Lektion „Wie man einen Graphen der Funktion y = f(kx) erstellt, wenn der Graph der Funktion y = f(x) bekannt ist.“ Diagramme konvertieren

Das in der Videolektion präsentierte Material ist eine Fortsetzung des Themas der Konstruktion von Funktionsgraphen mithilfe verschiedener Transformationen. Wir werden uns ansehen, wie der Graph einer Funktion dargestellt wird y=F(kx), wenn der Graph der Funktion bekannt ist y=F(X) . In diesem Fall k- jede reelle Zahl ungleich Null.

Betrachten wir zunächst den Fall, wann k- positive Zahl. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Graphen der Funktion erstellen y=F(3 X) , wenn der Graph einer Funktion y=F(X) wir haben. Die Abbildung zeigt einen Graphen auf der Koordinatenachse y=F(X), auf denen es Punkte mit den Koordinaten A und B gibt. Auswahl beliebiger Werte X und sie in die Funktion einzusetzen y=F(3 X), finden Sie die entsprechenden Funktionswerte bei. Somit erhalten wir die Graphenpunkte der Funktion y=F(3 X) A 1 und B 1, deren Ordinaten mit denen der Punkte A und B übereinstimmen. Das heißt, wir können dies aus dem Funktionsgraphen sagen y=F(X) durch Kompression mit einem Koeffizienten k Auf der Ordinatenachse können Sie ein Diagramm der Funktion erhalten y=F(kx) . Es ist wichtig zu beachten, dass die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse beim Komprimieren an der gleichen Stelle bleiben.

Falls k- negative Zahl, Graph einer Funktion y=F(kx) aus dem Graphen einer Funktion umgewandelt y=F(X) durch Strecken von der y-Achse mit einem Koeffizienten 1/ k.

1) Zunächst wird ein Teil der Welle des Funktionsgraphen aufgetragen y =SündeX(siehe Bild);

2) weil k= 2, der Funktionsgraph wird komprimiert y=sinx Zur Ordinatenachse beträgt das Komprimierungsverhältnis 2. Finden Sie den Schnittpunkt mit der Achse X. Weil Graph einer Funktion y =SündeX schneidet die x-Achse im Punkt π, dann der Graph der Funktion y =Sünde 2X schneidet die x-Achse im Punkt π/k = π/2. Alle anderen Punkte auf dem Funktionsgraphen werden auf ähnliche Weise gefunden y =Sünde 2x und der gesamte Graph wird aus diesen Punkten erstellt.

Betrachten wir das zweite Beispiel – das Zeichnen einer Funktion y =cos(x/2).

1) Erstellen Sie einen Teil des Wellengraphen der Funktion y = cos X(siehe Bild);

2) weil k=1/2, strecke den Graphen der Funktion y =SündeX von der Ordinatenachse mit dem Faktor ½.

Finden Sie den Schnittpunkt des Diagramms mit der Achse X. Weil Graph einer Funktion y =cosX schneidet die x-Achse im Punkt π/2, dann der Graph der Funktion y =cos(x/2) schneidet die x-Achse im Punkt π. Auf die gleiche Weise finden wir alle anderen Punkte des Funktionsgraphen y =cos(x/2) Lassen Sie uns das gesamte Diagramm basierend auf diesen Punkten erstellen.

Betrachten Sie als Nächstes die Möglichkeit, einen Graphen der Funktion zu erstellen j= F(kx), Wo k- Die Zahl ist negativ. Zum Beispiel wann k= -1 Funktion j= F(kx) = F(- X). Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(X), auf denen es Punkte mit den Koordinaten A und B gibt. Indem man beliebige Werte von x wählt und sie in die Funktion einsetzt j= F(- X), Finden Sie die entsprechenden Funktionswerte bei. Lassen Sie uns die Diagrammpunkte der Funktion ermitteln j= F(- X) A 1 und B 1, die relativ zur Ordinatenachse symmetrisch zu den Punkten A und B sind. Das heißt, wenn die Symmetrie um die Ordinatenachse aus dem Funktionsgraphen verwendet wird y=F(kx) Wir erhalten den Graphen der Funktion y=F(- X).

Fahren wir mit dem Zeichnen der Funktion fort j= F(kx) bei k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) Lassen Sie uns einen Teil der Welle des Diagramms darstellen y =SündeX;

2) weil k= 4, strecken wir die Halbwelle des Diagramms relativ zur Abszissenachse, wobei der Streckungsfaktor 4 beträgt;

3) Führen Sie eine symmetrische Transformation relativ zur Abszissenachse durch;

4) Dehnung von der Ordinatenachse (Dehnungskoeffizient beträgt 2);

5) Vervollständigen Sie die Konstruktion des gesamten Diagramms.

