Formeln und Beispiele zur Ableitung einer Potenzfunktion. Herleitung der Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion e nach der x-Potenz. Ableitungen höherer Ordnung der Exponentialfunktion

Definition der Potenz-Exponentialfunktion. Ableitung einer Formel zur Berechnung ihrer Ableitung. Beispiele für die Berechnung von Ableitungen von Potenz-Exponentialfunktionen werden detailliert analysiert.

Potenz-Exponentialfunktion ist eine Funktion, die die Form einer Potenzfunktion hat
y = u v ,
wobei die Basis u und der Exponent v einige Funktionen der Variablen x sind:
u = u (X); v = v (X).
Diese Funktion wird auch aufgerufen exponentiell oder .

Beachten Sie, dass die Potenz-Exponentialfunktion in Exponentialform dargestellt werden kann:
.
Daher heißt es auch komplexe Exponentialfunktion.

Berechnung mittels logarithmischer Ableitung

Finden wir die Ableitung der Potenz-Exponentialfunktion
(2) ,
wobei und Funktionen der Variablen sind.
Dazu logarithmieren wir Gleichung (2) und nutzen dabei die Eigenschaft des Logarithmus:
.
Differenzieren Sie nach der Variablen x:
(3) .
Wir bewerben uns Regeln zur Differenzierung komplexer Funktionen und funktioniert:
;
.

Wir ersetzen in (3):
.
Von hier
.

Wir haben also die Ableitung der Potenz-Exponentialfunktion gefunden:
(1) .
Wenn der Exponent konstant ist, dann . Dann ist die Ableitung gleich der Ableitung einer komplexen Potenzfunktion:
.
Wenn die Basis des Grades konstant ist, dann . Dann ist die Ableitung gleich der Ableitung der komplexen Exponentialfunktion:
.
Wenn und Funktionen von x sind, dann ist die Ableitung der Potenz-Exponentialfunktion gleich der Summe der Ableitungen der komplexen Potenz- und Exponentialfunktionen.

Berechnung der Ableitung durch Reduktion auf eine komplexe Exponentialfunktion

Lassen Sie uns nun die Ableitung der Potenz-Exponentialfunktion ermitteln
(2) ,
Darstellung als komplexe Exponentialfunktion:
(4) .

Lassen Sie uns das Produkt differenzieren:
.
Wir wenden die Regel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion an:

.
Und wir haben wieder Formel (1).

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung der folgenden Funktion:
.

Lösung

Wir rechnen mit der logarithmischen Ableitung. Logarithmieren wir die ursprüngliche Funktion:
(A1.1) .

Aus der Ableitungstabelle finden wir:
;
.
Mit der Produktableitungsformel erhalten wir:
.
Wir unterscheiden (A1.1):
.
Weil das
,
Das
.

Antwort

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung der Funktion
.

Lösung

Logarithmieren wir die ursprüngliche Funktion:
(A2.1) .

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten, waren Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern Sie müssen lediglich die Tabelle von verwenden Ableitungen und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Primzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen in Komponenten und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Als nächstes finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient – ​​in den Differenzierungsregeln. Die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln werden nach den ersten beiden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d. h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir setzen diese Werte in die Summe der Ableitungen ein und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung einer Summe, bei der der zweite Term einen konstanten Faktor hat; er lässt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung entnehmen:

Sollten dennoch Fragen auftauchen, woher etwas kommt, werden diese in der Regel geklärt, nachdem man sich mit der Ableitungstabelle und den einfachsten Differenzierungsregeln vertraut gemacht hat. Wir machen gerade mit ihnen weiter.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer gleich Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „X“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, um sich lange daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nichtquadratwurzeln in Potenzen umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen nach der Potenz -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Ableitung des Sinus
7. Ableitung des Kosinus
8. Ableitung der Tangente
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arcuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des Arcuskotangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung einer Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung einer Summe oder Differenz
2. Derivat des Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1.Wenn das funktioniert

an einem Punkt differenzierbar sind, dann sind die Funktionen am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung einer algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um einen konstanten Term unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen gleich, d.h.

Regel 2.Wenn das funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folgerung 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Folgerung 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn das funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbaru/v , und

diese. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat von ist der ehemalige Zähler.

Wo kann man auf anderen Seiten nach Dingen suchen?

Bei der Bestimmung der Ableitung eines Produkts und eines Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in einer Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Studiums von Derivaten auftritt. Wenn der durchschnittliche Student jedoch mehrere ein- und zweiteilige Beispiele löst, macht er diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie bei der Differenzierung eines Produkts oder Quotienten einen Term haben u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (dieser Fall wird in Beispiel 10 besprochen).

