Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen. Was ist eine komplexe Zahl? Beispiele

Bei der Untersuchung der Eigenschaften einer quadratischen Gleichung wurde eine Einschränkung festgelegt - für eine Diskriminante kleiner als Null gibt es keine Lösung. Es wurde sofort festgelegt, dass es sich um eine Menge reeller Zahlen handelt. Den neugierigen Verstand eines Mathematikers wird es interessieren – was ist das Geheimnis, das in der Zurückhaltung gegenüber realen Werten steckt?

Im Laufe der Zeit führten Mathematiker das Konzept der komplexen Zahlen ein, bei denen der bedingte Wert der zweiten Wurzel von minus eins als Einheit genommen wird.

Geschichtlicher Bezug

Die mathematische Theorie entwickelt sich sequentiell, von einfach zu komplex. Lassen Sie uns herausfinden, wie das Konzept namens "komplexe Zahl" entstanden ist und warum es benötigt wird.

Die Grundlage der Mathematik ist seit jeher die übliche Rechnung. Die Forscher kannten nur den natürlichen Wertekanon. Addition und Subtraktion waren einfach. Als die wirtschaftlichen Beziehungen komplexer wurden, begann man mit der Multiplikation, anstatt die gleichen Werte zu addieren. Es gab eine umgekehrte Operation zur Multiplikation - Division.

Das Konzept einer natürlichen Zahl schränkte die Verwendung arithmetischer Operationen ein. Es ist unmöglich, alle Divisionsprobleme auf der Menge ganzzahliger Werte zu lösen. führte zuerst zum Konzept rationaler Bedeutungen und dann zu irrationalen Bedeutungen. Wenn es für das Rationale möglich ist, die genaue Position des Punktes auf der Linie anzugeben, dann ist es für das Irrationale unmöglich, einen solchen Punkt anzugeben. Sie können das Intervall nur annähern. Die Vereinigung von rationalen und irrationalen Zahlen bildete eine reelle Menge, die als eine bestimmte Linie mit einer bestimmten Skala dargestellt werden kann. Jeder Schritt entlang der Linie ist eine natürliche Zahl, und dazwischen liegen rationale und irrationale Werte.

Die Ära der theoretischen Mathematik begann. Die Entwicklung der Astronomie, Mechanik und Physik erforderte die Lösung immer komplexerer Gleichungen. Im Allgemeinen wurden die Wurzeln der quadratischen Gleichung gefunden. Bei der Lösung eines komplexeren kubischen Polynoms stießen Wissenschaftler auf einen Widerspruch. Das Konzept einer Kubikwurzel aus einem Negativ ist sinnvoll, aber für eine Quadratwurzel erhält man Unsicherheit. Außerdem ist die quadratische Gleichung nur ein Sonderfall der kubischen.

1545 schlug der Italiener J. Cardano vor, das Konzept einer imaginären Zahl einzuführen.

Diese Zahl war die zweite Wurzel von minus eins. Der Begriff komplexe Zahl wurde schließlich erst dreihundert Jahre später in den Werken des berühmten Mathematikers Gauß geprägt. Er schlug vor, alle Gesetze der Algebra formell auf die imaginäre Zahl auszudehnen. Die reale Linie hat sich zu einer Ebene erweitert. Die Welt ist größer geworden.

Grundlegendes Konzept

Erinnern Sie sich an eine Reihe von Funktionen, die Einschränkungen für die reale Menge haben:

• y = arcsin(x), definiert im Wertebereich zwischen negativer und positiver Eins.
• y = ln(x), sinnvoll für positive Argumente.
• Quadratwurzel y = √x, berechnet nur für x ≥ 0.

Wenn wir i = √(-1) bezeichnen, führen wir ein solches Konzept als imaginäre Zahl ein, wodurch alle Einschränkungen aus dem Definitionsbereich der obigen Funktionen entfernt werden. Ausdrücke wie y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) machen in einigen Bereichen komplexer Zahlen Sinn.

Die algebraische Form kann als Ausdruck z = x + i×y auf der Menge der reellen x- und y-Werte und i 2 = –1 geschrieben werden.

Das neue Konzept beseitigt alle Einschränkungen bei der Verwendung einer algebraischen Funktion und ähnelt in seinem Aussehen einem Graphen einer geraden Linie in den Koordinaten von realen und imaginären Werten.

Komplexes Flugzeug

Die geometrische Form komplexer Zahlen ermöglicht es uns, viele ihrer Eigenschaften visuell darzustellen. Auf der Achse Re(z) markieren wir die realen Werte von x, auf Im(z) - die imaginären Werte von y, dann zeigt der Punkt z in der Ebene den erforderlichen komplexen Wert an.

