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Eine arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlen. Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Beim Studium der Algebra an einer weiterführenden Schule (9. Klasse) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, zu denen auch geometrische und arithmetische Progressionen gehören. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Folge und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betreffenden Fortschritt zu definieren und die grundlegenden Formeln bereitzustellen, die später bei der Lösung von Problemen verwendet werden.

Arithmetik oder ist eine Menge geordneter rationaler Zahlen, deren jedes Mitglied sich um einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Geben wir ein Beispiel. Die folgende Zahlenfolge stellt eine arithmetische Folge dar: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann jedoch nicht mehr der betrachteten Art der Progression zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Lassen Sie uns nun die Grundformeln vorstellen, die zur Lösung von Problemen mithilfe der arithmetischen Folge erforderlich sind. Bezeichnen wir mit dem Symbol a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Den Unterschied bezeichnen wir mit dem lateinischen Buchstaben d. Dann gelten folgende Ausdrücke:

Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich folgende Formel: a n = (n-1)*d+a 1 .
Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n +a 1)*n/2.

Um Beispiele für arithmetische Progression mit Lösungen in der 9. Klasse zu verstehen, reicht es aus, sich diese beiden Formeln zu merken, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung basieren. Sie sollten auch bedenken, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel d = a n – a n-1 bestimmt wird.

Beispiel Nr. 1: Ein unbekanntes Mitglied finden

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln geben, die zu ihrer Lösung verwendet werden müssen.

Gegeben sei die Folge 10, 8, 6, 4, ..., Sie müssen darin fünf Begriffe finden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

Berechnen wir zunächst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnten Sie zwei beliebige andere Mitglieder nehmen, die nebeneinander stehen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d = a n – a n-1, dann ist d = a 5 – a 4, woraus wir erhalten: a 5 = a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Auch bei der zweiten Methode ist die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression erforderlich, daher muss dieser zunächst wie oben dargestellt ermittelt werden (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die n-Zahl der Folge. Wir haben: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Wenn wir n = 5 in den letzten Ausdruck einsetzen, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führten beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Progressionsdifferenz d ein negativer Wert ist. Solche Folgen werden als absteigend bezeichnet, da jeder nächste Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nr. 2: Fortschrittsunterschied

Lassen Sie uns das Problem nun etwas verkomplizieren und ein Beispiel dafür geben, wie man die Differenz einer arithmetischen Folge findet.

Es ist bekannt, dass in manchen algebraischen Folgen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Folge auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ersetzen wir darin die bekannten Daten aus der Bedingung, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie die Differenz leicht berechnen: d = (18 - 6) /6 = 2. Damit haben wir den ersten Teil des Problems beantwortet.

Um die Folge auf den 7. Term wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Folge verwenden, also a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Erstellen einer Progression

Machen wir das Problem noch komplizierter. Jetzt müssen wir die Frage beantworten, wie man eine arithmetische Folge findet. Als Beispiel kann folgendes gegeben werden: Es werden zwei Zahlen angegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu erstellen, damit drei weitere Terme dazwischen stehen.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen im zukünftigen Verlauf einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, ist a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, gehen wir zum Problem über, das dem vorherigen ähnlich ist. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 = a 1 + 4 * d. Aus: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Was wir hier erhalten haben, ist kein ganzzahliger Wert der Differenz, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression dieselben bleiben.

Nun addieren wir die gefundene Differenz zu einer 1 und stellen die fehlenden Terme der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was übereinstimmte mit den Bedingungen des Problems.

Beispiel Nr. 4: erstes Progressionssemester

Lassen Sie uns weiterhin Beispiele für die arithmetische Folge mit Lösungen geben. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Es seien zwei Zahlen gegeben, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es gilt herauszufinden, mit welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. In der Problemstellung ist über diese Zahlen nichts bekannt. Dennoch werden wir für jeden Term Ausdrücke aufschreiben, über die Informationen verfügbar sind: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen es zwei unbekannte Größen gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Der einfachste Weg, dieses System zu lösen, besteht darin, in jeder Gleichung eine 1 auszudrücken und dann die resultierenden Ausdrücke zu vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, woraus sich die Differenz d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 ergibt (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden oben genannten Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, können Sie es überprüfen, beispielsweise den 43. Term der Progression ermitteln, der in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Der kleine Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel Nr. 5: Betrag

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine numerische Folge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie ist es möglich, dieses Problem zu lösen, d. h. alle Zahlen nacheinander zu addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch mental gelöst werden, wenn man beachtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz gleich 1 ist. Wenn wir die Formel für die Summe anwenden, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist interessant festzustellen, dass dieses Problem „Gaussian“ genannt wird, weil der berühmte Deutsche, damals gerade mal 10 Jahre alt, es zu Beginn des 18. Jahrhunderts in der Lage war, es in seinem Kopf in wenigen Sekunden zu lösen. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man die Zahlen am Ende der Folge paarweise addiert, also 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) betragen, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel Nr. 6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das Folgende: Bei einer gegebenen Zahlenreihe: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, wie hoch die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 sein wird .

