Lösen eines Gleichungssystems mit dem Online-Rechner der Additionsmethode. Lösen Sie ein Gleichungssystem mit der Matrixmethode in der Mathematik. Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Nur wenn Sie Gleichungssysteme unterschiedlicher Komplexität selbstständig lösen, lernen Sie, schnell Methoden zur Lösung jedes Systems zu ermitteln. Manchmal kann es ziemlich schwierig sein, ein System quadratischer Gleichungen zu lösen. Die am häufigsten verwendete Methode zur Lösung dieser Gleichungen ist jedoch die Substitutions-/Additionsmethode.

Angenommen, wir erhalten das folgende Gleichungssystem:

\[\left\(\begin(matrix) x^2-xy = 3, \\ y^2-xy = -2 \end(matrix)\right.\]

Fügen wir die Gleichungen des Systems hinzu:

\[\left\(\begin(matrix) x^2 - xy = 3, \\ x^2 - 2xy + y = 1. \end(matrix)\right.\]

Lösen wir das resultierende System:

\[\left\(\begin(matrix) x(x -y) = 3, \\ (x - y)^2= 1; \end(matrix)\right.\]

\[(x - y) = -1 \] oder \[(x - y) = 1\] - wir erhalten aus 2 Gleichungen

Ersetzen wir 1 oder -1 durch 1:

\ oder \

Da wir nun den Wert einer Unbekannten kennen, können wir die zweite ermitteln:

\[-3 - y= -1\] oder \

\ oder \

Antwort: \[(-3; -2); (3; 4)\]

Wenn Sie ein System mit 2 Grad und 1 Linear lösen müssen, können Sie eine der Variablen aus dem Linear ausdrücken und diese Gleichung in die quadratische Gleichung einsetzen.

Wo kann ich ein quadratisches Gleichungssystem online mit einem Taschenrechner lösen?

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Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen, für die alle gemeinsamen Lösungen gefunden werden müssen. Wir werden Systeme aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten betrachten. Die allgemeine Ansicht eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Hier sind x und y unbekannte Variablen, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sind einige reelle Zahlen. Eine Lösung für ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x,y), sodass, wenn wir diese Zahlen in die Gleichungen des Systems einsetzen, jede der Gleichungen des Systems zu einer echten Gleichheit wird. Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen. Betrachten wir eine der Möglichkeiten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, nämlich die Additionsmethode.

Algorithmus zur Lösung durch Additionsmethode

Ein Algorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten mithilfe der Additionsmethode.

1. Gleichen Sie ggf. durch äquivalente Transformationen die Koeffizienten einer der unbekannten Variablen in beiden Gleichungen aus.

2. Durch Addition oder Subtraktion der resultierenden Gleichungen erhalten Sie eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Unbekannten und finden Sie eine der Variablen.

4. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und lösen Sie diese Gleichung, um so die zweite Variable zu erhalten.

5. Überprüfen Sie die Lösung.

Ein Beispiel für eine Lösung mit der Additionsmethode

Zur besseren Übersicht lösen wir das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten mit der Additionsmethode:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Da keine der Variablen identische Koeffizienten hat, gleichen wir die Koeffizienten der Variablen y an. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung mit drei und die zweite Gleichung mit zwei.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Wir bekommen das folgende Gleichungssystem:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Jetzt subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung. Wir präsentieren ähnliche Terme und lösen die resultierende lineare Gleichung.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Wir setzen den resultierenden Wert in die erste Gleichung unseres ursprünglichen Systems ein und lösen die resultierende Gleichung.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Das Ergebnis ist ein Zahlenpaar x=6 und y=14. Wir überprüfen. Machen wir einen Ersatz.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Wie Sie sehen, haben wir zwei richtige Gleichungen erhalten und somit die richtige Lösung gefunden.

In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit der Methode zur Lösung von Gleichungssystemen befassen, nämlich der Methode der algebraischen Addition. Betrachten wir zunächst die Anwendung dieser Methode am Beispiel linearer Gleichungen und deren Wesen. Erinnern wir uns auch daran, wie man Koeffizienten in Gleichungen ausgleicht. Und wir werden mit dieser Methode eine Reihe von Problemen lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Algebraische Additionsmethode

1. Methode der algebraischen Addition am Beispiel linearer Systeme

Lassen Sie uns überlegen algebraische Additionsmethode am Beispiel linearer Systeme.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, hebt sich y auf und es bleibt eine Gleichung für x übrig.

