Kapitel xxxiii. Anwendung integraler Transformationen zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik

Betriebsmethoden.

Bei vielen Problemen der Wärmeleitfähigkeit erweist sich der Einsatz klassischer Methoden als wirkungslos, beispielsweise der Einsatz der Methode der Variablentrennung bei Problemen mit internen Wärmequellen.

Die Grundregeln und Theoreme der Operationsrechnung wurden von M. Vishchenko-Zakharchenko und Heaviswid erhalten. Dank der Arbeit von Heaviside erlangten sie in der Elektrotechnik ihre weiteste Verbreitung.

Die Heaviswid-Operationsmethode entspricht der Laplace-Integraltransformationsmethode.

Die Laplace-Transformationsmethode besteht darin, nicht die Funktion selbst (Original), sondern ihre Modifikation (Bild) zu untersuchen.

Integrale Transformation einer Funktion
wird durch die Formel bestimmt

(40)

Dabei kann S eine komplexe Zahl sein; aber gleichzeitig ist der Dingteil größer als 0.

- Original;
- Bild der Funktion. Damit das Bild existiert, muss Integral (51) konvergieren.

Wird das Problem in Bildern gelöst, so wird das Original aus dem Bild (Transformation) mithilfe der Inversionsformel ermittelt

(41)

Anstelle der Formel (52) zur Bestimmung des Originals einer Funktion aus ihrem Bild können Sie die folgende Umkehrformel verwenden

(41.a)

Diese Formel ermöglicht es, die ursprüngliche Funktion nur durch die Operation der Differenzierung und des Übergangs zum Grenzwert zu erhalten.

Wenn das Bild eine Funktion ist

(42)

was ein Teilfall von zwei vollständigen transzendenten Funktionen ist, dann haben wir nach dem Erweiterungssatz

(43)

Wo - einfache Wurzeln einer Funktion
; in diesem Fall enthält der Nenner keine freien Terme und

2. Wenn das Bild
stellt das Verhältnis zweier Nennwerte (Bruch-Rational-Funktion) und den Nennwert dar
kleiner als der Nennwert
, und Konfession
hat Wurzeln der Multiplizität K an den Punkten , Das

wobei die Summe über alle Wurzeln genommen wird
. Wenn alle Wurzeln einfach sind, d.h. alle K gleich eins sind, dann geht Formel (5) in (43) über

Die integrale Laplace-Transformation hat ihre Nachteile. Schwierigkeiten ergeben sich insbesondere bei der Lösung von Problemen, bei denen die Bedingungen als Funktion von Raumkoordinaten angegeben werden, oder bei der Lösung mehrdimensionaler Probleme.

In diesem Zusammenhang wurden eine Reihe von Methoden zur Integraltransformation entlang räumlicher Koordinaten entsprechend der geometrischen Form des Körpers vorgeschlagen.

Erfolgt die Transformation entlang der Raumkoordinate x, so handelt es sich um eine Integraltransformation der Funktion
lässt sich so darstellen:

(44)

Wenn der Transformationskern K(p,x) in der Form angenommen wird
oder
, dann wird diese Integraltransformation Sinus- bzw. Cosinus-Fourier-Transformation genannt.

Wenn die Bessel-Funktion als Transformationskern gewählt wird
, dann spricht man von der Hankel-Transformation.

Die komplexe Fourier-Transformation ist praktisch für Körper unbegrenzter Ausdehnung; die Sinus-Fourier-Transformation sollte verwendet werden, wenn der Wert auf der Oberfläche des Körpers durch Formeln angegeben wird, d. h. bei GU!, und Cosinus ist die Fourier-Transformation, wenn das Differential gelöst wird. Transportgleichungen bei GI2. Hankel-Transformationen sind anwendbar, wenn der Körper axialsymmetrisch ist. Die praktische Anwendung dieser Integraltransformationen bereitet bei Vorhandensein detaillierter Bildtabellen keine besonderen Schwierigkeiten.