Definitionen:

• Re(z) - reelle Achse.
• Im(z) - bedeutet die imaginäre Achse.
• z ist ein Bedingungspunkt einer komplexen Zahl.
• Der Zahlenwert der Länge des Vektors vom Nullpunkt bis z wird Modul genannt.
• Die reelle und die imaginäre Achse teilen die Ebene in Viertel. Bei einem positiven Wert der Koordinaten - I Viertel. Wenn das Argument der realen Achse kleiner als 0 ist und das Argument der imaginären Achse größer als 0 - II Viertel ist. Wenn die Koordinaten negativ sind - III Viertel. Das letzte, vierte Quartal enthält viele positive reale Werte und negative imaginäre Werte.

Auf einer Ebene mit x- und y-Koordinatenwerten kann man sich also immer einen Punkt einer komplexen Zahl vorstellen. Das Symbol i wird eingeführt, um den Realteil vom Imaginärteil zu trennen.

Eigenschaften

1. Wenn der Wert des imaginären Arguments Null ist, erhalten wir nur eine Zahl (z = x), die auf der reellen Achse liegt und zur reellen Menge gehört.
2. In einem speziellen Fall, wenn der Wert des reellen Arguments Null wird, entspricht der Ausdruck z = i×y der Position des Punktes auf der imaginären Achse.
3. Die allgemeine Form z = x + i×y gilt für Nicht-Null-Werte der Argumente. Es bedeutet die Position des Punktes, der die komplexe Zahl in einem der Viertel charakterisiert.

trigonometrische Notation

Erinnere dich an das Polarkoordinatensystem und die Definition von sin und cos. Es ist offensichtlich, dass es mit Hilfe dieser Funktionen möglich ist, die Lage eines beliebigen Punktes auf der Ebene zu beschreiben. Dazu genügt es, die Länge des Polarstrahls und den Neigungswinkel zur reellen Achse zu kennen.

Definition. Eine Eingabe der Form ∣z ∣ multipliziert mit der Summe der trigonometrischen Funktionen cos(ϴ) und dem Imaginärteil i ×sin(ϴ) wird als trigonometrische komplexe Zahl bezeichnet. Die Bezeichnung ist hier der Neigungswinkel zur reellen Achse

ϴ = arg(z), und r = ∣z∣, die Länge des Balkens.

Aus der Definition und den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen folgt die sehr wichtige De-Moivre-Formel:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Unter Verwendung dieser Formel ist es bequem, viele Gleichungssysteme zu lösen, die trigonometrische Funktionen enthalten. Vor allem, wenn es um die Aufgabe der Potenzierung geht.

Modul und Phase

Um die Beschreibung einer komplexen Menge zu vervollständigen, schlagen wir zwei wichtige Definitionen vor.

Mit Kenntnis des Satzes des Pythagoras ist es einfach, die Länge des Strahls im Polarkoordinatensystem zu berechnen.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), eine solche Notation auf dem komplexen Raum heißt "Modul" und charakterisiert den Abstand von 0 zu einem Punkt auf der Ebene.

Der Neigungswinkel des komplexen Strahls zur reellen Linie ϴ wird allgemein als Phase bezeichnet.

Aus der Definition ist ersichtlich, dass Real- und Imaginärteil durch zyklische Funktionen beschrieben werden. Nämlich:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Umgekehrt wird die Phase durch die Formel mit algebraischen Werten in Beziehung gesetzt:

ϴ = arctan(x / y) + µ, die Korrektur µ wird eingeführt, um die Periodizität geometrischer Funktionen zu berücksichtigen.

Euler-Formel

Mathematiker verwenden oft die Exponentialform. Die Zahlen der komplexen Ebene werden als Ausdruck geschrieben

z = r × e i × ϴ , was aus der Euler-Formel folgt.

Eine solche Aufzeichnung ist für die praktische Berechnung physikalischer Größen weit verbreitet. Die Darstellungsform in Form von exponentiellen komplexen Zahlen ist besonders praktisch für technische Berechnungen, bei denen es notwendig wird, Schaltungen mit sinusförmigen Strömen zu berechnen und den Wert von Integralen von Funktionen mit einer bestimmten Periode zu kennen. Die Berechnungen selbst dienen als Werkzeug bei der Konstruktion verschiedener Maschinen und Mechanismen.

Operationen definieren

Wie bereits erwähnt, gelten alle algebraischen Gesetze der Arbeit mit mathematischen Grundfunktionen für komplexe Zahlen.

