Proportionale Segmente in einem Kreis. X. proportionale Segmente in einem rechtwinkligen Dreieck und Kreis. trigonometrische Funktionen eines spitzen Winkels
Das Dreieck ABC ist rechteckig (Abb. 11), C = 90°, CD steht senkrecht auf AB, BD und DA sind die Projektionen der Schenkel BC und AC auf die Hypotenuse AB. Sätze: 1) Die vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels zur Hypotenuse gezogene Höhe ist der durchschnittliche Proportionalwert zwischen den Projektionen der Schenkel auf die Hypotenuse, d.h. ; 2) Jedes Bein ist der durchschnittliche Proportionalwert zwischen der Hypotenuse und der Projektion dieses Beins auf die Hypotenuse, d. h. .
Satz des Pythagoras. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.
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Satz. Wenn durch einen Punkt nach innen genommen
Kreis, der Durchmesser und eine beliebige Sehne werden gezeichnet,
dann ist das Produkt der Längen der Durchmessersegmente gleich
sondern zum Produkt der Längen der Akkordsegmente, d.h. (Abb. 12).
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Folge. Die Produkte der Längen der Segmente sich kreuzender Sehnen sind gleich, d.h.
Satz. Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden, dann ist das Produkt der gesamten Sekante und ihres äußeren Teils gleich dem Quadrat der Tangente, d.h. (Abb. 13).
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Definitionen. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, der Kosinus ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse, der Tangens das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten, der Kotangens das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden.
Von Punkt A außerhalb des Kreises werden eine Tangente und eine Sekante gezogen. Der Abstand von A zum Tangentenpunkt beträgt 16 cm und von A zu einem der Schnittpunkte der Sekante mit dem Kreis beträgt er 32 cm. Bestimmen Sie den Radius des Kreises, wenn die Sekante 5 cm von ihrem Mittelpunkt entfernt ist.
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In Abb. 14 AB – Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O, AD – Sekante. OK ist senkrecht zu DC, AB = 16 cm, AD = 32 cm, OK = 5 cm, siehe Satz über Sehnen, die sich innerhalb eines Kreises schneiden , so dass EP der Durchmesser senkrecht zur Sehne DC ist. Wir kriegen es hin. In dieser Gleichung ersetzen wir EK durch , KR durch , DK durch 12, wir erhalten: OE = 13 cm – der erforderliche Radius.
104. Die Seiten des Rechtecks betragen 30 und 40 cm
vom Scheitelpunkt des Rechtecks bis zur Diagonale, die nicht durch diesen Scheitelpunkt verläuft.
105. Der Umfang einer Raute beträgt 1 m. Eine Diagonale ist länger als die andere
1 dm. Berechnen Sie die Diagonalen der Raute.
In einem Kreis sind auf gegenüberliegenden Seiten der Mitte parallele Sehnen der Länge 36 und 48 mm eingezeichnet, der Abstand zwischen ihnen beträgt 42 mm. Berechnen Sie den Radius des Kreises.
Die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks stehen im Verhältnis 5:6, die Hypotenuse beträgt 122 cm. Finden Sie die durch die Höhe abgeschnittenen Segmente der Hypotenuse.
Eine Tangente und eine Sekante, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, stehen senkrecht zueinander. Die Tangente ist 12, das Innere der Sekante ist 10. Finden Sie den Radius des Kreises.
Zwei Tangenten werden an einen Kreis mit einem Radius von 7 cm von einem Punkt gezogen, der 25 cm vom Mittelpunkt entfernt ist. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Tangentialpunkten.
Die Breite des aus zwei konzentrischen Kreisen gebildeten Rings beträgt 8 dm, die Sehne des größeren Kreises tangential zum kleineren beträgt 4 m. Finden Sie die Radien der Kreise.
Der Radius des Kreises beträgt 7 cm von einem vom Mittelpunkt entfernten Punkt
Bei einer Länge von ca. 9 cm wird eine Sekante so gezeichnet, dass sie durch den Kreis in gleiche Teile geteilt wird. Finden Sie die Länge dieser Sekante.
Die Tangente an den Kreis beträgt 20 cm und die längste Sekante, die vom selben Punkt aus gezogen wird, beträgt 50 cm.