In diesem Video-Tutorial haben wir uns im Detail angeschaut, wie Sie Schritt für Schritt einen Graphen einer Funktion erstellen können y=F(kx) bei unterschiedlichen Werten k.

TEXTDEKODIERUNG:

Heute lernen wir eine Transformation kennen, die Ihnen hilft, die Funktion y = f (kx) grafisch darzustellen.

(das y ist gleich dem eff des Arguments, das das Produkt von ka und x darstellt), wenn der Graph der Funktion y = f (x) bekannt ist (das y ist gleich dem ef von x), wobei ka ist jede reelle Zahl (außer Null).“

1) Betrachten Sie den Fall, dass k eine positive Zahl ist, anhand eines konkreten Beispiels, wenn k = 3. Das heißt, Sie müssen die Funktion grafisch darstellen

y = f (3x) (das y ist gleich dem eff von drei x), wenn der Graph der Funktion y = f (x) bekannt ist. Auf dem Graphen der Funktion y = f (x) gebe es einen Punkt A mit den Koordinaten (6; 5) und B mit den Koordinaten (-3; 2). Das bedeutet, dass f (6) = 5 und f (- 3) = 2 (der ef von sechs ist fünf und der ef von minus drei ist zwei). Verfolgen wir die Bewegung dieser Punkte, wenn wir einen Graphen der Funktion y = f (3x) erstellen.

Nehmen wir einen beliebigen Wert x = 2, berechnen wir y, indem wir den Wert von x in den Graphen der Funktion y = f (3x) einsetzen. Wir erhalten y = 5. (auf dem Bildschirm: y = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​​​Das heißt, auf dem Graphen der Funktion y = f (3x) gibt es einen Punkt mit A 1-Koordinaten (2; 5). Wenn x = - 1, dann erhalten wir durch Einsetzen des Werts von x in den Graphen der Funktion y = f (3x) den Wert y = 2.

(Auf dem Bildschirm: y = f (3x) = f (- 1∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Das heißt, auf dem Graphen der Funktion y = f (3x) gibt es einen Punkt mit den Koordinaten B 1 (- 1; 2). Auf dem Graphen der Funktion y = f (3x) gibt es also Punkte mit der gleichen Ordinate wie auf dem Graphen der Funktion y = f (x), während die Abszisse des Punktes im Absolutwert um das Zweifache kleiner ist.

Das Gleiche gilt für andere Punkte im Graphen der Funktion y = f (x), wenn wir zum Graphen der Funktion y = f (3x) übergehen.

Typischerweise wird eine solche Transformation als Komprimierung um die y-Achse (y-Achse) mit dem Faktor 3 bezeichnet.

Folglich wird der Graph der Funktion y = f (kx) aus dem Graphen der Funktion y = f (x) erhalten, indem er mit einem Koeffizienten k auf die y-Achse komprimiert wird. Beachten Sie, dass bei einer solchen Transformation der Schnittpunkt des Graphen der Funktion y = f (x) mit der Ordinate an Ort und Stelle bleibt.

Wenn k kleiner als eins ist, sprechen wir nicht von einer Kompression mit einem Koeffizienten von k, sondern von einer Dehnung von der y-Achse mit einem Koeffizienten (das heißt, wenn k = , dann sprechen wir von einer Dehnung mit einem Koeffizienten von 4). ).

BEISPIEL 1. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = sin 2x (das y ist gleich dem Sinus von zwei x).

Lösung. Konstruieren wir zunächst eine Halbwelle des Graphen y = sin x im Intervall von Null bis Pi. Da der Koeffizient gleich zwei ist, was bedeutet, dass k eine positive Zahl größer als eins ist, komprimieren wir den Graphen der Funktion y = sin x mit einem Koeffizienten von 2 auf die Ordinatenachse. Finden Sie den Schnittpunkt mit der OX-Achse . Wenn der Graph der Funktion y = sin x die OX-Achse im Punkt π schneidet, dann schneidet der Graph der Funktion y = sin 2x im Punkt (π: k =π: 2 =) (pi geteilt durch pi gleich pi dividiert durch zwei ergibt pi durch zwei). Auf ähnliche Weise finden wir alle anderen Punkte des Graphen der Funktion y = sin2 x. Somit entspricht ein Punkt im Diagramm der Funktion y = sin x mit den Koordinaten (;1) einem Punkt im Diagramm der Funktion y = sin 2x mit den Koordinaten (;1). Somit erhalten wir eine Halbwelle des Graphen der Funktion y = sin 2x. Mithilfe der Periodizität der Funktion erstellen wir den gesamten Graphen.

BEISPIEL 2. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = cos (das y ist gleich dem Kosinus des Quotienten von x und zwei).

