Folge von Naturals. Allgemeine Bezeichnung für den Grenzwert von Folgen. Numerische Ausdrücke und numerische Gleichungen

Die Definition einer Zahlenfolge ist gegeben. Es werden Beispiele für unendlich wachsende, konvergente und divergente Folgen betrachtet. Es wird eine Folge betrachtet, die alle rationalen Zahlen enthält.

Definition.
Numerische Reihenfolge (xn) ist ein Gesetz (Regel), nach dem für jede natürliche Zahl n = 1, 2, 3, . . . eine bestimmte Anzahl x n wird zugewiesen.
Das Element x n wird als n-tes Glied oder Element der Folge bezeichnet.

Die Folge wird als n-ter Term in geschweiften Klammern bezeichnet: . Folgende Bezeichnungen sind ebenfalls möglich: . Sie weisen explizit darauf hin, dass der Index n zur Menge der natürlichen Zahlen gehört und die Folge selbst unendlich viele Terme hat. Hier einige Beispielsequenzen:
, , .

Mit anderen Worten: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist. Die Anzahl der Elemente der Folge ist unendlich. Unter den Elementen können auch Elemente mit gleicher Bedeutung vorhanden sein. Eine Folge kann auch als eine nummerierte Zahlenmenge betrachtet werden, die aus einer unendlichen Anzahl von Mitgliedern besteht.

Uns wird vor allem die Frage interessieren, wie sich Folgen verhalten, wenn n gegen Unendlich geht: . Dieses Material wird im Abschnitt Grenzwert einer Folge – Grundsätze und Eigenschaften vorgestellt. Hier sehen wir uns einige Beispiele für Sequenzen an.

Sequenzbeispiele

Beispiele für unendlich steigende Folgen

Betrachten Sie die Reihenfolge. Das gemeinsame Mitglied dieser Sequenz ist . Schreiben wir die ersten paar Begriffe auf:
.
Es ist ersichtlich, dass mit zunehmender Zahl n die Elemente unbegrenzt in Richtung positiver Werte zunehmen. Wir können sagen, dass diese Sequenz dazu tendiert: für .

Betrachten Sie nun eine Folge mit einem gemeinsamen Term. Hier sind die ersten Mitglieder:
.
Mit zunehmender Zahl n nehmen die Elemente dieser Folge im Absolutwert unbegrenzt zu, haben jedoch kein konstantes Vorzeichen. Das heißt, diese Sequenz neigt dazu: bei .

Beispiele für Folgen, die gegen eine endliche Zahl konvergieren

Betrachten Sie die Reihenfolge. Ihr gemeinsames Mitglied. Die ersten Terme haben die folgende Form:
.
Es ist ersichtlich, dass sich die Elemente dieser Folge mit zunehmender Zahl n ihrem Grenzwert a nähern = 0 : bei . Jeder nachfolgende Term liegt also näher bei Null als der vorherige. In gewissem Sinne können wir davon ausgehen, dass es einen Näherungswert für die Zahl a gibt = 0 mit Fehler. Es ist klar, dass dieser Fehler mit zunehmendem n gegen Null tendiert, das heißt, durch die Wahl von n kann der Fehler so klein wie gewünscht gemacht werden. Darüber hinaus gilt für jeden gegebenen Fehler ε > 0 Sie können eine Zahl N angeben, sodass für alle Elemente mit Zahlen größer als N: die Abweichung der Zahl vom Grenzwert a den Fehler ε: nicht überschreitet.

Betrachten Sie als nächstes die Reihenfolge. Ihr gemeinsames Mitglied. Hier sind einige seiner ersten Mitglieder:
.
In dieser Folge sind Terme mit geraden Zahlen gleich Null. Terme mit ungeradem n sind gleich. Daher nähern sich ihre Werte mit zunehmendem n dem Grenzwert a = 0 . Dies folgt auch daraus
.
Genau wie im vorherigen Beispiel können wir einen beliebig kleinen Fehler ε angeben > 0 , für die es möglich ist, eine Zahl N zu finden, so dass Elemente mit Zahlen größer als N vom Grenzwert a abweichen = 0 um einen Betrag, der den angegebenen Fehler nicht überschreitet. Daher konvergiert diese Folge gegen den Wert a = 0 : bei .

Beispiele für divergente Sequenzen

Betrachten Sie eine Sequenz mit dem folgenden gemeinsamen Begriff:

Hier sind seine ersten Mitglieder:


.
Es ist ersichtlich, dass Terme mit geraden Zahlen:
,
konvergieren zum Wert a 1 = 0 . Mitglieder mit ungerader Nummer:
,
konvergieren zum Wert a 2 = 2 . Die Folge selbst konvergiert mit zunehmendem n gegen keinen Wert.

