heim » Die Küche » Welcher der folgenden Ausdrücke sind. Welche der Ausdrücke sind ganze Zahlen?

Welcher der folgenden Ausdrücke sind. Welche der Ausdrücke sind ganze Zahlen?

Ein ganzzahliger Ausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen und Literalvariablen besteht und die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation verwendet. Zu den Ganzzahlen gehören auch Ausdrücke, die eine Division durch eine beliebige Zahl außer Null beinhalten.

Beispiele für ganze Ausdrücke

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für ganzzahlige Ausdrücke:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

2. 7*b

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Bruchausdrücke

Wenn ein Ausdruck eine Division durch eine Variable oder durch einen anderen Ausdruck enthält, der eine Variable enthält, ist ein solcher Ausdruck keine ganze Zahl. Dieser Ausdruck wird Bruchausdruck genannt. Lassen Sie uns eine vollständige Definition eines gebrochenen Ausdrucks geben.

Ein Bruchausdruck ist ein mathematischer Ausdruck, der neben den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Zahlen und Buchstabenvariablen sowie der Division durch eine Zahl ungleich Null auch die Division in Ausdrücke mit Buchstabenvariablen enthält.

Beispiele für gebrochene Ausdrücke:

1. (12*a^3 +4)/a

2. 7/(x+3)

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Bruch- und Ganzzahlausdrücke bilden zwei große Mengen mathematischer Ausdrücke. Wenn wir diese Mengen kombinieren, erhalten wir eine neue Menge namens rationale Ausdrücke. Das heißt, rationale Ausdrücke sind alle ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke.

Wir wissen, dass ganze Ausdrücke für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll sind. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass zum Ermitteln des Werts eines gesamten Ausdrucks immer mögliche Aktionen ausgeführt werden müssen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ungleich Null.

Bruchausdrücke sind im Gegensatz zu ganzen Ausdrücken möglicherweise nicht sinnvoll. Da es sich um eine Division durch eine Variable oder einen Ausdruck, der Variablen enthält, handelt und dieser Ausdruck Null werden kann, ist eine Division durch Null unmöglich. Die Werte der Variablen, für die der Bruchausdruck sinnvoll ist, werden als zulässige Werte der Variablen bezeichnet.

Rationeller Bruch

Einer der Sonderfälle rationaler Ausdrücke ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Für einen solchen Bruch gibt es in der Mathematik auch einen Namen – einen rationalen Bruch.

Ein rationaler Bruch ergibt Sinn, wenn sein Nenner nicht Null ist. Das heißt, alle Werte von Variablen, bei denen der Nenner des Bruchs von Null verschieden ist, sind akzeptabel.

„Lektionspolynom“ – Und überprüfen Sie: 2. Multiplizieren Sie Polynome: 4. Teilen Sie das Polynom A(x) durch B(x). 3. Faktorisieren Sie das Polynom. 1. Addition und Subtraktion von Polynomen durchführen: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 und Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Aktionen mit Polynomen. Lektion 15.

„Umwandeln eines gesamten Ausdrucks in ein Polynom“ – Entwickeln Sie die Rechenfähigkeiten der Schüler. Führen Sie das Konzept eines gesamten Ausdrucks ein. Ganzzahlige Ausdrücke konvertieren. Polynome und insbesondere Monome sind ganzzahlige Ausdrücke. Üben Sie die Schüler darin, ähnliche Begriffe zu verwenden. Beispiele für ganzzahlige Ausdrücke sind die folgenden Ausdrücke: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+ 2c) )/5+2,5ac.

„Multiplikation von Polynomen“ - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Präsentation. Positionszahl eines Polynoms. Polynome mit Positionszahlen multiplizieren. Rjabow Pawel Jurjewitsch. Leitung: Kaleturin A. S.

„Standardform-Polynom“ – Standardform eines Polynoms. Beispiele. 3x4 + 2x3 – x2 + 5. Addition von Polynomen. Vorbereitung für S/R Nr. 6. Wörterbuch. Kapitel 2, §1b. Bei Polynomen mit einem Buchstaben ist der führende Term eindeutig bestimmt. Überprüfe dich selbst. 6x4 – x3y + x2y2 + 2y4.

„Polynome“ – Ein Monom wird als Polynom betrachtet, das aus einem Term besteht. Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen. Algebra. Polynome. Multiplizieren wir das Polynom a+b mit dem Polynom c+d. Produkt eines Monoms und eines Polynoms. Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom. Die Begriffe 2 und -7, die keinen Buchstabenteil haben, sind ähnliche Begriffe. Die Terme des Polynoms 4xz-5xy+3x-1 sind 4xz, -5xy, 3x und -1.