Der Übergang von Bildern zu Originalen kann mit den Umkehrformeln erfolgen für:

Komplexe Fourier-Transformation

(45)

Sinus-Fourier-Transformation

(46)

Cosinus-Fourier-Transformation

(47)

Hankel-Transformation

(48)

Die betrachteten Integraltransformationen sind auf Körper mit halbbegrenztem Ausmaß anwendbar.

Endliche Integraltransformationen

Die Grenzen der Integraltransformationen von Fourier, Hankel und teilweise Laplace einerseits und die dringende Notwendigkeit, Probleme mit einem endlichen Bereich von Variablenänderungen andererseits zu lösen, führten zur Entwicklung von Methoden für endliche Integraltransformationen . Sie sind selbst für Probleme, die mit klassischen Methoden gelöst werden, vorzuziehen.

Die Idee der Methode der endlichen Integraltransformation wurde von N.S. vorgeschlagen. Kommekow

(49)

Die weitere Ausarbeitung der Fragen der Methode der endlichen Integraltransformationen spiegelte sich in den Werken von Griabarga G.A., Sleddon, Tranter, Deug (Deig) und anderen wider.

Wenn die Integrationsgrenze zwischen 0 und e liegt, hat der Kern der endlichen Sinus- und Cosinus-Fourier-Transformationen bzw. der Hankel-Transformationen die Form:

(50)

(51)

Mit GU1 und GU2
, und bei GU3 sind die Wurzeln der Gleichung

(52)

Die Transformation, die eine Funktion reeller Variablen auf eine Funktion abbildet

Reale Variablen und Variable 7, im Allgemeinen komplex, werden als Integraltransformationen in Bezug auf die Variable bezeichnet. Die Variable wird als Transformationsvariable bezeichnet. Der Übersichtlichkeit halber wird die Transformationsvariable im Folgenden mit dem Symbol bezeichnet. Die Integraltransformation (1) wird durch die Transformationsgrenzen, den Kernel und die Gewichtsfunktion bestimmt. Die Grenzen können unendlich sein; Die Eigenschaften der Funktionen werden im Folgenden festgelegt. Eine Funktion wird als Integraltransformation sowie als Integraltransformation, Bild oder Abbild einer Funktion bezeichnet. Im Folgenden wird überwiegend der erste dieser äquivalenten Begriffe verwendet. Eine Funktion wird oft als Original oder Prototyp einer Funktion bezeichnet

Integrale Transformationen sind über mehrere oder alle Variablen gleichzeitig möglich. Verallgemeinerung auf diesen oben gegebenen Fall

Die Definitionen liegen auf der Hand. Im Folgenden betrachten wir Transformationen nur für eine Variable. Die aufeinanderfolgende Anwendung solcher Transformationen entspricht jedoch einer Transformation mehrerer Variablen.

Wir werden die transformierten Funktionen mit denselben Symbolen wie vor der Transformation bezeichnen, jedoch mit einer Art Symbol über dem Symbol: einer Linie, einer Wellenlinie und anhand welcher Variablen die Transformation durchgeführt wurde, wird aus welchen Argumenten klar Die transformierte Funktion hängt davon ab. Beispielsweise werden wir die Integraltransformation einer Funktion bezüglich der Variablen Argumente nicht explizit ausschreiben, sofern dies nicht zu Missverständnissen führen kann.

Die Transformation, durch die eine Funktion wieder in eine Funktion umgewandelt wird, wird als inverse Integraltransformation (1) oder einfach als Umkehrtransformation bezeichnet. In diesem Fall wird die Transformation (1) selbst als direkt bezeichnet.