Folge mit im Intervall (0;1) verteilten Termen

Schauen wir uns nun eine interessantere Sequenz an. Nehmen wir ein Segment auf der Zahlengeraden. Teilen wir es in zwei Hälften. Wir erhalten zwei Segmente. Lassen
.
Teilen wir jedes der Segmente noch einmal in zwei Hälften. Wir erhalten vier Segmente. Lassen
.
Teilen wir jedes Segment noch einmal in zwei Hälften. Lass uns nehmen


.
Usw.

Als Ergebnis erhalten wir eine Folge, deren Elemente in einem offenen Intervall verteilt sind (0; 1) . Welchen Punkt wir auch immer aus dem geschlossenen Intervall nehmen können wir immer Glieder der Folge finden, die beliebig nahe an diesem Punkt liegen oder mit ihm zusammenfallen.

Dann kann man aus der ursprünglichen Folge eine Teilfolge auswählen, die zu einem beliebigen Punkt aus dem Intervall konvergiert . Das heißt, mit zunehmender Zahl n kommen die Mitglieder der Teilfolge immer näher an den vorgewählten Punkt heran.

Zum Beispiel für Punkt a = 0 Sie können die folgende Teilsequenz wählen:
.
= 0 .

Für Punkt a = 1 Wählen wir die folgende Teilsequenz:
.
Die Terme dieser Teilfolge konvergieren zum Wert a = 1 .

Da es Teilfolgen gibt, die gegen unterschiedliche Werte konvergieren, konvergiert die ursprüngliche Folge selbst gegen keine Zahl.

Folge, die alle rationalen Zahlen enthält

Konstruieren wir nun eine Folge, die alle rationalen Zahlen enthält. Darüber hinaus kommt jede rationale Zahl in einer solchen Folge unendlich oft vor.

Die rationale Zahl r lässt sich wie folgt darstellen:
,
wo ist eine ganze Zahl; - natürlich.
Wir müssen jede natürliche Zahl n einem Zahlenpaar p und q zuordnen, sodass jedes Paar p und q in unserer Folge enthalten ist.

Zeichnen Sie dazu die p- und q-Achsen in die Ebene ein. Wir zeichnen Gitterlinien durch die ganzzahligen Werte von p und q. Dann entspricht jeder Knoten dieses Gitters c einer rationalen Zahl. Die gesamte Menge rationaler Zahlen wird durch eine Menge von Knoten dargestellt. Wir müssen einen Weg finden, alle Knoten zu nummerieren, damit wir keinen Knoten übersehen. Das geht ganz einfach, wenn man die Knoten durch Quadrate nummeriert, deren Mittelpunkte im Punkt liegen (0; 0) (siehe Bild). In diesem Fall sind die unteren Teile der Quadrate mit q < 1 wir brauchen es nicht. Daher sind sie in der Abbildung nicht dargestellt.

Für die Oberseite des ersten Quadrats gilt also:
.
Als nächstes nummerieren wir den oberen Teil des nächsten Quadrats:

.
Wir nummerieren den oberen Teil des folgenden Quadrats:

.
Usw.

Auf diese Weise erhalten wir eine Folge, die alle rationalen Zahlen enthält. Sie können feststellen, dass jede rationale Zahl in dieser Reihenfolge unendlich oft vorkommt. Tatsächlich enthält diese Sequenz neben dem Knoten auch den Knoten , bei dem es sich um eine natürliche Zahl handelt. Aber alle diese Knoten entsprechen derselben rationalen Zahl.

Dann können wir aus der von uns konstruierten Folge eine Teilfolge (mit unendlich vielen Elementen) auswählen, deren Elemente alle einer vorgegebenen rationalen Zahl entsprechen. Da die von uns konstruierte Folge Teilfolgen hat, die gegen verschiedene Zahlen konvergieren, konvergiert die Folge gegen keine Zahl.

Abschluss

Hier haben wir eine genaue Definition der Zahlenfolge gegeben. Wir haben auch die Frage seiner Konvergenz aufgeworfen, basierend auf intuitiven Ideen. Die genaue Definition der Konvergenz wird auf der Seite Den Grenzwert einer Folge definieren besprochen. Verwandte Eigenschaften und Theoreme sind auf der Seite angegeben

Folge ist eine Menge von Elementen einer bestimmten Menge. Unendliche Folge– eine Sequenz, die durch eine Funktion mit einem Definitionsbereich angegeben wird N. Für den Fall, dass diese Funktion numerisch ist, dann unendliche Zahlenfolge. Als nächstes betrachten wir Zahlenfolgen. Bedeutung F(N), was einer natürlichen Zahl entspricht N, angerufen N-tes Mitglied der Sequenz. Manchmal stattdessen F(N) Notationen werden verwendet A N , X N .