Summenoperation

Bei der Addition komplexer Werte werden auch deren Real- und Imaginärteil addiert.

z = z 1 + z 2 , wobei z 1 und z 2 allgemeine komplexe Zahlen sind. Wenn wir den Ausdruck umwandeln, nachdem wir die Klammern geöffnet und die Notation vereinfacht haben, erhalten wir das reale Argument x \u003d (x 1 + x 2), das imaginäre Argument y \u003d (y 1 + y 2).

Auf dem Graphen sieht dies nach der bekannten Parallelogrammregel wie die Addition zweier Vektoren aus.

Subtraktionsoperation

Es wird als Sonderfall der Addition betrachtet, wenn eine Zahl positiv ist, die andere negativ ist, sich also im Spiegelviertel befindet. Die algebraische Notation sieht aus wie der Unterschied zwischen Real- und Imaginärteil.

z \u003d z 1 - z 2, oder unter Berücksichtigung der Werte der Argumente erhalten wir ähnlich wie bei der Additionsoperation für reale Werte x \u003d (x 1 - x 2) und imaginäre Werte y \u003d (y 1 - y 2).

Multiplikation in der komplexen Ebene

Aus den Regeln für die Arbeit mit Polynomen leiten wir eine Formel zur Lösung komplexer Zahlen ab.

Nach den allgemeinen algebraischen Regeln z=z 1 ×z 2 beschreiben wir jedes Argument und geben ähnliche an. Real- und Imaginärteil können wie folgt geschrieben werden:

• x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Schöner sieht es aus, wenn wir exponentiell komplexe Zahlen verwenden.

Der Ausdruck sieht folgendermaßen aus: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Aufteilung

Wenn wir die Divisionsoperation als Umkehrung der Multiplikationsoperation betrachten, erhalten wir einen einfachen Ausdruck in Exponentialform. Die Division des Werts von z 1 durch z 2 ist das Ergebnis der Division ihrer Module und der Phasendifferenz. Formal sieht es bei Verwendung der Exponentialform komplexer Zahlen so aus:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e ich ϴ 1 / r 2 × e ich ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e ich (ϴ 1- ϴ 2) .

In Form der algebraischen Notation wird die Operation zum Teilen der Zahlen der komplexen Ebene etwas komplizierter geschrieben:

Durch Schreiben der Argumente und Durchführen von Polynomtransformationen ist es einfach, die Werte x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2 bzw. y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2 zu erhalten. innerhalb des beschriebenen Raums macht dieser Ausdruck jedoch Sinn, wenn z 2 ≠ 0.

Wir extrahieren die Wurzel

All dies kann bei der Definition komplexerer algebraischer Funktionen angewendet werden - Potenzieren mit einer beliebigen Potenz und Umkehrung dazu - Ziehen der Wurzel.

Unter Verwendung des allgemeinen Konzepts des Potenzierens mit n erhalten wir die Definition:

z n = (r × e ich ϴ) n .

Unter Verwendung gemeinsamer Eigenschaften können wir es in der Form umschreiben:

z n = r n × e ich ϴ n .

Wir haben eine einfache Formel, um eine komplexe Zahl zu potenzieren.

Aus der Definition des Grades erhalten wir eine sehr wichtige Konsequenz. Eine gerade Potenz der imaginären Einheit ist immer 1. Jede ungerade Potenz der imaginären Einheit ist immer -1.

Lassen Sie uns nun die Umkehrfunktion untersuchen - das Ziehen der Wurzel.

Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir n = 2. Die Quadratwurzel w des komplexen Werts z auf der komplexen Ebene C wird normalerweise als der Ausdruck z = ± angesehen, der für jedes reelle Argument größer oder gleich Null gültig ist. Für w ≤ 0 gibt es keine Lösung.

Betrachten wir die einfachste quadratische Gleichung z 2 = 1. Unter Verwendung der Formeln für komplexe Zahlen schreiben wir r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 um. Aus der Aufzeichnung ist ersichtlich, dass r 2 = 1 und ϴ = 0, daher haben wir eine eindeutige Lösung gleich 1. Dies widerspricht jedoch dem Konzept, dass z = -1, auch der Definition einer Quadratwurzel entspricht.

Lassen Sie uns herausfinden, was wir nicht berücksichtigen. Wenn wir uns an die trigonometrische Notation erinnern, stellen wir die Aussage wieder her - bei einer periodischen Änderung der Phase ϴ ändert sich die komplexe Zahl nicht. Sei p der Wert der Periode, dann haben wir r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , also 2ϴ = 0 + p, oder ϴ = p / 2. Daher haben wir e i 0 = 1 und e i p / 2 = -1 . Wir haben die zweite Lösung erhalten, die dem allgemeinen Verständnis der Quadratwurzel entspricht.