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Begriffe von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht sehr arbeitsintensiv. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem mit einer zweiten, universelleren Methode zu lösen.

Die Idee besteht darin, eine Formel für die Summe der algebraischen Progression zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). In diesen Ausdruck müssen Formeln für a n und a m eingesetzt werden. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall ist a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen ersetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen hervorgeht, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, die Bedingung sorgfältig zu lesen, klar zu verstehen, was Sie finden müssen, und erst dann mit der Lösung fortzufahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, d. h. wenn Sie eine Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, dann müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, und bleiben Teilen Sie das Gesamtproblem in separate Teilaufgaben auf (in diesem Fall finden Sie zunächst die Begriffe a n und a m).

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, empfiehlt es sich, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele der Fall war. Wir haben herausgefunden, wie man eine arithmetische Folge findet. Wenn Sie es herausfinden, ist es nicht so schwierig.

Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)... ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nachfolgende Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

Allerdings kann \(d\) auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben angezeigt.

Zahlen, die eine Folge bilden, werden aufgerufen Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie eine arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Nummer des Elements in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Arithmetische Folgeprobleme lösen

Im Prinzip reichen die oben dargestellten Informationen bereits aus, um nahezu jedes Rechenprogressionsproblem (auch das der OGE) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) festgelegt. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antwort: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Folge und wissen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich von seinem Nachbarn um die gleiche Zahl. Finden wir heraus, welches, indem wir das vorherige vom nächsten Element subtrahieren: \(d=49-62=-13\).
	Jetzt können wir unseren Fortschritt zum (ersten negativen) Element wiederherstellen, das wir brauchen.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antwort: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das durch den Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

	Um \(x\) zu finden, müssen wir wissen, um wie viel sich das nächste Element vom vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten, um den Fortschrittsunterschied. Finden wir es aus zwei bekannten benachbarten Elementen: \(d=12,5-10=2,5\).
	Und jetzt können wir leicht finden, wonach wir suchen: \(x=5+2,5=7,5\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antwort: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die folgenden Bedingungen definiert: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Wir müssen die Summe der ersten sechs Terme der Progression ermitteln. Aber wir kennen ihre Bedeutung nicht; uns wird nur das erste Element gegeben. Deshalb berechnen wir zunächst die Werte einzeln und verwenden dabei das, was uns gegeben wird:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Und nachdem wir die sechs Elemente berechnet haben, die wir brauchen, finden wir ihre Summe.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Die benötigte Menge wurde gefunden.

Antwort: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antwort: \(d=7\).

Wichtige Formeln für den arithmetischen Fortschritt

Wie Sie sehen, können viele Probleme der arithmetischen Folge einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nachfolgende Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (die Unterschied der Progression).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Entscheidung „frontal“ sehr unbequem ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Sollten wir das Vierfache von \(385\) addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Du wirst es leid sein zu zählen...

Daher lösen sie in solchen Fällen die Dinge nicht „frontal“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe der \(n\) ersten Terme.

Formel des \(n\)-ten Termes: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) der erste Term der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) – Term der Progression mit der Zahl \(n\).

Mit dieser Formel können wir schnell sogar das dreihundertste oder millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Unterschied in der Progression kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen angegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antwort: \(b_(246)=1850\).

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) – der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) festgelegt. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Um die Summe der ersten fünfundzwanzig Terme zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und des fünfundzwanzigsten Termes kennen. Unsere Progression ergibt sich aus der Formel des n-ten Termes in Abhängigkeit von seiner Anzahl (weitere Einzelheiten finden Sie unter). Berechnen wir das erste Element, indem wir \(n\) durch eins ersetzen.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Finden wir nun den fünfundzwanzigsten Term, indem wir fünfundzwanzig anstelle von \(n\) einsetzen.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nun können wir die benötigte Menge ganz einfach berechnen.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Die Antwort ist fertig.

Antwort: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe von \(n\) ersten Elementen;
\(a_1\) – der erste summierte Term;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – Anzahl der Elemente insgesamt.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antwort: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen man nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken muss (in der Mathematik kann das nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Die Aufgabe ist der vorherigen sehr ähnlich. Wir fangen an, das Gleiche zu lösen: Zuerst finden wir \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Jetzt möchte ich \(d\) in die Formel für die Summe einsetzen ... und hier zeigt sich eine kleine Nuance – wir kennen \(n\) nicht. Mit anderen Worten: Wir wissen nicht, wie viele Begriffe hinzugefügt werden müssen. Wie finde ich das heraus? Denken wir nach. Wir hören auf, Elemente hinzuzufügen, wenn wir das erste positive Element erreichen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements herausfinden. Wie? Schreiben wir die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements einer arithmetischen Folge auf: \(a_n=a_1+(n-1)d\) für unseren Fall.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Wir brauchen \(a_n\), um größer als Null zu werden. Lassen Sie uns herausfinden, bei welchem \(n\) dies passieren wird.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Wir übertragen minus eins und vergessen nicht, die Vorzeichen zu ändern
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Berechnen wir...
\(n>65.333…\)		...und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element die Zahl \(66\) haben wird. Dementsprechend hat das letzte Negativ \(n=65\). Lassen Sie uns das für alle Fälle überprüfen.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Wir müssen also die ersten \(65\) Elemente hinzufügen.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Die Antwort ist fertig.