Eine Tangente und eine Sekante werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen, dessen Länge a ist und dessen inneres Segment um die Länge der Tangente größer ist als das äußere Segment. Finden Sie die Länge der Tangente.
Ein gleichschenkliges Dreieck ist in einen Kreis mit dem Radius R eingeschrieben, wobei die Summe aus Höhe und Grundfläche gleich dem Durchmesser des Kreises ist. Finden Sie die Höhe des Dreiecks.
In einem gleichschenkligen Dreieck betragen die Grund- und Seitenlänge 48 bzw. 30 dm. Berechnen Sie die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kreise und den Abstand zwischen ihren Mittelpunkten.
Satz 111. 1) Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt auf einem Kreis auf einen Durchmesser gezogen wird, ist im Durchschnitt proportional zwischen den Teilen des Durchmessers. Diese Senkrechte wird manchmal Ordinate genannt.
2) Die Sehne, die das Ende des Durchmessers mit einem Punkt auf dem Kreis verbindet, ist im Durchschnitt proportional zwischen dem Durchmesser und dem an die Sehne angrenzenden Segment.
Gegeben. Senken wir die Senkrechte CD von einem Punkt C des Kreises auf den Durchmesser AB (Abb. 169).
Sie müssen beweisen, dass 1) AD/CD = CD/DB und auch 2) AD/AC = AC/AB.
Nachweisen. Verbinden wir Punkt C mit den Enden des Durchmessers AB, dann entsteht am Punkt C ein rechter Winkel ACB, in dem das Segment CD eine Senkrechte ist, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse fällt.
Basierend auf Satz 100 gilt folgendes Verhältnis:
basierend auf Satz 101 Anteil:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
Folge. Die Quadrate der Sehnen werden als entsprechende Durchmessersegmente behandelt.
Nachweisen. Aus Proportion (1) ergeben sich die Gleichheiten:
AC 2 = AB AD, CB 2 = AB BD
woraus durch Division wir finden:
AC 2 /CB 2 = AD/DB.
Satz 112. Die Teile sich kreuzender Akkorde sind umgekehrt proportional zueinander.
Gegeben sind zwei sich kreuzende Akkorde AB und CD (Abb. 170).
Dies ist nachzuweisen
d.h. Der größere Teil des ersten Akkords gehört zum größeren Teil des zweiten, während der kleinere Teil des zweiten Akkords zum kleineren Teil des ersten gehört.
Nachweisen. Verbinden wir Punkt A mit C und B mit D, dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke ACE und DBE, weil die Winkel am Punkt E gleich vertikal sind, ∠CAB = ∠CDB, da sie auf den Enden des Bogens CB, ∠ACD ruhen = ∠ABD als auf den Enden des Bogens A.D ruhend.
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ACE und DBE ergibt sich das Verhältnis:
BE/DE = CE/AE (a)
Aus dem Verhältnis (a) folgt die Gleichheit:
BE · AE = DE · CE
zeigt, dass das Produkt der Segmente eines Akkords gleich dem Produkt der Segmente eines anderen Akkords ist.
Satz 113. Zwei Sekanten, die vom selben Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden, sind umgekehrt proportional zu ihren äußeren Teilen.
Gegeben seien zwei Sekanten AB und AC, die von Punkt A gezogen wurden (Abbildung 171).
Dies ist nachzuweisen
das heißt, die erste Sekante ist mit der zweiten verknüpft, ebenso wie der äußere Teil der zweiten mit dem äußeren Teil der ersten Sekante verknüpft ist.
Nachweisen. Verbinden wir die Punkte D mit C und B mit E.
Zwei Dreiecke ∠ABE und ∠ADC sind ähnlich, weil der Winkel A gemeinsam ist, B = C, da er von den Enden desselben Bogens DE getragen wird, also ∠ADC = ∠AEB.
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ADC und ABE folgt das Verhältnis:
AC/AB = AD/AE (KHK).
Aus diesem gleichen Verhältnis folgt die Gleichheit
AC · AE = AB · AD
Zeigt das Das Produkt einer Sekante und ihres äußeren Segments ist gleich dem Produkt einer anderen Sekante und ihres Segments(wenn die Sekanten denselben Punkt verlassen).
Satz 114. Die Tangente ist im Durchschnitt proportional zwischen der gesamten Sekante und ihrem äußeren Teil.