Um also eine beliebige Wurzel einer komplexen Zahl zu finden, folgen wir dem Verfahren.

• Wir schreiben die Exponentialform w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k ist eine beliebige ganze Zahl.
• Die gesuchte Zahl kann auch in der Euler-Form z = r × e i ϴ dargestellt werden.
• Verwenden wir die allgemeine Definition der Wurzelziehfunktion r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Aus den allgemeinen Eigenschaften der Gleichheit von Moduln und Argumenten schreiben wir r n = ∣w∣ und nϴ = arg (w) + p×k.
• Die endgültige Aufzeichnung der Wurzel einer komplexen Zahl wird durch die Formel z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n beschrieben.
• Kommentar. Der Wert ∣w∣ ist per Definition eine positive reelle Zahl, also macht jede Potenzwurzel Sinn.

Feld und Konjugation

Abschließend geben wir zwei wichtige Definitionen an, die für die Lösung angewandter Probleme mit komplexen Zahlen von geringer Bedeutung sind, aber für die Weiterentwicklung der mathematischen Theorie unerlässlich sind.

Die Ausdrücke für Addition und Multiplikation bilden einen Körper, wenn sie die Axiome für beliebige Elemente der komplexen Ebene z erfüllen:

1. Bei einem Wechsel der Stellen komplexer Terme ändert sich die komplexe Summe nicht.
2. Die Aussage ist wahr - in einem komplexen Ausdruck kann jede Summe zweier Zahlen durch ihren Wert ersetzt werden.
3. Es gibt einen neutralen Wert 0, für den z + 0 = 0 + z = z gilt.
4. Für jedes z gibt es ein Gegenteil - z, dessen Addition Null ergibt.
5. Wenn die Stellen komplexer Faktoren geändert werden, ändert sich das komplexe Produkt nicht.
6. Die Multiplikation zweier beliebiger Zahlen kann durch ihren Wert ersetzt werden.
7. Es gibt einen neutralen Wert 1, dessen Multiplikation die komplexe Zahl nicht ändert.
8. Für jedes z ≠ 0 gibt es einen Kehrwert von z -1, der multipliziert 1 ergibt.
9. Die Summe zweier Zahlen mit einem Drittel zu multiplizieren ist gleichbedeutend damit, jede von ihnen mit dieser Zahl zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren.
10. 0 ≠ 1.

Die Zahlen z 1 = x + i×y und z 2 = x - i×y heißen konjugiert.

Satz. Für die Konjugation gilt die Aussage:

• Die Konjugation der Summe ist gleich der Summe der konjugierten Elemente.
• Die Konjugation eines Produkts ist gleich dem Produkt von Konjugationen.
• gleich der Zahl selbst.

In der allgemeinen Algebra werden solche Eigenschaften Körperautomorphismen genannt.

Beispiele

Wenn Sie die obigen Regeln und Formeln für komplexe Zahlen befolgen, können Sie sie leicht bearbeiten.

Betrachten wir die einfachsten Beispiele.

Aufgabe 1. Bestimmen Sie mit der Gleichung 3y +5 x i= 15 - 7i x und y.

Lösung. Erinnern Sie sich an die Definition komplexer Gleichungen, dann ist 3y = 15, 5x = -7. Daher x = -7 / 5, y = 5.

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Werte 2 + i 28 und 1 + i 135 .

Lösung. Offensichtlich ist 28 eine gerade Zahl, aus der Folge der Definition einer komplexen Zahl in der Potenz haben wir i 28 = 1, was bedeutet, dass der Ausdruck 2 + i 28 = 3 ist. Der zweite Wert, i 135 = - 1, dann 1 + i 135 = 0.

Aufgabe 3. Berechnen Sie das Produkt der Werte 2 + 5i und 4 + 3i.

Lösung. Aus den allgemeinen Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen erhalten wir (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Der neue Wert ist -7 + 26i.

Aufgabe 4. Berechnen Sie die Wurzeln der Gleichung z 3 = -i.

Lösung. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine komplexe Zahl zu finden. Betrachten wir eine der möglichen. Per Definition ist ∣ - i∣ = 1, die Phase für -i ist -p / 4. Die ursprüngliche Gleichung kann umgeschrieben werden als r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , womit z = e - p / 12 + pk /3 , für jede ganze Zahl k.

Der Lösungssatz hat die Form (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3).