„Unterrichtsfaktorisierung“ – Anwendung von FSU. Abgekürzte Multiplikationsformeln. Unterrichtsthema: Antworten: var 1: b, d, b, g, c; var 2: a, d, c, b, a; Var 3: c, c, c, a, b; Var 4: g, g, c, b, d. Wie also? Den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen. 3. Vervollständigen Sie die Faktorisierung: Arbeiten Sie in Gruppen: Setzen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern. 1. Vervollständigen Sie die Faktorisierung: a).

Dank des Algebrakurses ist bekannt, dass alle Ausdrücke für eine bequemere Lösung transformiert werden müssen. Durch das Definieren ganzzahliger Ausdrücke wird sichergestellt, dass Identitätstransformationen zuerst durchgeführt werden. Wir werden den Ausdruck in ein Polynom umwandeln. Abschließend schauen wir uns einige Beispiele an.

Definition und Beispiele für ganzzahlige Ausdrücke

Definition 1

Ganze Ausdrücke sind Zahlen, Variablen oder Ausdrücke mit Addition oder Subtraktion, die als Potenz mit natürlichem Exponenten geschrieben werden, die auch Klammern oder Divisionen ungleich Null haben.

Basierend auf der Definition haben wir Beispiele für ganzzahlige Ausdrücke: 7, 0, − 12, 7 11, 2, 73, - 3 5 6 usw. sowie Variablen der Form a, b, p, q, x, z gelten als ganzzahlige Ausdrücke. Nach ihrer Transformation von Summen, Differenzen und Produkten nehmen die Ausdrücke die Form an

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · ( 1 + x 2)

Wenn der Ausdruck eine Division durch eine Zahl ungleich Null der Form x: 5 + 8: 2: 4 oder (x + y) : 6 enthält, kann die Division mit einem Schrägstrich angegeben werden, z. B. x + 3 5 - 3 , 2 x + 2. Betrachtet man Ausdrücke der Form x: 5 + 5: x oder 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c, ist klar, dass solche Ausdrücke keine ganzen Zahlen sein können, da es im ersten Fall eine Division gibt durch die Variable x und im zweiten Fall durch einen Ausdruck mit einer Variablen.

Polynom und Monom sind ganzzahlige Ausdrücke, die uns in der Schule bei der Arbeit mit rationalen Zahlen begegnen. Mit anderen Worten: Ganze Ausdrücke enthalten keine irrationalen Brüche. Ein anderer Name sind ganze irrationale Ausdrücke.

Welche Transformationen ganzzahliger Ausdrücke sind möglich?

Bei der Lösung werden ganze Ausdrücke als grundlegende Identitätstransformationen, das Öffnen von Klammern, das Gruppieren und das Einbringen ähnlicher Ausdrücke berücksichtigt.

Beispiel 1

Öffnen Sie die Klammern und bringen Sie ähnliche Terme in 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Lösung

Zuerst müssen Sie die Regel zum Öffnen von Klammern anwenden. Wir erhalten einen Ausdruck der Form 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a · b + 6 · a − b

Dann können wir ähnliche Begriffe präsentieren:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 · a · b) + (− 4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

Nachdem wir sie reduziert haben, erhalten wir ein Polynom der Form a · b + 2 · a − b.

Antwort: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Beispiel 2

Konvertieren Sie (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Lösung

Die bestehende Division kann durch Multiplikation ersetzt werden, jedoch durch die Umkehrzahl. Dann müssen Transformationen durchgeführt werden, wonach der Ausdruck die Form (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 annimmt. Jetzt sollten wir damit beginnen, ähnliche Begriffe zu reduzieren. Wir verstehen das

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Antwort: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Beispiel 3

Drücken Sie den Ausdruck 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) als Produkt aus.

Lösung

Nach der Untersuchung des Ausdrucks ist klar, dass die ersten drei Terme einen gemeinsamen Faktor der Form 6 · y haben, der bei der Transformation aus Klammern entfernt werden sollte. Dann verstehen wir das 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x)

Es ist ersichtlich, dass wir die Differenz zweier Ausdrücke der Form 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) und (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) erhalten haben. mit einem gemeinsamen Faktor x 2 + 3 · x − 1 , der aus Klammern herausgenommen werden muss. Wir verstehen das

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Nachdem wir die Klammern geöffnet haben, haben wir einen Ausdruck der Form (x 2 + 3 x − 1) (6 · y − x 3 − 4 · x), der gemäß der Bedingung gefunden werden musste.