Gegeben sind eine Tangente AB und eine Sekante BC (Abb. 172).
Dies ist nachzuweisen
Nachweisen. Verbinden wir Punkt A mit den Punkten C und D.
Die Dreiecke ABC und ABD sind ähnlich, da der Winkel B gemeinsam ist, ∠BAD = ∠ACD, also ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (CHD).
Aus diesem Verhältnis folgt die Gleichheit:
AB 2 = BC BD
Zeigt das Das Quadrat der Tangente ist gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil.
Eigenschaft der Seiten eines zyklischen Vierecks
Satz 115. In jedem in einen Kreis eingeschriebenen Viereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten.
Diese als Satz des Ptolemäus bekannte Annahme taucht erstmals im Werk „Alageste“ des Ptolemäus im 2. Jahrhundert n. Chr. auf.
Gegeben sei ein zyklisches Viereck ABCD (Abb. 173) und gezeichnete Diagonalen AC und BD.
Wir müssen beweisen, dass AC · BD = AB · CD + BC · AD.
Nachweisen. Zeichnen wir eine Gerade BE, sodass der Winkel EBC gleich dem Winkel ABD ist. Zwei Dreiecke ABD und BEC sind ähnlich, weil ∠ABD = ∠CBE konstruktionsbedingt, ∠ADB = ∠BCE als auf demselben Bogen AB ruhend, daher
Aus der Ähnlichkeit dieser Dreiecke folgt das Verhältnis:
BC/BD = EC/AD (a)
Die Dreiecke ABE und BCD sind ähnlich, weil ∠ABE = ∠DBC konstruktionsbedingt, ∠BAE = ∠BDC wie durch den Bogen BC unterstützt, daher
∠BEA = ∠BCD.
Aus der Ähnlichkeit dieser Dreiecke folgt das Verhältnis:
AB/BD = AE/CD (b)
Aus den Anteilen (a) und (b) ergeben sich die Gleichungen:
BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE
Addiert man diese Gleichungen, ergibt sich:
B.C. AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)
Da also EC + AE = AC ist
BD · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).
Satz 116. In jedem zyklischen Viereck sind die Diagonalen die Summe der Produkte der Seiten basierend auf den Enden der Diagonalen.
Gegeben sei ein zyklisches Viereck ABCD (Abb. 174) und gezeichnete Diagonalen AC und BD.
Dies ist nachzuweisen
BD/AC = (AD DC + AB BC) / (BC CD + AD AB)
Nachweisen. a) Von Punkt B aus zeichnen wir einen Bogen BE gleich DC und verbinden Punkt E mit den Punkten A, B, D.
Für das zyklische Viereck ABED gilt:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
Da BE = CD konstruktionsbedingt, DE = BC, da ◡DE = ◡DC + ◡CE und ◡BC = ◡BE + ◡CE.
Wenn wir BE und DE durch ihre Werte ersetzen, erhalten wir die Gleichheit:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
b) Wenn wir von Punkt A aus den Bogen AF gleich dem Bogen BC verzögern und Punkt F mit den Punkten A, D, C verbinden, erhalten wir die Gleichheit für das Viereck AFCD:
AC DF = AF CD + AD CF
In dieser Gleichung ist AF = BC konstruktionsbedingt, CF = AB (für ◡CF = ◡BC + ◡BF und ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)
Wenn wir die Werte von AF und CF durch ihre Werte ersetzen, finden wir die Gleichheit:
AC DF = BC CD + AD AB (b)
In den Gleichungen (a) und (b) sind die Segmente AE und DF gleich, weil
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
Wenn wir die Gleichungen (a) und (b) trennen, finden wir:
BC/AD = (AD C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).
§ 11. Proportionale Segmente in einem Kreis.
1. Das Brückenfachwerk wird durch einen Kreisbogen begrenzt (Abb. 38); Fachwerkhöhe MK= H= 3m; Bogenradius der AMB-Spannweite R = 8,5 m. Berechnen Sie die Länge der AB-Spannweite der Brücke.
2. In einem gewölbten Keller in Form eines Halbzylinders müssen zwei Pfosten im gleichen Abstand von der nächsten Wand angebracht werden. Bestimmen Sie die Höhe der Regale, wenn die Breite des Kellers unten 4 m und der Abstand zwischen den Regalen 2 m beträgt.