Warum komplexe Zahlen benötigt werden

Die Geschichte kennt viele Beispiele, wenn Wissenschaftler bei der Arbeit an einer Theorie nicht einmal an die praktische Anwendung ihrer Ergebnisse denken. Mathematik ist zuallererst ein Gedankenspiel, ein striktes Festhalten an Ursache-Wirkungs-Beziehungen. Fast alle mathematischen Konstruktionen werden auf die Lösung von Integral- und Differentialgleichungen reduziert, und diese wiederum werden mit einer gewissen Annäherung durch das Finden der Wurzeln von Polynomen gelöst. Hier begegnen wir erstmals dem Paradox der imaginären Zahlen.

Naturwissenschaftler, die ganz praktische Probleme lösen, indem sie auf Lösungen verschiedener Gleichungen zurückgreifen, entdecken mathematische Paradoxien. Die Interpretation dieser Paradoxien führt zu absolut erstaunlichen Entdeckungen. Die duale Natur elektromagnetischer Wellen ist ein solches Beispiel. Komplexe Zahlen spielen eine entscheidende Rolle beim Verständnis ihrer Eigenschaften.

Dies hat wiederum praktische Anwendung in der Optik, Funkelektronik, Energie und vielen anderen technologischen Bereichen gefunden. Ein weiteres Beispiel, viel schwieriger zu verstehende physikalische Phänomene. Antimaterie wurde an der Spitze eines Stiftes vorhergesagt. Und erst nach vielen Jahren beginnen Versuche, es physikalisch zu synthetisieren.

Man sollte nicht glauben, dass solche Situationen nur in der Physik existieren. Nicht weniger interessante Entdeckungen werden in der Tierwelt, bei der Synthese von Makromolekülen und beim Studium der künstlichen Intelligenz gemacht. Und all dies ist auf die Erweiterung unseres Bewusstseins zurückzuführen, die das einfache Addieren und Subtrahieren natürlicher Werte vermeidet.

ThemaKomplexe Zahlen und Polynome

Vorlesung 22

§eines. Komplexe Zahlen: grundlegende Definitionen

Symbol geben Sie das Verhältnis ein
und heißt imaginäre Einheit. Mit anderen Worten,
.

Definition. Ausdruck der Form
, wo
, heißt eine komplexe Zahl, und die Zahl heißt Realteil einer komplexen Zahl und bezeichnen
, Nummer - Imaginärteil und bezeichnen
.

Aus dieser Definition folgt, dass die reellen Zahlen diejenigen komplexen Zahlen sind, deren Imaginärteil gleich Null ist.

Es ist zweckmäßig, komplexe Zahlen als Punkte einer Ebene darzustellen, auf der ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem gegeben ist, nämlich: eine komplexe Zahl
Matchball
umgekehrt. auf Achse
Es werden reelle Zahlen angezeigt, die als reelle Achse bezeichnet werden. Komplexe Zahlen der Form

werden als rein imaginär bezeichnet. Sie werden als Punkte auf der Achse dargestellt.
, die als imaginäre Achse bezeichnet wird. Diese Ebene, die zur Darstellung komplexer Zahlen dient, wird als komplexe Ebene bezeichnet. Eine komplexe Zahl, die nicht reell ist, d.h. so dass
, manchmal auch als imaginär bezeichnet.

Zwei komplexe Zahlen heißen genau dann gleich, wenn sie denselben Real- und Imaginärteil haben.

Addition, Subtraktion und Multiplikation komplexer Zahlen werden nach den üblichen Regeln der Polynomalgebra durchgeführt, wobei berücksichtigt wird, dass

. Die Divisionsoperation kann als Umkehrung der Multiplikationsoperation definiert werden und man kann die Eindeutigkeit des Ergebnisses beweisen (wenn der Divisor von Null verschieden ist). In der Praxis wird jedoch ein anderer Ansatz verwendet.

Komplexe Zahlen
und
werden konjugiert genannt, auf der komplexen Ebene werden sie durch Punkte dargestellt, die symmetrisch zur reellen Achse sind. Es ist klar, dass:

1)

;

2)
;

3)
.

Jetzt geteilt auf der kann wie folgt erfolgen:

.

Es ist nicht schwer, das zu zeigen

,

wo Symbol steht für eine beliebige arithmetische Operation.

Lassen
irgendeine imaginäre Zahl, und ist eine reelle Variable. Das Produkt zweier Binome

ist ein quadratisches Trinom mit reellen Koeffizienten.

Jetzt, da wir komplexe Zahlen zur Verfügung haben, können wir jede quadratische Gleichung lösen
.Wenn, dann

und die Gleichung hat zwei komplexe konjugierte Wurzeln

.