Lösung. Erstellen wir zunächst eine Halbwelle des Graphen y = cos x. Da k eine positive Zahl kleiner als e Eins ist, strecken wir den Graphen der Funktion y = cos x von der Ordinate aus mit dem Faktor 2.

Finden wir den Schnittpunkt mit der OX-Achse. Wenn der Graph der Funktion y = cos x die OX-Achse in einem Punkt schneidet, dann schneidet sich der Graph der Funktion y = cos im Punkt π. (: k =π: = π). Auf ähnliche Weise finden wir alle anderen Punkte im Graphen der Funktion y = cos. Somit erhalten wir eine Halbwelle des gewünschten Funktionsgraphen. Mithilfe der Periodizität der Funktion erstellen wir den gesamten Graphen.

Betrachten wir den Fall, dass k gleich minus eins ist. Das heißt, Sie müssen einen Graphen der Funktion y = f (-x) erstellen (das y ist gleich eff von minus x), wenn der Graph der Funktion y = f (x) bekannt ist. Es gebe einen Punkt A im Diagramm mit den Koordinaten (4; 5) und einen Punkt B (-5; 1). Das bedeutet, dass f(4) = 5 und f(-5) = 1.

Denn wenn wir y = f (-x) anstelle von x = - 4 in die Formel einsetzen, erhalten wir y = f (4) = 5, dann gibt es auf dem Graphen der Funktion y = f (-x) einen Punkt mit Koordinaten A 1

(- 4; 5) (minus vier, fünf). Ebenso gehört der Graph der Funktion y = f (-x) zum Punkt B 1 (5; 1). Das heißt, der Graph der Funktion y = f (x) gehört zu den Punkten A (4; 5) und B (-5; 1) und der Graph der Funktion y = f (-x) gehört zu den Punkten A 1 (- 4; 5) und B 1 (5; 1). Diese Punktpaare sind symmetrisch zur Ordinatenachse.

Folglich kann der Graph der Funktion y = f (-x) aus dem Graphen der Funktion y = f (x) mithilfe einer Symmetrietransformation um die Ordinatenachse erhalten werden.

3) Und schließlich betrachten wir den Fall, dass k eine negative Zahl ist. Wenn man bedenkt, dass die Gleichheit f (kx) = f (- |k|x) (eff aus dem Produkt von ka durch x ist gleich ef aus dem Produkt des Minusmoduls von ka und x) fair ist, dann sprechen wir über das Konstruieren ein Graph der Funktion y = f (- |k |x), der Schritt für Schritt aufgebaut werden kann:

1) Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = f (x);

2) Unterziehen Sie den konstruierten Graphen einer Kompression oder Streckung zur Ordinatenachse mit einem Koeffizienten |k| (Modul ka);

3) Führen Sie eine Symmetrietransformation um die y-Achse durch

(Y), erhalten im zweiten Absatz des Diagramms.

BEISPIEL 3. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = 4 sin (-) (das y ist gleich vier multipliziert mit dem Sinus des Quotienten minus x mal zwei).

Lösung. Denken Sie zunächst daran, dass sin(- t) = -sint (der Sinus von minus te ist gleich minus Sinus te), was y = 4 sin (-) = - 4 sin (das y ist gleich minus viermal) bedeutet der Sinus des Teils x durch zwei). Wir werden es in Etappen aufbauen:

1) Konstruieren wir eine Halbwelle des Graphen der Funktion у= sinх.

2) Dehnen wir den konstruierten Graphen von der x-Achse aus um den Faktor 4 und erhalten wir eine Halbwelle des Funktionsgraphen

y = 4sinx (E entspricht dem Vierfachen des Sinus x).

3) Wenden Sie eine Symmetrietransformation relativ zur x(x)-Achse auf die konstruierte Halbwelle des Graphen der Funktion y= 4sinх an und erhalten Sie eine Halbwelle des Graphen der Funktion y= - 4sinx.

4) Für eine Halbwelle des Graphen der Funktion y = - 4sinх strecken wir ihn von der Ordinatenachse mit dem Faktor 2; wir erhalten eine Halbwelle des Graphen der Funktion - 4 sin.

5) Aus der resultierenden Halbwelle erstellen wir den gesamten Graphen.

>> So erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = f(kx), wenn der Graph der Funktion bekannt ist

§13. So stellen Sie die Funktion y = f(kx) grafisch dar, wenn der Graph der Funktion bekannt ist

In diesem Abschnitt lernen wir eine weitere Transformation kennen, die das Wissen ermöglicht Zeitplan Funktionen y = f(x) erstellen Sie recht schnell einen Graphen der Funktion y = f(Ax), wobei k eine beliebige reelle Zahl (außer Null) ist. Betrachten wir mehrere Fälle.