Wenn wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren, heben sich die x auf und wir erhalten eine Gleichung für y. Dies ist die Bedeutung der algebraischen Additionsmethode.

Wir haben das System gelöst und uns an die Methode der algebraischen Addition erinnert. Wiederholen wir das Wesentliche: Wir können Gleichungen addieren und subtrahieren, müssen aber sicherstellen, dass wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.

2. Methode der algebraischen Addition mit vorläufigem Koeffizientenausgleich

Beispiel 2. Lösen Sie das System

Der Term ist in beiden Gleichungen vorhanden, daher ist die algebraische Additionsmethode praktisch. Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung.

Antwort: (2; -1).

Nach der Analyse des Gleichungssystems können Sie also erkennen, dass die Methode der algebraischen Addition geeignet ist, und sie anwenden.

Betrachten wir ein anderes lineares System.

3. Lösung nichtlinearer Systeme

Beispiel 3. Lösen Sie das System

Wir wollen y loswerden, aber die Koeffizienten von y sind in den beiden Gleichungen unterschiedlich. Gleichen wir sie aus; dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 4.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Lassen Sie uns die Koeffizienten für x ausgleichen

Sie können es auch anders machen – gleichen Sie die Koeffizienten für y aus.

Wir haben das System gelöst, indem wir die algebraische Additionsmethode zweimal angewendet haben.

Die algebraische Additionsmethode ist auch auf die Lösung nichtlinearer Systeme anwendbar.

Beispiel 5. Lösen Sie das System

Addieren wir diese Gleichungen und wir werden y los.

Das gleiche System kann durch zweimaliges Anwenden der algebraischen Additionsmethode gelöst werden. Lassen Sie uns von einer Gleichung eine andere addieren und davon subtrahieren.

Beispiel 6. Lösen Sie das System

Antwort:

Beispiel 7. Lösen Sie das System

Mit der Methode der algebraischen Addition werden wir den xy-Term los. Lassen Sie uns die erste Gleichung mit multiplizieren.

Die erste Gleichung bleibt unverändert, statt der zweiten schreiben wir die algebraische Summe.

Antwort:

Beispiel 8. Lösen Sie das System

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2, um ein perfektes Quadrat zu isolieren.

Unsere Aufgabe beschränkte sich auf die Lösung von vier einfachen Systemen.

4. Fazit

Wir haben die Methode der algebraischen Addition am Beispiel der Lösung linearer und nichtlinearer Systeme untersucht. In der nächsten Lektion werden wir uns die Methode zur Einführung neuer Variablen ansehen.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal „ICH WERDE das Einheitliche Staatsexamen lösen“.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 125 - 127.

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OGBOU „Bildungszentrum für Kinder mit sonderpädagogischem Förderbedarf in Smolensk“

Zentrum für Fernunterricht

Algebra-Unterricht in der 7. Klasse

Unterrichtsthema: Methode der algebraischen Addition.

1. 1. Unterrichtsart: Unterrichtseinheit zur ersten Präsentation neuen Wissens.

Zweck der Lektion: Kontrollieren Sie den Grad des Wissens- und Fähigkeitserwerbs bei der Lösung von Gleichungssystemen mithilfe der Substitutionsmethode; Entwicklung von Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Lösung von Gleichungssystemen durch Addition.

Lernziele:

Thema: Lernen Sie, Gleichungssysteme mit zwei Variablen mithilfe der Additionsmethode zu lösen.

Metasubjekt: Kognitives UUD: analysieren (die Hauptsache hervorheben), Konzepte definieren, verallgemeinern, Schlussfolgerungen ziehen. Regulatorische UUD: Bestimmen Sie das Ziel und Problem bei Bildungsaktivitäten. Kommunikative UUD: Ihre Meinung äußern und begründen. Persönliche UUD: f eine positive Lernmotivation zu bilden, eine positive emotionale Einstellung des Schülers zum Unterricht und zum Thema zu schaffen.

