Multiplikation von Dreiecksmatrizen. Matrizen. Arten von Matrizen. Grundbegriffe. Reduziert auf eine Stufenform
Dabei sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null.
Untere Dreiecksmatrix- eine quadratische Matrix, in der alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.
Einheitsdreieckige Matrix(oben oder unten) – eine dreieckige Matrix, in der alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich eins sind.
Dreiecksmatrizen werden hauptsächlich zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet, wenn die Matrix des Systems mithilfe des folgenden Satzes auf Dreiecksform reduziert wird:
Das Lösen linearer Gleichungssysteme mit einer Dreiecksmatrix (umgekehrt) ist nicht schwierig.
Eigenschaften
- Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente auf ihrer Hauptdiagonale.
- Die Determinante einer Einheitsdreiecksmatrix ist gleich eins.
- Die Menge der nicht singulären oberen dreieckigen Ordnungsmatrizen N durch Multiplikation mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Gruppe, die bezeichnet wird UT(N, k) oder UT N (k).
- Die Menge der nicht singulären unteren dreieckigen Ordnungsmatrizen N durch Multiplikation mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Gruppe, die bezeichnet wird LT(N, k) oder LT N (k).
- Satz oberer einheitlicher Dreiecksmatrizen mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Untergruppe UT N (k) durch Multiplikation, die bezeichnet wird SUT(N, k) oder SUT N (k). Eine ähnliche Untergruppe niedrigerer Einheitsdreiecksmatrizen wird bezeichnet SLT(N, k) oder SLT N (k).
- Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Elementen aus dem Ring k bildet eine Algebra bezüglich der Operationen Addition, Multiplikation mit Ringelementen und Matrixmultiplikation. Eine ähnliche Aussage gilt für untere Dreiecksmatrizen.
- Gruppe UT n ist lösbar, und seine einheitliche dreieckige Untergruppe SUT n nullpotent.
siehe auch
Wikimedia-Stiftung. 2010.
Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was eine „Dreiecksmatrix“ ist:
Dreiecksmatrix- — Dreiecksmatrix Eine quadratische Matrix, in der alle unter oder über der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind (vgl. Diagonalmatrix). Im ersten Fall haben wir... ...
Dreiecksmatrix- eine quadratische Matrix, in der alle unter oder über der Hauptdiagonalen liegenden Elemente gleich Null sind (vgl. Diagonalmatrix). Im ersten Fall haben wir den oberen T.m. im zweiten unteren...
Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente, die sich unterhalb (oder oberhalb) der Hauptdiagonale befinden, gleich Null sind. Im ersten Fall heißt die Matrix die obere Dreiecksmatrix, im zweiten die untere Dreiecksmatrix. Die Determinante von T. m ist gleich dem Produkt aller seiner ... Mathematische Enzyklopädie
Dreiecksmatrix MOB- eine Matrix von Input-Output-Balance-Koeffizienten (IB), die einem Produktionssystem entspricht, in dem jedes Produkt für seine eigene Produktion und für die Produktion eines beliebigen nächsten Produkts verwendet werden kann... ... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch
Dreiecksmatrix MOB- Matrix der Input-Balance-Koeffizienten (IBO), entsprechend einem Produktionssystem, in dem jedes Produkt für seine eigene Produktion und für die Produktion jedes darauffolgenden Produkts ausgegeben werden kann, aber nicht... ... Leitfaden für technische Übersetzer
Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind
Block-Dreiecksmatrix- ist eine Matrix, die so in Untermatrizen unterteilt werden kann, dass auf einer Seite ihrer aus Untermatrizen zusammengesetzten „Hauptdiagonale“ Nullen stehen. Beispiele für Blockdreiecksmatrizen sind... ... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch
Block-Dreiecksmatrix- Eine Matrix, die so in Untermatrizen unterteilt werden kann, dass auf einer Seite ihrer aus Untermatrizen zusammengesetzten „Hauptdiagonale“ Nullen stehen. Beispiele für Blockdreiecksmatrizen sind die Dreiecksmatrix und die Blockdiagonalmatrix ... Leitfaden für technische Übersetzer
Matrix- ein System von Elementen (Zahlen, Funktionen und andere Größen), angeordnet in Form einer rechteckigen Tabelle, auf der bestimmte Aktionen ausgeführt werden können. Die Tabelle hat die folgende Form: Das Matrixelement im Allgemeinen wird mit aij bezeichnet... ... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch
Matrix– Logisches Netzwerk, konfiguriert als rechteckige Anordnung von Schnittpunkten von Eingangs-/Ausgangskanälen. Matrix Ein System von Elementen (Zahlen, Funktionen und andere Größen), die in Form eines Rechtecks angeordnet sind... ... Leitfaden für technische Übersetzer
Obere Dreiecksmatrix
Dreiecksmatrix- eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.
Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix
Obere Dreiecksmatrix- eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.
Untere Dreiecksmatrix- eine quadratische Matrix, in der alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind.
Einheitsdreieckige Matrix(oben oder unten) – eine dreieckige Matrix, in der alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich eins sind.
Dreiecksmatrizen werden hauptsächlich zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet, wenn die Matrix des Systems mithilfe des folgenden Satzes auf Dreiecksform reduziert wird:
Das Lösen linearer Gleichungssysteme mit einer Dreiecksmatrix (umgekehrt) ist nicht schwierig.
Eigenschaften
- Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente auf ihrer Hauptdiagonale.
- Die Determinante einer Einheitsdreiecksmatrix ist gleich eins.
- Die Menge der nicht singulären oberen dreieckigen Ordnungsmatrizen N durch Multiplikation mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Gruppe, die bezeichnet wird UT(N, k) oder UT N (k).
- Die Menge der nicht singulären unteren dreieckigen Ordnungsmatrizen N durch Multiplikation mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Gruppe, die bezeichnet wird LT(N, k) oder LT N (k).
- Satz oberer einheitlicher Dreiecksmatrizen mit Elementen aus dem Feld k bildet eine Untergruppe UT N (k) durch Multiplikation, die bezeichnet wird SUT(N, k) oder SUT N (k). Eine ähnliche Untergruppe niedrigerer Einheitsdreiecksmatrizen wird bezeichnet SLT(N, k) oder SLT N (k).
- Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen mit Elementen aus dem Ring k bildet eine Algebra bezüglich der Operationen Addition, Multiplikation mit Ringelementen und Matrixmultiplikation. Eine ähnliche Aussage gilt für untere Dreiecksmatrizen.
- Gruppe UT n ist lösbar, und seine einheitliche dreieckige Untergruppe SUT n nullpotent.
siehe auch
Wikimedia-Stiftung. 2010.
Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Obere Dreiecksmatrix“ ist:
Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale Null sind. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix Obere Dreiecksmatrix ... Wikipedia
Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind
Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Ein Beispiel für eine obere Dreiecksmatrix Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind
Um diesen Artikel zu verbessern, ist es wünschenswert?: Links zu maßgeblichen Quellen, die das Geschriebene bestätigen, finden und in Form von Fußnoten anordnen. Geben Sie nach dem Hinzufügen von Fußnoten genauere Quellenangaben an. Abbildungen hinzufügen... Wikipedia
Darstellung einer symmetrischen positiv-definiten Matrix in der Form, bei der es sich um eine untere Dreiecksmatrix mit streng positiven Elementen auf der Diagonale handelt. Manchmal wird die Zerlegung in einer äquivalenten Form geschrieben: , wobei die obere Dreiecksmatrix ist.... ... Wikipedia
SFLASH ist ein asymmetrischer digitaler Signaturalgorithmus, der 2003 vom europäischen Projekt NESSIE empfohlen wurde. SFLASH basiert auf der Matsumoto Imai(MI)-Schaltung, auch C* genannt. Der Algorithmus gehört zur Familie der mehrdimensionalen Public-Key-Schemata, also... ... Wikipedia
Orthogonalisierungsprozess, ein Algorithmus zum Konstruieren eines orthogonalen Systems von Vektoren ungleich Null, die denselben Unterraum in V erzeugen, für ein gegebenes linear unabhängiges Vektorsystem in einem euklidischen oder hermitischen Raum V. Der bekannteste ist... ... Mathematische Enzyklopädie
Korrelationskoeffizient- (Korrelationskoeffizient) Der Korrelationskoeffizient ist ein statistischer Indikator für die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen. Definition des Korrelationskoeffizienten, Arten von Korrelationskoeffizienten, Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten, Berechnung und Anwendung... ... Investoren-Enzyklopädie
Die Schwächungsmethode, die Methode der iterativen Lösung eines Systems linearer algebraischer Systeme. Gleichungen Ax=b, der elementare Schritt besteht darin, nur eine Komponente des Vektors der Unbekannten zu ändern, und die Nummern der geänderten Komponenten werden in einem bestimmten zyklischen Zyklus ausgewählt... Mathematische Enzyklopädie
Wenn die obere Dreiecksmatrix n 2 Elemente hat, ist ungefähr die Hälfte davon Null und es besteht keine Notwendigkeit, sie explizit zu speichern. Wenn wir konkret n Diagonalelemente von der Summe von n 2 Elementen subtrahieren, ist die Hälfte der verbleibenden Elemente Null. Bei n=25 gibt es beispielsweise 300 Elemente mit dem Wert 0:
(n 2 -n)/2 = (25 2 -25)/2=(625-25)/2 = 300
Die Summe bzw. Differenz zweier Dreiecksmatrizen A und B erhält man durch Addition bzw. Subtraktion der entsprechenden Matrixelemente. Die resultierende Matrix ist dreieckig.