Aufgabe 1. Wenn Sie den Graphen der Funktion y = f(x) kennen, erstellen Sie einen Graphen der Funktion y - f(kx), wobei k eine positive Zahl ist.
Damit Sie das Wesentliche besser verstehen, betrachten Sie ein konkretes Beispiel für k = 2. Wie konstruiert man einen Graphen der Funktion y = f(2x), wenn der Graph der Funktion y = f(x) bekannt ist?

Der Graph der Funktion y = f(x) habe die Punkte (4; 7) und (-2; 3). Das bedeutet, dass f(4) = 7 und f(-2) = 3. Wohin bewegen sich die Punkte, wenn wir die Funktion y = f(2x) grafisch darstellen? Schauen Sie (Abb. 50): Wenn x = 2, dann y = f(2x) = f(2 · 2) = f(4) = 7. Dies bedeutet, dass auf dem Graphen der Funktion y = f(2x) gilt ein Punkt (2; 7 ). Wenn außerdem x = -1, dann ist y = f(2x) = D-1-2) = f(-2) = 3. Das bedeutet, dass es auf dem Graphen der Funktion y = f(2x) einen Punkt gibt (-1; 3) . Auf dem Graphen der Funktion y = f(x) gibt es also die Punkte (4; 7) und (-2; 3), und auf dem Graphen der Funktion y = f(2x) gibt es Punkte (2; 7). ) und (- 1; 3) , d.h. Punkte mit der gleichen Ordinate.

aber doppelt so klein (im Absolutwert) wie die Abszisse. Das Gleiche gilt für andere Punkte im Graphen der Funktion y = f(x), wenn wir zum Graphen der Funktion y = f(2x) übergehen (Abb. 51). Diese Transformation wird üblicherweise als Komprimierung auf die y-Achse mit 1 Koeffizient 2 bezeichnet.

Im Allgemeinen wird der Graph der Funktion y = f(kx) aus dem Graphen der Funktion y-f(x) durch Komprimierung auf die y-Achse mit einem Koeffizienten k erhalten. Beachten Sie, dass bei dieser Transformation der Schnittpunkt des Graphen liegt der Funktion y = f(x) mit y-Achse (wenn x = 0, dann kx = 0).

Allerdings, wenn ja< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

Beispiel 1. Funktionsgraphen erstellen:

Lösung: a) Lassen Sie uns einen Halbwellengraphen der Funktion y = sin x konstruieren und ihn von der y-Achse mit dem Faktor 2 strecken; wir erhalten eine Halbwelle des gewünschten Funktionsgraphen (Abb. 52). Dann erstellen wir den gesamten Graphen (Abb. 53).

B) Erstellen wir einen Halbwellengraphen der Funktion y = cos x und komprimieren ihn mit dem Faktor 2 auf die y-Achse; wir erhalten eine Halbwelle des gewünschten Graphen der Funktion y=cos 2x (Abb. 54). Dann erstellen wir den gesamten Graphen (Abb. 55).

Aufgabe 2. Wenn Sie den Graphen der Funktion y = f(x) kennen, erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = f(kx), wobei k = -1. Mit anderen Worten, wir sprechen über die Konstruktion eines Graphen der Funktion y = f(-x).

Angenommen, auf dem Graphen der Funktion y = f(x) gibt es die Punkte (3; 5) und (-6; 1). Das bedeutet, dass f(3) = 5 und f(-6) = 1. Dementsprechend gibt es auf dem Graphen der Funktion y = f(-x) einen Punkt (-3; 5), da beim Einsetzen in Formel y = f(-x) Werte x = -3 wir erhalten y = f(3) = 5. Ebenso sind wir davon überzeugt, dass der Graph der Funktion y = f(-x) zum Punkt (6; 1) gehört ).

Punkt (3; 5), der zum Graphen der Funktion y = f(x) gehört, entspricht also Punkt (-3; 5), der zum Graphen der Funktion y = f(-x) gehört; Punkt (-6; 1), der zum Graphen der Funktion y = f(x) gehört, entspricht Punkt (6; 1), der zum Graphen der Funktion y = f(-x) gehört. Diese Punktpaare sind symmetrisch zur y-Achse (Abb. 56).

Wenn wir diese Argumente zusammenfassen, kommen wir zu folgendem Schluss: Der Graph der Funktion y = f(-x) kann aus dem Graphen der Funktion „y = f(x) mithilfe einer Symmetrietransformation um die y-Achse erhalten werden.