Wenn ein
, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn ein
, dann hat die Gleichung zwei identische Wurzeln.

§2. Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Wie oben erwähnt, die komplexe Zahl
bequem mit einem Punkt darzustellen
. Man kann eine solche Zahl auch mit dem Radiusvektor dieses Punktes identifizieren
. Bei dieser Interpretation erfolgt die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen nach den Regeln der Addition und Subtraktion von Vektoren. Für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen ist eine andere Form bequemer.

Wir führen auf der komplexen Ebene ein
Polarkoordinatensystem. Wo dann
,
und komplexe Zahl
kann geschrieben werden als:

Diese Form der Notation wird trigonometrisch genannt (im Gegensatz zur algebraischen Form
). In dieser Form die Zahl heißt Modul und - Argument für komplexe Zahlen . Sie sind gekennzeichnet:
,

. Für das Modul haben wir die Formel

Das Zahlenargument ist mehrdeutig definiert, aber bis auf einen Begriff
,
. Der Wert des Arguments, das die Ungleichungen erfüllt
, wird Prinzipal genannt und bezeichnet
. Dann,
. Für den Hauptwert des Arguments können Sie die folgenden Ausdrücke erhalten:

,

Zahlenargument
gilt als undefiniert.

Die Bedingung für die Gleichheit zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form hat die Form: Die Module der Zahlen sind gleich, und die Argumente unterscheiden sich um ein Vielfaches
.

Finden Sie das Produkt zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form:

Wenn also Zahlen multipliziert werden, werden ihre Module multipliziert und die Argumente addiert.

In ähnlicher Weise kann festgestellt werden, dass beim Dividieren die Module von Zahlen dividiert und die Argumente subtrahiert werden.

Wenn wir die Potenzierung als mehrfache Multiplikation verstehen, können wir die Formel zum Potenzieren einer komplexen Zahl erhalten:

Wir leiten eine Formel für ab
- Wurzel Potenz einer komplexen Zahl (Nicht zu verwechseln mit der arithmetischen Wurzel einer reellen Zahl!). Die Wurzelziehoperation ist die Umkehrung der Potenzierungsoperation. Deshalb
ist eine komplexe Zahl so dass
.

Lassen
bekannt und
gesucht werden. Dann

Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen in trigonometrischer Form folgt das

,
,
.

Von hier
(es ist eine arithmetische Wurzel!),

,
.

Es ist leicht, das zu überprüfen kann nur annehmen wesentlich unterschiedliche Werte, zum Beispiel wann
. Endlich haben wir die Formel:

,
.

Also die Wurzel Grad aus einer komplexen Zahl hat verschiedene Werte. In der komplexen Ebene befinden sich diese Werte korrekt an den Scheitelpunkten -gon in einem Radiuskreis eingeschrieben
am Ursprung zentriert. Die „erste“ Wurzel hat ein Argument
, unterscheiden sich die Argumente zweier „benachbarter“ Wurzeln um
.

Beispiel. Nehmen wir die Kubikwurzel der imaginären Einheit:
,
,
. Dann:

,

§eines. Komplexe Zahlen

1°. Definition. Algebraische Notation.

Bestimmung 1. Komplexe Zahlen sogenannte geordnete Paare reeller Zahlen und , wenn der Begriff der Gleichheit für sie definiert ist, die Operationen der Addition und Multiplikation, die die folgenden Axiome erfüllen:

1) Zwei Zahlen
und
gleich wenn und nur wenn
,
, d.h.

2) Die Summe komplexer Zahlen
und

und gleich
, d.h.

3) Das Produkt komplexer Zahlen
und
die Nummer wird angerufen
und gleich, d.h.

Die Menge der komplexen Zahlen wird bezeichnet C.

Formeln (2),(3) für Zahlen der Form
nimm das Formular

woraus folgt, dass die Operationen der Addition und Multiplikation für Zahlen der Form
stimmen mit Addition und Multiplikation für reelle Zahlen überein eine komplexe Zahl der Form
wird mit einer reellen Zahl identifiziert .

Komplexe Zahl
genannt imaginäre Einheit und bezeichnet , d.h.
Dann aus (3)

Aus (2),(3)  was bedeutet

Ausdruck (4) wird aufgerufen algebraische Notation komplexe Zahl.

In algebraischer Form haben die Additions- und Multiplikationsoperationen die Form:

Die komplexe Zahl wird bezeichnet
,- der Realteil, ist der Imaginärteil, ist eine rein imaginäre Zahl. Bezeichnung:
,
.