3. 1) Von einem Punkt auf dem Kreis wird eine Senkrechte zum Durchmesser gezogen. Bestimmen Sie seine Länge mit den folgenden Längen der Durchmessersegmente: 1) 12 cm und 3 cm; 2) 16 cm und 9 cm, 3) 2 m und 5 dm.
2) Eine Senkrechte wird vom Durchmesserpunkt zum Schnittpunkt mit dem Kreis gezogen. Bestimmen Sie die Länge dieser Senkrechten, wenn der Durchmesser 40 cm beträgt und die gezeichnete Senkrechte 8 cm von einem der Enden des Durchmessers entfernt ist.
4. Der Durchmesser wird in Segmente unterteilt: AC = 8 dm und CB = 5 m, und vom Punkt C wird eine senkrechte CD dieser Länge dazu gezeichnet. Geben Sie die Position des Punktes D relativ zum Kreis an, wenn CD gleich ist: 1) 15 dm; 2) 2 m; 3) 23 DM.
5. DIA-Halbkreis; CD steht senkrecht zum Durchmesser AB. Erforderlich:
1) DB bestimmen, wenn AD = 25 und CD = 10;
2) Bestimmen Sie AB, wenn AD: DB = 4: 9 und CD = 30;
3) Bestimmen Sie AD, wenn CD=3AD und der Radius ist R;
4) Bestimmen Sie AD, wenn AB = 50 und CD = 15.
6. 1) Eine Senkrechte, die von einem Punkt auf einem Kreis um einen Radius von 34 cm abgesenkt wird, teilt ihn im Verhältnis 8:9 (ausgehend von der Mitte). Bestimmen Sie die Länge der Senkrechten.
2) Der BDC der Sehne steht senkrecht zum Radius ODA. Bestimmen Sie BC, wenn OA = 25 cm und AD = 10 cm.
3) Die Breite des aus zwei konzentrischen Kreisen gebildeten Rings beträgt 8 dm; die Sehne des größeren Kreises tangential zum kleineren beträgt 4 m. Bestimmen Sie die Radien der Kreise.
7. Beweisen Sie anhand eines Segmentvergleichs, dass das arithmetische Mittel zweier ungleicher Zahlen größer ist als ihr geometrisches Mittel.
8. Konstruieren Sie ein Segment, das im Durchschnitt proportional zwischen den Segmenten 3 cm und 5 cm ist.
9. Konstruieren Sie ein Segment gleich: √15 ; √10 ; √6 ; √3.
10.ADB-Durchmesser; AC-Akkord; CD steht senkrecht zum Durchmesser. Bestimmen Sie die AC-Sehne: 1) wenn AB = 2 m und AD = 0,5 m; 2) wenn AD = 4 cm und DB = 5 cm; 3) wenn AB=20 m und DB= 15 m.
11. AB-Durchmesser; AC-Akkord; AD ist seine Projektion auf den Durchmesser AB. Erforderlich:
1) AD bestimmen, wenn AB = 18 cm und AC = 12 cm;
2) Bestimmen Sie den Radius, wenn AC=12 m und AD=4 m;
3) Bestimmen Sie DB, wenn AC = 24 cm und DB = 7/9 n. Chr.
12. AB-Durchmesser; AC-Akkord; AD ist seine Projektion auf den Durchmesser AB. Erforderlich:
1) AC bestimmen, wenn AB = 35 cm und AC = 5AD;
2) Bestimmen Sie AC, wenn der Radius beträgt R und AC=DB.
13. Zwei Akkorde schneiden sich innerhalb eines Kreises. Die Segmente einer Sehne betragen 24 cm und 14 cm; Einer der Abschnitte des anderen Akkords beträgt 28 cm. Bestimmen Sie seinen zweiten Abschnitt.
14. Das Brückenfachwerk wird durch einen Kreisbogen begrenzt (Abb. 38); Brückenlänge AB = 6 m, Höhe A = 1,2 m. Bestimmen Sie den Radius des Bogens (OM = R).
15. Zwei Segmente AB und CD schneiden sich im Punkt M, sodass MA = 7 cm, MB = 21 cm,
MC = 3 cm und MD = 16 cm. Liegen die Punkte A, B, C und D auf demselben Kreis?