Antwort: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen angegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-Element einschließlich.
Lösung:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	In diesem Problem müssen Sie auch die Summe der Elemente ermitteln, beginnend jedoch nicht mit dem ersten, sondern mit dem \(26\)ten. Für einen solchen Fall haben wir keine Formel. Wie soll man entscheiden? Es ist ganz einfach: Um die Summe vom \(26\)ten bis zum \(42\)ten zu ermitteln, müssen Sie zuerst die Summe vom \(1\)ten bis zum \(42\)ten ermitteln und dann subtrahieren daraus die Summe vom ersten bis zum (25)ten (siehe Bild).
	Für unsere Progression \(a_1=-33\) und die Differenz \(d=4\) (schließlich sind es die vier, die wir zum vorherigen Element hinzufügen, um das nächste zu finden). Mit diesem Wissen ermitteln wir die Summe der ersten \(42\)-y-Elemente.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nun die Summe der ersten \(25\) Elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Antwort: \(S=1683\).

Für die arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Erste Ebene

Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.
Die Zahl mit Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Diese Zahlenfolge nennt man arithmetische Folge.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als eine unendliche Zahlenfolge verstanden. Der Name „Arithmetik“ wurde von der Theorie der stetigen Proportionen übernommen, die von den alten Griechen untersucht wurde.

Dabei handelt es sich um eine Zahlenfolge, bei der jedes Mitglied dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

A)
B)
C)
D)

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:
Ist arithmetische Folge - b, c.
Ist nicht arithmetische Folge - a, d.

Kehren wir zur angegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Terms zu ermitteln. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können die Progressionszahl zum vorherigen Wert addieren, bis wir den dritten Term der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenfassen müssen – nur drei Werte:

Der te Term der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des dritten Termes der Progression ermitteln müssten? Die Summierung würde mehr als eine Stunde dauern, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren von Zahlen keine Fehler machen würden.
Natürlich haben Mathematiker einen Weg gefunden, bei dem es nicht notwendig ist, die Differenz einer arithmetischen Folge zum vorherigen Wert zu addieren. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genauer an... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, woraus der Wert des dritten Termes dieser arithmetischen Folge besteht:

Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbst den Wert eines Gliedes einer gegebenen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Hast du berechnet? Vergleichen Sie Ihre Notizen mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir die Terme der arithmetischen Folge nacheinander zum vorherigen Wert hinzugefügt haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Folgen können steigend oder fallend sein.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen in steigenden und fallenden Termen einer arithmetischen Folge verwendet.
Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen.
Wir erhalten eine arithmetische Folge, die aus den folgenden Zahlen besteht: Schauen wir uns an, wie die te-Zahl dieser arithmetischen Folge aussehen wird, wenn wir sie mit unserer Formel berechnen:

Seit damals:

Daher sind wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl in abnehmender als auch in zunehmender arithmetischer Folge funktioniert.
Versuchen Sie, das te- und das te-Term dieser arithmetischen Folge selbst zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Verkomplizieren wir das Problem – wir leiten die Eigenschaft der arithmetischen Folge ab.
Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Bedingung:
- Arithmetische Folge, finde den Wert.
Ganz einfach, sagen Sie und fangen an, nach der Formel zu zählen, die Sie bereits kennen:

Lass, ah, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und erhalten, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns in der Bedingung Zahlen gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, dass bei den Berechnungen ein Fehler gemacht wird.
Überlegen Sie nun, ob es möglich ist, dieses Problem mit einer beliebigen Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich ja, und das werden wir jetzt versuchen herauszustellen.

Bezeichnen wir den erforderlichen Term der arithmetischen Folge als, die Formel zu deren Ermittlung ist uns bekannt – dies ist dieselbe Formel, die wir zu Beginn abgeleitet haben:
, Dann:

Der bisherige Term der Progression ist:
Der nächste Term der Progression ist:

Fassen wir die vorherigen und nachfolgenden Bedingungen der Progression zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Terme der Progression der doppelte Wert des dazwischen liegenden Progressionsterms ist. Mit anderen Worten: Um den Wert eines Progressionsterms mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu ermitteln, müssen Sie diese addieren und durch dividieren.

Stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Sichern wir das Material. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut gemacht! Du weißt fast alles über Fortschritt! Es bleibt nur noch eine Formel herauszufinden, die der Legende nach von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, dem „König der Mathematiker“ – Karl Gauß, leicht abgeleitet werden konnte …

Als Carl Gauss 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeit der Schüler anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis (nach anderen Quellen bis) einschließlich.“ Stellen Sie sich die Überraschung des Lehrers vor, als einer seiner Schüler (das war Karl Gauß) eine Minute später die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langen Berechnungen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauß bemerkte ein bestimmtes Muster, das auch Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ten Termen besteht: Wir müssen die Summe dieser Terme der arithmetischen Folge ermitteln. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn die Aufgabe das Ermitteln der Summe ihrer Terme erfordert, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns den uns gegebenen Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genauer an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.

Hast du es versucht? Was haben Sie bemerkt? Rechts! Ihre Summen sind gleich

Sagen Sie mir nun, wie viele solcher Paare gibt es insgesamt in der uns gegebenen Progression? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist und ähnliche Paare gleich sind, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Unterschied in der Progression. Versuchen Sie, die Formel des th-Terms in die Summenformel einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut gemacht! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauss gestellt wurde: Berechnen Sie selbst, wie groß die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte fest, dass die Summe der Terme gleich ist und die Summe der Terme gleich ist. Haben Sie sich dafür entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser Zeit machten geistreiche Menschen die Eigenschaften der arithmetischen Folge voll aus.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und das größte Bauprojekt dieser Zeit vor – den Bau einer Pyramide... Das Bild zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagen Sie? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.

Warum nicht eine arithmetische Folge? Berechnen Sie, wie viele Blöcke zum Bau einer Mauer benötigt werden, wenn an der Basis Blockziegel platziert werden. Ich hoffe, Sie zählen nicht, während Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus: .
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.
Setzen wir unsere Daten in die letzten Formeln ein (berechnen wir die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Habe es? Gut gemacht, Sie beherrschen die Summe der n-ten Terme einer arithmetischen Folge.
Natürlich kann man eine Pyramide nicht aus Blöcken an der Basis bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandsteine benötigt werden, um unter dieser Bedingung eine Mauer zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Ausbildung

Aufgaben:

Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag erhöht sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Mascha in der Woche Kniebeugen machen, wenn sie bei der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat?
Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
Bei der Lagerung von Protokollen stapeln Holzfäller diese so, dass jede oberste Schicht ein Protokoll weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme enthält ein Mauerwerk, wenn das Fundament des Mauerwerks aus Baumstämmen besteht?

Antworten:

Definieren wir die Parameter der arithmetischen Folge. In diesem Fall
(Wochen = Tage).
Antwort: In zwei Wochen sollte Mascha einmal am Tag Kniebeugen machen.
Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Die Anzahl der ungeraden Zahlen beträgt die Hälfte. Überprüfen wir diese Tatsache jedoch mithilfe der Formel zum Ermitteln des ten Glieds einer arithmetischen Folge:
Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
Ersetzen wir die verfügbaren Daten in die Formel:
Antwort: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.
Erinnern wir uns an das Problem mit den Pyramiden. In unserem Fall a gilt: Da jede oberste Schicht um einen Log reduziert wird, gibt es insgesamt eine Reihe von Schichten.
Ersetzen wir die Daten in der Formel:
Antwort: Im Mauerwerk liegen Baumstämme.

Fassen wir es zusammen

- eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kann zu- oder abnehmend sein.
Formel finden Der te Term einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge angegeben ist.
Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge- - wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.
Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:

, wobei die Anzahl der Werte ist.

Arithmetische Progression. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Zahlenfolge

Setzen wir uns hin und beginnen ein paar Zahlen aufzuschreiben. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber wir können immer sagen, welches das erste, welches das zweite ist usw., das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten: Jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar einer eindeutigen. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuordnen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das te Glied der Folge.

Es ist sehr praktisch, wenn der te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Reihenfolge:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (hier ist der erste Term gleich und die Differenz gleich). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine rekurrente Formel, bei der Sie zum Ermitteln des th-Terms den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um zum Beispiel das te Glied der Progression mit dieser Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lass es zum Beispiel. Dann:

Ist nun klar, wie die Formel lautet?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Welcher? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Was ist der Unterschied? Hier ist was:

(Deshalb wird es Differenz genannt, weil es gleich der Differenz aufeinanderfolgender Terme der Progression ist).

Also die Formel:

Dann ist der hundertste Term gleich:

Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach hat der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten berechnet. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und vorletzten gleich ist, die Summe der dritten und dritten Zahl vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es insgesamt? Das ist richtig, also genau die Hälfte aller Zahlen. Also,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste dieser Zahlen ist diese. Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition zur vorherigen Zahl erhalten. Somit bilden die Zahlen, die uns interessieren, eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz.

Formel des th-Terms für diese Progression:

Wie viele Begriffe gibt es in der Folge, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Der letzte Term der Progression wird gleich sein. Dann ist die Summe:

Antwort: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

Jeden Tag läuft der Sportler mehr Meter als am Vortag. Wie viele Gesamtkilometer wird er in einer Woche laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
Ein Radfahrer legt jeden Tag mehr Kilometer zurück als am Vortag. Am ersten Tag legte er km zurück. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer wird er am letzten Tag seiner Reise zurücklegen?
Der Preis für einen Kühlschrank in einem Geschäft sinkt jedes Jahr um den gleichen Betrag. Bestimmen Sie, wie stark der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel verkauft wurde.