Addition C = A + B
Subtraktion C = A - B
wobei C eine Dreiecksmatrix mit den Elementen C i, j = A i, j + B i, j ist.
Multiplikation C = A * B
Die resultierende Matrix C ist eine Dreiecksmatrix mit den Elementen C i, j, deren Werte aus den Elementen der Zeile i der Matrix A und der Spalte j der Matrix B berechnet werden:
C i , j =(A i ,0 *B 0, j)+ (A i ,1 *B 1, j)+ (A i ,2 *B 2, j)+…+ (A i , n -1 *B n -1, j)
Für eine allgemeine quadratische Matrix ist die Determinante eine schwer zu berechnende Funktion, aber die Berechnung der Determinante einer Dreiecksmatrix ist nicht schwierig. Ermitteln Sie einfach das Produkt der Elemente auf der Diagonale.
Dreieckiger Matrixspeicher
Die Verwendung eines standardmäßigen zweidimensionalen Arrays zum Speichern der oberen Dreiecksmatrix erfordert die Nutzung des gesamten Speichers der Größe n 2 , trotz der vorhergesagten Nullstellen unterhalb der Diagonale. Um diesen Platz zu eliminieren, speichern wir die Elemente der Dreiecksmatrix in einem eindimensionalen Array M. Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale werden nicht gespeichert. Tabelle 3.1 zeigt die Anzahl der Elemente, die in jeder Zeile gespeichert sind.
Dreieckiger Matrixspeicher
Tabelle 1
Der Speicheralgorithmus erfordert eine Zugriffsfunktion, die die Position des Elements A i, j im Array M bestimmen muss. Für j< i элемент A i , j является равным 0 и не сохраняется в М. Для j ³ i функция доступа использует информацию о числе сохраняемых элементов в каждой строке вплоть до строки i. Эта информация может быть вычислена для каждой строки i и сохранена в массиве (rowTable) для использования функцией доступа.
Beispiel 4.
Vorausgesetzt, dass die Elemente der Dreiecksmatrix zeilenweise im Array M gespeichert sind, verwendet die Zugriffsfunktion für A i, j die folgenden Parameter:
Indizes i und j,
rowTable-Array
Der Zugriffsalgorithmus für das Element A i, j lautet wie folgt:
Wenn j Wenn j³i, dann wird der Wert von rowTable[i] erhalten, der die Anzahl der Elemente ist, die im Array M gespeichert sind, für Elemente bis zur Zeile i. In Zeile i sind die ersten i Elemente Null und werden nicht in M gespeichert. Das Element A i, j wird in M+(j-i)] platziert. Beispiel 5. Betrachten Sie die Dreiecksmatrix X aus Beispiel 3.4: 1.X 0,2 =M=M=M=0 2.X 1.0 nicht gespeichert 3.X 1,2 =M+(2-1)]=M=M=1 TriMat-Klasse Die TriMat-Klasse implementiert eine Reihe von Dreiecksmatrixoperationen. Subtraktion und Multiplikation einer Dreiecksmatrix bleiben den Übungen am Ende des Kapitels vorbehalten. Angesichts der Einschränkung, dass wir nur statische Arrays verwenden dürfen, begrenzt unsere Klasse die Zeilen- und Spaltengröße auf 25. Wir werden 300=(25 2 -25)/2 Nullelemente haben, also muss Array M 325 Elemente enthalten. Spezifikation der TriMat-Klasse BEKANNTMACHUNG #enthalten #enthalten // maximale Anzahl von Elementen und Zeilen // obere Dreiecksmatrix const int ELEMENTLIMIT = 325; const int ROWLIMIT = 25; // private Datenmitglieder int rowTable; // Startindex des Strings in M int n; // Zeilen-/Spaltengröße doppeltes M; // Konstruktor mit Parametern TriMat(int matsize); // Zugriffsmethoden auf Matrixelemente void PutElement(double item, int i, int j); double GetElement(int i, int j) const; // Matrixarithmetische Operationen TriMat AddMat(const TriMat& A) const; double DelMat(void) const; // Matrix-E/A-Operationen void ReadMat(void); void WriteMat(void) const; // Matrixdimension abrufen int GetDimension(void) const; BESCHREIBUNG Der Konstruktor akzeptiert die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix. Die Methoden PutElement und GetElement speichern die Elemente einer oberen Dreiecksmatrix und geben sie zurück. GetElement gibt 0 für Elemente unterhalb der Diagonale zurück. AddMat gibt die Summe der Matrix A mit dem aktuellen Objekt zurück. Diese Methode ändert den Wert der aktuellen Matrix nicht. Die I/O-Operatoren ReadMat und WriteMat wirken auf alle Elemente einer n x n-Matrix. Die ReadMat-Methode selbst