Arbeitsform: individuell

Unterrichtsschritte:

1) Organisationsphase.

Organisieren Sie die Arbeit des Schülers zu diesem Thema, indem Sie eine Einstellung zur Integrität des Denkens und zum Verständnis dieses Themas schaffen.

2. Befragung des Schülers zum Stoff der Hausaufgaben, Aktualisierung des Wissens.

Zweck: das bei den Hausaufgaben erworbene Wissen des Schülers zu überprüfen, Fehler zu erkennen und an Fehlern zu arbeiten. Sehen Sie sich den Stoff aus der vorherigen Lektion noch einmal an.

3. Neues Material studieren.

1). die Fähigkeit entwickeln, lineare Gleichungssysteme mit der Additionsmethode zu lösen;

2). Vorhandenes Wissen in neuen Situationen weiterentwickeln und verbessern;

3). Kultivieren Sie Kontroll- und Selbstkontrollfähigkeiten und entwickeln Sie Unabhängigkeit.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Ziel: Sehvermögen bewahren, Augenermüdung lindern, während der Arbeit im Unterricht.

5. Konsolidierung des untersuchten Materials

Zweck: Prüfung der im Unterricht erworbenen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten

6. Zusammenfassung der Lektion, Informationen zu Hausaufgaben, Reflexion.

Unterrichtsfortschritt (Arbeiten in einem elektronischen Google-Dokument):

1. Heute wollte ich die Lektion mit Walters philosophischem Rätsel beginnen.

Was wird von uns am schnellsten, aber auch am langsamsten, am größten, aber auch am kleinsten, am längsten und am kürzesten, am teuersten, aber auch am günstigsten bewertet?

Zeit

Erinnern wir uns an die Grundkonzepte zum Thema:

Vor uns liegt ein System aus zwei Gleichungen.

Erinnern wir uns daran, wie wir in der letzten Lektion Gleichungssysteme gelöst haben.

Substitutionsmethode

Achten Sie noch einmal auf das gelöste System und sagen Sie mir, warum wir nicht jede Gleichung des Systems lösen können, ohne auf die Substitutionsmethode zurückzugreifen.

Denn es handelt sich um Gleichungen eines Systems mit zwei Variablen. Wir können Gleichungen mit nur einer Variablen lösen.

Nur indem wir eine Gleichung mit einer Variablen erhielten, konnten wir das Gleichungssystem lösen.

3. Wir fahren mit der Lösung des folgenden Systems fort:

Wählen wir eine Gleichung, in der es bequem ist, eine Variable durch eine andere auszudrücken.

Es gibt keine solche Gleichung.

Diese. In dieser Situation ist die zuvor untersuchte Methode für uns nicht geeignet. Was ist der Ausweg aus dieser Situation?

Finden Sie eine neue Methode.

Versuchen wir, den Zweck der Lektion zu formulieren.

Lernen Sie, Systeme mit einer neuen Methode zu lösen.

Was müssen wir tun, um zu lernen, wie man Systeme mit einer neuen Methode löst?

kennen die Regeln (Algorithmus) zur Lösung eines Gleichungssystems, erledigen praktische Aufgaben

Beginnen wir mit der Entwicklung einer neuen Methode.

Beachten Sie die Schlussfolgerung, die wir nach der Lösung des ersten Systems gezogen haben. Das System konnte erst gelöst werden, nachdem wir eine lineare Gleichung mit einer Variablen erhalten hatten.

Schauen Sie sich das Gleichungssystem an und überlegen Sie, wie Sie aus zwei gegebenen Gleichungen eine Gleichung mit einer Variablen erhalten.

Addieren Sie die Gleichungen.

Was bedeutet es, Gleichungen hinzuzufügen?

Bilden Sie getrennt die Summe der linken Seiten und die Summe der rechten Seiten der Gleichungen und setzen Sie die resultierenden Summen gleich.

Lass es uns versuchen. Wir arbeiten mit mir zusammen.

13x+14x+17y-17y=43+11

Wir haben eine lineare Gleichung mit einer Variablen erhalten.

Hast du das Gleichungssystem gelöst?

Die Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar.

Wie finde ich dich?

Setzen Sie den gefundenen Wert von x in die Systemgleichung ein.