Antworten:

Dabei geht es vor allem darum, die arithmetische Folge zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
.
Antwort:
Hier gilt: , muss gefunden werden.
Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie im vorherigen Problem verwenden:
.
Ersetzen Sie die Werte:
Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also lautet die Antwort.
Berechnen wir den am letzten Tag zurückgelegten Weg mit der Formel des th-Terms:
(km).
Antwort:
Gegeben: . Finden: .
Es könnte nicht einfacher sein:
(reiben).
Antwort:

Arithmetische Progression. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Der arithmetische Fortschritt kann steigend () und fallend () sein.

Zum Beispiel:

Formel zum Finden des n-ten Termes einer arithmetischen Folge

wird durch die Formel geschrieben, wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.

Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Damit können Sie einen Term einer Folge leicht finden, wenn die benachbarten Terme bekannt sind – wo ist die Anzahl der Zahlen in der Folge.

Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu ermitteln:

Wo ist die Anzahl der Werte?

Anweisungen

Eine arithmetische Folge ist eine Folge der Form a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nummer d Schritt Fortschreiten.Es ist offensichtlich, dass das Allgemeine eines beliebigen n-ten Termes der Arithmetik ist Fortschreiten hat die Form: An = A1+(n-1)d. Dann kennt man eines der Mitglieder Fortschreiten, Mitglied Fortschreiten und Schritt Fortschreiten, Sie können also die Nummer des Fortschrittsmitglieds angeben. Offensichtlich wird es durch die Formel n = (An-A1+d)/d bestimmt.

Lassen Sie uns nun den m-ten Term kennen Fortschreiten und ein weiteres Mitglied Fortschreiten- n-ter, aber n , wie im vorherigen Fall, aber es ist bekannt, dass n und m nicht zusammenfallen. Schritt Fortschreiten kann mit der Formel berechnet werden: d = (An-Am)/(n-m). Dann ist n = (An-Am+md)/d.

Wenn die Summe mehrerer Elemente einer arithmetischen Gleichung bekannt ist Fortschreiten, sowie dessen erstes und letztes, dann kann auch die Anzahl dieser Elemente bestimmt werden. Die Summe der Arithmetik Fortschreiten wird gleich sein: S = ((A1+An)/2)n. Dann ist n = 2S/(A1+An) - chdenov Fortschreiten. Unter Verwendung der Tatsache, dass An = A1+(n-1)d, kann diese Formel wie folgt umgeschrieben werden: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Daraus können wir n ausdrücken, indem wir eine quadratische Gleichung lösen.

Eine arithmetische Folge ist eine geordnete Menge von Zahlen, deren jedes Mitglied, mit Ausnahme des ersten, sich um den gleichen Betrag vom vorherigen unterscheidet. Dieser konstante Wert wird als Differenz der Progression oder ihres Schrittes bezeichnet und kann aus den bekannten Termen der arithmetischen Progression berechnet werden.

Anweisungen

Wenn die Werte des ersten und zweiten oder eines anderen Paares benachbarter Terme aus den Bedingungen des Problems bekannt sind, subtrahieren Sie zur Berechnung der Differenz (d) einfach den vorherigen vom nachfolgenden Term. Der resultierende Wert kann entweder eine positive oder eine negative Zahl sein – es hängt davon ab, ob die Progression zunimmt. Schreiben Sie in allgemeiner Form die Lösung für ein beliebiges Paar (aᵢ und aᵢ₊₁) benachbarter Terme der Progression wie folgt: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Für ein Termpaar einer solchen Folge, von dem einer der erste (a₁) und der andere ein beliebiger anderer ist, ist es auch möglich, eine Formel zur Ermittlung der Differenz (d) zu erstellen. Allerdings muss in diesem Fall die Seriennummer (i) eines beliebigen ausgewählten Mitglieds der Sequenz bekannt sein. Um die Differenz zu berechnen, addieren Sie beide Zahlen und dividieren das resultierende Ergebnis durch die um eins reduzierte Ordnungszahl eines beliebigen Termes. Im Allgemeinen schreiben Sie diese Formel wie folgt: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Wenn neben einem beliebigen Glied einer arithmetischen Folge mit der Ordnungszahl i noch ein weiteres Glied mit der Ordnungszahl u bekannt ist, ändern Sie die Formel aus dem vorherigen Schritt entsprechend. In diesem Fall ist die Differenz (d) der Progression die Summe dieser beiden Terme dividiert durch die Differenz ihrer Ordnungszahlen: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Die Formel zur Berechnung der Differenz (d) wird etwas komplizierter, wenn die Problembedingungen den Wert ihres ersten Termes (a₁) und die Summe (Sᵢ) einer gegebenen Zahl (i) der ersten Terme der arithmetischen Folge angeben. Um den gewünschten Wert zu erhalten, dividieren Sie die Summe durch die Anzahl der Terme, aus denen sie besteht, subtrahieren Sie den Wert der ersten Zahl in der Folge und verdoppeln Sie das Ergebnis. Teilen Sie den resultierenden Wert durch die Anzahl der Terme, aus denen die Summe besteht, reduziert um eins. Im Allgemeinen schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Diskriminante wie folgt: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Was ist der Kern der Formel?