16. Pendellänge MA = l= 1 m (Abb. 39), seine Hubhöhe, bei Auslenkung um den Winkel α, CA = H= 10 cm. Finden Sie den Abstand BC von Punkt B von MA (BC = X).
17. Um die Gleisbreite zu übertragen B= 1,524 m an der Stelle AB (Abb. 40) wurde eine Rundung vorgenommen; es stellte sich heraus, dass; dass BC= A= 42,4 m. Bestimmen Sie den Krümmungsradius OA = R.
18. Der Akkord AMB wird um den Punkt M gedreht, sodass sich das Segment MA um das 2 1/2-fache vergrößert. Wie hat sich das Segment MB verändert?
19. 1) Von zwei sich kreuzenden Sehnen wurde einer in Teile von 48 cm und 3 cm und der andere in zwei Hälften geteilt. Bestimmen Sie die Länge des zweiten Akkords.
2) Von den beiden sich kreuzenden Gurten wurde einer in Teile von 12 m und 18 m geteilt, der andere im Verhältnis 3:8. Bestimmen Sie die Länge des zweiten Akkords.
20. Von zwei sich kreuzenden Akkorden ist der erste 32 cm lang und die Segmente des anderen Akkords sind gleich
12 cm und 16 cm Bestimmen Sie die Abschnitte des ersten Akkords.
21. Die Sekante ABC wird um den äußeren Punkt A gedreht, sodass ihr äußeres Segment AB um das Dreifache reduziert wird. Wie hat sich die Länge der Sekante verändert?
22. Seien ADB und AEC zwei gerade Linien, die einen Kreis schneiden: die erste an den Punkten D und B, die zweite an den Punkten E und C. Erforderlich:
1) Bestimmen Sie AE, wenn AD = 5 cm, DB = 15 cm und AC = 25 cm;
2) Bestimmen Sie BD, wenn AB = 24 m, AC = 16 m und EC = 10 m;
3) Bestimmen Sie AB und AC, wenn AB+AC = 50 m und AD: AE = 3:7.
23. Der Radius eines Kreises beträgt 7 cm. Von einem 9 cm vom Mittelpunkt entfernten Punkt wird eine Sekante so gezeichnet, dass sie den Kreis in zwei Hälften teilt. Bestimmen Sie die Länge dieser Sekante.
24. MAB und MCD sind zwei Sekanten desselben Kreises. Erforderlich:
1) CD bestimmen, wenn MV = 1 m, MD = 15 dm und CD = MA;
2) MD bestimmen, wenn MA = 18 cm, AB = 12 cm und MC: CD = 5:7;
3) Bestimmen Sie AB, wenn AB = MS, MA = 20 und CD = 11.
25. Zwei Akkorde werden verlängert, bis sie sich schneiden. Bestimmen Sie die Länge der resultierenden Verlängerungen, wenn die Akkorde gleich sind A Und B, und ihre Fortsetzungen sind verwandt als t:p.
26. Eine Sekante und eine Tangente werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen. Bestimmen Sie die Länge der Tangente, wenn die äußeren und inneren Segmente der Sekante jeweils durch die folgenden Zahlen ausgedrückt werden: 1) 4 und 5; 2) 2,25 und 1,75; 3) 1 und 2.
27. Die Tangente beträgt 20 cm und die längste Sekante, die vom selben Punkt aus gezogen wird, beträgt 50 cm. Bestimmen Sie den Radius des Kreises.
28. Eine Sekante ist 2 1/4 mal größer als ihr äußeres Segment. Wie oft ist sie größer als die Tangente, die vom selben Punkt aus gezogen wird?
29. Die gemeinsame Sehne zweier sich schneidender Kreise wird verlängert und von einem auf der Fortsetzung genommenen Punkt aus werden Tangenten an sie gezogen. Beweisen Sie, dass sie gleich sind.
30. Auf einer Seite des Winkels A werden nacheinander folgende Segmente ausgelegt: AB = 6 cm und BC = 8 cm; und auf der anderen Seite gibt es eine Strecke AD = 10 cm. Ein Kreis wird durch die Punkte B, C und D gezogen. Finden Sie heraus, ob die Linie AD diesen Kreis berührt und wenn nicht, ob Punkt D der erste (von A aus gezählt) oder der zweite Schnittpunkt sein wird.