Spielt es eine Rolle, in welche Gleichung wir den Wert von x einsetzen?

Das bedeutet, dass der gefundene Wert von x eingesetzt werden kann in...

jede Gleichung des Systems.

Wir haben eine neue Methode kennengelernt – die Methode der algebraischen Addition.

Während wir das System lösten, diskutierten wir den Algorithmus zur Lösung des Systems mit dieser Methode.

Wir haben den Algorithmus überprüft. Wenden wir es nun auf die Problemlösung an.

Die Fähigkeit, Gleichungssysteme zu lösen, kann in der Praxis nützlich sein.

Betrachten wir das Problem:

Auf dem Bauernhof gibt es Hühner und Schafe. Wie viele sind es von beiden, wenn sie zusammen 19 Köpfe und 46 Beine haben?

Da wir wissen, dass es insgesamt 19 Hühner und Schafe gibt, erstellen wir die erste Gleichung: x + y = 19

4x - die Anzahl der Schafsbeine

2у - Anzahl der Beine bei Hühnern

Da wir wissen, dass es nur 46 Beine gibt, erstellen wir die zweite Gleichung: 4x + 2y = 46

Erstellen wir ein Gleichungssystem:

Lösen wir das Gleichungssystem mit dem Lösungsalgorithmus unter Verwendung der Additionsmethode.

Problem! Die Koeffizienten vor x und y sind nicht gleich und nicht entgegengesetzt! Was zu tun?

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an!

Fügen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzu und setzen ihn an die erste Stelle: Wenn die Koeffizienten vor den Variablen nicht gleich und nicht entgegengesetzt sind, müssen wir die Module für eine Variable ausgleichen! Und dann werden wir nach dem Algorithmus handeln.

4. Elektronisches körperliches Training für die Augen: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Wir lösen die Aufgabe mit der Methode der algebraischen Addition, konsolidieren das neue Material und finden heraus, wie viele Hühner und Schafe es auf dem Bauernhof gab.

Zusätzliche Aufgaben:

6.

Betrachtung.

Ich gebe eine Note für meine Arbeit im Unterricht -...

6. Verwendete Internetressourcen:

Google-Dienste für Bildung

Mathematiklehrerin Sokolova N.N.

Mit diesem Video beginne ich eine Reihe von Lektionen zum Thema Gleichungssysteme. Heute werden wir über das Lösen linearer Gleichungssysteme sprechen Additionsmethode- Dies ist eine der einfachsten Methoden, aber gleichzeitig auch eine der effektivsten.

Die Additionsmethode besteht aus drei einfachen Schritten:

1. Schauen Sie sich das System an und wählen Sie eine Variable aus, die in jeder Gleichung identische (oder entgegengesetzte) Koeffizienten aufweist.
2. Führen Sie eine algebraische Subtraktion (für entgegengesetzte Zahlen - Addition) von Gleichungen voneinander durch und bringen Sie dann ähnliche Terme mit;
3. Lösen Sie die neue Gleichung, die Sie nach dem zweiten Schritt erhalten.

Wenn alles richtig gemacht ist, erhalten wir am Ausgang eine einzige Gleichung mit einer Variablen– Es wird nicht schwer sein, es zu lösen. Dann müssen Sie nur noch die gefundene Wurzel in das ursprüngliche System einsetzen und die endgültige Antwort erhalten.

In der Praxis ist jedoch nicht alles so einfach. Dafür gibt es mehrere Gründe:

• Das Lösen von Gleichungen mit der Additionsmethode impliziert, dass alle Zeilen Variablen mit gleichen/entgegengesetzten Koeffizienten enthalten müssen. Was tun, wenn diese Anforderung nicht erfüllt ist?
• Nicht immer erhalten wir nach der Addition/Subtraktion von Gleichungen auf die angegebene Weise eine schöne Konstruktion, die leicht gelöst werden kann. Ist es möglich, die Berechnungen irgendwie zu vereinfachen und zu beschleunigen?

Um die Antwort auf diese Fragen zu erhalten und gleichzeitig einige weitere Feinheiten zu verstehen, an denen viele Schüler scheitern, schauen Sie sich meine Videolektion an:

Mit dieser Lektion beginnen wir eine Reihe von Vorlesungen über Gleichungssysteme. Und wir beginnen mit den einfachsten davon, nämlich denen, die zwei Gleichungen und zwei Variablen enthalten. Jeder von ihnen wird linear sein.