Ein weiterer häufiger Fehler besteht darin, die Ableitung einer komplexen Funktion mechanisch als Ableitung einer einfachen Funktion aufzulösen. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion ist ein eigener Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Unterwegs kommt man nicht ohne die Transformation von Ausdrücken aus. Dazu müssen Sie ggf. das Handbuch in einem neuen Fenster öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann nehmen Sie an der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ teil.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – So finden Sie die Ableitung

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir definieren die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt ein Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen mit der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall hat der zweite Term in jeder Summe ein Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten folgende Ableitungswerte:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung des Quotienten an: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des ist Nenner, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Haufen von Wurzeln und Potenzen gibt, wie zum Beispiel: , dann willkommen im Unterricht „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, dann erfahren Sie, wie die Funktion aussieht , dann eine Lektion für Sie „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Unter Verwendung der Regel zur Differenzierung des Produkts und des Tabellenwerts der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir einen Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Unter Verwendung der Regel der Differenzierung von Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem tabellierten Wert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um einen Bruch im Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

Komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir verbessern weiterhin unsere Differenzierungstechnik. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, schauen uns komplexere Ableitungen an und lernen auch neue Techniken und Tricks zum Finden einer Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten sich den Artikel ansehen Wie findet man die Ableitung? Beispiele für Lösungen, wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen Alle die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, die Position „Wo sonst?“ einzunehmen. Das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind häufig in der Praxis anzutreffen.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben uns eine Reihe von Beispielen mit ausführlichen Kommentaren angesehen. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Zweige der mathematischen Analyse müssen Sie sehr häufig differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele ausführlich zu beschreiben. Deshalb werden wir das Finden von Derivaten mündlich üben. Die am besten geeigneten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster komplexer Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Differenzierungsregel komplexer Funktionen :

Beim Studium anderer Matan-Themen in der Zukunft ist eine derart detaillierte Aufzeichnung meist nicht erforderlich; es wird davon ausgegangen, dass der Student weiß, wie man solche Ableitungen auf Autopilot findet. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelt und eine angenehme Stimme fragt: „Was ist die Ableitung des Tangens zweier X?“ Darauf sollte eine fast augenblickliche und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist sofort zur eigenständigen Lösung vorgesehen.

Beispiel 1

Finden Sie die folgenden Ableitungen mündlich, in einer Aktion, zum Beispiel: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls Sie sich noch nicht daran erinnert haben). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach vorläufiger Artillerievorbereitung werden Beispiele mit 3-4-5 Funktionsverschachtelungen weniger gruselig sein. Die folgenden beiden Beispiele mögen für manche kompliziert erscheinen, aber wenn man sie versteht (jemand wird leiden), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es beim Finden der Ableitung einer komplexen Funktion zunächst einmal notwendig Rechts VERSTEHEN Sie Ihre Investitionen. Im Zweifelsfall erinnere ich Sie an eine nützliche Technik: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert von „x“ und versuchen (mental oder in einem Entwurf), diesen Wert durch den „schrecklichen Ausdruck“ zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, was bedeutet, dass die Summe die tiefste Einbettung ist.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Würfeln Sie dann den Kosinus:

5) Im fünften Schritt der Unterschied:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Formel zur Differenzierung einer komplexen Funktion werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Es scheint keine Fehler zu geben...

(1) Bilden Sie die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir bilden die Ableitung der Differenz nach der Regel

(3) Die Ableitung eines Tripels ist Null. Im zweiten Term bilden wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Bilden Sie die Ableitung des Kosinus.

(5) Bilden Sie die Ableitung des Logarithmus.

(6) Und schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Einbettung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel die Sammlung von Kuznetsov und Sie werden die ganze Schönheit und Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie in einer Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob ein Student versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion ermittelt, oder nicht.

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitätsregeln und die Produktdifferenzierungsregel an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kleinerem und Schönerem überzugehen.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Beispiel nicht das Produkt von zwei, sondern von drei Funktionen zeigt. Wie finde ich die Ableitung des Produkts aus drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schauen wir uns zunächst an: Ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in das Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Wenn wir beispielsweise zwei Polynome im Produkt hätten, könnten wir die Klammern öffnen. Im betrachteten Beispiel sind jedoch alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig der Reihe nach Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick besteht darin, dass wir mit „y“ das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: und mit „ve“ den Logarithmus: . Warum ist das möglich? Ist das wirklich – Das ist kein Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun gilt es, die Regel ein zweites Mal anzuwenden einklammern:

Man kann immer noch pervers sein und etwas aus Klammern herausnehmen, aber hinein in diesem Fall Es ist besser, die Antwort in diesem Formular zu belassen, da dies einfacher zu überprüfen ist.

Das betrachtete Beispiel lässt sich auf die zweite Art lösen:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung; im Beispiel wird sie mit der ersten Methode gelöst.

Schauen wir uns ähnliche Beispiele mit Brüchen an.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere Möglichkeiten, hierher zu gelangen:

Oder so:

Die Lösung wird jedoch kompakter geschrieben, wenn wir zunächst die Differenzierungsregel des Quotienten verwenden , wobei für den gesamten Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn man es so belässt, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, anhand eines Entwurfs zu prüfen, ob die Antwort vereinfacht werden kann? Reduzieren wir den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Lassen Sie uns den dreistöckigen Bruchteil loswerden:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht bei der Ermittlung der Ableitung, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Andererseits lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel, das Sie selbst lösen können:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Methoden zur Ermittlung der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem der „schreckliche“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie den langen Weg gehen und die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt einen sofort in Verzweiflung – man muss die unangenehme Ableitung von einer Bruchzahl und dann auch von einer Bruchzahl nehmen.