Kommentar. Wenn wir über die Darstellung der Funktion y = f(-x) sprechen, prüfen wir normalerweise zunächst, ob die Funktion y = f(x) gerade oder ungerade ist. Wenn y = f(x) eine gerade Funktion ist, d.h. f(-x)= f(x), dann stimmt der Graph der Funktion y = f(-x) mit dem Graphen der Funktion y = f(x) überein. Wenn y = f(x) eine ungerade Funktion ist, d.h. f(-x) = -f(x), dann können Sie anstelle des Graphen der Funktion y = f(-x) einen Graphen der Funktion y = -f(x) erstellen.

Aufgabe 3. Wenn Sie den Graphen der Funktion y = f(x) kennen, erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = f(kx), wobei k eine negative Zahl ist.
Da in diesem Fall die Gleichheit f(kx) = f(-\k\x) gilt, sprechen wir von der Konstruktion eines Graphen der Funktion y = f(-\k\x). Dies kann in drei Schritten erfolgen:

1) Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = f (x);
2) Führen Sie seine Kompression (oder Streckung) in Richtung der y-Achse mit dem Koeffizienten | durch zu |;
3) Unterziehen Sie den komprimierten (oder gestreckten) Graphen einer Symmetrietransformation um die y-Achse.

Beispiel 2. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = -3 cos (~2x).

Lösung. Beachten Sie zunächst, dass cos (-2x) = cos2x.
1) Konstruieren wir einen Graphen der Funktion y = cosx, genauer gesagt eine Halbwelle des Graphen (Abb. 57a. Alle Vorkonstruktionen sind durch gepunktete Linien gekennzeichnet).
2) Dehnen wir den konstruierten Graphen von der x-Achse aus um den Faktor 3; wir erhalten eine Halbwelle des Graphen der Funktion y=3cos x.
3) Unterziehen wir die konstruierte Halbwelle des Graphen der Funktion y = 3 cos x einer Symmetrietransformation um die x-Achse; wir erhalten eine Halbwelle des Graphen der Funktion y = -Зсоs x.
4) Für die Halbwelle des Graphen der Funktion y = -3cos x komprimieren wir sie mit dem Faktor 2 auf die y-Achse; wir erhalten eine Halbwelle des Graphen der Funktion y = -Зсоs2х (durchgezogene Linie in Abb. 57a).
5) Aus der resultierenden Halbwelle erstellen wir den gesamten Graphen (Abb. 576).

A.G. Mordkovich Algebra 10. Klasse

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Parallele Übertragung.

ÜBERSETZUNG ENTLANG DER Y-ACHSE

f(x) => f(x) - b
Angenommen, Sie möchten einen Graphen der Funktion y = f(x) - b erstellen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Ordinaten dieses Diagramms für alle Werte von x auf |b| liegen Einheiten kleiner als die entsprechenden Ordinaten des Funktionsgraphen y = f(x) für b>0 und |b| Einheiten mehr - bei b 0 oder höher bei b Um den Graphen der Funktion y + b = f(x) zu zeichnen, sollten Sie einen Graphen der Funktion y = f(x) erstellen und die x-Achse nach |b| verschieben Einheiten höher bei b>0 oder um |b| Einheiten unten bei b

ÜBERTRAGUNG ENTLANG DER ABSZISSACHSE

f(x) => f(x + a)
Angenommen, Sie möchten die Funktion y = f(x + a) grafisch darstellen. Betrachten Sie die Funktion y = f(x), die irgendwann x = x1 den Wert y1 = f(x1) annimmt. Offensichtlich nimmt die Funktion y = f(x + a) am Punkt x2 den gleichen Wert an, dessen Koordinate aus der Gleichheit x2 + a = x1 bestimmt wird, d.h. x2 = x1 - a, und die betrachtete Gleichheit gilt für die Gesamtheit aller Werte aus dem Definitionsbereich der Funktion. Daher kann der Graph der Funktion y = f(x + a) erhalten werden, indem der Graph der Funktion y = f(x) entlang der x-Achse parallel um |a| nach links verschoben wird Einheiten für a > 0 oder nach rechts um |a| Einheiten für a Um einen Graphen der Funktion y = f(x + a) zu erstellen, sollten Sie einen Graphen der Funktion y = f(x) erstellen und die Ordinatenachse nach |a| verschieben Einheiten nach rechts, wenn a>0 oder um |a| Einheiten nach links bei a

Beispiele:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Betrachtung.