Bestimmung 2. Komplexe Zahl
genannt konjugieren mit einer komplexen Zahl
.

Eigenschaften der komplexen Konjugation.

1)

2)
.

3) Wenn
, dann
.

4)
.

5)
ist eine reelle Zahl.

Der Nachweis erfolgt durch direkte Rechnung.

Bestimmung 3. Nummer
genannt Modul komplexe Zahl
und bezeichnet
.

Es ist klar, dass
, und


. Auch die Formeln sind offensichtlich:
und
.

2°. Eigenschaften von Additions- und Multiplikationsoperationen.

1) Kommutativität:
,
.

2) Assoziativität:,
.

3) Distributivität: .

Der Beweis 1) - 3) erfolgt durch direkte Rechnungen aufgrund ähnlicher Eigenschaften für reelle Zahlen.

4)
,
.

5) , C ! , die Gleichung erfüllt
. Eine solche

6) ,C, 0, ! :
. Eine solche wird durch Multiplizieren der Gleichung mit gefunden



.

Beispiel. Stellen Sie sich eine komplexe Zahl vor
in algebraischer Form. Multiplizieren Sie dazu Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Konjugierten des Nenners. Wir haben:

3°. Geometrische Interpretation komplexer Zahlen. Trigonometrische und exponentielle Schreibweise einer komplexen Zahl.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Dann
C man kann einem Punkt auf der Ebene Koordinaten zuordnen
.(siehe Abb. 1). Es ist offensichtlich, dass eine solche Korrespondenz eineindeutig ist. Dabei liegen auf der Abszissenachse reelle Zahlen und auf der Ordinatenachse rein imaginäre Zahlen. Daher wird die Abszissenachse genannt echte Achse, und die y-Achse − imaginäre Achse. Die Ebene, auf der die komplexen Zahlen liegen, wird genannt komplexe Ebene.

Beachten Sie, dass und
sind symmetrisch um den Ursprung, und und sind symmetrisch zu Ox.

Jede komplexe Zahl (d. h. jeder Punkt auf der Ebene) kann einem Vektor zugeordnet werden, dessen Anfang am Punkt O und dessen Ende am Punkt liegt
. Die Entsprechung zwischen Vektoren und komplexen Zahlen ist eineindeutig. Daher entspricht der Vektor der komplexen Zahl , mit demselben Buchstaben bezeichnet

D Vektorlinie
entsprechend der komplexen Zahl
, ist gleich
, und
,
.

Unter Verwendung der Vektorinterpretation kann man sehen, dass der Vektor
− Summe der Vektoren und , a
− Summe der Vektoren und
.(siehe Abb. 2). Daher gelten die folgenden Ungleichungen:

Zusammen mit der Länge Vektor Wir führen den Winkel ein zwischen Vektor und die Ox-Achse, gezählt von der positiven Richtung der Ox-Achse: Wenn die Zählung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, wird das Vorzeichen des Winkels als positiv betrachtet, wenn im Uhrzeigersinn, dann negativ. Diese Ecke heißt Argument für komplexe Zahlen und bezeichnet
. Ecke ist nicht eindeutig, aber präzise definiert
…. Zum
Das Argument ist nicht definiert.

Formeln (6) definieren die sog trigonometrische Notation komplexe Zahl.

Aus (5) folgt, dass wenn
und
dann

Ab (5)
was durch und Eine komplexe Zahl ist eindeutig definiert. Die Umkehrung gilt nicht: nämlich durch die komplexe Zahl sein Modul ist einzigartig, und das Argument , wegen (7), − mit Genauigkeit
. Aus (7) folgt auch, dass das Argument kann als Lösung der Gleichung gefunden werden

Jedoch sind nicht alle Lösungen dieser Gleichung Lösungen von (7).

Unter allen Werten des Arguments einer komplexen Zahl wird einer ausgewählt, der als Hauptwert des Arguments bezeichnet und bezeichnet wird
. Normalerweise wird der Hauptwert des Arguments entweder im Intervall gewählt
, oder im Intervall

In trigonometrischer Form ist es bequem, Multiplikations- und Divisionsoperationen durchzuführen.

Satz 1. Modul des Produkts komplexer Zahlen und ist gleich dem Produkt der Module, und das Argument ist gleich der Summe der Argumente, d.h.

, a .

Ähnlich

,

Nachweisen. Lassen ,. Dann erhalten wir durch direkte Multiplikation:

Ähnlich

.■

Folge(Formel von De Moivre). Zum
Die Formel von Moivre ist gültig

P Beispiel. Lassen Sie die geometrische Position des Punktes finden
. Aus Satz 1 folgt, dass .