Beispiele für Zahlenfolgen:

F(N) = 3N+ 2, von wo F(1) = 5, F(2) = 8,..., F(100) = 302,... ;

F(N) = 1 + (-1) N, Wo F(1) = 0, F(2) = 2,... oder allgemein, F(2k - 1) = 0, F(2k) = 2 (k ∈ N).

Als Funktion kann eine Zahlenfolge auf verschiedene Arten angegeben werden. Eine Formel, die eine Zahlenfolge angibt, wird Formel genannt N tes (oder gemeinsames) Mitglied. Mit seiner Hilfe können Sie den Wert eines beliebigen Elements der Sequenz ermitteln, indem Sie seine Nummer in die Formel einsetzen. Zum Beispiel: A N = 2 N .

Es gibt eine andere Möglichkeit, eine numerische Folge anzugeben – wiederkehrend. Es drückt jedes Mitglied der Sequenz in Bezug auf die vorherigen aus. Zum Beispiel: A N = 2(A N-1 + 3), A 1 = 2. Dann A 2 = 10, A 3 = 26,...

Wenn eine Folge endlich viele Glieder hat, heißt sie endlich. Die letzte Folge dreistelliger Zahlen lautet beispielsweise: 100, 101, ..., 999. Sie besteht aus 900 Elementen.

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend, wenn überhaupt N ∈ N Ungleichheit gilt A N A N+1 .

Die Sequenz wird aufgerufen fallen, wenn überhaupt N ∈ N Ungleichheit gilt A N > A N+1 .

Es werden steigende und fallende Folgen aufgerufen eintönig.

Zum Beispiel die durch die Formel gegebene Reihenfolge A N = N/(N+ 1), ist monoton, steigend, weil Unterschied A N+1 - A N = (N + 1)/(N + 2) - N/(N + 1) = 1/(N + 1)(N+ 2) > 0. Das heißt A N A N+1. Folge mit einem gemeinsamen Begriff A N = 1 + (-1) N ist nicht monoton, weil A 1 ein 2 , ein A 2 > A 3 .

Die Sequenz wird aufgerufen Oben beschränkt M ∈ R, Was A N ≤ M.

Die Sequenz wird aufgerufen nach unten begrenzt, falls eine solche Nummer existiert M ∈ R, Was A N ≥ M.

Zum Beispiel die Reihenfolge A N = N von unten begrenzt, aber nicht von oben begrenzt. Folge A N = (-1) N N weder nach oben noch nach unten begrenzt.

Die Sequenz wird aufgerufen begrenzt, wenn es gleichzeitig nach oben und unten beschränkt ist.

Nummer A heißt die Grenze der Folge ( A N), falls es für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl gibt N, also für jeden N > N Ungleichheit gilt | A N - A| lim N→∞ A N = A oder A N → A.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergent. Eine Folge, die keine Grenze hat, wird aufgerufen abweichend.

Wenn lim N→∞ A N= 0, dann ist die Folge ( A N) heißt infinitesimal.

Eigenschaften numerischer Folgegrenzen:

1. Wenn lim N→∞ A N = A und lim N→∞ B N = B, dann lim N→∞ (A N + B N) = A + B;

2. Wenn lim N→∞ A N = A und lim N→∞ B N = B, dann lim N→∞ (A N B N) = AB;

3. Wenn lim N→∞ A N = A und lim N→∞ B N = B≠ 0, dann lim N→∞ (A N /B N) = A/B;

4.lim N→∞ CA N = C lim N→∞ A N, Wo C ∈ R;

5. Wenn lim N→∞ A N= lim N→∞ B N = A Und A N ≤ C N ≤ B N, dann lim N→∞ C N = A.

6. Wenn lim N→∞ A N = A, lim N→∞ B N = B Und A N B N bei N ∈ N, Das A ≤ B.

Mathematik ist die Wissenschaft, die die Welt aufbaut. Sowohl der Wissenschaftler als auch der einfache Mann – niemand kann darauf verzichten. Erst lernen kleine Kinder das Zählen, dann addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren; in der Mittelstufe kommen Buchstabensymbole ins Spiel, und in der Oberstufe sind sie nicht mehr zu umgehen.

Aber heute werden wir darüber sprechen, worauf die gesamte bekannte Mathematik basiert. Über eine Zahlengemeinschaft namens „Sequenzgrenzen“.

Was sind Folgen und wo liegt ihre Grenze?

Die Bedeutung des Wortes „Sequenz“ ist nicht schwer zu interpretieren. Dabei handelt es sich um eine Anordnung von Dingen, bei der sich jemand oder etwas in einer bestimmten Reihenfolge oder Warteschlange befindet. Beispielsweise ist die Warteschlange für Eintrittskarten für den Zoo eine Sequenz. Und es kann nur einen geben! Schaut man sich zum Beispiel die Warteschlange im Laden an, ist das eine Sequenz. Und wenn plötzlich eine Person aus dieser Warteschlange weggeht, dann ist das eine andere Warteschlange, eine andere Reihenfolge.