Die Integraltransformation ist definiert, wenn das Integral auf der rechten Seite von (1) existiert. Für die praktische Anwendung von Integraltransformationen ist es jedoch wichtig, dass es auch inverse Transformationen gibt, die zusammen mit (1) eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen zwei Funktionsklassen herstellen würden: der ursprünglichen Funktionsklasse und der Klasse von Funktionen, die ihre Integraltransformationen sind. Unter dieser Bedingung ist es auch möglich, eine Korrespondenz zwischen Operationen auf beiden Klassen von Funktionen herzustellen, und die Lösung eines Problems für Funktionen einer Klasse kann zu einem Problem für Funktionen einer anderen Klasse führen, das möglicherweise einfacher ist. Nachdem dieses letztere Problem gelöst wurde, wird mithilfe der Rücktransformation eine Lösung für das ursprüngliche Problem gefunden. Ein dem Leser wohlbekanntes Beispiel ist die Operationsrechnung, die auf der Verwendung der Laplace-Integraltransformation basiert. Hier entspricht die Differenzierung von Funktionen der ursprünglichen Funktionsklasse der Multiplikation von Funktionen, die Laplace-Transformationen sind, mit einer unabhängigen Variablen. Dadurch werden Probleme für gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf algebraische Probleme für transformierte Funktionen reduziert.

Die Idee, Integraltransformationen in Problemen für partielle Differentialgleichungen zu verwenden, ist ähnlich: Man strebt danach, eine Integraltransformation zu wählen, die es ermöglicht, Differentialoperationen an einer der Variablen durch algebraische Operationen zu ersetzen. Wenn dies gelingt, ist das transformierte Problem normalerweise einfacher als das ursprüngliche. Nachdem sie eine Lösung für das transformierte Problem gefunden haben, finden sie mithilfe der Rücktransformation eine Lösung für das ursprüngliche Problem. Der Hauptunterschied zur Operationsrechnung besteht in der Anwendung von Integraltransformationen auf Gleichungen mit

Bei partiellen Ableitungen handelt es sich um die Verwendung eines größeren Bereichs von Integraltransformationen, was wichtig ist, wenn die Koeffizienten der Gleichungen variabel sind.

INTEGRALE TRANSFORMATION, funktionale Transformation der Form

wobei C eine endliche oder unendliche Kontur in der komplexen Ebene ist, K(x, t) der Kern der Integraltransformation ist. Am häufigsten werden Integraltransformationen betrachtet, für die K(x, t) = K(xt) und C die reelle Achse oder ihr Teil (a, b) ist. Wenn - ∞< а, b < ∞, то интегральное преобразование называется конечным. При К(х, t) = К(х - t) интегральное преобразование называется интегральным преобразованием типа свёртки. Если х и t - точки n-мерного пространства, а интегрирование ведётся по области этого пространства, то интегральное преобразование называется многомерным. Используются также дискретные интегральные преобразования вида

wobei n = 0, 1, 2,... und (Gn(t)) ein Funktionssystem ist, zum Beispiel Jacobi-Polynome. Formeln, mit denen Sie die Funktion f(t) aus einer bekannten Funktion F(x) wiederherstellen können, werden Inversionsformeln genannt. Integrale Transformationen werden auch für verallgemeinerte Funktionen (Verteilungen) definiert.

Integrale Transformationen werden in der Mathematik und ihren Anwendungen häufig verwendet, insbesondere bei der Lösung von Differential- und Integralgleichungen der mathematischen Physik. Die für Theorie und Anwendung wichtigsten sind die Fourier-Transformation, die Laplace-Transformation und die Mellin-Transformation.

Beispiele für Integraltransformationen sind die Stieltjes-Transformation

wobei c v (α, β) = J ν (α) Y v (ß) - Υ ν (α)J ν (β), J v (x), Y v (x) Zylinderfunktionen der 1. und 2. Stadt sind . Die Umkehrformel für die Weber-Transformation lautet

Als → 0 geht die Weber-Transformation in die Hankel-Transformation über

Für v = ± 1/2 reduziert sich diese Transformation auf die Sinus- und Cosinus-Fourier-Transformationen.