Mit dieser Formel können Sie finden beliebig NACH SEINER NUMMER“ N" .

Natürlich müssen Sie auch den ersten Begriff kennen eine 1 und Fortschrittsunterschied D Nun ja, ohne diese Parameter kann man keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.

Das Auswendiglernen (oder Abschreiben) dieser Formel reicht nicht aus. Sie müssen ihr Wesen verstehen und die Formel auf verschiedene Probleme anwenden. Und auch nicht im richtigen Moment zu vergessen, ja...) Wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Und hier wie man sich erinnert Bei Bedarf werde ich Sie auf jeden Fall beraten. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende abgeschlossen haben.)

Schauen wir uns also die Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Folge an.

Was ist eine Formel im Allgemeinen? Werfen Sie übrigens einen Blick darauf, wenn Sie es noch nicht gelesen haben. Da ist alles einfach. Es bleibt herauszufinden, was es ist n. Semester.

Progression kann im Allgemeinen als eine Reihe von Zahlen geschrieben werden:

eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5, .....

eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied, eine 4- der vierte und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, sagen wir, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigstel - s ein 120.

Wie können wir es allgemein definieren? beliebig Term einer arithmetischen Folge, mit beliebig Nummer? Sehr einfach! So:

ein

Das ist es n. Term einer arithmetischen Folge. Der Buchstabe n verbirgt alle Mitgliedsnummern auf einmal: 1, 2, 3, 4 usw.

Und was bringt uns ein solcher Rekord? Denken Sie nur, statt einer Nummer haben sie einen Brief aufgeschrieben ...

Diese Notation gibt uns ein leistungsstarkes Werkzeug für die Arbeit mit der arithmetischen Folge. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden beliebig Mitglied beliebig arithmetische Folge. Und lösen Sie eine Reihe anderer Fortschrittsprobleme. Sie werden es weiter selbst sehen.

In der Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Folge:

a n = a 1 + (n-1)d

eine 1- das erste Glied einer arithmetischen Folge;

N- Mitgliedsnummer.

Die Formel verbindet die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; ein 1 ; D Und N. Alle Progressionsprobleme drehen sich um diese Parameter.

Die Formel für den n-ten Term kann auch zum Schreiben einer bestimmten Progression verwendet werden. Das Problem kann beispielsweise lauten, dass der Fortschritt durch die Bedingung angegeben wird:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ein solches Problem kann in eine Sackgasse führen... Es gibt weder eine Reihe noch einen Unterschied... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, ist es in diesem Verlauf leicht zu verstehen a 1 =5 und d=2.

Und es kann noch schlimmer sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung annehmen: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, die Klammern öffnen und ähnliche mitbringen? Wir erhalten eine neue Formel:

a n = 3 + 2n.

Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier lauert die Gefahr. Manche Leute denken, dass der erste Term eine Drei ist. Obwohl in Wirklichkeit der erste Term fünf ist... Etwas tiefer werden wir mit einer so modifizierten Formel arbeiten.

Bei Progressionsproblemen gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, wie Sie vermutet haben, der „n plus erste“ Term der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, dessen Zahl um eins größer als Zahl n ist. Zum Beispiel, wenn wir ein Problem haben ein dann das fünfte Semester ein n+1 wird das sechste Mitglied sein. Und dergleichen.

Am häufigsten die Bezeichnung ein n+1 in Wiederholungsformeln gefunden. Haben Sie keine Angst vor diesem gruseligen Wort!) Dies ist nur eine Möglichkeit, ein Mitglied einer arithmetischen Folge auszudrücken durch den vorherigen. Nehmen wir an, wir erhalten eine arithmetische Folge in dieser Form, wobei wir eine wiederkehrende Formel verwenden:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Wie können wir beispielsweise den zwanzigsten Begriff sofort zählen? ein 20? Aber es gibt keine Möglichkeit!) Bis wir das 19. Semester herausfinden, können wir das 20. nicht zählen. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der wiederkehrenden Formel und der Formel des n-ten Termes. Wiederkehrende Arbeiten nur durch vorherige Term, und die Formel des n-ten Termes lautet durch Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Ohne die gesamte Zahlenreihe der Reihe nach zu berechnen.

In einer arithmetischen Folge ist es leicht, eine wiederkehrende Formel in eine reguläre umzuwandeln. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Terme und berechnen Sie die Differenz D, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreiben Sie die Formel in ihrer üblichen Form und arbeiten Sie damit. Solche Aufgaben sind in der Staatlichen Akademie der Wissenschaften häufig anzutreffen.