Auch das Wort „Grenze“ ist leicht zu interpretieren – es ist das Ende von etwas. In der Mathematik sind die Grenzen von Folgen jedoch diejenigen Werte auf der Zahlengeraden, zu denen eine Zahlenfolge tendiert. Warum strebt es danach und endet nicht? Es ist ganz einfach, der Zahlenstrahl hat kein Ende und die meisten Folgen haben, wie auch Strahlen, nur einen Anfang und sehen so aus:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Daher ist die Definition einer Folge eine Funktion des natürlichen Arguments. Einfacher ausgedrückt ist dies eine Reihe von Mitgliedern einer bestimmten Menge.

Wie ist die Zahlenfolge aufgebaut?

Ein einfaches Beispiel für eine Zahlenfolge könnte so aussehen: 1, 2, 3, 4, …n…

In den meisten Fällen werden Folgen aus praktischen Gründen aus Zahlen gebildet, und jedes nächste Mitglied der Reihe, nennen wir es X, hat seinen eigenen Namen. Zum Beispiel:

x 1 ist das erste Mitglied der Sequenz;

x 2 ist der zweite Term der Folge;

x 3 ist der dritte Term;

x n ist der n-te Term.

Bei praktischen Methoden wird die Reihenfolge durch eine allgemeine Formel angegeben, in der es eine bestimmte Variable gibt. Zum Beispiel:

X n =3n, dann sieht die Zahlenreihe selbst so aus:

Denken Sie daran, dass Sie beim Schreiben von Sequenzen im Allgemeinen alle lateinischen Buchstaben verwenden können, nicht nur X. Zum Beispiel: y, z, k usw.

Arithmetische Folge als Teil von Folgen

Bevor man nach den Grenzen von Folgen sucht, empfiehlt es sich, tiefer in das eigentliche Konzept einer solchen Zahlenreihe einzutauchen, mit dem jeder in der Mittelschule in Berührung kam. Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der die Differenz zwischen benachbarten Termen konstant ist.

Problem: „Sei a 1 = 15 und der Fortschrittsschritt der Zahlenreihe d = 4. Konstruieren Sie die ersten vier Terme dieser Reihe.

Lösung: a 1 = 15 (nach Bedingung) ist der erste Term der Progression (Zahlenreihe).

und 2 = 15+4=19 ist der zweite Term der Progression.

und 3 =19+4=23 ist der dritte Term.

und 4 =23+4=27 ist der vierte Term.

Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, große Werte zu erreichen, beispielsweise bis zu 125. . Speziell für solche Fälle wurde eine praxisgerechte Formel abgeleitet: a n =a 1 +d(n-1). In diesem Fall ist a 125 =15+4(125-1)=511.

Arten von Sequenzen

Die meisten Sequenzen sind endlos, es lohnt sich, sie für den Rest Ihres Lebens im Gedächtnis zu behalten. Es gibt zwei interessante Arten von Zahlenreihen. Die erste ergibt sich aus der Formel a n =(-1) n. Mathematiker nennen diese Sequenz oft einen Flasher. Warum? Schauen wir uns die Zahlenreihe an.

1, 1, -1, 1, -1, 1 usw. Anhand eines Beispiels wie diesem wird deutlich, dass Zahlen in Folgen leicht wiederholt werden können.

Faktorielle Folge. Es ist leicht zu erraten – die Formel, die die Sequenz definiert, enthält eine Fakultät. Zum Beispiel: a n = (n+1)!

Dann sieht die Sequenz so aus:

a 2 = 1x2x3 = 6;

und 3 = 1x2x3x4 = 24 usw.

Eine durch eine arithmetische Folge definierte Folge heißt unendlich abnehmend, wenn die Ungleichung -1 für alle ihre Glieder erfüllt ist

und 3 = - 1/8 usw.

Es gibt sogar eine Folge, die aus derselben Zahl besteht. Also besteht n =6 aus unendlich vielen Sechsern.

Ermittlung des Sequenzlimits

Sequenzgrenzen gibt es in der Mathematik schon lange. Natürlich verdienen sie ein eigenes kompetentes Design. Es ist also Zeit, die Definition von Sequenzgrenzen zu lernen. Schauen wir uns zunächst den Grenzwert einer linearen Funktion im Detail an:

1. Alle Grenzwerte werden mit lim abgekürzt.
2. Die Notation für einen Grenzwert besteht aus der Abkürzung lim, einer beliebigen Variablen, die zu einer bestimmten Zahl, Null oder Unendlich, tendiert, sowie der Funktion selbst.