31. Es seien: AB-Tangente und ACD-Sekante desselben Kreises. Erforderlich:
1) CD bestimmen, wenn AB = 2 cm und AD = 4 cm;
2) AD bestimmen, wenn AC:CD = 4:5 und AB = 12 cm;
3) Bestimmen Sie AB, wenn AB = CD und AC = A.
32. 1) Wie weit kann man von einem Ballon (Abb. 41) aus sehen, der eine Höhe von 4 km über der Erde erreicht (der Erdradius beträgt = 6370 km)?
2) Der Elbrus (im Kaukasus) erhebt sich 5.600 m über dem Meeresspiegel. Wie weit kann man von der Spitze dieses Berges aus sehen?
3) M – Beobachtungspunkt mit einer Höhe von A Metern über dem Boden (Abb. 42); Erdradius R, MT= D ist die größte sichtbare Entfernung. Beweise das D= √2R H+ H 2
Kommentar. Als H 2 aufgrund seiner Kleinheit im Vergleich zu 2R H fast keinen Einfluss auf das Ergebnis hat, können Sie die Näherungsformel verwenden D≈ √2R H .
33. 1) Tangenten- und Sekantenlinien, die von einem Punkt ausgehen, betragen jeweils 20 cm und 40 cm; Die Sekante ist 8 cm vom Mittelpunkt entfernt. Bestimmen Sie den Radius des Kreises.
2) Bestimmen Sie den Abstand vom Mittelpunkt zum Punkt, aus dem die Tangente und die Sekante austreten, wenn sie jeweils 4 cm und 8 cm betragen und die Sekante vom Mittelpunkt um entfernt ist
12 cm.
34. 1) Eine Tangente und eine Sekante werden von einem gemeinsamen Punkt zu einem Kreis gezogen. Bestimmen Sie die Länge der Tangente, wenn sie 5 cm länger als das äußere Segment der Sekante und um den gleichen Betrag kleiner als das innere Segment ist.
2) Eine Sekante und eine Tangente werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen. Die Sekante ist gleich A, und sein inneres Segment ist um die Länge der Tangente größer als das äußere Segment. Bestimmen Sie die Tangente.
36. Eine Tangente und eine Sekante werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen. Die Tangente ist um 2 cm bzw. 4 cm größer als die Innen- und Außensegmente der Sekante. Bestimmen Sie die Länge der Sekante.
36. Eine Tangente und eine Sekante werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen. Bestimmen Sie ihre Länge, wenn die Tangente 20 cm kürzer als das innere Segment der Sekante und 8 cm länger als das äußere Segment ist.
37. 1) Von einem Punkt aus werden eine Sekante und eine Tangente an einen Kreis gezogen. Ihre Summe beträgt 30 cm und das Innensegment der Sekante ist 2 cm kleiner als die Tangente. Bestimmen Sie Sekante und Tangente.
2) Eine Sekante und eine Tangente werden von einem Punkt zu einem Kreis gezogen. Ihre Summe beträgt 15 cm und das äußere Segment der Sekante ist 2 cm kleiner als die Tangente. Bestimmen Sie Sekante und Tangente.
38. Segment AB wird auf die Distanz BC verlängert. Kreise werden auf AB und AC sowie auf Durchmessern konstruiert. Zum Segment AC am Punkt B wird eine Senkrechte BD gezogen, bis sie den größeren Kreis schneidet. Vom Punkt C wird eine Tangente CK zum kleineren Kreis gezogen. Beweisen Sie, dass CD = SC ist.
39. Zwei parallele Tangenten und eine sie schneidende dritte Tangente werden zu einem gegebenen Kreis gezeichnet. Der Radius ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Segmenten der dritten Tangente. Beweisen.
40. Gegeben sind zwei parallele Linien im Abstand von 15 dm voneinander; zwischen ihnen ist ein Punkt M im Abstand von 3 dm von einem von ihnen angegeben. Durch den Punkt M wird ein Kreis gezogen, der beide Parallelen tangiert. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Projektionen des Mittelpunkts und des Punktes M auf eine dieser Parallelen.
41. In einem Kreis mit Radius R Es wird ein gleichschenkliges Dreieck eingeschrieben, dessen Summe aus Höhe und Grundfläche gleich dem Durchmesser des Kreises ist. Bestimmen Sie die Höhe.