Anwendung der Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge.

Schauen wir uns zunächst die direkte Anwendung der Formel an. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:

Gegeben ist eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.

Dieses Problem kann ohne Formeln gelöst werden, einfach basierend auf der Bedeutung einer arithmetischen Folge. Hinzufügen und hinzufügen... Ein oder zwei Stunden.)

Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es zeitlich festlegen.) Lassen Sie uns entscheiden.

Die Bedingungen liefern alle Daten zur Verwendung der Formel: a 1 =3, d=1/6. Es bleibt abzuwarten, was gleich ist N. Kein Problem! Wir müssen finden ein 121. Also schreiben wir:

Bitte pass auf! Anstelle eines Index N Es erschien eine bestimmte Zahl: 121. Was ziemlich logisch ist.) Wir interessieren uns für das Mitglied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird uns gehören N. Das ist die Bedeutung N= 121 werden wir weiter in der Formel in Klammern einsetzen. Wir setzen alle Zahlen in die Formel ein und berechnen:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Das ist es. Genauso schnell konnte man den fünfhundertzehnten Term finden und den tausenddritten, jeden beliebigen. Wir setzen stattdessen N die gewünschte Zahl im Index des Buchstabens „ A" und in Klammern, und wir zählen.

Ich möchte Sie an den Punkt erinnern: Mit dieser Formel können Sie finden beliebig arithmetischer Folgeterm NACH SEINER NUMMER“ N" .

Lassen Sie uns das Problem auf eine raffiniertere Weise lösen. Wir stoßen auf folgendes Problem:

Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, erkläre ich Ihnen den ersten Schritt. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie mit Ihren Händen direkt in Ihr Notizbuch:

a n = a 1 + (n-1)d

Und wenn wir uns nun die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und welche fehlen? Verfügbar d=-0,5, Es gibt ein siebzehntes Mitglied... Ist es das? Wenn Sie denken, dass es das ist, dann werden Sie das Problem nicht lösen, ja ...

Wir haben noch eine Nummer N! Im Zustand a 17 =-2 versteckt zwei Parameter. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Termes (-2) als auch seine Zahl (17). Diese. n=17. Diese „Kleinigkeit“ geht oft am Kopf vorbei und ohne sie (ohne die „Kleinigkeit“, nicht den Kopf!) kann das Problem nicht gelöst werden. Obwohl... und auch ohne Kopf.)

Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh ja, ein 17 Wir wissen, dass es -2 ist. Okay, ersetzen wir:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Das ist im Grunde alles. Es bleibt noch, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Die Antwort wird sein: a 1 = 6.

Diese Technik – eine Formel aufzuschreiben und einfach bekannte Daten zu ersetzen – ist bei einfachen Aufgaben eine große Hilfe. Nun, natürlich müssen Sie in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik möglicherweise überhaupt nicht studiert werden ...

Ein weiteres beliebtes Rätsel:

Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; ein 15 =12.

Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)

a n = a 1 + (n-1)d

Betrachten wir, was wir wissen: a 1 =2; a 15 =12; und (ich werde besonders hervorheben!) n=15. Setzen Sie dies gerne in die Formel ein:

12=2 + (15-1)d

Wir rechnen.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Das ist die richtige Antwort.

Also, die Aufgaben für ein n, ein 1 Und D entschieden. Jetzt müssen Sie nur noch lernen, wie Sie die Nummer finden:

Die Zahl 99 ist ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 =12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.

Wir setzen die uns bekannten Größen in die Formel des n-ten Termes ein:

a n = 12 + (n-1) 3

Auf den ersten Blick gibt es hier zwei unbekannte Größen: ein n und n. Aber ein- Dies ist ein Mitglied der Progression mit einer Nummer N...Und wir kennen dieses Mitglied der Progression! Es ist 99. Wir kennen die Zahl nicht. N, Diese Nummer müssen Sie also finden. Wir setzen den Term der Progression 99 in die Formel ein:

99 = 12 + (n-1) 3

Wir drücken aus der Formel aus N, wir denken. Wir bekommen die Antwort: n=30.

Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):

Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Parameter? Hm... Warum bekommen wir Augen?) Sehen wir das erste Glied der Progression? Wir sehen. Das ist -3,6. Sie können sicher schreiben: a 1 = -3,6. Unterschied D Können Sie das anhand der Serie erkennen? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Folge ist:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Also haben wir das Einfachste gemacht. Es bleibt noch, sich mit der unbekannten Zahl zu befassen N und die unverständliche Zahl 117. Im vorherigen Problem war zumindest bekannt, dass es sich um den Term der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir noch nicht einmal... Was tun!? Nun, wie man ist, wie man ist... Schalten Sie Ihre kreativen Fähigkeiten ein!)