Es ist leicht zu verstehen, dass die Definition des Grenzwerts einer Folge wie folgt formuliert werden kann: Es handelt sich um eine bestimmte Zahl, der sich alle Glieder der Folge unendlich nähern. Ein einfaches Beispiel: a x = 4x+1. Dann sieht die Sequenz selbst so aus.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Somit wächst diese Folge auf unbestimmte Zeit, was bedeutet, dass ihr Grenzwert gleich unendlich ist, da x→∞, und sie sollte wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir eine ähnliche Folge nehmen, aber x gegen 1 tendiert, erhalten wir:

Und die Zahlenreihe sieht so aus: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 usw. Jedes Mal müssen Sie die Zahl ersetzen, die näher bei eins liegt (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Aus dieser Reihe geht klar hervor, dass der Grenzwert der Funktion fünf beträgt.

In diesem Teil lohnt es sich, sich an den Grenzwert einer Zahlenfolge, die Definition und die Methode zur Lösung einfacher Probleme zu erinnern.

Allgemeine Bezeichnung für den Grenzwert von Folgen

Nachdem Sie den Grenzwert einer Zahlenfolge, seine Definition und Beispiele untersucht haben, können Sie mit einem komplexeren Thema fortfahren. Absolut alle Grenzen von Folgen lassen sich mit einer Formel formulieren, die üblicherweise im ersten Semester analysiert wird.

Was bedeutet also dieser Satz aus Buchstaben, Modulen und Ungleichheitszeichen?

∀ ist ein universeller Quantor, der die Ausdrücke „für alle“, „für alles“ usw. ersetzt.

∃ ist ein Existenzquantor, in diesem Fall bedeutet es, dass es einen Wert N gibt, der zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Ein langer vertikaler Stab hinter N bedeutet, dass die gegebene Menge N „so ist“. In der Praxis kann es „so dass“, „so dass“ usw. bedeuten.

Um das Material zu verstärken, lesen Sie die Formel laut vor.

Unsicherheit und Gewissheit der Grenze

Die oben besprochene Methode zur Ermittlung des Grenzwerts von Folgen ist zwar einfach anzuwenden, in der Praxis jedoch nicht so rational. Versuchen Sie, den Grenzwert für diese Funktion zu finden:

Wenn wir unterschiedliche Werte von „x“ einsetzen (jedes Mal steigend: 10, 100, 1000 usw.), dann erhalten wir ∞ im Zähler, aber auch ∞ im Nenner. Daraus ergibt sich ein ziemlich seltsamer Bruch:

Aber ist das wirklich so? Die Berechnung des Grenzwerts einer Zahlenfolge scheint in diesem Fall recht einfach zu sein. Es wäre möglich, alles so zu belassen, wie es ist, da die Antwort fertig ist und unter angemessenen Bedingungen eingegangen ist, aber es gibt speziell für solche Fälle einen anderen Weg.

Suchen wir zunächst den höchsten Grad im Zähler des Bruchs – dieser ist 1, da x als x 1 dargestellt werden kann.

Suchen wir nun den höchsten Grad im Nenner. Auch 1.

Teilen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner bis zum höchsten Grad durch die Variable. Teilen Sie in diesem Fall den Bruch durch x 1.

Als nächstes werden wir herausfinden, zu welchem ​​Wert jeder Term, der eine Variable enthält, tendiert. In diesem Fall werden Brüche berücksichtigt. Da x→∞ tendiert der Wert jedes Bruchs gegen Null. Wenn Sie Ihre Arbeit schriftlich einreichen, sollten Sie folgende Fußnoten machen:

Daraus ergibt sich folgender Ausdruck:

Natürlich wurden die Brüche, die x enthielten, nicht zu Nullen! Ihr Wert ist jedoch so gering, dass es durchaus zulässig ist, ihn bei Berechnungen nicht zu berücksichtigen. Tatsächlich wird x in diesem Fall niemals gleich 0 sein, da eine Division durch Null nicht möglich ist.

Was ist eine Nachbarschaft?

Angenommen, der Professor verfügt über eine komplexe Folge, die offensichtlich durch eine ebenso komplexe Formel gegeben ist. Der Professor hat die Antwort gefunden, aber ist sie richtig? Schließlich machen alle Menschen Fehler.

Auguste Cauchy hat einmal eine hervorragende Möglichkeit gefunden, die Grenzen von Sequenzen zu beweisen. Seine Methode hieß Nachbarschaftsmanipulation.

Angenommen, es gibt einen bestimmten Punkt a, dessen Nachbarschaft in beiden Richtungen auf der Zahlengeraden gleich ε („Epsilon“) ist. Da die letzte Variable die Entfernung ist, ist ihr Wert immer positiv.

Definieren wir nun eine Folge x n und gehen wir davon aus, dass der zehnte Term der Folge (x 10) in der Nachbarschaft von a liegt. Wie können wir diese Tatsache in mathematischer Sprache beschreiben?