42. Bestimmen Sie den Radius eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises: 1) wenn die Grundfläche 16 cm und die Höhe 4 cm beträgt; 2) wenn die Seite 12 dm und die Höhe 9 dm beträgt; 3) wenn die Seite 15 m und die Basis 18 m beträgt.
43. In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 48 dm und die Seite 30 dm. Bestimmen Sie die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kreise und den Abstand zwischen ihren Mittelpunkten.
44. Der Radius ist R, die Sehne dieses Bogens ist gleich A. Bestimmen Sie die Sehne des Doppelbogens.
45. Der Radius eines Kreises beträgt 8 dm; Akkord AB ist 12 dm. Durch Punkt A wird eine Tangente gezogen, und von Punkt B verläuft eine Sehne BC parallel zur Tangente. Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Tangente und der Sehne des Flugzeugs.
46. Punkt A ist um eine Distanz von der Linie MN entfernt Mit. Gegebener Radius R Ein Kreis wird so beschrieben, dass er durch Punkt A verläuft und die Linie MN berührt. Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem erhaltenen Tangentialpunkt und dem gegebenen Punkt A.
Mathematik. Algebra. Geometrie. Trigonometrie
GEOMETRIE: Planimetrie
10. Sätze über Proportionalgeraden
Satz. Die Seiten eines Winkels werden von mehreren parallelen Linien geschnitten und von diesen in proportionale Teile geschnitten.
Nachweisen. Dies ist nachzuweisen 
Durch das Zeichnen der Hilfslinien DM,EN,... parallel zu BA erhalten wir einander ähnliche Dreiecke, da ihre Winkel (aufgrund der Parallelität der Linien) entsprechend gleich sind. Aus ihrer Ähnlichkeit folgt: 
Indem wir in dieser Reihe gleicher Beziehungen das Segment DM durch D „E“ und das Segment EN durch E „F“ (entgegengesetzte Seiten des Parallelogramms) ersetzen, erhalten wir, was wir zum Beweis benötigen.
Satz. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Teile, die proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks sind
.Umkehrsatz. Wenn eine Seite eines Dreiecks in zwei Teile geteilt wird, die proportional zu zwei benachbarten Seiten dieses Dreiecks sind, dann ist die Gerade, die den Teilungspunkt mit dem Scheitelpunkt des gegenüberliegenden Winkels verbindet, die Winkelhalbierende dieses Winkels
.Satz. Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite an einem Punkt schneidet, dann sind die Abstände von diesem Punkt zu den Enden der verlängerten Seite proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks
.Numerische Abhängigkeiten zwischen den Elementen eines Dreiecks.
Satz. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse fällt, der mittlere Proportionalwert zwischen den Abschnitten der Hypotenuse, und jedes Bein ist der mittlere Proportionalwert zwischen der Hypotenuse und dem an diesen Abschnitt angrenzenden Abschnitt
.Nachweisen. Es müssen die folgenden drei Proportionen nachgewiesen werden: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.
1) Die Dreiecke ABD und ADC sind ähnlich, da
P 1=P 4 und P 2=P 3 (da ihre Seiten senkrecht sind), also BD:AD=AD:DC.2) Die Dreiecke ABD und ABC sind ähnlich, da sie rechtwinklig sind und einen gemeinsamen Winkel B haben, also BC:AB=AB:DB.
3) Die Dreiecke ABC und ADC sind ähnlich, da sie rechtwinklig sind und einen gemeinsamen Winkel C haben, also BC:AC=AC:DC.
Folge. Eine Senkrechte, die von einem Punkt auf dem Kreis zum Durchmesser fällt, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Segmenten des Durchmessers, und die Sehne, die diesen Punkt mit dem Ende des Durchmessers verbindet, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen dem Durchmesser und seinem an die Sehne angrenzenden Segment
.Satz des Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel
.Folge. Die Quadrate der Beine stehen in einer Beziehung zueinander wie benachbarte Segmente der Hypotenuse
.Satz. In jedem Dreieck ist das Quadrat der dem spitzen Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ohne Doppel
das Produkt einer dieser Seiten durch ihren Abschnitt vom Scheitelpunkt eines spitzen Winkels zur Höhe.Satz. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate seiner Seiten
.Proportionale Linien in einem Kreis.