Wir vermuten dass 117 schließlich ein Mitglied unseres Fortschritts ist. Mit unbekannter Nummer N. Und versuchen wir, genau wie im vorherigen Problem, diese Nummer zu finden. Diese. wir schreiben die Formel (ja, ja!) und ersetzen unsere Zahlen:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Wieder drücken wir aus der Formel ausN, wir zählen und erhalten:

Hoppla! Die Zahl stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welche Schlussfolgerung können wir ziehen? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Weiterentwicklung. Es liegt irgendwo zwischen dem einhundertersten und dem einhundertzweiten Term. Wenn die Zahl natürlich ausfiel, d.h. eine positive ganze Zahl ist, wäre die Zahl ein Mitglied der Folge mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.

Eine Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:

Eine arithmetische Folge ergibt sich aus der Bedingung:

a n = -4 + 6,8n

Finden Sie das erste und zehnte Glied der Progression.

Hier ist der Verlauf auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel... Es passiert.) Allerdings ist diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge! Sie erlaubt es auch Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.

Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Fehler!) Weil die Formel in der Aufgabe geändert wurde. Der erste Term der arithmetischen Folge darin versteckt. Es ist okay, wir werden es jetzt finden.)

Genau wie in den vorherigen Problemen ersetzen wir n=1 in diese Formel:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!

Den zehnten Begriff suchen wir auf die gleiche Weise:

a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64

Das ist es.

Und nun für diejenigen, die diese Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)

Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation des Staatsexamens oder des Einheitlichen Staatsexamens die nützliche Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge vergessen. Ich erinnere mich an etwas, aber irgendwie unsicher... Oder N dort, bzw n+1, oder n-1... Wie sein!?

Ruhig! Diese Formel ist leicht abzuleiten. Es ist nicht sehr streng, reicht aber auf jeden Fall für das Selbstvertrauen und die richtige Entscheidung!) Um eine Schlussfolgerung zu ziehen, genügt es, sich die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge zu merken und sich ein paar Minuten Zeit zu nehmen. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.

Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und markieren Sie den ersten darauf. Zweiter, Dritter usw. Mitglieder. Und wir bemerken den Unterschied D zwischen Mitgliedern. So:

Wir schauen uns das Bild an und denken: Was bedeutet der zweite Term? Zweite eins D:

A 2 =a 1 + 1 D

Was ist die dritte Amtszeit? Dritte Term entspricht dem ersten Term plus zwei D.

A 3 =a 1 + 2 D

Verstehst du es? Nicht umsonst hebe ich einige Wörter fett hervor. Okay, noch ein Schritt).

Was ist der vierte Begriff? Vierte Term entspricht dem ersten Term plus drei D.

A 4 =a 1 + 3 D

Es ist an der Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d. h. D, Stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds N. Das heißt, auf die Zahl n, Anzahl der Leerzeichen Wille n-1. Daher lautet die Formel (ohne Variationen!):

a n = a 1 + (n-1)d

Im Allgemeinen sind visuelle Bilder bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik sehr hilfreich. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann... nur eine Formel!) Darüber hinaus ermöglicht die Formel des n-ten Termes, das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung zu verbinden – Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in die Gleichung einfügen ...

Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

Aufwärmen:

1. In der arithmetischen Folge (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Finden Sie eine 3.

Hinweis: Laut Bild lässt sich das Problem in 20 Sekunden lösen... Laut Formel wird es schwieriger. Aber um die Formel zu beherrschen, ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl mit dem Bild als auch mit der Formel gelöst. Fühle den Unterschied!)

Und das ist kein Aufwärmen mehr.)

2. In der arithmetischen Folge (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Finden Sie a 3 .

Was, du willst kein Bild zeichnen?) Natürlich! Besser nach der Formel, ja...

3. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.

In dieser Aufgabe wird der Verlauf wiederkehrend vorgegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Semester zählen... Nicht jeder ist zu einer solchen Leistung fähig.) Aber die Formel des n-ten Semesters liegt in der Macht eines jeden!

4. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finden Sie die Zahl des kleinsten positiven Termes der Progression.

5. Ermitteln Sie gemäß den Bedingungen von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Terme der Progression.

6. Das Produkt des fünften und zwölften Termes einer aufsteigenden arithmetischen Folge ist gleich -2,5 und die Summe des dritten und elften Termes ist gleich Null. Finden Sie eine 14.

Nicht die einfachste Aufgabe, ja...) Die „Fingertipp“-Methode wird hier nicht funktionieren. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.

Antworten (in Unordnung):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Passiert? Es ist schön!)

Es klappt nicht alles? Das passiert. Übrigens gibt es in der letzten Aufgabe einen subtilen Punkt. Beim Lesen des Problems ist Vorsicht geboten. Und Logik.

Die Lösung all dieser Probleme wird im Abschnitt 555 ausführlich besprochen. Und das Element der Fantasie für den vierten und der subtile Punkt für den sechsten sowie allgemeine Lösungsansätze für alle Probleme, die die Formel des n-ten Termes betreffen – alles wird beschrieben. Ich empfehle.