Ein Beispiel für eine Faltungstransformation ist die Weierstrass-Transformation

Transformationen unbestimmter Integrale So wie es in der Algebra Regeln gibt, mit denen Sie algebraische Ausdrücke umwandeln können, um sie zu vereinfachen, so gibt es auch für das unbestimmte Integral Regeln, mit denen Sie seine Transformationen durchführen können. I. Das Integral der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale jedes Termes einzeln, d. h. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" der konstante Faktor kann sei "removed="" für das="" Vorzeichen="" des Integrals, e.="" (c-Konstantwertformel für die partielle Integration, nämlich: Lassen Sie uns Formel (III) beweisen. Nehmen Sie das Differential aus dem rechte Seite der Gleichheit (III) Wenn wir Formel 4 aus Tabelle § 2 Kapitel IX anwenden, erhalten wir x. Wir transformieren den Term gemäß Formel 5 derselben Tabelle: und den Term d J /" (d:) f (l;) dx gemäß Formel (B) § 1 dieses Kapitels ist gleich d\f (*) f = =/ (x) f" (l:) dx + f (x) /" (x) dx -/" ( x) f (*) dx = =f(x)y"(x)dx, d. h. wir haben erhalten, was wir durch Differenzieren der linken Seite der Gleichung (III) erhalten. Die Formeln (I) und (II) werden in überprüft Auf die gleiche Weise. Beispiel 1. ^ (l* - Unter Verwendung der Integrationsregel I und der Formeln 1 und 5 aus der Integraltabelle erhalten wir J (x1-- sin l:) dx= ^ xr dx-^ sin xdx = x* x9 = (-cosx) + C= y + cos x + C. Beispiel 2. I ^ dx Unter Anwendung von Regel II und Formel 6 aus der Integraltabelle erhalten wir J cos2* J COS2* zu 1 Beispiel 3 . ^ Inx dx. In der Integraltabelle in § 1 gibt es kein solches Integral. Berechnen wir es durch partielle Integration; Dazu schreiben wir dieses Integral wie folgt um: J In xdx= ^ In l: 1 dx. Setzen von /(x) = In l: und<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

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Die Anwendung der Integraltransformation auf die erste Datengruppe läuft offensichtlich darauf hinaus, die Funktionen der Variablen Ау zu ersetzen.  

Die Anwendung integraler Transformationen (4) reduziert die Lösung des viskoelastischen Problems (3) auf die Lösung des rein elastischen Problems (5) in Bildern. Unter Berücksichtigung des zuvor angegebenen Lösungsabschnitts (16).  

Die Anwendung von Integraltransformationen über Raumkoordinaten auf endlichen Intervallen und anderen strengen Analysemethoden auf Randwertprobleme für Differentialtransportgleichungen liefert Lösungen in Form unendlicher Funktionsreihen. In diesem Fall wird von der erhaltenen Lösung nur der Hauptteil dieser Serie für praktische Berechnungen verwendet. Daher dürfte eine einfache Methode zur Bestimmung einer Näherungslösung, die dem Hauptteil der exakten Lösung entspricht, zweifellos von großer praktischer Bedeutung sein.  

Anwendung der Integral-Fourier-Transformation auf Probleme auf der Geraden und Halbgeraden.  

Anwendung der Integral-Fourier-Transformation auf Probleme auf der Geraden und Halbgeraden. Die Definition der integralen Fourier-Transformation und das allgemeine Anwendungsschema zur Lösung von Randwertproblemen werden im Kapitel angegeben.  

Die Verwendung von Integraltransformationen bietet eine nützliche Methode zur Lösung vor allem ebener und auch räumlicher Probleme in der Elastizitätstheorie. Wesentlich ist, dass die Anzahl unabhängiger Variablen in partiellen Differentialgleichungen reduziert werden kann. Die Rolle der entsprechenden unabhängigen Variablen geht auf die Parameter über, und so ist es möglich, partielle Differentialgleichungen bezüglich vieler Variablen auf gewöhnliche Differentialgleichungen zu reduzieren.  

Anwendung integraler Transformationen zur Konstruktion exakter Lösungen für Filtrationsprobleme in gebrochenporösen Medien // Mechanische Analyse und ihre Anwendungen: S.  