speichert nur die oberen Dreieckselemente der Matrix. #include trimat.h // die TriMat-Klasse einschließen TriMat A (10), B (10), C (10); // 10x10 Dreiecksmatrizen A.ReadMat(); // Geben Sie die Matrizen A und B ein C = A.AddMat(B); // berechne C = A + B C.WriteMat(); // C drucken Implementierung der TriMat-Klasse Der Konstruktor initialisiert das private Mitglied n mit dem Parameter matsize. Dadurch wird die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix festgelegt. Derselbe Parameter wird zum Initialisieren des rowTable-Arrays verwendet, das für den Zugriff auf Matrixelemente verwendet wird. Wenn matsize ROWLIMIT überschreitet, wird eine Fehlermeldung ausgegeben und die Programmausführung unterbrochen. // n und rowTable initialisieren TriMat::TriMat (int matsize) int gespeicherteElemente = 0; // Programm abbrechen, wenn matsize größer als ROWLIMIT ist if (matsize > ROWLIMIT) cerr<< "Превышен размер матрицы" << ROWLIMIT << "x" << ROWLIMIT << endl; // decke den Tisch für (int i = 0; i< n; i++) rowTable[i] = gespeicherteElemente; gespeicherte Elemente += n - i; Matrix-Zugriffsmethoden. Der Schlüssel bei der Arbeit mit Dreiecksmatrizen ist die Fähigkeit, Elemente ungleich Null effizient in einem linearen Array zu speichern. Um diese Effizienz zu erreichen und dennoch die normalen zweidimensionalen Indizes i und j für den Zugriff auf ein Matrixelement zu verwenden, benötigen wir die Funktionen PutElement und GetElement, um die Matrixelemente in einem Array zu speichern und zurückzugeben. Die GetDimension-Methode gibt dem Client Zugriff auf die Größe der Matrix. Diese Informationen können verwendet werden, um sicherzustellen, dass Accessoren Parameter übergeben werden, die der richtigen Zeile und Spalte entsprechen: // Matrixdimension n zurückgeben int TriMat::GetDimension(void) const Die PutElement-Methode überprüft die Indizes i und j. Wenn j ³ i, speichern wir den Datenwert in M mithilfe der Matrixzugriffsfunktion für Dreiecksmatrizen: Wenn i oder j nicht im Bereich 0 liegt. . (n-1), dann endet das Programm: // schreibe das Matrixelement in Array M void TriMat::PutElement (double item, int i, int j) // Programm abbrechen, wenn die Indizes des Elements außerhalb liegen // Indexbereich wenn ich< 0 || i >= n) || (J< 0 |1 j >= n)) cerr<< "PutElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl; // alle Elemente unterhalb der Diagonale werden ignoriert, wenn (j >= i) M + j-i] = Artikel; Um ein beliebiges Element abzurufen, überprüft die GetElement-Methode die Indizes i und j. Wenn i oder j nicht im Bereich 0...(n - 1) liegen, endet das Programm. Wenn j // Holen Sie sich das Matrixelement des Arrays M double TriMat::GetElement(int i, int j) const // Programm abbrechen, wenn die Indizes außerhalb des Indexbereichs liegen wenn ich< 0 || i >= n) || (J< 0 |I j >= n)) cerr<< "GetElement: индекс вне диапазона 0-"<< n-1 << endl; // das Element zurückgeben, wenn es über der Diagonale liegt return M + j-i]; // Element ist 0, wenn es unterhalb der Diagonale liegt Eingabe/Ausgabe von Matrixobjekten. Traditionell umfasst die Matrixeingabe die zeilenweise Eingabe von Daten mit einem vollständigen Satz an Zeilen- und Spaltenwerten. In einem TriMat-Objekt ist die untere Dreiecksmatrix null und die Werte werden nicht im Array gespeichert. Der Benutzer wird jedoch aufgefordert, diese Nullwerte einzugeben, um die normale Matrixeingabe beizubehalten. // alle (n x n) Elemente void TriMat::ReadMat (void) for(i = 0; i for(j = 0; j //Zeilenweise Ausgabe von Matrixelementen an den Stream void TriMat::WriteMat (void) const // Ausgabemodus festlegen cout. setf (ios::fixed) ; cout.precision(3) ; cout.setf (ios::showpoint) ; für (i =0; i< n; i++) für (j = 0; j< n; j++) cout<< setw(7) << GetElement (i,j); cout<< endl; Matrixoperationen. Die TriMat-Klasse verfügt über Methoden zur Berechnung der Summe zweier Matrizen und der Determinante einer Matrix. Die AddMat-Methode benötigt einen einzelnen Parameter, der der rechte Operand