Antwort:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Identische Transformationen erfordern eine strikte Einhaltung der Aktionsreihenfolge.

Beispiel 4

Ausdruck konvertieren (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Lösung

Sie führen zunächst die Aktionen in Klammern durch. Dann haben wir das 3 2 − 6 2: 9 = 3 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Nach Transformationen nimmt der Ausdruck die Form 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 an. Es ist bekannt, dass 2 3 = 8 Und (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, dann können wir zu einem Ausdruck der Form 8 x 8 + 4 x: 8 kommen. Der zweite Term erfordert das Ersetzen der Division durch Multiplikation von 4x: 8. Wenn wir die Faktoren gruppieren, erhalten wir das

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Antwort:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x.

In Polynom umwandeln

Die meisten Fälle der Konvertierung ganzzahliger Ausdrücke werden als Polynome dargestellt. Jeder Ausdruck kann als Polynom dargestellt werden. Jeder Ausdruck kann als durch arithmetische Zeichen verbundene Polynome betrachtet werden. Jede Operation an Polynomen erzeugt letztendlich ein Polynom.

Damit ein Ausdruck als Polynom dargestellt werden kann, müssen alle Aktionen mit Polynomen gemäß dem Algorithmus ausgeführt werden.

Beispiel 5

Als Polynom darstellen 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Lösung

Beginnen Sie in diesem Ausdruck die Transformation mit einem Ausdruck der Form 4 x − x (15 x + 1) und führen Sie gemäß der Regel zuerst eine Multiplikation oder Division durch und addieren oder subtrahieren Sie dann. Multiplizieren Sie – x mit 15 x + 1, dann erhalten wir 4 x − x (15 x + 1) = 4 x − 15 x 2 − x = (4 x − x) − 15 x 2 = 3 x − 15 x 2. Der gegebene Ausdruck hat die Form 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (3 · x − 15 · x 2) .

Als nächstes müssen Sie das Polynom auf die 2. Potenz erhöhen 2 x − 1 erhalten wir einen Ausdruck der Form (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (− 1) − 1 2 x − 1 (− 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Jetzt können Sie zur Ansicht gehen 2 (2 x 3 − 1) + (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) + (3 x − 15 x 2).

Schauen wir uns die Multiplikation an. Es ist ersichtlich, dass 2 (2 x 3 − 1) = 4 x 3 − 2 und (4 x 2 − 4 x + 1) (3 − x) = 12 x 2 − 4 x 3 − 12 x + 4 x 2 + 3 − x = = 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3

dann können wir zu einem Ausdruck der Form übergehen (4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2).

Wir führen eine Addition durch und erhalten dann den Ausdruck:

(4 x 3 − 2) + (16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3) + (3 x − 15 x 2) = = 4 x 3 − 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Daraus folgt, dass der ursprüngliche Ausdruck die Form hat x 2 − 10 x + 1.

Antwort: 2 (2 x 3 − 1) + (2 x − 1) 2 (3 − x) + (4 x − x (15 x + 1)) = x 2 − 10 x + 1.

Die Multiplikation und Potenzierung eines Polynoms weist darauf hin, dass Sie abgekürzte Multiplikationsformeln verwenden müssen, um den Konvertierungsprozess zu beschleunigen. Dies trägt dazu bei, dass Maßnahmen rational und korrekt ausgeführt werden.

Beispiel 6

Konvertiere 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Lösung

Aus der Quadratformel erhalten wir das (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, dann ist das Produkt (m − 2 n) (m + 2 n) gleich der Differenz der Quadrate von m und 2 n, also gleich m 2 − 4 n 2. Wir stellen fest, dass der ursprüngliche Ausdruck die Form annimmt 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 − 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Antwort: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Um zu verhindern, dass die Transformation zu lang wird, ist es notwendig, den angegebenen Ausdruck in eine Standardform zu konvertieren.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie einen Ausdruck des Formulars (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Lösung

Am häufigsten werden Polynome und Monome nicht in einer Standardform angegeben, sodass Transformationen durchgeführt werden müssen. Es sollte konvertiert werden, um einen Ausdruck wie zu erhalten − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Um ähnliche zu erhalten, muss zunächst nach den Regeln zur Transformation eines komplexen Ausdrucks multipliziert werden. Wir erhalten einen Ausdruck der Form

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

Antwort: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 a 2 b

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„Algebraische Brüche, rationale und gebrochene Ausdrücke.“

Lernziele:

Lehrreich: Einführung in das Konzept des algebraischen Bruchs, rationale und gebrochene Ausdrücke, Bereich akzeptabler Werte,

Entwicklung: Entwicklung kritischer Denkfähigkeiten, unabhängige Suche nach Informationen, Recherchefähigkeiten.