Nehmen wir an, x 10 liegt rechts vom Punkt a, dann ist der Abstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Jetzt ist es an der Zeit, die oben besprochene Formel in der Praxis zu erklären. Es ist fair, eine bestimmte Zahl a als Endpunkt einer Folge zu bezeichnen, wenn für einen ihrer Grenzwerte die Ungleichung ε>0 erfüllt ist und die gesamte Umgebung ihre eigene natürliche Zahl N hat, so dass alle Mitglieder der Folge mit höheren Zahlen wird innerhalb der Sequenz |x n - a| sein< ε.

Mit diesem Wissen ist es einfach, die Folgengrenzen zu lösen und die vorgefertigte Antwort zu beweisen oder zu widerlegen.

Theoreme

Sätze über die Grenzen von Folgen sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie, ohne die die Praxis nicht möglich ist. Es gibt nur vier Hauptsätze, deren Merken den Lösungs- oder Beweisprozess erheblich erleichtern kann:

1. Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge. Jede Sequenz kann nur einen oder keinen Grenzwert haben. Das gleiche Beispiel mit einer Warteschlange, die nur ein Ende haben kann.
2. Wenn eine Zahlenreihe eine Grenze hat, dann ist die Folge dieser Zahlen begrenzt.
3. Der Grenzwert der Summe (Differenz, Produkt) von Folgen ist gleich der Summe (Differenz, Produkt) ihrer Grenzwerte.
4. Der Grenzwert des Quotienten der Division zweier Folgen ist genau dann gleich dem Quotienten der Grenzwerte, wenn der Nenner nicht verschwindet.

Beweis von Sequenzen

Manchmal muss man ein Umkehrproblem lösen, um einen gegebenen Grenzwert einer Zahlenfolge zu beweisen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der durch die Formel gegebenen Folge Null ist.

Gemäß der oben diskutierten Regel gilt für jede Folge die Ungleichung |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Drücken wir n durch „epsilon“ aus, um die Existenz einer bestimmten Zahl zu zeigen und das Vorhandensein eines Grenzwerts der Folge zu beweisen.

An dieser Stelle ist es wichtig zu bedenken, dass „epsilon“ und „en“ positive Zahlen sind und nicht gleich Null sind. Nun ist es möglich, weitere Transformationen mit dem im Gymnasium erworbenen Wissen über Ungleichheiten fortzusetzen.

Wie kommt es, dass n > -3 + 1/ε. Da es sich um natürliche Zahlen handelt, kann das Ergebnis gerundet werden, indem man es in eckige Klammern setzt. Somit wurde bewiesen, dass für jeden Wert der „Epsilon“-Umgebung des Punktes a = 0 ein Wert gefunden wurde, der die anfängliche Ungleichung erfüllt. Von hier aus können wir mit Sicherheit sagen, dass die Zahl a der Grenzwert einer gegebenen Folge ist. Q.E.D.

Mit dieser praktischen Methode lässt sich der Grenzwert einer Zahlenfolge beweisen, egal wie komplex diese auf den ersten Blick auch sein mag. Die Hauptsache ist, nicht in Panik zu geraten, wenn Sie die Aufgabe sehen.

Oder ist er vielleicht nicht da?

Das Vorhandensein einer Konsistenzgrenze ist in der Praxis nicht erforderlich. Man kann leicht auf Zahlenreihen stoßen, die wirklich kein Ende haben. Zum Beispiel das gleiche „Blinklicht“ x n = (-1) n. Es ist offensichtlich, dass eine Folge, die nur aus zwei zyklisch wiederholten Ziffern besteht, keine Grenze haben kann.

Die gleiche Geschichte wiederholt sich mit Folgen, die aus einer Zahl oder gebrochenen Zahlen bestehen und bei Berechnungen Unsicherheiten beliebiger Ordnung aufweisen (0/0, ∞/∞, ∞/0 usw.). Es ist jedoch zu bedenken, dass es auch zu Fehlberechnungen kommen kann. Manchmal hilft es Ihnen, die Sequenzgrenze zu ermitteln, indem Sie Ihre eigene Lösung noch einmal überprüfen.

Monotone Folge

Oben wurden mehrere Beispiele für Folgen und Methoden zu deren Lösung besprochen. Versuchen wir nun, einen spezifischeren Fall zu betrachten und ihn als „monotone Folge“ zu bezeichnen.

Definition: Jede Folge kann mit Recht monoton wachsend genannt werden, wenn für sie die strenge Ungleichung x n gilt< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Neben diesen beiden Bedingungen gibt es auch ähnliche nichtstrikte Ungleichungen. Dementsprechend ist x n ≤ x n +1 (nicht abnehmende Folge) und x n ≥ x n +1 (nicht steigende Folge).

Aber es ist einfacher, dies anhand von Beispielen zu verstehen.