in der Summe ist. Das aktuelle Objekt entspricht dem linken Operanden. Beispielsweise wird die AddMat-Methode für Objekt X verwendet, um die Summe der Dreiecksmatrizen X und Y zu berechnen. Angenommen, die Summe ist in Objekt Z gespeichert Z = X + Y verwenden Sie den Operator Z = X.AddMat(Y) ; Der Algorithmus zum Hinzufügen zweier Objekte vom Typ TriMat gibt eine neue Matrix B mit den Elementen B i, j = CurrentObjecty i, j + A i, j zurück: // gibt die Summe aus Strom und Matrix A zurück. // Das aktuelle Objekt ändert sich nicht TriMat TriMat::AddMat (const TriMat& A) const double itemCurrent, itemA; TriMat B(A.n); // B enthält die erforderliche Menge für (i = 0; i< n; i++) // цикл по строкам für (j = i; j< n; j++) // пропускать элементы ниже диагонали itemCurrent=GetElement i, j); itemA = A.GetElement(i, j); B. PutElement(itemCurrent + itemA, i, j); Die DetMat-Methode gibt die Determinante des aktuellen Objekts zurück. Der Rückgabewert ist eine reelle Zahl, die das Produkt der Diagonalelemente ist. Den vollständigen Code zur Implementierung der TriMat-Klasse finden Sie in der Softwareanwendung. In diesem Thema betrachten wir das Konzept einer Matrix sowie die Arten von Matrizen. Da dieses Thema viele Begriffe enthält, werde ich eine kurze Zusammenfassung hinzufügen, um die Navigation durch das Material zu erleichtern. Matrix ist eine Tabelle mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Die Elemente einer Matrix können Objekte ganz anderer Art sein: Zahlen, Variablen oder beispielsweise andere Matrizen. Beispielsweise enthält die Matrix $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 Zeilen und 2 Spalten; seine Elemente sind ganze Zahlen. Die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ enthält 2 Zeilen und 4 Spalten. Verschiedene Möglichkeiten, Matrizen zu schreiben: Einblenden/Ausblenden Die Matrix kann nicht nur in runden, sondern auch in eckigen oder doppelten geraden Klammern geschrieben werden. Das heißt, die folgenden Einträge bedeuten dieselbe Matrix: $$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$ Das Produkt $m\times n$ heißt Matrixgröße. Wenn eine Matrix beispielsweise 5 Zeilen und 3 Spalten enthält, dann sprechen wir von einer Matrix der Größe $5\times 3$. Die Matrix $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ hat die Größe $3 \times 2$. Typischerweise werden Matrizen mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: $A$, $B$, $C$ und so weiter. Beispiel: $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Die Zeilennummerierung erfolgt von oben nach unten; Spalten - von links nach rechts. Beispielsweise enthält die erste Zeile der Matrix $B$ die Elemente 5 und 3 und die zweite Spalte enthält die Elemente 3, -87, 0. Elemente von Matrizen werden üblicherweise mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Beispielsweise werden die Elemente der Matrix $A$ mit $a_(ij)$ bezeichnet. Der Doppelindex $ij$ enthält Informationen über die Position des Elements in der Matrix. Die Zahl $i$ ist die Zeilennummer und die Zahl $j$ ist die Spaltennummer, an deren Schnittpunkt sich das Element $a_(ij)$ befindet. Zum Beispiel am Schnittpunkt der zweiten Zeile und der fünften Spalte der Matrix $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ Element $ a_(25)= $59: Auf die gleiche Weise haben wir am Schnittpunkt der ersten Zeile und der ersten Spalte das Element $a_(11)=51$; am Schnittpunkt der dritten Zeile und der zweiten Spalte - das Element $a_(32)=-15$ und so weiter. Beachten Sie, dass der Eintrag $a_(32)$ „a three two“, aber nicht „a dreißig two“ lautet. Um die Matrix $A$, deren Größe $m\times n$ beträgt, abzukürzen, wird die Notation $A_(m\times n)$ verwendet. Sie können es etwas detaillierter schreiben: $$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$ wobei die Notation $(a_(ij))$ die Elemente der Matrix $A$ bezeichnet. In ihrer vollständig erweiterten Form kann die Matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ wie folgt