Um es zu konstruieren, müssen Sie daher zuerst einen Punkt konstruieren , was die Umkehrung ist um den Einheitskreis herum und finden Sie dann einen dazu symmetrischen Punkt um die x-Achse.

Lassen
,diese.
Komplexe Zahl
bezeichnet
, d.h. R die Euler-Formel gilt

Als
, dann
,
. Aus Satz 1
was ist mit der funktion
man kann wie mit einer gewöhnlichen Exponentialfunktion arbeiten, d.h. Gleichheiten sind wahr

,
,
.

Ab (8)
Exponentialschreibweise komplexe Zahl

, wo
,

Beispiel. .

4°. Wurzeln Potenz einer komplexen Zahl.

Betrachten Sie die Gleichung

Lassen
, und die Lösung von Gleichung (9) wird in der Form gesucht
. Dann nimmt (9) die Form an
, woher wir das finden
,
, d.h.

,
,
.

Somit hat Gleichung (9) Wurzeln

Zeigen wir, dass es unter (10) genau gibt verschiedene Wurzeln. Wirklich,

sind anders, weil Ihre Argumente sind unterschiedlich und unterscheiden sich weniger als
. Des Weiteren,
, Weil
. Ähnlich
.

Somit ist Gleichung (9) für
hat genau Wurzeln
befindet sich an den Scheitelpunkten eines regulären -gon in einem Radiuskreis eingeschrieben zentriert bei T.O.

Damit ist es bewiesen

Satz 2. Wurzelextraktion Potenz einer komplexen Zahl
immer möglich. Alle Root-Werte Grad an befindet sich an der Spitze des richtigen -Eck in einen Kreis eingeschrieben mit Mittelpunkt bei Null und Radius
. Dabei,

Folge. Wurzeln -ten Grades von 1 werden durch die Formel ausgedrückt

.

Das Produkt zweier Wurzeln von 1 ist eine Wurzel, 1 ist eine Wurzel -ten Grades von der Einheit, Wurzel
:
.

Erinnern Sie sich an die notwendigen Informationen über komplexe Zahlen.

Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a + Bi, wo a, b reelle Zahlen sind, und ich- sogenannt imaginäre Einheit, das Symbol, dessen Quadrat -1 ist, d.h. ich 2 = -1. Nummer a genannt echter Teil, und die Nummer b - Imaginärer Teil komplexe Zahl z = a + Bi. Wenn ein b= 0, dann statt a + 0ich einfach schreiben a. Man sieht, dass reelle Zahlen ein Spezialfall von komplexen Zahlen sind.

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen sind die gleichen wie mit reellen Zahlen: Sie können miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Addition und Subtraktion gehen nach der Regel ( a + Bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)ich, und Multiplikation - nach der Regel ( a + Bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(Hier wird nur das verwendet ich 2 = -1). Zahl = a – Bi genannt Komplex konjugiert zu z = a + Bi. Gleichberechtigung z · = a 2 + b 2 ermöglicht Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere komplexe Zahl (nicht Null) dividiert:

(Zum Beispiel, .)

Komplexe Zahlen haben eine bequeme und visuelle geometrische Darstellung: die Zahl z = a + Bi kann als Vektor mit Koordinaten ( a; b) auf der kartesischen Ebene (oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt - das Ende des Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die durch die Parallelogrammregel gefunden werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( a; b) ist gleich . Dieser Wert wird aufgerufen Modul komplexe Zahl z = a + Bi und ist mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (im Gegenuhrzeigersinn gezählt) bildet, wird genannt Streit komplexe Zahl z und mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π Radiant (oder 360°, wenn Sie in Grad zählen) - schließlich ist klar, dass das Drehen um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht ändert. Aber wenn der Vektor der Länge r bildet einen Winkel φ mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind ihre Koordinaten gleich ( r cos φ ; r Sünde φ ). Daher stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| (cos(Arg z) + ich Sünde (arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Die Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form sieht sehr einfach aus: z eines · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + ich Sünde (arg z 1+arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Moduli multipliziert und die Argumente addiert). Ab hier folgen De Moivre-Formeln: z n = |z|n(weil ( n(Arg z)) + ich Sünde( n(Arg z))). Mit Hilfe dieser Formeln ist es leicht zu lernen, wie man Wurzeln beliebigen Grades aus komplexen Zahlen zieht. n-te Wurzel von z ist so eine komplexe Zahl w, was w n = z. Es ist klar, dass , und wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., n- eines). Das heißt, es gibt immer genau n Wurzeln n Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene befinden sie sich an den Ecken einer regulären n-gon).