechenden Werte ermittelt wurden. Die Messdaten müssen in einer Tabelle erfasst werden.

Tisch. Messergebnisse.

Messnr.
1
2
3
4
5
6

Die Frage ist: Welcher Wert des Koeffizienten kann gewählt werden, um die Abhängigkeit am besten zu beschreiben? Nach der Methode der kleinsten Quadrate sollte dieser Wert so sein, dass er die Summe der quadrierten Abweichungen der Werte von den Werten darstellt

war minimal

Die Summe der quadratischen Abweichungen hat ein Extremum – ein Minimum, was uns die Verwendung dieser Formel ermöglicht. Lassen Sie uns aus dieser Formel den Wert des Koeffizienten ermitteln. Dazu transformieren wir seine linke Seite wie folgt:

Mit der letzten Formel können wir den Wert des Koeffizienten ermitteln, der für das Problem erforderlich war.

Geschichte

Bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts. Wissenschaftler hatten keine bestimmten Regeln zum Lösen eines Gleichungssystems, in dem die Anzahl der Unbekannten geringer ist als die Anzahl der Gleichungen; Bis zu diesem Zeitpunkt wurden private Techniken verwendet, die von der Art der Gleichungen und vom Scharfsinn der Rechner abhingen, und daher kamen verschiedene Rechner, die auf denselben Beobachtungsdaten basierten, zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen. Gauß (1795) war der erste, der die Methode verwendete, und Legendre (1805) entdeckte sie unabhängig und veröffentlichte sie unter ihrem modernen Namen (französisch). Methode der geringsten Streitigkeiten ). Laplace bezog die Methode auf die Wahrscheinlichkeitstheorie, und der amerikanische Mathematiker Adrain (1808) befasste sich mit ihren Anwendungen. Die Methode fand weite Verbreitung und wurde durch weitere Forschungen von Encke, Bessel, Hansen und anderen verbessert.

Alternative Verwendungsmöglichkeiten von OLS

Die Idee der Methode der kleinsten Quadrate kann auch in anderen Fällen verwendet werden, die nicht direkt mit der Regressionsanalyse zusammenhängen. Tatsache ist, dass die Quadratsumme eines der gebräuchlichsten Näherungsmaße für Vektoren ist (euklidische Metrik in endlichdimensionalen Räumen).

Eine Anwendung ist die „Lösung“ linearer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen größer ist als die Anzahl der Variablen

wobei die Matrix nicht quadratisch, sondern rechteckig ist.

Ein solches Gleichungssystem hat im allgemeinen Fall keine Lösung (sofern der Rang tatsächlich größer ist als die Anzahl der Variablen). Daher kann dieses System nur in dem Sinne „gelöst“ werden, dass ein solcher Vektor so gewählt wird, dass der „Abstand“ zwischen den Vektoren und minimiert wird. Dazu können Sie das Kriterium der Minimierung der Quadratsumme der Differenzen zwischen der linken und rechten Seite der Systemgleichungen anwenden. Es lässt sich leicht zeigen, dass die Lösung dieses Minimierungsproblems zur Lösung des folgenden Gleichungssystems führt

Typ