Deshalb Vor Wie man die Ableitung eines „ausgefeilten“ Logarithmus berechnet, wird zunächst anhand bekannter Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, kopieren Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann etwa so geschrieben werden:

Lassen Sie uns die Funktion transformieren:

Finden der Ableitung:

Die Vorkonvertierung der Funktion selbst hat die Lösung erheblich vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, empfiehlt es sich immer, ihn „aufzubrechen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten finden Sie am Ende der Lektion.

Logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so schöne Musik ist, dann stellt sich die Frage: Ist es in manchen Fällen möglich, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir haben uns kürzlich ähnliche Beispiele angesehen. Was zu tun ist? Sie können nacheinander die Differenzierungsregel des Quotienten und dann die Differenzierungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass am Ende ein riesiger dreistöckiger Bruchteil entsteht, mit dem man sich überhaupt nicht befassen möchte.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten „aufhängt“:

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Prozess im Detail beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Wir schließen beide Teile unter der Primzahl ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach; ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum steht unter dem Logarithmus ein Buchstabe „Y“?“

Tatsache ist, dass dieses „Ein-Buchstaben-Spiel“ – IST SELBST EINE FUNKTION(Wenn es nicht ganz klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und das „y“ eine interne Funktion. Und wir verwenden die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion :

Auf der linken Seite haben wir wie von Zauberhand eine Ableitung. Als nächstes übertragen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und nun erinnern wir uns, über welche Art von „Spieler“-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Ein Musterentwurf eines Beispiels dieser Art finden Sie am Ende der Lektion.

Mit der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, außerdem sind die Funktionen dort einfacher und die Verwendung der logarithmischen Ableitung ist möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt.

Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion

Wir haben diese Funktion noch nicht berücksichtigt. Eine Potenzexponentialfunktion ist eine Funktion für die Sowohl der Grad als auch die Basis hängen vom „x“ ab.. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie finde ich die Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade besprochene Technik zu verwenden – die logarithmische Ableitung. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf:

In der Regel wird auf der rechten Seite der Grad unter dem Logarithmus abgezogen:

Als Ergebnis erhalten wir auf der rechten Seite das Produkt zweier Funktionen, die wir nach der Standardformel differenzieren .

Wir finden die Ableitung; dazu schließen wir beide Teile mit Strichen ein:

Weitere Aktionen sind einfach:

Endlich:

Sollte eine Umrechnung nicht ganz klar sein, lesen Sie bitte die Erläuterungen zu Beispiel Nr. 11 noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Potenz-Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus x“ (unter dem Logarithmus ist ein weiterer Logarithmus verschachtelt). Wie wir uns erinnern, ist es beim Differenzieren besser, die Konstante sofort aus dem Ableitungszeichen zu verschieben, damit sie nicht im Weg steht; Und natürlich wenden wir die bekannte Regel an :

Wie Sie sehen, enthält der Algorithmus zur Verwendung der logarithmischen Ableitung keine besonderen Tricks oder Tricks, und das Finden der Ableitung einer Potenz-Exponentialfunktion ist normalerweise nicht mit „Qual“ verbunden.

Dabei untersuchten wir die einfachsten Ableitungen und machten uns auch mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Lass es uns herausfinden. Achten wir zunächst auf den Eintrag. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist, bildlich gesprochen, in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die informellen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „X“, sondern einen ganzen Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir stellen auch fest, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass der Sinus nicht „in Stücke gerissen“ werden kann:

In diesem Beispiel wird aus meinen Erläuterungen bereits intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Bei einfachen Beispielen scheint klar zu sein, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: Daher ist das Polynom eine interne Funktion:

Zweitens muss gefunden werden, also wird Sinus eine externe Funktion sein:

Nachdem wir AUSVERKAUFT Bei internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen anzuwenden .

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus der Lektion Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln sind auch anwendbar, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Ergebnis der Anwendung der Formel in seiner endgültigen Form sieht es so aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, daher ist die Potenzfunktion eine externe Funktion:

Nach der Formel , müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion nächste:

Ich betone noch einmal, dass sich unsere interne Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der externen Funktion bilden:

Jetzt müssen Sie nur noch eine sehr einfache Ableitung der internen Funktion finden und das Ergebnis ein wenig optimieren:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Um Ihr Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo die externe und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe der drei Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an :

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch aufschreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn Sie umständliche lange Ableitungen erhalten, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine ungewöhnliche Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten anwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel :

Wir ermitteln die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten zurück:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir uns Fälle angesehen, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen wie bei Nistpuppen 3 oder sogar 4-5 Funktionen gleichzeitig ineinander verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel Zuerst müssen Sie die Ableitung der äußeren Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung der Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Also das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion nächste.