KONSTRUKTION EINES GRAPHS EINER FUNKTION DER FORM Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Es ist offensichtlich, dass die Funktionen y = f(-x) und y = f(x) an Punkten, deren Abszissen im Absolutwert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt sind, gleiche Werte annehmen. Mit anderen Worten, die Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(-x) im Bereich der positiven (negativen) Werte von x sind gleich den Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) für die entsprechenden negativen (positiven) Werte von x im Absolutwert. Somit erhalten wir die folgende Regel.
Um die Funktion y = f(-x) darzustellen, sollten Sie die Funktion y = f(x) grafisch darstellen und relativ zur Ordinate darstellen. Der resultierende Graph ist der Graph der Funktion y = f(-x)

KONSTRUKTION EINES GRAPHS EINER FUNKTION DER FORM Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Die Ordinaten des Graphen der Funktion y = - f(x) für alle Werte des Arguments sind im absoluten Wert gleich, aber im Vorzeichen entgegengesetzt zu den Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) für die gleiche Werte des Arguments. Somit erhalten wir die folgende Regel.
Um einen Graphen der Funktion y = - f(x) zu zeichnen, sollten Sie einen Graphen der Funktion y = f(x) zeichnen und ihn relativ zur x-Achse widerspiegeln.

Beispiele:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Verformung.

GRAPH-VERFORMUNG ENTLANG DER Y-ACHSE

f(x) => k f(x)
Betrachten Sie eine Funktion der Form y = k f(x), wobei k > 0. Es ist leicht zu erkennen, dass bei gleichen Werten des Arguments die Ordinaten des Graphen dieser Funktion k-mal größer sind als die Ordinaten von der Graph der Funktion y = f(x) für k > 1 oder 1/k mal kleiner als die Ordinaten des Graphen der Funktion y = f(x) für k Um einen Graphen der Funktion y = k f(x) zu konstruieren ), sollten Sie einen Graphen der Funktion y = f(x) erstellen und seine Ordinaten für k > 1 um das k-fache erhöhen (den Graphen entlang der Ordinatenachse strecken) oder seine Ordinaten bei k um das 1/k-fache verkleinern
k > 1- erstreckt sich von der Ox-Achse
0 - Komprimierung zur OX-Achse

GRAPH-VERFORMUNG ENTLANG DER ABSZISSACHSE

f(x) => f(k x)
Es sei notwendig, einen Graphen der Funktion y = f(kx) zu konstruieren, wobei k>0. Betrachten Sie die Funktion y = f(x), die an einem beliebigen Punkt x = x1 den Wert y1 = f(x1) annimmt. Es ist offensichtlich, dass die Funktion y = f(kx) im Punkt x = x2, dessen Koordinate durch die Gleichheit x1 = kx2 bestimmt wird, den gleichen Wert annimmt und diese Gleichheit für die Gesamtheit aller Werte von gilt x aus dem Definitionsbereich der Funktion. Folglich stellt sich heraus, dass der Graph der Funktion y = f(kx) entlang der Abszissenachse relativ zum Graphen der Funktion y = f(x) komprimiert ist (für k 1). Somit erhalten wir die Regel.
Um einen Graphen der Funktion y = f(kx) zu konstruieren, sollten Sie einen Graphen der Funktion y = f(x) erstellen und seine Abszissen für k>1 um das k-fache reduzieren (den Graphen entlang der Abszissenachse komprimieren) oder vergrößern seine Abszissen um das 1/k-fache für k
k > 1- Kompression zur Oy-Achse
0 – Dehnung von der OY-Achse

Die Arbeiten wurden von Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov unter der Leitung von T.V. Tkach, S.M. Vyazov, I.V. Ostroverkhova durchgeführt.
©2014

2. Wenn 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Abb. 3.8). Dadurch wird der Graph der Funktion gestaucht oder gestreckt.

Y Y

j

j

0 x X 0 x X

Reis. 3.7 Abb. 3.8

Regel 2. Sei k > 1. Dann erhält man den Graphen der Funktion f(kx) aus dem Graphen der Funktion f(x), indem man ihn k-mal entlang der OX-Achse komprimiert (mit anderen Worten: indem man ihn um die OY-Achse komprimiert). k-mal).

Sei 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Beispiele. Funktionsgraphen konstruieren: 1)
Und
;

2)
Und
.

Y Y

p/2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Reis. 3.9 Abb. 3.10

Kommentar. Bitte beachten Sie: Punkt , auf der OY-Achse liegend, bleibt an Ort und Stelle. Tatsächlich entspricht jedem Punkt N(0, y) des Graphen f(x) ein Punkt
Grafikenf(kx).

Graph einer Funktion
erhalten durch Strecken des Funktionsgraphen
von der OY-Achse um das Zweifache. Zeigen Sie gleichzeitig erneut bleibt unverändert (Kurve (3) in Abb. 3.9).

Eine Funktion grafisch darstellen y=f(-x).

Die Funktionen f(x) und f(-x) nehmen gleiche Werte für entgegengesetzte Werte des Arguments x an. Folglich sind die Punkte N(x;y) und M(-x;y) ihrer Diagramme symmetrisch um die OY-Achse.

