Warum ist der Median gleich der halben Hypotenuse? Median. Visueller Leitfaden (2019)

Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:

1 Folie

Folienbeschreibung:

Median eines rechtwinkligen Dreiecks. Satz: Der Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das aus einem rechten Winkel gezogen wird, ist gleich der Hälfte der Hypotenuse. Gegeben: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck, O ist der Mittelpunkt von AB, CO ist der Median, CO = ½AB = R. Satz (invers): if Der Median eines Dreiecks ist gleich der Hälfte der Seite, zu der es gezogen wird. Dann ist das Dreieck rechtwinklig. СО – Median, СО = ½ АВ => АВС – rechteckig.

2 Folie

Folienbeschreibung:

Aufgabe Nr. 2 Durch die Basen der Winkelhalbierenden AD des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Scheitelpunkt B wird eine Senkrechte zu dieser Winkelhalbierenden gezogen, die die Linie AC im Punkt E schneidet. Finden Sie die Strecke AE, wenn bekannt ist, dass CD = 4. Gegeben: ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. M – Mittelpunkt von AE, CD = 4, DM = Median, Finden: AE Lösung: 1) DM – Median des rechtwinkligen Dreiecks ADE, gezeichnet vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels, => AM = DM = ME, 2) Winkel BAC = Winkel BCA = α . Nach dem Außenwinkelsatz => ist das Dreieck DCM gleichschenklig. Daher ist AE = 2DM = 2DC = 8 Antwort: 8.

3 Folie

Folienbeschreibung:

Aufgabe Nr. 1.2 Der Median, der zur Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gezogen wird, ist gleich m und teilt den rechten Winkel im Verhältnis 1:2. Finden Sie die Seiten des Dreiecks. Gegeben: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck, Winkel C ist ein rechtwinkliges Dreieck, CO = m Gefunden: AB, BC, CB Lösung: 1) 2) CO ist der Median gemäß dem Satz AB = 2m 3) Durch die Eigenschaft von a rechtwinkliges Dreieck: aus ABC: AC = m 4) Nach dem Satz des Pythagoras: Antwort: 2m, m,

4 Folie

Folienbeschreibung:

Aufgabe Nr. 1.3 Der Median eines rechtwinkligen Dreiecks, das zur Hypotenuse gezogen wird, teilt es in zwei Dreiecke mit den Umfängen 8 und 9. Finden Sie die Seiten des Dreiecks. Angenommen, ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck, SO ist der Median, RASO = 8; RSOV = 9. Finden Sie: AB, AC, SV. Lösung: 1) Bezeichnen wir mit x – CO; dann nach dem Satz CO = AO = OB = x y – AC; CB – z. 2) RASO = AC + AO + CO; PCOV = CB + OB + CO; AC + AO + CO = 8 AC + 2x = 8 AC = 8 – 2x AC > CB CB + OB + CO = 9; CB + 2x = 9; CB = 9 – 2x; CB = 1 + AC; 3) => x=2,5 Antwort: 3, 4, 5.

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Notiz. In dieser Lektion werden theoretische Materialien und Lösungen für Geometrieprobleme zum Thema „Median in einem rechtwinkligen Dreieck“ vorgestellt. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Der Kurs wird mit ziemlicher Sicherheit ergänzt.

Eigenschaften des Medians eines rechtwinkligen Dreiecks

Ermittlung des Medians

• Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt, gerechnet vom Scheitelpunkt des Winkels. Der Punkt, an dem sie sich schneiden, wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet (der Begriff „Schwerpunkt“ wird in Aufgaben relativ selten zur Bezeichnung dieses Punktes verwendet).
• Der Median teilt ein Dreieck in zwei gleiche Dreiecke.
• Ein Dreieck wird durch drei Mediane in sechs gleiche Dreiecke geteilt.
• Die größere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.

Die zur Lösung vorgeschlagenen Geometrieprobleme verwenden hauptsächlich Folgendes Eigenschaften des Medians eines rechtwinkligen Dreiecks.

• Die Summe der Quadrate der Mediane, die auf die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks fallen, entspricht fünf Quadraten des Medians, die auf die Hypotenuse fallen (Formel 1)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse(Formel 2)
• Der Median der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt gleich dem Radius des umschriebenen Kreises gegebenes rechtwinkliges Dreieck (Formel 2)
• Der zur Hypotenuse abgefallene Median beträgt gleich der Hälfte der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Beine(Formel 3)
• Der zur Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Länge des Beins geteilt durch zwei Sinus des spitzen Winkels gegenüber dem Bein (Formel 4)
• Der zur Hypotenuse abgesenkte Median ist gleich dem Quotienten aus der Beinlänge geteilt durch zwei Kosinusse des spitzen Winkels neben dem Bein (Formel 4)
• Die Summe der Quadrate der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht acht Quadraten des auf seine Hypotenuse fallenden Medians (Formel 5)

Notation in Formeln:

a, b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks

C- Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn wir ein Dreieck als ABC bezeichnen, dann

BC = A

(das heißt, die Seiten a,b,c liegen den entsprechenden Winkeln gegenüber)

M A- Mittellinie zum Bein a gezogen

M B- Mittellinie zum Bein b gezogen

M C - Median eines rechtwinkligen Dreiecks, zur Hypotenuse gezogen mit

α (Alpha)- Winkel CAB gegenüber der Seite a

Problem mit dem Median im rechtwinkligen Dreieck

Die Mittelwerte eines an den Beinen gezogenen rechtwinkligen Dreiecks betragen 3 cm bzw. 4 cm. Finden Sie die Hypotenuse des Dreiecks

Lösung

Bevor wir mit der Lösung des Problems beginnen, achten wir auf das Verhältnis der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und des darauf abgesenkten Medians. Wenden wir uns dazu den Formeln 2, 4, 5 zu Eigenschaften des Medians in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Formeln geben deutlich das Verhältnis von Hypotenuse und Median an, das auf 1 zu 2 abgesenkt wird. Daher zur Vereinfachung zukünftiger Berechnungen (was die Richtigkeit der Lösung in keiner Weise beeinträchtigt, sie aber noch verbessert). Praktischerweise bezeichnen wir die Längen der Beine AC und BC der Variablen x und y als 2x und 2y (nicht x und y).

Betrachten Sie den ADC im rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel C ist entsprechend den Bedingungen des Problems richtig, der Schenkel AC ist mit dem Dreieck ABC gemeinsam und der Schenkel CD ist gemäß den Eigenschaften des Medians gleich der Hälfte BC. Dann nach dem Satz des Pythagoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Da AC = 2x, CD = y (da der Median das Bein in zwei gleiche Teile teilt), dann
4x 2 + y 2 = 9

Betrachten Sie gleichzeitig das rechtwinklige Dreieck EBC. Gemäß den Bedingungen des Problems hat es auch einen rechten Winkel C, der Schenkel BC ist mit dem Schenkel BC des ursprünglichen Dreiecks ABC gemeinsam und der Schenkel EC ist aufgrund der Eigenschaft des Medians gleich der Hälfte des Schenkels AC des ursprünglichen Dreiecks ABC.
Nach dem Satz des Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Da EC = x (der Median teilt das Bein in zwei Hälften), ist BC = 2y
x 2 + 4y 2 = 16

Da die Dreiecke ABC, EBC und ADC durch gemeinsame Seiten verbunden sind, hängen auch beide resultierenden Gleichungen zusammen.
Lösen wir das resultierende Gleichungssystem.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16