Lehrreich: Förderung einer bewussten Einstellung zur Arbeit, Entwicklung von Kommunikationsfähigkeiten und Entwicklung des Selbstwertgefühls.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment:

Grüße. Bekanntgabe des Unterrichtsthemas.

2. Unterrichtsmotivation.

Die Deutschen haben ein Sprichwort: „Getting into a Shot“, was bedeutet, in eine Sackgasse zu geraten, in eine schwierige Situation. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass Operationen mit Bruchzahlen, die manchmal als „kaputt“ bezeichnet wurden, zu Recht als sehr komplex galten.

Aber mittlerweile ist es üblich, nicht nur numerische, sondern auch algebraische Brüche zu berücksichtigen, was wir heute tun werden.

Erfolg ist kein Ziel. Das ist die Bewegung

T. Schneller.

3. Aktualisierung des Grundwissens.

Frontalvermessung.

Was sind ganzzahlige Ausdrücke? Woraus sind sie gemacht? Der gesamte Ausdruck ist für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll.

Nenne Beispiele.

Was ist ein Bruch?

Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Was bedeutet Factoring?

Welche Zersetzungsmethoden kennen Sie?

Was ist das Quadrat der Summe (Differenz)?

Was ist der Unterschied zwischen Quadraten?

4. Neues Material studieren.

In der 8. Klasse lernen wir auch Bruchausdrücke.

Sie unterscheiden sich von Ganzzahlen dadurch, dass sie eine Divisionsoperation für einen Ausdruck mit einer Variablen enthalten.

Wenn ein algebraischer Ausdruck aus Zahlen und Variablen unter Verwendung der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten und Division sowie der Division in Ausdrücke mit Variablen zusammengesetzt ist, wird er als gebrochener Ausdruck bezeichnet.

Bruchausdrücke machen keinen Sinn für die Werte der Variablen, die den Nenner zu Null machen.

Der Bereich zulässiger Werte (ADV) eines algebraischen Ausdrucks ist die Menge aller zulässigen Wertemengen von Buchstaben, die in diesem Ausdruck enthalten sind.

Ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke werden als rationale Ausdrücke bezeichnet

Eine separate Art rationaler Ausdrücke ist ein rationaler Bruch. Dies ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind.

Welche Ausdrücke sind ganze Zahlen und welche sind Brüche? (oder Nr. 1)

5. Körperliche Bewegung

6. Konsolidierung von neuem Material.

Lösen Sie Nr. 2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Selbstständiges Arbeiten der Studierenden (in Gruppen).

Lösen Sie Nr. 3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Betrachtung.

War der Unterrichtsstoff für Sie schwierig?

In welcher Phase des Unterrichts war es am schwierigsten oder am einfachsten?

Was haben Sie im Unterricht Neues gelernt? Was hast du gelernt?

Haben Sie im Unterricht so hart gearbeitet, wie Sie konnten?

Wie emotional haben Sie sich während des Unterrichts gefühlt?

D/W: Lerne Punkt 1, Fragen S.7, löse Nr. 4, 6, 8.

Sinkwine.

Jede Gruppe bildet einen Syncwine für das Wort „Fraktion“.

Wenn Sie Brüche kennen

Genau die Bedeutung, sie zu verstehen,

Selbst eine schwierige Aufgabe wird leicht.

Beispiele für ganze Ausdrücke

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für ganzzahlige Ausdrücke:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Bruchausdrücke

Beispiele für gebrochene Ausdrücke:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Rationeller Bruch

Einer der Sonderfälle rationaler Ausdrücke ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Für einen solchen Bruch gibt es in der Mathematik auch einen Namen – einen rationalen Bruch.

Ein rationaler Bruch ergibt Sinn, wenn sein Nenner nicht Null ist. Das heißt, alle Werte von Variablen, bei denen der Nenner des Bruchs von Null verschieden ist, sind akzeptabel.

Typ