Regel 3. Um einen Graphen von f(-x) zu erstellen, müssen Sie den Graphen der Funktion f(x) in Bezug auf die OY-Achse spiegeln.

Beispiele. Graphfunktionen
Und
.

Die Lösungen sind in Abb. dargestellt. 3.11 und 3.12.

Y
Y

Reis. 3.11 Abb. 3.12

Eine Funktion grafisch darstellen y=f(-kx), wobei k > 0.

Regel 4. Wir erstellen einen Graphen der Funktion y=f(kx) gemäß Regel 2. Der Graph der Funktion f(kx) wird gemäß der Regel an der OY-Achse gespiegelt

Schrott 3. Als Ergebnis erhalten wir einen Graphen der Funktion f(-kx).

Beispiele. Graphfunktionen

.

Die Lösungen sind in Abb. dargestellt. 3.13 und 3.14.

P

1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Reis. 3.13 Abb. 3.14

Eine Funktion grafisch darstellen
, wobei A > 0. Wenn A > 1, dann für jeden Wert
Die Ordinate einer gegebenen Funktion ist A-mal größer als die Ordinate der Hauptfunktion f(x). In diesem Fall wird der Graph f(x) A-mal entlang der OY-Achse (mit anderen Worten: von der OX-Achse) gestreckt.

Wenn 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в Zeiten entlang der OY-Achse (oder von der OX-Achse).

Regel 5. Sei A > 1. Dann ist der Graph der Funktion
wird aus dem Graphen f(x) erhalten, indem man ihn A-mal entlang der OY-Achse (oder von der OX-Achse) streckt.

Sei 0< A < 1. Тогда график функции
wird aus dem Graphen von f(x) durch Komprimieren erhalten mal entlang der OY-Achse (oder zur OX-Achse).

Beispiele. Funktionsgraphen konstruieren 1)
,
und 2)
,

.

Y
Y

2

1

1
0 S./2 S. S./3 S. x

Reis. 3.15 Abb. 3.16

Eine Funktion grafisch darstellen
.

Für jede
die Punkte N(x,y) der Funktion f(x) und M(x, -y) der Funktion -f(x) sind symmetrisch bezüglich der OX-Achse, also erhalten wir die Regel.

Regel 6. Eine Funktion grafisch darstellen
Ich brauche einen Zeitplan
Spiegel in Bezug auf die OX-Achse.

Beispiele. Graphfunktionen
Und
(Abb. 3.17 und 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

Reis. 3.17 Abb. 3.18

Eine Funktion grafisch darstellen
, wobei A>0.

Regel 7. Einen Graphen einer Funktion erstellen
, wobei A>0, gemäß Regel 5. Der resultierende Graph wird gemäß Regel 6 von der OX-Achse gespiegelt.

Eine Funktion grafisch darstellen
.

Wenn B>0, dann für jeden
Die Ordinate der gegebenen Funktion ist B Einheiten größer als die Ordinate von f(x). Wenn B<0, то для каждого
die Ordinate der ersten Funktion wird um reduziert Einheiten im Vergleich zur Ordinatef(x). Somit erhalten wir die Regel.

Regel 8. Um eine Funktion darzustellen
Gemäß dem Diagramm y=f(x) muss dieses Diagramm entlang der OY-Achse um B Einheiten nach oben verschoben werden, wenn B>0, oder nach Einheiten nach unten, wennB<0.

Beispiele. Konstruieren Sie Funktionsgraphen: 1) und

2)
(Abb. 3.19 und 3.20).

Y

2

2

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

Reis. 3.19 Abb. 3.20

Schema zum Erstellen eines Funktionsgraphen .

Zunächst schreiben wir die Gleichung der Funktion in das Formular
und bezeichnen
. Dann konstruieren wir den Graphen der Funktion nach dem folgenden Schema.

Wir erstellen einen Graphen der Hauptfunktion f(x).

Gemäß Regel 1 erstellen wir einen Graphen f(x-a).

Indem wir den Graphen f(x-a) unter Berücksichtigung des Vorzeichens von k gemäß den Regeln 2-4 komprimieren oder strecken, konstruieren wir einen Graphen der Funktion f.

Bitte beachten Sie: Der Graph f(x-a) wird relativ zur Geraden x=a gestaucht oder gestreckt (warum?)

Bitte beachten Sie: Bei jedem Konstruktionsschritt fungiert der vorherige Graph als Graph der Hauptfunktion.

Beispiel. Stellen Sie die Funktion grafisch dar
. Herek=-2, also
. Gegeben seltsam
, wir haben
.

(Abb. 3.21).

π/2

π/2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/2 -π/2

Reis. 3.21 Abb. 3.22

Y Y

π/2

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

Reis. 3.23 Abb. 3.24

Aufgabe 2.