Systeme sind Stoff für die 7. Klasse, aber diese Lektion wird auch für Oberstufenschüler nützlich sein, die ihr Wissen zu diesem Thema auffrischen möchten.

Im Allgemeinen gibt es zwei Methoden zur Lösung solcher Systeme:

1. Additionsmethode;
2. Eine Methode, eine Variable durch eine andere auszudrücken.

Heute befassen wir uns mit der ersten Methode – wir verwenden die Methode der Subtraktion und Addition. Dazu müssen Sie jedoch die folgende Tatsache verstehen: Sobald Sie zwei oder mehr Gleichungen haben, können Sie zwei beliebige davon nehmen und sie miteinander addieren. Sie werden Mitglied für Mitglied hinzugefügt, d.h. „X“ wird zu „X“ addiert und Ähnliches wird angegeben, „Y“ mit „Y“ wird wieder ähnlich, und was rechts vom Gleichheitszeichen steht, wird auch zueinander addiert, und Ähnliches wird auch dort angegeben .

Das Ergebnis solcher Machenschaften wird eine neue Gleichung sein, die, wenn sie Wurzeln hat, sicherlich zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gehören wird. Daher besteht unsere Aufgabe darin, die Subtraktion oder Addition so durchzuführen, dass entweder $x$ oder $y$ verschwindet.

Wie Sie dies erreichen und welches Tool Sie dafür verwenden können – darüber sprechen wir jetzt.

Einfache Probleme durch Addition lösen

Wir lernen also, die Additionsmethode am Beispiel zweier einfacher Ausdrücke anzuwenden.

Aufgabe Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass $y$ in der ersten Gleichung einen Koeffizienten von $-4$ und in der zweiten $+4$ hat. Sie sind einander entgegengesetzt, daher ist es logisch anzunehmen, dass sich die „Spiele“ gegenseitig zerstören, wenn wir sie addieren. Addiere es und erhalte:

Lösen wir die einfachste Konstruktion:

Super, wir haben das „x“ gefunden. Was sollen wir jetzt damit machen? Wir haben das Recht, es in jede der Gleichungen einzusetzen. Ersetzen wir im ersten:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

Antwort: $\left(2;-3 \right)$.

Problem Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Hier ist die Situation völlig ähnlich, nur mit „X“. Addieren wir sie:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, lösen wir sie:

Jetzt suchen wir nach $x$:

Antwort: $\left(-3;3 \right)$.

Wichtige Punkte

Wir haben also gerade zwei einfache lineare Gleichungssysteme mit der Additionsmethode gelöst. Noch einmal die wichtigsten Punkte:

1. Wenn es für eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten gibt, müssen alle Variablen in die Gleichung aufgenommen werden. In diesem Fall wird einer von ihnen zerstört.
2. Wir setzen die gefundene Variable in eine der Systemgleichungen ein, um die zweite zu finden.
3. Der endgültige Antwortdatensatz kann auf unterschiedliche Weise dargestellt werden. Zum Beispiel so - $x=...,y=...$, oder in Form von Punktkoordinaten - $\left(...;... \right)$. Die zweite Option ist vorzuziehen. Das Wichtigste ist, dass die erste Koordinate $x$ und die zweite $y$ ist.
4. Die Regel, die Antwort in Form von Punktkoordinaten zu schreiben, ist nicht immer anwendbar. Es kann beispielsweise nicht verwendet werden, wenn die Variablen nicht $x$ und $y$ sind, sondern beispielsweise $a$ und $b$.

In den folgenden Aufgaben betrachten wir die Technik der Subtraktion, wenn die Koeffizienten nicht entgegengesetzt sind.

Einfache Probleme mit der Subtraktionsmethode lösen

Aufgabe Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass es hier keine entgegengesetzten Koeffizienten gibt, sondern identische. Daher subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung:

Jetzt setzen wir den Wert $x$ in eine der Systemgleichungen ein. Lass uns zuerst gehen:

Antwort: $\left(2;5\right)$.