geschrieben werden: $$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$ Lassen Sie uns einen anderen Begriff einführen - gleiche Matrizen. Es werden zwei Matrizen gleicher Größe $A_(m\times n)=(a_(ij))$ und $B_(m\times n)=(b_(ij))$ aufgerufen gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind, d.h. $a_(ij)=b_(ij)$ für alle $i=\overline(1,m)$ und $j=\overline(1,n)$. Erklärung zum Eintrag $i=\overline(1,m)$: show\hide Die Notation „$i=\overline(1,m)$“ bedeutet, dass der Parameter $i$ von 1 bis m variiert. Beispielsweise gibt die Notation $i=\overline(1,5)$ an, dass der Parameter $i$ die Werte 1, 2, 3, 4, 5 annimmt. Damit Matrizen gleich sind, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: Übereinstimmung der Größen und Gleichheit der entsprechenden Elemente. Beispielsweise ist die Matrix $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nicht gleich der Matrix $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, weil die Matrix $A$ die Größe $3\times 2$ und die Matrix $B$ hat hat die Größe $2\times $2. Außerdem ist die Matrix $A$ nicht gleich der Matrix $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , da $a_( 21)\neq c_(21)$ (d. h. $0\neq 98$). Aber für die Matrix $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ können wir sicher $A= schreiben F$, weil sowohl die Größen als auch die entsprechenden Elemente der Matrizen $A$ und $F$ übereinstimmen. Beispiel Nr. 1 Bestimmen Sie die Größe der Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Geben Sie an, was die Elemente $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ sind. Diese Matrix enthält 5 Zeilen und 3 Spalten, daher beträgt ihre Größe $5\times 3$. Sie können für diese Matrix auch die Notation $A_(5\times 3)$ verwenden. Das Element $a_(12)$ befindet sich am Schnittpunkt der ersten Zeile und der zweiten Spalte, also $a_(12)=-2$. Das Element $a_(33)$ befindet sich am Schnittpunkt der dritten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(33)=23$. Das Element $a_(43)$ befindet sich am Schnittpunkt der vierten Zeile und der dritten Spalte, also $a_(43)=-5$. Antwort: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$. Gegeben sei eine bestimmte Matrix $A_(m\times n)$. Wenn $m=1$ (die Matrix besteht aus einer Zeile), dann wird die gegebene Matrix aufgerufen Matrixzeile. Wenn $n=1$ (die Matrix besteht aus einer Spalte), dann heißt eine solche Matrix Matrixspalte. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ eine Zeilenmatrix und $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ ist eine Spaltenmatrix. Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m\neq n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist nicht gleich der Anzahl der Spalten), dann wird oft gesagt, dass $A$ ein Rechteck ist Matrix. Beispielsweise hat die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ die Größe $2\times 4 $, jene. enthält 2 Zeilen und 4 Spalten. Da die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist, ist diese Matrix rechteckig. Wenn die Matrix $A_(m\times n)$ die Bedingung $m=n$ erfüllt (d. h. die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten), dann wird $A$ als quadratische Matrix der Ordnung $ bezeichnet n$. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ eine quadratische Matrix zweiter Ordnung; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ist eine quadratische Matrix dritter Ordnung. Im Allgemeinen kann die quadratische Matrix $A_(n\times n)$ wie folgt geschrieben werden: $$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$ Die Elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ gelten als on Hauptdiagonale Matrizen $A_(n\times n)$. Diese Elemente werden aufgerufen Hauptdiagonalelemente(oder nur diagonale Elemente). Die Elemente $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sind on seitliche (kleine) Diagonale; Sie heißen seitliche Diagonalelemente. Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ wir haben: Die Elemente $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sind die Hauptdiagonalelemente; Elemente $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sind Seitendiagonalelemente. Die Summe der Hauptdiagonalelemente wird aufgerufen gefolgt von der Matrix und wird mit $\Tr A$ (oder $\Sp A$) bezeichnet: $$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$ Zum Beispiel für die Matrix $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ wir haben: $$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$ Das Konzept der Diagonalelemente wird auch für nichtquadratische Matrizen verwendet. Zum Beispiel für die Matrix $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ die Hauptdiagonalelemente sind $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$. Wenn alle Elemente der Matrix $A_(m\times n)$ gleich Null sind, dann heißt eine solche Matrix Null und wird normalerweise mit dem Buchstaben $O$ bezeichnet. Zum Beispiel: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - Nullmatrizen. Die Matrix $A_(m\times n)$ habe die folgende Form: Dann wird diese Matrix aufgerufen trapezförmig. Es darf keine Nullzeilen enthalten, aber wenn sie vorhanden sind, befinden sie sich am unteren Rand der Matrix. In einer allgemeineren Form kann eine Trapezmatrix wie folgt geschrieben werden: Auch hier sind nachgestellte Nullzeilen nicht erforderlich. Diese. Formal können wir die folgenden Bedingungen für eine trapezförmige Matrix unterscheiden: Beispiele für trapezförmige Matrizen: Kommen wir zur nächsten Definition. Die Matrix $A_(m\times n)$ wird aufgerufen trat, wenn es die folgenden Bedingungen erfüllt: Schrittmatrizen wären zum Beispiel: Zum Vergleich: die Matrix $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ist kein Echelon, da die dritte Zeile denselben Nullteil wie die zweite Zeile hat. Das heißt, das Prinzip „Je niedriger die Linie, desto größer der Nullteil“ wird verletzt. Ich möchte hinzufügen, dass eine Trapezmatrix ein Sonderfall einer Stufenmatrix ist. Kommen wir zur nächsten Definition. Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die sich unter der Hauptdiagonale befinden, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen obere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ ist eine obere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer oberen Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die über der Hauptdiagonale oder auf der Hauptdiagonale liegen. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Beispielsweise ist $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix. Wenn alle Elemente einer quadratischen Matrix, die über der Hauptdiagonale liegen, gleich Null sind, wird eine solche Matrix aufgerufen untere Dreiecksmatrix. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - untere Dreiecksmatrix. Beachten Sie, dass die Definition einer unteren Dreiecksmatrix nichts über die Werte der Elemente aussagt, die sich unter oder auf der Hauptdiagonale befinden. Sie können Null sein oder nicht – das spielt keine Rolle. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ und $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sind ebenfalls untere Dreiecksmatrizen. Die quadratische Matrix heißt Diagonale, wenn alle Elemente dieser Matrix, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen, gleich Null sind. Beispiel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Die Elemente auf der Hauptdiagonale können alles sein (gleich Null oder nicht) – es spielt keine Rolle. Die Diagonalmatrix heißt einzel, wenn alle auf der Hauptdiagonalen liegenden Elemente dieser Matrix gleich 1 sind. Zum Beispiel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ – Identitätsmatrix vierter Ordnung; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ist die Identitätsmatrix zweiter Ordnung.Definition einer Matrix und ihres Elements. Notation.
Arten von Matrizen abhängig von ihrer Größe. Haupt- und Nebendiagonalen. Matrixspur.
Arten von Matrizen abhängig von den Werten ihrer Elemente.