Zeichnen von Diagrammen von Funktionen, die das Modulzeichen enthalten.

Auch die Lösung dieses Problems besteht aus mehreren Schritten. In diesem Fall müssen Sie sich die Definition des Moduls merken:

Eine Funktion grafisch darstellen
.

Für diese Werte
, wofür
, Wille
. Daher hier die Funktionsgraphen
und f(x) sind gleich. Für das Selbe
, für die f(x)<0, будет
. Aber der -f(x)-Graph wird aus dem f(x)-Graph durch Spiegelreflexion an der OX-Achse erhalten. Wir erhalten die Regel zum Erstellen eines Funktionsgraphen
.

Regel 9. Wir erstellen einen Graphen der Funktion y=f(x). Danach der Teil des Graphen f(x), wo
, lassen Sie es unverändert und belassen Sie den Teil, in dem f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Kommentar. Bitte beachten Sie den Zeitplan
liegt immer über der OX-Achse oder berührt diese.

Beispiele. Graphfunktionen

(Abb. 3.24, 3.25, 3.26).

Y Y

2

Reis. 3.25 Abb. 3.26

Eine Funktion grafisch darstellen
.

Als
, Das
, das heißt, es wird eine gerade Funktion gegeben, deren Graph symmetrisch zur OY-Achse ist.

Regel 10. Wir zeichnen die Funktion y=f(x) bei auf
. Wir spiegeln den konstruierten Graphen von der OY-Achse wider. Dann ergibt die Kombination der beiden erhaltenen Kurven den Graphen der Funktion
.

Beispiele. Graphfunktionen

(Abb. 3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Reis. 3.27 Abb. 3.28 Abb. 3.29

Eine Funktion grafisch darstellen
.

Einen Graphen einer Funktion erstellen
gemäß Regel 10.

Einen Graphen einer Funktion erstellen
gemäß Regel 9.

Beispiele. Graphfunktionen
Und
.

Der negative Teil des Diagramms wird von der OX-Achse reflektiert. Zeitplan
in Abb. dargestellt. 3.30.

Y Y

2 0 2 x -1 0 1 x

Reis. 3.30 Abb. 3.31

2. Erstellen Sie einen Graphen der Funktion
(Abb. 3.29).

Wir spiegeln den negativen Teil des Diagramms von der OX-Achse wider. Zeitplan
in Abb. dargestellt. 3.31.

Wenn Sie einen Graphen einer Funktion zeichnen, der Modulvorzeichen enthält, ist es sehr wichtig, die Intervalle konstanter Vorzeichen der Funktion zu kennen. Daher muss die Lösung jedes Problems mit der Bestimmung dieser Intervalle beginnen.

Beispiel. Stellen Sie die Funktion grafisch dar
.

Domäne . Die Ausdrücke x+1 und x-1 ändern ihr Vorzeichen an den Punkten x=-1 und x=1. Daher unterteilen wir den Definitionsbereich in vier Intervalle:

Unter Berücksichtigung der Vorzeichen x+1 und x-1 gilt:

;

;

.

Somit kann die Funktion ohne Modulzeichen wie folgt geschrieben werden:

Funktionen
entsprechen Hyperbeln und die Funktion y=2 entspricht einer Geraden. Der weitere Aufbau kann punktuell erfolgen (Abb. 3.32).

Y

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Kommentar. Beachten Sie, dass die Funktion bei x=0 nicht definiert ist. An dieser Stelle soll die Funktion eine Diskontinuität aufweisen. In Abb. 3.32 ist dies mit Pfeilen markiert.

Aufgabe 3. Zeichnen eines Diagramms einer Funktion, die durch mehrere analytische Ausdrücke definiert ist.

Im vorherigen Beispiel die Funktion
wir haben es in mehreren analytischen Ausdrücken dargestellt. Ja, dazwischen
es ändert sich gemäß dem Gesetz der Hyperbel
; in der Zwischenzeit
, außer x=0, dies ist eine lineare Funktion; in der Zwischenzeit
wir haben wieder eine Übertreibung
. Ähnliche Funktionen werden in Zukunft häufig anzutreffen sein. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an.

Die Zugstrecke von Bahnhof A nach Bahnhof B besteht aus drei Abschnitten. Im ersten Abschnitt, also in der Pause, nimmt er Fahrt auf
seine Geschwindigkeit
, Wo
. Im zweiten Abschnitt bewegt es sich mit konstanter Geschwindigkeit, also v=c, wenn
. Beim Bremsen schließlich wird seine Geschwindigkeit sein
. Also dazwischen
die Bewegungsgeschwindigkeit ändert sich je nach Gesetz