Problem Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen wieder den gleichen Koeffizienten von $5$ für $x$ in der ersten und zweiten Gleichung. Daher ist es logisch anzunehmen, dass Sie die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren müssen:

Wir haben eine Variable berechnet. Finden wir nun den zweiten, indem wir beispielsweise den Wert $y$ in die zweite Konstruktion einsetzen:

Antwort: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuancen der Lösung

Was sehen wir also? Im Wesentlichen unterscheidet sich das Schema nicht von der Lösung bisheriger Systeme. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir Gleichungen nicht addieren, sondern subtrahieren. Wir machen algebraische Subtraktion.

Mit anderen Worten: Sobald Sie ein System sehen, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten besteht, müssen Sie sich als Erstes die Koeffizienten ansehen. Wenn sie irgendwo gleich sind, werden die Gleichungen subtrahiert, und wenn sie entgegengesetzt sind, wird die Additionsmethode verwendet. Dies geschieht immer so, dass eine davon verschwindet und in der endgültigen Gleichung, die nach der Subtraktion übrig bleibt, nur eine Variable übrig bleibt.

Das ist natürlich noch nicht alles. Nun betrachten wir Systeme, in denen die Gleichungen im Allgemeinen inkonsistent sind. Diese. In ihnen gibt es keine Variablen, die entweder gleich oder gegensätzlich sind. In diesem Fall wird zur Lösung solcher Systeme eine zusätzliche Technik verwendet, nämlich die Multiplikation jeder Gleichung mit einem speziellen Koeffizienten. Wie man es findet und wie man solche Systeme im Allgemeinen löst, darüber werden wir jetzt sprechen.

Lösen von Problemen durch Multiplikation mit einem Koeffizienten

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen, dass weder für $x$ noch für $y$ die Koeffizienten nicht nur einander entgegengesetzt sind, sondern auch in keiner Weise mit der anderen Gleichung korrelieren. Diese Koeffizienten verschwinden in keiner Weise, selbst wenn wir die Gleichungen voneinander addieren oder subtrahieren. Daher ist es notwendig, die Multiplikation anzuwenden. Versuchen wir, die Variable $y$ loszuwerden. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der zweiten Gleichung und die zweite Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der ersten Gleichung, ohne das Vorzeichen zu berühren. Wir multiplizieren und erhalten ein neues System:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir es uns an: Bei $y$ sind die Koeffizienten entgegengesetzt. In einer solchen Situation ist es notwendig, die Additionsmethode zu verwenden. Fügen wir hinzu:

Jetzt müssen wir $y$ finden. Ersetzen Sie dazu $x$ in den ersten Ausdruck:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

Antwort: $\left(4;-2 \right)$.

Beispiel Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Auch hier sind die Koeffizienten für keine der Variablen konsistent. Lassen Sie uns mit den Koeffizienten von $y$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Unser neues System ist äquivalent zum vorherigen, aber die Koeffizienten von $y$ sind einander entgegengesetzt, und daher ist es einfach, die Additionsmethode hier anzuwenden:

Finden wir nun $y$, indem wir $x$ in die erste Gleichung einsetzen:

Antwort: $\left(-2;1 \right)$.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Regel hierbei lautet: Wir multiplizieren immer nur mit positiven Zahlen – das erspart Ihnen dumme und beleidigende Fehler beim Vorzeichenwechsel. Im Allgemeinen ist das Lösungsschema recht einfach:

1. Wir betrachten das System und analysieren jede Gleichung.
2. Wenn wir sehen, dass weder $y$ noch $x$ die Koeffizienten konsistent sind, d.h. Wenn sie weder gleich noch entgegengesetzt sind, gehen wir wie folgt vor: Wir wählen die Variable aus, die wir entfernen müssen, und schauen uns dann die Koeffizienten dieser Gleichungen an. Wenn wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten der zweiten multiplizieren und die zweite entsprechend mit dem Koeffizienten der ersten multiplizieren, erhalten wir am Ende ein System, das dem vorherigen völlig äquivalent ist, und die Koeffizienten von $ y$ wird konsistent sein. Alle unsere Aktionen oder Transformationen zielen nur darauf ab, eine Variable in eine Gleichung zu bekommen.
3. Wir finden eine Variable.
4. Wir setzen die gefundene Variable in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und finden die zweite.
5. Wir schreiben die Antwort in Form von Punktkoordinaten, wenn wir die Variablen $x$ und $y$ haben.