Die durch die Formel x n = 2+n gegebene Folge bildet die folgende Zahlenreihe: 4, 5, 6 usw. Dies ist eine monoton steigende Folge.

Und wenn wir x n =1/n nehmen, erhalten wir die Reihe: 1/3, ¼, 1/5 usw. Dies ist eine monoton fallende Folge.

Grenzwert einer konvergenten und beschränkten Folge

Eine begrenzte Folge ist eine Folge, die eine Grenze hat. Eine konvergente Folge ist eine Reihe von Zahlen mit einem infinitesimalen Grenzwert.

Somit ist der Grenzwert einer beschränkten Folge eine beliebige reelle oder komplexe Zahl. Denken Sie daran, dass es nur eine Grenze geben kann.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eine infinitesimale (reelle oder komplexe) Größe. Wenn Sie ein Sequenzdiagramm zeichnen, scheint es an einem bestimmten Punkt zu konvergieren und tendiert dazu, sich in einen bestimmten Wert umzuwandeln. Daher der Name – konvergente Folge.

Grenze einer monotonen Folge

Für eine solche Reihenfolge kann es eine Grenze geben oder auch nicht. Zunächst ist es hilfreich zu verstehen, wann eine Grenze vorliegt. Von hier aus können Sie mit dem Nachweis des Fehlens einer Grenze beginnen.

Bei monotonen Folgen werden konvergente und divergente Folgen unterschieden. Konvergent ist eine Folge, die durch die Menge x gebildet wird und in dieser Menge einen reellen oder komplexen Grenzwert hat. Divergent ist eine Folge, deren Menge keine Grenze hat (weder reell noch komplex).

Darüber hinaus konvergiert die Folge, wenn in einer geometrischen Darstellung ihre Ober- und Untergrenze konvergieren.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge kann in vielen Fällen Null sein, da jede Infinitesimalfolge einen bekannten Grenzwert (Null) hat.

Welche konvergente Folge Sie auch nehmen, sie sind alle beschränkt, aber nicht alle beschränkten Folgen konvergieren.

Die Summe, Differenz und das Produkt zweier konvergenter Folgen ist ebenfalls eine konvergente Folge. Allerdings kann der Quotient auch konvergent sein, wenn er definiert ist!

Verschiedene Aktionen mit Grenzen

Sequenzgrenzen sind (in den meisten Fällen) genauso wichtig wie Ziffern und Zahlen: 1, 2, 15, 24, 362 usw. Es stellt sich heraus, dass einige Operationen mit Grenzen ausgeführt werden können.

Erstens können die Grenzen jeder Folge wie Ziffern und Zahlen addiert und subtrahiert werden. Basierend auf dem dritten Satz über die Grenzen von Folgen gilt folgende Gleichheit: Der Grenzwert der Summe der Folgen ist gleich der Summe ihrer Grenzen.

Zweitens gilt basierend auf dem vierten Satz über die Grenzen von Folgen die folgende Gleichheit: Der Grenzwert des Produkts der n-ten Anzahl von Folgen ist gleich dem Produkt ihrer Grenzwerte. Das Gleiche gilt für die Division: Der Grenzwert des Quotienten zweier Folgen ist gleich dem Quotienten ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert nicht Null ist. Denn wenn die Grenze der Folgen gleich Null ist, ergibt sich eine Division durch Null, was unmöglich ist.

Eigenschaften von Folgegrößen

Es scheint, dass die Grenze der Zahlenfolge bereits ausführlich besprochen wurde, Phrasen wie „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen werden jedoch mehr als einmal erwähnt. Wenn es offensichtlich eine Folge 1/x gibt, mit x→∞, dann ist ein solcher Bruch unendlich klein, und wenn die gleiche Folge vorliegt, aber der Grenzwert gegen Null tendiert (x→0), dann wird der Bruch zu einem unendlich großen Wert. Und solche Mengen haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Eigenschaften des Grenzwerts einer Folge mit beliebigen kleinen oder großen Werten sind wie folgt:

1. Die Summe einer beliebigen Anzahl beliebig vieler kleiner Mengen wird ebenfalls eine kleine Menge sein.
2. Die Summe einer beliebigen Anzahl großer Mengen wird eine unendlich große Menge sein.
3. Das Produkt beliebig kleiner Mengen ist unendlich klein.
4. Das Produkt beliebig vieler großer Zahlen ist unendlich groß.
5. Wenn die ursprüngliche Folge zu einer unendlich großen Zahl tendiert, dann ist ihre Umkehrung unendlich klein und tendiert gegen Null.

Tatsächlich ist die Berechnung des Grenzwerts einer Folge keine so schwierige Aufgabe, wenn Sie einen einfachen Algorithmus kennen. Doch die Grenzen der Beständigkeit sind ein Thema, das höchste Aufmerksamkeit und Ausdauer erfordert. Natürlich reicht es aus, einfach den Kern der Lösung solcher Ausdrücke zu erfassen. Wenn Sie klein anfangen, können Sie mit der Zeit große Höhen erreichen.