Satz. Wenn eine Sehne und ein Durchmesser durch einen Punkt innerhalb eines Kreises gezeichnet werden, dann ist das Produkt der Segmente der Sehne gleich dem Produkt der Segmente des Durchmessers.Folge. Wenn eine beliebige Anzahl von Akkorden durch einen Punkt innerhalb eines Kreises gezogen wird, dann ist das Produkt der Segmente jedes Akkords eine konstante Zahl für alle Akkorde.
Satz. Wenn von einem Punkt außerhalb des Kreises eine Sekante und eine Tangente zu ihm gezogen werden, dann ist das Produkt der Sekante und ihres äußeren Teils gleich dem Quadrat der Tangente
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Betrachten wir zunächst die Sekante AC, die vom Punkt A außerhalb des gegebenen Kreises gezogen wird (Abb. 288). Von demselben Punkt aus zeichnen wir eine Tangente AT. Die Strecke zwischen Punkt A und dem nächstgelegenen Schnittpunkt mit dem äußeren Teil des Kreises nennen wir Sekante (Segment AB in Abb. 288), während die Strecke AC zum weiter entfernten der beiden Schnittpunkte einfach heißt eine Sekante. Der Tangentenabschnitt von A zum Tangentenpunkt wird auch kurz Tangente genannt. Dann ist es fair
Satz. Das Produkt einer Sekante und ihres äußeren Teils ist gleich dem Quadrat der Tangente.
Nachweisen. Lassen Sie uns die Punkte verbinden. Die Dreiecke ACT und BT A sind ähnlich, da der Winkel am Scheitelpunkt A gemeinsam ist und die Winkel ACT gleich sind, da beide durch die Hälfte desselben Bogens TV gemessen werden. Daher erhalten wir von hier aus das erforderliche Ergebnis:
Die Tangente ist gleich dem geometrischen Mittel zwischen einer vom selben Punkt ausgehenden Sekante und ihrem äußeren Teil.
Folge. Für jede Sekante, die durch einen gegebenen Punkt A gezogen wird, ist das Produkt aus ihrer Länge und dem äußeren Teil konstant:
Betrachten wir nun Akkorde, die sich an einem inneren Punkt schneiden. Die Aussage ist wahr:
Wenn sich zwei Akkorde schneiden, ist das Produkt der Segmente eines Akkords gleich dem Produkt der Segmente des anderen (d. h. die Segmente, in die der Akkord durch den Schnittpunkt unterteilt wird).
Also, in Abb. 289 Akkorde AB und CD schneiden sich im Punkt M, und wir haben Mit anderen Worten:
Für einen gegebenen Punkt M ist das Produkt der Segmente, in die er jeden durch ihn verlaufenden Akkord unterteilt, konstant.
Um dies zu beweisen, stellen wir fest, dass die Dreiecke MBC und MAD ähnlich sind: Die Winkel CMV und DMA sind vertikal, die Winkel MAD und MCB liegen auf demselben Bogen. Von hier aus finden wir
Q.E.D.
Liegt ein gegebener Punkt M im Abstand l vom Mittelpunkt, dann ziehen wir durch ihn einen Durchmesser und betrachten ihn als eine der Sehnen. Wir finden, dass das Produkt der Segmente des Durchmessers und damit jeder anderen Sehne gleich ist zum Quadrat der minimalen Halbsehne (senkrecht zum angegebenen Durchmesser), die durch M verläuft.
Der Satz über die Konstanz des Produkts von Segmenten eines Akkords und der Satz über die Konstanz des Produkts einer Sekante und ihres äußeren Teils sind zwei Fälle derselben Aussage. Der einzige Unterschied besteht darin, ob die Sekanten durch die äußere oder äußere Linie gezogen werden innerer Punkt des Kreises. Jetzt können wir ein weiteres Merkmal angeben, das zyklische Vierecke auszeichnet:
In jedem zyklischen Viereck sind die Schnittprodukte, in die die Diagonalen durch den Schnittpunkt geteilt werden, gleich.
Die Notwendigkeit der Bedingung liegt auf der Hand, da die Diagonalen Sehnen des Umkreises sein werden. Es kann gezeigt werden, dass diese Bedingung auch ausreichend ist.