Aber selbst ein so einfacher Algorithmus hat seine eigenen Feinheiten, zum Beispiel können die Koeffizienten von $x$ oder $y$ Brüche und andere „hässliche“ Zahlen sein. Diese Fälle betrachten wir nun gesondert, da man in ihnen etwas anders vorgehen kann als nach dem Standardalgorithmus.

Probleme mit Brüchen lösen

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie zunächst, dass die zweite Gleichung Brüche enthält. Beachten Sie jedoch, dass Sie 4 $ durch 0,8 $ dividieren können. Wir erhalten 5 $. Lassen Sie uns die zweite Gleichung mit $5$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Wir subtrahieren die Gleichungen voneinander:

Wir haben $n$ gefunden, jetzt zählen wir $m$:

Antwort: $n=-4;m=5$

Beispiel Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Rechts.\]

Hier gibt es wie im vorherigen System gebrochene Koeffizienten, aber für keine der Variablen passen die Koeffizienten ganzzahlig oft ineinander. Daher verwenden wir den Standardalgorithmus. $p$ loswerden:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Wir verwenden die Subtraktionsmethode:

Finden wir $p$, indem wir $k$ in die zweite Konstruktion einsetzen:

Antwort: $p=-4;k=-2$.

Nuancen der Lösung

Das ist alles Optimierung. In der ersten Gleichung haben wir überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert, sondern in der zweiten Gleichung mit 5 $. Als Ergebnis erhielten wir eine konsistente und sogar identische Gleichung für die erste Variable. Im zweiten System folgten wir einem Standardalgorithmus.

Aber wie findet man die Zahlen, mit denen man Gleichungen multipliziert? Denn wenn wir mit Brüchen multiplizieren, erhalten wir neue Brüche. Daher müssen die Brüche mit einer Zahl multipliziert werden, die eine neue ganze Zahl ergibt, und anschließend müssen die Variablen nach dem Standardalgorithmus mit Koeffizienten multipliziert werden.

Abschließend möchte ich Sie auf das Format zur Aufzeichnung der Antwort aufmerksam machen. Wie ich bereits sagte, da wir hier nicht $x$ und $y$, sondern andere Werte haben, verwenden wir eine nicht standardmäßige Notation der Form:

Komplexe Gleichungssysteme lösen

Als letzte Anmerkung zum heutigen Video-Tutorial schauen wir uns ein paar wirklich komplexe Systeme an. Ihre Komplexität wird darin bestehen, dass sie sowohl links als auch rechts Variablen haben. Um sie zu lösen, müssen wir daher eine Vorverarbeitung anwenden.

System Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Jede Gleichung birgt eine gewisse Komplexität. Betrachten wir daher jeden Ausdruck als eine reguläre lineare Konstruktion.

Insgesamt erhalten wir das endgültige System, das dem Original entspricht:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir uns die Koeffizienten von $y$ an: $3$ passt zweimal in $6$, also multiplizieren wir die erste Gleichung mit $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Die Koeffizienten von $y$ sind jetzt gleich, also subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung: $$

Suchen wir nun $y$:

Antwort: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Lassen Sie uns den ersten Ausdruck umwandeln:

Kommen wir zum zweiten Punkt:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Insgesamt wird unser Ausgangssystem die folgende Form annehmen:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Wenn wir uns die Koeffizienten von $a$ ansehen, sehen wir, dass die erste Gleichung mit $2$ multipliziert werden muss:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Konstruktion:

Suchen wir nun $a$:

Antwort: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Das ist alles. Ich hoffe, dass dieses Video-Tutorial Ihnen hilft, dieses schwierige Thema zu verstehen, nämlich das Lösen einfacher linearer Gleichungssysteme. Zu diesem Thema wird es in Zukunft noch viele weitere Lektionen geben: Wir werden uns komplexere Beispiele ansehen, bei denen es mehr Variablen geben wird und die Gleichungen selbst nichtlinear sein werden. Wir sehen uns wieder!