Die Funktion a n =f (n) des natürlichen Arguments n (n=1; 2; 3; 4;...) heißt Zahlenfolge.

Zahlen a 1; ein 2 ; ein 3 ; a 4 ;…, die eine Folge bilden, werden Mitglieder einer Zahlenfolge genannt. Also a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Die Mitglieder der Sequenz werden also durch Buchstaben bezeichnet, die die Indizes angeben – die fortlaufenden Nummern ihrer Mitglieder: a 1 ; ein 2 ; ein 3 ; a 4 ;…, daher ist a 1 das erste Mitglied der Folge;

a 2 ist der zweite Term der Folge;

a 3 ist das dritte Mitglied der Sequenz;

a 4 ist der vierte Term der Folge usw.

Kurz gesagt wird die Zahlenfolge wie folgt geschrieben: a n =f (n) oder (a n).

Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Nummernfolge anzugeben:

1) Verbale Methode. Stellt ein Muster oder eine Regel für die Anordnung von Mitgliedern einer Sequenz dar, die in Worten beschrieben wird.

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Folge aller nichtnegativen Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind.

Lösung. Da alle Zahlen, die mit 0 oder 5 enden, durch 5 teilbar sind, wird die Folge wie folgt geschrieben:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Beispiel 2. Gegeben sei die Sequenz: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Fragen Sie es mündlich.

Lösung. Wir bemerken, dass 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Wir kommen zu dem Schluss: Gegeben sei eine Folge bestehend aus Quadraten natürlicher Zahlen.

2) Analytische Methode. Die Folge ergibt sich aus der Formel des n-ten Termes: a n =f (n). Mit dieser Formel können Sie jedes Mitglied der Sequenz finden.

Beispiel 3. Der Ausdruck für den k-ten Term einer Zahlenfolge ist bekannt: a k = 3+2·(k+1). Berechnen Sie die ersten vier Terme dieser Folge.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Beispiel 4. Bestimmen Sie die Regel zum Zusammenstellen einer numerischen Folge unter Verwendung ihrer ersten paar Mitglieder und drücken Sie den allgemeinen Term der Folge mit einer einfacheren Formel aus: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Lösung. Wir bemerken, dass wir eine Folge ungerader Zahlen erhalten. Jede ungerade Zahl kann in der Form 2k-1 geschrieben werden, wobei k eine natürliche Zahl ist, d. h. k=1; 2; 3; 4; ... . Antwort: a k =2k-1.

3) Wiederkehrende Methode. Die Folge ist ebenfalls durch eine Formel gegeben, nicht jedoch durch eine allgemeine Termformel, die nur von der Nummer des Termes abhängt. Es wird eine Formel angegeben, nach der jeder nächste Term durch die vorherigen Terme ermittelt wird. Bei der rekurrenten Methode der Funktionsangabe werden immer zusätzlich ein oder mehrere erste Glieder der Folge angegeben.

Beispiel 5. Schreiben Sie die ersten vier Terme der Folge (a n ) auf,

wenn a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Antwort: 7; 12; 17; 22; ... .

Beispiel 6. Schreiben Sie die ersten fünf Terme der Folge (b n) auf,

wenn b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Antwort: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Grafische Methode. Die Zahlenfolge wird durch einen Graphen gegeben, der isolierte Punkte darstellt. Die Abszissen dieser Punkte sind natürliche Zahlen: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate sind die Werte der Folgenglieder: a 1 ; ein 2 ; ein 3 ; eine 4 ;… .

Beispiel 7. Schreiben Sie alle fünf Terme der grafisch dargestellten Zahlenfolge auf.

Jeder Punkt in dieser Koordinatenebene hat Koordinaten (n; a n). Schreiben wir die Koordinaten der markierten Punkte in aufsteigender Reihenfolge der Abszisse n auf.

Wir erhalten: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Daher ist a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Antwort: -3; 1; 4; 6; 7.

Die betrachtete Zahlenfolge als Funktion (im Beispiel 7) ist auf der Menge der ersten fünf natürlichen Zahlen (n=1; 2; 3; 4; 5) gegeben, also ist endliche Zahlenfolge(besteht aus fünf Mitgliedern).

Wenn eine Zahlenfolge als Funktion für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen gegeben ist, dann ist eine solche Folge gegeben eine unendliche Zahlenfolge.

Die Zahlenfolge wird aufgerufen zunehmend, wenn seine Mitglieder wachsen (a n+1 >a n) und abnehmen, wenn seine Mitglieder nehmen ab(ein n+1

Man nennt eine aufsteigende oder absteigende Zahlenfolge eintönig.