Die Verwendung von Integraltransformationen ermöglicht es uns, das Problem der Integration partieller Differentialgleichungen auf die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Darstellung der erforderlichen Funktionen zu reduzieren. Um diese Idee zu veranschaulichen, präsentieren wir hier eine Lösung des Problems der elastischen Halbebene unter Verwendung der Fourier-Transformation; Für Gebiete anderer Typen erweisen sich andere Integraltransformationen als praktisch. Somit lässt sich das Halbebenenproblem auf die Bestimmung einer einzelnen Funktion p (z) aus gegebenen Werten ihres Real- oder Imaginärteils am Rand reduzieren. Wir beschränken uns auf die in § 10.4 betrachteten Beispiele und stellen nun die Methode der Integraltransformationen vor.  

Nach der Anwendung von Integraltransformationen wird das Problem auf gepaarte Integralgleichungen reduziert, eine Näherungslösung durch Entwicklung in einer Kosinusreihe konstruiert und die Zeitinversion der Transformation mithilfe der Trapezmethode durchgeführt. Numerische Ergebnisse werden präsentiert, um den Einfluss der Poissonzahl auf die Stumpfsetzung zu veranschaulichen.  

Nach der Anwendung von Hankel-Integraltransformationen in Koordinaten und Laplace-Transformationen in der Zeit wird eine Näherungslösung für das Problem konstruiert, indem es in ein System stückweise konstanter Funktionen erweitert wird und dabei das statische Merkmal unter der Kante des Würfels hervorgehoben wird. Die Invertierung der Laplace-Transformation erfolgt numerisch. Es werden einige Ergebnisse numerischer Berechnungen für eine gleichmäßig verteilte Last auf einer Platte vorgestellt, der Einfluss der Durchlässigkeit und Steifigkeit der Platte sowie der Poissonzahl des Bodens auf den Konsolidierungsgrad untersucht.  

Der Vorteil der Verwendung von Integraltransformationen gegenüber anderen analytischen Methoden zur Untersuchung thermischer Prozesse im Zusammenhang mit der Integration von Differentialgleichungen der Energieübertragung liegt vor allem in der Standardisierung und einfachen Lösungsfindung.  

Bei der Anwendung der Mellin-Integraltransformation auf allgemeine Lösungen der Gleichungen der ebenen Elastizitätstheorie (6.1.1) – (6.1.5) in der Papkovich-Neuber-Form (6.5.34) und (6.5.35) stellen sich Fragen von a Es entstehen allgemeine und spezifische Natur.  

Die Idee, Integraltransformationen in Problemen für partielle Differentialgleichungen zu verwenden, ist ähnlich: Man strebt danach, eine Integraltransformation zu wählen, die es ermöglicht, Differentialoperationen an einer der Variablen durch algebraische Operationen zu ersetzen. Wenn dies gelingt, ist das transformierte Problem normalerweise einfacher als das ursprüngliche. Nachdem sie eine Lösung für das transformierte Problem gefunden haben, finden sie mithilfe der Rücktransformation eine Lösung für das ursprüngliche Problem.  

Die Hauptbedingung für die Verwendung von Integraltransformationen ist das Vorhandensein eines Umkehrsatzes, der es ermöglicht, die ursprüngliche Funktion zu finden, wenn man ihr Bild kennt. Abhängig von der Gewichtsfunktion und dem Integrationsbereich werden die Transformationen von Fourier, Laplace, Mellin, Hankel, Meyer, Hilbert usw. berücksichtigt. Mit Hilfe dieser Transformationen werden viele Probleme in der Theorie der Schwingungen, der Wärmeleitfähigkeit und der Diffusion berücksichtigt und Moderation von Neutronen, Hydrodynamik, Elastizitätstheorie und physikalische Kinetik können gelöst werden.  

Lassen Sie uns kurz das Anwendungsschema der angegebenen Integraltransformation skizzieren.